4 Matriisit ja vektorit 4 Matriisin käsite 42 Matriisialgebra 0 2 2 0, B = 2 2 4 6 2 Laske A + B, 2 A + B, AB ja BA A + B = 2 4 6 5, 2 A + B = 5 9 6 5 4 9, 4 7 6 AB = 0 0 0 6 0 0 0, B 22 2 2 0 0 0 6 5 2 ja B = 2 4 T Laske AB ja BA 2 26, 2 0 2 2 5 2 9 5 6 2 6 0 4 4 2 20 8, x = Minkä kokoisia matriiseja ovat x T x, xx T, Ax, x T Ax ja xx T A? Laske ne A matriisi, jonka kaikki alkiot ovat =, ja olkoon Λ lävistäjämatriisi, jonka lävistäjäalkiot ovat, 2 ja Laske AΛ ja ΛA 4 laske u T Au, u T u, uu T 2 4 5 6, u = x y ; 7 8 9 z
x 2 xy zx u T Au = x 2 + 5y 2 + 9z 2 + 6xy + 4yz + 0zx, u T u = x 2 + y 2 + z 2, uu T = xy y 2 yz zx yz z 2 5 Laske potenssit A k, k =,2,,,992 0 0 0 0 0 0 0 0 0 6 Millä tyyppiä koskevilla oletuksilla matriisit AB ja BA ovat a molemmat määriteltyjä, b samaa tyyppiä? a A p n, B n p ; 7 b A n n, B n n Onko matriiseille voimassa a A + B 2 = A 2 + B 2 + 2AB, b A + BA B = A 2 B 2? Yleisesti a ei, b ei 8 Todista matriisialgebran osittelulaki AB +C = AB + AC 9 A neliömatriisi ja olkoot B ja C samantyyppisiä matriiseja Todista: Jos A on säännöllinen, niin AB = AC = B = C 20 Todennäköisyyslaskennassa tarkastellaan ns Markovin prosesseja, jotka kuvaavat systeemiä, joka voi olla äärellisen monessa eri tilassa Siirtymistodennäköisyydet tilasta toiseen muodostavat neliömatriisin A, jonka kaikki alkiot ovat 0 ja jossa vaakariveittäin lasketut summat ovat = Muodosta tällaisia matriiseja ja tutki matriisin A n alkioiden raja-arvoja, kun n Esitä hypoteesi alkioiden käyttäytymisestä 2 Matriisin A n n alkiot ovat α i j = i j Kirjoita matriisi A ja laske matriisitulo AA T tapauksessa n = Laske yleisessä tapauksessa arvolla n tulomatriisin AA T kohdassa i, j oleva alkio indeksien i ja j funktiona
22 Olkoot A ja B kokoa 0 0 olevia matriiseja, joiden alkiot ovat α i j = i+ j, β i j = i j Laske tulomatriisin C = AB alkio γ i j indeksien i, j funktiona γ i j = 85 + 55i j 0i j 2 Laske AB k, k N, kun 2 2 4, B = 0 2 2 0 8 4 0 5 2 24 Muodosta jokin pystyvektori x Laske r = x T x ja u = x/ r Mitä r kertoo vektorin x alkioista? Mikä ominaisuus on vektorin u alkioilla? Muodosta matriisi H = I 2uu T ja sen käänteismatriisi H Miten nämä suhtautuvat toisiinsa? Onko H symmetrinen tai ortogonaalinen? 25 Osoita, että edellisen tehtävän matriisi H on involutorinen, ts HH = I riippumatta vektorista x Mitä tämä tulos sanoo käänteismatriisista? 26 Hae kaikki matriisit B, jotka kommutoivat matriisin kanssa, ts joille pätee AB = BA 0 0 α β, α,β R 0 α β 27 Osoita, että jos A ja B ortogonaalimatriiseja, niin myös AB ja A ovat ortogonaalisia 28 A kokoa oleva ortogonaalimatriisi, jonka alkioista tiedetään seuraavaa: α = 7, α 2 = 2 7, α > 0, α 2 < 0, α 22 = 7 6 Määritä A ja A
29 Todista, että jos matriisille A pätee A T + O ja käänteismatriisi I + A on olemassa, niin matriisi B = I + A I A on ortogonaalinen 0 Todista, että jokainen ortogonaalinen 2 2-matriisi voidaan kirjoittaa jompaankumpaan seuraavista muodoista: cosϕ sinϕ cosϕ sinϕ tai sinϕ cosϕ sinϕ cosϕ 4 Lineaarinen yhtälöryhmä Totea, että yhtälöryhmän 2 ξ + 2 ξ 2 2 ξ = ξ 2 ξ 2 + 6 ξ = 2 2 ξ 2 2 ξ = kerroinmatriisi on ortogonaalinen ja käytä tätä tietoa hyväksi yhtälöryhmän ratkaisemisessa x = A T b = 2+ 2 5+ 2 T 2 2 a b 2 2 2 4, C = 2 4 4 9, C = 0 0 5 0 5, b =, 5, b = Laske tulo CA Tutki, voidaanko lineaarinen yhtälöryhmä Ax = b ratkaista kertomalla se vasemmalta matriisilla C Mitä tällöin saadaan ratkaisuvektoriksi x? Onko kyseessä matriisiyhtälön ratkaisu? Ratkaise Gaussin algoritmilla lineaariset yhtälöryhmät ξ + ξ 2 ξ = 4 a 2ξ + 6ξ 2 + 2ξ = 20 ξ + ξ 2 + 2ξ = 7 ξ + 2ξ 2 + ξ = c ξ + ξ 2 ξ = 2 ξ 5ξ = 4, b, d ξ ξ 2 + 4ξ = 8 7ξ 2ξ 2 ξ = 2 ξ + ξ 2 + 4ξ = 7 2ξ + 8ξ 2 5ξ = 8 ξ + ξ 2 + 2ξ = ξ + ξ 2 = ξ ξ 2 + 2ξ =,
4 Ratkaise Gaussin algoritmilla yhtälöryhmä Ax = b, kun a 4 5 2 2 6, b = 0, b 2 8 2 8 c 5 2 2 7 5, b = 0, d 2 0 2 2 4 6 2 2 5 2 2 2 2 0, b =, b = 2 0 5 4 2 5, a Ei ratkaisua, b 2 T, c ei ratkaisua, d 4 α + 4 β + 5 4 α + 4 β + 2 α β T 5 2 5 4 α 2 4, b = 7 8 β Tutki yhtälöryhmän Ax = b ratkaisujen lukumäärää lukujen α, β eri arvoilla Yksi ratkaisu, jos β = 6, α 6; äärettömän monta ratkaisua, jos α = β = 6; muulloin ratkaisuja ei ole 6 Ratkaise yhtälöryhmä Ax = b, kun 2 4 0 4 2 2 2 2 5, b = 6 5 22 2 7 2 2, b = 2 4 Osoita, että yhtälöryhmällä Ax = b ei ole ratkaisua Tietyssä mielessä pienimmän neliösumman mielessä mahdollisimman hyvä ratkaisu joka ei kuitenkaan tietenkään toteuta yhtälöryhmää saadaan ratkaisemalla matriisiyhtälö A T Ax = A T b Muodosta tämä yhtälöryhmä ja ratkaise se Piirrä ryhmän yhtälöiden kuvaajat sekä saatu pienimmän neliösumman periaatteen mukainen ratkaisu tasoon R 2
44 Vektoriavaruus R n 8 Tutki avaruuden R 4 vektoreiden 2 4 T, T, 2 7 5 T lineaarista riippumattomuutta Lineaarisesti riippumattomat 9 Tutki, ovatko vektorit 0 2 4 8 T, 6 2 T, 2 5 5 T lineaarisesti riippumattomia Voidaanko vektori 2 0 9 5 T lausua näiden lineaariyhdistelynä? Jos voidaan, niin onko esitys yksikäsitteinen? Lineaarisesti riippuvat; voidaan; esitys ei ole yksikäsitteinen 40 Osoita, että vektorit 2 T, 2 T ja 2 T muodostavat avaruuden R kannan Laske vektorin 2 T koordinaatit tässä kannassa 4 Osoita, että vektorit a = 0 T, a2 = 0 T, a = Mitkä ovat vektorin x = 2 T koordinaatit tässä kannassa? 0 T muodostavat avaruuden R kannan 0, 2, 42 Tutki, muodostavatko vektorit a = 0 0 T, a2 = 0 0 T, a = 0 0 T, a4 = 0 0 T avaruuden R 4 kannan Voidaanko vektori x = 2 4 T lausua näiden lineaariyhdistelynä? 4 Millä lukuja α, β, γ, δ koskevalla ehdolla vektorit αx + βy ja γx + δy ovat lineaarisesti riippumattomia, jos vektorit x ja y a ovat, b eivät ole lineaarisesti riippumattomia? a Jos αδ βγ 0; b ei millään 44 Todista, että jos vektorit a,,a p ovat lineaarisesti riippuvia, niin myös vektorit λ a,,λ p a p ovat Todista, että jos a,,a p ovat lineaarisesti riippumattomia, niin vektorit λ a,,λ p a p ovat lineaarisesti riippumattomia, jos ja vain jos tulo λ λ p on 0 45
Olkoot vektorit a,,a p lineaarisesti riippumattomia Tutki, ovatko seuraavat vektorisysteemit lineaarisesti riippumattomia: a a, a 2 + a, a + a 2,, a p + a p, b a a p, a 2 a, a a 2,, a p a p, c a,, a j, a j + λa k, a j+,, a p, missä k j a Riippumaton; b riippuva, c riippumaton 45 Determinantti 46 Laske Gaussin algoritmilla, alideterminanttikehitelmää käyttäen ja Sarrus n säännöllä seuraavat determinantit: 2 a 2 0 4, b 0 2 0 2 4 0, c 7 2 5 4 0 9 6 Tarkista tulokset jollakin tietokoneohjelmalla a 27; b 0; c 200 47 Laske sekä Gaussin algoritmilla että alideterminanttikehitelmää käyttäen seuraavat determinantit: 0 2 5 4 2 2 0 0 4 a 2 0 0 2 2, b 2 2 0 0 0 5 7 9, c 0 0 0 0 0 2 4 0 0 0 0 0 0 5 Tarkista tulokset jollakin tietokoneohjelmalla a 2; b 8; c? 48 Laske determinantti α α 2 β β 2 γ γ 2 49 Laske seuraavat determinantit sopivia determinantin laskusääntöjä käyttäen: α β + γ a β γ + α γ α + β, b + α α 4 + α α 5 + α α 6 + α 2 α 4 + α 2 α 5 + α 2 α 6 + α α 4 + α α 5 + α α 6 a 0; b 0
50 Millä lukuja α ja β koskevilla ehdoilla seuraavat determinantit ovat = 0? α + β α + 2β α + β a α + β α + β α + 2β α + 2β α + β α + β, b 2 α 2 α 2 α α α a β = 0 tai α + 2β = 0; b α =,0, 2, 5 8 4 8 6 8 5 5 Laske det 5AA T 7 käyttämällä determinantin laskusääntöjä 5 2 2 4 = 7 82 500 000 000 000 000 52 Matriisista A tiedetään, että se ei ole symmetrinen ja että sillä on ominaisuus A T = λa eräällä skalaarilla λ Mitä tämän perusteella voidaan päätellä matriisista A ja skalaarista λ? λ =, deta = 0, matriisin A lävistäjäalkiot ovat = 0 5 Tutki, millä luvun α arvoilla avaruuden R 4 vektorit α,,,,,α,,,,,α,,,,,α ovat lineaarisesti riippuvia Millä luvun α arvoilla vektori,,, voidaan lausua em vektoreiden lineaariyhdistelynä? Vektorit lineaarisesti riippuvia, jos α = tai = ; voidaan lausua lineaariyhdistelynä, jos α 54 Muodosta jokin pystyvektori x, jolle pätee x T x =, ja tämän avulla matriisi H = I 2xx T Laske matriisin H determinantti Kokeile erilaisia vektoreita x ja esitä hypoteesi determinantista 55 Eräs tietokone suorittaa keskimäärin miljardi liukulukulaskutoimitusta yhteen-, vähennys-, kerto- tai jakolaskua sekunnissa Kauanko koneella kestää laskea a 0-rivinen, b 00-rivinen determinantti suoraan permutaatioihin perustuvan määritelmän avulla, 2 Gaussin algoritmilla?
46 Käänteismatriisi 56 Määritä Gaussin algoritmilla ja alideterminanttien avulla A, kun 2 a, b, 4 0 c 2 0, d 2 2 0 2, 2 0 4 2 2 0 0 0 0 2 e 2 0 0 2 2, f 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Tarkista tulokset jollakin tietokoneohjelmalla a 4 2 e 2 57 0 2 2 4 0 2 4 8 2 8 2 6 ; b 0 ; f 2 ; c 2 4 8 4 6 2 4 Laske käänteismatriisi matriisille cosϕ sinϕ sinϕ cosϕ cosϕ sinϕ sinϕ cosϕ 58 x 2 x 4 2 x 6 x ; d 2 4 5 2 2 2 4 4 2 Tutki, millä muuttujan x arvoilla a matriisilla ei ole käänteismatriisia, b sen pystyvektorit ovat lineaarisesti riippumattomia x = 0 tai x = 59 Tutki, millä ehdolla matriisin α α 2 β β 2 γ γ 2 a pysty-, b vaakavektorit ovat lineaarisesti riippumattomia ;
60 Ratkaise yhtälöryhmä Ax = b 2 4 5 6, b = 7 7 8 8 7 6 Kuten edellinen tehtävä, mutta matriisin oikean alanurkan alkio onkin 9 Analysoi tilannetta muodostamalla matriisin determinantti ja määrittämällä matriisin lineaarisesti riippumattomien pystyvektoreiden lukumäärä 47 Lineaarikuvaus 62 Lineaarikuvaus F : R n R kuvaa avaruuden R n vektorit x, x 2 ja x vektoreille 0,2,,,2, ja,,0 Laske vektorin x 2x 2 + x kuva,, 9 6 Voiko kuvaus F : R R olla lineaarinen, jos F0,, =,0,0, F,0, =,,0, F,,0 =,,? Ei 64 Lineaarikuvauksella F : R 2 R 2 on ominaisuudet F, =, ja F2, =,2 Laske kuvauksen matriisi luonnolllisten kantojen suhteen ja määritä tämän avulla vektorin, kuva 4 5 ; 4,5 65 Olkoot F ja G lineaarikuvauksia Todista, että yhdistetty kuvaus F G on myös lineaarikuvaus 66 Todista, että lineaarikuvaus F on injektio, jos ja vain jos Fx = o = x = o 67 F lineaarikuvaus ja vektorit a,, a m lineaarisesti riippuvia Todista, että myös vektorit Fa,, Fa m ovat lineaarisesti riippuvia
68 F injektiivinen lineaarikuvaus ja vektorit a,,a m lineaarisesti riippumattomia Todista, että tällöin myös vektorit Fa,,Fa m ovat lineaarisesti riippumattomia Päteekö tulos, jos F ei ole injektio?