Ö Ñ Ø ÔÐÙ Ö ÑÑ ôò Ð Ö ôò ËÙ Ø Ñ ØÛÒ Ñ Ô Ò Ð ÔØ Å ÓÙ Å Ö Éº Ð Ò ÐÐ Á ÃÌÇÊÁÃÀ Á ÌÊÁ À Á ÌÅÀÅ ÌÁÃÇ Å Ì ÈÌÍÉÁ ÃÇ ÈÊÇ Ê ÅÅ ÌÅÀÅ Ì Å ÂÀÅ ÌÁÃÏÆ Ã Á ÊÅÇËÅ ÆÏÆ Å ÂÀÅ ÌÁÃÏÆ È Æ ÈÁËÌÀÅÁÇ ÃÊÀÌÀË Å Ó ¾¼¼
ii
Ø Å Ö Ð Ò ÐÐ Å Ñ Ø Ó À Ô ÖÓ ØÓÖ ØÖ Õ Ø Ø Ø Ò ØÑ Ñ Ø Ô ØÖÓÔ ØÛÒ ÌÑ Ñ ØÛÒ Å Ñ Ø ôò ÖÑÓ Ñ ÒÛÒ Å Ñ Ø ôò ØÓÙ È Ò Ô Ø ÑÓÙ ÃÖ Ø º
iv
Ô Ð ÔÛÒ ØÓÖ ØÖ Ã Ø Ô ØÓÐÓ É ØÞ ÑÓ À ØÓÖ ØÖ ÕÖ Ñ ØÓ ÓØ Ø Ò Ñ ÖÓ Ô ØÓ ÔÖ Ö ÑÑ ÀÖ Ð ØÓ ÍÔÓØÖÓ Ö ÙÒ Ñ ÔÖÓØ Ö Ø Ø Ø ³ Ö ÙÒ ¾¼¼¾¹ ¾¼¼ º v
vi
È Ö Õ Ñ Ò È Ö Õ Ñ Ò ÒØ ÈÖÓÐ ÓÙ vii ix Ã Ð Ó ½º Û ½ Ã Ð Ó ¾º Ç Ð Ö ÑÓ H Ó ÈÖÓØ Ò Ñ Ò È Ö ÐÐ ¹ ØÓÙ ½ ¾º½ Ç Ð Ö ÑÓ H º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ¾º¾ Ð Ö ÑÓ Ø ÔÓÙ Gauss-Seidel Ö Ó ÔÒ º º º º º º ½ ¾º ÃÖ Ø Ö Ó Å Ö Ç Gauss-Seidel º º º º º º º º º º º º ½ ¾º Ç ÌÖ Ô Ò Ð ÔØ Ó Ð Ö ÑÓ º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾º Ò ÔØÙÜ Ð ÓÖ Ñ Ó ÍÐ Ó º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾º ËÕ Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º Ö Ñ Ø ÔÓØ Ð Ñ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Ã Ð Ó º Ô Ò Ð ÔØ ÃÖ Ø Ö Ó Å ¹ Ò ô ÑÓ٠ȹ Ò º½ Û º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º¾ ÈÖÓ Ø ÖØ Ó ÌÖ Ð Ö ÑÓ ËÕ Ð º º º º º º º º º º ÈÖÓ Ø ÖØ Â ÛÖ Ø ÍÔ ÖÓ º º º º º º º º º º º º º º Ç Æ Ó Ð Ö ÑÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Å ËÙÒ ÖØ Matlab È Ö Ñ Ø ËÕ Ð º º º º º º º Ã Ð Ó º Ô Ò Ð ÔØ ÃÖ Ø Ö Ó Ò ô ÑÓÙ Å ÈÒ º½  ÛÖ Ø ØÓ Õ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º¾ À ÖÑÓ ØÓÙ Ð ÓÖ ÑÓÙ À Ñ ÔÐ Ò ô Ñ È ¹ ÖÔØÛ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º À Ò Ò ô Ñ È ÖÔØÛ º º º º º º º º º º º º º º º º º vii
º Ç Ð Ö ÑÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½ º Å ËÙÒ ÖØ Matlab È Ö Ñ Ø ËÕ Ð º º º º º º º ½½ Ð Ó Ö ½¾ viii
ÒØ ÈÖÓÐ ÓÙ À Ô Ò Ø Ô ÖÓ ØÖ Ø Ò Ò Ø ÕÛÖ Ø ÙÑÔ ¹ Ö Ø ÓÖ Ñ ÒÛÒ Ò ÖôÔÛÒ ØÓÙ ÓÔÓÓÙ Ð Ò ÙÕ Ö Ø Ûº ÖÕ Ð Ò Ö Û Ø Ð Ö Ò ÑÓÙ Ù ÒÛÑÓ Ò ØÓÒ Ô Ð ÔÓÒØ ÑÓÙ Ã Ø Ô ØÓÐÓ É ØÞ ÑÓ Ø Ò Ø Ò Ø Ö Ô Ö ØÖÙÒ ÔÖÓ ÛÔ ØÓÙ Ô Ð Ý ³ Ð Ø Ö Ø ¹ ØÖ Õ Ñ ÒÓº Â Ð Ñ Ò ØÓÒ ÙÕ Ö Ø Û Ø Ò Ó Ö Ø Ó ØÓÙ Ø ÙÑ ÓÙÐ Ø ÔÓ Ó ÓÑ Ø ØÓÙ Õ Ð ÔÓÙ ÔÓØ Ð Ò ØÓÒ Ó Ø Ò ÓÐÓ Ð ÖÛ Ø Ö ÙØ º Á Ø Ö ÙÕ Ö Øô Ø Ñ Ð Ø ØÖ Ñ ÐÓ ÙÑ ÓÙÐ ÙØ Ô ØÖÓÔ ØÓÙ Ò ÔÐ ÖÛØ Ã Ø ÑÑ ÒÓÙ Ð Ð Ñ ØÖ Ó ÆÓ Ø Ó Ø Ò Ù Ò ÙÑÔ Ö Ø Ó ØÓÙ ÐÐ Ø ÔÓÐ Ø Ñ ÔÖÓØ Ø Ò ÓÙ Ø ÐØÛ ØÓÙ Ô Ö ÕÓÑ ÒÓÙ Ø ØÖ º Ô ¹ ÔÐ ÓÒ ÖÑ ÙÕ Ö Ø Ó ÐÛ ÔÖÓ ØÓÙ Ã Ø Ð Ó ÓÙ Ð É Ö Ð ÑÔÓ Å Ö Â ÛÖÓ È Ô Ó ôöóù ÁÛ ÒÒ Ë Ö ØÓÒ Ô ÓÙÖÓ Ã Ø ôö Ó ÓÙÖ Ö ÔÓÙ Õ Ò Ñ ÔÖÓ ÙÑ Ò ÙÑÑ Ø ¹ ÕÓÙÒ Ø Ò ÔØ Ñ Ð Ü Ø Ø Ô ØÖÓÔ ØÓÙ ØÓÖ Ó ÑÓÙº Ì ÐÓ Ð Ò ÙÕ Ö Ø Û ØÓÙ ÓÒ ÑÓÙ Ø Ò ÙÐ ØÓÙ ÙÑÔ Ö Ø Ð ÙØ Ø ÕÖ Ò ô ØÓ ÒØÖÓ ÑÓÙ Å ÒÓ Ø ÙÒ Õ Ò ÖÖÙÒ ÙÔÓ Ø Ö Ü ØÓÙº ix
x
Ã Ð Ó ½ Û Â ÛÖÓ Ñ Ò Ø Ñ Ö ÑÑ ôò Ü ô ÛÒ Ø ÑÓÖ Ax = b, ½º½µ ÔÓÙ Ó ÔÒ A Ò Ò n n Ñ ¹ ÑÓÖ Ó Ñ Ò ÔÒ A C n,n det(a) 0µ x, b C n. ³ Ò Ø ØÓ Ó Ø Ñ ÔÖÓ ÖÕ Ñ ÒÓ ÙÖÛ Ô ÔÖ Ø ÖÑÓ Õ ÙÒ Û ÔÒ ÙÒØ Ð ØôÒ A ÔÓÙ Ø ØÓÙ n Ò Ñ Ð Ò Ö º ËØ Ò Ô ÖÔØÛ ÙØ Ò Ô ØÓÙ Ø ÕÓÙ Ø Ø Ò ÔÐÙ ØÓÙ ½º½µ Ò Ñ Ø ÐÐ Ù Ø Ö Ø ¹ Ø ØÓÙ ÔÒ ô Ø Ò Ñ Û Ò ØÓ ÔÐ Ó ØÛÒ ÔÐ ÖÓ ÓÖ ôò Ø Ø Ò ÔÓ Ù Ø Ø Ö ØÛÒ ÙÔÓÐÓ ÑôÒ ÐÐ Ó Ô ØÓ Ñ ÒÓ Ö Ñ ÔÖ Ü ÛÒ Ø Ò Ö ØÓÙ ÔÓØ Ð Ñ ØÓº Ì ØÓ ÓÙ ÓÙ Ù Ø Ñ ¹ Ø Ñ ÒÞÓÒØ ÔÓÐÐ ÖÑÓ Ø Ø Ò Ö Ñ Ø ÔÐÙ ÐÐ ÔØ ôò» Ô Ö ÓÐ ôò Ü ô ÛÒ Ø Ø Ö ØÓÔÓ Ñ Ô Ô Ö Ñ Ò ¹ ÓÖ Ô Ô Ö Ñ Ò ØÓ Õ Ô Ô Ö Ñ ÒÓÙ ÓÙ ÙÑÔØÛØ Ñ ÓÙ collocationµº Ì ÔÖÓ Ð Ñ Ø ÙØ Ñ ÒÞÓÒØ Ô Ö ÓÕ Ø Ô Ø Ñ Ø Ì ÕÒÓÐÓ ØÛÒ Ç ÓÒÓÑ ôò Ô Ø ÑôÒ Ø Á ØÖ ºÐÔº ³ÇÔÛ ÔºÕº Ø Ó ÖÑ Ø Ø Ø ÕÙ Ò ØÖÓÒÛÒ ØÓÙ ÔÙÖ Ò Ó ÒØ Ö Ø ¹ Ö Ø Ö Ù ØÓ ÙÒ Ñ Ø Ò Ð Ø Ø Ø Ø Ø Ø Ø Ù Ø Ò ½
ÔÖ ÒÛ ØÓÙ ÖÓ Ð Ô Young µ Ñ ÐÐ ÔÖÓ Ð Ñ Ø ÔÛ Ø Ð ØÖ Ù ÐôÑ Ø ØÓÑÓ Ö ºÐÔº Ð Ô Axelsson µº Ó ÔÒ A ÑÔÓÖ Ò Õ Ô ÔÐ ÓÒ Ñ ÒØ Ø Ø Ñ Ø ÐÐ Ù ØÛÒ ÓÔÓ¹ ÛÒ ÑÔÓÖ Ò Ò Ø Ø Ò ÔÐÙ ØÓÙ Ù Ø Ñ ØÓº ËØ Ò Ô ÖÓ ØÖ Ñ Ô ÕÓÐ ÓÙÒ ÙÖÛ ÔÒ A ÔÓÙ Ò M ÔÒ H ÔÒ º ËØÓ Ñ Ó ÙØ ÙÔ Ò ÙÑÞ Ø Ø ÇÖ Ñ ½º½º ³ Ò ÔÒ A R n,n Ð Ø Ñ ¹ ÑÓÖ Óµ M ÔÒ ¹ Ø Ò ÑÔÓÖ Ò Ö Ø ÑÓÖ A = si B ÔÓÙ s > 0 B 0 Ñ s > ρ(b) Ó Ò Ñ Ò a ij 0, i j = 1(1)n det(a) 0 A 1 0º Ë Ñ ô ½µ ËØÓÒ Ô Ö Ô ÒÛ ÓÖ Ñ ØÓ ρ( ) ÙÑ ÓÐÞ Ø Ñ Ø Ø¹ Ò Ò Ø ØÖ ÛÒ Ó ÔÒ Ö ÓÒØ A > 0 ( 0) ÒÒÓÓ Ñ Ø Ð Ø ØÓ Õ ØÓÙ A Ò Ø Ñ ¹ ÖÒ Ø µº ¾µ Ç Ô Ö Ô ÒÛ ÓÖ Ñ ¹ Õ ÔÖôØ ÓÖ Ô ØÓÒ Ostrowski ØÓ ½ º µ ³ Ò ÔÐ Ó Ô Ò ÒØ µ Ó Ò ÑÛÒ ÔÖÓØ ÛÒ ÔÓÙ ÑÔÓÖÓ Ò Ò ÔÓØ Ð ÓÙÒ Ò ÐÐ Ø Ó ÓÖ ÑÓ Ò Ñ ¹ ÑÓÖ ÓÙ M ÔÒ ÑÔÓÖ Ò Ö ØÓ ÐÓ ØÛÒ Berman Plemmons º µ ÈÒ Ø ÑÓÖ ½º½µ ÔÓÐ ÙÕÒ Ñ ÒÞÓÒØ Ù¹ Ø Ñ Ø Ö ÑÑ ôò ¹ ÔÛ ÔÖÓ Ò Ö ¹ ÐÐ Ñ ¹ Ö ÑÑ ôò Ü ô ÛÒ ÔÖÓ Ð Ñ Ø ÓØ ÑôÒ Ñ Ñ Ð ÔÓ Ð Ô Ö ÓÕôÒ ÔÓÙ Ô Ö Ð Ñ ÒÓÙÒ Ñ ÓÙ Ô Ô Ö Ñ ÒÛÒ ÓÖôÒ Ñ Ö ÓÖ Ü ô ÑÓÒØ Ð ÓÙ¹ Ü ÓÙ Ô Ö Û Ò ÔØÙÜ Ø Ó ÓÒÓÑ Ø Å Ö Ó Ò Ø Ô Ò Ø Ø Ø Ø Ø Ø º ¾
ÇÖ Ñ ½º¾º ³ Ò n n ÔÒ Ð Ø À¹ÔÒ Ø Ò Ó ÔÒ Ö Ò M ÔÒ º M(A) = (m) ij = { aii, Ò i = j = 1(1)n, a ij, Ò i j = 1(1)n, ½º¾µ Á Ó Ò Ñ Ò ÙÔ ÖÕ Ò ôò Ó ÔÒ D = diag(d 1,d 2,...,d n ), Ñ Ø ôò ØÓ Õ Ø ØÓ Ó ô Ø Ó ÔÒ AD Ò Ò Ù Ø Ö ¹ ôò ÙÔ ÖØ ÖÓ Ø Ö ÑÑ sddµ Ð Ò Ñ ÒÓ Ò n a ii d i > a ij d j, i = 1(1)n. ½º µ j=1, j i Ë Ñ ô ½µ À Ó Ó Ò ØÛÒ H Ô Ò ÛÒ Ò Ø Ò ÙÖ Ø Ø Ñ Ð ¹ Ø Ñ Ò Ó Ó Ò ÔÛ ÐÐÛ Ø Ò Ø Ô Ø Ô Ö Ô ÒÛ Ñ ô ØÛÒ Ñ ¹ ÑÓÖ ÛÒ M Ô Ò ÛÒ ÐÐ Ø Ò Ó Ó Ò ØÛÒ Ù Ø Ö ôò ÙÔ ÖØ ÖÛÒ Ô Ò ÛÒº ¾µ Ò ÙÔ ÖÕ ÔÒ D Ø ØÓ Ó ô Ø Ò ÒÓÔÓ Ø Ó ÓÖ Ñ Ó ÒØ ÔÒ A C n,n Ø Ø Ò ÔÖÓ Ò Ø ÙÔ ÖÕÓÙÒ Ô ÖÓ ÔÒ ÔÓÙ ÒÓÔÓ Ó Ò ØÓÒ ÓÖ Ñ ØÓ ÒÓÐ ØÓÙ ÙÑ ÓÐÞ Ø ÙÒ Û Ñ D A º Ç ÔÒ ÙØÓ Ô ÞÓÙÒ Ø Ö Ñ ÒØ Ö ÐÓ Ø ÔÖÓ Ð Ñ Ø Ö ÑÑ ÙÑÔÐ ÖÛÑ Ø Ø Ø ÙÖ Ø Ö ÒÛ Ø Û Linear Complementarity Problems (LCP)º  ÛÖÓ Ñ ØÓ Ø Ñ r = Ax b, r 0, x 0 x T r = 0.
ØÓ Ø Ñ ÙØ Þ Ø Ø ØÓ ÒÙ Ñ x ÔÓÙ ÒÓÔÓ Ø Ô Ö Ô ÒÛ Õ ¹ Ó Ñ ÒÓ b R n A R n,n º Á Ø Ö ÔÓ Ò Ø Ø b 0 ØÓ Ô Ö Ô ÒÛ Ø Ñ Õ Ñ Ñ ÒÓ Ð Ò Ñ ÒÓ Ò Ó Ò Ø ¹ ÓÖ Ñ ÒÓ ÙÔ Ø Ò ÒÒÓ Ø y T Ay > 0, y R n \{0}µº Ç ÔÖ Ñ Ø Ó H ÔÒ Ñ Ø ôò ØÓ Õ ÔÓØ ÐÓ Ò Ñ ÙÔÓ Ø ÓÖ ØÛÒ ¹ Ø ÓÖ Ñ ÒÛÒ Ô Ò ÛÒº ÌÓ ÔÖ Ð Ñ ÙØ Õ ÖÑÓ Ø Ò Ö Ò Nash Ñ ÓÙ ÓÖÖÓÔ Ò Ô ÒÓÙ Ó Ô ØôÒ bimatrix gameµ Lemke ¾ Cottle Dantzig µ Ö Ø ÔÖÓ Ð Ñ Ø Ð ÖÛÒ» ÒÓ Ñ ¹ ÒÛÒ ÙÒ ÖÛÒ Ø Ñ Õ Ò Ö Ù ØôÒ Cryer µ Ø ÔÖÓ Ð Ñ Ø Ö ÑÑ Ó µ ÙÖØÓ Ø ØÖ ÛÒ Ó ÔÖÓ Ö ÑÑ Ø ÑÓ Mangasarian ½ Murty ¾ µ ÔÖÓ Ð Ñ Ø ØÑ Ô ÐÓ ôò Ø Ò Ç ÓÒÓÑ Pantazopoulos Koulisianis Papatheodorou ¾ µº ÈÖÓ Ð Ñ Ø ÔÛ ØÓ Ô Ö Ô ÒÛ ÕÓÙÒ Ô ÐÙ Ñ Ø ÕÖ Ô Ò Ð ÔØ ôò Ñ ÛÒ Ô ØÓÙ Cryer Mangasarian ¼ Ahn ½ Pang º À ÔÐÙ Ù Ø Ñ ØÛÒ ÔÛ ØÓ ½º½µ Ò Ø ÙÕÒ Ñ Ø ÕÖ Ô ¹ Ò Ð ÔØ ôò Ñ ÛÒ ÔÖÓ Ø Ð ØÓÙº Ç Ñ Ó Ó ÙØ Ò Ù¹ Ò Û Ò Ñ Ð Ö Ù Ø Ñ Ø ÔÖÓØ ÑôÒØ Ø Ô Ö ¹ Ø Ö Ô Ö ÔØô ÒØ ØÛÒ Ñ ÛÒ Ñ ÛÒ ÔÛ Ô ÐÓ Gaussº Å ØÙÔ Ô Ò Ð ÔØ Ñ Ó Ó Ô Ö Ð Ñ Ò Ø Ò Ô ÐÓ Ñ ØÙÕ ÖÕ ÔÖÓ x (0) Ø Ð x ØÓÙ ½º½µ ØÓÒ ÓÖ Ñ Ñ ÓÐÓÙ x (0), x (1), x (2), x (3),..., Ñ ÔÓ Ó Ù Ö Ñ ÒÓ Ð Ö ÑÓ Ó ÓÔÓÓ Ò Ñ Ó Ó Ô Ð Ø ÐÐ Ð Ù ÐÒ Ø Ò Ö Ð ØÓÙ ½º½µº
Ø Ö ÛÖ ÓÙÑ Ø Ð Ñ Ò Ô ØÓÙ ÔÒ A A = M N, Ñ M Ò Ñ ¹ ÑÓÖ Ó ÔÒ º Ì Ø ØÓ ÖÕ Ø Ñ ½º½µ Ö Ø Ó¹ Ò Ñ Ø ÑÓÖ Mx = Nx + b x = M 1 Nx + M 1 b Ô ÔÓÙ ÔÖÓ ÔØ ØÓ ÐÓÙ Ó Ô Ò Ð ÔØ Õ Ñ x (k+1) = M 1 Nx (k) + M 1 b, k = 0, 1,..., Ó Ò Ñ x (k+1) = Tx (k) + c, k = 0, 1,..., ½º µ ÔÓÙ T = M 1 N Ò Ó Ô Ò Ð ÔØ ÔÒ ØÓÙ Õ Ñ ØÓ c = M 1 b x (0) ØÙÕ ÖÕ ÔÖÓ Ø Ð xº ÈÓÐÐ ÓÖ ÛÖÓ Ñ Ø Ó ÔÒ A Ö Ø Û A = D L U, ÔÓÙ D ôò Ó ÔÒ Ñ ôò ØÓ Õ Ø ÒØ ØÓ Õ ØÓ Õ ØÓÙ Ô¹ Ò A L U Ò ÒØ ØÓ Õ Ù Ø Ö ØÛ ÒÛ ØÖ ÛÒ Ó ÔÒ º ÈÖÓ Òô Ó Ô Ö Ô ÒÛ ØÖ ÔÓ Ö ØÓÙ A Ò ÑÓÒ º Ô Ð ÓÒØ ÔÓÑ ÒÛ ÔÒ M ØÓÙ ÔÒ D 1(D ωl) Ñ ω C\{0} ÕÓÙÑ ω ÒØ ØÓ Õ ØÓÙ Ô Ò Ð ÔØ Ó ÔÒ J A = D 1 (L+U) Ø Ñ ÓÙ Jacobi L ω = (D ωl) 1 ((1 ω)d+ωu) Ø Ñ ÓÙ ÓÕ ÍÔ ÖÕ Ð ÖÛ SORµ Ô ÔÓÙ ω = 1 ÔÖÓ ÔØ Ó Ô Ò Ð ÔØ ÔÒ Ø Ñ ÓÙ
Gauss-Seidel L 1 = (D L) 1 Uº Ç Ô Ö Ô ÒÛ Ñ Ó Ó Ò ÒÛ Ø Û Ð ¹ Ô Ò Ð ÔØ Ñ Ó Ó º Ø Ð ØÛÒ Ô Ò Ð ÔØ ôò Ñ ÛÒ ÔÓ Ò Ø ØÓ Ü Ä ÑÑ ½º½º ³ ØÛ A = M N C n,n Ñ A M Ñ ¹ ÑÓÖ ÓÙº Ì Ø T = M 1 N c = M 1 b Ô Ò Ð Ô Ñ Ó Ó ½º µ Ù ÐÒ Ø Ð x = A 1 b ØÓÙ ÖÕ Ó Ö ÑÑ Ó Ù Ø Ñ ØÓ ½º½µ x (0) Ò Ñ ÒÓ Ò ρ(t) < 1. Á Õ Ø Varga ½ µ  ôö Ñ ½º¾º ÓÔÓ Ó ÔÓØ ÔÒ A C n,n Ó Ô Ö ØÛ ÔÖÓØ Ò Ó Ò Ñ ½º Ç ÔÒ Ö M(A) Ò Ò Ñ ¹ ÑÓÖ Ó M ÔÒ º ¾º B Ω(A) = {B C n,n : M(B) = M(A)} ρ(j B ) ρ( J B ) = ρ(j M(A) ) < 1, ÔÓÙ J B ÙÑ ÓÐÞ ØÓÒ ÔÒ ÔÓÙ Õ ØÓ Õ Ø Ñ ØÖ ØÛÒ ÒØ ØÓ ¹ ÕÛÒ ØÓ Õ ÛÒ ØÓÙ J B º Ð Ñ Ó Ó Jacobi Ù ÐÒ B Ω(A)º º B Ω(A) 0 < ω < 2 1+ρ( J B ) ρ(l ω (B)) ωρ( J B ) + 1 ω < 1. Ò Ó Ñ ÒÓ ÔÒ A C n,n ÓÖÞÓÙÑ ØÓÒ ÔÒ A = ( aij ) R n,n º
Ð Ñ Ó Ó SOR Ù ÐÒ B Ω(A) 0 < ω < 2 º 1+ρ( J B ) Ø Ô Ø Ô Ö Ô ÒÛ Ñ ÓÙ ÑÛ Ù ÐÒ Ô Ò Ð ÔØ Ñ Ó Ó AOR Ô Ø ÕÙÑ Ò Å Ó Ó ÍÔ ÖÕ Ð ÖÛ µ ÓÔÓ ÔÓØ Ð Ñ Ô Ö Ñ ØÖ Ò Ù Ø Jacobi Ø SOR Ô Ø Ò ÓÔÓ Ó Ð Ô Ò Ð ÔØ Ñ Ó Ó ÔÖÓ ÔØÓÙÒ Ò Ô Ö ÔØô º ËÙ Ö Ñ Ò Ø Ð Ø Ñ ÓÙ ÔÓÙ Õ Ô ØÓÒ Hadjidimos ½ Õ ÔÓ Õ ØÓ Ô Ö ØÛ ÔÓØ Ð Ñ Basic Equivalence Theorem Hadjidimos ½ µ  ôö Ñ ½º º ÓÔÓ Ó ÔÓØ ÔÒ T C n,n Ó Ô Ö ØÛ ÔÖÓØ Ò Ó Ò Ñ ½º Ç ÔÒ Ö M(T ) ØÓÙ T = I T Ò Ò Ñ ¹ ÑÓÖ Ó M ÔÒ º ¾º B Ω(T), B = I B ρ(j B ) ρ( J B ) = ρ(j M(T )) < 1. º B Ω(T) 0 < ω < 2 1+ρ(J B ) ρ(l ω,b ) ωρ( J B ) + 1 ω < 1. ½ º Ø Ô Ö ÐÐ Ñ Ò Ñ ÓÙ ØÛÒ Ð ôò Ñ ÛÒ Ð Ô Hadjidimos Yeyios
º B Ω(T) 0 < r < 2 1+ρ( J B ) ρ(l r,r,b ) = ρ(l r,b ) rρ( J B ) + 1 r < 1. º B Ω(T) 0 < r < 2 1+ρ( J B ) 0 < ω < ρ(l r,ω,b ) ω r ρ( L r,r,b ) + 1 ω r < 1, 2r 1+ρ( L r,r,b ) ÔÓÙ Ó L r,ω,b = (D rl) 1 [(1 ω)d + (ω r)l + ωu] Ò Ó Ô Ò Ð ÔØ ÔÒ Ø Ñ ÓÙ AOR ÔÓÙ ÙÒ Ø Ñ ØÓÒ B º Ë Ñ Û Ç ÔÒ T ØÓÙ Ô Ö Ô ÒÛ ÛÖ Ñ ØÓ Ò Ó Ô Ò Ð ÔØ ÔÒ ¹ ØÓÙ Õ Ñ ØÓ ½º µ Ô Ö Ø Ö ÔÓÙ Ò ØÓ ÔÓØ Ð Ñ ÙØ Ò Ø ÖÓ ØÓÙ ÒØ ØÓ ÕÓÙ Ø Ö ½ º À ÕÖ Ø ØÓ ÛÒ Ô Ò Ð ÔØ ôò Ñ ÛÒ ÔÓÙ ÕÖÓÒÓÐÓ Ø ØÓÙ¹ Ð Õ ØÓÒ Ô Ø Ñ ØÓÙ ½ ÓÙ ôò Õ ØÓ ÔÐ ÓÒ Ø Ñ Ø Ó ÔÒ A ÓÖÓÔÓ Ø Ø Ø Ö ØÛÒ Ô Ò Ð Ý ÛÒº ³ Ø ØÓ ÔÖ Ð Ñ Ø Ù ôö Ù ØÛÒ ÐÑ ØÛÒ ØÖÓ Ð Ù Ò Ð Ø ÖÓ Ó Ö Ø Ñ ÓÙ ÙØ Ô Ø Ò Ø Ñ Ñ ÓÙ ÔÓÙ Ó ÔÒ Ñ Ø ¹ ÐÐ Ø Ø Ø Ø ÔÐÙ ØÓÙ Ö ÑÑ Ó Ù Ø Ñ ØÓº ³ÇÔÛ Ò Ô Ø Ô Ö Ô ÒÛ Òô Ø Ò ÔÒ A C n,n Ò H ÔÒ Ü ÐÞ Ø Ô Ò Ð ÔØ Ñ Ó Ó ÔÛ Ó ÔÖÓ Ò Ö
ÕÓÙÒ Ð Ù Ø Ø Ø Ð º ØÓ Ð Ó ÙØ ÔÖÓØ Ò Ø ¹ ÖÓ ÓÖ Ö Ø Ö Ñ Ô Ò Ð ÔØ Ø Ò Ò ÒôÖ Ø ¹ Ø Ø ØÓÙ H ÔÒ Ò Ó ÒØ ÔÒ A C n,n º ËØ Ò ÔÐ ÓÝ ØÓÙ Ø Ö Ø Ö ÙØ Ò Ô Ò Ð ÔØ Ð Ô ÔºÕº Ø Ö ½ ØÛÒ Harada, Usui Niki ¾ ØÛÒ Li Li Harada Niki Tsatsomeros ¾ ØÛÒ Kohno, Niki, Sawami Gao ¾ ØÓÙ Li ØÛÒ Ojiro, Niki Usui ½ ØÓÙ Hadjidimos ØÛÒ Cvetković Kostićµ Ø Ø Ñ Ð Ô ÔºÕº ½ ØÛÒ Gao Wang ¾¾ Huang ½ ØÛÒ Gao Wang ½¾ ØÛÒ Gan Huangµ ÕÓÙÒ ÙÝ Ð ÙÔÓÐÓ Ø ÔÓÐÙÔÐÓ Ø Ø º ËØÓ Ñ Ó ÙØ ÔÖ Ô Ò Ò Ö Ø ØÓ Ñ ÒÓ Ö Ø Ö Ó ÔÓÙ Ñ Ø ÐÐ Ø Ø Ò Ö Ø Ø ØÓÙ A ÙÒ Ñ Ò Ô ÖÔØÛ Ø Ô Ö Ø Ö ÖÑÓ Ò ÙØ ÔÓÙ ÔÖÓØ Ò Ø ØÓ ½ ÔÓÙ Ò ÔØ Õ Ñ Ô Ø Ø Ø ÕÒ ÙÑÔ Ó Ø ØÓÑ profileµ Ø Ö ¾ ØÛÒ Kincaid Repress Young Grimesº ËØÓ Ã Ð Ó ¾ Ô ÖÓÙ ÞÓÙÑ ÖÕ ØÓ Ô Ò Ð ÔØ Ö Ø Ö Ó ÔÓÙ Ô Ö Ð Ñ Ò Ø Ø Ò Ö ¾ ØÓ ÓÔÓÓ Û ØÓ Ô Ó ÓÐÓ Ð ÖÛÑ ÒÓ Ñ ¹ Ñ Ø Ø Ñ Ö ÛÑ ÒÓ Õ Ñ Ø ÐÐ Ø ÖÓ ÔÖÓØ ÒØ ÔÓØ Ð ØÓ Ò Ù Ñ Ô Ö Ø ÖÛ Ñ Ð Ø Ö ÙÒ Ø Ò Ö Ò Ô Ò Ð ÔØ Ó Ö Ø ÖÓÙ ÔÓÙ Ð ÔØ Ó ØÓ ÙÒ Ø Ô Ó Ò Ô Ö ÔØô Ò ÒôÖ H Ô Ò ÛÒº Ô ÔÐ ÓÒ Ô ÖÓÙ Þ Ø ØÓ Ô Ò Ð ÔØ Ö Ø Ö Ó ØÓ ÓÔÓÓ Ð Ñ Ò ÙÔ Ý Ø ÓÑ ØÓÙ ÖÕ Ó ÔÒ Ø Ö ½ ô Ø ÙÑÔ Ö Ñ Ø Ø º ËØ ÙÒ Õ Ò Ø ØÓ Ö Ø Ö Ó Ø Ö ¾
Û Ø ÔÓÙ Jacobi Ô Ò Ð Ý ÒØ Ñ ÙØ Ø ½ ØÓ ÓÔÓÓ ÓÖ¹ Þ Ø Û Ø ÔÓÙ Gauss-Seidel Ô Ò Ð Ý ÉÛÖ Ç µ µº ÓÐÓ Û Ñ Ø ÙÓ ÔÖÓ Ó Ñ Ò Ö Ø Ö Ò Ø Ò Ò Ó Ô Ò Ð ÔØ Ö Ø Ö Ó Ø ÔÓÙ Gauss-Seidel Ñ Å Ö Ç H Ñ H ÔÒ ØÓ ÓÔÓÓ ÔÓ Ò Ø Ø Ù ÐÒ ØÓÙÐ Õ ØÓÒ Ø Ó Ö ÓÖ Ó ØÓ Ô Ò Ð ÔØ ¹ Ö Ø Ö Ó Gauss-Seidel ÉÛÖ Ç µ Ø Ö ½ º ËØ Ò ÖÕ ØÓÙ Ã Ð Ó Ô Ö Ø ÒØ Ó ØÖ Ð Ö ÑÓ ØÛÒ Ö ¹ ôò ¾ ¾ ÔÓÙ ÙÑ ÓÐÞÓÒØ Ñ H, L B ÒØ ØÓ Õ Ô ÔÓÙ Ñ Ø Ó ÓÖ Ñ ÒÛÒ Ô Ö Ñ ØÛÒ Ø Ø Ò Ö Ø ÙÔ ÖÕÓÙÒ Ô Ö ÔØô ÔÓÙ Ó Ð Ö ÑÓ L B Ò ÑÔÓÖ Ò Ø ÖÑ ØÞÓÒØ Ô Ô ¹ Ö Ñ ÒÓ Ö Ñ Ô Ò Ð Ý ÛÒ ÔÛ ÙØ Õ ÕÙÖ Ø Ô ØÓÙ Ù Ö ØÛÒ ÒØ ØÓ ÕÛÒ Ö ôòº Ò ÙÒ Õ Ñ Ø ÛÖ ÔÓÙ Ò ÔØ ¹ Ø ØÓ Ã Ð Ó Ò Ø Ò Ò Ó Ø ÔÓÙ Jacobi Ô Ò Ð ÔØ Ö Ø Ö Ó Ø Ò Ò ÒôÖ H Ô Ò ÛÒ Ð Ö ÑÓ AHµ Ô Ø ÖÕ ØÛÒ Ð Ü ÛÒ Algorithm H matrix Ý Ù Ó ô ÔÓ Ò Ø Ð ØÓÙ Ò Ô Ô Ö Ñ ÒÓ Ö Ñ Ñ ØÛÒ Ñ ¹ Ò ô ÑÓÙ ÔÒ Ø Ô Ñ ÔÓÐ Ô ÖÔØÛ º ÍÔ Ò ÙÑÞ Ø Ø ÇÖ Ñ ½º º ³ Ò ÔÒ A C n,n Ð Ø Ò ô ÑÓ Ò ÙÔ ÖÕ Ò ÒÒÓ Ø ÓÔÓ Ñ Ó Ø ÙÒ Õ ÒÒÓ Ø ÓÔÓ Ñ Ó Ø ÙÒ Õ ÒÒÓ Ø ÓÔÓ Ñ Ó Ø ÙÒ Õ Â ÔÖ Ô Ò Ñ Û Ø Ó ÙÑ ÓÐ ÑÓ H B Ò Ô ØÓÙ Ù Ö ØÛÒ ÒØ ØÓ ÕÛÒ Ö ôò Òô Ó ÙÑ ÓÐ Ñ L Ô Ñ º ½¼
ÔÒ Ñ Ø P R n,n Ø ØÓ Ó ô Ø [ PAP T A11 A = 12 O A 22 ], ÔÓÙ A 11 C r,r, 1 r n 1, O C n r,r Ò Ó Ñ Ò ÔÒ º Ò Ò Ø ØÓ Ó Ñ Ø Ø ÔÒ Ò ÙÔ ÖÕ Ó A Ð Ø Ñ ¹ Ò ô ÑÓº ËØÓ Ã Ð Ó Ô ÖÓÙ Þ Ø Ò Ò Ó Ð Ö ÑÓ ÔÓÙ ÔÓØ Ð Ô ¹ Ø ØÓÙ Ð ÓÖ ÑÓÙ AH ØÓÙ Ã Ð ÓÙ ÔÓÙ Ô Ö Õ Ø Ø Ò Ö ¾ ØÛÒ º Hadjidimosµ ô Ø Ò Ð Ý Ô ÔÐ ÓÒ Ø Ò Ò ô Ñ Ô ÖÔØÛ¹ º ØÓ ÓÔ ÙØ Ü Ø Þ Ø ÔÐ ÖÛ ÖÑÓ ØÓÙ Ð ÓÖ ÑÓÙ AH Ø 2 2 block Ò ô Ñ Ô ÖÔØÛ ÓÐÓ Û Ñ Ø Ó Ø ÙÒ Ù ¹ Ø ÛÖ Ô Ò ÛÒ Ñ Ð Ø Ø Ò p p block Ò ô Ñ Ô ÖÔØÛ Ñ ÖÑÓ ØÓÙ Ð ÓÖ ÑÓÙ AHº Ô Ø Ò Ô Ö Ô ÒÛ Ò ÐÙ ÔÖÓ ÔØ ØÓ Ò Ó Ø ÔÓÙ Jacobi Ô Ò Ð ÔØ Ö Ø Ö Ó Ø Ò Ò ÒôÖ H Ô Ò ÛÒ Ý Ù Ó ô Ð Ö ÑÓ AH¾µ Ó ÓÔÓÓ ÒØ Ñ ØÓÒ Ð Ö ÑÓ AH Ù Ø Ø Ò Ò ÒôÖ ØÛÒ H Ñ H Ô Ò ÛÒ ô Ø Ð ¹ ØÓÙ Ô Ô Ö Ñ ÒÓ Ö Ñ Ô Ò Ð Ý ÛÒ ÐÓÙ ØÓÙ Ò ô ÑÓÙ Ñ ¹ Ò ô ÑÓÙµ ÔÒ º Ë Ñ ôò Ø Ø ÐÓ Ø ÐÓ Ó Ô Ö Ô ÒÛ Õ ÒØ Ð Ö ÑÓ ÙÐÓÔÓ Ó ÒØ Ñ Û ÒØ ØÓ ÕÛÒ Matlab ÙÒ ÖØ ÛÒ ÖÑ ¹ ÞÓÒØ Ñ ÔÐ ôö Ö Ñ Ø ôò Ô Ö Ñ ØÛÒ ô Ø Ò Ø Ø Ò Ö ÙÖ Ø Ø ØÛÒ Ô Ö ÔØô ÛÒ Ô Ò ÛÒ ÔÓÙ Ð ÔØÓÙÒº Â ÔÖ Ô Ò Ñ Û Ø Ò Ó Ð Ö ÑÓ AH AH¾ Ô ÖÓÙ¹ ÞÓÒØ Û Ø ÔÓÙ Jacobi Ò ÔÐ Ò Ó Ó Ò Ø Û Ø ÔÓÙ Gauss-Seidel ÉÛÖ Ç µ Ø Ñ Û Gauss-Seidel Ñ Å Ö Ç º Ô ÔÐ ÓÒ ½½
Ñ ôò Ø Ø Ø Ã Ð Ñ Ô ÕÓÐ Ö Ø Ø ØÛÒ Ô Ò ¹ ÛÒ ÓÔÓ ÓÐ ÑÔÓÖ Ò ÙÐÓÔÓ Ñ Ø ÛÖ ØÓÙ Ã Ð ÓÙ ¾ Ò Ü Ø Ø Ø Ò ÔÖ Ü ØÓ ÔÓ Ô Ð Ø Ü ÙÒ Ø Ô Ò Ð ÔØ ÃÖ Ø Ö ØÓÙ Ð ÓÖ ÑÓÙ AH¾ Ò ÙÒ Ø Ò Ò ÙÒ Ø Ø Ø ÖÑÓ º ½¾
Ã Ð Ó ¾ Ç Ð Ö ÑÓ H Ó ÈÖÓØ Ò Ñ Ò È Ö ÐÐ ØÓÙ ¾º½ Ç Ð Ö ÑÓ H ÈÖ Ò ÔÖÓÕÛÖ ÓÙÑ Ø Ô Ò Ð ÔØ Ö Ø Ö ÔÓÙ ÔÖ Ø Ò ÔÖÓ¹ Ø ÒÓÙÑ Ø ÓÔÓ Ñ Ø ÐÐ ÓÒØ Ø Ò Ö Ø Ø ØÓÙ Ó Ñ ÒÓÙ ÔÒ Ô Ö ØÓÙÑ ØÓ Ô Ò Ð ÔØ Ö Ø Ö Ó Ø Ö ¾ Ð Ö ÑÓ Hµ ¹ ô Ø ÔÓØ Ð Ñ Ø Ø Ö ÙØ º ³ ÕÓÒØ ÙÔ Ý ØÓÒ ÇÖ Ñ ½º¾ Ø ÕÓ Ø Ö ¾ Ø Ò Ò ÔÖÓØ Ð Ö ÑÓ Ó ÓÔÓÓ Ò ÒôÖ Þ ØÓÒ H Õ Ö Ø Ö Ò ÔÒ A C n,n ÓÒ Ó ÔÒ A Ø Ò H ÔÒ º ³ÇÔÛ Ò ÒÛ Ø ØÓ Ò Ò Ò ÔÒ A H ÔÒ Ò Ó Ò ÑÓ Ñ Ø Ò Ô ÖÜ Ò Ø Ó ôò ÓÙ ÔÒ D Ô ØÓÙ Ô ÖÓÙ ÔÐ Ó D D A ØÓÙ ÇÖ ÑÓ ½º¾µ Ø ØÓ Ó ô Ø Ó AD Ò Ò Ø Ö ÑÑ Ù Ø Ö ôò ÙÔ ÖØ ÖÓ Ò¹ Ø ØÖÓ º ÓÐÓÙ ôòø ØÓÒ Ð Ö ÑÓ H Ø Ò Ô ÖÔØÛ ÔÓÙ ÙØ Ø ÖÑ ØÞ Ø Ó Ô¹ Ò D ÑÔÓÖ Ò Ø Ù Ø Ô Ò Ô Ô Ö Ñ ÒÓ Ò Ñ ÒÓ Ô Ø Ó ôò ÓÙ ÔÒ ½
D (k), k = 0, 1, 2,..., D (0) = I. ¾º½µ Ð ÓÙ ÙÑ ÓÐ ÑÓ ØÓÙÑ Ô ÔÐ ÓÒ A (k) = A (k 1) D (k 1), k = 1, 2,..., A (0) = A. ¾º¾µ Ø Ò Ð Ø Ö Ø Ò ØÓÙ Ö Ø ÖÓÙ Ò Ò Û Ô ÔÐ ÓÒ ÓÖ ÑôÒ ÙÑ ÓÐ ÑôÒº Ø Ö ³ ØÛ N := {1, 2,...,n} s (k) i = n j=1, j i a (k) ij, i = 1(1)n, k = 0, 1, 2,... ¾º µ ³ ØÛ Ô { } N (k) 1 N 1 (A (k) ) = i N : a (k) ii > s (k) i, ¾º µ n (k) 1 := n 1 (A (k) ) Ò ÙÑ ÓÐÞ ØÓ ÔÐ Ó ØÛÒ ØÓ Õ ÛÒ ØÓÙº Ð Ö ÑÓ Hº ÁËÇ ÇË ³ Ò ÔÒ A := [a ij ] C n,n ÓÔÓ Ó ÔÓØ ε > 0º Ç ÇË D = D (0) D (1) D (k) D A Ò Ó A Ò H ÔÒ º ½º Ò a ii = 0 ÔÓ Ó i N N 1 (A) = Ó A Ò Ò H ÔÒ Ì ÄÇË ÐÐ ô ¾º  A (0) = A, D (0) = I, k = 1 º ÍÔÓÐ A (k) = A (k 1) D (k 1) = [a (k) ij ] º ÍÔÓÐ s (k) i = n j=1, j i a(k) ij, i = 1(1)n, Ò Ñ ÖÛ N(k) 1 n (k) 1 ½
º Ò n (k) 1 = n Ó A Ò H ÔÒ Ì ÄÇË ÐÐ ô º  d = [d i ] ÔÓÙ d i = s (k) i +ε a (k) +ε, ii Ò i N(k) 1 1, Ò i / N (k) 1 º  D (k) = diag(d), k = k + 1 È Ò ØÓ Ñ º À ÛÖ Ø Ø Ò ÖÑÓ Ñ Ø Ø ØÓÙ Ð ÓÖ ÑÓÙ H Û Ö ¹ Ø ÖÓÙ ØÓÙ H ÔÒ Ü ÐÞ Ø Ô ØÓ ôö Ñ Ø Ð ÑÑ Ø ÔÓÙ ÓÐÓÙ Ó Ò Ð Ô Ò ÐÙØ ¾ µº  ôö Ñ ¾º½º Ç ÔÒ A C n,n Ò Ò H ÔÒ Ò Ñ ÒÓ Ò Ó Ð ÓÖ ÑÓ H Ø ÖÑ ØÞ Ø Ñ Ø Ô Ò Ô Ô Ö Ñ ÒÓ Ö Ñ Ô Ò Ð Ý ÛÒ Ñ ÓÙÖ ôòø Ò Ò Ù Ø Ö ôò ÙÔ ÖØ ÖÓ ÔÒ º Ä ÑÑ ¾º¾º Ç Ð ÓÖ ÑÓ H Ø Ø ÖÑ ØÞ Ø Ø Ô Ö Ñ Ô Ö Ó¹ ÐÓÙ Ô Ö ØÓ ÔÒ {A (k) = (a (k) ij )} Ø ØÓ Ó ô Ø ØÓ lim k a (k) ij, Ò ÙÔ ÖÕ Ð Ø i, j N. Ä ÑÑ ¾º º Ò Ó Ð ÓÖ ÑÓ H Ô Ö Ø Ò Ô Ö ÓÐÓÙ ØÛÒ Ô Ò ÛÒ {A (k) = (a (k) ij )} Ø Ø i N(k) 1, lim k [ a(k) ii s i (A (k) )] = 0. Ë Ñ ô : ½µ Ç Ð Ö ÑÓ H ÑÔÓÖ Ò Õ Ö Ø Ö Ø Û Ø ÔÓÙ Jacobi ÙØ Ø Ø ØÓ Õ Ø k Ô Ò Ð Ý Ò ÙÒ ÖØ ØÛÒ ØÓ Õ ÛÒ Ø ÔÖÓ Ó Ñ Ò Ô Ò Ð Ý k 1 Ñ ÒÓº ¾µ Ç Ð Ö ÑÓ H Ð Ñ Ò Ø Ö ÔÖ ÒÓ Ø Ò Ô ÖÔØÛ ÔÓÙ Ó ÔÒ A Ò Ö º ½
¾º¾ Ð Ö ÑÓ Ø ÔÓÙ Gauss-Seidel Ö Ó ÔÒ À Ñ Ð ÔÐ ÓÝ ØÛÒ Ô Ò Ð ÔØ ôò Ö Ø ÖÛÒ ÙÔÓ Ø ÕÛÖ Ò Ù Ö ÒÞ Ù Û Ø Ó ÖÕ ÔÒ ÔÓÙ ÛÖÓ Ò Ò ÔÙ Ò º ³ÇÑÛ Ø Ô Ö Ø Ö ÖÑÓ Ó ÔÒ ÔÓÙ Ô ÒØôÒØ Ò Ñ ÐÓ Ö Ó ÓÒ ÔÓÙ ÔÖ Ô Ò Ð ÙÔ Ý ô Ø Ò ÔÓ ÙÕ Ó Ò ÔÓ Ù Ó ÙÔÓÐÓ ÑÓ Ñ Ñ Ò ØÓ Õ ØÓÙ ÔÒ º ÙØ ÑÔÓÖ Ò Ô Ø ÙÕ Ñ ÒÓÔÓ Ø ØÖ ÔÓ Ò Ù Ó Ø Ø ÕÒ ÙÑÔ Ó Ø ØÓÑ profileµ ÔÓÙ Õ Õ Ø Ò Ö ¾ º ËØ Ò Ö ½ Õ Ò Ñ Ø Ò ¾ Ø Ó ØÓ Õ ÔÓÙ Ò Ö Ò Ø Ë Ñ ô Ø ÔÖÓ Ó Ñ Ò Ô Ö Ö ÓÙº Ð Ò Ñ Ô Ö ÐÐ ØÓÙ Ð ÓÖ ÑÓÙ H ô Ø ÙØ Ò ÕÖ ÑÓÔÓ Ø Ò k Ô Ò Ð Ý Ð Ø Ñ ØÓ Õ Ø ÔÖÓ ¹ Ó Ñ Ò k 1 Ô Ò Ð Ý ô Ø ØÖ ÕÓÙ kµ Ð Ö ÑÓ Ø ÔÓÙ Gauss-Seidelµ Ø ÖÓÙ Ò Ô Ø Ò Ø Ò Ø ÕÒ Ø ÙÑÔ Ó Ø ØÓÑ ô Ø Ò Ò Ø ÐÐ ÐÓ Ö Ó ÔÒ º Ô ÔÐ ÓÒ ÔÓ Õ Ø Ø Ò Ô ÖÔØÛ ØÛÒ H Ô Ò ÛÒ Ó Ð Ö ÑÓ Ø Ö ½ Ò ØÓÙÐ Õ ØÓÒ Ø Ó Ø Õ Ó Ó Ð Ö ÑÓ Hº Ë Ò Ö Ø Ö Ó Ô Ò Ð ÔØ Ñ ÓÙ ÔÛ ÙØ Ø Ö ¾ Ø ½ Õ ÐÓÙ ÔÖ Ø º  ôö Ñ ¾º º  ÛÖÓ Ñ ØÓÒ ÔÒ A C n,n º Ç Ð Ö ÑÓ Ø Ö ¾ Ø ½ µ Ø Ô Ø Ô Ö ÔØô a ii = 0 ÔÓ i {1, 2,...,n} N 1 (A) =, Ø ÖÑ ØÞ Ø Ñ Ø Ô Ò Ò Ô Ô Ö Ñ ÒÓ Ö Ñ Ô Ò Ð Ý ÛÒ Ò Ñ ÒÓ Ò Ó A Ò Ò H ÔÒ Ô Ö ÓÒØ Ò Ø ôò Ó ÔÒ D D A º ½
¾º ÃÖ Ø Ö Ó Å Ö Ç Gauss-Seidel À Ò ÐÙ ØÓÙ Ô Ö ÒØÓ Ð ÓÙ Þ Ø ÙÖÛ Ô ÒÛ Ø ÔÓØ ¹ Ð Ñ Ø ØÛÒ Ö ôò ¾ ½ ÔÛ ØÓÒ Ø Ò ÐÙ Ø Õ Ð Ô ÒÛ ØÓÙ Ð ÓÖ ÑÓÙ ØÛÒ Ö ôò ¾ ØÓÒ Ð Ö ÑÓ Ø Ö ¾ ÓÐÓÙ ÓÙÒº Ü ÕÖ ÑÓÔÓ Ó Ñ ØÓÒ ÖÓ Jacobi Ô Ò Ð Ý ÃÖ Ø Ö Óµ Ò Ö ÞÓÙÑ Ø Ð Ø ôò ØÓ Õ ØÓÙ ÔÒ D (k) ÓÖÞÓÒØ Ô Ø ØÓ Õ ØÓÙ A (k 1) Ñ ÒÓÒº Ò Ó D (k) ÓÖÞ Ø Ô Ø ØÓ Õ ØÓÙ A (k 1) ØÓÙ A (k) Ø ÓÔÓ ÕÓÙÒ Ö Ø Ø Ò ØÖ ÕÓÙ k oστη µ Ô Ò Ð Ý Ø Ø ÕÖ ÑÓÔÓ Ó Ñ Ø Ò Ö Gauss-Seidel Ô Ò Ð Ý ÃÖ Ø Ö Óµº Ç ÖÓ Gauss-Sedel Ñ Å Ö Ç ÕÖ ÑÓÔÓ Ø Ø Ò Ø Ò ÖÕ k oστης Ô Ò Ð Ý Ó ÔÖôØ n (k 1) 1 Ö ÑÑ Ø Ð ØÓÙ A (k 1) Ø Ð Ñ ¹ ÒÓÒØ Ô ØÓ Õ Ø ÓÔÓ Ù Ø Ö Ò Ø Ø Ø ¾º µ Õ ºÍÔ³ ÙØ Ò Ø Ò ÒÒÓ ØÓ Ö Ø Ö Ó Ø Ò Ö ¾ Ò ÙÒ Ø Ò Ö Ø Û Jacobi Ô Ò Ð Ý Ò ÒØ Ñ ÙØ Ø ½ ØÓ ÓÔÓÓ ÓÖÞ Ø Û Gauss-Seidel Ô Ò Ð Ý ÉÛÖ Ç µ ÒØ ØÓ Õ º ÍÔ ÖÕ Ñ Ñ ÓÖ Ò Ñ ØÓÙ ÙÓ Ð ÓÖ ÑÓÙ Ø Ö¹ ¾ ½ º Ç ÔÖôØÓ Õ Ø ÔÙ ÒÓ ÔÒ ÕÛÖ Ñ ÔÖ Ð Ý ÓÒ ÓÖ Ø Ò Ö Ø Ø Òô Ó Ø ÖÓ Õ Ø Ö ô Ö Ó ÔÒ ÔÓ ÓÒØ Ø ÔÖ Ü Ñ Ñ Ò ØÓ Õ º Ò Ô Õ Ö Ø Ö Ø Ø Ò Ø ÐÐ ÐÓ ÔÙ ÒÓ ÔÒ º ³ Ò Ô ØÓÙ Ó Ø ÕÓÙ ÙØÓ ØÓ Ð ÓÙ Ò Ò ÔØÙÜ Ô Ø Ø Ñ ÒÛÒ ËÙÑÔ ôò Å ØÛÔ ôò (Extended Compact Profile) Ô Ò Ð ÔØ ôò ÃÖ Ø ÖÛÒ ½
H ÔÒ Ñ Ø ÓÖ Ñ H Ô Ò ÛÒ Ø ØÖ ÔÖÓ ¹ Ò Ö ÒØ Ô Ò Ð ÔØ Ö Ø Ö º ØÓÒ Ð Ö ÑÓ H Ø Ö ¾ ÛÖÓ Ñ s (k) i = s i (A (k) ) = n j=1, j i a (k) ij, i = 1(1)n, k = 0, 1, 2,..., Ð Ø r i (A (k) ) Ô Ð ÓÖÞÓÒØ Ô Ø Ö r i (A (k) ) = s i(a (k 1) ) + ε + ε a (k 1) ii (< 1), i N (k 1) 1, k = 1, 2, 3,..., ÔÓÙ ε Ò Ñ Ñ Ö Ø Ø Ö º ËØ ÙÒ Õ Ô Ð Ó r i (A (k) ), i N (k 1) 1, ÔÓÐÐ ÔÐ Þ Ø ØÓ Õ Ø ÒØ ØÓ Õ i oστης Ø Ð ØÓÙ A (k 1) Ò Õ Ñ Ø Ø Ó A (k) º ËÙ Ö Ñ Ò a (k) ji = r i (A (k) )a (k 1) ji, i N (k 1) 1, j = 1(1)n. ÔÓÑ ÒÛ Ó ÔÒ D (k) Ø ¾º½µ Ò Ó ÑÓÒ Ó ÔÒ Ñ Ø ÓÖ Ø Ó i oστες ÑÓÒ Ñ i N (k 1) 1 ÒØ Ø ÒØ Ô Ø ØÓ Õ d (k) ii = r i (A (k) ), i N (k 1) 1. Ô Ø Ò ÐÐ Ñ Ö Ó Ð Ö ÑÓ Ø Ö ½ ÙÒ ÕÞ Ø ÔÛ ÓÖ Ø º Ò ÒØ ØÓ Õ Ó ÙÑ ÓÐ Ñ Ñ Ñ ÙØ Ò Ø Ò ¾ ÔÖ Ô Ò ÐÐ ÜÓÙÑ Ð Õ Ø ÙØ Ò Ø ½ º Ã Ô Ò Ð Ý k = 1, 2, 3,..., Ð Ø ÜÛØ Ö Ô Ò Ð Ý ÒØ Ñ ØôÔ Ö ÑÑ Ø ÒØ ØÓ Õ Ø Ð µ ØÓÙ A (k 1), i = 1(1)n, ÛÖ Ø Û Ñ ÛØ Ö Ô Ò Ð Ý º Å Ø Ô Ø Ò ÓÐÓ Ð ÖÛ Ø i oστης ÛØ Ö Ô Ò Ð Ý Ø k oστης ÜÛØ ¹ Ö Ð Ó ÔÖÓ Ó Ñ Ò ÔÓ Ø Ø Õ Ö Ø ÖÞÓÒØ Ô ØÓ Þ Ó (k,i)º ½
ÇÔ Ø k = 1, 2, 3,..., Ó Ø ôò Ó ÔÒ D (k,i) Ó ÔÒ A (k,i) ÓÖÞÓÒØ Û Ü D (k,i) = D (k,i 1) D (k,i) i, i = 1(1)n, D (k,0) = I, D (k,n) = D (k) ÔÓÙ D (k,i) i Ò Ó ÑÓÒ Ó ÔÒ Ø Ô Ø Ò ió Ø i N (k,i 1) 1, ÔÓÙ Ò Ø Ô ØÓ Ð Ó d (k,i) ii = r(a (k,i) ) = s i(a (k,i 1) ) + ε + ε a (k,i 1) ii, Ò i N(k,i 1) 1. Ò ÐÓ Ô Ò Ò Ö Ø Ó ÔÒ A (k,i) ÑÔÓÖÓ Ò Ò ÓÖ ØÓ Ò Ñ Ö ØÓ ØÖ ÔÓÙº Ô Ö Ñ A (k,i) = A (k 1) D (k,i) = A (k 1) D (k,i 1) D (k,i) i = A (k,i 1) D (k,i) i,... A (k,0) = A (k 1), A (0) = A, A (k,n) = A (k). Ç Ð Ö ÑÓ Ø Ò Ö ½ Ù ÐÒ ØÓÙÐ Õ ØÓÒ Ø Ó Ö ÓÖ Ó Ó Ð Ö ÑÓ H Ø Ò ¾ º À Ô Ü ÓÔÓ Ò Ø ÔÐ ÖÛ Ø ½ ÓÐÓÙ ØÓ Ô Ñ ÒÓ ôö Ñ º  ôö Ñ ¾º º à ØÛ Ô Ø ÔÖÓÔÓ ØÓÙ Â ÛÖ Ñ ØÓ ¾º ØÓÙ ÙÑ Ó¹ Ð ÑÓ ÔÓÙ ÛÖ Ñ Ó Ð Ö ÑÓ Ø Ö ½ Ù ÐÒ ØÓÙÐ Õ ØÓÒ Ø Ó Ö ÓÖ Ó Ó Ð Ö ÑÓ H ÔÓÙ Ô ÖÓÙ Ø Ø Ò ¾ º Ô ÔÐ ÓÒ Ó Ð Ö ÑÓ Ø ½ Ø ÖÑ ØÞ Ø Ô Ô Ö Ñ ÒÓ Ö Ñ Ô Ò Ð Ý ÛÒ Ò Ñ ÒÓÒ Ò Ó ÔÒ A Ò Ò H ÔÒ ÓÔ Ø Ô Ö Ò Ø ôò Ó ÔÒ D D A. ½
Ô Ü º ÍÔÓ ØÓÙÑ Ø ÔÓ Ó k Ó A (k) ØÓÙ Ð Ö ÑÓÙ H Ø Ò ¾ Ò Ø ÙØÓØ Ó Ó Ñ ØÓÒ A (k) = A (k,n) Ø Ö ½ Ü A (k) J A (k) GS ÒØ ØÓ Õ Ø ô Ø a (k) ij,j = a(k) ij,gs, i,j = 1(1)n, ØÓ ÓÔÓÓ Õ ØÓÙÐ Õ ØÓÒ k = 0 Ð Ó ÔÓ Ø Ø ÔÓÙ Õ Ø¹ ÞÓÒØ Ñ ØÓÙ ÔÒ ÙØÓ Ò Ø ÙØÓØ Ó º ³ ØÛ Ø i 1,i 2 ( ) N (k) 1,J N (k) 1,GS Ò Ø Ñ Ö Ø Ö ÓÕ i Ñ 1 i 1 < i 2 n Ø ( ) ÓÔÓ a (k) i 2 i 1,J = a (k) i 2 i 1,GS 0º È Ö Ø Ö À Ô ÖÔØÛ n (k) 1,J = 1 Ü Ø ¹ Ø Ó ÓÐÓ Ð ÖÛ Ô ÖÔØÛ n (k) 1,J 2ºµ Ì Ø ØÓ Ø ÐÓ Ø (k+1)oστης Jacobi Ô Ò Ð Ý Ø ØÓ Õ Ø i oστης 1 i oστης 2 Ø Ð ØÓÙ A (k+1) J Ò a (k+1) ji,j = a (k) ji,j r i(a (k+1) J ), r i (A (k+1) J ) = s i(a (k) J ) + ε a (k) ii,j + ε (< 1), j = 1(1)n, i = i 1,i 2. Ø Ò Gauss-Seidel Ô Ò Ð Ý Ñ Ø Ø Ò i oστη 1 ÛØ Ö Ô Ò Ð Ý Ø ØÓ ¹ Õ Ø i oστης 1 Ø Ð Ò Ö ô Ø Ñ Ø ÒØ ØÓ Õ Ø Jacobi Ô Ò ¹ Ð Ý ÔÖÓ ÓÙÑ ÒÛ Ð ÔÓÙ a (k+1,i 1) ji 1,GS = a (k+1,i 1 1) ji 1,GS r i1 (A (k+1,i 1) GS ), j = 1(1)n, a (k+1,i 1) ji 1,GS = a (k+1) ji 1,J, r i 1 (A (k+1,i 1) GS ) = r i1 (A (k+1) J ). ÒØ Ø Ø ØÓ Õ Ø i oστης 2 Ø Ð ÐÐ ÞÓÙÒ Ø ØÓ ØÓ Õ Ó Ø Ò i 2,i 1 µ ØÓÙ A (k+1,i 1) GS r i2 Û Õ ÐÐ Ü º ÌÓ ÓÒ ÙØ ÓÖÞ Ø ÔÓ Ø Ø s i2 s i2 (A (k+1,i 2 1) GS ) = s i2 (A (k+1,i 1) GS ) = s i2 (A (k+1,i 1 1) GS ) a (k+1,i 1 1) i 2 i 1,GS + a (k+1,i 1) i 2 i 1,GS, r i2 (A (k+1,i 2) GS ) = s i 2 (A (k+1,i2 1) GS )+ǫ. a (k+1,i 2 1) i 2 i 2,GS +ǫ ¾¼
³ Ö a (k+1,i 1) i 2 i 1,GS < a(k+1,i 1 1) i 2 i 1,GS s i2 (A (k+1) J ) = s i2 (A (k+1,i 1) GS ) = s i2 (A (k+1,i 2 1) GS ) < s i2 (A (k) Ô ÔÓÙ ÔÖÓ ÔØ Ø r i2 (A (k+1,i 2) GS J ) ) < r i2 (A (k+1) J ). ÔÓÑ ÒÛ Ó Ô ÐÙØ Ø ¹ Ñ ÐÛÒ ØÛÒ Ñ Ñ Ò ôò ØÓ Õ ÛÒ Ø i oστης 2 Ø Ð ØÓÙ A (k+1,i 2) GS ¹ Ò Ù Ø Ö Ñ Ö Ø Ö Ô Ø Ô ÐÙØ Ø Ñ ØÛÒ ÒØ ØÓ ÕÛÒ ØÓ Õ ÛÒ ØÓÙ A (k+1) J º È Ö Ø Ö ËØ Ò Ô ÖÔØÛ Ø Gauss-Seidel Ô Ò Ð Ý ÙÒ Õ¹ ÞÓÒØ Ô Ø Ò i oστη 1 ÛØ Ö Ô Ò Ð Ý Ø Ò i oστη 2 Ò ÙÒ ÒØ Ñ Ò Ø i (i 1,i 2 ) Ø ØÓ ÓÒ ô Ø n (k+1,i ) 1,GS = n (k+1,i 1) 1,GS + 1 Ø Ø Ó i Ô Þ ØÓ Ö ÐÓ ØÓÙ i 2 ºÐÔºµ ÔÓÑ ÒÛ N (k+1) 1,J N (k+1) 1,GS n (k+1) 1,J n (k+1) 1,GS. Ò n (k) 1,J = 1 i 1 Ò Ó Ø Ø Ö ÑÑ ØÓÒ ÓÔÓÓ Ù Ø Ö Ò Ø ¹ Ø Ø ¾º µ Õ Ø Ø Ñ Ø Ø Ò Ø Ð Ø i oστης 1 ÛØ Ö Ô Ò Ð Ý Ø (k + 1) oστης ÜÛØ Ö Ø Gauss-Seidel Ô Ò Ð Ý Ø Ø ¹ Ò ÔÛ ÔÖ Òº ÇÔ Ø ÔÖÓ ÔØÓÙÒ ÙÓ Ô Ö ÔØô µ Ã Ñ Ô Ø Ô ÐÓÙ Ö ÑÑ Ò ÒÓÔÓ Ø Ò Ò Ø Ø Ø ¾º µº ÈÖÓ Òô Ø Ò Ô ÖÔØÛ ÙØ ØÓ Ø ÐÓ Ø (k + 1) oστης ÜÛØ Ö Ô Ò Ð Ý Õ ÓÙÒ A (k+1) GS = A (k+1) J N (k+1) 1,J N (k+1) 1,GS. µ ÌÓÙÐ Õ ØÓÒ Ñ Ô ÐÓÙ Ö Ñ¹ Ñ ÒÓÔÓ Ø ¾º µº Ì Ø ÙÑ ÓÐÞÓÙÑ Ñ i 2 ØÓ Ñ Ö Ø ÖÓ Ø ÙØ Ø Ö ÑÑ º ³ÇÔÛ Ò Ò Ö Ö Ñ Ø Ü Ò Ø Ô ÖÔØÛ ÔÛ ÙØ ÔÓÙ Ü Ø Ñ Ø Ò ÖÕ Ø Ô Ü º ÌÓ ÃÖ Ø Ö Ó Å Ö Ç Gauss-Seidel ÓÐÓÙ ØÓ ÔÒ Ñ ØÓÙ ÔÖÓ Ó Ñ ÒÓÙ Ö Ø ÖÓÙ Ø Gauss-Seidel ØÓ ÓÔÓÓ Ò ÛÑ ØôÒ Ø Ø ¾½
Ñ Ö Ó Ø Ð Ô ÐÓ ØÓÙ Gaussº ËÙ Ö Ñ Ò ÛÖÓ ¹ Ñ Ø Ð Ó n 1 (A) Ö ÑÑ ÔÓÙ ÒÓÔÓ Ó Ò Ø Ò Ò Ø Ø Ø ¾º µ ÒØ ØÓ ÕÓ Ò ØÓÙ Ø 1 i 1 < i 2 < < i n1,ppgs n Ó ÒØ ØÓ Õ Ø Ð ØÓÙ ÒØ Ñ Ø Ø ÒØ Ñ ÓÔ Ò Ø Ð ÓÙÒ Ø ÔÖôØ n (1,0) 1,PPGS n 1,PPGS º ËØÓÒ ÔÖÓ Ó Ñ ÒÓ ÙÑ ÓÐ Ñ ÕÖ ÑÓ¹ ÔÓ Ó Ñ ØÓ Ô ÔÖ ØÓ Ñ ÓÐÓ PP Ø Ò ÓÒØ Ñ ØÓ ØÖ ÔÓ ÙØ Ø Å Ö Ç Partial Pivotingµº Ç ÓÖ Ò ÐÐ ÔÓÙ ÕÖ Þ Ø Ò ÒÓÙÒ Ø Ö ÓÒØ ÔÛ Ø Ò Ô ÖÔØÛ Ø Å Ö Ç Ø Ð Ô ÐÓ ØÓÙ Gauss Ò n Ø ØÓ ÒÙ Ñ ÔÓÙ ÐÓ Ñ indexº ÙØ ÙÐÓÔÓ Ø Û Ü ËØ Ò ÖÕ Ó index(a) Ô Ö Õ Ø n ØÓÙ ØÓÙ Ö ÑÓ Ô 1 Û n ÜÓÙ Ö º Ô Ò Ð Ý Ó Ö ÑÓ i 1,i 2,...,i (1,0) n 1,PPGS ËØ ÙÒ Õ ÔÖÒ Ø Ð Ø ÔÖôØ ÜÛØ Ö ÒØ Ñ Ø Ø ÒØ Ñ ØÓÙ Ö ÑÓ 1(1)n (1,0) 1,PPGS, ÒØ ØÓ Õ Ø ô Ø Ó ÔÖôØÓ Ò Ø Ð Ñ ÒÓÙÒ Ø n(1,0) 1,PPGS ÔÖôØ ØÓÙ Ò Ñ ØÓ ÙØÓ º À ÔÖôØ ÛØ Ö Ô Ò Ð Ý Ô Ü Ö¹ Þ Ø Ø Ò i 1 Ö ÑÑ Ø Ð µ ØÓÙ ÔÒ ÓÔÓ Ö Ø ØôÖ Ø ÔÖôØ ØÓÙ index (1,0) PPGS º ÙÔÓ ÓÙÑ Ø Ø Ø Ò ÓÐÓ Ð ÖÛ Ø ÔÖôØ ( ) ÛØ Ö Ô Ò Ð Ý Ö Ø Ò Ø j /N (1,0) 1,PPGS Ò ÒÓÔÓ Ø Ò a (1,i 1) jj,ppgs > n l=1, l j a(1,i 1) lj,ppgs º Ç Ø ÙØ j ÒØ Ñ Ø Ø Ø Ñ ØÓÒ ÒØ ØÓ ÕÓ Ø Ò n (1,0) 1,PPGS +1 ØÓÙ Ò Ñ ØÓ index(1,0) PPGS ÒÓÑ Þ Ø index (1,1) PPGS º ÌÓ ÔÐ Ó n(1,0) 1,PPGS ØÓ ÓÔÓÓ Ñ ØÓ¹ ÙÜ Ò Ø Ø Ò Ó Ö Ñ ¾¾
j Ò ÛÑ ØôÒ Ø ØÓ ÒÓÐÓ N (1,0) 1,PPGS Ó ÙÓ ÔÓ Ø Ø Ñ ØÓÒÓÑ ÞÓÒØ Ø ÐÐ Ð º È Ö Ø Ö Ò ÖÓ Ñ Ô Ö Ø ÖÓÙ ØÓÙ Ò Ø ØÛ r ÔÓÙ ÒÓÔÓ Ó Ò Ø ¾º µ Ø Ø ÙØÓ Ó r Ø ÒØ Ñ Ø Ø ÒØ Ø ÐÐ ¹ Ð Ø ô Ø Ò Ø Ð ÓÙÒ Ø Ô Ñ Ò r ØÓ index (1,1) PPGS ÒÙ Ñ ºµ ÈÖÓ Òô Ò j > i 1 Ñ Ó Ó Ö ÓÙ Ø Ô Ø Ò Gauss-Seidel Ô Ò Ð Ý Ø Ó ÙÓ Ô Ü Ö ÞÓÒØ Ø Ö ÑÑ Ø Ð µ j Ø Ø Ö Ø ÔÖôØ ÜÛØ Ö Ô Ò Ð Ý º È Ö Ð ÙØ Ò j < i 1 Gauss- Seidel Ô Ò Ð Ý Ø Ö ½ Ô Ü Ö Þ Ø Ø Ö ÑÑ Ø Ð µ j Ø Ø Ö ÜÛØ Ö Ô Ò Ð Ý Òô Gauss-Seidel Ô Ò Ð Ý Ñ Å Ö ¹ Ç ÔÖ Ñ Ø Ô Ü Ö Þ Ø Ø Ö ÑÑ ÙØ Ø Ò ÔÖôØ ÜÛØ Ö Ô Ò Ð Ý º ÌÓ ÓÒ ÙØ Õ ØÓ ÔÖÓ Ò ÔÐ ÓÒ Ø Ñ Ø Ü Ø Ø Õ Ø Ø Ð Ò Ô Ò Ð Ý Ô Ñ Ø Ø Ò ÓÐÓ Ð ÖÛ ØÛÒ ÔÖôØÛÒ ÛØ Ö ôò Ô Ò Ð Ý ÛÒ Ø ÙÓ Ñ ÓÙ ÕÓÙÑ N (1,i 1) 1,GS N(1,1) 1,PPGS n(1,i 1) 1,GS n(1,1) 1,PPGS. ËØ ÙÒ Õ Ñ Ô Ö ÑÓ Ö ÔÖ Ñ ØÓÔÓ Ø Ñ Ø Ø Ö ÛØ Ö Ô Ò Ð Ý Ñ ØÓ Ø i 2 Û ØÓÙ ÔÖ Ñ ØÓÔÓ Ø Ð ÙØ ÛØ Ö Ô Ò Ð Ý ÔÓÙ ÒØ ØÓ Õ ØÓÒ Ø Ð ÙØ Ó Ò Ó Ø ÔÓÙ Õ ÔÓ ÙØ ØÓ Ô Ò Ò Ò Ó index (1,n 1) PPGS ÒÙ Ñ º ÓÐÓÙ ôòø Ø Ñ Ó Ó Ø Å Ö Ç ÕÓÙÑ Ñ Ø ØÓ Ø ÐÓ Ø ÔÖôØ ÜÛØ Ö Ô Ò Ð Ý Ø N (1,n) 1,GS N(1,n) 1,PPGS n(1,n) 1,GS n(1,n) 1,PPGS. Ô Û Ó Ô Ö Ô ÒÛ Õ Õ ÓÙÒ Ò Ó ÒÛ Ø 1 ÒØ Ø Ø Ô ÓÔÓ Ó ÔÓØ k 1º ÔÓÑ ÒÛ Ñ Ð ÔÓ Ü Ñ ØÓ ÐÓÙ Ó Â ôö Ñ ¾
 ôö Ñ ¾º º à ØÛ Ô Ø ÙÔÓ ØÓÙ Â ÛÖ Ñ ØÓ ¾º Ñ ÛÒ Ñ ØÓÙ ÙÑ ÓÐ ÑÓ ÔÓÙ Õ Ò Õ Ø ØÓ ÃÖ Ø Ö Ó Å Ö Ç Gauss-Seidel Ù ÐÒ ØÓÙÐ Õ ØÓÒ Ø Ó Ö ÓÖ Ó ØÓ ÒØ ØÓ ÕÓ Ø Gauss-Seidelº Ô ÔÐ ÓÒ Ó ÒØ ØÓ ÕÓ Ð Ö ÑÓ Ø ÖÑ ØÞ Ø Ô Ô Ö Ñ ÒÓ Ö Ñ Ô Ò Ð Ý ÛÒ Ò Ñ ÒÓ Ò Ó A Ò Ò H ÔÒ Ô Ö Ò Ø ÔÒ D D A. ËØ ÙÓ Ô Ñ Ò Ô Ö Ö ÓÙ ÕÓÐ Ó Ñ Ñ ØÓÒ ØÖ ÔÓ ÔÖÓ Ó¹ Ö ÑÓ Ò H ÔÒ º Ç ÔÖÓ ÓÖ Ñ Ò Ñ H ÔÒ Ó Ñ Û Ñ Ø º ¾º Ç ÌÖ Ô Ò Ð ÔØ Ó Ð Ö ÑÓ ËØ Ò ÔÖÓ Ó Ñ Ò Ô Ö Ö Ó Ù Ö Ñ Ò Ø Â ÛÖ Ñ Ø ¾º ¾º Ü Ñ Ø Ó Ð Ö ÑÓ Ø Gauss-Seidel Ù ÐÒ Ö ÓÖ Ø Ö Ò Ô Ò Ð Ý Ô ØÓÒ ÒØ ØÓ ÕÓ Ø Jacobi Ó Ð Ö ÑÓ Ø Gauss-Seidel Ñ Å Ö Ç Ö ÓÖ Ø Ö Ô ÙØ Ò Ø Gauss-Seidelº ËØÓ ÙÔ ÐÓ ÔÓ Ø Ô Ö Ö ÓÙ Ô Ö Ö ÝÓÙÑ Ø ØÖ Ñ Ö ØÛÒ Ð ÓÖ ÑÛÒ Jacobi, Gauss- Seidel Å Ö Ç Gauss-Seidel ÔÓÙ Ø ÙÓ ÔÖôØ Ñ Ö Ò Ó Ò ØÓÙ ØÖ º ØÓ Ð Ó ÙØ Ó Ö ÓÖ ØÓÙ ÖÒÓÒØ ØÓ ØÖØÓ Ñ ÖÓº ÈÖÓ ØÓ Ô Ö Ò Ô ÒØÖÛ Ó Ñ ØÓ ÖôØ Ñ Ô Ø Ò Ó Ñ ÒÓ ÔÒ A C n,n Ò Ò H ÔÒ º Ë Ò Ö ÑÑ ÓÐÓÙ ÓÙÑ Ø Ò Ö Ô Û Ô ØÓÒ Ð Ö ÑÓ H Ø Ö ¾ ÔÓÙ Ñ ôò Ø Ø Ó Ð Ö ÑÓ Ø Ö ¾ ¾ Ò Õ Ò Ø Ò ÐÓ º  ÔÖ Ô Ô Ò Ñ Û Ø Ø Ð ÔÓÙÑ ÔÖÓ ØÓ ¾
Ô Ö Ò Ø Ò Ø Ñ Ø ÐÐ Ù ÓÔÓ ÔÓØ Ö Ø Ø º ÌÓ Ñ ÙØ Ô Ü Ö ØÓ Ñ Ø Ò Ô Ñ Ò Ô Ö Ö Ó ÔÓÙ Ò ÔØÙÕ Ô Ö Ø ÖÛ Ö Ø ½ º Å ÊÇË Á i = 1(1)n Ò Ò a ii = 0 Ø Ø Ó A Æ Ò H ÔÒ Ì ÄÇ˺ Ø ÐÓ Ò Ø ÐÓ È Ò Å ÊÇË ÁÁ Å ÊÇË ÁÁ n 1 = 0 i = 1(1)n Ò ÍÔÓÐ s i = j i a ij Ò a ii > s i Ø Ø n 1 = n 1 + 1 Ø ÐÓ Ò Ø ÐÓ Ò n 1 = n Ø Ø Ó A ÁÆ Á H ÔÒ Ì ÄÇ˺ Ø ÐÓ Ò Ò n 1 = 0 Ø Ø Ó A Æ Ò H ÔÒ Ì ÄÇ˺ Ø ÐÓ Ò È Ò Å ÊÇË ÁÁÁ ¾
Å ÊÇË ÁÁÁ ØÓÙ Jacobi Ô Ò Ð ÔØ Ó ÃÖ Ø ÖÓÙµ  diag i = 1, i = 1(1)n N 1 = i = 1(1)n Ò Ò a ii > s i Ø Ø N 1 = N 1 {i} Ø ÐÓ Ò Ø ÐÓ k = 1(1)maxiter Ò i = 1(1)n Ò Ò i N 1 Ø Ø ÍÔÓÐ d i = s i+ε a ii +ε diag i = diag i d i a ji = a ji d i, Ø ÐÓ Ò Ø ÐÓ j = 1(1)n Ò Ñ ÖÛ s i i = 1(1)n i = 1(1)n Ò Ò i /N 1 Ø Ø Ò a ii > s i Ø Ø n 1 = n 1 + 1 N 1 = N 1 {i} Ò n 1 = n Ø Ø Ó A ÁÆ Á H ÔÒ Ì ÄÇ˺ Ø ÐÓ Ò Ø ÐÓ Ò Ø ÐÓ Ò Ø ÐÓ Ø ÐÓ ¾
Ò ÔÓØ Ð Ñ Ø Ñ Û ε Ü maxiter Ì ÄÇ˺ Å ÊÇË ÁÁÁ ØÓÙ ÃÖ Ø ÖÓÙ Gauss Seidel Ô Ò Ð Ý µ  diag i = 1, i = 1(1)n N 1 = i = 1(1)n Ò Ò a ii > s i Ø Ø N 1 = N 1 {i} Ø ÐÓ Ò Ø ÐÓ k = 1(1)maxiter Ò i = 1(1)n Ò Ò i N 1 Ø Ø ÍÔÓÐ d i = s i+ε a ii +ε diag i = diag i d i ; a ji = a ji d i, j = 1(1)n j = 1(1)n j iµ Ò Ò Ñ ÖÛ s j = l j a jl Ò j /N 1 Ø Ø Ò a jj > s j Ø Ø n 1 = n 1 + 1 N 1 = N 1 {j} Ò n 1 = n Ø Ø Ó A ÁÆ Á H ÔÒ Ì ÄÇ˺ Ø ÐÓ Ò Ø ÐÓ Ò Ø ÐÓ Ò Ø ÐÓ Ø ÐÓ Ò ¾
Ø ÐÓ Ø ÐÓ Ò ÔÓØ Ð Ñ Ø Ñ Û ε Ü maxiter Ì ÄÇ˺ Å ÊÇË ÁÁÁ Ø Gauss Seidel Ô Ò Ð Ý Ñ Å Ö Ç µ  diag i = 1, i = 1(1)n  index i = i, i = 1(1)n  l = 0 i = 1(1)n Ò Ò a ii > s i Ø Ø l = l + 1 ³ ÐÐ Ü Ø Ô Ö Õ Ñ Ò index i index l Ø ÐÓ Ò Ø ÐÓ k = 1(1)maxiter Ò i = 1 ÓÒ i n 1 Ò j = index i ÍÔÓÐ d j s j +ε a jj +ε diag j = diag j d j a mj = a mj d j, m = 1(1)n l = n 1 + 1 m = l(1)n Ò Â p =index m Ò Ñ ÖÛ s p Ò a pp > s p Ø Ø n 1 = n 1 + 1 N 1 = N 1 {p} ³ ÐÐ Ü Ø Ô Ö Õ Ñ Ò index n1 index m Ò n 1 = n Ø Ø Ó A ÁÆ Á H ÔÒ Ì ÄÇ˺ ¾
Ø ÐÓ Ò Ø ÐÓ Ò Ø ÐÓ i = i + 1 Ø ÐÓ ÓÒ Ø ÐÓ Ò ÔÓØ Ð Ñ Ø Ñ Û ε Ü maxiter Ì ÄÇ˺ ËØ Ò Ô Ñ Ò Ô Ö Ö Ó Ô ÖÓÙ ÞÓÙÑ Ø Ø Ò Ò ¹ ÔØÙÜ Ø Ô Ø Ø Ñ Ò ËÙÑÔ Ó Å ØÛÔ Extended Compact Profile) Ô Ò Ð ÔØ Å ÓÙ ÃÖ Ø ÖÓÙµ Ø Ö µ ØÓ Gauss-Seidel Ô ¹ Ò Ð ÔØ ÃÖ Ø Ö Ó Ð Ö ÑÓµ H ÔÒ ØÓ ÓÔÓÓ ÔÓØ Ð Ñ Ô Ö Ø ÖÛ Ô Ø ØÓÙ Ö Ø ÖÓÙ Ø Ö ½ º Â Ò Ô Ò Ö Ø ØÓ Ö Ø Ö Ó ÙØ Ò Ø ÐÐ ÐÓ Ñ ÐÓÙ Ö Ó ÔÒ Ò Õ Ø Ñ ÓÒ Ø Ñ Ø ÐÐÛÒ ÒÛ ØôÒ Ñ ÕÖ Ñ Ö ÒØ ØÓ ÕÛÒ Ñ ÛÒº ¾º Ò ÔØÙÜ Ð ÓÖ Ñ Ó ÍÐ Ó ³ÇÔÛ Ò Ö Ñ ÔÖÓ ÓÙÑ ÒÛ Ò ÐÙ Ñ Ô Ø Ò Ø Ñ Ó Ó Ø Ö ½ ÓÔÓ Ñ Ø Ö Ø ÔÓØ Ð Ò Ù Ø ÒØ ØÓ Õ Ø Ò Ö ¾ º Ø Ò Ð Ø Ö Ø Ò ØÓÙ Ô Ö ÕÓÑ ÒÓÙ Ø Ô Ö ¹ Ö ÓÙ ØÛÒ ØÓ Õ ÛÒ ÔÓÙ ÓÒØ ÙØ Ô Ö Ø ÒØ Ñ Þ Ñ Ò Ô ¹ Ü Ñ Ø Ô Ö Ñ º ³ ÙØ ÛÖÓ Ñ Ò Ò ÔÒ A C n,n Ñ n = 5 Ñ Ñ ¹ ÓÑ Ñ Ò Ñ ¹Ñ Ò Ø Ü ØÛÒ ØÓ Õ ÛÒ ØÓÙº ËÙÑ ÓÐ ÙØ Ô Ö ¹ ¾
Ø Ò Ø Ô Ö ØÛ Ø ÑÓÖ ÔÓÙ ÓÐÓÙ ÔÓÙ Ø Ñ ¹Ñ Ò ØÓÙ ØÓ Õ Ñ ôòóòø Ñ º 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 Ã Ø ÖÕ ÓÐÓÙ ôòø Ø Ò ¾ Ñ ÓÙÖ Ó Ñ ØÖ Ò Ñ Ø Ò ¹ ÐÓ Ñ ÙØ Ø Ö ÙØ º Ç ÓÖ Ò Ø ÛÖÓ Ñ ØÓ Ñ ØÖÓ ØÛÒ Ñ ¹Ñ Ò ôò ØÓ Õ ÛÒ ÒØ ØÛÒ ÛÒ ØÛÒ ØÓ Õ ÛÒ Ô Ø Ø Ü Ø ÞÓÙÑ Ø Ø Ð ÒØ Ø Ö ÑÑ º ³ ØÛ ÐÓ Ô Ò A C n,n Ò Ó Ñ ÒÓ ÔÒ ÔÓÙ Ò Ö Õ Ò Ò Ñ Ñ ¹ ÓÑ Ñ Ò Ø Ü ØÛÒ Ñ Ò ôò ØÓ Õ ÛÒ ØÓÙº ÓÐÓÙ ôòø ÙÖÛ Ø Ò Ö ½ ÛÖÓ Ñ Ô Ö ØÛÒ ØÖ ôò Ø Ö ¾ ÔØ ÙÒÓÐ Ò Ñ Ø º ËÙ Ö Ñ Ò i) ³ Ò ÒÙ Ñ ØÓ ÓÔÓÓ ÙÑ ÓÐÞÓÙÑ Ñ ac Ñ ØÓ Õ Ø Ô ÐÙØ Ø Ñ ØÛÒ Ñ Ñ Ò ôò ØÓ Õ ÛÒ ØÓÙ Ó Ñ ÒÓÙ ÔÒ a ij 0, i,j = 1(1)n, Û ÔÖÓ Ø Ð Ñ Ù Ø Ü Ò Ñ Ô Ø Ò Ô ÒÛ Ö Ø Ö Û Ø ØÛ Ü ÛÒ º ³ ØÛ Ø nc Ò ØÓ ÔÐ Ó ØÓÙ ØÓ ÓÔÓÓ Ò Ô ØÓ Ñ Ó ØÓÙ Ò Ñ ØÓ acº ³ Ö Ø Ò Ô ÖÔØÛ ØÓÙ Ô Ö Ô ÒÛ ÔÒ nc = 15 ØÓ ÒÙ Ñ ac Ò ØÓ Ü 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 ac a 11 a 21 a 51 a 22 a 32 a 52 a 23 a 33 a 43 a 53 a 24 a 44 a 15 a 45 a 55 º ¼
ii) ³ Ò ÒÙ Ñ iar Ñ ÓÙ nc ØÓÙ ÓÔÓÓÙ ØÓ Õ Ó Ò Ø ØÓ Ó ô Ø Ó iar i, i = 1(1)n, ÙÔÓ ÐôÒ Ø Ø Ð ÔÓÙ Ö Ø ØÓ ac i º ³ Ø Ø Ô ØÓÒ ÔÒ A ØÓ ÒÙ Ñ ac ØÓ ÒÙ Ñ iar Ò ØÓ ÐÓÙ Ó 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 iar 1 2 5 2 3 5 2 3 4 5 2 4 1 4 5 º iii) ³ Ò ÒÙ Ñ ic Ñ ÓÙ n + 1 ØÓÙ ÓÔÓÓÙ ØÓ Õ Ó ÓÖ¹ Þ Ø ØÓ ÒÙ Ñ ac ÔÓÙ Ø Ð Ñ Ò Ø Ô ØÓ ÔÖôØÓ Ñ Ñ Ò ØÓ Õ Ó Ø ÒØ ØÓ Õ Ø Ð Ñ ic 1 = 1 ic n+1 = nc + 1º ÈÖÓ Òô Ó ÓÖ ac i+1 ac i, i = 1(1)n, ÒÓÙÒ ØÓ ÔÐ Ó ØÛÒ Ñ Ñ Ò ôò ØÓ Õ ÛÒ Ø Ò i oστη Ø Ð ØÓÙ Aº ËØ Ò Ô ÖÔØÛ Ñ ÐÓ Ô Ò ÕÓÙÑ 1 2 3 4 5 6 ic 1 4 7 11 13 16 º Ô ØÓ ic Ô Ö Ô ÒÛ ic(3) = 7 ÙÔÓ ÐôÒ Ø ØÓ ÔÖôØÓ Ñ ¹Ñ Ò ØÓ Õ Ó Ø Ø Ð ØÓÙ A ÑÔÓÖ Ò Ö ØÓ ac(7) Ô ÔÖ Ø Ô iar(7) = 2 ÙÔÓ ÐôÒ Ø ØÓ ØÓ Õ Ó ÙØ Ò Ø ¾ Ö ÑÑ ØÓÙ Aº ³ Ø ØÓ ØÓ Õ Ó a 23 Ò ÒØÛ ØÓ ØÓ Õ Ó ac(7)º Ô ÔÐ ÓÒ Ô ØÓ ic ÕÓÙÑ Ø i = 3 ic(4) ic(3) = 11 7 = 4 к Ø Ñ ¹Ñ Ò ØÓ Õ Ø Ø Ð ØÓÙ A Ò Ø Ö º Ì Ñ ØÖ ØÓÙ ÑÔÓÖÓ Ò Ò Ö Ó Ò Ø ac(7) ac(8) ac(9) ac(10) ÒØ ØÓ Õ Ø ØÓ Õ ÙØ Ò ÓÙÒ Ø Ö ÑÑ iar(7) = 2 iar(8) = 3 iar(9) = 4 iar(10) = 5 ØÓÙ Aº ÙØ Ò ÔÖ Ñ Ø Ø ØÓ Õ a 23 a 33 a 43 a 53 º ½
iv) ³ Ò ÒÙ Ñ idiagc Ñ ÓÙ nº À ÙÒ Øô idiagc i, i = 1(1)n ÓÖÞ Ø ÔÓÙ Õ ØÓ ØÓ Õ Ó a ii Ò Ñ Ø ÙÒ Øô ic i (1) ic i+1 1 ØÓÙ ac ÓÖ Ø Ø ÔÓÙ Õ ØÓ a ii ØÓ ØÑ Ñ ØÓÙ ac ÔÓÙ Ô Ö Õ Ø Ñ ¹Ñ Ò ØÓ Õ Ø ÒØ ØÓ Õ Ø Ð º ËÙ Ö Ñ Ò 1 2 3 4 5 idiagc 1 1 2 2 3 º ³ Ø idiagc(4) = 2, ÙÔÓ ÐôÒ Ø ØÓ ¾Ó ØÓ Õ Ó Ñ Ø Ü ØÛÒ ÙÒ ØÛ ôò ic(4) = 11 ic(5) 1 = 13 1 = 12 ØÓÙ ac Ò ØÓ Þ ØÓ Ñ ÒÓ ôò Ó ØÓ Õ Óº ³ Ø ØÓ ¾Ó ØÓ Õ Ó 12 ÙÔÓÒÓ Ø ØÓ ôò Ó ØÓ Õ Ó a 44 Ò ½¾ ÙÒ Øô ØÓÙ acº v) ³ Ò ÒÙ Ñ sumr Ñ ÓÙ n ÖÕ Ñ Ò Ø ØÓ Ó ô Ø sumr i, i = 1(1)n, Ò Ô Ö Õ ØÓ ØÖ ÕÓÒ n j=1, j i, a ij =0 a ij. ËØ Ò Ô ÖÔØÛ Ñ ØÓ ÒÙ Ñ sumr Õ n = 5 ÙÒ Øô Ò ÖÕ ØÓ ÒÙ Ñ 1 2 3 4 5 sumr 0 0 0 0 0 º vi) ³ Ò ÒÙ Ñ boole Ñ n ÙÒ Øô Ñ Ó ÓÔÓ Ð Ñ ÒÓÙÒ Ø Ñ 1 0º Ø ØÓ Å ÊÇË ÁÁ Ø Ò ÖÕ ØÓÙ Å ÊÇÍË ÁÁÁº ÖÕ Ó ÙÒ Øô Ø ÒØ Ñ Ø Ø Ñ 1 0 Ò ÐÓ Ñ ØÓ Ò ÒØ ØÓ Õ Ö ÑÑ Ò Ù Ø Ö ôò ÙÔ ÖØ Ö Õ º Ã Ø Ø Ö Ø Ø Ð ØÓÙ Å ÊÇÍË ÁÁÁ ØÓÙ Ð ÓÖ ÑÓÙ boole i = 1 Ò Ñ ÒÓÒ Ò a ii > n j=1, j i, a ij =0 a ij. Ò Ó A Ò Ò H ÔÒ Ð Ø ØÓ Õ ØÓÙ ÕÓÙÒ Ø Ð Ø Ò Ø Ñ 1º ¾
ËØ Ò Ô ÖÔØÛ Ñ ØÓ boole Õ n = 5 ÙÒ Øô º Ò Ô Ö Ñ Ù Ø Ö ôò ÙÔ ÖØ Ö Ö ÑÑ Ò ÔÖôØ ØÖØ Ô ÑÔØ Ö ÑÑ Ø Ø ØÓ boole Õ Ø ÑÓÖ 1 2 3 4 5 boole ½ ¼ ½ ¼ ½ º vii) ³ Ò ÒÙ Ñ diag Ñ n ØÓ Õ º ÖÕ Ð ÙØ Ò Ñ 1º ÌÓ ÒÙ Ñ ÙØ Ò Ñ ÖôÒ Ø Ñ Ø Ô Ô Ò Ð Ý Ò Ó A Ò Ò H ÔÒ Ó Ð Ö ÑÓ Ø ÖÑ ØÞ Ø Ô ØÙÕô Ô Ö Õ Ø ØÓ Õ ØÓÙ Ø Ó ôò ÓÙ ÔÒ D D A Ø ô Ø Ó AD Ò Ø Ö ÑÑ Ù Ø Ö ôò ÙÔ ÖØ ÖÓº 1 2 3 4 5 diag 1 1 1 1 1 º Ô ÔÖ Ø ÛÖÓ Ñ Ñ Ò ÒÙ Ñ º viii) ËØ Ò Ô ÖÔØÛ ØÓÙ Gauss-Seidel Ñ Å Ö Ç Ô Ò Ð ¹ ÔØ Ó ÃÖ Ø ÖÓÙ ÛÖÓ Ñ Ò ÒÙ Ñ index Ñ ÓÙ n Ø Ò ÖÕ ØÓÙ Å ÊÇÍË ÁÁÁº ÖÕ Ô Ö Õ Ø n ØÓÙ Ö ÑÓ Ô 1 Û n Ñ ÜÓÙ Ö º ËØ ÙÒ Õ Ó n 1 ÔÖôØ ØÓÙ Ø ÒØ Ñ ØÓÙ Ø Ù Ø Ö ôò ÙÔ ÖØ ÖÛÒ Ö ÑÑôÒ ÔÖ Ñ ØÓÔÓ ôòø Ø Ð¹ Ð Ð ÒØ Ñ Ø ³ ÙØ ÕÖ ÑÓÔÓ ôòø Ø Ô Ö Õ Ñ Ò ØÓÙ Ò Ñ ØÓ booleº Ì Ø ÛØ Ö Ô Ò Ð Ý Ñ ÜÛØ Ö Ô Ò Ð Ý Ø Ò ÓÔÓ Ñ Ò Ö ÑÑ Ö ÑÑ µ Ö Ø Ò Õ Ø Ò Ù Ø Ö ôò ÙÔ ÖØ Ö Ø Ø Ó Ø Ö ÑÑ Ø ÒØ Ñ Ø Ø Ø Ñ ÙØ Ò Ø Ò ØÖ ¹ ÕÓÙ (n 1 + 1) oστη ØÓ n 1 ÙÜ Ò Ø Ø 1 ÒØ ØÓ Õ ØÓ
ÒÙ Ñ boole Ø Ø Ñ 1º Ò Ó A Ò Ò H ÔÒ Ø Ø Ü ÖÕ ¹ Ñ ÒÓ Ô ØÓ Å ÊÇË ÁÁÁ n 1 = n ØÓ boole Õ Ð Ø ØÓ Õ ØÓÙ Ñ 1 ØÓ index Ô Ö Õ ÐÓÙ ØÓÙ Ø Ö ÑÑôÒ Ô ØÓ 1 Û n Ñ Ø Ø Ü ÔÓÙ Ö Ò Ò ÒÓÔÓ Ó Ò Ø Ò Ù Ø Ö ôò ÙÔ ÖØ Ö Ø Ø º ¾º ËÕ Ð ËØ ÙÒ Õ Ô Ö ØÓÙÑ ÓÖ Ñ Ò Õ Ð Ô ÒÛ ØÓÙ ØÖ Ð ÓÖ ¹ ÑÓÙº i) Ã Ò Ô ØÓÙ ØÖ Ð ÓÖ ÑÓÙ ÔÛ Ò Ø ÖÑ Ø¹ Þ Ø Ô Ô Ö Ñ ÒÓ Ö Ñ Ô Ò Ð Ý ÛÒ Ò Ñ ÒÓÒ Ò Ó ÔÒ A Ò Ò H ÔÒ º ii) Ã Ó ØÖ Ð Ö ÑÓ ÑÔÓÖÓ Ò Ò ØÖÓÔÓÔÓ Ó Ò Ð Õ Ø Ø ô Ø Ò ÑÔÓÖÓ Ò Ò Ò ÒÛÖÞÓÙÒ Ù Ö Ñ Ò Ð Ñ ¹H¹Ô Ò ÛÒ A C n,n º Ì ØÓ Ó Ò Ó ÔÒ ØÓÙ ÓÔÓÓÙ ÙÔ ÖÕ Ø ôò Ó Ô¹ Ò D R n,n Ø ô Ø Ó AD Ò Ò Ø Ö ÑÑ µ Ù Ø Ö ôò Ñ ¹ÙÔ ÖØ ÖÓ Ð a ii d ii < n j=1, j i a ij d jj, i = 1(1)n. ¾º½µ ÈÖ Ô Ò Ô Ö Ø Ö ÓÙÑ ô Ø Ø ØÓ ÓÙ ÔÒ Ñ Ø Ô Ð Õ Ø ØÖÓÔÓÔÓ ØÓÙ Ð ÓÖ ÑÓÙ Ø Â ÛÖ Ñ Ø ¾º ¾º ¾º Õ ÓÙÒ Ð¹ Ð ÞÓÒØ Ø Ò Ö H ÔÒ Ñ Ø Ò Ñ H ÔÒ Ó ÓÔÓÓ Ò Ø Ö ÑÑ µ Ù Ø Ö ôò Ñ ¹ÙÔ ÖØ ÖÓº À ÛÖ Ø Ô Ü Ø Ò Ô ÖÔØÛ ØÓÙ Jacobi Ô Ò Ð ÔØ Ó ÃÖ Ø ÖÓÙ Õ Ò ÒØ Ö Ø Ò Ô ¹
Ü ØÓÙ Â ÛÖ Ñ ØÓ ¾º½ Ø Ö ¾ Ñ Ò Ø Ä ÑÑ Ø ¾º¾ ¾º Ø Ö ÙÒ Ôô Ô Ö Ð Ô Ø º Ì Ø Ø Ò Gauss-Seidel Ø Ò Gauss-Seidel Ñ Å Ö Ç Ô Ò Ð ÔØ Å Ó Ó Ó ÔÓ Ü ÓÐÓÙ Ó Ò Ò ÐÓ ÐÓ Ñ ÙØ ØÛÒ Â ÛÖ Ñ ØÛÒ ¾º ¾º º iii) Ç ÐÐ ÔÓÙ ÔÖ Ô Ò ÒÓÙÒ ØÓÙ Ð ÓÖ ÑÓÙ Ò Ó ¹ ÐÓÙ Å ÊÇË Á Ã Ñ º Å ÊÇË ÁÁ Å ÊÇË ÁÁÁ µ ÐÐ ÞÓÙÑ Ð Ø Ò Ø Ø a ii > s i Ñ a ii < s i. µ ÒØ Ñ Ø ØÓÙÑ Ø Ö Ó A ÁÆ Á Ò H ÔÒ Ó A Æ Ò Ò H ÔÒ ÓÔÓÙ ÔÓØ Ñ ÒÞÓÒØ º iv) Å Ð Ô Ò ÛÒ A ÔÓÙ ÒÓÔÓ Ó Ò Ø ÙÒ ¾º½µ Ò Ó Ñ ¹ ÑÓÖ Ó Ñ ¹ Ò ô ÑÓ ØÛÒ ÓÔÓÛÒ Ó ÔÒ Ö M(A) Ð Ô ÇÖ Ñ ½º¾µ Õ Ñ Ù ÐÒÓÒØ Jacobi Ô Ò Ð ÔØ ÔÒ º È Ö Ø Ö Ø Ò Ô Ü Ø Ò Ô ÖÔØÛ ÔÓÙ ε = 0 Ô Ö Ô ÑÔÓÙÑ ØÓÒ Ò Òô Ø Ø Ò Ö ¾ ºµ v) È Ö Ø ÖÓ Ñ Ø Ð ØÛÒ Ø Ö ÑÑ Ù Ø Ö ôò Ñ ¹ ÙÔ ÖØ ÖÛÒ Ô Ò ÛÒ Ò Ü ÒØÐ Ø Ô Ø Ò Ð ØÓ (iv) Ô Ö Ô ÒÛº ËØ Ò Ó Ó Ò Ò ÓÙÒ ÔÓ Ó Ò ô ÑÓ Ô Ò ØÓÙ ÓÔÓÓÙ Ñ Ð ¹ Ø ÓÙÑ ØÓ Ã Ð Ó º vi) Ò Ø Ð ÜÓÙÑ Å ÓÐÓ Ð ÖÛ Ø Ò ÖÑ ÓÙÑ ÔÓ ÓÒ Ô ØÓÙ ØÖ Ð ÓÖ ÑÓÙ Ø Ø ÔÖ Ò ØÓ Ñ Û ε Ü maxiter
Ø Ò ÕÖ ÑÓ Ò ÖÑ ÓÙÑ Ø Ñ H ÔÒ ÓÕ ØÓÙ ÒØ ØÓ ÕÓÙ Ð ÓÖ ÑÓÙº vii) Ì Ð ÔÖ Ô Ò Ô Ö Ø Ö ÓÙÑ Ø ØÓÙ ØÖ Ð Ó¹ Ö ÑÓÙ Ñ ÓÙÖ Ò Ö Ñ ÙÒ ÖØ ÛÒ Ø MATLAB º Ñ Ò Ø Å ÊÀ Á ÁÁ ÁÁÁ ÙØôÒ Ø ÙÓ ÑÓÖ H Ô Ò ÛÒ Ñ H Ô Ò ÛÒ Ñ ÛÒ Ñ Ø ÛÖ ØÛÒ È Ö Ö ÛÒ ¾º ¾º Ø Ô ÖÓ º ¾º Ö Ñ Ø ÔÓØ Ð Ñ Ø ËØ Ô Ö Ö Ó ÙØ Ô ÖÓÙ ÞÓÙÑ ÔÓ Ô Ö Ñ Ø Õ Ð Ô ÒÛ ³ ÙØ º ³ÇÐ Ø ÔÓØ Ð Ñ Ø ÕÓÙÒ Ø Ð Ø Ñ ε = 10 6 º È Ö Ñ ½ Ò Ò ÔÐ Ô Ö Ñ Ò ÙØ Ø Ò Ö ½ ØÓ ÓÔÓÓ Ô ÖÓÙ Þ Ø Ô Ò È Ö Ñ Ø ¾ º ô Ò Ö Ñ Ø Ø Ò ÖÑÓ ÙÓ Ø ÑôÒ ØÓÙ a 12 Ô Ö ØÛ Ø ÙÓ ÑÓÖ ØÛÒ ØÖ ôò Ð ÓÖ ÑÛÒº Ò Ð ÕÓÙÑ Ñ ÒÓ Ø Ò ÓÖ Ø Ø ÐÐ ØÛÒ Ö Ñ ØÛÒ Ô Ò Ð Ý ÛÒ ÔÓÙ ÕÖ ÞÓÒØ Ò Ô Ø ÕÓÙÑ Û Ø Ô ÒØ ô Ô ØÓÙ CPU ÕÖ ÒÓÙ ÔÓÙ Ô ØÓ ÒØ º 1 a 12 0 0 0 0.5 1 0 0.6 0 A 1 = 0 0.1 1 0 0.5 0 0.5 0 1 0.5. 0.2 0.1 0.3 0 1 ËØ Ò Ö ½ a 12 = 1.146391 ØÓ ÔÓØ Ð Ñ Ø Ò Ø Ó A ÁÆ Á H ÔÒ Òô a 12 = 1.146392 ØÓ ÔÓØ Ð Ñ Ø Ò Ò ÔÓØ ¹
Ð Ñ Ø º ËØ ¾ ÔÓÙ Ñ MATLAB ÙÒ ÖØ Ö Ø Ñ Ñ ÓÖ Ø ÐÓ ÛÖ Ó ÒØ ØÓ Õ Û Ø µ Ô ÒØ ÔÓÙ Ö Ò Ø Ò Ø Ó A ÁÆ Á H ÔÒ Ó A Æ Ò H ÔÒ ÒØ ØÓÕÛº ÙØ Ô ôò Ø Ø Ò Ô ÖÔØÛ ÔÓÙ Ó ØÖ Ð Ö ÑÓ ÖÑÓ ØÓ Ò ÔÛ Ò Ø ØÓÒ ÔÒ ¾º½º Ë Ñ ôò Ø Ø Ø Ñ maxiter = 500 Ø Ò ÙØ ÔÓÙ ÕÖ ÑÓÔÓ Ø Ò Ô ÖÔØÛ Ñ º ÈÒ A 1 a 12 = 1.146391 a 12 = 1.146392 ÃÖ Ø Ö Ó H Õ ¹H H Õ H k 31 maxiter maxiter 877 J CPU 0.010 0.040 ÔÓØ Ð Ñ H ÔÒ Ò ÔÓØ Ð Ñ Ø Ò ÔÓØ Ð Ñ Ø Ñ H ÔÒ k 18 maxiter maxiter 473 GS CPU 0 0.020 ÔÓØ Ð Ñ H ÔÒ Ò ÔÓØ Ð Ñ Ø Ò ÔÓØ Ð Ñ Ø Ñ H ÔÒ k 13 maxiter maxiter 473 PPGS CPU 0 0.070 ÔÓØ Ð Ñ H ÔÒ Ò ÔÓØ Ð Ñ Ø Ò ÔÓØ Ð Ñ Ø Ñ H ÔÒ k 13 maxiter maxiter 473 P P GS1 CPU 0.010 0.010 ÔÓØ Ð Ñ H ÔÒ Ò ÔÓØ Ð Ñ Ø Ò ÔÓØ Ð Ñ Ø Ñ H ÔÒ ÈÒ ¾º½ ÈÒ A 1 CPU CPU time ËØ ÙÒ Õ Ô ÖÓÙ ÞÓÙÑ ØÖ Ô Ö Ñ Ø Ø ÓÔÓ Ð ØÛÒ H Ô Ò ÛÒ ÖÒ Ø Ü Ö Ô Ø Ò ÒØ ØÓ Õ ØÛÒ Ñ H Ô Ò ÛÒº ³ Ö ÑÔÓÖÓ Ñ Ò Ð ÜÓÙÑ Ò Ô Ð ÓÙÑ ØÓÙ Ð Ö ÑÓ Ñ Ø ÒØ ØÓ Õ ÙÒ ÖØ Ø MATLABº ÞÓÒØ Ø ÐÐ ØÓÙ ØÓ Õ ÓÙ a n,n 1 ØÓÙ ÔÒ A = tridiag( 1, 2, 1) R n,n, n = 5 l, l = 1(1)4º ³ÇÔÛ Ò ÒÛ Ø Ó A Ò Ò Ñ Ò ô ÑÓµ Ñ ÑÓÖ Ó M ÔÒ Ö Ð Ó Ö ÙÔÓÓÖÞÓÙ ØÓÙ Ò Ø º Ô ÔÐ ÓÒ ÑÔÓ¹ Ö Ò ÔÓ Õ ÕÖ ÑÓÔÓ ôòø Ô Û Ø det(a) = n + 1.  ØÓÒØ
a n,n 1 = x n Ö ÓÙÑ Ø Ò Ø Ñ ØÓÙ x n Ø Ò ÓÔÓ Ó A Ò Ø ¹ ÑÓÖ Óº Ò ÔØ ÓÒØ Ø Ò det(a(x n )) Û ÔÖÓ Ø Ò Ø Ð ÙØ Ö ÑÑ Ö¹ ÓÙÑ Ø x n = 2 + 2 n 1 lim n x n = 2º Ø ÔÖÓ Ó Ñ Ò n Ø Ñ ÕÓÙÑ x 5 = 5 2 = 2.5 x 10 = 20 9 2.22222222... x 15 = 30 14 = 2.14285714... x 20 = 40 19 = 2.10526315...º ÔÓÑ ÒÛ Ó A(x n) ÕÛÖÞ ØÓÙ M 0 a n,n 1 > x n µ Ô ØÓÙ Ñ M ÔÒ a n,n 1 < x n µº È Ö Ø Ö ¹ ÂÙÑÞÓÙÑ Ø Ó M ÔÒ ÔÓØ ÐÓ Ò Ñ ÙÔÓ Ð ØÛÒ H Ô Ò ÛÒºµ Ë Ô Ö Ñ a n,n 1 Ô ÖÒÓÙÑ Ø ÙÓ ÙÒ Õ Ñ Ò Ø Ñ Ñ ÔÖÓ¹ Ò Ó Ý ÓÙµ Ñ Ø Ü ØÛÒ ÓÔÓÛÒ Ö Ø ØÓ x n º ËØÓÙ Ô Ñ ÒÓÙ ØÖ ÔÒ Ô ÖÓÙ ÞÓÒØ Ø ÔÓØ Ð Ñ Ø Ñ ÒÓ n = 20 Ô Ö ØÓ ÓÒ Ø Ø ÒØ ØÓ Õ ÔÖÓ Ö ÑÑ Ø Ø Ð Ø Ò Ð Ø ÔÖÓ Ò Ö Ù Ö Ñ Ò Ø Ñ ØÓÙ nº È Ö Ñ ¾ A 2 = A(x 20 ) R 20,20 º ÈÒ A 2 a 20,19 = 2.1 a 20,19 2.2 ÃÖ Ø Ö Ó H Ñ ¹H H Ñ H k 301 maxiter maxiter 697 J CP U 0.030 0.130 ÔÓØ Ð Ñ H ÔÒ Ò ÔÓØ Ð Ñ Ø Ò ÔÓØ Ð Ñ Ø Ñ H ÔÒ k 142 maxiter maxiter 358 GS CP U 0 0.010 ÔÓØ Ð Ñ H ÔÒ Ò ÔÓØ Ð Ñ Ø Ò ÔÓØ Ð Ñ Ø Ñ H ÔÒ k 142 maxiter maxiter 358 P P GS CP U 0.010 0.020 ÔÓØ Ð Ñ H ÔÒ Ò ÔÓØ Ð Ñ Ø Ò ÔÓØ Ð Ñ Ø Ñ H ÔÒ k 142 maxiter maxiter 358 P P GS1 CP U 0.010 0.050 ÔÓØ Ð Ñ H ÔÒ Ò ÔÓØ Ð Ñ Ø Ò ÔÓØ Ð Ñ Ø Ñ H ÔÒ ÈÒ ¾º¾ ÈÒ A 2 È Ö Ñ A 3 = A(x 20 ) B ÔÓÙ A(x 20 ),B R 20,20 B Ò
Ò ôò Ó ÔÒ Ñ b ii > 0, i = 1(1)20. Ì ØÓ Õ b ii Ò ÓÑÓ ÑÓÖ¹ Ø Ò Ñ Ñ Ò ØÓ (0, 1) Ñ ÓÙÖ Ó ÒØ ÕÖ ÑÓÔÓ ôòø Ø rand ( seed,n) MATLAB ÙÒ ÖØ º ÌÓ Ò Ñ ÒÓ Ô Ò ÛÒ A(x 20 )B Õ ØÓÒ Ó H ÔÒ Õ Ö Ø Ö Ñ ÔÛ Ó A(x 20 ). ÙØ Õ Ø Ò Ó A(x 20 ) Ò Ò H ÔÒ ÓÔ Ø Ð Ó Ö ÙÔÓÓÖÞÓÙ ØÓÙ ÔÒ Ö ØÓÙ A(x 20 ) Ò Ø º ÔÓÑ ÒÛ Ö ÙÔÓÓÖÞÓÙ ØÓÙ ÔÒ Ö ¹ ØÓÙ A 3 Ò Ò Ø Ö ÙÔÓÓÖÞÓÙ ØÓÙ ÔÒ Ö ØÓÙ M(A(x 20 )) ÔÓÐÐ ÔÐ Ñ Ò Ô Ø ÒØ ØÓ Õ Ø ôò ØÓ Õ ØÓÙ B ÔÓÙ Ò ÔÓØ Ð Ñ Ø º ÈÒ A 3 a 20,19 = 2.1 a 20,19 2.2 ÃÖ Ø Ö Ó H Ñ ¹H H Ñ H k 419 maxiter maxiter 370 J CP U 0.030 0.050 ÔÓØ Ð Ñ H ÔÒ Ò ÔÓØ Ð Ñ Ø Ò ÔÓØ Ð Ñ Ø Ñ H ÔÒ k 212 maxiter maxiter 191 GS CP U 0.010 0.010 ÔÓØ Ð Ñ H ÔÒ Ò ÔÓØ Ð Ñ Ø Ò ÔÓØ Ð Ñ Ø Ñ H ÔÒ k 210 maxiter maxiter 187 P P GS CP U 0.020 0.010 ÔÓØ Ð Ñ H ÔÒ Ò ÔÓØ Ð Ñ Ø Ò ÔÓØ Ð Ñ Ø Ñ H ÔÒ k 210 maxiter maxiter 187 P P GS1 CP U 0.010 0.010 ÔÓØ Ð Ñ H ÔÒ Ò ÔÓØ Ð Ñ Ø Ò ÔÓØ Ð Ñ Ø Ñ H ÔÒ ÈÒ ¾º ÈÒ A 3 È Ö Ñ A 4 = PA(x 20 )P T ÔÓÙ P R 20,20 Ò Ò ÔÒ Ñ Ø ÔÓÙ Ñ ÓÙÖ Ô Ø ÙÒ ÖØ Ø MATLAB randpermº ÈÖ Ò ÓÐÓ Ð Öô ÓÙÑ Ø Ò Ô ÖÓ Ô Ö Ö Ó ØÓ Ô Ö Ò Ð Ó ÒÓÙÑ Ñ Ö Ô Ô Ö Ø Ö ÔÓÙ ÔÖÓ ÔØÓÙÒ Ô Ø Ñ Ð Ø ØÛÒ ÔÖÓ ¹ Ó Ñ ÒÛÒ Ô Ò ÛÒº
ÈÒ A 4 a 20,19 = 2.1 a 20,19 2.2 ÃÖ Ø Ö Ó H Ñ ¹H H Ñ H k 301 maxiter maxiter 697 J CP U 0.060 0.060 ÔÓØ Ð Ñ H ÔÒ Ò ÔÓØ Ð Ñ Ø Ò ÔÓØ Ð Ñ Ø Ñ H ÔÒ k 152 maxiter maxiter 347 GS CP U 0.010 0.020 ÔÓØ Ð Ñ H ÔÒ Ò ÔÓØ Ð Ñ Ø Ò ÔÓØ Ð Ñ Ø Ñ H ÔÒ k 142 maxiter maxiter 347 P P GS CP U 0.010 0.020 ÔÓØ Ð Ñ H ÔÒ Ò ÔÓØ Ð Ñ Ø Ò ÔÓØ Ð Ñ Ø Ñ H ÔÒ k 142 maxiter maxiter 347 P P GS1 CP U 0.010 0.020 ÔÓØ Ð Ñ H ÔÒ Ò ÔÓØ Ð Ñ Ø Ò ÔÓØ Ð Ñ Ø Ñ H ÔÒ ÈÒ ¾º ÈÒ A 4 i) ËÕ Ø Ò ÙÓ ÓÖ Ø Gauss Seidel Ñ Å Ö Ç Ô Ò Ð ÔØ ÃÖ Ø Ö Ø ÓÔÓ ÖÓÙÒ ÔÓ Ð ÔØÓÑ Ö Ó ÓÔÓ Ò Ô Ö ÞÓÙÒ ØÓ ÙÒÓÐ Ö Ñ ØÛÒ Ô Ò Ð Ý ÛÒº Ã Ø Ñ Ó ÖÓ Ò Ø Ø ØÓ Ø ÖÓ (PPGS1) ÙÑÔ Ö Ö Ø Ð Ø Ö Ô ØÓ ÔÖôØÓº ii) ³ÇÔÛ Ø Ò Ò Ñ Ò Ñ ÒÓ Ó Ö Ñ ØÛÒ Ô Ò Ð Ý ÛÒ ÔÓÙ Ô ØÓ ÒØ Ò Ô Ø ÕÓÙÑ Ð Ñ ôò Ø ô Ñ Ø ÒÓÙÑ Ô ØÓ Jacobi ØÓ Gauss Seidel Ñ Å Ö Ç ÃÖ Ø Ö Óº iii) Ç CPU ÕÖ ÒÓ ØÓÙ Ô Ö Ô ÒÛ ÔÒ Ò Ó Ñ Ó ÖÓ Ô Ô ÒØ ÓÖ Ø Ó ÔÓÙ ÔÖÓ ÙÝ Ò Ô Ô ÒØ Ø Ð º ÒØ ÔÖÓ ÛÔ ÓÙÒ ÒÓÙ ÔÓÙ ÕÖ ÞÓÒØ ØÓ Å ÊÇË ÁÁÁ Ñ Ô Ø Ó Øô Ù¹ Ò ÖØ ÔÓÙ Ø ÐÓ ÒØ º ÍÔ Ò ÙÑÞÓÙÑ Ø ô ÔÖÓÕÛÖ Ñ Ô Ø Ñ Ø Ð Ø Ò Ô Ñ Ò Ó ÔÒ B P ÔÓÙ ÕÖ ÑÓÔÓ Ò Ø È Ö ¹ Ñ Ø ÒØ ØÓ Õ Ò Ò Ó Ð Û Ø ØÙÕ Ô ÐÓ ØÓÙº È Ö Ø ÖôÒØ ØÓÙ ÕÖ ÒÓÙ CPU Ò Ø Ø ØÓ ÃÖ Ø Ö Ó Jacobi ÔÓÙ Ô ¹ ÖÓÙ Þ Ø Ø Ò Ö ¾ Ò Ö Ø ÒØ ÛÒ Ø Ñ Ñ Ø Ò ¼
PPGS1º iv) Ô Ø ÙÓ Ø Ñ ØÓÙ a 12 ÔÓÙ ÕÖ ÑÓÔÓ Ñ Ø È Ö Ñ Ø ¾¹ Ò ØÓÒ H ÔÒ Ò ØÓÒ Ñ H ÔÒ ÙÔ ÖÕ Ñ Ö ÓÖ Ñ Ö Ø Ñ Ð ÓÖ ØÓÒ Ö Ñ ØÛÒ Ô Ò Ð Ý ÛÒ ÔÓÙ Ô ¹ ØÓ ÒØ Ò Ø Ð ÜÓÙÑ ÔÓØ Ð Ñ º ÙØ ÑÔÓÖ Ò Ü Ô Ø Ñ Ñ Ò ÓÑ ØÓÙ ÔÒ ô Ô Ô ØÓ Ô Ð Ó r ÔÓÙ ÕÖ ÑÓ¹ ÔÓ Ñ Ø Ò ÖÕ ØÓÙ Ð ÓÖ ÑÓÙº Ø Ö ØÓ È Ö Ñ ½ µ a 12 = 1.146391 H ÔÒ µ ØÓ ÔÖôØÓ Ô Ð Ó ÔÓÙ ÔÖÓ ÔØ Ô Ø ØÖØ Ö ÑÑ Ò 0.6+ε 1+ε 0.6 Ö Ø Ñ Ö Ñ Ö Ø ÖÓµ ÔÓ ØÓ 1 ÒÓÒØ Ø ØÓ Õ Ø Ò Ø Ð Ö Ø Ñ Ö Ø Ö Ø Ò Ò Ô Ö ÓÒØ Ô ÖÔÓÙ 0.6º µ a 12 = 1.146392 Ñ H ÔÒ µ ØÓ ÒØ ØÓ ÕÓ Ô Ð Ó ÔÓÙ ÔÖÓ ÖÕ Ø Ô Ø ÔÖôØ Ö ÑÑ Ò r = 1.146392+ε 1+ε 1.1464 ØÓ ÓÔÓÓ Ò Ö Ø Ô Ó ÓÒØ ØÓ 1 Ñ Ø ØÖ ÔÓÒØ Ø ØÓ Õ Ø ÔÖôØ Ø Ð Ñ Ð Ø Ö Ø Ò Ò Ô Ö ÓÒØ 1.1464º À Ø Ø ÒØ ØÖ Ø ØÓ È Ö Ñ Ô Ö ÐÓ ÔÓÙ Ø Ô ÒØ ô Ü ÖØôÒØ Ô ØÓÒ ØÙÕ Ø Ù Ñ ÒÓ ÔÒ Bº v) ³ Ò Ñ ÔÖÓ Ö ÑÑ ØÓ MATLAB Ñ Ð Ø ÕÖ ÑÓÔÓ ÙÒ ÖØ Ö Ø Ø Ð http://www.math.uoc/ hadjidim/programs/alahad06 ½
¾
Ã Ð Ó Ô Ò Ð ÔØ ÃÖ Ø Ö Ó Å ¹ Ò ô ÑÓÙ ÈÒ º½ Û Ò Ò H ÔÒ ÑÔÓÖ Ò ÓÖ Ø Ñ Û ØÓÙ ÓÖ ÑÓ ØÓÙ M Ô¹ Ò ÔÛ ØÓ Ã Ð Ó ½ Ø Û Ø ÓÐÓÙ ØÓÙ Ð ÓÖ ÑÓÙ ÔÓÙ Ô ÖÓÙ ØÓ Ò ÕÖ ÑÓÔÓ Ô Ö Ø ÖÓ Ó ÓÖ Ñ ÔÓÙ Ò Ö Ø ³ ÙØ Ò ØÓÙ Ù Ø Ö ôò ÙÔ ÖØ ÖÓÙ Ø Ö ÑÑ µ ÔÒ ¹ ÔÓÙ Ó Ø Ð ÙØ Ó ÓÖ Ñ Ò Ö Ô Ø Ò Û ÐÐ ÑÑ º Ç ÓÖ Ñ ØÓÙ Ù Ø Ö ôò ÙÔ ÖØ ÖÓÙ Ø Ö ÑÑ µ ÔÒ ¹ Ò Ø Ø ÙÒ Õ ÇÖ Ñ º½º ³ Ò ÔÒ X C n,n Ð Ø Ø Ò Ù Ø Ö ôò ÙÔ ÖØ ÖÓ Ø Ö ÑÑ Ò Ñ ÒÓ Ò n x ii > x ij, i = 1(1)n. º½µ j=1, j i ËØÓ Ô Ö Ò Ð Ó ØÓ Ò ÖÓÒ Ñ Ô ÒØÖôÒ Ø ØÓÙ ØÖ Ð¹ ÓÖ ÑÓÙ ØÛÒ Ö ôò ¾ ¾ ÔÓÙ ÙÑ ÓÐÞÓÒØ Ñ H, L B ÒØ ØÓ Õ º Ë Ñ Û Ç Ð Ö ÑÓ H Ô ÖÓÙ Þ Ø Ò ÓÙ Ø ÕÓÙÒ
Ò ÔÓ ØÖÓÔÓÔÓ ØÓÙ ÙÑ ÓÐ ÑÓ Ø ô Ø Ó ØÖ Ð¹ Ö ÑÓ Ò ÑÔÓÖÓ Ò Ò Ô ÖÓÙ ØÓ Ò Ñ Ò Ò Ò Ó ØÖ ÔÓºµ ËØ Ø Ö Ô Ö Ö Ó ÒÓÒØ ÔÓ Ó Û Ó ÙÑ ÓÐ ÑÓ Ô ÖÓÙ ÞÓÒØ Ó ØÖ Ð Ö ÑÓ Ñ Ø Ó ÓÖ Ñ ÒÛÒ Ô Ö Ñ ØÛÒ Ø Ø Ò Ö Ø ÙÔ ÖÕÓÙÒ Ô Ö ÔØô ÔÓÙ Ó Ð Ö ÑÓ L B Ò ÑÔÓÖ Ò Ø ÖÑ ØÞÓÒØ Ô ÒØÓØ Ô Ô Ö Ñ ÒÓ Ö Ñ Ô Ò Ð Ý ÛÒ ÔÛ ÙØ Õ ÕÙÖ Ø º ËØ Ò ØÖØ Ô Ö Ö Ó Ô Ö Ø ÒØ ÛÖ Ø ÔÓØ Ð Ñ Ø ÓÖ Ñ Ò Ô Ø ÓÔÓ¹ ÔÓ Ò ÓÒØ º ËØ Ò Ø Ø ÖØ Ô Ö Ö Ó Ò Ø ÒØÓÑ Ò Ò Ó Ø ÔÓÙ Jacobi Ô Ò Ð ÔØ Ö Ø Ö Ó ÔÒ Ð Ö ÑÓ AHµ Ý Ù Ó ô Ñ Ø ÕÖ Ø ÛÖ Ø È Ö Ö ÓÙ º ÔÓ Ò Ø ÙÖÛµ Ñ ¹ Ò ô ÑÓÙ ÔÒ Ø Ô Ñ ÔÓÐ Ô ÖÔØÛ Ð ØÓÙ Ò Ô Ô Ö Ñ ÒÓ Ö Ñ Ô Ò Ð Ý ÛÒº Ì ÐÓ Ø Ò È Ö Ö Ó Ó Ò Ó Ð Ö ÑÓ AH ÙÐÓÔÓ Ø Ñ Matlab ÙÒ ÖØ ÓÔÓ ÖÑ Þ Ø Ñ Ö Ö Ñ Ø ôò Ô Ö Ñ ØÛÒ ÙÒÓÝÞÓÙÑ Ñ ÔÓ Ô Ö Ø Ö ¹ º º¾ ÈÖÓ Ø ÖØ Ó ÌÖ Ð Ö ÑÓ ËÕ Ð ËØ Ò Ô ÖÓ Ô Ö Ö Ó Ô ÖÓÙ ÞÓÒØ ÔÓ Ó Û Ó ÙÑ ÓÐ ¹ ÑÓ Ó ÔÐ ÖÛ Ñ Ñ Ø Ø Ñ Ö ÛÑ ÒÓ Ð Ö ÑÓ H Ø Ö ¾ Ó Ñ Ñ Ø Ó Ñ ÒÓ Ð Ö ÑÓ L Ø Ö ¾ Ô ÔÐ ÓÒ Ó Ð¹ Ö ÑÓ B Ø Ö ô Ô ÒÓÒØ ÔÓ Õ Ð ÔÓÙ ÓÖÓ Ò Ø Ö Ø Ð ØÛÒ Ó Ø Ð ÙØ ÛÒº Ã Ò Ô ØÓ٠й ÓÖ ÑÓÙ Õ Ð Ö ØÖÓÔÓÔÓ ÓÒ ÓÖ ØÓÙ ÙÑ ÓÐ ÑÓ ô Ø Ó
ÓÑÓ Ø Ø Ó ÓÖ ØÓÙ Ò Ò ÓÐ Ò ÒÛÖ Ñ º ØÓÙ Ð ÓÖ ÑÓÙ ÙØÓ Ò ÕÖ ÑÓ Ó Ô Ö ØÛ ÓÖ ÑÓ ØÛÒ ÐÓÙ ÛÒ Ô Ò ÛÒ ÔÓ Ó Ô ØÓÙ ÓÔÓÓÙ ÕÓÙÒ Õ º ÖÕ ÓÖÞ Ø ÓÐÓÙ ØÛÒ Ø ÛÒÛÒ Ô Ò ÛÒ D (k), k = 0, 1, 2,..., D (0) = I, º¾µ Ô ÔÐ ÓÒ ØÛÒ Ô Ò ÛÒ A (k) = A (k 1) D (k 1), k = 1, 2, 3,..., A (0) = A, º µ ØÓÙ Ð Ö ÑÓÙ H Lº ØÓÒ Ð Ö ÑÓ B A (k) = ( D (k 1)) 1 A (k 1) D (k 1), k = 1, 2, 3,..., A (0) = (diag(a)) 1 A, E (k 1) = ( diag(a (k 1) D (k 1) ) ) 1, k = 1, 2, 3,..., E (0) = (diag(a)) 1. º µ Ô ØÓÙ ÓÖ ÑÓ Ø º¾µ º µ Ø Ð ÓÙÑ ØÓ ÙÑÔ Ö Ñ Ø ØÓÒ Ð Ö ÑÓ B Õ a (k) ii = 1, i = 1(1)n, k = 1, 2, 3,... º µ ³ ØÛ N := {1, 2,...,n} s (k) i = n j=1, j i a (k) ij, i = 1(1)n, k = 0, 1, 2,... º µ ³ ØÛ Ô { } N (k) 1 N 1 (A (k) ) = i N : a (k) ii > s (k) i,
n (k) 1 := n 1 (A (k) ) Ò ÙÑ ÓÐÞ ØÓ ÔÐ Ó ØÛÒ ØÓ Õ ÛÒ ØÓÙ N (k) 1 º ÓÐÓ Û Ô ÖÓÙ ÞÓÒØ Ó ØÖ Ð Ö ÑÓ º Ð Ö ÑÓ Hº ÁËÇ ÇË ³ Ò ÔÒ A := [a ij ] C n,n ÓÔÓ Ó ÔÓØ ε > 0º Ç ÇË D = D (0) D (1) D (k) D A Ò Ó A Ò H ÔÒ º ½º Ò a ii = 0 ÔÓ Ó i N N 1 (A) = Ó A Ò Ò H ÔÒ ËÌÇÈ; ÐÐ ô ¾º  A (0) = A, D (0) = I, k = 1 º ÍÔÓÐ A (k) = A (k 1) D (k 1) = [a (k) ij ] º ÍÔÓÐ s (k) i = n j=1, j i a(k) ij, i = 1(1)n, Ò Ñ ÖÛ N(k) 1 n (k) 1 º Ò n (k) 1 = n Ó A Ò H ÔÒ ËÌÇÈ; ÐÐ ô º  d = [d i ] ÔÓÙ d i = s (k) i +ε a (k) +ε, ii Ò i N(k) 1 1, Ò i / N (k) 1 º  D (k) = diag(d), k = k + 1; È Ò ØÓ Ñ º Ð Ö ÑÓ Lº ÁËÇ ÇË ³ Ò ÔÒ A := [a ij ] C n,n ÓÔÓ Ó ÔÓØ ε > 0º Ç ÇË D = D (0) D (1) D (k) D A / D A Ò Ó A Ò Ò Ò H ÔÒ ÒØ ØÓ Õ º
½º Ò a ii = 0 ÔÓ Ó i N Ó A Ò Ò H ÔÒ ËÌÇÈ; ÐÐ ô ¾º  A (0) = A, D (0) = I, k = 1 º ÍÔÓÐ A (k) = A (k 1) D (k 1) = [a (k) ij ] º ÍÔÓÐ s (k) i = n j=1, j i a(k) ij º Ò a (k) ii > s (k), n (k) 1 = n (k) 1 + 1, i = 1(1)n i, i = 1(1)n,  n(k) 1 = 0 º Ò n (k) 1 = n Ó A Ò H ÔÒ ËÌÇÈ; ÐÐ ô º Ò n (k) 1 = 0 Ó A Ò Ò H ÔÒ ËÌÇÈ; ÐÐ ô º  d = [d i ] ÔÓÙ d i = s(k) i + ε a (k) ii + ε, i = 1(1)n º  D (k) = diag(d), k = k + 1; È Ò ØÓ Ñ º Ð Ö ÑÓ Bº ÁËÇ ÇË ³ Ò ÔÒ A := [a ij ] C n,n º Ç ÇË D = D (0) D (1) D (k) D D 1 A D A / D A Ò Ó A Ò Ò Ò H ÔÒ ÒØ ØÓ Õ ½º Ò a ii = 0 ÔÓ Ó i N N 1 (A) = Ó A Ò Ò H ÔÒ ËÌÇÈ; ÐÐ ô ¾º ÍÔÓÐ s i = n j=1,= j i a ij, i = 1(1)n º Ò s i = 0, i = 1(1)n, Ó A Ò H ÔÒ ËÌÇÈ; ÐÐ ô º  A (0) = (diag(a)) 1 A, D (0) = I, k = 1
º ÍÔÓÐ A (k) = ( D (k 1)) 1 A (k 1) D (k 1) = [a (k) ij ] º ÍÔÓÐ s (k) i º Ò s (k) i = n j=1, j i a(k) ij 1, i = 1(1)n s (k) i H ÔÒ ËÌÇÈ; ÐÐ ô º Ò s (k) i, i = 1(1)n < 1 Ò ØÓÙÐ Õ ØÓÒ i N, Ó A Ò 1, i = 1(1)n, Ó A Ò Ò H ÔÒ ËÌÇÈ; ÐÐ ô º ÈÖÓ Ö m Ø ØÓ Ó ô Ø s (k) m ½¼º  d = [d i ] ÔÓÙ = min i=1(1)n s (k) i s (k) i 0 d i = { (k) s m, Ò i = m 1, Ò i m ½½º  D (k) = diag(d), k = k + 1; È Ò ØÓ Ñ º ËÙÒ ÕÞÓÙÑ Ñ ÔÓ Ô Ö Ø Ö Ô ÒÛ ØÓÙ ØÖ Ð ÓÖ ÑÓÙº Ë Ñ ÛÒ Ñ Ø ÛÖ ÔÓÙ Ò ÔØ Õ Ø Ö ¾  ôö Ñ ¾º½µ ¾  ÛÖ Ñ Ø ½ ¾ µ Ò Ó ÔÒ A Ò H ÔÒ Ø ¹ Ó Ó Ð Ö ÑÓ H Ó Ó L Ø ÖÑ ØÞÓÒØ Ò Ô Ô Ö Ñ ÒÓ Ö Ñ Ô Ò Ð Ý ÛÒº Ü ÐÐÓÙ Ò Ó Ð Ö ÑÓ H Ø ÖÑ ØÞ Ø Ó ÔÒ A Ò H ÔÒ Òô Ò Ó Ð Ö ÑÓ L Ø ÖÑ ØÞ Ø Ø Ø Ó A ÑÔÓÖ Ò Ò Ò Ñ Ò Ò H ÔÒ ÔÖ Ñ ÔÓÙ Ü ÖØ Ø Ô ØÓ ÔÓØ Ð Ñ Ø Ü ÓÙ ØÓÙ Ð ÓÖ ÑÓÙº ³Ç ÓÒ ÓÖ ØÓÒ Ð Ö ÑÓ L ÑÔÓÖ Ò Ô Ö Ø Ö Ò Ø Ø Ò Ô ÖÔØÛ Ò Ñ H ÔÒ Ó Ø ÖÑ Ø Ñ ØÓÙ Ð ÓÖ ÑÓÙ Ò ÑÔÓÖ Ò Ù Ô ÒØ º ³ÇØ Ò Ó A Ò Ò ô ÑÓ ÑÔÓÖ Ò ÙÔ ÖÜÓÙÒ ÔÖÓ Ð Ñ Ø
ÔÛ ÕÒ ØÓ ÐÓÙ Ó Ô Ö Ñ º ³ ØÛ A = 1 2 0 0.5 2 1 0 0 0 0 2 1 0 0 1 2 º µ Ó ÓÔÓÓ Ò Ò H ÔÒ º Ò ÖÑÓ Ø Ó Ð Ö ÑÓ L ØÓÒ A Ó ÓÔÓÓ Õ ÖÕ n 1 (A) = 2 Ö ÓÙÑ Ø Ó Ð Ö ÑÓ Ò ÑÔÓÖ Ò Ø ÖÑ Ø Ø º Ò Ü ÖØ Ø Ô Ø Ò Ø Ñ ØÓÙ ε > 0 Õ Ô ÒØ Ø n 1 (A (k) ) = 2, k = 0, 1, 2,... ÙØ Õ Ø ØÓÒ A (k) ÓÔÓ Ó ÔÓØ k Ù Ø Ö ôò ÙÖ ÖÕ Õ Ø Ó Ø Ð ÙØ Ö ÑÑ Ñ ¹ Ù Ø Ö ôò ÙÖ ÖÕ Õ Ø Ó ÔÖôØ º Ç Ñ Ø ÖÑ Ø Ñ ØÓÙ Ð ÓÖ ÑÓÙ L Ø Ò Ô ÖÔØÛ ØÛÒ Ñ ¹ Ò ô¹ ÑÛÒ Ô Ò ÛÒ Ò Ò ÙÒ Ø Ò Ò Ù Ø Ô ÒØÓØ ÔÛ Ø Ó Ô Ö ØÛ Ô Ö Ñ Ø ÙÔÓ Ò ÓÙÒº ³ ØÛ Ø ÒÓÒØ Ó Ô Ö ØÛ ÔÒ A 1 A 2 : A 1 = 1 0 0.5 0.5 1 0 0 2 1, A 2 = 1 0 0.5 2 1 0 0 2 1, º µ ÔÓÙ Ó A 1 Ò H ÔÒ Òô Ó A 2 Ò Ò º Ô Ô Ü ØÓÙ Â Û¹ Ö Ñ ØÓ ¾ Ø Ò Ö ¾ ÔÖ Ñ ØÓÔÓ Ø Ñ ε = 0, ÖÑ ÞÓÙÑ ØÓÒ Ð Ö ÑÓ L Ò Ô ØÓÙ Ô Ö Ô ÒÛ ÔÒ Ñ ÙØ Ò Ø Ò Ø Ñ ØÓÙ εº À Ð Ø ÙÓ Ô Ö ÔØô ÔÓØÙ Õ Ò ÙØ Ô n 1 (A (k) 1 ) = 2 n 1 (A (k) 2 ) = 1 k 1º Ø Ö 0.5 0 1 A (2) 1 = 0.25 0.5 0, A (2) 2 = 0 1 2 0.5 0 1 1 2 0 0 4 2, º µ
A (3) 1 = 1 0 0.5 0.5 0.25 0 0 0.5 1, A (3) 2 = 1 0 2 2 1 0 0 2 4, º½¼µ A (4) 1 = 0.5 0 0.25 0.25 0.5 0 0 1 0.5, A (4) 2 = 2 0 1 4 2 0 0 4 2, º½½µ ØÖ Ù Ð ÓÑ patternµ Ò ÔÖÓ Ò Ø Ô Ò Ð Ñ Ò Ø Ô³ Ô ¹ ÖÓÒº ÙØ ÔÐ Ñ Ò Ø ÙÔ ( lim lim ε 0 + k D(k) ) = lim k ( lim ε 0 + D(k) Ð ØÓ Ò ÛÖ ØÓ ε Ó Ñ Ñ Ò Ò ÑÔÓÖ Ò Ù Ø Ó Ñ Ø ØÓ Ø Ø Õ ÙÔ Ù Ö Ñ Ò ÔÖÓÔÓ ÔÓÑ ÒÛ Ò ÙØ ÒØÛ Õ ÓÙÒ ÔÖ Ô Ò ÔÓ Õ Ó Òº ÍÔ ÖÕ Ò Ñ ÓÙ ô Ñ Ó Ø Ò Ô Ü ØÓÙ ÓÙ ÛÖ Ñ ØÓº ÔÓ Ò Ø Ø ÓÔÓ Ó ÔÓØ Ó ÓÕ Ó Jacobi ÔÒ B (k), k = 0, 1, 2,... ÔÓÙ ÙÒ ÓÒØ Ñ ØÓÒ ÔÒ Ö ØÛÒ A (k) Ð Ô ÇÖ Ñ ½º¾µ ÒÓÔÓ Ó Ò Ø Õ ), B (k+1) = ( D (k)) 1 B (k) D (k), k = 0, 1, 2,... º½¾µ Ã Ø Ø Ö Ô Ò Ð Ý Ñ Ñ Ø Ø ÓÑÓ Ø Ø ØÓÒ D (k) ÔÓÙ ÔÖ Ô Ò ÖÑÓ Ø Ô ØÓÙ ÔÒ A (k) B (k) µ Ø Ø d (k) i Ñ Ñ ¹ ÒÓÙ Ø Ü º Ì Ø ÔÓ Ò Ø Ø ÓÔÓ ÔÓØ b (k) ij i < jµ Õ b (k) ij b (k+1) ij Òô ÓÔÓ ÔÓØ b (k) ij i > jµ b (k) ij b (k+1) ij º È Ö Ð Ù¹ Ø Ø Ò Ô Ñ Ò Ô Ò Ð Ý Ø d (k+1) i ÑÔÓÖ Ò Ö ÓÒØ Ñ ÓÖ Ø ¼
Ø Ü ô Ø Ø b (k+1) ij i < jµ ÑÔÓÖ Ò Ö Ó Ò Ñ (l,m), l > m, Ö Ò ÙÒ Ø Ò Ø Ü ØÓÙ Ò Ñ Ò Ò ÔÐ ÓÒ Ñ ¹ ÒÓÙ º ÔÓÑ ÒÛ ÓÐÓÙ ØÛÒ b (k) ij Ò Ò ÑÓÒ ØÓÒ Ð Ò Ü ÐÞ Ø Ô Ü ØÛÒ ÒØ ØÓ ÕÛÒ ÔÖÓØ ÛÒ Ø Ò Ö ¾ Ò Ò ÔÐ Ö º Ô Ö Ñ ØÓÒ A 1 Ø Ò º µ Ò 0 0 0.5 B (1) = 0.5 0 0 D (1) 0 2 0 = diag (0.5, 0.5, 2). Ô Ø ØÓ Õ ØÓÙ D (1) Ò Ñ ¹ ÒÓÙ Ö Ó ÔÒ Ñ Ø ¹ Ò Ó P (1) = I 3 º½¾µ Ò 0 0 2 B (2) = 0.5 0 0 D (2) 0 0.5 0 = diag (2, 0.5, 0.5). ÙØ Ø ÓÖ P (2) = [e 2 e 3 e 1 ] Ñ e i, i = 1, 2, 3, Ø Ø Ð ØÓÙ ÑÓÒ ÓÙ ÔÒ º Å Ø ØÓÒØ ÕÖ ÑÓÔÓ ôòø ØÓÙ ÓÙ Ø ÕÓÙÑ Ø B (2) B (1), ÙØ ØÓ ÔÖ ØÙÔÓ patternµ Ô Ò Ð Ñ Ò Ø Ô³ Ô ÖÓÒº À ÓÐÓÙ ØÛÒ ÓÖôÒ max i=1,2,3 d(k) i min i=1,2,3 d(k) i = 2 0.5 = 1.5, k = 1, 2, 3,..., Ò Ø Ò ØÓ Ñ Ò ô k º È Ö Ø ÖÓ Ñ Ô Ø ØÓ ØÓ Õ Ó b (1) 13 = 0.5 Ò Ø b (2) 13 = 2 ÐÐ Ñ Ø Ô Ø Ñ Ø Ò Ø Ô Ð 0.5º ³ Ö Ñ Ø Ò Ô ÖÔØÛ ØÛÒ Ñ ¹ Ò ô ÑÛÒ Ô Ò ÛÒ Ò Õ Ó Ð Ö ÑÓ L ÔÖ Ô Ò Ó Ñ Ô Ü ØÓÙ Â ÛÖ Ñ ØÓ ¾ Ø Ö ¾ Ø Ò ÓÔÓ ÔÓ Ø Ø ε > 0 ÔÖ Ô Ò ÕÖ ÑÓÔÓ Ø ³ Ð Ø Ö Ø Ô Ü º ½
 ÛÖôÒØ ØôÖ ØÓÒ Ð Ö ÑÓ B Ø Ö Ñ Ø ØÓ ÙÑÔ Ö ¹ Ñ ÔÓÙ ÓÐÓÙ ØÓÒ Ô Ö ÓÖ Ñ ØÓ Ñ ÔÓÙ Õ Ò Ñ ÒÓ Ò Ó A Ò Ñ ¹ Ò ô ÑÓ ÑÔÓÖÓ Ò Ò Ü Õ Ó Ò Ô Ö ÑÓ ÙÑÔ Ö Ñ Ø Ñ ÙØ Ø Ô ÖÔØÛ ØÓÙ Ð ÓÖ ÑÓÙ L. Ò Õ ØÓÙ Ð ÓÙ ØÓ Ð Ö Ò Ü Ø ÓÙÑ ØÓÙ Ó ÔÒ ÔÓÙ ÓÐÓÙ Ó Ò ÔÓÙ Ó ÔÖôØÓ Ò Ò ô ÑÓ Ó Ø ÖÓ Ñ ¹ Ò ô ÑÓº A 3 = 1 2 0 0 2 1 0 0 0 1 4 1 1 2 1 4 0 1 2 1, A 4 = 1 2 1 0 2 1 0 1 0 1 4 1 1 2 1 4 0 1 2 1. º½ µ ØÓÙ Ó ÔÒ s (1) 3 = s (1) 4 = min i=1(1)4 s (1) i = 3, Ô ÖÓÙÑ m = 3º Å Ø 4 Ô Ø Ò ÔÖôØ Ô Ò Ð Ý ÕÓÙÑ 1 2 0 0 A (2) 3 = 2 1 0 0 0 1 1 2, A(2) 4 = 3 3 1 0 3 2 2 4 Ø Ø Ö Ô Ò Ð Ý s (2) m = s (2) 4 = 5 8 A (3) 3 = 1 2 0 0 2 1 0 0 0 1 3 1 5 12 2 5 0 3 5 1, A(3) 4 = Ö 1 2 3 4 0 2 1 0 1 0 1 3 1 2 3 1 4 0 3 8 1 1 2 3 4 0 2 1 0 5 8 0 1 3 1 5 12 2 5 0 3 5 1. º½ µ º½ µ Ø Ø ÓÐÓÙ ØÛÒ s m Ò s (3) 3 = 3 4 s(4) 4 = 17 20 s(5) 3 = 33 36 Ó ØÛ Ü º Ò ÔÖÓ Ò ÔÓ Ó Ô Ø Ó Ô Ö Ñ Ø Ò Ò Ö Ó Ñ Ø Ó Ð Ö ÑÓ Ò Ø ÖÑ ØÞ Ø º ¾
Þ Ñ ÒÓ Ð Ø ÔÖÓ Ó Ñ Ò Ô Ö ÔØô ÒØ ¹Ô Ö Ñ Ø Ø Ø Ø ÒÓ Ø Ø ÔÖ Ô Ò Ò Ø Ö Ñ Ø Ü Ò ô ÑÛÒ Ñ ¹ Ò ô ÑÛÒ Ô Ò ÛÒº È Ö Ð ÙØ Ô Ø Ò Ô ÖÔØÛ Ò Ñ ÐÓÙ ÔÒ Ñ Ñ ¹ ÓÑ Ñ Ò Ö Ø Ø Ó Ð ÕÓ Ø Ñ ¹ Ò Û Ñ Ø Ø ÑÔÓÖ Ò Ò Ô ÓÖ ÙØ ÙÔÓÐÓ Ø ÔÓÐÙÔÐÓ Ø Ø ÒÓÙÑ ÙØ ØÓ Ñ ÔÖÓ ØÓ Ô Ö Òº º ÈÖÓ Ø ÖØ Â ÛÖ Ø ÍÔ ÖÓ Ø Ò Ò ÐÙ ÔÓÙ ÓÐÓÙ Ò Ð ÓÙÑ ÔÓ ÓÙ ÓÖ ¹ ÑÓ Ô Ö ÓÙÑ Ñ Ö Ô ÕÖ Ñ ÔÖÓØ Ó Ô Ö Ø Ö Ô Ø ÓÔÓ ÑÔÓÖÓ Ò Ò Ö Ó Ò Ø Ð Ò ÓÖ ØÛÒ Berman Plemmons Horn Johnson ¾½ º Å ØÓÙ ÓÖ ÑÓ ØÓÙ M H ÔÒ ÔÓÙ ÒÓÒØ ØÓÙ ÇÖ ÑÓ ½º½ ½º¾ ÒØ ØÓ Õ ØÙÔôÒÓÒØ Ó ÔÖÓØ ÔÓÙ ÓÐÓÙ Ó Òº Ë Ñ Û Ü ØÓ Ô Ö Ò Ñ ÒÓ Ò M ÔÒ ÛÖ Ø Ø Ò Ñ ¹ ÑÓÖ Óº Ä ÑÑ º½º Ò A R n,n Ò M ÔÒ ØÓ Ó Õ ØÓÒ ÔÒ PAP T ÔÓÙ P Ò Ò ÔÒ Ñ Ø º Ä ÑÑ º¾º ³ Ò ÔÒ A C n,n Ò H ÔÒ Ò Ñ ÒÓ Ò Ó Jacobi Ô Ò Ð ÔØ ÔÒ ÔÓÙ ÙÒ Ø Ñ ØÓÒ ÔÒ Ö ØÓÙ Ò Ù ÐÒÛÒº
Ë Ñ Û ÌÓ Ä ÑÑ º¾ ÑÔÓÖ Ò ÕÖ ÑÓÔÓ Û Ò ÐÐ Ø Ó¹ Ò ÑÓ ÓÖ Ñ ØÓÙ ÇÖ ÑÓ ½º¾ ØÓÒ H ÔÒ º Ä ÑÑ º º ³ ØÛ Ø A C n,n, Ñ a ii 0, i = 1(1)n, B = EA ÔÓÙ E = diag(e 1,e 2,...,e n ) C n,n, e i C Ò ÓÔÓ Ó ÔÓØ Ñ ¹ ÑÓÖ Ó ôò Ó ÔÒ º ³ ØÛ J A J B Ó Jacobi Ô Ò Ð ÔØ Ó ÔÒ ÔÓÙ ÙÒ ÓÒØ Ñ ØÓÙ A B ÒØ ØÓ Õ º Ì Ø Ó J A J B Ò Ø ÙØ ÑÓ º Ô Ü º Á Õ b ij = e i a ij, i,j = 1(1)n. ÔÓÑ ÒÛ ÕÓÙÑ J B J EA := I (diag(ea)) 1 EA = I diag(a) 1 E 1 EA = I diag(a) 1 A = J A. Þ Ñ ÒÓ Ø Ø Ð ÙØ Ó Ð ÑÑ Ø Ó Ø ÕÓ Ñ Ò Ò ÔÖÓ¹ ÓÙÑ Ø Ñ Ø ØÒ ØÓÙ Jacobi Ô Ò Ð ÔØ Ó ÔÒ B = J M(A) ÔÓÙ ÙÒ Ø Ñ ØÓÒ ÔÒ Ö Ò Ó Ñ ÒÓÙ ÔÒ A C n,n. ËØ Ò ÔÖ Ñ Ø Ø Ø ÑÔÓÖÓ Ñ Ò ÔÓ ÜÓÙÑ Ø Ò Ó A Ò Ñ ¹ Ò ô ÑÓ ρ(b) < 1 Ó A Ò H ÔÒ µ ρ(b) > 1 Ó A Ò Ò H ÔÒ µ ÙÔ ÖÕ Ò Ð Ö ÑÓ ÔÓÙ Ø ÖÑ ØÞ Ø Ô Ô Ö Ñ ÒÓ Ö Ñ Ô Ò Ð ¹ Ý ÛÒº Ô Ó Ó Ð Ö ÑÓ Ø ÖÑ ØÞ Ø Ô Ô Ö Ñ ÒÓ Ö Ñ Ô Ò ¹ Ð Ý ÛÒ Ø Ò Ô ÖÔØÛ ÔÓÙ Ó A Ò Ñ ¹ Ò ô ÑÓ H ÔÒ º ÍÔ ÖÕ Ñ ÓÖ µ Ô ÖÔØÛ ÔÓÙ Ó A Ò Ò H ÔÒ Ó Ð Ö ÑÓ ÑÔÓ¹ Ö Ò Ñ Ò Ø ÖÑ ØÞ Ø Ô Ô Ö Ñ ÒÓ Ö Ñ Ô Ò Ð Ý ÛÒº ˳ ÙØ Ò Ò Ö Ó Ñ Ø Ò ÔÖÓ Ý Ø Ô Ñ Ò º ³ÇÐÓ Ó Ô Ò Ð ÔØ Ó Ð Ö ÑÓ ÔÓÙ ÕÓÙÒ ÔÖÓØ Ø ÖÓ Ø Ò Ò ÒôÖ ØÛÒ H Ô Ò ÛÒ ÙÑÔ Ö Ð Ñ ÒÓÑ ÒÛÒ ØÛÒ Ð ÓÖ ÑÛÒ
H L B Ò Ü Ø ØÓ Ò Ó ÔÖ Ñ ÔÓÙ Ò Ò ÔÖÓ Ò Ô ¹ Øô Ò Ø ÞÓÒØ Ô Ö ÐÐ Ø Å ÓÙ ØÛÒ ÙÒ Ñ ÛÒº ³ Ø Ó Ð Ö ÑÓ ÔÓÙ ÔÖÓØ Ô Ñ Ø Ñ ÓÖÓÔÓ ¹ Ø Å ÓÙ ØÛÒ ÙÒ Ñ ÛÒ Ð Ô ÔºÕº Wilkinson Ô Ó Fadeev Fadeeva ½½ Horn Johnson ¾¼ Demmel ½¼ µ Ø Ò ÓÔÓ ÕÓÙÒ ÑÑ Û Ø Ö Ð Ø Ô Ò Ð ÔØ Ö Ø Ö H ÔÒ º À Å Ó Ó ØÛÒ ÙÒ Ñ ÛÒ Ñ Ñ ÔÓÐ ÙÒÓÔØ Ô ÖÓÙ Ø Ô Ü Ø Ø Ò Ô ÖÔØÛ Ò Ø Ñ Û Ñ Ø Ñ ÖÓ Ø ÓÔÓ ÕÖ ÑÓÔÓ Ø Ø ÙÒ Õ º  ôö Ñ º º Å Ó Ó ØÛÒ ÙÒ Ñ ÛÒµ ³ ØÛ A C n,n Ñ Ø ÓØ Ñ ØÓÙ λ i, i = 1(1)n Ò ÒÓÔÓ Ó Ò Ø Õ λ 1 > λ j, j = 2(1)n. ÇÖÞÓÙÑ x (k) = Ax (k 1), k = 1, 2, 3,..., x (0) C n \{0}. º½ µ ÍÔÓ ØÓÙÑ Ø ØÓ x (0) Õ Ñ Ñ ¹Ñ Ò ÙÒ Øô Ø Ñ Ó ØÓÙ Ó¹ Ò Ñ ØÓ ÔÓÙ ÒØ ØÓ Õ Ø λ 1 º Ì Ø (Ax (k) ) i λ 1 = lim k x (k) i x (k) i 0, i = 1(1)n. º½ µ Ô Ü º ³ ØÛ Ø A = SJS 1 Ò Jordan ÒÓÒ ÑÓÖ ØÓÙ A ÔÓÙ S Ò Ó ÔÒ ØÛÒ Ò ÙÑ ÒÛÒ Ó ÒÙ Ñ ØÛÒ s i, i = 1(1)n, ØÓÙ A
J = diag(j 1,J 2,...,J p ) Ñ λ m 1 λ m 1 J m = º ºº º º º C nm,nm, m = 2(1)p, λ m 1 λ m n m = n 1, m=2(1)p º½ µ s 11......... s 1n º º º º º S = [s 1 s 2..., s n ] = s i1... s ii... s in. º½ µ º º º º º s n1......... s nn ÉÖ ÑÓÔÓ ôòø Ø Ò Jordan ÒÓÒ ÑÓÖ ÑÔÓÖÓ Ñ Ò Ô ÖÓÙÑ x (k) = A k x (0) = S J k S 1 x (0) ØÓÒØ x (0) = S y = S [y 1 y 2... y n ] T ÕÓÙÑ Ø x (k) = λ k 1y 1 s 1 + [s 2 s 3... s n ] x (k) = S diag(j k 1,J k 2,...,J k p )y ÙÔÓ ØÓÒØ Ø p = 2 Ø Ò ÔÐÓÔÓ Ø Ò ÐÙ k > n 2 Õ Ø ( ) ( ) k λ k 2y 2 + λ k 1 k 1 2 y 3 + + λ k (n 2) n 2 2 y n λ k 2y 3 + + ( k n 3 ÔÓÑ ÒÛ i¹ó Ø ÙÒ Øô ØÓÙ Ò Ñ ØÓ x (k) Ò ) λ k (n 3) 2 y n º λ k 2y n. x (k) i = ( λ k 1y ) 1 s i1 + λ k 2(y 2 s i2 + y 3 s i3 + + y n s in ) k + λ2 k 1 (y 1 3 s i2 + y 4 s i3 + + y n s i,n 1 ) + + ( k n 2 ) λ k (n 2) 2 y n s i2. º¾¼µ
 ØÓÙÑ z 1 = y 1 s i1 z j = m=j(1)n y ms i,m j+2, j = 2(1)n, Õ Ñ ØÞÓÙÑ ØÓ Ô Ð Ó ØÛÒ i¹ó ØôÒ ÙÒ ØÛ ôò ØÛÒ Ó ÓÕ ôò ÒÙ Ñ ØÛÒ x (k+1) x (k), Ô Ø Ò º¾¼µ ÓÔ Ø ÕÓÙÑ x (k+1) i x (k) i = ( k + 1 z 1 λ k+1 1 + z 2 λ k+1 2 + z 3 1 z 1 λ k 1 + z 2 λ k 2 + z 3 ( k 1 À Ô Ö Ô ÒÛ Õ Ö Ø Ó Ò Ñ Û Ü ) ( k + 1 λ k 2 + + z n n 2 ) λ k 1 2 + + z n ( k n 2 ) λ k+1 (n 2) 2 ) λ k (n 2) 2 º¾½µ. (Ax (k) ) i x (k) i ( ) ( k+1 z 1 + z λ2 2 λ + z 3 k + 1 1 λ 1 1 = λ 1. ( ) ( k z 1 + z λ2 2 λ + z 3 k 1 λ 1 1 ) ( λ2 ) ( λ2 λ 1 ) k + + z n λ n 2 1 λ 1 ) k 1 + + z n λ n 2 1 ( ) k + 1 ( λ2 n 2 ( k n 2 λ 1 ) k+1 (n 2) ) ( λ2 λ 1 ) k (n 2). º¾¾µ Ã Ò Ô ØÓÙ ÖÓÙ ØÛÒ ÖÓ Ñ ØÛÒ ØÓÙ Ö Ñ Ø ØÓÙ Ô ÖÓÒÓÑ Ø ØÓÙ Ð Ñ ØÓ ØÓÙ Ü Ó Ñ ÐÓÙ Ø Ô ØÓÙ Ó ÔÖôØÓÙ ÑÔÓÖÓ Ò Ò Ò ÔØÙÕ Ó Ò Ò ÖÓ Ñ ØÓÙ ÓÔÓÓÙ Ó ÖÓ ÕÓÙÒ Ñ ØÖ Ø ÑÓÖ ck l a k Ñ c Ò Ò Ñ Ø Ø Ö l = 1(1)n 1 a = λ 2 λ 1 < 1º Ô Ó ÙÒ ÖØ x l a x x [1, + ), Ò Ô Ö ÓÖ ÙÒ Õô Ô Ö Û Ñ Ñ ÖÑÓ ØÓÙ Ò Ò ØÓÙ de l Hospital l ÓÖ ÕÓÙÑ Ø lim x + x l a x = lim x + (x l ) (l) lim x + (a x ) (l) = l! log l ( 1 a ) lim x + ax = 0. Ä Û ÙØ Ø Ô Ö Ø Ö º¾¾µ Ò Ñ Û (Ax (k) ) i lim k + x (k) i = λ 1, x (k) i 0, i = 1(1)n. º¾ µ Ë Ñ ôòóùñ Ø Ò ÒØ ØÓÙ Ò Jordan block J 2 Õ Ñ p 1 blocks J m, m = 2(1)p Ø Ñ Ø Ø Ô Ü Ô Ö Ñ Ò Ò Ø Ø Ô ØÓ Ø ÒØ Ò ÕÓÙÑ Ò ÖÓ Ñ ØÛÒ n 1 ÖÛÒ ÔÓÙ Õ ØÞÓÒØ Ñ Ø Ò ÓØ Ñ
λ 2 Õ Ñ p 1 ÖÓ Ñ Ø Ò Ñ n m ÖÓÙ ÔÓÙ Õ ØÞÓÒØ Ò Ñ Ø Ò ÓØ Ñ λ m, m = 2(1)p. Ô Ø ÙÒ Õ ÔÖ Ñ Ø ÙØÓ Ñ ÓÐÓÙ ÔÖ Ñ Ø ôò Ö ¹ ÑôÒ ÙÔ Ò ÙÑÞÓÙÑ Ñ Ö ÒÒÓ ÔÓÙ ÕÖ Ñ ÓÙÒ Ø Ò Ò ÐÙ¹ ÔÓÙ ÓÐÓÙ º Ä ÑÑ º º ³ ØÛ α p, p = 1, 2, 3,..., Ñ ÓÐÓÙ ÔÖ Ñ Ø ôò Ö ÑôÒº Ä Ñ Ø Ó ÔÖ Ñ Ø Ö Ñ α Ò ØÓ Ö Ó Ø ÓÐÓÙ ÙØ Ö ¹ ÓÙÑ Ø lim α p = α p Ò Ñ ÒÓ Ò ε > 0 ÙÔ ÖÕ Ò Ù Ö Ñ p 0 := p 0 (ε), ÔÓÙ Ü ÖØ Ø Ô ØÓ ε, Ø ØÓ Ó ô Ø p p 0 ÕÓÙÑ Ø α p α < ε. È Ö Ø Ö º º½º Ø ÙØ Ñ Ò Ø Ø Ð Ð Ø ØÓ Õ Ø ÓÐÓÙ Ø Ô Ò Ô Ô Ö Ñ ÒÓ ÔÐ Ó Ô ÙØ Ò ÓÙÒ ÓÔÓ ¹ ÔÓØ Ô Ö ÓÕ ØÓÙ ÓÖÓÙ Ô Ö ÓÕ ØÓÙ ÓÖÓÙ ÙÔ ÖÕ Ò Ô Ô Ö Ñ ÒÓ Ö Ñ ØÓ Õ ÛÒ Ø ÓÐÓÙ ÔÓÙ Ö Ø ÜÛ Ô ÙØ º ÌÓ Ø ÖÓ Ñ ¹ ÖÓ Ø Ô ÖÓ Ô Ö Ø Ö ÕÖ ÑÓÔÓ Ô Ò Ð ÑÑ Ò Ø ÙÒ Õ º Ä ÑÑ º º ³ ØÛ α (i) p, p = 1, 2, 3,..., i = 1, 2, 3,...,n Ó Ù ÐÒÓÙ ÓÐÓÙ Ó ÓÔÓ ÕÓÙÒ ØÓ Ó Ö Óº Ð lim p α (i) p Ø Ò ÓÐÓÙ = αº Â ÛÖÓ Ñ β p = α (ip) p, p = 1, 2, 3,..., i p {1, 2,...,n},