A1 Kappale, jonka massa m = 2,1 kg, lähtee liikkeelle levosta paikasta x = 0,0 m pitkin vaakasuoraa alustaa. Kappaleeseen vaikuttaa vaakasuora vetävä voima F, jonka suuruus riippuu paikasta oheisen kuvan mukaisesti. Kappaleen ja alustan välinen liikekitkakerroin on 0,35. F N a) Kuinka suuri on kappaleen kiihtyvyys paikassa x = 2,0 m? b) Kuinka suuri on kappaleen nopeus paikassa x = 2,0 m? 30 20 10 0 0 Sarjoittaiset arvot: m µ (kg) A 2,1 0,35 B 3,3 0,33 C 2,9 0,31 D 2,5 0,29 a) Dynamiikan peruslain tai Newtonin II lain mukaan F = m a Kun x = 2,0 m, kuvaajasta luetaan vetäväksi voimaksi F 2 = F (x = 2,0 m) = 20 N. Lisäksi kappaleeseen vaikuttaa kitkavoima liikesuuntaa vastaan Näin ollen josta b) Työperiaatteen mukaan F µ = µn = µmg F 2 F µ = ma a = F 2 F µ m W = K 1 = 6,1 m/s2 2 F 2 =20 N F µ 3 G N Kappaleeseen tekevät työtä vetävä voima ja kitkavoima. Näistä vetävän voiman tekemäksi työksi saadaan kuvaajasta graafisella integroinnilla tai fysikaalisena pintaalana W F = 30 J Kitkavoiman tekemä työ on 4 F m x W µ = F µ x = µmgx Koska kitkavoima on kappaleen liikesuuntaa vastaan, kokonaistyö on W = W F W µ. Toisaalta liike-energian muutos on jossa Näin saadaan a)-kohta: a m/s 2 A 6,1 B 2,8 C 3,9 D 5,2 b)-kohta: v A 3,9 B 2,3 C 2,9 D 3,6 v = K = K f K i K f = 1 2 mv2 2W 2 K m = m = 3,9 m/s
A2 Jäähdytyskoneen prosessikaasu käy läpi oheisen V p-kuvaajan mukaisen kiertoprosessin. Tilan 1 lämpötila on T 1 = 423,15 K, tila tilavuus on V 2 = 144 cm 3 ja tilan 3 lämpötila on T 3 = 773,15 K. Osaprosessi 2 3 on adiabaattinen, eli osaprosessin aikana kaasu ei vaihda lämpöä ympäristönsä kanssa. a) Laske tila lämpötila T 2, tilan 3 paine p 3 sekä kaasun ainemäärä n. p kpa 3 150 b) Määritä osaprosessien 1 2 ja 3 1 lämmönsiirrot. Vastaanottaako vai luovuttaako kaasu 1 2 100 cm 3 lämpöä osaprosessien aikana? 100 120 140 V Kaasun lämpökapasiteetti yhtä moolia kohden on isobaarisessa prosessissa 29,10 J/(mol K) ja isokoorisessa prosessissa 20,79 J/(mol K). a) ajasta luetaan tilavuus pisteissä 1 ja 3 sekä paine pisteissä 1 ja 2. Nämä ovat V 1 = V 3 = 100 cm 3 ja p 1 = p 2 = 100 kpa. Ideaalikaasun tilanyhtälön mukaan jokaisessa V p-tason pisteessä pv = nrt Erityisesti siis missä tahansa pisteistä i = 1, 2, 3 n = p iv i = p 1V 1 = 2,84 mmol RT i RT 1 Koska osaprosessi 3 1 on isokoorinen, niin eli p 3 T 3 = p 1 T 1 p 3 = T 3 T 1 p 1 = 0,183 MPa Koska osaprosessi 1 2 on isobaarinen, niin eli V 2 T 2 = V 1 T 1 T 2 = V 2 V 1 T 1 = 609 K b) Koska osaprosessi 1 2 on isobaarinen, niin Q 12 = nc P (T 2 T 1 ) = 15,4 J ja osaprosessi 3 1 on isokoorinen, niin Q 31 = nc V (T 1 T 3 ) = 20,7 J Osaprosessi 3 1 on isokoorinen, joten siinä ei tehdä työtä eli W 31 = 0. Koska lämpötila laskee prosessissa, niin kaasun sisäenergia U pienenee eli U 31 < 0. Lämpöopin I pääsäännön mukaan U 31 = Q 31 + W 31 = Q 31 Sisäenergian pieneneminen siis johtuu siitä, että kaasu luovuttaa lämpöä. Osaprosessissa 1 2 kaasu kuvaajan mukaan tekee työtä eli W 12 < 0. Samalla kuitenkin kaasun lämpötila nousee, joten U 12 > 0. Näin ollen siirtyneelle lämmölle Q 12 pätee Q 12 = U 12 W 12 Jotta sisäenergia voisi nousta ja kaasu tehdä samaan aikaan työtä, täytyy kaasun vastaanottaa lämpöä. Osaprosessissa 3 1 kaasu siis luovuttaa lämpöä ja osaprosessissa 1 2 kaasu vastaanottaa lämpöä. a)-kohta: T 2 (K) A, B, C, D 609 p 3 (MPa) A, B, C, D 0,183 n (mmol) A, B, C, D 2,84 b)-kohta: Q 12 (J) A, B, C, D 15,4 Q 12 (J) A, B, C, D -20,7
A3 Levykondensaattori on kytketty tasajännitelähteeseen, jonka jännite U = 51 V. Kondensaattorin levyjen välimatka on d = 3,0 cm. Positiivisesti varattu pölyhiukkanen, jonka varaus Q = 48 pc ja massa m = 11 µg, liikkuu levyjen välisessä sähkökentässä. a) Piirrä kytkennästä kuva, josta ilmenee tasajännitteen napaisuus, kondensaattorilevyjen välillä olevan sähkökentän suunta, sekä pölyhiukkasen kiihtyvyys. b) Laske sähkökentän voimakkuus levyjen välissä. c) Jos pölyhiukkanen on irronnut toiselta levyltä, niin millä nopeudella se törmää toiseen levyyn? Sarjoittaiset arvot: d U Q m (cm) (V) (pc) (µg) A 3,0 51 48 11 B 3,0 74 48 14 C 3,0 62 48 17 D 3,0 65 48 21 a) E ja koska hiukkanen lähtee levosta, niin joten v = K = 1 2 mv2 2 K 2QU m = m = 0,67 m/s Tapa II: Homogeeninen sähkökenttä aiheuttaa vakiovoiman F = QE, joten Newtonin II lain tai dynamiikan peruslain mukaan liike on tasaisesti kiihtyvää. Kiihtyvyys on a = F m = QE m Hiukkanen lähtee levosta ja liikkuu ajassa t 1 matkan d, joten { v = at 1 d = 1 2 at2 1 ja tästä ratkaisemalla nopeus v + - a b) Koska sähkökenttä on homogeeninen kondensaattorilevyjen välissä, niin E = E = U d = 1700 V/m c) Tapa I: Sähkökentän hiukkaseen tekemä työ on W = QU b)-kohta: E (V/m) A 1700 B 2500 C 2100 D 2200 c)-kohta: v A 0,67 B 0,71 C 0,59 D 0,55 v = 2ad = 2QEd 2QU m = m = 0,67 m/s Työperiaatteen mukaan W = K
A4 Oheisessa kuvassa kiekko B, jonka massa on 0,15 kg, on levossa tasaisella kitkattomalla pinnalla kun siihen osuu samanlainen kiekko A. Kiekon A nopeus on v A = 23 m/s. Törmäyksen jälkeen kiekko A liikkuu nopeudella u A suuntaan α = 31 ja kiekko B nopeudella u B suuntaan β = 42. u A a) Määritä kiekkojen A ja B nopeudet törmäyksen jälkeen. (4p) b) Määritä törmäyksessä kiekkoon A vaikuttavan keskimääräisen voiman suunta. (2p) m v A α β (kg) ( ) ( ) A 0,15 23 31 42 B 0,15 27 21 45 C 0,15 31 28 48 D 0,15 36 26 51 a) Koska kiekkojen törmäyksessä vaikuttaa vain sisäisiä voimia, niin liikemäärä säilyy A p i A + p i B = p f A + p f B v A eli komponenttimuodossa { mv A = mu A cos α + mu B cos β 0 = mu A sin α mu B sin β Massa m supistuu molemmista yhtälöistä ja jälkimmäisestä saadaan u B = sin α sin β u A josta sijoittamalla ensimmäiseen ( v A = u A cos α + cos β sin α ) sin β A B α β u B b) Jos törmäys kestää ajan t, niin impulssiperiaatteen mukaan F avg t = p Näin ollen keskimääräisen kiekkoon B vaikuttavan voiman F B avg suunta ona F B avg = β = 42 Newtonin III lain mukaan F A avg = F B avg eli keskimääräisen kiekkoon A vaikuttavan voiman suunta on F A avg = 180 β = 138 a)-kohta: u A A 16 B 21 C 24 D 29 u B A 12 B 11 C 15 D 16 b)-kohta F A avg ( ) A 138 B 135 C 132 D 129 Näin ollen v A u A = ( ) = 16 m/s cos α + cos β sin α sin β Tämän avulla saadaan u B u B = sin α (sin β cos α + cos β sin α) v A = 12 m/s
A5 Akvaarion vedenpintaan tulee monokromaattinen valonsäde kulmassa θ. Säde heijastuu akvaarion pohjassa olevasta peilistä P ja osuu akvaarion seinään vedenpinnan alapuolella. Mikä on pienin tulokulma θ, jolla peilistä P heijastunut säde kokonaisheijastuu akvaarion ulkoseinästä, eli lasin ja ilman rajapinnalla? Piirrä kokonaisheijastuneen säteen kulku. Ilman taitekerroin on n 1 = 1,00, veden taitekerroin on = 1,33 ja seinämän erikoislasin taitekerroin on n 3 = 1,66. Sarjoittaiset arvot: n 1 n 3 (-) (-) (-) A 1,00 1,33 1,66 B 1,00 1,33 1,69 C 1,00 1,33 1,72 D 1,00 1,33 1,77 θ n 1 n 3 P (iv) Säde kokonaisheijastuu akvaarion ulkoseinästä. Säteen tulokulma on δ, joka on kokonaisheijastuksen rajakulma sin δ = n 1 n 3 Kohdista (iii) ja (iv) ratkaisemalla saadaan φ = arccos ( n1 Sijoittamalla tämä tulos kohtaan (i) saadaan ( ( θ = arcsin sin arccos θ ( ) A, B, C, D 61,3 Ohjeita pisteytykseen: ) ( n1 ))) = 61,3 ˆ Rajapinnoissa heijastuneita säteitä ei tarvitse piirtää. (i) Säde taittuu ilman ja veden rajapinnassa taitekulmaan φ. Tällöin taittumislain tai Snellin lain mukaan n 1 sin θ = sin φ (ii) Säde heijastuu peilistä P. Tällöin heijastumislain mukaan heijastuskulma on myös φ. n 1 P θ φ φ γ φ δ δ n 3 (iii) Säde taittuu veden ja akvaarion seinämän rajapinnassa. γ = 90 φ ja taitekulma δ. Taittumislain mukaan Tulokulma on n 3 sin δ = sin γ ja trigonometria antaa sin γ = cos φ
A6 Robert A. Millikan sai vuonna 1923 fysiikan Nobel palkinnon m.m. todennettuaan Einsteinin teorian valosähköisestä ilmiöstä. Einsteinin mukaan valokvantin energian ja metallista irronneen elektronin suurimman liike-energian välillä on yhteys E max k = hf W 0 Alla olevassa taulukossa ovat Millikanin mittaamat pysäytyspotentiaalin arvot litiumille eri allonpituuksilla. Määritä taulukon ja sopivan graafisen esityksen avulla arvio Planckin vakiolle. Aallonpituus (nm) 434 405 365 313 254 Pysäytyspotentiaali (V) 0,55 0,73 1,09 1,67 2,57 Pysäytyspotentiaalin avulla voidaan rakaista elektronin suurin liike-energia. Työperiaatteen mukaan = eu E max k Aallonpituuden avulla ratkaistaan taas elektroneja irrottavan valon taajuus f = c λ Millikanin mittauksista saadaan kuvaajan laatimista varten taulukko f ( 10 14 Hz) ( 10 19 J) 6,91 0,89 7,41 1,18 8,22 1,85 9,58 2,69 11,81 4,14 E max k jonka avulla voidaan piirtää (f, E max k )-kuvaaja. Tämän fysikaalisena kulmakertoimena saadaan Planckin vakiolle arvo E K [10-19 J] 5 4 3 2 1 6 7 h = 6,7 10 34 Js Δf 8 9 10 11 Taajuus [10 14 Hz] ΔE K 12 13