Helsingin yliopisto, Matematiikan ja tilastotieteen osasto Vektorianalyysi II (MAT22, syksy 28 Kurssitentti, Ma 7228 (RATKAISUEHDOTUKSET Tentaattori: Ville Tengvall (villetengvall@helsinkifi Vastaa kaikkiin kysymyksiin (kokeessa ei saa käyttää laskinta Tarkastellaan reaaliarvoista funktiota f : R 3 R, f(x 4x 2 8x x 2 + 4x 2 2 + x 3 x x 3 (a Määritä funktion f gradientti f(x pisteessä x R 3 (b Määritä funktion f kriittiset pisteet koko avaruudessa R 3 (c Määritä funktion f Hessen matriisi Hes f (x pisteessä x R 3 (d Määritä kohdassa (b löytämiesi kriittisten pisteiden laatu (p (2p (p (2p (a f(x ( f(x, 2 f(x, 3 f(x ( 8x 8x 2 x 3, 8x + 8x 2, x (b Etsitään funktion f kriittiset pisteet (eli gradientin nollakohdat joukossa R 3 : f(x ( 8x 8x 2 x 3, 8x + 8x 2, x (x, x 2, x 3 (,, Eli funktion f ainoa kriittinen piste joukossa R 3 on x (,, (c Hes f (x f(x 2 f(x 3 f(x 2 f(x 2 2 f(x 2 3 f(x 3 f(x 3 2 f(x 3 3 f(x 8 8 8 8 (d Määrätään kriittisen pisteen x (,, laatu luennoilla esitellyn determinanttiehdon (lause 44 avulla Koska det(hes f (x 8 + 8 8 8 ( (x ; f 8 <, niin lauseen 44 nojalla x on satulapiste ja
2 Tarkastellaan avaruuden R 3 osajoukkoa S {x R 3 : x, x 3 > } (a Osoita, että joukko S on avaruuden R 3 sileä, kaksiulotteinen graafipinta (b Määritä pinnan S tangenttitaso T a pisteessä a (, 2, 2 (c Määritä pinnan S normaalisuora N a pisteessä a (, 2, 2 (d Hahmottele joukot S, T a ja N a kuvan avulla (a Määritellään jatkuvasti differentioituva funktio g : B 2 (, R asettamalla g(x, x 2 x 2 x 2 2 Tällöin joukko S G g on sileä, kaksiulotteinen funktion g graafipinta, parametriesityksenään jatkuvasti differentioituva kuvaus ϕ : B 2 (, R 3, ϕ(x ( x, x 2, g(x, x 2 ( x, x 2, x 2 x 2 2, missä rank ( Dϕ(x rank ϕ (x 2 ϕ (x ϕ 2 (x 2 ϕ 2 (x ϕ 3 (x 2 ϕ 3 (x rank x x 2 x2 2 (b Pinnan S pisteessä a ( (, 2, 2 ϕ, 2 }{{} :b tangenttitasolle T a saadaan esitys x 2 x 2 x2 2 2 T a a + span ( ϕ(b, 2 ϕ(b (, 2, 2 + span ( (,,, (,, (c Kohdan (b merkinnöin N a a + span ( ϕ(b 2 ϕ(b ( e, 2, 2 + span e 2 e 3 (, 2, 2 + span(,,
(d x 3 T a N a S a x x 2
3 Olkoot ja polkuja γ :, R 2, γ(t (t, t η :, 2 R 2, η(t (t, t 2 (a Määrittele polkujen γ ja η yhdistetty polku γ η (b Piirrä kuva polun γ η jäljestä (c Laske funktion f : R 2 R, f(x, x 2 x käyräintegraali polun γ η suhteen (a Koska (b γ( (, η(, niin yhdistetty polku γ η voidaan muodostaa ja se on γ η :, + 2 R 2, { γ(t, kun t, (γ η(t η(t, kun t, + 2 { (t, t, kun t, ( t, 2t t 2, kun t, + 2 (, ( 2, (,
(c Koska polut γ ja η ovat selvästi jatkuvasti derivoituvia ja lisäksi yhdistetyt funktiot f γ :, R, (f γ(t t ja f η :, 2 R, (f η(t t ovat suljettujen välien jatkuvina funktioina Riemann-integroituvia, niin funktion f käyräintegraali polun γ η suhteen on määritelty Suora lasku antaa f ds f ds + f ds γ η γ 2 η f(γ(t γ (t dt + t (, dt + ( 2 2 2 + 2 t dt + 2 t 2 t2 + 2 3 8 2 2 f(η(t η (t dt t (, 2t dt t + 4t 2 dt ( 2 ( + 4t 2 3/2 ( 9 3/2 3 2 + 3 6
4 Tarkastellaan yhtälöparia { sin(x + y + cos u sin(y + u + cos v (a Osoita, että kyseisellä yhtälöparilla on pisteen a (,,, ympäristössä muotoa (x, y g(u, v oleva jatkuvasti differentioituva ratkaisu (b Määritä (a-kohdan kuvaukselle g lineaarikuvauksen Dg(, matriisi (a Määritellään jatkuvasti differentioituva kuvaus f : R 4 R 2 asettamalla Tällöin f(x, y, u, v ( sin(x + y + cos u, sin(y + u + cos v Df(x, y, u, v ja erityisesti cos(x + y cos(x + y sin u cos(y + u cos(y + u sin v mat Df(a Koska f on jatkuvasti differentioituva ja lisäksi matriisin mat D x,y f(a aste on kaksi (sillä det D x,y f(a, niin implisiittifunktiolauseen nojalla annetulla yhtälöparilla on pisteen a (,,, ympäristössä (täsmälleen yksi muotoa (x, y g(u, v oleva ratkaisu, (b Lineaarikuvauksen Dg(, matriisi voidaan ratkaista implisiittisellä derivoinnilla: mat Dg(, mat D x,y f(a mat Du,v f(a