YHTÄLÖITÄ ALOITA PERUSTEISTA A. Luku on yhtälön ratkaisu, jos luku toteuttaa yhtälön. a) Sijoitetaan luku = yhtälöön. 6 = 0 0 = 0 Yhtälö on tosi, joten = on yhtälön ratkaisu. Vastaus: on b) Sijoitetaan luku = yhtälöön. + = + 7 = 0 Yhtälö on epätosi, joten = ei ole yhtälön ratkaisu. Vastaus: ei ole A. a) 0 : Vastaus: = b) 9 9 :( ) 4 Vastaus: = 4
A. a) ( 4) 8 8 :( ) Tarkistetaan sijoittamalla ratkaisu alkuperäiseen yhtälöön. ( + 4) = 9 = = Yhtälö on tosi, joten = on yhtälön ratkaisu. Vastaus: = b) 6 6 : Tarkistetaan sijoittamalla ratkaisu alkuperäiseen yhtälöön. 4 6 Yhtälö on tosi, joten = on yhtälön ratkaisu. Vastaus: =
c) 6 8 4 4 4 (6) 6 0 :( ) 6 Tarkistetaan sijoittamalla ratkaisu alkuperäiseen yhtälöön. 6 6(6) 8 4 4 6 8 8 4 4 6 8 8 4 4 4 8 8 8 Yhtälö on tosi, joten = 6 on yhtälön ratkaisu. Vastaus: = 6
4A. a) Yhtälö on toisen asteen yhtälö, jonka kertoimet ovat a =, b = ja c = 0. Sijoitetaan kertoimet ratkaisukaavaan ja sievennetään lauseke. b b 4ac a 4 ( 0) 8 4 9 4 9 8 tai 9 0 4 4 4 4 Vastaus: = tai b) Yhtälö on toisen asteen yhtälö, jonka kertoimet ovat a =, b = ja c = 4. Sijoitetaan kertoimet ratkaisukaavaan ja sievennetään lauseke. b b 4ac a ( ) ( ) 4 ( ) 4 () 8 4 tai Vastaus: = 4 tai =
c) Yhtälö on toisen asteen yhtälö, jonka kertoimet ovat a =, b = ja c = 0. Sijoitetaan kertoimet ratkaisukaavaan ja sievennetään lauseke. b b 4ac a ( ) ( ) 40 4 4 tai 0 0 Vastaus: = tai = 0
y 4 A. a) Ratkaistaan yhtälöpari y yhteenlaskumenetelmällä. Eliminoidaan ensin muuttuja. y 4 ( ) y 4y 8 y 4y y 8 y :( ) y Sijoitetaan y = ylempään alkuperäiseen yhtälöön + y = 4 ja ratkaistaan. () 4 4 Tarkistetaan sijoittamalla ratkaisu =, y = molempiin yhtälöparin yhtälöihin. + ( ) = 4 4 = 4 ( ) ( ) = = Molemmat yhtälöt toteutuvat, joten yhtälöparin ratkaisu on = ja y =. Vastaus: = ja y =
y 0 b) Ratkaistaan yhtälöpari 4y y0 4y y 4y sijoitusmenetelmällä. Sijoitetaan ylempi yhtälö alempaan yhtälöön ja ratkaistaan saadusta yhtälöstä muuttuja. 4( ) 44 6 : 6 Sijoitetaan 6 yhtälöön y = ja sievennetään. 6 y 6 Tarkistetaan sijoittamalla ratkaisu yhtälöparin yhtälöihin. 6, y molempiin 6 ) 6 0 4 0 44 60 6 00 44 44 Molemmat yhtälöt toteutuvat, joten yhtälöparin ratkaisu on y. Vastaus: 6 ja y 6 ja
6A. a) Yhtälö on verranto. Ratkaistaan se kertomalla ristiin. 6 6( ) ( ) 6 7 Vastaus: = 7 b) Ratkaistaan verranto kertomalla ristiin. 9 9 Vastaus: = ± c) Ratkaistaan verranto kertomalla ristiin. 7 7 8 : 7 8 7 Vastaus: 8 7
7A. a) 4 :4 8 8 Vastaus: = b) : 4 4 4 0 4 Vastaus: = ± c) 0 6 6 6 Vastaus: =
8A. a) 64 64 8 Vastaus: 8 b) y 64 y 6 y 6 Koska kantaluvut () ovat yhtäsuuret myös eksponenttien (y ja 6) oltava yhtäsuuret Vastaus: y = 6 c) z 64 z 64 z 4 Vastaus: z = 4
9A. a) Kun kantaluvut ovat yhtä suuret, myös eksponenttien oltava yhtä suuret. Vastaus: = b) Vastaus: = c) 8 ( ) 6 6 Vastaus: = 6 d) Vastaus: =
e) 0 000 0 0 Vastaus: = f) 0 0,0 0 00 0 0 0 0 Vastaus: =
60A. Merkitään matkan kokonaishintaa kirjaimella. Alkuperäinen yhden matkustajan hinta oli. Kun matkustajia tuli kaksi lisää, yhden matkustajan hinta pieneni 0 eurolla. Yhden matkustajan hinnan lauseke on siis 0. Toisaalta yhden matkustajan hinta saadaan lausekkeella. Merkitään nämä lausekkeet yhtä suuriksi ja ratkaistaan matkan kokonaishinta. 0 0 0 4 4 0 4 4 40 : 7 ) ) Matkan kokonaishinta oli 7, joten yhden matkustajan hinta oli 7. Vastaus: euroa
6A. a) Merkitään osakkeen alkuperäistä arvoa kirjaimella. Osakkeen arvo nousi 0 %, joten se tuli 00 % + 0 % = 0 % =,-kertaiseksi. Muodostetaan yhtälö ja ratkaistaan siitä osakkeen alkuperäinen arvo.,0 :,0 8 Osakkeen alkuperäinen arvo oli 8 euroa. Vastaus: 8 euroa b) Merkitään osakkeen alkuperäistä arvoa kirjaimella. Osakkeen arvo nousi ensin 0 %, eli osakkeen arvo tuli,0-kertaiseksi ja laski sitten 0 %, eli osakkeen arvo tuli 0,80-kertaiseksi. Muodostetaan yhtälö ja ratkaistaan siitä osakkeen alkuperäinen arvo. 0,80,0 8,0 0,96 8,0 :0,96 8,64... 8,6 Osakkeen alkuperäinen arvo oli 8,6 euroa. Vastaus: 8,6 euroa
6A. a) Merkitään kilohintaa kirjaimella ja kirjataan tiedot taulukkoon. Hinta ( ) Paino (g) 8,80 40 000 Kahvipapujen hinta ja paino ovat suoraan verrannolliset. Muodostetaan verranto ja ratkaistaan siitä kilohinta. 8,80 40 000 40 8,80 000 : 40 9,... 9,6 Kahvipapujen kilohinta on 9,6. Vastaus: 9,6 /kg b) Merkitään koulumatkaan autolla kuluvaa aikaa kirjaimella ja kirjataan tiedot taulukkoon. Aika (min) Nopeus (km/h) Aika ja nopeus ovat kääntäen verrannolliset. Muodostetaan verranto ja ratkaistaan siitä aika. : 9,4... 0 Autolla koulumatka kestää noin 0 minuuttia. Vastaus: 0 min
VAHVISTA OSAAMISTA 6B. a) ( ) 0 7 Piirretään alkuperäisen yhtälön vasemmalla puolella ja oikealla puolella olevia lausekkeita vastaavien funktioiden kuvaajat. Suorat näyttäisivät olevan yhdensuuntaisia, joten niillä ei ole yhteisiä pisteitä ja yhtälöllä ei siten ole ratkaisua. Vastaus: ei ratkaisua
b) : Piirretään alkuperäisen yhtälön vasemmalla puolella ja oikealla puolella olevia lausekkeita vastaavien funktioiden kuvaajat. Suorat näyttävät leikkaavan kohdassa oikein. Vastaus:, joten ratkaisu on
c) ( ) 4 64 0 0 Piirretään alkuperäisen yhtälön vasemmalla puolella ja oikealla puolella olevia lausekkeita vastaavien funktioiden kuvaajat. Suorat yhtyvät, joten yhtälö toteutuu kaikilla :n arvoilla. Vastaus: yhtälö toteutuu kaikilla muuttujan arvoilla
64A. a) 4() 04 04 : ( Vastaus: b) ) 0) 0) 0 0 0 0 0 0 000 0 0 : ( ) ( 0 6 Vastaus: 6
y 6A. Suorien leikkauspiste on yhtälöparin y yhtälöpari. ratkaisu. Ratkaistaan y y yy 6 : Ratkaistaan leikkauspisteen y-koordinaatti sijoittamalla = ylempään alkuperäiseen yhtälöön. y y : y Vastaus: pisteessä,
66A. a) (4) ( ) 6 0 Yhtälö on toisen asteen yhtälö, jonka kertoimet ovat a =, b = ja c =. Sijoitetaan kertoimet toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaan ja sievennetään lauseke. b b 4ac a 40 0 9 0 ( ) ( ) 4 Juurrettava on negatiivinen luku, joten yhtälöllä ei ole ratkaisua. Vastaus: ei ratkaisua
b) ( ) 0 00 Yhtälö on toisen asteen yhtälö, jonka kertoimet ovat a =, b = ja c = 0. Sijoitetaan kertoimet toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaan ja sievennetään lauseke. b b 4ac a 80 0 ( ) ( ) 4 ( 0) Vastaus: 0
c) (4 ) 4 4 4 4 4 4 4 0 Yhtälö on toisen asteen yhtälö, jonka kertoimet ovat a = 4, b = 4 ja c =. Sijoitetaan kertoimet toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaan ja sievennetään lauseke. b b ac 4 a 4 4 66 8 (4 4 8 Vastaus: ( 4) ( 4) 4 4
d) ( ) 4 ( )( ) 4 44 4 0 Yhtälö on toisen asteen yhtälö, jonka kertoimet ovat a =, b = 4 ja c = 0. Sijoitetaan kertoimet toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaan ja sievennetään lauseke. b b 4ac a 4 4 40 44 44 0 tai 44 8 4 Vastaus: = 0 tai = 4
67A. a) : Vastaus: b) 8 6 ( )( ) 6 4 6 4 8 0 Yhtälö on toisen asteen yhtälö, jonka kertoimet ovat a = 4, b = 8 ja c =. Sijoitetaan kertoimet toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaan ja sievennetään lauseke. b b 4ac a (4) 8 8 4 ( 4) ( ) 8 6448 8 84 8 (4 (4 84 4 tai 84 8 8 8 8 Vastaus: tai
68A. a) Ratkaistaan yhtälöt. : 7 0 0 ( 7) ( 7) 4 ( 0) 7 49 40 6 7 89 6 77 6 7 7 4 4 tai 7 7 0 6 6 6 6 Molemmilla yhtälöillä on ratkaisuna Vastaus: on. b) Merkitään lausekkeet yhtä suuriksi ja ratkaistaan saatu yhtälö. ( ) 6 : Vastaus: =
69A. Lausekkeen nollakohdat ratkaistaan yhtälöstä ( + )( ) = 0. ( )( ) 0 0 0 Yhtälö on toisen asteen yhtälö, jonka kertoimet ovat a =, b = ja c = 0. Sijoitetaan kertoimet toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaan ja sievennetään lauseke. b b 4ac a 4 ( ) 0 () 0 0 tai Lausekkeen nollakohtia ovat = 0 ja = Vastaus: = 0 tai =
70A. a) Ratkaistaan yhtälöpari. y 4 ( ) y 4y 8 y 4yy8 7 :( ) 7 Ratkaistaan muuttuja y yhtälöstä + y = 4. y 4 y 4 y 4 7 ) y 4 4 y 0 4 y 6 Vastaus: 7 ja y 6
b) Ratkaistaan yhtälöpari. y y y y : Ratkaistaan muuttuja y yhtälöstä y. y y y Vastaus: ja y
7A. a) 4 6 8 7 7 Vastaus: 7 b) (4) (6) 44 : 4 4 Vastaus: = ± c) 4 ( ) 4 8 Minkään reaaliluvun parillinen potenssi ei ole negatiivinen, joten yhtälöllä ei ole ratkaisua. Vastaus: ei ratkaisua
7B. a) Koska kantaluvut ovat yhtä suuret, myös eksponenttien oltava yhtä suuret. 4 4 4 : 4, Vastaus: 4, b) Ratkaistaan yhtälö logaritmin avulla. 0 log0 lg, 08 Vastaus: = lg,08 c) Koska = 8, yhtälön oikealle puolelle saadaan luvun potenssi. 8 : 0,67 Vastaus: 0,67
d) Koska = 7, yhtälön vasemmalle puolelle saadaan luvun potenssi. 7 9 () : 0,0 () 9 Vastaus: 0,0 e) e 0 e : e loge ln,0 Vastaus: = ln,0 f) 07 40 0 07 40 :0 7 4 Luvun 7 potenssi ei voi olla negatiivinen, joten yhtälöllä ei ole ratkaisua. Vastaus: ei ratkaisua
7A. a) Esimerkiksi yhtälön = 0 yksi juuri on =, koska 0 Vastaus: esim. = 0 b) Yhtälö toteutuu, kun =. Sijoitetaan = yhtälöön ja ratkaistaan kerroin a. ( ) a ( ) a () a 6a a 8 : a 4 Vastaus: a = 4 74B. Merkitään Aadan ostaman kryptovaluutan määrää kirjaimella. Kun valuutan arvo romahti 6 %, Aadan valuutan arvo väheni 0,6. Toisaalta arvo väheni 4 0. Muodostetaan yhtälö ja ratkaistaan siitä alkuperäinen kryptovaluutan määrä. 0,6 4 0 : 0,6 68 80,64... 68 80,6 Aada oli ostanut kryptovaluuttaa 68 80,6 eurolla. Vastaus: 68 80,6 eurolla
7A. Merkitään yhden BitCoinin kauppahintaa vuotta aiemmin kirjaimella. BitCoinin arvo nousi 900 %, eli se tuli 00 % + 900 % = 000 % = 0-kertaiseksi vuodessa. Muodostetaan yhtälö ja ratkaistaan siitä kauppahinta. 0 6 000 :0 600 Yhden BitCoinin kauppahinta vuotta aiemmin oli 600 $. Vastaus: 600 $ 76A. a) Merkitään aikaa kirjaimella. Merkitään tiedot taulukkoon. Maalarien määrä Aika (työpäivää) Mitä enemmän työntekijöitä, sitä nopeammin urakka tulee tehdyksi. Suureet ovat siis kääntäen verrannolliset. Muodostetaan verranto ja ratkaistaan siitä aika. 0 Yhdeltä maalarilta aikaa kuluisi 0 työpäivää. Vastaus: 0 työpäivää
b) Merkitään aikaa kirjaimella. Merkitään tiedot taulukkoon. Maalarien määrä Aika (työpäivää) Suureet ovat siis kääntäen verrannolliset. Muodostetaan verranto ja ratkaistaan siitä aika. 0 : 0 Viideltätoista maalarilta aikaa kuluisi työpäivää. Tämä on 8 h,...h h 0 min. Vastaus: h 0 min 77B. Merkitään autojen määrää kirjaimella a ja mopojen määrää kirjaimella m. Koska yhdessä autossa on 4 rengasta, niin a:ssa autossa on 4a rengasta ja vastaavasti m:ssä mopossa on m rengasta. Kulkuneuvojen ja renkaiden määristä saadaan yhtälöt. Muodostetaan yhtälöistä yhtälöpari ja ratkaistaan siitä autojen ja mopojen määrät. 0 a m 4am96 Symbolisen laskennan ohjelmalla yhtälöparin ratkaisuksi saadaan a = 8 ja m =. Parkkipaikalla on 8 autoa ja mopoa. Vastaus: 8 autoa ja mopoa
78B. Merkitään minun ikääni nyt kirjaimella m ja lapseni ikää nyt kirjaimella l. Nyt ikäni on 7 vuotta enemmän kuin lapseni ikä kolminkertaisena muodostaa valituilla kirjaimilla yhtälön m = l + 7. Minun ikäni 9 vuotta sitten oli m 9 ja lapseni ikä l 9. Tuolloin lapseni ikä -kertaisena oli (l 9). Muodostetaan tiedoista yhtälöpari ja ratkaistaan siitä iät m ja l. m9( l9) ml7 Symbolisen laskennan ohjelmalla yhtälöparin ratkaisuksi saadaan m = 4 ja l =. Minä olen nyt 4-vuotias ja lapseni -vuotias. Vastaus: 4 vuotta, vuotta 79B. Merkitään talvinopeusrajoitusta kirjaimella. Kirjataan tiedot taulukkoon. Nopeus (km/h) Aika (min) + 0 Nopeus ja aika ovat kääntäen verrannolliset. Muodostetaan verranto ja ratkaistaan siitä nopeus. 0 Symbolisen laskennan ohjelmalla yhtälön ratkaisuksi saadaan = 80 km/h. Talvinopeusrajoitus on 80 km/h. Vastaus: 80 km/h
80A. Merkitään varren halkaisijaa 90 vrk:n ikäisenä kirjaimella. Merkitään tehtävän tiedot taulukkoon. Halkaisija (mm) ikä vrk 40 90 Varren halkaisija on suoraan verrannollinen kasvin iän neliöjuureen. Muodostetaan verranto ja ratkaistaan siitä varren halkaisija. 40 90 40 90 : 40 8 Kasvin varsi on 8 mm paksu. Vastaus: 8 mm
8B. Loppumatkaan kuluva aika on min h 4 Kokouksen alkuun on aikaa h = h. 8 4 8 t matka 0 km h. nopeus 80 km/h 8 Nopeudella 70 km/h loppumatkaan kuluu aikaa t matka 0 km h. nopeus 70 km/h 7 Herra Hoppulainen myöhästyisi siis h 0,0... h 8,4... min 8 min. 7 8 Jotta hän olisi ajoissa perillä, hänen tulisi ajaa nopeudella v matka 0 km 40km/h. aika h 8 Vastaus: noin 8 minuuttia, 40 km/h
8B. Merkitään Diofantoksen elinikää kirjaimella. Muodostetaan tarinan avulla yhtälö ja ratkaistaan siitä. 4 6 7 Symbolisen laskennan ohjelmalla yhtälön ratkaisuksi saadaan = 84. Diofantos saavutti 84 elinvuotta. Vastaus: 84 vuotta 8B. Merkitään lisättävän veden määrää kirjaimella. Suolan määrä 0-prosenttisessa liuoksessa on 0, 4 kg = 0,4 kg. Uuden liuoksen kokonaismassa on 4 + kg, ja suolan määrä uudessa liuoksessa on 0,08(4 + ). Muodostetaan yhtälö ja ratkaistaan siitä tilavuus. 0,4 0,08(4 ) 0,4 0, 0,08 0,08 0,08 Vettä on lisättävä kg. Vastaus: kg
84B. Merkitään lisättävän kuohuviinin määrää kirjaimella. Kirjataan tiedot taulukkoon. Mansikkamehu (l) Kuohuviini (l) Yhteensä Sekoitus alussa 0, 4,0 =, 0,7 4,0 =,8 4,0 Lisäys 0 Sekoitus lopussa,,8 + 4 + Lopullisessa sekoituksessa on oltava 0 % mansikkamehua, eli 0, (4 + ) litraa. Muodostetaan yhtälö ja ratkaistaan siitä lisättävän kuohuviinin määrä. 0,(4 ), : 0, 4 6 Kuohuviiniä täytyy lisätä litraa. Vastaus: litraa
8B. Merkitään meetvurstin massaa kirjaimella a, jolloin rasvan massa on 0,6a. Merkitään poistettavan rasvan määrää kirjaimella. Uutta meetvurstia on tällöin a ja siinä on rasvaa 0,6a. Muodostetaan yhtälö, kun tiedetään, että uuden meetvurstin rasvapitoisuus on 0 % = 0,. Ratkaistaan yhtälöstä ohjelman avulla poistettavan rasvan määrä. 0,( a ) 0,6a Lasketaan kuinka monta prosenttia vähennettävän rasvan määrä 0,087...a on alkuperäisestä rasvan määrästä 0,6a. 0,087... a 0,8... 0,6a Alkuperäisestä rasvan määrästä on vähennettävä,8 % 4 % rasvaa. Vastaus: 4 %
86B. a) Sijoitetaan yhtälöön luvut kehon massa = 0, EQ-luku =,0 ja ratkaistaan ohjelman avulla koiran aivojen massa., 0 0,00 Koiran aivojen massa on 0,06 kg 0,06 kg = 6 g. Vastaus: 6 g b) Sijoitetaan yhtälöön luvut EQ-luku = 7,, aivojen massa =, ja ratkaistaan ohjelman avulla ihmisen keskimääräinen massa. Negatiivinen ratkaisu ei ole mahdollinen, joten ihmisen keskimääräisenä massana on käytetty lukuarvoa 8,094 kg 8 kg. Vastaus: 8 kg
SYVENNÄ YMMÄRRYSTÄ 87A. Muokataan yhtälöä muotoon, jossa yhtälön toisella puolella on vain. y y y ( y) ( y) yy 7 y :( y) 7 y Vastaus: 7 y 88A. a) Yhtälöparilla on ääretön määrä ratkaisuja, jos yhtälöparin yhtälöt ovat sama yhtälö. Muokataan alempaa yhtälöä ja valitaan vakioille k ja b sellaiset arvot, että yhtälöt ovat samat. 4y 0 4 y kb 4y 0 k 4 y b Huomataan, että, jos k = ja b = 0 yhtälöt ovat samat ja yhtälöparilla on ääretön määrä ratkaisuja. Vastaus: k =, b = 0
b) Yhtälöparilla ei ole ratkaisua, jos yhtälöitä vastaavat suorat ovat yhdensuuntaiset, mutta eivät yhdy. Muutetaan molemmat yhtälöt ratkaistuun muotoon. 4y 0 4 y kb 4 y 0 : 4 4 y kb : 4 y y k b 4 4 Jotta suorat olisivat yhdensuuntaiset, on kulmakertoimien oltava yhtä suuret. Muodostetaan yhtälö ja ratkaistaan siitä k. k 4 4 k Jotta suorat eivät yhtyisi on suorien vakiotermien oltava eri suuret siis b 4 4 b 0 Yhtälöparilla ei ole yhtään ratkaisua, jos k = ja b 0.` Vastaus: k =, b 0 c) Yhtälöparilla on yksi ratkaisu, jos yhtälöitä vastaavat suorat leikkaavat toisensa eli ovat eri suuntaiset. Tämä tapahtuu a- ja b- kohtien perusteella silloin, kun k. Vastaus: k
89A. Yhtälö toteutuu, kun =. Sijoitetaan = yhtälöön ja ratkaistaan vakio a. a a ( ) 0 a( ) ( a )( ) 0 aa 0 a a0 4 ( ) a () a 9 a tai a Sijoitetaan alkuperäiseen yhtälöön ensin a = ja ratkaistaan yhtälö. a ( a ) 0 ( ) 0 0 4 4 tai 4 4 Kun a =, on toinen juuri. Sijoitetaan alkuperäiseen yhtälöön a = ja ratkaistaan yhtälö. a ( a ) 0 (( ) ) 0 0 Kun a =, on toinen juuri =. Vastaus: a =, ja a =, =
90A. a) Yhtälön juuret ja saadaan toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla. Lasketaan juurten summa. 4 4 a a b b 4ac b b 4ac a b a b a Vastaus: b b ac b b ac b) Kohdan a mukaan yhtälön + = 0 juurten summa on b. a Vastaus: 9A. Yhtälön + + a = 0 diskriminantti on D = b 4ac = 4 a. Toisen asteen yhtälön juuret ovat yhtä suuret, kun diskriminantti on 0. Muodostetaan yhtälö ja ratkaistaan siitä vakio a. 4a 0 4a :( 4) a 4 Ratkaistaan toisen asteen yhtälö 0. 4 Ratkaisukaavalla saadaan: 4 b b 4ac 4 0. a Vastaus: a, 4
9A. a) Sijoitetaan a = ja y = muunnoskaavaan logb y log a y. log a b log log lg log lg 0 0 Vastaus: lg lg b) Yhtälön 4 = 6 ratkaisu on log 6 lg 6 0 log4 6. log0 4 lg 4 Vastaus:
9B. Merkitään syntymäpäivää merkinnällä pvkkvv. Muodostetaan ajatustenlukemistempun laskutoimitusten lauseke.. pv + 8. (pv + 8). ((pv + 8) ) 4. (((pv + 8) ) ) 8. ((((pv + 8) ) ) 8) 4 ((((pv 8) ) ) 8) 4 6. 7. ((((pv 8) ) ) 8) 4 kk ((((pv 8) ) ) 8) 4 8. kk ((((pv 8) ) ) 8) 4 9. kk 69 ((((pv 8) ) ) 8) 4 0. kk 69 0 ((((pv 8) ) ) 8) 4. kk 69 0 vv ((((pv 8) ) ) 8) 4. kk 69 0 vv 940 Sievennetään lauseke sopivalla ohjelmalla. Tulokseksi saadaan 0 000 pv + 00 kk + vv eli luku pvkkvv. Vastaus:
94A. Välivaiheessa B on kirjain a korvattu yhtä suurella lausekkeella 4a a ja kirjain b korvattu yhtä suurella lausekkeella 4b b sekä kirjain c korvattu yhtä suurella lausekkeella 4c c. Välivaiheessa C on termejä siirretty yhtälön puolelta toiselle. Välivaiheessa D on yhtälön vasemmalla puolella otettu yhteinen tekijä 4 ja oikealla puolella yhteinen tekijä. Välivaiheen D jälkeen on yhtälö jaettu puolittain lausekkeella (a + b c) ja saatu välivaihe E. Tässä vaiheessa on tehty virhe, koska jakajana olevan lausekkeen arvo on nolla, sillä vaiheesta A nähdään, että a + b c = 0. Nollalla ei saa jakaa. Vastaus: Välivaiheessa B on kirjain a korvattu yhtä suurella lausekkeella 4a a ja kirjain b korvattu yhtä suurella lausekkeella 4b b sekä kirjain c korvattu yhtä suurella lausekkeella 4c c. Välivaiheessa C on termejä siirretty yhtälön puolelta toiselle. Välivaiheessa D on yhtälön vasemmalla puollella otettu yhteinen tekijä 4 ja oikealla puolella yhteinen tekijä. Välivaiheen D jälkeen on yhtälö jaettu puolittain lausekkeella (a + b c) ja saatu välivaihe E. Tässä vaiheessa on tehty virhe, koska jakajana olevan lausekkeen arvo on nolla, sillä vaiheesta A nähdään, että a + b c = 0. Nollalla ei saa jakaa.
y 9A. a) Esimerkiksi yhtälöryhmällä y on vain yksi ratkaisu. Ratkaistaan y ensin yhtäöryhmän kahden ensimmäisen yhtälön muodostama yhtälöpari. y 0 0 Sijoitetaan = 0 yhtälöryhmän ensimmäiseen yhtälöön, jolloin saadaan y = 0. Sijoittamalla = 0, y = 0 yhtälöryhmän viimeiseen yhtälöön huomataan, että se toteutuu, joten yhtälöryhmän ainoa ratkaisu on = 0 ja y = 0. y Vastaus: esim. y y y b) Esimerkiksi yhtälöryhmällä y ei ole ratkaisua. Kahden y ensimmäisen yhtälön muodostaman yhtälöparin ratkaisu on a-kohdan perusteella = 0 ja y = 0. Sijoittamalla = 0, y = 0 yhtälöryhmän viimeiseen yhtälöön huomataan, että se ei toteudu, joten yhtälöryhmällä ei ole ratkaisua. y Vastaus: esim. y y
c) Kohta a: Yhtälöryhmä, jolla on yksi ratkaisu, tarkoittaa graafisesti sitä, että yhtälöryhmän suorilla on täsmälleen yksi sellainen piste, jonka kautta kaikki kolme suoraa kulkevat. Kohta b: Yhtälöryhmä, jolla ei ole ratkaisua, tarkoittaa graafisesti sitä, että kaikki yhtälöryhmän suorat eivät leikkaa samassa pisteessä. Kohdan b yhtälöryhmän kahden ylimmän suoran leikkauspiste on piste (0, 0). Ylin suora ja alin suora eivät leikkaa toisiaan laisinkaan, koska ne ovat yhdensuuntaiset. Vastaus: a-kohta: kaikilla kolmella suoralla on yhteinen leikkauspiste, b-kohta: kaikilla kolmella suoralla ei ole yhteistä leikkauspistettä
y 96A. a) Ratkaistaan yhtälöryhmä y z. y z 8 Kahdesta alimmasta yhtälöstä saadaan eliminoitua muuttujat ja z ja ratkaistua muuttuja y. y z ( ) y z 8 y z y z 8 y :( ) y Sijoitetaan saatu muuttujan y arvo ylimpään yhtälöön, jolloin saadaan ( ). Sijoitetaan = ja y = keskimmäiseen yhtälöön, jolloin saadaan z z 4. Yhtälöryhmän ratkaisu on siis y. z 4 Vastaus: y z 4
b) Ratkaistaan yhtälöryhmä yz 0 6yz 6 7yz Eliminoidaan toisesta ja kolmannesta yhtälöstä muuttuja z. 06yz 6 7yz 4y Eliminoidaan ensimmäisestä ja toisesta yhtälöstä muuttuja z. yz 06yz 6 ( ) 0y0z 0 y 0z 07 y 7 Muodostetaan yhtälöpari ja ratkaistaan siitä muuttujat ja y. 4y 0 07 y 7 040y 0 08y 4y 4 : 4 y Sijoitetaan y = yhtälöön 4y =, jolloin saadaan 4 = = =
Sijoitetaan = ja y = ylimpään yhtälöön, jolloin saadaan z z z 4 z Yhtälöryhmän ratkaisu on siis y. z Vastaus: y z 97B. Merkitään pienempää luonnollista lukua kirjaimella. Seuraava luonnollinen luku on +. Muodostetaan lukujen neliöiden erotusten avulla yhtälö ja ratkaistaan ohjelman avulla siitä luku. ( ) 68 Luvut ovat 40 ja 40 + = 4. Vastaus: 40 ja 4
98B. Muokataan yhtälöä. ( ) a a ( )( ) a ( ) a a a 0 a a a 0 ( a) aa0 Toisen asteen yhtälöllä täsmälleen yksi juuri silloin, kun diskriminantti D = 0. Muodostetaan diskriminantin avulla yhtälö ja ratkaistaan ohjelman avulla siitä a. b 4ac0 a a a ( ) 4( )( ) 0 4 D b ac Vastaus: a
99A. a) Yhtälön ratkaiseminen on aloitettu jakamalla yhtälö puolittain luvulla, jolloin on saatu välivaihe (F). Vaiheen (F) jälkeen yhtälöstä on vähennetty puolittain termi, jolloin on saatu välivaihe (C). Vaiheen (C) jälkeen on avattu sulkeet, jolloin on saatu välivaihe (E). Vaiheen (E) jälkeen yhtälöön on lisätty puolittain lauseke 4, jolloin on saatu välivaihe (D). Vaiheen (D) jälkeen on yhdistetty samanmuotoiset termit ja käännetty yhtälö ympäri, jolloin on saatu välivaihe (B). Vaiheen (B) jälkeen on yhtälö jaettu puolittain luvulla, jolloin on saatu yhtälön ratkaisu (G). Vastaus: Välivaiheen järjestysnumero 4 6 7 Välivaihe A F C E D B G b) Yhtälön ratkaiseminen on aloitettu vaihtamalla yhtälön puolet keskenään. Tämän jälkeen on siirretty termit 4 ja 8 puolelta toiselle, jolloin on saatu välivaihe (B). Vaiheen (B) jälkeen yhtälöön on lisätty puolittain luku 4, jolloin on saatu välivaihe (E). Vaiheen (E) jälkeen polynomi 4 + 4 on muutettu muotoon ( ) ja luku 6 on muutettu potenssiksi 4, jolloin on saatu välivaihe (F). Vaiheen (F) jälkeen on otettu neliöjuuri, jolloin on saatu välivaihe (D). Vaiheen (D) jälkeen on yhtälöön lisätty puolittain luku, jolloin on saatu yhtälön ratkaisu (G). Huomataan, että välivaihe (C) ei kuulu tämän yhtälön ratkaisuun. Vastaus: Välivaiheen järjestysnumero 4 6 Välivaihe A B E F D G
00A. Koska T = lg p eli T = log 0 p, niin p = 0 T. a) Alkoholinkäytöstä johtuvan kuoleman todennäköisyys on p = 0,8 = 0,0008 Tapaturmaisen kuoleman todennäköisyys on p = 0,4 = 0,00098 Tapaturmaisen kuoleman todennäköisyys on suurempi. Vastaus: tapaturmaisen kuoleman b) Tieliikenteessä loukkaantumisen todennäköisyys on p = 0, = 0,00060 Suomalaisia on noin,4 miljoonaa, joten suomalaisia loukkaantuu keskimäärin tieliikenteessä vuosittain 0,00060 400 000 = 407,69 400. Vastaus: 400 0A. a) t t0 t t 0 ( ) ( ) 4 t 4 8 tai t 4 4 4 4 Vastaus: t = tai t
b) TAPA : Yhtälö f ( ) f ( ) 0, on sama kuin a-kohdan yhtälö, mutta nyt muuttujan t paikalla on funktio f (). Kuvassa olevan suoran yhtälö on y, joten f ( ). Kohdassa a yhtälön ratkaisuiksi saatiin t = ja t. Nyt t = f (), joten muuttuja saadaan ratkaistua yhtälöistä f () = ja f( ). Ratkaistaan yhtälöt. ja
TAPA : Kuvassa olevan suoran yhtälö on y, joten f ( ). Sijoitetaan f ( ) yhtälöön f ( ) f ( ) 0, jolloin saadaan yhtälö 0 0 0 4 4 4 4040 0 ( ) ( ) 4 ( ) 9 tai Vastaus: = tai =