Matematiikan TESTI 3, Maa7 Trigonometriset funktiot RATKAISUT Sievin lukio II jakso/07 VASTAA JOKAISEEN TEHTÄVÄÄN! MAOL/LIITE/taulukot.com JA LASKIN ON SALLITTU ELLEI TOISIN MAINITTU! TARKISTA TEHTÄVÄT KOKEEN JÄLKEEN JA ANNA PISTEESI RUUTUUN! Ratkaise tehtävä ilman teknisiä apuvälineitä!. a) Yhdistä oikea funktio oikeaan kuvaajaan. (p) f: f(x), 4 g: k: k(x), g(x) tan x arc m: m(x) A B C D VASTAUS: f B g D k A m C Perusteluja: Funktiot k ja f eroavat vain etukertoimella. Kerroin funktiolla f on alle, mutta kuitenkin positiivista, joten kuvaajien muoto on melko sama, puristuvuus on funktiolla f isompi. Eli samalla muuttujan x arvolla funktion f arvo on pienempi kuin funktion k. Edelleen funktio g on tulofunktio ja koska sini saa välillä negatiivisia arvoja ja välillä positiivisia, niin kuvaajan C muoto on selvä. Lopuksi tangentin käänteisfunktio eli funktio g, siis arctan tai tan, löytyy kuvaajasta D.
b) Määritä/Laske (ei tarvitse tehdä määritelmän kautta). (p) i) D ( ) D 5 5 5 cos x tai 5 ( + tan x) ii) D( 3x ) 3 + 3x ( + tan x) 3(x tan x + + x) (tai 3 + 3x cos x ) iii) D ( ) 5 cos 5 5 x (5 ) 5 ( ) 5 sin x ( ) 5 sin x 5 ( cos x ) cos x 5 5 (sieventämistä voisi jatkaa ) TAI D ( ) 5 cos 5 5 x (5 ) 5 ( cos x ) cos x (5 ) 5 TAI koska 5 5 5, niin D ( ) D ( 5 5 (5 ) 5 cos x ) 0 5 + 5 5 c) Määritä perustellen tan α, kun cos α ja α [π, 3π ]. Mikäs se tangentin vanha määritelmä 3 nyt olikaan? (p) Koska, niin ratkaistaan ensin mitä on. Peruskaavasta sin x + cos x saadaan ± cos x ± ( 3 ) ± 9 ± 3 ja koska α [π, 3π ], niin valitaan negatiivinen arvo. Siis ja lopuksi tangentti 3 3 3
Tehtävästä alkaen tekniset apuvälineet ovat sallittuja!. a) Ratkaise yhtälöt (3p) i) tan 3x 3 ii) tan x + 4 i) tan 3x 3, 3x π + n π eli x π 6 + n π 3 3x π + n π 3 x π 9 + n π 3 OK, määrittelyehto. ii) Määrittelyehto on x π + n π. Merkitään y, muodostuu yhtälö y + 4y + 0. Siis y + 4y + 0 laskin y ± 3 3 tai + 3 x 5π + n π tai x π + n π OK, määrittelyehto. b) Tiedetään, että 7. Mitä on tan( 7π + x)? (p) Koska tangentin perusjakso on π, niin tan( 7π + x) 7. c) Määritä raja-arvo (p) lim x 0 sin x. Miksi ei voida tehdä suoraa sijoitusta? Hahmota lopuksi kuvaaja alla olevaan ruudukkoon välillä [ π, π]. Suoraa sijoitusta ei voi tehdä, sillä tällöin tulee tilanne 0, jota ei ole määritelty. 0 Saadaan lim x 0 Kuvaaja alla välillä [ π, π] sin x lim x 0 lim x 0 cos x
3. Ratkaise yhtälö (6p) tan 4x tan ( π 4 x) ja esitä määrittelyehdot sekä ratkaisukulmat x yksikköympyrää käyttäen. Tangentin kohdalla tarkistetaan ensin määrittelyehto, n Z: 4x π + n π JA π 4 x π + n π x π + n π 4 JA x π + n π 4 x π + n π 4 JA x π + n π Ratkaisu: 4x π x + n π 4 6x π + n π 4 x π 4 + n π 6 Tarkistetaan määrittelyehdot, kielletyt kulmat ovat π, 3π, 5π, 7π, 9π, π, 3π, 5π, 7π π ja π, 3π, 7π, π, 5π π, joista havaitaan, että jälkimmäiset sisältyvät ensimmäisten joukkoon. Sallituista kulmista
π 4, 5π 4, 9π 4, 3π 4, 7π 4, π 4, 5π 4, 9π 4, 33π 4, 37π 4, 4π 4, 45π 4, 49π π 4 4 osa kuuluu kiellettyihin, ne ovat 9π 4 3π, Näin ollen ratkaisukulmat ovat π 4 7π, 33π 4 π, 45π 4 5π. täydet kierrokset huomioiden. Kuva alla. π 4, 5π 4, 3π 4, 7π 4, 5π 4, 9π 4, 37π 4, 4π 4
4. Funktion f: f(x) 3 kuvaajan ja y-akselin leikkauspisteeseen asetetaan tangentti ja normaali. Määritä normaalin ja x-akselin leikkauspiste sekä tangentin ja normaalin välinen kulma. Tangentin ja normaalin yhtälöt ovat suoran yhtälöitä, eli muotoa y y 0 k(x x 0 ), missä x 0 0, koska leikkauspiste on y-akselilla. Tästä saadaan y 0 f(x 0 ) f(0) tan 0 3 cos 0 3. Lisäksi joten k tangentti f (0) eli f (x) f (0) cos + 3, x cos + 3 sin 0. 0 Näin ollen k normaali Normaalin yhtälö on siis y ( 3) (x 0) y x 3 Normaali leikkaa x-akselin kohdassa ( 6, 0). Tangentin ja normaalin välinen kulma on aina 90. Voihan sen laskeakin tan α k tangentti k normaali ( ), 5 + k tangentti k normaali + ( ei määr. ) 0 /4