141216 1 Riski R f C (a) Tarkastellaan kuolemaan johtaneita onnettomuuksia f bussi 13 onnettomuutta f muut 13 onnettomuutta 3 tulipalokuolemaa onnettomus 3 tulipalokuolemaa onnettomus 8 bussimatkustajaa tulipalokuolema 92 ei-bussimatkustajaa tulipalokuolema bussimatkustajaa 31 359 ei-bussimatkustaa (b) f bussi 13 onnettomuutta 1 kuolemantapausta 3 8 95 mailia per bussi 448 bussia 733 1 11 maili f muut 13 onnettomuutta 3 92 1 95 mailia per bussi 448 bussia (c) R 13 onnettomuutta 1 3 448 bussia t 1 1 6 t 115 vuotta 42 päivää 843 1 1 kuolemantapausta maili 2 (a) Järjestetään skenaariot menetystason mukaan (C 1 C 2 C n ) ja lasketaan todennäköisyydet mentetystasojen saavuttamiselle: Seuraus Todennäköisyys Todennäköisyys saavuttaa taso C 1 p 1 p 1 + p 2 + p 3 + p n C 2 p 2 p 2 + p 3 + p n C n 1 p n 1 p n 1 + p n C n p n p n Seuraus Todennäköisyys Todennäköisyys saavuttaa taso 8 13 1 7 3315 1 5 8 2 1 8 332 1 5 25 25 1 6 33 1 5 3 135 1 5 35 1 5 9 17 1 5 17 1 5 Farmerin käyrä: x-akselilla menetykset, y-akselilla todennäköisyys (aidosti) ylittää x Vasemmalla lineaarinen asteikko, oikealla log-log-asteikko Yleensä suuria tappioita halutaan välttää suhteessa enemmän kuin pieniä tappioita Farmer esitti, että jos on hyväksyttävää, että seuraustaso x ylitetään todennäköisyydellä p, on myös
141216 hyväksyttävää, että seuraustaso 2x ylitetään todennäköisyydellä p/2 (myöhemmin tätä sääntöä on tarkennettu ja peräti standardoitu, lisää luennolla 9: riskivertailut) LogLog-asteikolla tämä relaatio muodostaa suoran, jota voidaan käyttää Farmerin käyrän määrittämän riskiprofiilin analysointiin Tässä tapauksessa vasemmanpuoleinen käyrästä huomaa, että Voimalan räjähdys muodostaa keskeisen osan laitoksen tapaturma-alittiudesta Jos kuitenkin oletetaan, että Voimalan räjähdys skenaario voidaan sinänsä hyväksyä riskinä (sillä se on joka tapauksessa hyvin harvinainen), nähdään piirtämällä oikeanpuoliseen kuvaan Farmirin esittämä suora, että itse asiassa koko laitoksen riskiprofiili alittaa siedettävän rajan (b) Todennäköisyys, että kuolemantapauksia tulee yli sata vuodessa voidaan lukea taulukosta tai Farmerin käyrältä kohdasta C 8 (todennäköisyys, että onnettomuudessa tulee uhreja 1 < C < 8 ) Saadaan vastaukseksi: P r(c 1) P r(c 8) 332 1 5 3 (a) Voimalaitostyyppien Farmerin käyrät saadaan määrittelemällä millä todennäköisyydellä tapahtuu vähintään k kpl rikkisuodattiminen rikkoutumisia kyseisille voimalatyypille Oletetaan, että voimaloiden rikkisuodattimien rikkoutuminen on riippumaton muiden voimaloiden rikkisuodattimen rikkoutumisesta Tällöin rikkisuodattimien rikkoutumisten lukumäärä K noudattaa binomijakaumaa parametrein n ja p, missä n 1 on voimaloiden lukumäärä ja p on rikkisuodattimien rikkoutumistodennäköisyys voimalatyypille Todennäköisyys, että tasan k voimalaitosta vikaantuu on ( ) n P r(k k) p k (1 p) n k, k ja kun k rikkisuodatinta vikaantuu aiheutuu kokonaispäästö, joka on k c, missä c on päästön suuruus yhdestä rikkoutumisesta Farmerin käyrät määrittää todennäköisyys P r(k > k) 1 P r(k k) 1 k i ( ) n p i (1 p) n i, i ja sitä vastaavat seuraamustasot c 1k (laitos A) ja c 1k (laitos B), yksikkö g Kaavan perusteella voimalaitostyypille B todennäköisyys, että tappiotaso on yli g on P r(k > ) 1 ( ) 1 1 (1 1) 1 632 ja että tappiotaso on yli 1 g on P r(k > 1) 1 ((1 632) + ( ) 1 1 1 1 (1 1) 1 1 ) 264
141216 Laitostyyppi A:n todennäköisyydet voidaan laskea myös approksimoimalla binomijakaumaa normaalijakaumalla: Jos muuttuja noudattaa binomijakaumaa parametrilla n ja p, voidaan sitä approksimoida normaalijakaumalla N(µ np, σ 2 np(1 p)) (seurausta suurten lukujen laista) Approksimaatio on hyvä jos n on suuri (yleensä n > 2) ja jos p ei ole lähellä tai 1 (suhteessa n:ään) Tällöin voidaan laskea, että ( ) k np P r(k > k) 1 P r(k k) 1 Φ, np(1 p) missä Φ on standardinormaalijakauman kertymäfunktio Kertymäfunktion Φ arvot löytyvät taulukoista, eli tarpeen tullen Farmerin käyrä voidaan laskea jopa käsin Laitostyyppiä B käsitellessä nähdään jo Farmerin käyrästä (josta oleellisesti kertymäfunktio käy ilmi), että approksimointi normaalijakaumalla, joka on jatkuva ja symmetrinen, ei voi antaa kovinkaan hyvää tulosta Tässä kuitenkin todennäköisyydet pienenevät nopeasti mitättömän pieniksi, eli vaikka periaatteessa olisi mahdollista, että yli 1 suodatinta rikkoontuu samanaikaisesti, mikä aiheuttaisi 1 g/ päästöt, on se niin epätodennäköistä (tn < 1 9 ), että siihen liittyvä riski voidaan jättää tarkastelun ulkopuolelle Näin ollen voitaisiin myös tämä todennäköisyys laskea käsin Tarkat Farmerin käyrät voidaan piirtää esim Mathematicalla Ohessa Matlab-koodi: N_laitokset1;x[:1:N_laitokset]; PrA1;PrB1; SO2A1;SO2B1; figure; stairs(x*so2a,1-binocdf(x,n_laitokset,pra), k-, LineWidth,2); hold on; stairs(x*so2b,1-binocdf(x,n_laitokset,prb), r-*, LineWidth,2); legend( Laitos A, Laitos B );
141216 xlabel( Päästöt g/m^3 );ylabel( Pr ); xlim([ 4]);ylim([ 1]); (b) Laitostyyppi A aiheuttaa yli 1 g/ rikkidioksidipäästön 47% todennäköisyydellä Vastaavasti laitostyyppi B 26% todennäköisyydellä Arvot voidaan katsoa Farmerin käyrästä (c) Laitostyyppi A aiheuttaa yli 2 g/ rikkidioksidipäästön % todennäköisyydellä Vastaavasti laitostyyppi B 8% todennäköisyydellä (d) Tiedetään, että laitostyypin B rikkoutuessa vapautuu 1 g/ tällöin sallitu 2 g/ raja ylittyy, jos suodattimia rikkoutuu enemmän kuin 2 kpl Määritetään haluttu rikkoutumistodennäköisyys: P r(k > 2) 5% 1 P r(k 2) 5% Ratkaisu esim Mathematican Solve komennolla antaa vastauksen p 818175 Rikkisuodattimien vikaantumistodennäköisyyttä on siis vähennettävä noin 2 % Käytännössä vikaantumistodennäköisyyttä voitaisiin pienentää esim vaihtamalla laadukkaampiin suodattimiin, vähentämällä suodattimen rasitusta(eli vähentämällä laitoksen tehoa), parantamalla suodattimen huoltoa tai lisäämällä varasuodattimia 4 Verrataan teknologioiden aggregoituja riskejä Riski R N i1 P ic i, missä P i on seurauksen i todennäköisyys ja C i on seurauksen i taso Jatkuville funktioille R altistustaso Teknologialle A: C(x) 1 x P (x) Teknologialle B: R A C(x) 1x P (x) { 2 5 2 25 x, x 5, x > 5 C(x)P (x)dx ( 2 5 2 25 x)1x dx 2 1 x dx 2 x1 x dx 5 25 2 1 x dx 2 ( 5 x1 x 5 25 ln 1 1 ln 1 2 5 1 x 5 ln 1 2 ( 5 x1 x 25 ln 1 1 5 1 x ) ln 1 ln 1 2 1 5 (15 ln 1 ) 2 25 { x 8, x 4, x > 4 ) 1 x dx ( 5 1 5 ln 1 1 ln 1 (15 1 ln 1 ) ) 1587 P (x)c(x)dx, missä x on
141216 R B C(x)P (x)dx + 1x x 8 dx + 4 4 1 8 x2 dx 1 24 25 6 43 2667 teknologiassa A on suurempi odotusarvoinen menetys 4 x3 C(x)P (x)dx 1x dx Riskejä voi verrata myös Farmerin käyrän avulla Todennäköisyys ylittää altistustaso x saadaan kaavalla π(x) 1 x P (t) dt, jolloin todennäköisyys ylittää menetys c saadaan sijoittamalla yllä olevaan kaavaan x C 1 (c), missä C 1 on menetysfunktion käänteisfunktio (teknologialle A: C 1 (c) ln c/ ln 1 ja teknologialle B: C 1 (x) c/1) Farmerin käyrä saadaan siis piirtämällä käyrä π(c 1 (c)) Log-logaritminen asteikko (x-akselilla menetys, y-akselilla todennäköisyys ylittää menetys, Teknologia A sininen käyrä ja Teknologia B violetti käyrä)