Pituus- ja pinta-alayksiköt 1 Pituusyksiköt Pituuden perusyksikkö on metri, ja se lyhennetään pienellä m-kirjaimella. Pienempiä ja suurempia pituusyksiköitä saadaan kertomalla tai jakamalla luvulla 10, ja käyttämällä määrättyjä etuliitteitä, kuten milli-, sentti- tai kilo-. Tärkeimmät pituusyksiköt lyhenteineen on esitetty alla olevassa taulukossa. kilometri hehtometri dekametri metri desimetri senttimetri millimetri km hm dam m dm cm mm 1000 m 100 m 10 m 1 m 0,1 m 0,01 m 0,001 m Esimerkki 5,2 m = 52 dm = 520 cm = 5200 mm kerrotaan kymmenellä (yksikkö pienenee) 660 m = 66 dam = 6, 6 hm = 0, 66 km jaetaan kymmenellä (yksikkö suurenee) Tehtävä 1 Merkitse pituudet taulukkoon eri yksiköissä. m dm cm mm 12 108 156 12 740 Tehtävä 2 Merkitse pituudet taulukkoon eri yksiköissä. km hm dam m 46 85,6 0,55 3,6 Tehtävä 3 Muunna mittauspyötäkirjasta a) neljän pienen kohteen pituus millimetreiksi, senttimetreiksi ja desimetreiksi b) neljän keskikokoisen kohteen pituus senttimetreiksi, desimetreiksi ja metreiksi c) neljän suuren kohteen pituus desimetreiksi, metreiksi ja dekametreiksi
Pituus- ja pinta-alayksiköt 2 Pinta-alayksiköt Pinta-alan perusyksikkö on neliömetri, ja se lyhennetään merkinnällä m 2, joka on siis metri korotettu potenssiin kaksi eli neliöön. Pienempiä ja suurempia pinta-alayksiköitä saadaan kertomalla tai jakamalla luvulla 100, ja käyttämällä määrättyjä etuliitteitä, kuten pituusyksiköissä. Poikkeuksena on neliöhehtometri eli hehtaari ja neliödekametri eli aari. Tärkeimmät pinta-alayksiköt lyhenteineen on esitetty alla olevassa taulukossa. neliö- neliö- neliö- neliö- neliökilometri hehtaari aari metri desimetri senttimetri millimetri km 2 ha a m 2 dm 2 cm 2 mm 2 1 000 000 m 2 10 000 m 2 100 m 2 1 m 2 0,01 m 2 0,0001 m 2 0,000001 m 2 Esimerkki 5,2 m = 52 dm = 520 cm = 5200 mm kerrotaan kymmenellä (yksikkö pienenee) 660 m = 66 dam = 6, 6 hm = 0, 66 km jaetaan kymmenellä (yksikkö suurenee) Tehtävä 4 Laske mittauspöytäkirjan pinta-alat tehtävässä 3 muunnetuilla yksiköillä. Tarkennus: Laske siis jokaiselle neljälle pienelle kohteelle kolme pinta-alaa (mm 2, cm 2 ja dm 2 ) ja näin edelleen keskikokoisille sekä suurille kohteille. Tehtävä 5 Merkitse pinta-alat taulukkoon eri yksiköissä. m 2 dm 2 cm 2 mm 2 4 730 1200 74 600 000 Tehtävä 6 Merkitse pinta-alat taulukkoon eri yksiköissä. km 2 ha a m 2 500 000 52 800 0,89 4,9
Kolmiot 3 Kolmio Kolmioita voidaan luokitella joko kulmien tai sivujen pituuksien perusteella. Kolmiossa on aina kolme kulmaa ja kolme sivua. Kolmiossa on aina kaksi terävää kulmaa, mutta kolmas kulma voi olla terävä, suora tai tylppä. Täten kolmiokin voi siis olla teräväkulmainen kolmio, suorakulmainen kolmio tai tylppäkulmainen kolmio. Kolmion sivut ovat yleensä eri pituisia. Jos kaksi sivua ovat yhtä pitkiä, kolmiota kutsutaan tasakylkikseksi kolmioksi. Jos kaikki kolme sivua ovat yhtä pitkiä, kolmiota kutsutaan tasasivuiseksi kolmioksi. Tehtävä 7 Piirrä kolmio, joka on a) teräväkulmainen b) suorakulmainen c) tylppäkulmainen d) tasakylkinen e) tasasivuinen Huom! Piirrä kolmiosta riittävän suuria, jotta voit mitata myöhemmin sen kulmat, ja mitata sivujen pituudet. Tehtävä 8 Mittaa tehtävän 7 kolmioiden kulmat, ja laske kunkin kolmion kulmien summa. Tehtävän 8 nojalla: Kolmion kulmien summa on aina astetta. Tehtävä 9 Laske kulmien α, β, γ ja δ suuruudet.
Kolmiot 4 Kolmion piiri ja pinta-ala Kolmion piiri on kolmion sivujen summa. Kolmion pinta-alaa laskettaessa valitaan yksi kolmion sivu kannaksi, ja mitataan kannan kohtisuora etäisyys sitä vastassa olevaan kolmion kärkipisteeseen. Tätä etäisyyttä (janaa) kutsutaan korkeusjanaksi. Kolmion pinta-ala A lasketaan seuraavasti: Esimerkki: Laske kolmion piiri ja pinta-ala. Tehtävä 10 Tarkastellaan tehtävässä 7 piirrettyjä kolmioita. a) Piirrä ja mittaa kolmioille korkeusjana. b) Laske kolmion pinta-ala c) Mittaa kolmion sivujen pituudet, ja laske kolmion piiri Esimerkki: Piirrä kolmio, jonka kaksi kulmaa ovat 50 ja 60 ja niiden välisen sivun pituus on 8,0 cm. Tehtävä 11 Piirrä kolmio, jonka kaksi kulmaa ovat a) 40 ja 60 ja niiden välisen sivun pituus on 8,4 cm. b) 110 ja 30 ja niiden välisen sivun pituus on 6,3 cm. c) Laske kolmion kolmanen kulman suuruus, ja tarkista vastauksesi mittaamalla. Tehtävä 12 Laske tehtävän 11 kolmioiden piiri ja pinta-ala.
Nelikulmiot 5 Nelikulmio Nelikulmioita luokitellaan kulmien sekä sivujen pituuksien avulla. Käytetyimmät nelikulmiot ovat suorakulmio sekä neliö, ja näiden lisäksi on hyvä tuntea suunnikkaaseen ja puolisuunnikkaaseen liittyvät lainalaisuudet. Tehtävä 13 Piirrä nelikulmio, joka on a) suorakulmio b) neliö c) suunnikas d) puolisuunnikas e) nelikulmio (ei sääntöä) Älä säästele nelikulmion koossa. Näitä tullaan taas myöhemmin mittaamaan. Tehtävä 14 Mittaa tehtävässä 13 piirtämiesi nelikulmioiden kulmat, ja laske kulmien summa kullekkin nelikulmiolle. Tehtävän 14 nojalla: Nelikulmion kulmien summa on aina astetta. Tehtävä 15 Laske kulmien α, β, γ ja δ suuruudet.
Nelikulmiot 6 Nelikulmion piiri ja pinta-ala Nelikulmion piiri on nelikulmion sivujen summa. Nelikulmion pinta-alan laskeminen on helppoa, jos kyseessä on suorakulmio (tai neliö). Tuttuun tapaan kerrotaan siis kanta ja korkeus keskenään. Suunnikas voidaan ajatella muodostuvan kahdesta yhtä suuresta kolmiosta, jolloin myös sen pinta-ala saadaan kertomalla kanta ja sitä vastaava korkeus keskenään. Puolisuunnikkaan tapauksessa on myös ajatuksena jakaa puolisuunnikas kahdeksi kolmioksi, ja laskea niiden pinta-alojen summa. Esimerkit avaavat tätä ajatusta. Esimerkki: Laske nelikulmion pinta-ala. Tehtävä 16 Mittaa tarvittavat tiedot tehtävässä 13 piirtämistäsi nelikulmioista, ja laske niiden piirit ja pinta-alat. Esimerkki: Piirrä suunnikas, jonka kaksi sivua ovat 9, 0 cm sekä 9, 5 cm ja niiden välisen kulman suuruus on 70. Tehtävä 17 Piirrä suunnikas, jonka kaksi sivua ovat a) 7,7 cm sekä 5,3 cm, ja niiden välinen kulma on 55. b) 10,0 cm sekä 4,6 cm, ja niiden välinen kulma on 64. c) molemmat 6,3 cm, ja niiden välinen kulma on 45. Tehtävä 18 Laske tehtävän 17 suunnikkaiden piirit ja pinta-alat.
Monikulmiot 7 Monikulmiot Monikulmio on yleisnimitys kuvioille, jonka kärkipisteitä yhdistävät peräkkäiset janat. Tällaisia ovat esimerkiksi kolmio, nelikulmio, viisikulmio, kuusikulmio ja niin edelleen. Monikulmion nimi siis riippuu sen kulmien määrästä. Tehtävä 19 Piirrä jokin (riittävän suuri) a) viisikulmio b) kuusikulmio c) seitsemänkulmio Tehtävä 20 Tutki tehtävän 19 avulla (mittaa ja laske) monikulmioiden kulmien summia, ja täydennä taulukko. Monikulmio kolmio nelikulmio viisikulmio kuusikulmio seitsemänkulmio Kulmien summa Kirjoita sääntö (sanallisesti tai matemaattisin merkinnöin), joka kertoo yleisesti monikulmion kulmien summan. Monikulmio on säännöllinen monikulmio, jos sen kaikki kulmat ovat yhtä suuria, ja kaikki sivut ovat yhtä pitkiä. Entuudestaan tuttuja säännöllisiä monikulmioita ovat tasasivuinen kolmio ja neliö. Esimerkki Laske säännöllisen kuusikulmion kulman α ja β suuruus. Tehtävä 21 Laske säännöllisen monikulmion kulman α ja β suuruus.
Monikulmiot Monikulmion piiri on monikulmion sivujen summa. Monikulmion pinta-ala lasketaan jakamalla monikulmio pienempiin osiin, jotka osataan laskea. Tässä kannattaa mahdollisuuksien mukaan käyttää suorakulmioita, tai tarpeen vaatiessa kolmioita. Esimerkki Laske monikulmion piiri ja pinta-ala. Tehtävä 22 Jaa monikulmio osiin, ja laske monikulmioiden piiri ja pinta-ala. Esimerkki Laske monikulmion piiri ja pinta-ala. Tehtävä 23 Jaa monikulmio osiin, mittaa tarvittavat tiedot, ja laske monikulmion piiri ja pinta-ala.