sanalli Matematiikan sanalliset tehtävät TEHTÄVÄN YMMÄRRYS Toim. Teija Laine, Turun Matikkamaa

sanalli Matematiikan sanalliset tehtävät TEHTÄVÄN YMMÄRRYS 1

LUKIJALLE Matematiikan oppimisen voima on siinä, että osaa käyttää matematiikkaa hyödykseen. (Riley, Greeno ja Heller1983, 159) Eripuolilta maailmaa saadut tutkimustulokset viittaavat siihen, että koulussa opittu matemaattinen ongelmanratkaisu helposti mekanisoituu ja sulkee ulkopuolelleen arkipäivän tiedon käytön. Monista oppilaista on täysin järkevää antaa vastaukseksi 2,5 linja- autoa tehtävään, jossa kysytään tietyn henkilömäärän kuljettamiseen tarvittavien linja- autojen määrää. - Mä en oikeen tiiä, et kerronko mä vai jaanko sen? On se ehkä sit kertolasku Tää on oikeestaan aika vaikee Sanallisten tehtävien käyttö matematiikan opettamisen osana on ollut aktiivisen tutkimuksen kohteena viimeksi kuluneiden parin vuosikymmenen aikana. Sanallisessa muodossa esitettävien matemaattisten ongelmien käyttö opetuksessa ei kuitenkaan ole uusi asia, vaan niitä on käytetty jo pitkään. Itse asiassa esimerkiksi suomalaisen kansakoulun matematiikan opetuksessa hyvinkin käytännöllisillä arkipäivän toimiin liittyvillä sanallisilla tehtävillä oli suuri merkitys jo viime vuosisadan alkupuolella. Tutkimus on nostanut esiin monia kysymyksiä, joihin matematiikan opetuksen kehittämisessä tulisi kiinnittää huomiota. Matematiikan sanallisten tehtävien on nähty kuuluva itsestään selvänä osana matematiikan opetukseen ilman, että opetussuunnitelman laatijoilla, oppikirjan tekijöillä tai opettajilla on selvää käsitystä siitä, mitä sanallisilla tehtävillä tavoitellaan. Jos näiden tehtävin käytön tarkoitus olisi selvästi muotoiltu, niin opettajien olisi paljon helpompi miettiä sitä, miten ja millaisia sanallisia tehtäviä tulisi opetuksessa käyttää. Ei ole järkevää yrittää löytää yhtä tavoitetta sanallisten tehtävien käytölle, vaan asiaa kannattaa tarkastella useammasta näkökulmasta. Yleisemmin esitetty perustelu sanallisten tehtävien käytölle on se, että niiden avulla voidaan opetella ongelmanratkaisutaitoa, joka nähdään keskeisenä niin sanottuna yleisenä taitona, jota ihmisiltä nykyisin ja varsinkin tulevaisuudessa vaaditaan. Sanallisten tehtävien kautta voidaan myös rakentaa siltaa puhtaan luvuilla ja symboleilla harjoitettavan koulumatematiikan ja matemaattisen tiedon käytännöllisen soveltamisen välille. Tämä on erityisen tärkeää senkin vuoksi, että siirryttäessä peruslaskutoimituksista vähänkään monimutkaisempiin matematiikan sisältöihin, niin opettajilla on usein vaikeuksia vastata oppilaiden kysymyksiin siitä, mihin tätä tarvitaan. Pelkästään numeerisia (mekaanisia) tehtäviä käytettäessä oppilailla voi muodostua varsin rajoitettu ja jäykkä tulkinta matemaattisista operaatioista. Sanalliset tehtävät voivat olennaisesti tukea joustavien ja erilaisiin tilanteisiin helposti sovitettavien matemaattisten taitojen kehittymistä. Kiinnostavat sanalliset tehtävät voivat myös vahvistaa motivaatiota oppia matematiikkaa. Eri puolilla maailmaa toteutetut tutkimukset kuitenkin viittaavat siihen, että mahdollisuudet vastata tällaisiin yleisempiin oppimistavoitteisiin sanallisten tehtävien avulla ei ollenkaan aina toteudu. Sanalliset tehtävät eivät olekaan oppilaita motivoivia ja koulumatematiikkaa käytäntöön kytkeviä, vaan jopa pelättyjä ja inhottuja tehtäviä, joita on pakko suorittaa. Valtaosa oppikirjoissa käytetyistä tehtävistä on sellaisia, että niiden tavoitteenakaan ei ole ollut edellä esitettyjen yleisten tavoitteiden saavuttaminen, vaan juuri opiskeltujen 2

matemaattisten operaatioiden mekaaninen hajaannuttaminen. Tämä puolestaan on totuttanut oppilaat (ja mahdollisesti vähän opettajatkin) suhtautumaan sanallisiin tehtäviin siten, ettei niissä ole mitään ymmärtämistä vaativaa ongelmaa. Tärkeintä on poimia tehtävästä luvut ja suorittaa niillä se operaatio, jota juuri harjoitellaan. Esimerkiksi aritmeettisia operaatioita harjoitettaessa korostetaan usein nopeaa suoritusta. Ajatuksena on, että oppilaalle kehittyy muistivarasto, josta saa suoraan palautettua aritmeettisten operaatioiden tulokset ilman, että operaatiota joutuu suorittamaan mielessään vaiheittain. Tämä on sinänsä tärkeä matematiikan opetuksen tavoite, mutta ongelmallista on, jos nopean suorituksen odotus siirtyy myös sanallisiin tehtäviin. Perinteinen ajattelu sanallisten tehtävien ratkaisusta on lähtenyt siitä, että kun oppilas lukee huolellisesti tehtävän hän voi sen perusteella muodostaa suoraan tarvittavan ratkaisulausekkeen. Tutkimus on kuitenkin tuonut voimakkaasti esille sen, että ennen minkään matemaattisen operaation tai lausekkeen muotoilemista on olennaista muodostaa selkeä kuva siitä, mitä tehtävän kuvaamassa tilanteessa konkreettisesti tapahtuu. Vasta tällaisen tilannemallin pohjalta on mahdollista päätellä, millaisilla matemaattisilla operaatioilla kyseinen tehtävä on ratkaistavissa. Konkreettisen tilannemallin luominen ennen ratkaisua auttaa myös arvioimaan millaiset tulokset ovat mahdollisia tai järkeviä. Alussa mainittujen sanallisten tehtävien yleisten tavoitteiden kannalta tärkeää onkin saada oppilaat pysähtymään ja ajattelemaan sitä, mistä tehtävässä on kysymys. Samalla tavalla tehtävän matemaattisen suorituksen jälkeen pitäisi palata tilannemalliin ja miettiä onko saatu ratkaisu järkevä. Jos laskutehtävien toteutuksen jälkeen saa tulokseksi, että pullataikinaan tarvitaan 3 grammaa jauhoja tai että 4 lapsen jäätelöannokset maksavat 15000 euroa, niin tilannemallin perusteella voi jo heti nähdä, että laskuissa meni jotain pieleen. Laskutoimitukset voivat antaa tulokseksi, että luokkaretkeläisten kuljettamiseen tarvitaan 3,5 linja-autoa. Tilannemallin perusteella on selvää, että laskutoimituksen tulos voi olla oikein mutta se ei kuitenkaan ole järkevä vastaus, vaan käytännössä retkeläisten kuljettamiseen tarvitaan 4 linja-autoa. On kuitenkin vaikea opettaa oppilaille syvällisempää ongelmanratkaisua ja tilannemallin luomisen tärkeyttä, jos tarjolla on vain yksinkertaisia mekaanisten tehtävien harjoitteluun tarkoitettuja sanallisia tehtäviä. Siksi onkin tärkeää, että opettajilla on käytössään monipolvisempia ja todellisista käytännön tilanteista kumpuavia tehtäviä. Toisaalta esimerkiksi oppikirjoissa valmiina olevia tehtäviä on mahdollisuus rikastaa lisäämällä niihin ongelmanratkaisua monipuolistavia ja tehtävien kiinnostavuutta lisääviä elementtejä. Mekaanisessa laskutoimitusten harjoittelussa tehtävien suurella määrällä on merkitystä. Sen sijaan syvällisempää ongelmanratkaisua voidaan harjoitella paljon vähäisemmällä määrällä tehtäviä, joihin keskitytään kunnolla. Jos opettajilla on käytettävissään käytännön koulutilanteissa kehitettyjä ja testattuja vaativampia tehtävätyyppejä, niin niistä saatavien ideoiden perusteella on helppo laatia myös omia tehtäviä. Hyviä kokemuksia on saatu myös siitä, että vaativampia sanallisia tehtäviä tehdään yhdessä oppilaiden kanssa. Yhteinen tehtävien laadinta tuo konkreettisesti esille tilannemallin tärkeyden, koska tällaisia tehtäviä laadittaessa tehdään ensin ikään kuin tapahtumien käsikirjoitus ja sitä täydennetään niillä numeerisilla arvoilla, joita tarvitaan tehtävän ratkaisuun liittyvissä laskutoimituksissa. Käsillä oleva materiaali on syntynyt hyvin käytännöllisen kehittämistyön yhteydessä. Sen tarkoituksena on antaa opettajille vihjeitä siitä, miten matematiikan sanallisen tehtävät voitaisiin saada palvelemaan nykyistä paremmin sekä matematiikan että yleisen ongelmanratkaisun oppimista. Erno Lehtinen Akatemiaprofessori Turun yliopisto 3

Ongelmakeskeinen lähestymistapa tarjoaa monipuolisen keinon kehittää oppilaan ajattelua ja luovuutta. Arkipäivän elämään liittyvät ongelmat ja niiden ratkaisuteiden etsiminen ovat vaarassa hävitä koulumatematiikasta. Arkiajattelun käyttämisestä koetaan nykyään usein olevan enemmänkin haittaa kuin hyötyä, kun suoritetaan matematiikan tehtäviä. Kuitenkin juuri silloin matematiikka tuntuu meistä hyödylliseltä, kun sitä voidaan soveltaa tiettyihin ongelmatilanteisiin. Matematiikan voima on siinä, että osaa käyttää sitä hyödykseen. Useissa tutkimuksissa on todettu, että matematiikan oppikirjojen stereotyyppiset sanalliset ns. ongelmatehtävät eivät aktivoi oppilaita syventymään ongelmanratkaisuprosessiinsa. Niiden seurauksena oppilaat oppivat käyttämään pinnallisia strategioita ja sulkemaan arkiajattelunsa pois silloin, kun aletaan ratkaista matematiikan tehtäviä. Matematiikan sanallisissa ongelmissa toimintastrategian luominen ja sen ylläpitäminen katsotaan hankalaksi asiaksi. Oppilaan pitää pystyä luomaan annetusta tekstistä tilannemalli, joka sisältää tekstin informaation pohjalta tehtyjä päätelmiä ja on näin esitys tekstin sisällöstä. Voidaan olettaa, että mitä tarkemmin ongelma on tekstissä kuvailtu, sitä helpompaa on oppilaiden rakentaa siitä toimiva tilannemalli. Konkreettisen materiaalin käytön tai piirrosten ja taulukoiden tekemisen on todettu auttavan ongelmanratkaisussa, mutta useimmat oppilaat eivät käytä piirtämistä apunaan, ellei sitä erikseen vaadita. Monet oppilaat eivät käytä apunaan strategioita, kuten piirtämistä, ongelman osittamista, helpommilla numeroilla ongelman ratkaisemista tai arvausta, tarkistusta ja korjaamista. Heidän ongelmanratkaisutapansa jää pinnalliseksi. Oppilas vilkaisee pikaisesti ongelmaa, päättää nopeasti, mitä laskutoimituksia pitää tehdä annetuilla numeroilla ja suorittaa laskutoimitukset harkitsematta muita vaihtoehtoja - vaikka edistystä ei tapahtuisikaan. - Mä en oikeen tiiä, et kerronko mä vai jaanko sen? On se ehkä sit kertolasku Tää on oikeestaan aika vaikee Oppilailla on usein tietoja ja taitoja, joihin he eivät pääse käsiksi tai eivät muuten käytä silloin, kun niitä tarvittaisiin ongelman ratkaisemiseksi. Oppilaita pitäisi siis ohjata tekemään oikeita valintoja ja tarkkailemaan tietoisesti omaa ajatteluaan. Ongelmanratkaisutaitojen monipuolinen opettelu parantaa myös yleisesti arkielämässä välttämätöntä ongelmanratkaisukykyä. Tämän julkaisun lopussa emeritusprofessori Erkki Pehkonen kertoo kuinka japanilainen avoin lähestymistapa keskittyy luovuuden kehittämiseen matematiikanopetuksen puitteissa. Siinä ei ole keskeistä ongelmatehtävien ratkaiseminen, vaan mahdollisimman monen erilaisen ratkaisukeinon löytäminen, ts. luovuuden kehittäminen matematiikan opetuksen puitteissa. Turun Matikkamaa järjesti opettajille keväällä 2013 yhdessä akatemiaprofessori, Erno Lehtisen kanssa, Sanallisten ongelmatehtävien koulutus sarjan. Tuotoksena tästä kurssista on tämä, Turun Matikkamaan sivuilta löytyvä, vapaasti kopioitava, "Matematiikan sanalliset tehtävät - TEHTÄVÄN YMMÄRRYS" - kooste. Mainitun kurssin tavoitteena oli tukea opettajia pohtimaan ja ohjaamaan, miten oppilas voisi esittää oman ratkaisuprosessinsa laskemalla osissa, mallittaen sekä ohjata opettajia arvioimaan sanallisen ongelmatehtävän prosessia pelkän laskulausekkeen sijasta. Tämä kurssi sai hyvän palautteen ja sitä toivottiin lisää. Erään opettajan kommentti: "Kurssin jälkeen osasin ohjata oppilaitani mallittamaan ja laskemaan sanallisia tehtäviä osissa. Erään oppilaan numero nousi kahdella, kun nyt huomasin, että hän ymmärtääkin matematiikkaa erittäin hyvin!" Matematiikka-ahdistuksesta puhutaan paljon. Laskulausekkeen tekeminen voi olla haasteellista. Oppilaiden systemaattinen ohjaaminen sanallisen ongelmanratkaisuprosessin vaiheittaiseen mallittamiseen, antaa työkalut oppilaalle selvitä hankalaltakin tuntuvista tehtävistä. Projektistamme oli kiinnostunut myös väitöskirjantekijä Nonmanut Pongsakdi, joka sai väitökseensä materiaalia kurssilta. 4

Tämän kokoelman tarkoituksena on siis antaa opettajille keinoja ohjata oppilaita systemaattiseen matematiikan sanallisten tehtävien tekemiseen. Mukana on myös haasteellisia ongelmatehtäviä, joita voidaan ratkaista opettajan johdattelulla tai parityönä. Suurin osa tehtävistä on tarinamuodossa. Tällaisia tehtäviä ei löydy matematiikan oppikirjoista. On tarpeellista tuoda tämä tehtävätyyppi opetukseen mukaan. Tällä tavalla pyritään myös kehittämään oppilaan matemaattista ajattelua. Idea tähän vihkoseen syntyi keväällä 2011 Turun kesäyliopiston ja Turun Matikkamaan järjestämällä, suuren suosion saaneella, Matemaattisen ajattelun kehittämisen keinot koulutussarjalla, jossa kiinnostavasti luennoivat Professori, emeritus Erkki Pehkonen, Helsingin yliopistosta; professori, akatemiaprofessori Erno Lehtinen, Turun yliopistosta sekä FT, matematiikan didaktiikan lehtori Jorma Joutsenlahti, Tampereen yliopiston opettajankoulutuslaitokselta. Vielä on syytä esittää suuri kiitos heille! Julkaisun lopussa on materiaaleja näiltä luennoilta, jotka luennoitsijat ovat ystävällisesti antaneet laittaa mukaan. Erityiskiitos myös Opetushallitukselle, jonka tukemana tämän tekeminen mahdollistui! Vielä suuret kiitokset kaikille opettajille ja oppilaille, jotka ovat osallistuneet näiden tehtävien laatimiseen. Lukijalle tiedoksi, että monet tehtävät, kuten Volkanin elokuvareissu ja Amandan matka Sveitsiin, ovat oikeasti tapahtuneet juuri esitetyn kaltaisina. Siis todellista arkielämän matikkaa! Tämä sanallisten ongelmatehtävien paketti löytyy osoitteesta: http://info.edu.turku.fi/matikkamaa/noflash.php?sivu=materiaalit Toivon kaikille onnistumisen iloa ja mukavia oivalluksia! Seikkailu alkakoon! Teija Laine Luokanopettaja Turun Matikkamaan kouluttaja KUVIO Matemaattisen mallintamisprosessin esitys (Verschaffel, Greer & De Corte 2000, 12), johon on lisätty oppilaiden ongelmanratkaisuprosessin oletettu kulku (Laine 2001) 5

SISÄLLYS Sivu Opettajalle 7 Strategioita 9 Osissa laskeminen resepti 10 Tehtäviä 11 Arvioinnista 37 PROFESSORIT Matemaattisen ajattelun kehittyminen 41 Kuva AITATEHTÄVÄN alkuperäisestä aidasta. 6

1 OPETTAJALLE TÄRKEÄÄ ONGELMANRAKAISUN OPETTAMISESSA: - Ratkaistaan osissa luetaan tekstiä ja pysähdytään heti, kun tulee uusi tieto. Mietitään, onko tieto tarpeellinen ratkaisun kannalta? Poimitaan tarpeelliset tiedot osissa. tarkka lukeminen, tietojen keräys ja kysymys omin sanoin tilanteen kuvailu arviointi ennen laskemista - Piirros Opettaja kannustaa oppilaita mallittamaan tehtävän aina, kun se on mahdollista. On hyvä tutkia erilaisia tapoja mallintaa sama tehtävä. Millainen malli auttaa tehtävän ratkaisemisessa? Hyvässä mallissa on selkeästi esillä kaikki tehtävässä annettu tieto. - Lauseke lopuksi Oppilas voi olla ymmärtänyt tehtävän täysin oikein, vaikka ei ole pystynyt muodostamaan ratkaisustaan lauseketta. Piirros ja osissa ratkaiseminen kertovat, mitä on ymmärretty oikein. o Lasketaan eri tavoin sama lasku (Mietitään, millä muulla tavoilla ongelman olisi voinut ratkaista = harjoitellaan strategioita) - Kannustava arviointi Oppilas saa pisteitä myös onnistumisesta. o ks. osio Ongelmatehtävän arvionti 7

8

2 STRATEGIAT harjoibeluosa Matematiikan tutkijat Verschaffel, L. et al. (1999, 202) ja Charles, Lester&O Daffer (1992, 10) nimesivät oppilaiden ongelmanratkaisussaan käyttämiä ratkaisunetsimiskeinoja. Seuraava strategialista on tehty mukaillen näistä: tarpeellisen tiedon erottelu tarpeettomasta piirros organisoitu lista, taulukko arkitiedon käyttö helpomman ongelman kautta (Muuta numerot helpoiksi ja löydä kaava) arvaa, tarkista, korjaa taaksepäin työskentely kaavan etsiminen looginen päättely operaation valinta laskulauseke järjestelmällinen kokeilu. Koulussa esitettävät matemaattiset ongelmat ovat yleensä luonteeltaan muodollisia ja tilannevapaita, kun taas arkielämässä esiintyvät ongelmat ovat enemmän epämuodollisia ja tilanneriippuvaisia. Tästä johtuen erilaiset ongelmatyypit myös aktivoivat oppilaat käyttämään erilaisia strategioita (Verschaffel, De Corte&Lasure 1994, 274.) Oppilaille on tarpeellista tarjota haastavampia, monivaiheisia ongelmatehtäviä, jos halutaan kehittää heidän matemaattista ajatteluaan ja strategiataitojaan. Tällaisia sanallisia tehtäviä on alakoulun oppikirjoissa tarjolla liian vähän. Lapsen saatavilla oleva tieto vaikuttaa siihen, mitä ratkaisumenetelmiä hän käyttää. Tuskin lapsi käyttää eteenpäin laskemisen menetelmää ennen kuin hänellä on edes yksinkertainen käsitys määristä. On mahdotonta suhteuttaa kahta numeroa toisiinsa, elleivät itse numerot ole kiinteästi lapsen mielessä. Siis oppilaan matemaattisen kypsymisen taso vaikuttaa siihen, mitä menetelmiä hän voi apunaan käyttää. TÄMÄN KOOSTEEN TEHTÄVÄT VOIDAAN TULOSTAA SELLAISENAAN OPPILAIDEN RATKAISTAVIKSI. VALMIS ASETTELU OHJAA LASKEMAAN OSISSA JA MALLITTAMAAN ANNETUN TILANTEEN 9

3 Osissa laskeminen RESEPTI SANALLISEN TEHTÄVÄN RESEPTI 1. Lue TEKSTI 2. Tutki KYSYMYS 3. Lue UUDELLEEN ja pysähdy heti, kun tulee uusi tieto. 4. Poimi tarvittavat TIEDOT 5. Tee tehtävästä MALLI (piirros, taulukko ) 6. Tee LASKULAUSEKE ja LASKE 7. TARKISTA laskut (Onko tulos järkevä?) 10

4 TEHTÄVÄT - osio Seuraavassa osassa on oppilaille suunnattuja tehtäviä. Ensimmäiset tehtävät ovat valmiiksi jäsennellyssä muodossa. Niiden tarkoituksena on ohjata oppilaita laskemaan sanallinen tehtävä pienissä osissa, yksi asia kerrallaan, kuten resepti ohjaa. Nämä tehtävät voidaan suoraan monistaa oppilaiden ratkaistavaksi. Tällaista harjoittelua suosittelen tehtäväksi riittävän paljon läpi lukuvuoden, koska opettajan mallintaessa tehtäviä, hän antaa strategioita oppilaiden käyttöön. Välillä oppilaiden on hyvä ratkaista tehtäviä pareittain (parit kannattaa valita huolella, jotta kaikki saisivat onnistumisen kokemuksia) tai max. neljän ryhmissä. Oppilaiden erilaisten ratkaisujen tutkiminen on kiinnostavaa puuhaa koko luokalle. - AIKAA PROSESSILLE: Alla on esimerkki opetuskeskustelusta koko luokan kanssa. Tarinatehtävän ratkaisemien vaatii aikaa. Laatu korvaa määrän. Vain 1-2 tällaista laskua oppitunnissa on sopiva vauhti. Ratkaisua jopa tärkeämpi on prosessin kulun opetteleminen. Tämä kehittää myös loogista ajattelua. - INTEGROINTI ÄIDINKIELEEN: Tällaisten tehtävien ratkaiseminen sopii hyvin myös äidinkielen tunnille. Kyseessä on tiivis tekstinymmärrys, joka palkitsee ratkaisun saamisella. Oppilaan itsetunto kasvaa, kun hänellä on keinot päästä lopputulokseen. Suosittelen, että opettajat käyttäisivät yhden äidinkielen oppitunnin viikossa matematiikan sanallisten tarinatehtävien ratkaisemiseen. Tämä sopii myös S2-kielen opetukseen. - MATIKKA ON HAUSKAA! On ollut tämän kokoelman johtavana ajatuksena. Sanalliset tehtävät koetaan usein haasteellisina ja niitä jopa pelätään. Työkalujen saaminen käyttöön avaa ymmärrystä ja antaa rohkeutta yrittää itse. Näiden tehtävien myötä toivon oppilaiden ja miksei myös opettajienkin innostuvan sanallisista tehtävistä ja kehittelemään niitä myös itse. PROFESSORIT PERUSTELEVAT Tämän kokoelman lopussa on kahden yliopiston professorin ja yhden tohtorin erittäin kiinnostavat luennot liittyen matemaattisen ajattelun kehittymiseen ja kehittämiseen opetuksen kautta. Suosittelen lukemaan ne. RATKAISUMALLI KOKO LUOKAN KANSSA: (Taulu + oppilailla muistiinpanovälineet) 1. Opettaja lukee yhteen ääneen luokan kanssa tehtävän alusta loppuun asti pysähtymättä. 2. Keskustellaan, mistä tehtävässä on kysymys ja mitä halutaan tietää (= kysymys). 3. Luetaan tarina uudelleen, mutta nyt pysähdytään heti, kun tulee uusi tieto (vaikka kesken lauseen). a. Merkitään syntyvään luetteloon uusi tieto ja ratkaistaan esiin tulevat laskut (varmistaen, että saatu vastaus on järkevä) b. Samalla rakennetaan mallikuvaa eli tilannemallia tehtävästä. (Voi olla piirros, luettelo, taulukko ) c. Näin edetään loppuun asti tilannemallia täydentäen. 4. Lopuksi kerätään kaikki tiedot ja muodostetaan laskulauseke, jos sellaisen voi tehtävästä rakentaa. 5. Ratkaistaan kysymykset ja pohditaan, onko saatu tulos järkevä. 6. *) Lisätehtävänä voidaan miettiä, mitä muuta tarinatehtävästä voitaisiin kysyä tai miten ratkaisu muuttuisi, jos jotain elementtejä tulisi lisää tai lähtisi pois. (Katso vinkkejä muunteluun professorien luentosarjasta tämän kokoelman lopussa) 11

REAL WORLD-PROBLEMS (eli oikeasti oppilaille sattuneet tosielämän tilanteet ) Oppilaiden tekemät tehtävät osio 12

Volkanin ja kumppaneiden elokuvareissu (Teija Laine ja 5. luokka) Volkan, Niklas ja Juho päättivät lähteä yhdessä elokuviin. Äiti antoi Volkanille 10 ja hän otti itse omista rahoistaan 15 euroa. Äidin kanssa sovittiin, että pojat ovat kotona klo 20.00 mennessä. Pojat lähtivät matkaan klo 11.00. Heillä kaikilla oli 25 euroa mukanaan, kun he lähtivät reissuun. Pojat lähtivät bussilla keskustaan. Niklas ja Juho maksoivat itsensä bussikortilla ja Volkan maksoi rahalla 1,20. Kahdenkymmenen minuutin kuluttua pojat olivat perillä ostamassa karkkia. Niklaksen karkkipussi maksoi 5 euroa, Volkanin pussi oli samanhintainen. Juhon karkkipussi maksoi puolet vähemmän kuin Volkanin pussi. Viidentoista minuutin kuluttua pojat lähtivät ostamaan elokuvalippuja. Yksi 3D- elokuvalippu maksoi 12. Mutta Volkan käytti äidiltä saamansa ilmaislipun. Tähän kului 10 minuuttia. Koska elokuvan alkuun oli vielä kaksi tuntia aikaa, pojat menivät ostamaan hampurilaisia. Jokainen osti hampurilaisaterian, jonka hinta oli 5. Syötyään hampurilaiset pojat lähtivät kaupungille kiertelemään kunnes elokuva alkoi.elokuva kesti kaksi tuntia. Elokuvan jälkeen pojat päättivät lähteä vielä bussilla ostoskeskukseen. Bussia odotettiin kymmenen minuuttia. Bussimatka maksettiin samalla tavalla kuin edellisellä kerrallakin. Matka kesti 15 minuuttia. Ostoskeskuksen sisällä oli lelukauppa, jossa oli polkuautojen testaus meneillään. Pojat ajoivat 1h 35 min autoilla. Siitä pojat siirtyivät toiseen kauppaan kokeilemaan pelikonsoleita. Pelattuaan 25 min playstationilla ja Xboxilla, Volkan päätti ostaa kaikille Berliininmunkkeja. 6:n munkin pussi maksoi 10, mutta kojua oltiin sulkemassa, joten he saivat munkit puoleen hintaan. Juho ja Volkan kipaisivat vielä ostamassa2 pakettia futiskortteja. Yksi paketti kortteja maksaa 2. Niklas osti kioskilta 2,50 limonadipullon. Tähän kului 20 minuuttia. Sitten pojat lähtivät vihdoin bussipysäkille. Mutta bussi oli juuri lähtenyt. Siispä pojat istuivat penkille syömään munkkeja. Uuden bussin tuloon kesti 50 minuuttia. Bussin saapuessa Niklas joutui maksamaan Volkanin matkan omalla bussikortillaan, koska Volkanin rahat olivat loppuneet. Matka kesti 15 minuuttia. Pysäkiltä kotiin kului viisi minuuttia kävellen. 1) KUINKA PALJON RAHAA POJILTA KULUI ELOKUVAREISSUUN? JA PALJONKO RAHAA HEILLE JÄI? 2) KUINKA MONTA TUNTIA POJILTA MENI REISSUUN JA EHTIVÄTKÖ HE AJOISSA KOTIIN? RATKAISE VAIHEITTAIN: (Voit lisäksi alleviivata tärkeät asiat tekstistä.) PIIRROS: 13

1. KYSYMYS: KUINKA PALJON RAHAA POJILTA KULUI ELOKUVAREISSUUN? JA PALJONKO RAHAA HEILLE JÄI? Laske osissa: 1) RAHAA OLI MATKAN ALUSSA: 2) BUSSIMATKAAN KULUI: 3) KARKKIKAUPPAAN KULUI: 4) LIPUT: 5) HAMPURILAISET: 6) MUNKIT: 7) FUTISKORTIT: 8) LIMONADIPULLO: 9) KAIKKIAAN RAHAA KULUI (Lauseke): LASKU: VASTAUS: Rahaa kului, Rahaa jäi TARKISTA - Onko tulos järkevä Kyllä J Ei L 2. KYSYMYS: KUINKA MONTA TUNTIA POJILTA MENI REISSUUN JA EHTIVÄTKÖ HE AJOISSA KOTIIN? Laske osissa: 1) MATKAAN LÄHDETTIIN KLO: 2) KERÄÄ ANNETUT AIKATIEDOT TÄHÄN: 3) LASKU: VASTAUS: Pojilta reissuun kului aikaa h min, Ehtivätkö he ajoissa kotiin? TARKISTA - Onko tulos järkevä Kyllä J Ei L 14

RATKAISU: 1.KYSYMYS: RAHAT: 1) RAHAA MATKAN ALUSSA: 75 2) BUSSIMATKAAN KULUI: 2 x 1,20 = 2,40 3) KARKKIKAUPPAAN KULUI: 12,50 - RAHAA ON JÄLJELLÄ (75-2,40-12,50 = 60,10 ) 4) LIPUT: 2 X 12 = 24 5) HAMPURILAISET: 3 x 5 = 15 6) MUNKIT: 5 7) FUTISKORTIT: 4 x 2 = 8 8) LIMONADIPULLO: 2,50 LASKU: 75 - (2,40 + 12,50 + 24 + 15 + 5 + 8 + 2,50 ) = 5,60 VASTAUS: (Rahaa kului 69 40 snt. Rahaa jäi 5,60 ) 2.KYSYMYS: KUINKA MONTA TUNTIA POJILTA MENI REISSUUN JA EHTIVÄTKÖ HE AJOISSA KOTIIN? Laske osissa: 1. MATKAAN LÄHDETTIIN KLO: 2. KERÄÄ ANNETUT AIKATIEDOT TÄHÄN: 3. LASKU: VASTAUS: Pojilta reissuun kului aikaa h min, Ehtivätkö he ajoissa kotiin? TARKISTA - Onko tulos järkevä Kyllä J Ei L 15

Amandan matka Sveitsiin (Sa=Suomen aika, Ta=Tanskan aika. Huom. Kööpenhaminan paikallisaika = Suomen aika -1h) (Teija Laineen 5a lk oppilas Amanda Puerto-Lichtenberg 8.6.2013) Amanda matkusti Sveitsiin, Zürich:iin viideksi päiväksi vierailemaan serkkujensa luona. Lentokone ei lentänyt suoraan Turusta Zürich:iin, vaan laskeutui Kööpenhaminassa, jossa piti vaihtaa toiseen koneeseen. MENOMATKA: Lentokone lähti Turusta klo 13.15. Lento Turusta Kööpenhaminaan kesti 1h 10min. Kun lentokone laskeutui Kööpenhaminaan, paikallisaika oli 1h vähemmän kuin Suomessa. Jatkolento Zürich:iin lähtisi 4h:n kuluttua. Sen aikaa Amanda kuljeskeli kaupasta kauppaan Kööpenhaminan suurella lentokentällä. Hän kävi ravintolassa syömässä ja vaatekaupassa, josta hän osti 15 maksavan t-paidan, jossa luki "I love Copenhagen". 1h 20min kuluttua Amanda kävi tarkistamassa porttinumeronsa ilmoitustaulusta. Etsiessään lentoaan, hän huomasi sen olevan peruttu! Ohjeiden mukaan Amanda meni siirtokeskustaan, jossa hän odotti vuoroaan 55 min, että hänet siirrettäisiin toiseen lentoon. Siellä hän sai tiedon, että uuden lennon lähtöä piti vielä odottaa 2h lisää. Lopulta Amanda astui lentokoneeseen. Matka Kööpenhaminasta Zürich:iin kesti 1h 30min. PALUUMATKA: Lentokone lähti Zürichistä klo 17.35. Lento Zürichistä takaisin Kööpenhaminaan kesti 1h 30min. Kun lentokone laskeutui Kööpenhaminaan, paikallisaika oli sama kuin Zürichissä. Jatkolento Turkuun lähtisi 3h 35min kuluttua. 1h aikaisemmin Amanda kävi katsomassa ilmoitustaulusta, oliko lento tälläkin kerralla peruttu. Kauhistuksekseen Amandan lento oli TÄLLÄKIN KERRALLA peruttu, koska Turussa oli myrsky! Jälleen kerran Amanda meni siirtokeskustaan, jossa hän odotti vuoroaan 15min. Mutta täksi illaksi ei enää ollut lentoja, joten Amandan piti yöpyä hotellissa, jonka lentoyhtiö tietysti maksoi. Hänet siirrettiin kuitenkin lentoon, joka lähti seuraavana aamuna klo 10.15. Matka Kööpenhaminasta takaisin Turkuun kesti 1h 10min. KYSYMYKSET: 1. Kuinka monta ylimääräistä tuntia Amanda odotti yhteensä meno - + paluumatkalla? 2. Mitä muuta voisi kysyä? (Keksi kysymys) 16

RATKAISUN SUUNNITTELEMINEN: Amandan matka Sveitsiin (Sa=Suomen aika, Ta=Tanskan aika) (Teija Laineen 5a lk oppilas Amanda Puerto-Lichtenberg) PIIRRÄ REITTI ja merkitse tiedot esiin: TIEDOT: MENOMATKA 1) Lähtö Turusta klo. Lennon kesto klo h min (Kööpenhaminan paikallisaika = Suomen aika -1h) 2) Odotus lentokentällä kesti: - menomatkalla Amanda odotti ylimääräistä aikaa h lentokentällä 3) Lähtö Kööpenhaminasta klo Tanskan aikaa. Lento kesti h min (Zürichin paikallisaika on sama kuin Kööpenhaminassa eli Zürichin, Kööpenhaminan paikallisaika = Suomen aika -1h) Vastaus: Menomatkalla Amanda odotti h ylimääräistä aikaa lentokentällä PALUUMATKA 1) Lähtö Zürichistä klo. Lento kesti h min. a) Perillä Kööpenhaminassa: = klo (Lasku) (Zürichissä on sama paikallisaika kuin Kööpenhaminassa) 2) Uuden lennon lähdön odotus: a) Lennon piti lähteä: = klo b) Uusi lento lähti klo c) Uutta lentoa siis odotettiin vielä lisää h min LOPPULASKU: Vastaus: Amanda odotti turhaan h min 17

AMANDAN OMA MALLIRATKAISU Amandan matka Sveitsiin (Sa=Suomen aika, Ta=Tanskan aika) (Teija Laineen 5a lk oppilas Amanda Puerto-Lichtenberg) TIEDOT: MENOMATKA 1) Lähtö Turusta klo 13.15 Lennon kesto klo 1h 10min ( Kööpenhaminassa klo 13.15 Sa. + 1h 10min = 14.25 Sa, joka on 13.25 Ta. Kööpenhaminan paikallisaika = Suomen aika - 1h) 2) Odotus lentokentällä kesti: 4h + 2h = 6h - Menomatkalla Amanda odotti siis 2h ylimääräistä aikaa lentokentällä 3) Lähtö Kööpenhaminasta klo 19.25 (Ta). Lento kesti 1h 30min (Zürichin paikallisaika on sama kuin Kööpenhaminassa eli Zürichin ja Kööpenhaminan paikallisaika = Suomen aika -1h) Vastaus: Menomatkalla Amanda odotti 2h ylimääräistä aikaa lentokentällä PALUUMATKA 3) Lähtö Zürichistä klo 17.35. Lento kesti 1h 30min. a) Perillä Kööpenhaminassa: klo 17.35 + 1h 30min = klo 19.05 (Zürichissä on sama paikallisaika kuin Kööpenhaminassa) 4) Uuden lennon lähdön odotus: a) Lennon piti lähteä: klo 19.05 + 3h 35 min = klo 22.40 b) Uusi lento lähti klo 10.15 c) Uutta lentoa siis odotettiin vielä lisää: 11h 35 min LOPPULASKU: 11h 35min + 2h = 13h 35min Vastaus: Amanda odotti turhaan 13h 35 min 18

Maailmanpyörätehtävä (Teija Laineen 5a lk oppilas Amanda Puerto- Lichtenberg) a) London Eye on suuri maailmanpörä Lontoossa. 5 tyttöä haluaa nousta maailmanpyörään. 1 lippu maksaa 35 (puntaa). KYSYMYS: Kuinka monta euroa tyttöjen pitää maksaa?(tarkista valuuttakurssit) b) London Eye:ssä on 32 kupua, johon jokaiseen mahtuu 25 ihmistä. Yhtenä sateisena päivänä, maailmanpyörässä oli 28 täyttä kupua. 2 kupua jossa oli 2/5 täynnä ihmisiä, 1 kupu jossa oli 4/5 täynnä ihmisiä ja viimeinen kupu oli rikki, joten siihen ei päässyt ketään. KYSYMYKSET: 1. Kuinka monta ihmistä maailmanpyörään mahtuu, kun se on ihan täynnä? 2. Montako ihmistä oli maailmanpyörässä tuona sateisena päivänä? 19

MERIROSVO-OSASTO Opettajien tekemät tehtävät osio 20

Kultarahat (Eija Ketola) Merirosvot olivat löytäneet aarrearkun, joka oli täynnä kultarahoja. Kultarahat jaettiin kaikille arvon, iän ja aseman mukaisesti. 1. Edward sai myös rahoja. Hän järjesteli niitä kauniina päivän rauhassa puun alla. Edwardin rahamäärä oli pieni, alle 50 kultarahaa. Kun hän teki niistä viiden rahan pinoja, yksi raha jäi yli. Kun taas hän lajitteli niitä kuuden rahan pinoihin, taas jäi yksi raha yli. Kuinka monta rahaa Edwardilla oli kaikkiaan? 2. Tom halusi jakaa rahansa. Hän antoi puolet rahoistaan kapteenille ja jäljelle jääneistä rahoista puolet laivan kokille ja loput hän jakoi kahden ystävänsä kanssa. Hänelle jäi 2 rahaa. Kuinka paljon Tom oli saanut rahoja? 3. Laivan perämies sai rahoja enemmän. Miehistön jäsenet olivat uteliaita tietämään perämiehen saaman rahojen määrän. Perämies kertoi että hänen saamansa rahamäärä on nelinumeroiden luku jossa: Tuhansia kuvaava luku on pienin parillinen luku Ykkösiä kuvaava luku on yksi suurempi kuin tuhansia kuvaava luku. Satojen luku on näiden kahden summa Kymmenien luku on ykkösiä ja tuhansia kuvaavien lukujen tulo Paljonko perämies oli saanut kultarahoja? RATKAISE VAIHEITTAIN: LASKE KAIKKI OSISSA (kerää lopuksi lauseke) PIIRRÄ, TEE TAULUKKO, SUUNNITELMA jos voit 1 Tehtävä) Kuinka monta rahaa Edwardilla oli kaikkiaan? (Tee malli: piirros, taulukko ) TARKISTA - Onko tulos järkevä Kyllä J Ei L 21

2 Tehtävä) Kuinka paljon Tom oli saanut rahoja? PIIRRÄ TARKISTA - Onko tulos järkevä Kyllä J Ei L 3 Tehtävä) Paljonko perämies oli saanut kultarahoja? PIIRRÄ TARKISTA - Onko tulos järkevä Kyllä J Ei L 22

Aitatehtävä (projekti opettajan tuella) (Teija Laine) Merikarhu Rudolf haluaa rakentaa 10 m pitkän aidan. Sen pitää olla 1m korkea ja lautojen väliin täytyy jäädä 2 cm väli. Aitaa tukevat molemmilla puolilla alhaalla ja ylhäällä vaakasuoraan kulkevat tukilaudat. Nämä kiinnittävät aidan pystylaudat toisiinsa. Aina kahden metrin välein aitaa laitetaan tukemaan maahan iskettävä neliönmuotoinen tolppa. Tolpan sivu on 75 mm ja korkeus on 120 cm. Jokainen tolppa istutetaan teräksiseen tukijalkaan. Lisäksi jokaisen tolpan väliin tulee kansilauta, joka on tehty samanlaisesta laudasta, kuin muukin aita. Aitaan Rudolf valitsee 10 cm levyistä ja 20 mm paksuista lautaa, jota myydään 4,20 m mittaisena. Lisäksi tarvitaan 3:n ja 4:n tuuman nauloja. Lopuksi Rudolf pohjamaalaa valmiin aidan homeenestoaineella ja sen kuivuttua hän maalaa aidan vielä kahteen kertaan valkoisella maalilla. (HUOMAA, ETTÄ TÄMÄ ON AVOIN TEHTÄVÄ, JOSSA VOI OLLA MONTA OIKEAA RATKAISUA. RIITTÄÄ, ETTÄ PERUSTELEE RATKAISUN OIKEIN) 1) Piirrä aidasta kuva (Tämä määrää koko ratkaisun): 2) Kuinka monta metriä aitaan tarvitaan lautaa ja tolppia? (Arvioi ensin : Lautaa:, Tolppaa ) 3) Naulat: a. Paljonko nauloja tarvitaan? Arvio: b. Mikä tulee naulojen hinnaksi, jos 1 kg paketti maksaa 5,95 ja siinä on n. 50 kuumasinkittyä lankanaulaa. Arvio: 4) Mikä tulee maalaamattoman aidan hinnaksi, kun tiedetään, että lauta maksaa 75 snt / m ja painekyllästetyn neliötolpan hinta on 2,20 / m ja tolpan teräksinen jalka maksaa 8,50 / kpl? Arvio: 5) Montako maalipurkkia Rudolf joutuu ostamaan? a. Puunkyllästeaine maalin alle: 2,7 litraa maksaa 27,90. Riittoisuus 10 m 2 /l. Arvio: b. 3:n litran maalipurkki valkoista maalia maksaa 39,50, jos hän maalaa aidan kahteen kertaan? Maalia kuluu sahatulle puupinnalle 6 m²/ l. Arvio: 23

6) Mikä tulee koko aidan hinnaksi, jos Rudolf tekee kaiken työn itse? Ø Arvio: LASKE OSISSA (kerää lauseke lopuksi) 1) Piirros aidasta (Piirrä A4:n paperille tarkka piirros, jossa on kaikki mitat): 2) a. Laudat: b. tolpat : c. naulat: TARKISTA - Onko tulos järkevä Kyllä J Ei L 3) Erilaisten maalipurkkien määrä ja hinta: TARKISTA - Onko tulos järkevä Kyllä J Ei L 4) Koko aidan hinta: TARKISTA - Onko tulos järkevä Kyllä J Ei L MITEN TEHTÄVÄ MUUTTUU, JOS OHJEEKSI ANNETAAN OPPILASPARILLE VAIN: 1) Suunnittele, miten rakennetaan 10 m pitkä, valkoinen aita. (Piirrä kuva, jossa on mitat) 2) Mikä tulee oman aitasi hinnaksi? (Samat tiedot käytössä kuin edellä) 3) TARKASTELU LUOKAN KANSSA: a. Kenellä on kallein/ halvin aita. Miksi? b. Kaunein/ kestävin aita? Miksi? 24

Fence Problem (A project with the support of the teacher, Teija Laine) Sea Bear Rudolf wants to build a 10 m long, paling fence. It is to be 1m high with 2 cm spaces between the vertical palings. The palings are to be attached to horizontal boards running between 75 mm square section, 120 cm high fence posts, placed every two-meters. Each fence post is set in a steel post spike driven into the earth.. Each section of fence is capped with a cover board made of the same board, as the rest of the fence. Rudolf selected 10 cm in width and 20 mm thick board, sold in 4.20 m lengths for the fence. Each joint is to be secured with two, 35 mm long nails. Rudolf applies a single-coat of anti-rot agent followed by a single coat of white paint to all of the cut pieces letting each coat dry properly before assembling the fence. Once assembled, he applies a final coat of white paint. (PLEASE NOTE THAT THIS IS OPEN ENDED PROBLEM. MANY MAY HAVE THE RIGHT SOLUTION. Enough just to justify, it s TRUE) 1) Draw a diagram of the fence: 2) How many meters of fence planks and posts are needed? (Estimate: Planks:, Posts: ) 3) a) - How many nails do you need? Estimate: b What will the price of the nails, if a package costs 5.95 and contains 50 nails. Estimate: 4) What will be the price of the unpainted fence, given that untreated board costs 75 cents / square m and treated board costs 2.20 / m and a steel post spike costs 8.50 / pc? Total: 5) How many cans of ant-rot treatment and paint will Rudolf have to buy? Anti-rot treatment: if 2.7 liters costs 27.90. Coverage 10 m2 / l Estimate: b 3-liter can of white paint costs 39.50, if he applies two coats? Coverage on bare wood, 6 m² / l. Estimate: 6) What will the price of the entire fence, if Rudolf does the work himself? Estimate: 25

CALCULATE IN PARTS (clause collects the end) 1) Sketch the fence (Draw A4 paper the exact plan with all dimensions): 2) a boards: b posts: c. nails: CHECK Is your result sensible? 3) the number of different paint cans and price: YES J NO L CHECK - Is your result sensible? 4) The price of the fence: YES J NO L CHECK - Is your result sensible? YES J NO L HOW THE TASK CHANGES, IF STUDENT GUIDANCE GIVEN PAIR ONLY: 1) "Plan, how to build a 10 m long, white fence." (Draw a picture with dimensions) 2) What will your fence cost? (The same information is used as the above) 3) REVIEW OF CLASS WITH: a. What is the most expensive / cheapest fence. Why? b. The most beautiful / most durable fence? Why? 26

Myyjäiset merirosvolaivalla (Teija Laine) Eräänä tiistai-iltapäivänä merirosvolaiva Mustan Helmen kapteeni, Merirosvo Rudolf, päätti miehistöineen osallistua Pääkallosaarella tiistaisin pidettävälle merten kaappareiden kirpputorille! He halusivat vaihtaa osan aarteistaan rahaksi, jotta he voisivat ostaa lisää kanuunoita! Rudolf toi 1 092 kultaista korvakorua jokaiselle seitsemälle työryhmälle. Yhdessä päätettiin pakata ne 10:n korun pusseihin. Pussin hinnaksi sovittiin 1,5 hopeakolikkoa. RAHOJEN ARVO: 1 KULTARAHA = 2 HOPEAKOLIKKOA 1 HOPEAKOLIKKO = 4 KUPARIKOLIKKOA 1 KUPARIKOLIKKO = 100 SINKKIPENNINKIÄ KYSYMYKSET (Perustele vastauksesi): 1) Montako jalokivipussia kukin merirosvotiimi tarvitsee myyntituotteen pakkaamiseen? RATKAISU: 2) Kaapparikapteenilla on mukanaan 763 pussia. Riittääkö se määrä kaikkien korvakorujen pakkaamiseen kymmenen erän pusseihin, vai pitääkö hänen vaivautua hakemaan lisää hytistä? RATKAISU: 3) Montako kultakorua jää yli? Mitä merirosvot voisivat niille tehdä? RATKAISU: 4) Jos kaikki korupussit saadaan kaupaksi, paljonko kaappareille jää kolikoita? (Anna tulos suurimmassa yksikössä) RATKAISU: 5) Montako uutta kanuunaa laivaan saadaan hankittua, kun tiedetään, että uusi kanuuna maksaa 50 kultakolikkoa? RATKAISU: 27

Rummage sale held on Skull Island! (Teija Laine) On the pirate ship, the Black Pearl, Rudolf and his pirate crew decided to go to the regular Tuesday rummage sale held on Skull Island! They want to exchange some of their treasure for coin so they can buy more cannon! He brought 1 092 golden earrings to each of the seven Working Group. Together, it was decided that they are packed 10 of the piece of jewellery bags. The bag was agreed for the 1.5 silver coins. COIN VALUE: 1 GOLD COIN = 2 silver coins 1 SILVER COIN = 4 copper coins 1 COPPER COIN = 100 zinc coin QUESTIONS (Explain your solution): 1) How many bags of each team needs a pirate sales of the product packaging? SOLUTION: 2) Pirate captain carries 763 bags. Is it enough to replace the number of all jewellery packing 10 bags, or whether he bother to get some more from the cabin? SOLUTION: 3) How many pieces of jewellery will be left over? What the pirates could do with them? SOLUTION: 4) If all the jewelry bags can be sold, how much is left Grab a coin? (Enter the result in most units) SOLUTION: 5) If A new cannon costs 50 gold coins, how many new cannons can they buy given the money that they have raised? 28

Merirosvolaivan mastot (Kalle Lehtinen) Merirosvokapteeni Calico Jackilla oli mahtava alus, jossa oli yhteensä 3 mastoa. Masto, joka oli laivan ahterissa, oli 15 metriä korkea. Laivan keulassa oleva masto oli 3 metriä matalampi. Keskimmäisen maston huipulla oli tähystyskori, johon kapteeni silloin tällöin kiipesi tähystelemään vastaantulevia laivoja kultaisella kaukoputkellaan. Keskimmäisessä mastossa oli kolme purjetta, joista alimmainen oli kolmen metrin korkeudessa. Kaikki kolme purjetta olivat kahden metrin etäisyydellä toisistaan. Kun Calico Jack oli kiivennyt ensimmäisen purjeen päälle, oli hän kahdeksan metrin korkeudella. a) Kuinka monta mastoa kapteenin laivassa oli yhteensä? b) Kuinka korkealla keskimmäisen maston huipulla oleva tähystyskori oli? c) Kuinka monta metriä mastopuuta tarvitaan, jos kaikki laivan kolme mastoa uusitaan? RATKAISUN SUUNNITTELEMINEN: 29

Merirosvokapteenin suuri aarre (Anna Mikkonen) Merirosvokapteeni - Kiharaparran kauhua herättänyt rosvojoukko on palaamassa voitokkaalta ryöstöretkeltään. Ryöstösaalis on ylittänyt kaikkien odotukset ja kirjuri on viettänyt monta hikistä hetkeä listatessaan ylös lukuisia aarteita, jotka pitäisi saada mahtumaan laivan lastiruumaan. Isoimman ongelman muodostavat kuitenkin sotavangit, joille varatut vankityrmät on nyt otettava aarrekammiokäyttöön. Perinteiseen tapaan vankien karkotus autiolle saarelle tapahtuu kävelyttämällä vangit lankkua pitkin pelastusveneille. Karkotuksen on tapahduttava mahdollisimman nopeasti, etteivät vangit ehdi järjestää kapinaa ja viedä koko saalista mukanaan. Laivalla on käytössä kolme kävelylankkua, joista yhden kantavuus on kaksi merirosvoa kerralla. Toinen lankuista kestää neljän hengen painon ja pisimmällä pystytään kävelyttämään kuusi merirosvoa kerralla. Kun kaikki lankut täytetään yhtä aikaa, kuluu karkottamiseen aikaa 20 min. Vihollisia on otettu vangiksi 200 ja karkotusurakkaa päästään aloittamaan klo 18. KYSYMYKSET: 1) Kuinka monta prosenttia vangeista on armahdettava, jos kaikki merirosvot haluavat ehtiä auringonlaskun aikaan (klo 21.00) alkavaan voitonjuhlaan? 2) Miten tilanne muuttuu, jos karkotusvene alkaa vuotaa ja 12 liian karvaista vankimerirosvoa otetaan takaisin laivan kannelle uutta karkotusta varten? 30

Merirosvolippu (Hanna Aromaa-Koskinen) Merten kauhulla, Kapteeni Koukulla, oli epämiellyttävä tapa ruokailun jälkeen pyyhkiä suunsa pääkallolippuun. Merirosvot päättivät valmistaa uusia uljaita lippuja peräti puoli tusinaa. Yhteen lippuun tarvitaan mustaa kangasta 40 cm x 50 cm:n pala. Lippukankaita on tarjolla kahdenlaista leveyttä: Korpinmusta on 120 cm leveää ja maksaa 14 e/metri, Sysimusta on puolitoista metriä leveää ja maksaa 15 e/metri. a) Esitä leikkuusuunnitelmat piirroksilla, joista selviää, paljonko kangasta tarvitaan. b) Kumpi kangas tulee edullisemmaksi? c) Paljonko siinä säästää? d) Paljonko jää kangasta yli papukaijan uuteen viittaan? 31

Merirosvokaste (Tuija Hurme) Merirosvoilla oli tapana järjestää kastetilaisuus niille, jotka ylittivät päiväntasaajan ensimmäistä kertaa. Kaste oli melko pelottava toimitus, sillä merirosvo vedettiin laivan toiselle puolelle kölin alta ja hänen oli pakko syödä inhottavia liemiä ja tököttejä. Laivalla oli nyt 60 rosvoa, joista neljäsosa oli ensikertalaisia. Ensikertalaisista kolmasosa pelkäsi niin paljon, että yritti piiloutua laivan uumeniin välttääkseen kasteen. Näistä neljä viidesosaa löytyi tervatynnyrin takaa vapisemasta. Yksi viidesosa oli yrittänyt piiloutua tervatynnyrin sisälle. Tynnyrin sisälle piiloutunut yksi viidesosa kieriteltiin höyhenissä. KYSYMYS: 1) Kuinka monta merirosvoa sai tervan päälle höyhenet? 2) Mitä muuta voisi kysyä? 32

Merirosvokapteeni Pullapöksyn ongelma (Kirsi Rauhanniemi) Merirosvokapteeni Pullapöksyllä oli mahtava alus, Huojuva masto, sekä sen miehistönä 12 hurjaa merirosvoa. Pullapöksy söi päivässä 10 lautasellista keittoa ja 15 voileipää. Merirosvot söivät 3 lautasellista keittoa ja 9 leipää kukin. Huojuva masto joutui suureen myrskyyn ja melkein upposi. Monet merirosvot saivat meritaudin. KYSYMYS: 1) Kuinka monta lautasellista keittoa ja voileipää aluksella kului viikossa, kun 4 päivänä 5 merirosvoa oli vatsataudissa eikä voinut syödä yhtään? 2) Mitä muuta voisi kysyä? 3) Jatka tarinaa ja keksi lisää kysymyksiä. 33

Kauppalaivan lastausongelma (Lotta Örnberg) Kauppalaivan kapteeni, HurjaTyrsky, valvoi laivansa lastaamista. Hän vaikutti hieman stressaantuneelta. Laivaan oli lastattu jo 503 säkkiä vehnää, 248 arkullista juustoja, 210 pullollista omenamehua, kolme sikaa, hevonen ja kuusi lammasta. Laivaan ei enää millään mahtunut enempää lastia. Ongelmana kapteenilla oli se, että laiturilla nökötti vielä 29 kultaruukkua ja toimituksen tilannut Sheikki Ahniinbaba, suuttuisi kamalasti jos lastista puuttuisi jotain. Kapteeni Tyrsky mietti pitkään, mitä pitäisi tehdä, jotta kultaruukut mahtuisivat mukaan. Lopulta hänen ilmeensä kirkastui, kun hän keksi, että hän tarvitsee lisää tilaa. Tyrsky kiinnittäisi laivansa perään veneen ja laittaisi sinne vielä yhden miehen vahtimaan lastia. Vaihtoehtoina olivat apuvene, soutuvene ja puikulavene. Apuveneeseen mahtui 50 miestä, soutuveneeseen 7 miestä ja puikulaveneeseen 40 miestä. Yksi kultaruukku vastasi painoltaan kolmea miestä. a) Minkä veneen kapteeni valitsee, jotta hän saa kaikki ruukut ja yhden miehen mahtumaan kyytiin? b) Jos kävisi niin, että merirosvot yllättäisivät kapteenin matkalla, kuinka paljon ryöstösaalista he saisivat kaiken kaikkiaan? c) Kuinka monta kuukautta Sheikki Ahniinbabbalta menee kaikkien omenamehupullojen litkimiseen, jos hän juo kahdessa päivässä kolme ja puoli pullollista mehua? 34

KAUPPALAIVAN LASTAUSONGELMAN Vastaukset (Ei kopioitavaksi oppilaille ): a) Kapteenin tulee valita sekä apuvene että puikulavene, jotta kaikki ruukut mahtuvat kyytiin, sillä tilaa tarvitaan 87 miehen verran (3 x 29). Apuveneeseen mahtuu 16 ruukkua ja puikulaveneeseen 13 ruukkua. (Ruukkuja ei voi pilkkoa puoliksi) Molempiin veneisiin jää vielä tilaa miehille. b) 1000 tuotetta yhteensä c) Yhdessä päivässä Sheikki juo 1,75 pullollista mehua. Kuukaudessa 52,5 pullollista ja neljässä kuukaudessa 210 pullollista. Voi laskea myös näin 210 / 1,75 /30= 4kk 35

Merten kauhuviikset (Marika Hanhisuanto) Merirosvo Mustaviiksi on kuuluisan merirosvosuvun jälkeläisiä. Hän on kuuluista muhkeista viiksistään ja johtaakin sen vuoksi merirosvoryhmää nimeltään Merten kauhuviikset. Ryhmässä arvostetuin on se, kenellä on pisimmät viikset. Ja voi hurjuus sitä päivää, jos jollakin sattuikin olemaan pidemmät viikset, kuin itse Merirosvo Mustaviiksellä!! Merirosvojohtajan päivittäisiin rutiineihin kuuluu viiksiensä vahaus ja kiillottaminen. Näin ne saavat elinvoimaa. Kerran viikossa suoritetaan myös miehistön viiksien mittaus. Mittauksen perusteella jaetaan miehistön tehtävät seuraavaksi viikoksi. Lyhimmillä viiksillä pääsee siivoamaan, seuraavaksi lyhimmillä keittiöhommiin ja pisimmillä pääsee hmm no tietysti johtajaksi. On taas viikoittaisen mittauksen aika. Merirosvo Mustaviiksi seisoo myhäillen, viiksiänsä pyöritellen ja katsoo miehistöään. Viime viikolla hänen viiksensä olivat 8 cm pitkät ja ne ovat kasvaneet joka päivä 1 mm lisää. Kukaan ei pystyisi samaan. Kilpailijoina ovat tällä kertaa Merirosvo Mustaviiksen kanssa Merirosvo Harmaaparta ja Merirosvo Viiksivallu. Harmaaparran viikset olivat viime mittauksella 6 cm, ja ne ovat kasvaneet joka päivä 2mm. Viiksivallun viikset olivat viimeksi 7 cm. Nekin ovat kasvaneet joka päivä 2 mm. Valitettavasti Viiksivallu kävi pari päivää sitten taistelun haiden kanssa, jossa hän menetti viiksien pituudesta 5 mm. RATKAISE (Muista perustella väitteesi vakuuttavasti.) 1) Miten Merirosvojohtaja Mustaviiksen käy? Menettääkö hän tällä kertaa johtajan paikkansa? 2) Kuka siivoaa seuraavan viikon? 3) Entä kuka pääsee kokkaushommiin? 36

ONGELMATEHTÄVIEN ARVIOINNISTA Teija Laine 37

ARVIOINTIKRITEEREISTÄ: - Yleisenä tavoitteena oppilaan matemaattisen ymmärtämisen selvittäminen - Tehtäviä voidaan arvioida monella tavalla - Yleiset kriteerit auttavat opettajan arviointia Arviointi opettajan näkökulmasta: 1) OPPILASARVIOINTI - täydellistä ymmärtämistä mittaavat tehtävät - käsitekartat - esim. jakolaskusta 2) OMAN OPETUKSEN ARVIOINTI - oppilastestit antavat palautetta opettajalle 3) PROSESSI- JA PRODUKTINÄKÖKULMA - Portfolioarviointi - oppilaan itsearviointi ANALYYTTINEN PISTEYTYSSKAALA ONGELMAN YMMÄRRYS: - 0p: Täydellisesti väärin ymmärretty. - 1p: Osa ongelmasta ymmärretty väärin. - 2p: Ongelman täydellinen ymmärtäminen. RATKAISUN SUUNNITTELEMINEN: - 0p: Ei yritystä tai epäsopiva suunnitelma - 1p: Osittain oikea suunnitelma, joka perustuu täysin ymmärrettyyn osaan tehtävästä - 2p: Suunnitelma olisi voinut johtaa oikeaan ratkaisuun, jos se olisi toteutettu oikein RATKAISUN SAAMINEN - 0p: Ei vastausta tai väärä vastaus, joka perustuu sopimattomaan suunnitelmaan - 1p: Kopiointivirhe; laskuvirhe; osittainen vastaus monivaiheisessa ongelmassa - 2p: Oikea vastaus ja oikea laskulauseke Charles et al. 1987, 28-30 38

AVOIMIEN TEHTÄVIEN PISTEYTYSOHJE (Stenmark) PÄTEVÄ VASTAUS - 6p esimerkillinen vastaus (laskulauseke + piirros + selitys) - 5p pätevä vastaus TYYDYTTÄVÄ VASTAUS - 4p pieniä virheitä, vastaus tyydyttävä - 3p vakavia virheitä, vastaus melkein tyydyttävä RIITTÄMÄTÖN VASTAUS - 2p aloittaa ratkaisun, ei pääse loppuun - 1p ei onnistu aloittamaan tehokkaasti - 0p ei yritystä YKSINKERTAINEN PISTEYTYSMALLI 0p - ei vastausta tai väärä vastaus 1p väärin laskettu, käyttää oikeaa strategiaa 2p oikea vastaus, epätäydellinen selitys 3p oikea vastaus ja selitys, osoittaa selkeästi miten pääsi ratkaisuun ONGELMANRATKAISUN OSA-ALUEET JA TASOT- Arviointimalli (How to access broblemsolving skills in math, Kallick, Brewer 1997) OSA-ALUEET: 1. Ymmärtäminen = onko oppilas ratkaissut ongelman 2. Menetelmät = oppilaan kyky ratkaista tehtävä monilla eri tavoilla esim. piirtämällä, laskemalla, taulukoimalla 3. Selittäminen = oppilaan kyky perustella ratkaisuaan sanallisesti 39

TASOT: YMMÄRTÄMINEN MENETELMÄT SELITTÄMINEN Ei matemaattista menetelmää eikä Ei ratkaisua tai ratkaisu ei liity Ratkaisua ei selitetä tai päättelyä. Menetelmävirheet estävät tehtävään selitys ei ole ymmärrettävä ratkaisun Oppipoika 1. TASO Kisälli 2. TASO Mestari 3. TASO Ekspertti 4. TASO Ratkaisu ei ole täydellinen tai se on osittain virheellinen Ratkaisussa ilmenee, että oppilas ymmärtää ongelman j a pääkäsitteet sen ratkaisemiseksi Ratkaisu osoittaa, että oppilas on sisäistänyt ongelman ja hallitsee sekä matemaattiset käsitteet että tarvittavat tiedot ongelman ratkaisuun Käyttää osittain käyttökelpoista menetelmää, mutta ei kykene kokonaan ratkaisemaan ongelmaa Löytää ongelmaan ratkaisun ja käyttää tehokkaasti matemaattista päättelyä sekä eri menetelmiä Osoittaa monipuolista matemaattista päättelyä. Käyttää eri menetelmiä luovasti ja soveltaen ongelman ratkaisussa Selitys ei ole täydellinen, mutta oppilas on käyttänyt jotain matemaattista esitystapaa Selitys on selkeä ja metemaattisesti tarkka. Oppilas käyttää oikein matemaattisia termejä Selittää yksityiskohtaisesti ja vaiheittain, kuinka ongelma on ratkaistu. Matemaattiset termit on esitetty tarkasti ja esimerkkejä käyttäen (OPPILAAN TEHTÄVÄNRATKAISU EI VÄLTTÄMÄTTÄ OLE KAIKILLA OSA-ALUEILLA SAMALLA TASOLLA. Oppilas voi esim. antaa monipuolisen ja matemaattisesti oikean ratkaisun, joka ei liity annettuun tehtävään eli väärä ratkaisu on osattu perustella kuvin ja laskutehtävin.) YMMÄRTÄMISEN VIISI TASOA 0p Oppilas ei ole ymmärtänyt lainkaan tehtävää 1p - Oppilas on ymmärtänyt osan tehtävästä, mutta ei osaa ratkaista tehtävää matemaattisesti 2p Oppilaalla on jonkinlainen käsitys tehtävän matemaattisesta ratkaisusta 3p Oppilas osaa ratkaista tehtävän matemaattisesti oikein 4p - Oppilas osaa ratkaista tehtävän matemaattisesti oikein sekä pystyy perustelemaan ratkaisunsa 5p Oppilas ratkaisee tehtävän matemaattisesti oikein, perustelee ratkaisunsa ja esittää vastauksensa monipuolisesti MITEN PÄÄSTÄÄN ALKUUN?: Ø Aloitus mahdollisimman helposta tehtävästä Ø Tehtäviä on aluksi harjoiteltava yhdessä, jotta oppilaat omaksuvat työtavat Ø Oppilas tarvitsee aluksi tukea tehtävien ratkaisun kirjallisessa selittämisessä Ø Tehtävä on valittava opetettavan asian mukaan Ø Näytä ja selitä oppilaille tarkasti, mitä kriteereitä käytetään, kun arvioidaan ratkaisuja Ø Tehtävien läpikäymiseen kannattaa varata riittävästi aikaa 40

Sanallisista tehtävistä haastavampia ja mielenkiintoisempia Erno Lehtinen Oppimistutkimuksen keskus 41

Yksinkertaisten tehtävien perustyypit 1. Erotus- ja vertailutehtävät (Liisalla on X ja Pekalla on Y, kuinka monta enemmän/vähemmän Liisalla/Pekalla on) 2. Muutostehtävät (kasvavat, vähenevät) (Liisalla on X hän saa/antaa pois Y. Kuinka monta hänellä nyt on?) Sekä erotus- ja vertailutehtävissa että muutostehtävissä laskutoimitukset voivat olla joko suoria (5 + 7 =? / 12-7 =?) tai epäsuoria (5+ = 12 / 12- = 5) Verrannollisuustehtävät (X litraa maksaa Y euroa. Kuinka paljon maksaa Z litraa?) KÄYTETTÄESSÄ YKSINKERTAISIA TEHTÄVIÄ OLISI TÄRKEÄÄ VAIHDELLA TEHTÄVÄTYYPPIÄ JOKAISEN HARJOITUSKERRAN AIKANA. Tämä tekee tehtävät mielenkiintoisemmiksi ja estää täysin mekaanisten ratkaisurutiinien syntymisen. Eri tehtävätyyppien sekä suorien ja epäsuorien laskutoimitusten vaihtelu VAHVISTAA MYÖS LUKUKÄSITETTÄ JA ARITMEETTISTEN OPERAATIOIDEN YMMÄRTÄMISTÄ Vähemmän ja yhteensä jne. Sanat Yleensä standarditehtävissä: vähemmän = vähennyslasku; yhteensä = yhteenlasku jne. Jatkuva kikkailu näillä sanoilla ei ole kovin hyvä pedagoginen idea. Sen sijaa on hyvä aina silloin tällöin (tehtäviä yhdessä huolellisesti läpikäymällä) osoittaa oppilaille, ettei yksitäisistä sanoista voi päätellä sitä, miten tehtävä lasketaan. Tavoite on käydä huolellisesti läpi se, millaisesta tilanteesta (tilannemalli) tehtävässä on kysymys ja vaikka kuvin avulla tai muuten osoittaa miten tästä tilannemallista voidaan päätyä tavittaviin laskutoimituksiin. Kallella on X omenaa ja Liisalla Y omenaa. kuinka monta omenaa heillä on yhteensä? Kallella on X omenaa. Kuinka monta omenaa Liisalla on, kun heillä on yhteensä Y omenaa? KIINNITTÄMÄLLÄ HUOMIOTA SANALLISTEN TEHTÄVIEN TEKSTIN KUNNOLLISEEN YMMÄRTÄMISEEN VOIDAAN MYÖS AUTTAA YLEISEMMIN YMMÄRTÄVÄN LUKEMISEN TAITOJEN KEHITTYMISTÄ. LUKEMISTUTKIMUKSESTA TIEDÄMME, ETTÄ ERITYISESTI HEIKOMMILLE LUKIJOILLE ON TYYPILLISTÄ SANOJEN JA LAUSEIDEN MERKITYKSEN ARVAILU ERILAISTEN SATUNNAISTEN VIHJEIDEN AVULLA. PAHIMMASSA TAPAUKSESSA TÄLLAINEN TAKTIIKKA HIDASTAA KUNNOLLISEN LUKUTAIDON KEHITTYMISTÄ. SIKSI ON TARKOITUKSENMUKAISTA KÄYTTÄÄ HYVÄKSI SANALLISTEN TEHTÄVIEN TARJOAMA MAHDOLLISUUS HARJOITELLA YMMÄRTÄVÄN LUKEMISEN TAITOJA. TEHTÄVIEN MATEMAATTISEN SISÄLLÖN AVULLA ON HELPPO SEURATA SITÄ, KUINKA HYVIN OPPILAS YMMÄRTÄÄ TEKSTIN JA TEKSTIN KUVAAMAN TILANTEEN. SUHDE MATEMAATTISEEN RATKAISUUN AUTTAA MYÖS OPPILASTA ITSEÄÄN HUOMAAMAAN PINNALLISEN ARVAILUN JA AIDON TEKSTIN YMMÄRTÄMISEN ERON. 42

Yksinkertaisista tehtävistä haastavampia ja jännittävämpiä Linja-automaksu määräytyy ajetusta matkasta. Jokainen kilometri maksaa yhden euron. Kuinka paljon maksaa 15 kilometrin matka? Tällaisten yksinkertaisten tehtävien ratkaisemisessa ei ole mitään pahaa, edellyttäen, että otetaan huomioon edellä esitetty tehtävätyyppien vaihtelu ja vihjesanoihin perustuvien strategioiden välttäminen. Kiinnostavuuden ja matematiikan oppimisen kannalta on kuitenkin hyvä, jos tehtävissä on vähän enemmän haastavuutta, jota voidaan lisätä esimerkiksi kirjan valmiisiin tehtäviin hyvinkin pienellä vaivalla. Seuraavassa on esimerkkejä tällaisista muunnoksista. 1) Lisäämällä tehtävään yksikkömuunnos saadaan siitä matemaattisesti mielekkäämpi Linja-automaksu määräytyy ajetusta matkasta. Jokainen kilometri maksaa 50 senttiä. Kuinka monta euroa maksaa 10 kilometrin matka? YKSIKKÖMUUNNOKSET OVAT SUHTEIDEN YMMÄRTÄMISEEN LIITTYVÄT MATEMAATTISEN AJATTELUN JA KYMMENJÄRJESTELMÄN VAHVISTAMISEN KANNALTA OLENNAISIA. TIETYSTI YKSIKKÖMUUNNOKSILLA ON MYÖS ERITTÄIN SUORA KÄYNÄNNÖN MERKITYS. 2) Lisätään tehtävään elementtejä, jotka edellyttävät eri operaatioiden peräkkäistä suorittamista Linja-autolippu maksaa 2 euroa ja jokaiselta 2 kilometrin matkalta hintaa lisätään 1 euro. Kuinka paljon maksaa 10 kilometrin matka? ERILAISTEN OPERAATIOIDEN SUORITTAMINEN PERÄKKÄIN TIETYSSÄ JÄRJESTYKSESSÄ EDELLYTTÄÄ TEHTÄVÄN TILANNEMALLIN TARKKAA YMMÄRTÄMISTI (PINNALLISET RATKAISUT EIVÄT TOIMI). OPERAATIOJONOJEN MUODOSTAMINEN JA LASKUTOIMITUSTEN SUORITTAMINEN ON MYÖS LUKUKÄSITTEEN JA ARITMEETTISTEN OPERAATIOIDEN YMMÄRTÄMISEN KANNALTA HYÖDYLLISEMPÄÄ, KUIN PELKÄSTÄÄN YHDEN LASKUTOIMITUKSEN TEKEMINEN. 3) Lisätään tehtävään jokin uteliaisuutta herättävä elementti, tällöin tehtävä voi olla monimutkaisempi. Liisa ja Pekka olivat illalla elokuvissa ja ehtivät viimetingassa päivän viimeiseen linjaautoon. Vasta autossa he alkoivat miettiä onko heillä tarpeeksi rahaa maksaa matka perille. Liisalla oli 4 euroa. Pekka löysi lompakostaan 5 euron setelin ja taskustaan kaksi 2 euron kolikkoa. Linja-autolippu maksaa 2 euroa ja jokaiselta 2 kilometrin matkalta hintaa lisätään 1 euro. Kotipysäkille oli matkaa 10 kilometriä. Riittivätkö lasten rahat? TUTKIMUKSET VIITTAAVAT SIIHEN, ETTÄ JOS TEHTÄVÄSSÄ ON SELLAISIA ELEMENTTEJÄ, JOTKA LISÄÄVÄT OPPILAIDEN OMISTAUTUMISTA TEHTÄVÄN RATKAISUUN, NIIN TEHTÄVÄT VOIVAT OLLA HYVINKIN HAASTEELLISIA. TÄLLAISTEN RAKENTEELLISESTI HAASTELLISTEN TEHTÄVIN KAUTTA SAADAAN KOKEMUSTA SIITÄ, MITEN MATEMATIIKKA TOIMII KÄYTÄNNÖN TILANTEIDEN MALLITTAMISEN JA ARVIOINNIN VÄLINEENÄ. AINAKAAN NUOREMPIA OPPILAITA EI TULE PISTÄÄ TEKEMÄÄN YKSIN TÄLLAISIA MONIPOLVISIA TEHTÄVIÄ, VAAN NE SOVELTUVAT JOKO RYHMÄTYÖNÄ TAI OPETTAJAJOHTOISESTI KOKO LUOKAN TASOLLA TEHTÄVIKSI. 43

4) Lisätään tehtäviin elementtejä, jotka edellyttävät saadun matemaattisen tuloksen jälkeen käytännön päättelyä. Liisa ja Pekka olivat elokuvissa ja ehtivät viimetingassa päivän viimeiseen linja-autoon. Vasta autossa he alkoivat miettiä onko heillä tarpeeksi rahaa maksaa matka perille. Liisalla oli 4 euroa. Pekka löysi lompakostaan 5 euron setelin ja taskustaan kaksi 2 euron kolikkoa. Linja-autolippu maksaa 2 euroa ja jokaiselta 2 kilometrin matkalta hintaa lisätään 1 euro. Kotipysäkille oli matkaa 10 kilometriä. Riittivätkö lasten rahat ja jos eivät riittäneet, niin kuinka pitkän matkan he joutuivat kävelemään? TÄLLAISIIN LAAJEMPIIN TEHTÄVIIN ON HELPPO LISÄTÄ ELEMENTTEJÄ, JOTKA EDELLYTTÄVÄT MUUTAKIN PÄÄTTELYÄ, KUIN AINOASTAAN SUORAN ARITMEETTISEN TEHTÄVÄN RATKAISEMISTA. ESIMERKIKSI TÄSSÄ ON OLENNAISTA: o o PISTÄVÄTKÖ LAPSET KAIKKI RAHANSA YHTEEN, VAI MAKSAVATKO MOLEMMAT OMANSA. MYÖSKÄÄN KÄVELYMATKA EI OLE PUHDAS MATEMAATTINEN TULOS, VAAN RIIPPUU PYSÄKKIEN SIJAINNISTA. TÄLLAISET TEHTÄVÄT OVAT TÄRKEITÄ ONGELMANRATKAISULLE YLEENSÄ REALISTISEN KUVAN SAAMISEKSI MATEMATIIKAN KÄYTÄNNÖN SOVELTAMISESTA. 44

Turun yliopisto, oppimistutkimuksen keskus Sanallisten tehtävien testi Koulun nimi: Luokka: Oppilaan nimi: Ratkaise seuraavat sanalliset tehtävät. Piirrä jokaisesta tehtävästä kuva, joka auttaa ratkaisussa tai kirjoita lyhyt selostus, miten ratkaisit tehtävä 1. Pekalla on 7 seikkailukirjaa. Pirkolla on 6 seikkailukirjaa enemmän. Kuinka monta seikkailukirjaa Pirkolla on? 2. Pöydällä on kulhollinen suklaanpaloja. Liisa ottaa siitä joka päivä 2 suklaapalaa. Kahden viikon päästä kaikki suklaapalat on syöty. Kuinka monta palaa kulhossa oli alussa? 3. Lapset ostivat torilta omenoita. 8 kilogramman laatikko omenoita maksaa 9,6 euroa. Mari, Milla, Pekka ja Jussi ostivat laatikon ja he saivat kukin 2 kilogrammaa omenoita. Kuinka paljon 2 kg maksoi? 4. Kallella on 18 euroa rahaa. Hän haluaa ostaa kaksi tietokonepeliä, jotka maksavat 13 euroa kumpikin. Äiti lupasi, että Kalle saa 2 euroa joka kerta, kun hän vie roskapussin ulos. Kuinka monta kertaa Kallen pitää viedä roskapussi, jotta hän saa ostetuksi molemmat tietokonepelit. 5. Paula järjesti syötävää ja juotavaa syntymäpäiväkutsuja varten. Hän osti kaksi pakettia perunalastuja (1 paketti maksoi 2,50 euroa), suuren paketin sekakarkkeja (1 paketti maksoi 3,60 euroa) sekä 4 pulloa limonadia (1 pullo maksoi 1,25 euroa). Juhliin tuli kolme ystävää. Kuinka paljon tarjoilut maksoivat yhtä osallistujaa kohti? 45

Matematiikan kielentäminen Matemaattisen ajattelun kehittämisen keinot koulutussarja 2011 Jorma Joutsenlahti Tampereen yliopisto luokanopettajakoulutus Hämeenlinna 46

JHyvin monet opiskelijat tuntevat, etteivät kykene milloinkaan ymmärtämään matematiikkaa, mutta että he voivat oppia tarpeeksi pettääkseen tenttijät luulemaan heidän ymmärtävän. He ovat kuin sanansaattaja, jonka on toistettava lause hänelle tuntematonta kieltä täynnä huolta saada sanoma ilmoitetuksi, ennen kuin muisti pettää. Hän saattaa tehdä mitä kummallisempia virheitä. Sellainen opiskelu on selvästi ajantuhlaamista. Matemaattinen ajattelu on työkalu. (Sawyer 1958, 7-8) Jorma Joutsenlahden luennon sisällys: JoJo / TaY 2 Matematiikan kielentäminen 1. Perusteet 2. Suullinen 3. Kirjallinen 4. Tutkimuksia ) (A4) 1+sy=s 1+s0=s1 1+1=s1 47

Matematiikan kielentäminen Matemaattisen ajattelun kehittämisen keinot koulutussarja 2011 Jorma Joutsenlahti Tampereen yliopisto luokanopettajakoulutus Hämeenlinna JoJo / TaY 1 Hyvin monet opiskelijat tuntevat, etteivät kykene milloinkaan ymmärtämään matematiikkaa, mutta että he voivat oppia tarpeeksi pettääkseen tenttijät luulemaan heidän ymmärtävän. He ovat kuin sanansaattaja, jonka on toistettava lause hänelle tuntematonta kieltä - täynnä huolta saada sanoma ilmoitetuksi, ennen kuin muisti pettää. Hän saattaa tehdä mitä kummallisempia virheitä. Sellainen opiskelu on selvästi ajantuhlaamista. Matemaattinen ajattelu on työkalu. (Sawyer 1958, 7-8) JoJo / TaY 2 Matematiikan kielentäminen I Matematiikan kielentämisen perusteet JoJo / TaY 3 JoJo / TaY 4 Tuttua tunneilta Johdanto Esimerkkejä Tuo on ihan hepreaa Todistus: x+sy=s(x+y) (A4) 1+sy=s(1+y) (L2) 1+s0=s(1+0) (L2) x+0=x (A3) 1+0=1 (L2) 1+s0=s1 (L1) s0=1 (A1) 1+1=s1 (L1) s1=2 (A2) 1+1=2 (L1) Mitä toi on suomeksi sanottuna JoJo / TaY 5 JoJo / TaY 6 48

Kirjallinen työskentely matematiikassa Matematiikan kielentäminen JoJo / TaY 7 8 Matematiikan kielentäminen PITKÄN MATEMATIIKAN YO- KIRJOITUKSET KEVÄT 2009 Y Lähteenä Aatos Lahtinen: Matematiikan ylioppilaskirjoitus keväällä 2009 (DIMENSIO 6/2009) Y kokeeseen osallistui 11 659 kokelasta Y pakollisena kirjoitti 71% kokelaista Y tavanomainen JoJo / TaY 9 JoJo / TaY 10 TEHTÄVÄ 6 (n=11 659) TEHTÄVÄT 8 ja 9 (n=11 659) Keskiarvo Hajonta Vastaus% 6 pistettä 4,0 2,2 87 n. 50% n. 14% 0 pistettä Huom! Tyyppitehtävä vastaavassa kurssissa Tyyppisuoritus oli liian niukka. Paperilla oli vain kaava ilman selityksiä Lukiolaisille vaikeita osa-alueita: analyyttinen geometria 3- ulotteisessa avaruudessa ja trigonometria Turhan niukkaa esitystapaa. YTL ei vieläkään ole ajatustenlukija. JoJo / TaY 11 JoJo / TaY 12 49

Tiedon prosessoinnin näkökulma Kielentämisen perusteet Psykometrinen näkökulma Antropologinen näkökulma Matemaattinen ajattelu Matematiikan näkökulma Pedagoginen näkökulma JoJo / TaY 13 21.4.2011 JoJo 2011 14 Tärkeitä jatko-opinnoissa PISA mittasi Mathematical proficiency (Kilpatrick, etc. 2002, 16) Mathematical proficiency (Kilpatrick, etc. 2002, 16) JoJo / TaY 15 JoJo / TaY 16 Matematiikan kielentäminen Matematiikan kielentämisellä tarkoitetaan matemaattisen ajattelun ilmaisemista kielen avulla pääsääntöisesti suullisesti tai kirjallisesti (Joutsenlahti 2009, vrt. Høines 2000). Matemaattisella ajattelulla tarkoitetaan matemaattisen tiedon (konseptuaalisen, proseduraalisen tai strategisen) prosessointia, jota ohjaavat ajattelijan metakognitiot (Joutsenlahti 2005, Sternberg 1996). Kieli Kieli sisältää puhutun ja kirjoitetun kielen lisäksi kuvat, ilmeet, eleet sekä mm. matematiikan symbolikielen. Kieli on mukana kognitiivisissa kehitysprosesseissa. Kieltä ja ajattelua ei voi erottaa toisistaan kouluikäisillä. (Vygotski) JoJo / TaY 17 JoJo / TaY 18 50

Saat opiskelijan puhumaan saat opiskelijan ajattelemaan. Saat opiskelijan puhumaan matematiikasta saat opiskelijan ajattelemaan matematiikkaa. Matematiikan kieli, luonnollinen kieli ja kuviokieli Lyhentein merkityt alueet ovat matematiikan luonnollinen kieli (MLK), matematiikan symbolikieli (MSK) ja matematiikan kuviokieli (MKK) (Joutsenlahti & Kulju 2010). JoJo / TaY 19 JoJo / TaY 20 Opetussuunnitelmat ja ohjeistukset Koulutusjärjestelmän mukainen tarkastelu Esiopetus Alkuopetus Peruskoulu luokat 3-9 Lukio Korkeakoulu JoJo / TaY 21 JoJo / TaY 22 Esiopetuksen OPS Esiopetuksessa on tärkeää kehittää lapsen keskittymistä, kuuntelemista, kommunikointia ja ajattelun taitoja. Matemaattisen ajattelun kehittymisessä on tärkeää, että lapsi oppii tarkkailemaan myös omaa ajattelemistaan. Lasta on kannustettava kertomaan, mitä hän ajattelee tai miten hän ajatteli. Perusopetuksen matematiikan ops:n perusteet 2004 (lk 1-2) Opetuksen ydintehtäviä mm.: matemaattisen ajattelun kehittäminen Tavoitteita: Käsitteiden muodostusprosessissa keskeisiä ovat puhuttu ja kirjoitettu kieli Oppilas oppii perustelemaan ratkaisujaan ja päätelmiään konkreettisin mallein ja välinein, kuvin, kirjallisesti tai suullisesti JoJo / TaY 23 JoJo / TaY 24 51

Perusopetuksen matematiikan ops:n perusteet 2004 (lk 3-5) Opetuksen ydintehtäviä mm. matemaattisen ajattelun kehittämisen... Tavoitteita: Oppilas oppii perustelemaan toimintaansa ja päätelmiään sekä esittämään ratkaisujaan muille Perusopetuksen matematiikan ops:n perusteet 2004 (lk 6-9) ilmaisemaan ajatuksensa yksiselitteisesti ja perustelemaan toimintaansa ja päätelmiään esittämään kysymyksiä ja päätelmiä havaintojen perusteella JoJo / TaY 25 JoJo / TaY 26 Lukion ops:n perusteet (2003) Matematiikan opetuksen tehtävänä on tutustuttaa opiskelija matemaattisen ajattelun malleihin sekä matematiikan perusideoihin ja rakenteisiin, opettaa käyttämään puhuttua ja kirjoitettua matematiikan kieltä sekä kehittää laskemisen ja ongelmien ratkaisemisen taitoja. laatimaan perusteluja sekä arvioimaan perustelujen pätevyyttä ja tulosten yleistettävyyttä. YTL:n matematiikan kokeen ohjeet (2006) suositeltavia ovat standardoidut ja oppikirjoissa esiintyvät loogiset merkit, samoin ainakin muutaman sanan mittaiset selitykset tai perustelut sekä piirrokset ja näihin perustuvat huomautukset. JoJo / TaY 27 JoJo / TaY 28 Käsite, käsitteen oppiminen ja ilmaiseminen Käsite (Kouki 2010, 37) Jokaisella käsitteellä katsotaan olevan oma alansa ja sisältönsä, oma merkityksensä (Lahdes 1997, 177-179). Pertti Karkama (1991, 29) on todennut, että käsitteiden alaa ja sisältöä määräävät ne toiminnan muodot, joiden yhteydessä ne syntyvät. Luonteeltaan käsitesisällöt ovat verkkomaisia: käsite muodostuu ilmiöiden tarkastelun kautta siten, että tietyt näkökohdat avaavat käsitteen sisällön, rakenteen ja merkityksen (Aebli 1991, 284, 288). JoJo / TaY 29 52

Käsite (Kouki 2010, 38) 38) Koska käsitteenoppiminen rakentuu monenlaisista mentaalisista prosesseista, kuten vertailusta, erittelystä, loogisesta ajattelukyvystä ja muistista, on ilmiselvää, ettei pelkkä käsitteen nimen tai määritelmän mekaaninen oppiminen riitä: on ymmärrettävä käsitteen nimen takana oleva käsitteen sisällön, kytkentöjen ja prosessien muodostama kokonaisuus (Aebli 1991, 295). Opetuksessa on harjoiteltava kyseisen käsitteen merkitystä ja käyttöä ja oppilaalla on oltava mahdollisuus konstruoida opetettava käsite osaksi omaa ajatteluaan ja tiedonrakenteitaan. esittää Käsitteen sisältö - assosiaatiot, uskomukset -mielipiteet -aikaisemmat tiedot -havainnot viittaa Ulkoinen tarkoite -toimintamateriaali -esine, asia, ilmiö - ominaisuus tms. JoJo / TaY 31 JoJo2006 JoJo / TaY 32 Summa summarum Matematiikan kielentäminen Kielentämisen tarkoituksena on luoda oppijalle itselleen merkityksiä matematiikan käsitteistä ja toiminnoista oman mielen maisemaan (ymmärtäminen). oppia ilmaisemaan matemaattista ajattelua muille ymmärrettävästi (esittäminen). JoJo / TaY 33 JoJo / TaY 34 II Suullinen kielentämisen JoJo / TaY 35 JoJo / TaY 36 53

Kommunikaatio Matematiikan kielentäminen Latinan communicare tehdä yleiseksi, jakaa Käsitteiden merkitysten rakentaminen ei ole luokassa kunkin oppilaan yksityinen oma prosessi, vaan luokan yhteinen prosessi. Kommunikoinnin avulla tietoa ei siirretä vaan rakennetaan yhdessä. (Sfard 2000, 2001) RYHMÄ OPISKELIJA OPETTAJA JoJo / TaY 37 JoJo / TaY 38 Matematiikan kielentämisessä opiskelija Matematiik kiele ntämi jäsentää omaa matemaattista ajatteluaan puhuessaan (kirjoittaessaan) uskaltaa ilmaista itseään omin sanoin virheitä pelkäämättä ( Joutsenlahti 2003, Joutsenlahti & Kulju 2010) JoJo / TaY 39 JoJo / TaY 40 Matematiikan kielentämisessä opiskelija näkee kielentämisen hyötynä sen, että muiden opiskelijoiden on helpompi seurata oman ratkaisun kulkua, kun esittämisessä hyödynnetään monipuolisesti ja tarkoituksenmukaisesti kieliä ts. matematiikan symbolikieltä, luonnollista kieltä, ja kuviokieltä. (presentaatio näkökulma) oppii lopulta ilmaisemaan itseään täsmällisesti matematiikan käsitteitä käyttäen ( Joutsenlahti 2003, Joutsenlahti & Kulju 2010) Opiskelijan matematiikan kielentämisestä opettaja voi arvioida opiskelijan oppimisprosessia (mm. käsitteiden ymmärtämistä sekä algoritmien hallintaa) ohjata keskustelua opetuksen tavoitteiden suunnassa (Joutsenlahti 2003, 2009) JoJo / TaY 41 JoJo / TaY 42 54

Opiskelijan matematiikan kielentämisestä opettaja suunnitella uusia yksilöllisiä opetusjärjestelyjä (tukiopetus, eriyttäminen, erityisopetus) lyhyellä aikavälillä suunnitella ryhmän opetusjärjestelyjä pitkällä aikavälillä oppii olemaan kuuntelija (Joutsenlahti 2003, 2009) Suulliseen kielentämiseen ohjaaminen luokassa 1. Koko luokan keskustelu (Whole- Class Discussion) 2. Pienryhmä keskustelu (Small- Group Discussion) 3. Parikeskustelu (Partner Talk) (Chapin, O Connor & Anderson 2009) JoJo / TaY 43 JoJo / TaY 44 Suulliseen kielentämiseen ohjaaminen luokassa Keskustelun ohjaamisen keinoja: 1. Uudelleen kertominen: opiskelija sanoo itse uudelleen eri sanoin (Revoicing) 2. Toistaminen: toinen opiskelija kertoo omin sanoin miten ymmärsi toisen opiskelijan päättelyn tms. (Repeating) 3. Päättely: opiskelija vertaa omaa päättelyään toisen opiskelijan päättelyyn. (Reasoning) 4. Lisääminen: opiskelijoita kehotetaan jatkamaan toisen opiskelijan esitystä. (Adding on) 5. Odottaminen: opettaja määrää yhteisen tuumaustauon (Waiting) (Chapin, O Connor & Anderson 2009) JoJo / TaY 45 Matematiikan kielentämisessä muu ryhmä reflektoi omaa matemaattista ajatteluaan suhteessa ilmaistuun ajatteluun ja rakentaa siten omaa matemaattista ymmärrystään voi ymmärtää opiskeltavia käsitteitä yms. uudella tavalla vertaisryhmän kielen kautta arvioi esitetyn ratkaisun oikeellisuutta ja oppii keskustelemaan eri ratkaisuvaihtoehdoista JoJo / TaY 46 Matematiikan kielentäminen JoJo / TaY 47 JoJo / TaY 48 55

Taustaa III Kirjallinen kielentäminen JoJo / TaY 49 Oppilaan monipuolinen kirjoittaminen matemaattisten tehtävien ratkaisuissa edistää matematiikan oppimista, kehittää matemaattista ymmärtämistä, parantaa oppilaiden asenteita matematiikkaa kohtaan ja helpottaa opettajan arviointityötä. (Candia Morgan 2001, 233 235) JoJo / TaY 50 Taustaa Oppilaan luonnollisen kielen käyttö ongelmien pohdinnassa ja ratkaisujen hahmottamisessa niin puhuttuna kuin kirjoitettunakin auttaa häntä jäsentämään ajatteluaan itselleen ja toisaalta muille oppilaille. (Joutsenlahti 2003; Fuson, Kalchman & Bransford 2005). Matematiikan kieli, luonnollinen kieli ja kuviokieli, kun rekisterinä on matematiikan sanallisten tehtävien ratkaisun esittäminen. Lyhentein merkityt alueet ovat matematiikan luonnollinen kieli (MLK), matematiikan symbolikieli (MSK) ja matematiikan kuviokieli (MKK) (Joutsenlahti& Kulju 2010). JoJo / TaY 51 JoJo / TaY 52 JoJo / TaY 53 JoJo / TaY 54 56

Jaakkola et. al. (2001) KOLMIO matematiikan tietokirja Tammi, s. 118. Luonnollisen kielen käytön mahdollisuus ratkaisussa? Pitkä matematiikka Funktiot ja Yhtälöt 2 (Kangasaho, Mäkinen, Oikkonen, Paasonen, Salmela 2000, WSOY. S.66) JoJo / TaY 55 JoJo / TaY 56 Kirjallisen kielentämisen malleja (Joutsenlahti 2009, 2010) Matematiikan kieli (Tuhattaituri 6, s.16) Standardi -malli JoJo / TaY 57 JoJo / TaY 58 "Kertomus"-malli Luonnollinen kieli Matematiikan kieli Luonnollinen kieli Matematiikan kieli Luonnollinen kieli Matematiikan kieli Luonnollinen kieli Kielennys ratkaisuun Mieti, mitä kirjoittasit kullekin riville? 5. lk:n ratkaisuja (Mäclin & Nikula 2010) Matematiikan kieli Luonnollinen kieli JoJo / TaY 59 JoJo / TaY 60 57

"Tiekartta"-malli Päiväkirja"-malli Luonnollinen kieli Matematiikan kieli Luonnollinen kieli Matematiikan kieli Matematiikan kieli Luonnollinen kieli Luonnollinen kieli JoJo / TaY 61 JoJo / TaY 62 Kommentti malli (1. vsk Helsingin Luonnontiedelukio) Missio: Matematii- kan symbolikieli Luonnollinen kieli / Kuviokieli Sanallisiin tehtäviin erillinen vastaus kokonaisena virkkeenä, koska 1. vastaukseen saadaan luontevasti (mitta)yksiköt ( Ostokset maksoivat 45 euroa. ) 2. oppilas vastaa siihen mitä kysytään (Oppilas joutuu lukemaan tehtävän kysymyksen vielä kerran.) 3. oppilas joutuu pohtimaan antamansa vastauksen mielekkyyttä suhteessa tehtävän antoon (Arviointi, kehittää oppilaan metakognitiivisia taitoja.) JoJo / TaY 63 JoJo / TaY 64 Matematiikan kielentäminen JoJo / TaY 65 JoJo / TaY 66 58

Kielentäminen ja oppimateriaali IV Tutkimuksia kielentämisestä JoJo / TaY 67 JoJo / TaY 68 Ohjaaminen sosiaaliseen interaktioon 6. luokan opettajan oppaissa(pispa & Rantanen 2007, 118 ) Avoimien tehtävien osuus osioittain kussakin 6. lk:n opettajan oppaassa (Pispa & Ranta) 100 90 91 90 80 83 70 60 50 40 30 Opettajan opas 20 10 0 9 10 17 Laskutaito Matikkamatka Tuhattaituri (N=641 N=1014 N=425) yksin yhdessä Sosiaalinen interaktio JoJo / TaY 69 JoJo / TaY 70 Esim. Esiopetuksen tuloksia (Korvenoja & Laaksonen) Lukiolaisten ja korkeakouluopiskelijoiden näkemyksiä kielentämisestä n=336 n=163 n=527 JoJo / TaY 71 JoJo / TaY 72 59

N=38 Kyllä En En osaa sanoa TYTTÖ 8 (35 %) 4 (17%) 11 (48 %) POIKA 4 (27 %) 3 (20%) 8 (53 %) YHTEENSÄ 12 (32 %) 7 (17 %) 19 (50 %) JoJo / TaY 73 JoJo / TaY 74 TTY:n opiskelijoiden käsityksiä kielentämisestä (Kirsi Silius, Seppo Pohjolainen, Jussi Kangas, Thumas Miilumäki, Jorma Joutsenlahti 2011) Sanan lasku -tutkimusprojekti 7.5 % 77.5 % 16.9 % 65,0 % Sanan Lasku 16.9 % 60.6 % 49.4 % 28.2 % 18.8 % 43.8 % 8.2 % 68.8 % JoJo / TaY 75 JoJo / TaY 76 Tutkimusaiheina matematiikan kielentäminen YEsiopetuksessa YAlkuopetuksessa YErityisopetuksessa YParityöskentelyssä 5. luokalla YKirjallisesti 3., 5. ja 7. luokalla YKirjallisesti lukiossa YKirjallisesti ja suullisesti korkeakoulussa JoJo / TaY 77 1. Matematiikan kielentäminen varhaiskasvatuksessa Saana Niittymäki (2010). Kaikkien lasten kohdalla kielentämisestä oli apua esimerkiksi siinä, että he huomasivat helpommin, jos olivat tehneet laskussa virheen. Matematiikan kielentämistä voidaan alkaa harjoittelemaan jo päiväkodissa. Kielentämisen perusteiden oppiminen esikoulussa helpottaa siirtymistä koulumaailmaan ja siellä puolestaan käyttää aktiivisesti kielentämistä osana matematiikan opiskelua. JoJo / TaY 78 60

2. Matematiikan kielentäminen alkuopetuksessa VILLE KESKINEN (2010): Pelaten ja leikkien yhdessä kohti haluttua päämäärää Toimintatutkimus matematiikan toiminnallisesta opetuksesta alkuopetuksessa Kuului osana Matematiikkaa luonnossa hankkeeseen (Hämeenlinnan Kulttuurikeskus ARX) Oppiaineiden integrointia (ympäristökasvatusta, matematiikkaa) Toiminnallinen opetus haastaa oppilaat kielentämään ja selventämään ajatuksiaan Kielentämisen kolme dimensiota toteutuvat ja ilmenevät luonto- opetuksessa 3. Viidennen luokan oppilaiden matematiikan suullinen kielentäminen parityöskentelyssä Jaana Mansikka-aho & Saara Sirén (2010): Mieti uudelleen ja sano! Suullisen kielentämisen avulla oppilaat voivat päästä yhdessä pohtien ja reflektoiden oikeaan ratkaisuun. Tytöt ja pojat kielentävät ajatuksiaan suullisesti suunnilleen yhtä paljon, mutta tyttöjen yhteistyö tehtävien ratkaisemiseksi on tiiviimpää. Suullinen kielentäminen onnistuu yleensä parhaiten sellaisilta pareilta, joiden matematiikan taitotaso on lähellä toisiaan. Opettaja hyötyy paljon oppilaiden suullisesta kielentämisestä ja voi sen avulla suunnitella ja eriyttää opetustaan JoJo / TaY 79 JoJo / TaY 80 4. Kirjallinen kielentäminen 3., 5. ja 7. luokalla Mäclin & Nikula (2010): Matemaattisen ajattelun kirjallinen kielentäminen matemaattisen ongelman ratkaisuvälineenä (Pro gradu) Tulokset antavat viitteitä siitä, että erityisesti keskitasoiset matematiikan osaajat kokisivat hyötyvänsä matemaattisen ajattelun kirjallisesta kielentämisestä. Kirjoittamisen mieluisuus on merkitsevästi yhteydessä kirjallisen kielentämisen hyödylliseksi kokemiseen matematiikassa Suurimmaksi hyödyksi kirjallisessa kielentämisessä matematiikassa nähtiin ajattelun jäsentäminen ja parempi matematiikan tehtävän ymmärtäminen Opettajien kannalta kirjallinen kielentäminen matematiikassa koettiin hyödylliseksi työvälineeksi oppilaita arvioidessa. Lisäksi tulosten mukaan se mahdollistaa opettajille muun muassa kaikkien oppilaiden matemaattisen ajattelun tarkastelun. 5. Matematiikan kielentäminen erityisopetuksessa Anne-Mari Ruuska (2010): Matematiikan kielentäminen erityisopetuksessa matemaattinen ajattelu jäsentyi ainakin matemaattisten käsitteiden käytössä toimintamateriaalin käytön kautta käyty keskustelu toi parhaiten esille matemaattista ajattelua Soveltavat käytännön tehtävät soveltuivat oppilaille Tietokoneen käyttö tunneilla ei soveltunut hyvin matematiikan kielentämiseen. JoJo / TaY 81 JoJo / TaY 82 Katsaus matematiikan kielentämisen tutkimustuloksiin peruskoulussa Joitakin lähteitä: Chapin S., O Connor C. & Anderson N. (2009). Classroom discussions. Using math talk to help students learn. Sausalito (California): Math Solutions. Jaakkola M. (2010), Monistrateginen tutkimus 6.-luokkalaisten matemaattisesta minäkäsityksestä ja suhtautumisesta matematiikan opiskeluun. Tampereen yliopisto, Opettajankoulutuslaitos (Hämeenlinna). Kasvatustieteen kandidaatintutkielma Joutsenlahti J. (2003). Kielentäminen matematiikan opiskelussa. Teoksessa Virta Arja & Marttila Outi (toim.) (toim.) Opettaja, asiantuntijuus ja yhteiskunta (Ainedidaktinen symposium 7.2.2003). Turku: Turun opettajankoulutuslaitos, 188 196. (Turun yliopiston kasvatustieteiden tiedekunnan julkaisuja B:72). Joutsenlahti J. (2005). Lukiolaisen tehtäväorientoituneen matemaattisen ajattelun piirteitä. Tampere. (Acta Universitatis Tamperensis 1061). Joutsenlahti J. (2009). Matematiikan kielentäminen kirjallisessa työssä. Teoksessa Raimo Kaasila (toim.) Matematiikan ja luonnontieteiden opetuksen tutkimuspäivät Rovaniemellä 7.-8.11.2008. Rovaniemi: Lapin yliopisto, 71 86. (Lapin yliopiston kasvatustieteellisiä raportteja 9). Joutsenlahti J & Kulju P. (2010). Kieliteoreettinen lähestymistapa koulumatematiikan sanallisiin tehtäviin ja niiden kielennettyihin ratkaisuihin. Teoksessa Eero Ropo, Harry Silfverberg & Tiina Soini (toim.) Toisensa kohtaavat ainedidaktiikat. Ainedidaktiikan symposiumi Tampereella 13.2.2009. Tampere: Tampereen yliopisto, 77 90. (Tampereen yliopiston opettajankoulutuslaitoksen julkaisuja. A 31). Mäclin J. & Nikula M. (2010). Matemaattisen ajattelun kirjallinen kielentäminen matemaattisen ongelman ratkaisuvälineenä. http://tutkielmat.uta.fi/pdf/gradu04498.pdf SUUNNITTELIJANA JoJo / TaY 83 JoJo / TaY 84 61

Huh! Kiitokset mielenkiinnosta! jorma.joutsenlahti@uta.fi http://www.joutsenlahti.net JoJo / TaY 85 62

Matemaattisen ajattelun kehittäminen, matemaattinen ongelmanratkaisu ja luovuus matematiikassa Matemaattisen ajattelun kehittämisen keinot koulutussarja 2011 Erkki Pehkonen Helsingin yliopisto 63

MATEMAATTISEN AJATTELUN KEHITTÄMINEN MATEMAATTINEN AJATTELU Erkki Pehkonen OKL /HY 1 2 POPS-mietinnössä (Anon. 1970) Ajattelun kehittäminen on ollut kaikkia koulun oppiaineita koskeva formaali tavoite aivan peruskoulun alusta lähtien (ks. Anon. 1970). Samoin se on kansainvälisesti yhä edelleen tutkimuksen ja kehittämisen polttopisteessä (esim. McGregor 2007). tiedollisen kasvatuksen tavoitteet jaetaan materiaalisiin ja formaalisiin. - materiaaliset tavoitteet ovat ainekohtaisia sisältötavoitteita, - formaalisiin tavoitteisiin kuuluvat ajattelun kehittäminen, käsitteiden muodostus ja niiden käyttö, päätteleminen, tietojen arvioiminen, ongelmien ratkaiseminen ja luova ajattelu 3 4 Jo 1985 Peruskoulun opetussuunnitelman perusteissa todettiin selkeästi, että opetuksen tavoitteissa tulisi kiinnittää enemmän huomiota tiedollisen kasvatuksen formaaliin puoleen: tieto on vain väline Ajattelun tutkimisen ongelmallisuudesta toteaa mm. Astington & Olson (1995): Suuri ongelma on että... ajattelemisella ei ole mitään käyttäytymiseen liittyviä indeksejä. Opettajat voivat ainoastaan keskustelujen kautta päästä selville oppilaiden ajattelusta. Tällöin tulevat kyseeseen lähinnä oppilaiden vastaukset kysymyksiin ja oppilaiden keskusteluihin tovereidensa kanssa. 5 6 64

Mitä on matemaattinen ajattelu? Yleensä ajatellaan, että matemaattinen ajattelu on samaa kuin looginen ajattelu, mutta aktiivisesti matematiikkaa käyttä- välle on tarpeen myös luova ajattelu. Matemaattinen ymmärtäminen liittyy läheisesti matemaattiseen ajatteluun, kuten myös matemaattinen tietorakenne ja tiedon luonne konseptuaalinen ja proseduraalinen tieto. 7 8 Matemaattisesta ajattelusta Matemaattinen ajattelu ei ole ajattelua matema- tiikasta, väittää Leone Burton (1984, 35), vaan se muodostuu tietyistä matemaattisiksi tunnistettavista operaatioista (toimituksista) ja prosesseista (tapahtumasarjoista) sekä niihin liittyvästä dynamiikasta (jännitekentistä). Näistä erityisesti matemaattisen ajattelun prosessit ovat kiinnostavia ongelmanratkaisun kannalta. Em. prosesseista näyttävät seuraavat neljä olevan keskeisimpiä: - erikoistapaukseen siirtyminen (specializing), - otaksumien esittäminen (conjecturing), - yleistäminen (generalizing) ja - vakuuttaminen (convincing). 9 10 Esimerkki 1 (Mason 1982, 1) Esimerkin käsittelyä Tavaratalossa sinulle tarjotaan suuresta ostoksesta 20 % alennus, mutta sinun täytyy maksaa siitä 15 % myyntiveroa. Kumpi sinun kannattaisi laskea ensin: alennus vai vero? 11 Erikoistapaukseen siirtyminen: Esimerkiksi valitaan ostoksen hinnaksi 100 ja lasketaan siitä sekä alennus että vero. Otaksumien esittäminen: Näitä erikoistapauk- sia lasketaan niin paljon, että mielessä herää otaksuma ratkaisusta. Tämä pyritään yleistämään (yleistäminen ) ja lopuksi osoittamaan yleisesti voimassa olevaksi (vakuuttaminen). 12 65

Matemaattisesta ymmärtämisestä Toisenlaisen lähtökohdan matemaattisen ajattelun käsitteeseen esittää Rice (1992). Hän keskittyy matemaattisiin ajattelustrategioihin, joihin hän laskee kuuluvan ainakin seuraavat: luokittelu, lukujonotaidot, analogian muodostaminen, deduktiivinen päättely ja ongelmanratkaisutaidot. 13 Herscovics & Bergeron (1983, 75) esittävät, että "ymmärtämistä ei voida erottaa sanoista "ajatella", "tietää" ja "oppia", koska ymmärtäminen on ajattelun tulos, joka ei voi toimia tyhjiössä, vaan aikaisemmin hankitun tiedon kautta". 14 Esimerkiksi Wachsmuth (1985, 45) kuvaili ymmärtämisen 'omien ajatustensa järjestämisenä' seuraavasti: "Ymmärtää joku asia tarkoittaa, että pystyy järjestämään sen omaan henkiseen kategoriajärjestelmäänsä." Tutkimusten perusteella tiedetään, että ajattelustrategiat näyttävät olevan matematiikassa keskeisiä erottavia tekijöitä hyvien ja huonosti menestyvien oppilaiden välillä (esim. Kulm 1990). 15 Ymmärtäminen voidaan nähdä myös potentiaalisena kykynä tehdä sellaisia tiettyyn aiheeseen liittyviä ajattelua vaativia toimintoja kuten selittämistä, todisteiden löytämistä, yleistämistä, soveltamista, analogioiden löytämistä ja käsitellyn aiheen esittämistä toisella tavalla (Joutsenlahti 2005, 84). 16 Hiebert & Carpenter (1992) kuvaavat ymmär- tämisen prosessina, joka kiinnittyy tiettyyn henkilöön, tarkasteltavaan matemaattiseen sisältöön ja erityiseen ympäristöön: Henkilö on ymmärtänyt matemaattisen idean tai menetelmän tai tosiasian, jos se on osa hänen sisäistä tietoverkkoaan. Ymmärtämisen asteen määräävät tietoverkon yhteyksien lukumäärä ja voimakkuus. 17 Viime aikoina on tuotu taas kertaalleen esille se tosiasia, että opetuksen tulokset näyttävät pysyvän kovin mekaanisella tasolla ja ettei korkeamman tason ymmärrystä näytetä saavutettavan (esim. Virtanen 1994, Meren- luoto & Pehkonen 2004), vaikkakin sitä kovasti toivotaan. Matemaattinen ymmärrys näyttää olevan prosessi, jossa edistytään hitaasti ja silloinkin vain kovasti työtä tekemällä 18 66

Esimerkki 2 Tiedämme, että pätee 498 : 6 = 83. Selvitä tästä tiedosta perustellen, mitä saadaan tehtävän 491 : 6 =? vastaukseksi, ratkaisematta tehtävää jakokulmassa. Matemaattinen tieto 19 20 Tietoa voidaan tarkastella filosofisesta näkökulmasta, jolloin nousee esille kysymys: Mitä on tieto? Tähän on olemassa perinteinen Platonin määritelmä tieto on hyvinperusteltu tosi uskomus (esim. Niiniluoto 1992, 57). Subjektiivisen ja objektiivisen tiedon välinen suhde matematiikassa on keskeistä sosiaalisen konstruktivismin filosofian mukaan. Subjektiivinen tieto on yksilön omaa, kun taas objektiivinen tieto on yhteisön hallinnassa. 21 22 Tiedonhankinnassa erotetaan eri Tunnetusti matemaattinen tieto jaetaan suuntauksia puhutaan empirismistä ja menetelmätiedoksi (procedural rationalismista. knowledge), kuten algoritmitieto, ja Psykologisesti tiedon käsite usein jaetaan käsitetiedoksi (conceptual knowledge), kahteen eri tyyppiin, jossa jaon perus- kuten tosiasiatieto (Hiebert & Lefevre teena on ollut erottaa toisistaan taidon 1986). oppiminen ja tiedon ymmärtäminen. Nämä molemmat tulevat kysymykseen matematiikan oppimisessa. 23 24 67

Esimerkki 3 (Campbell 1996) Ymmärtäminen liittyy ensisijaisesti käsitetietoon. Lisäksi Hiebert ja Lefevre (1986) korostavat tietokokonaisuuksien merkitystä käsitetiedon omaksumisessa. Olkoon A luku 6*147 + 1. Jos jaat 6:lla luvun A, mikä on jakojäännös? Paljonko on osamäärä? 25 26 Esimerkki 4 (Zazkis & Campbell 1996) Tarkastellaan lukuja 12 358 ja 12 368. Tutki, onko niiden välissä kaksi lukua, jotka ovat jaollisia 7:llä tai 12:lla? Matemaattisesta tietorakenteesta Koska matemaattisen tiedon osat ovat yhteydessä toisiinsa, ottamalla tosiasiatiedot ja niiden väliset suhteet syntyy tietty rakenne, jota kutsutaan matemaattiseksi tietorakenteeksi. Usein matemaattinen tietorakenne esitetään graafina (esim. Kiesswetter 1977), joka koostuu tosiasiatiedoista (solmu) ja niiden välisistä yhteyksistä (polku). 27 28 Kaavamainen kuva yksilön tietorakenteesta Tämäntyyppinen tietorakenne on kuvattu kaavamaisesti alla kuviossa, jossa mustat ympyrät kuvaavat tietoyksiköitä ja viivat niiden välisiä yhteyksiä sekä neliöt tietorakenteeseen liittyviä emootioyksiköitä ja viivat niiden välisiä yhteyksiä. 29 Ymmärtämiseen tähtäävän opiskelun tuloksena syntyy lisää yhteyksiä tietorakennetta kuvaavaan graafiin. Yksilön tietorakenteen yhteydessä on oppimistilanteeseen liittyviä tunne- latautuneita muistoja, useimmiten turhautumisesta (vrt. Bereiterin (1990) moduliteoria oppimisesta). 30 68

Parhaimmillaan yksilön matemaattinen tieto muodostuu selkeäksi loogiseksi kokonaisuudeksi matemaattiseksi tietorakenteeksi, joka on tarvittaessa palautettavissa mieleen. Tällainen tarve tulee esimerkiksi ongelmanratkaisutilanteessa, jossa yksilön on ratkaisun löytämiseksi usein hahmotettava tilanne uudella tavalla. 31 Siispä Kiesswetteriä (1983) mukaillen voidaan sanoa: Ongelman ratkaisu saadaan tuotettua, kun pystytään rakentamaan riittävästi lisää yhteyksiä tietorakenteessa olevien vanhojen tosiasioiden välille tai lisäämään uusia relevantteja tosiasioita. Tämä vaatii yleensä kykyä hahmottaa omaksuttu matematiikka uudella tavalla, kykyä nähdä uusia yhteyksiä aikaisemmassa tietograafissa. 32 Mutta käytännössä suuri osa jokaisen yksilön matemaattisesta tiedosta on uskomustasolla, ts. se muodostuu henkilökohtaisista (enemmän tai vähemmän selkeistä) käsityksistä tai muisti- kuvista aikoinaan opitusta matematiikasta, jotka voivat poiketa merkittävästikin yleisesti hyväksytyistä käsityksistä. Tähän henkilökohtaiseen tietoon saattaa liittyä usein jopa täysin vääriä tulkintoja matemaat- tisesta tiedosta. 33 Matemaattisen ajattelun kehittäminen 34 Keinoja Peruskoulun opetussuunnitelmassa (Anon 2004) matemaattisen ajattelun kehittäminen mainitaan yhtenä kes- keisimmistä matematiikanopetuksen tavoitteista. Opetussuunnitelma ei tarjoa keinoja tähän päämäärään, vaan jättää sen opettajan omaan harkintaan. 35 Ainakin neljä tällaista opetuksessa käytettävää keinoa voidaan mainita: - ongelmatehtävien käyttäminen, - luvuilla leikittely, - matematiikan kielentäminen (ks. Joutsenlahti 2003), - ajatuskartan laatiminen (ks. Buzan 1989). 36 69

Ongelmanratkaisun käyttäminen Ongelmanratkaisussa on useita suuntauksia. Puhutaan mm. Polyan malliin perustuvasta ongelmanratkaisusta, avoimesta ongelmanratkaisusta, luovasta ongelmanratkaisusta. Ongelmatehtävien luokittelua: Esimerkiksi puhutaan PISA-tehtä- vistä, jotka ovat suurelta osalta aivan omantyyppisiä ongelmatehtäviä, ns. kompleksisia ongelmia ja yleensä non-standardeja tehtäviä. Non-standardi tarkoittaa ei-tavan- omaista, ts. tehtäviä, joita ei löydä oppikirjoista. 37 38 Non-standardien tehtävien käyttäminen Kouluopetuksessa oppilaan ajattelua voidaan parhaiten edistää MIKSI?- kysymyksillä. Oli oppilaan vastaus oikea tai väärä, niin ei tyydytä siihen, vaan pyyde- tään häntä selittämään, miksi hän on päätynyt tuohon vastaukseen. Esimerkki 5 Kuinka moneen neliöön voidaan annettu neliö jakaa? 39 40 Luvuilla leikittely Esimerkki 6 Erityisesti ala-asteella olisi oppilai- den saada mahdollisuus luvuilla leikittelyyn. Lapset ovat yleensä kovin kiinnostu- neet suurista luvuista, erityisesti äärettömyys kiehtoo heidän ajatte- luaan. Tätä kiinnostusta pitäisi opetuksessa Sellaista lukua sanotaan palindromiksi, joka etu- ja takaperin luettuna on sama, esim. 121 ja 5445. On esitetty väite, että kaikki nelinumeroiset palindromiluvut ovat 11 jaollisia. Pitääkö tämä paikkansa? hyödyntää. 41 42 70

Jatk. Kaikista luvuista ei saada noin nopeasti palidromeja, esim. 85 ja 58 on yhteensä 143 josta on jatkettava: 143 + 341 = 484. Lukua 85 sanotaan tyypin 2 luvuksi, koska tarvitaan kaksi yhteenlaskua. Tutki kaksinumeroisia lukuja: Ovatko ne kaikki tyyppiä 1 tai 2? Mitä säännönmukaisuutta pystyt löytämään? Matematiikan kielentäminen Ks. Joutsenlahden esitys (ti 12.4.2011) 43 44 Tietorakenteen esittäminen ajatuskarttana Opettaja voisi selvittää opiskelijoiden tietorakennetta ainakin keskeisten sisältöjen kohdalla. Tämä voisi yksinkertaisimmin toteut- taa teettämällä opiskelijoilla kysei- sestä ainepiiristä käsitekartan, mutta saman asian toimittanee myös ajatuskartta. 45 Usein matematiikan opiskelijankin tietorakenne voi olla kovin hatara ja koostua erillisistä tietoelementeistä ja assosiaatioista, joiden avulla hän kuitenkin pystyy ratkaisemaan tehtä- viä ja antamaan kuvan riittävästä matemaattisen tiedon hallinnasta. 46 Oppilaiden tietorakenteen selvittäminen voisi yksinkertaisimmassa muodossaan toteutua teettämällä heillä kyseisestä ainepiiristä käsitekartan tai ajatuskartan. Kun heidän kotona laatimistaan ajatus- kartoista keskustellaan yhteisesti, saa opettaja kuvan opiskelijoiden ajattelun tasosta sekä voi auttaa heitä kehittämää omaa tietorakennet- taan. Usein matematiikan opiskelijankin tieto- rakenne voi olla kovin hatara ja koostua erillisistä tietoelementeistä ja assosiaatioista, joiden avulla hän kuitenkin pystyy ratkaise- maan tehtäviä ja antamaan kuvan riittävästä matemaattisen tiedon hallinnasta. Lisäksi tietorakenteessa on mukana usein vahvoja tunnelatauksia, jotka saattavat peräti rajoittaa ko. henkilöä käyttämästä tietojaan täysipainoisesti. 47 48 71

Seuraavassa esitetään yhden matematiikan opiskelijan, Sannan haastattelun (Duisburg 1999) tuloksista konstruoitu tietorakennelma. Sanna oli vähän yli parikymmenvuotias tasapainoisesti esiintyvä opiskelija, joka opiskeli viidettä vuotta ja jolla oli jäljellä opettajatutkintoon pro gradua vastaavan tutkielman tekeminen sekä joitakin tenttejä. Lukiossa hän oli suorittanut lyhyen matematii- kan, ja kertoi opetuksen siellä olleen laskemis- painotteista. 49 Sovitetaan Sannan tietorakenne alussa kuvailtuun teoreettiseen malliin: Tosiasiatietoja (Sannan kannalta), jotka on lihavoitu ja rajattu soikiolla; näistä keskeinen tosiasia on rajattu paksummalla viivalla. Eritasoisia luuloja ja arveluja, jotka on rajattu soikiolla (mutta ei ole lihavoitu). Emotionaalisia reaktioita, jotka on esitetty suorakulmiona. 50 tarina shakkilaudasta arvot laskimella käänteis- funktio ln kuvaaja ei leikkaa x-akselia eksponentiaalinen kasvu mielikuva x 0 perus- teluja e-funktiolla suurin kasvu HYVÄ LUOJA Ajattelutaitojen arviointi x koskaan nolla x De =e x johtaminen HYVÄ LUOJA 51 52 Perusopetuksen päättöarvioinnin kriteerit Opetushallitus (Anon. 1999) on laatinut arviointikriteerit, joissa määritellään ne tieto- ja taitotasot, jotka oppilaan pitää hallita saavut- taakseen arvosanan kahdeksan (8). Tietojen ja laskutaitojen rinnalla tarkastellaan oppimistuloksina myös Arvioinnin osa-alueet päättely-, perustelu- ja kommuni- tiotaitoja. 53 54 72

Matemaattisen ajattelun arvioinnista Matemaattisessa ajattelussa voidaan erottaa eri komponentteja, joista kutakin voidaan mitata sopivin tehtävin: - Ongelmanratkaisutaitoja - Luokittelutaitoja - Käsitteellisyys Seuraavassa esimerkissä kohta a) edustaa tavanomaista oppikirja- tehtävää. Sitä jatketaan kysymällä oppilaan ajattelua: kohdat b) ja c) mittaavat oppilaan ymmärtämisen tasoa, edellinen oppilaan kykyä metakogni- tiiviseen ajatteluun ja jälkimmäinen 55 kykyä yleistämiseen. 56 Esimerkki 7 Eeva ajattelee kahta lukua. Niiden summa on 19 ja erotus 5. Määritä luvut. Kuinka pystyt löytämään luvut? Onko aina mahdollista löytää kaksi lukua, jos tiedetään niiden summa ja erotus? Perustele vastauksesi! 57 73

MATEMAATTINEN ONGELMANRATKAISU Erkki Pehkonen OKL /HY * Ongelmanratkaisua tarjotaan yleisesti menetelmänä matemaattisen ajattelun ja luovuuden kehittämiseen (esim. Schoenfeld 1985). * Opetussuunnitelman kaikkia aineita koskevana (formaalina) yleistavoitteena on luovuuden kehittäminen (OPH 2004). 1 2 Mitä on ongelmanratkaisu? Malli ongelmanratkaisulle * Tehtävän sanotaan olevan ongelma, jos sen ratkaiseminen vaatii, että ratkaisijan on yhdisteltävä ennestään tuttua tietoa (hänelle) uudella tavalla. * Jos hän voi heti tunnistaa ne toimenpiteet, jotka tarvitaan tehtävän ratkaisemiseen, niin kyseessä on hänelle rutiinitehtävä (tai standardi-tehtävä tai harjoitustehtävä). 3 * Polya (1945) esitti jo yli 60 vuotta sitten 4- portaisen ongelmanratkaisu-mallin (Ongelman ymmärtäminen. Ratkaisun suunnitteleminen. Ratkai-sun toteuttaminen. Tarkastelu). * Mason in (1985) malli koostuu kolmesta vaiheesta: aloitus, hyökkäys, tarkastelu. Huom! muhimiskierre 4 Yhteensopivuus konstruktivismin kanssa Avoimet tehtävät * Masonin (1985) tulkinta ongelman-ratkaisulle on yhteensopiva oppimisen konstruktivistisen ymmärtämisen kanssa. * Yksi lupaava menetelmä näyttää olevan ns. avoin lähestymistapa, opettaja tarjoaa avoimen ongelman (tai ongelmatilanteen) muodossa (ks. Pehkonen 2001). * Opetuksessa käytettävät tehtävät voidaan jakaa avoimiin ja suljettuihin tehtäviin. * Suljetussa tehtävässä on alku- ja lopputilanne yksikäsitteisesti määritelty. * Oppikirjojen tehtävistä suurin osa on suljettuja. 5 6 74

Esimerkki 1 Esimerkin käsittelyä * Tarkastellaan suorakulmiota, jonka pinta-ala on 60 cm 2. a) Laske suorakulmion piiri, kun sen ala on 60 cm 2 ja pituus 12 cm. b) Mitä kaikkia arvoja sellaisen suorakulmion piiri voi saada, jonka ala on 60 cm 2. * Ensimmäinen on selkeästi suljettu tehtävä. Siinä on annettu kaikki, mitä tarvitaan ratkaisuun pääsemiseksi. * Toinen tehtävä on taas avoin tehtävä, sillä siinä on ensin mietittävä alku-arvoja ja suunniteltava etenemistä. 7 8 Esimerkki 2 Avoin ongelmanratkaisu * Palindromi on luku, joka on etu- ja takaperin sama, esim. 12321. Tutki, ovatko kaikki nelinumeroiset palindromiluvut jaollisia luvulla 11. * Miten ratkaisit ongelman? * Miten arvelet peruskoulun yläluokkien oppilaiden ratkaisevan ongelman? 9 10 Avoimien tehtävien käyttämisestä Esimerkki 3 * Yksinomaan tavanomaisten koulutehtävien käyttäminen rajaa oppilaiden käsityksen matematiikasta helposti hyvin kapea-alaiseksi, kun taas avoimien tehtävien avulla tätä kuvaa voidaan pyrkiä laajentamaan. * Avoimet tehtävät tarjoavat oppilaille enemmän harkintavapautta ratkaisemisvaiheessa, mutta toisaalta he joutuvat käyttämään hallitsemaansa tietoa monipuolisemmin. 11 * Oppilaille annetaan A4-paperista leikattu suunnikas ja sakset. * Tehtävänä on selvittää, onko mahdollista leikata suunnikas kahteen palaan siten, että niistä paloista voidaan koota suorakulmio. * Perustelut ratkaisulle! 12 75

Esimerkin käsittelyä * Seuraavaksi voidaan kysyä, onko toisenlaista tapaa ratkaista ongelma. Kuinka monta erilaista ratkaisua on yhteensä? * Jatkotehtäväksi voidaan antaa saman ongelman tutkiminen eri monikulmioilla (esim. suorakulmainen kolmio, tasakylki-nen kolmio, tasasivuinen kolmio ja säännöllinen kuusikulmio). Avoimia tehtäviä käyttämällä voidaan vastata kehittyvän matematiikan opetuksen haasteisiin. Tällainen johtaa miltei automaattisesti ongelmakeskeiseen opetukseen ja johtaa selkeästi kommunikoinnin lisäämiseen. Näin saadaan opetukseen lisättyä myös avoimuutta ja oppilaskeskeisyyttä. 13 14 Avoimien tehtävien kehittely * Jos opetuksessa halutaan käyttää runsaasti avoimia tehtäviä, kirjallisuudesta löytyvät valmiit tehtävät eivät riitä kuin alkuun. * Siksi opettajille olisi oltava valmiutta kehittää itse avoimia tehtäviä oppi-tunnilleen. Avoimia tehtäviä saadaan suhteellisen helposti tavanomaisista (suljetuista) tehtävistä, joita matematiikan oppikirjoissa on runsaasti. Tämä voidaan tehdä esimerkiksi seuraavasti: Jätetään valmiista tehtävästä pois kysymys. Jätetään valmiista tehtävästä pois jokin alkuarvo. 15 16 Esimerkki 4 Esimerkin käsittelyä * Olohuoneen pituus on 6,0 m, leveys 4,0 m ja korkeus 2,5 m. Laske seinien yhteinen pinta-ala, kun ovien ja ikkunoiden osuus on 8,5 % seinien pinta-alasta. * Miten tämän tehtävän voisi avata? * Kun tehtävästä jätetään jälkimmäinen virke pois, voidaan esimerkiksi kysyä, mitä olohuoneen mittojen perusteella voidaan laskea. * Tällaisessa tehtävässä oppilasta pyydetään ensin muotoilemaan ongelma ja sitten ratkaisemaan se. 17 18 76

Jatkoa Esimerkki 5 * Toinen paljon käytetty tapa on tarjota oppilaalle valmis tilanne, minkä jälkeen kysytään, onko hän samaa mieltä ratkaisun kanssa. * Lisäksi häntä pyydetään perustelemaan ratkaisunsa. * Tällainen on mm. seuraava kirjallisuudesta löytyvä esimerkki (Cooney & al. 1993). 19 * Liisa väittää, että kahden murtoluvun välissä oleva murtoluku löydetään aina ottamalla osoittajien välissä oleva arvo ja nimittäjien välissä oleva arvo. Esimerkkinä Liisa antaa, että murto-lukujen 1/3 ja 3/5 välissä on 2/4, koska 1 < 2 < 3 ja 3 < 4 < 5. Oletko samaa mieltä Liisan kanssa? Perustele antamasi vastaus. 20 Tutkiva oppiminen Tässä tarkastellaan, miten koulumatematiikan puitteissa voisi oppilaiden luovuutta ja ongelmanratkaisutaitoa edistää. Kehysterminä on tutkiva oppiminen, joka on selkeästi saamassa kannatusta kasvatustieteen (oppimispsykologia) piirissä. Ks. esim. Hakkarainen & al. (2004, 2005) kirjat. Uudemmassa kirjassa (Hakkarainen & al. 2005) pyritään esimerkkien kautta näyttämään, mitä tutkiva oppiminen tarkoittaa koululuokassa; esimerkit ovat pääosin peruskoulusta. 21 22 Esimerkki 6 Tehtävien variointi * Suorakulmion yksi sivu kasvaa 10 % ja viereinen sivu pienenee 10 %. Mitä tapahtuu suora- kulmion pinta-alalle? 23 * Avoimien tehtävien luokittelun yhteydessä mainittiin yhtenä ryhmänä ongelman variointi (entäpä jos? menettely). * Hans Schupp käynnisti Saksassa 1990-luvun loppupuolella laajan tutkimusprojektin aihepiiristä Tehtävävariointi matematiikan- opetuksessa (Schupp 2002), jonka puitteissa kokeiltiin tehtävävariointia koululuokissa. 24 77

Alkuesimerkki Esimerkki (jatkuu) * Tässä näytetään esimerkillä, mitä variaatiomahdollisuuksia tavanomaiseen koulutehtävään sisältyy. * Alkuongelma: Laske yhteen kolme peräkkäistä luonnollista lukua. Mitä huomaat? Kokeile ensin itse! * Hypoteesi: Summa on aina kolmella jaollinen. * Ratkaisu (yksi vaihtoehto): Merkitään pienintä lukua n:llä, jolloin seuraavat ovat n+1 ja n+2. Siispä saadaan n + (n+1) + (n+2) = 3n + 3 = 3(n+1). * Sivutulos: Summa on myös keskimmäisellä luvulla jaollinen. 25 26 Keksivä oppiminen * Helposti nähdään, että variaatiota on todella paljon. Minkälaisia? * Monet niistä johtavat ongelmiin, jotka ovat sopivia koulukäyttöön. * Lisäksi on huomattava, että saataessa oppilaat mukaan tehtävän variointiin, he sitoutuvat oleellisesti selkeämmin tehtävien käsittelyyn. * Avoin ongelmanratkaisu on toinen nimitys keksivän oppimisen toteutukselle, joka on erityisesti kehitetty matematiikanopetuksen tarpeisiin. * Myös rutiiniharjoittelu voidaan rakentaa sellaiseksi, että tehtävä-joukon takaa löytyy jokin yhtenäis-tävä struktuuri. 27 28 Esimerkki 7 Jatk. * Kun sarja on saatu ratkaistua, pysähdy- tään miettimään saatuja erotuksia: * Oppilaille annetaan ratkaistavaksi seuraava 54, 45, 18,... mekaaninen tehtäväsarja, jolla harjoitetaan ensisijaisesti vähennyslaskualgoritmia: * Joku huomaa nopeasti, että ne ovat 93 39 =? kaikki luvun 9 kertotaulusta. 72 27 =? * Lisäksi havaitaan vähennettävän ja 64 46 =? vähentäjän olevan toistensa peililukuja,... * Asetetaan hypoteesi: kaikkien tämän- tyyppiset erotukset on luvun 9 29 monikerta. 30 78

Jatk. Esimerkki 8 * Jos peruskoulun ylemmillä luokilla oppilaat voivat itse todistaa hypoteesin laskemalla yleinen tapaus: Oletetaan, että a > b ja silloin kyseessä on seuraava vähennyslasku: (10a + b) - (10b + a) = 9a - 9b = 9(a - b). Erotus on siis aina luvun 9 monikerta, koska * Bedford (1984) ehdottaa negatiivisten lukujen laskusääntöjen keksimistä analogia-ajattelun avulla. * Esimerkiksi kertolaskun (-3) * (-4) merkkisääntö voitaisiin päätellä seuraavasti (tässä oletetaan, että positiiviluvulla osataan jo kertoa): a > b. 31 32 Oppilaat havaitsevat helposti: * Ensimmäisessä pystyrivissä +3, +2, +1, 0, -1, -2, -3 luvut pienenevät aina yhdellä, kolmannessa pystyrivissä ovat kaikki luvut 4 ja viidennessä pystyrivissä 12, -8, -4, 0, luvut suurenevat aina +4:llä. * Siispä analogiapäättelyllä pitäisi viidennen pystyrivin jatkua seuraavasti: +4, +8, +12. 33 34 Lukion matematiikasta * Heinrich Winter (1989) on jo noin 20 vuotta aikaisemmin kehittänyt ideaa, miten tavanomaisen koulukurssin puitteissa voisi tehtäviä varioida. * Hän otti esimerkkejä lukiotason matematiikasta. * Winterin menetelmää kuvaava artikkeli on käännetty suomeksi (ks. Winter 1989). 35 Esimerkki 9 * Lukiossa toisen asteen yhtälön ratkaisu- harjoittelun kohdalla voi kysyä, minkä toisen asteen yhtälön juuret ovat x= 2 ja x= -3). * Seuraavaksi kysytään kolmea mahd. erilaista toisen asteen yhtälöä, joiden kaikkien juuret ovat x= 2 ja x= -3. * Tämän jälkeen voi kysyä, löytyykö vielä erilainen yhtälö, jonka juuret olisivat edellä mainitut. Ja viimein, kuinka monta sellaista yhtälöä on kaikkiaan. 36 79

Japanilainen avoin lähestymistapa Shimada (1997, 1 2) kirjoittaa: * Noin 30 vuotta sitten kehitettiin ns. avoin lähestymistapa matematiikanopetuksen käyttöön Japanissa (Shimada 1977), ja nykyään ovat avoimien ongelmatehtävien käyttäminen siellä matematiikanopetuksen polttopisteessä. * Avoimen lähestymistavan keskeinen ajatus on edistää oppilaiden luovuutta ja ongelman-ratkaisua sopivien harjoitusten avulla. * Käytettäessä avointa lähestymistapaa opetusmenetelmänä annetaan oppitunnin aluksi oppilaille epätäydellinen tai avoin-loppu (open- ended) ongelma. * Oppitunti jatkuu hakemalla useita tapoja löytää ratkaisu ongelmaan; näin oppilaille tarjottaisiin kokemuksia uuden tehtävän ratkaisuprosessista. 37 38 jatk. Joitakin tyypillisiä esimerkkejä * Opettaja keskittyy arvioimaan oppilaiden suorituksia korkeamman asteisessa ajattelussa, joten hänen on tarkkailtava miten oppilaat käyttävät oppimaansa konkreettisessa tilanteessa. * Edelleen on tärkeätä nähdä, miten oppilaat toimivat uudenlaisissa ongelmanratkaisu- tilanteissa, joita ei ole harjoiteltu. 39 * Seuraavassa esitetään kolme tyypillistä esimerkkiä, joiden avulla voidaan yrittää ymmärtää japanilaisen avoimen lähestymistavan perusideoita. * Näissä ei laskemisen antama tulos ole kiinnostuksen kohteena, vaan pääkysymys on kuinka monella eri tavalla oppilaat voivat tehdä sen. 40 Esimerkki 10. Suklaarasiaongelma Esimerkki 11 * Kuinka monta suklaamakeista on rasiassa? * Pyri löytämään mahdollisimman monta erilaista tapaa laskea ne. 41 * Murtolukujen vertailuongelma (Hashimoto & Becker 1999): Kumpi murtoluku on suurempi: 4/5 vai 3/4? Koeta löytää erilaisia keinoja toteuttaa vertailu. 42 80

Esimerkki 13 * Marmorikuulaongelma (Nohda 1995, 60): Kuva alla näyttää kolmen oppilaan A, B ja C heittämien marmorikuulien hajontakuvion. Tässä pelissä se oppilas voittaa, jolla on pienin hajontakuvio. Kehitä sopiva numeerinen mitta hajonnan asteelle.............. Mietitään erilaisia ratkaisuvaihtoehtojen hyviä ja huonoja puolia. Tämän jälkeen mieti vaihtoehdoistasi ongelman paras ratkaisu. Avoin lähestymistapa tähtää oppilaiden luovuuden ja ongelmanratkaisutaitojen edistämiseen. Siksi, avoimen lähestymistavan keskeinen kysymys on kehittää mahdollisimman monia eri tapoja päästä ratkaisuun. 43 44 Muita ongelma- ratkaisumuunnoksia * Tässä kuvataan muutama koululuokassa käyttökelpoiseksi havaittu opetus-menetelmä: - kognitiivisen ristiriidan käyttäminen, - opetuskeskustelu koko luokan kanssa, - projektityöskentely, - PISA-tehtäviä. 45 Kognitiivinen ristiriita * Oppilailla on omat ennakkokäsityksensä tilanteista ja niiden selityksistä; ne ovat muodostuneet heidän kokemustensa, tietojensa ja ajatteluprosessiensa kautta. * Nämä käsitykset voivat olla ristiriidassa matemaattisen tiedon kanssa. * Opettajan tehtävä on nostaa esiin oppilaan ajattelun ja matematiikan välinen ristiriita, auttaa oppilasta huomaamaan se ja sitten keksiä tapoja, miten he voivat korjata käsityksiään. 46 Esimerkki 14 * Matematiikan tunnilla oppilaat muistivat väärin suunnikkaan pinta-alan kaavan ("sivu kertaa sivu") eikä opettaja halunnut opettaa kaavaa vain muistiin tukeutuen. * Opettaja lähti liikkeelle suorakulmion pinta-alasta ja valmisti pikaisesti "liikkuvan suunnikkaan" pahvi- suikaleista ja nastoista. 47 Hän saattoi nyt näyttää piirtoheittimellä erilaisia suunnikkaita, joiden sivujen pituudet olivat vakioita. Kun tällaisen suunnikkaan kulma pienennettiin lähelle nollaa, jolloin pinta- alakin näytti menevän kohti nollaa, oppilaat havaitsivat itse, ettei heidän muistamansa kaava ("sivu kertaa sivu") voinut olla oikea. Näin he olivat valmiit ottamaan vastaan tarkistetun pinta-alan kaavan ja sen perustelut. 48 81

Opetuskeskustelu koko luokan kanssa Esimerkki 15 (laskupyramidi) * Oppilaiden kanssa keskusteleva opettaja voi vaikuttaa reittiin, jota pitkin käsitteen muodostaminen tai korjautuminen arkikäsityksestä tieteelliseksi etenee. * Kun oppilaat ja opettaja kertovat toisilleen omista käsityksistään, oppilaat tulevat tietoisiksi käsitystensä virheellisyydestä tai puutteellisuudesta ja he voivat pyrkiä * Tehtäväsarja on kehitetty harjoittamaan oppilaita kokonaislukujen yhteen- ja vähennyslaskussa sekä samanaikaisesti edistämään heidän yleisiä päättelytaitoja. * Siitä saadaan alaluokkien opetukseen soveltuva muunnos poistamalla miinus-merkit sekä tarkistamalla joitakin kysymyksiä. muuttamaan niitä. 49 50 Laske aina kahden alemmassa ruudussa olevan luvun summa ja sijoita se yläpuolella olevaan ruutuun. Mikä luku saadaan ylimpään ruutuun? Laskupyramidi 2-2 3-7 5 51-2 * Jos em. laskupyramidissa muutetaan lähtö-lukuja (-2, 3, -7, 5), mitä vaikutusta sillä on saatuun ylimpään lukuun. * Kokeile muuttamalla kerrallaan vain yhtä lähtölukua ja vain yhden kokonaisen verran (esim. -1, 3, -7, 5). * Löydätkö säännönmukaisuutta, jonka avulla voisit ennustaa muutoksen etukäteen? Kokeile arvauksiasi. 52 Laskupyramidi 3 Laskupyramidi 4 * Tässä käsitellyssä esimerkissä laskupyramidin ylimmäksi luvuksi saatiin -9. * Tutki, voidaanko laatia toinen laskupyramidi (siis valita eri lähtöluvut kuin -2, 3, -7 ja 5), josta myös saataisiin ylimmäksi luvuksi -9. * Löydätkö vielä yhden erilaisen laskupyramidin, jonka ylin luku on -9? * Kuinka monta erilaista laskupyramidia on olemassa kaikkiaan, joissa ylin luku on -9? Mitä arvaisit? Koeta perustella arvauksesi. 53 * Koeta laatia laskupyramidi, jossa ylin luku olisi 10. * Entä laskupyramidi, jossa ylin luku olisi 100? * Tutki, mitkä luvut ylipäänsä voivat olla laskupyramidin ylimpänä lukuna. 54 82

Projektityöskentely Esimerkki 16 * Projektityöllä tarkoitetaan yleensä suurehkoa, useita oppitunteja kestävää tehtävää, jonka oppilaat tekevät usein ryhmissä ja joka usein ylittää oppiainerajat. * Projektityön tunnusomaisia piirteitä ovat: toiminnallisuus, ongelmakeskeisyys, tavoitteellisuus, tulosvastuullisuus, yhteistoiminnallisuus ja suunnitelmallisuus. 55 * Esimerkiksi biologian ja matematiikan yhdistävän projektityön käynnistävä kysymys voisi olla seuraava: * Kuinka korkeiksi kasvavat tavallisimmat puulajit (mänty, kuusi, koivu, )? * Tätä voisi täsmentää esim. seuraavalla työohjeella: Selvitä työselostuksessa mm. puun korkeuden määritystapa. 56 PISA-tehtäviä Mikä on PISA? * Neljässä kansainvälisessä PISA-tutkimuksessa suomalaisten suoritukset ovat selkeästi kansainvälisen PISA-vertailun kärjessä. * Suomalaista PISA-menestystä on tarkemmin selvitetty mm. Dimensio-artikkelissa Pehkonen & Kupiainen (2008). * PISA pyrkii arvioimaan, miten hyvin peruskoulun päättövaiheessa olevat oppilaat hallitsevat valistuneelta, harkitsevalta kansalaiselta ja kuluttajalta vaadittavat taidot. * PISA-vertailuissa arvioidaan Suomessa 9- luokkalaisten osaamista kolmella pääalueella: lukeminen, matematiikka ja luonnontieteet. 57 58 välisistä teistä. * Loma (OECD 2006, 77 78): Tässä tehtävässä on selvitettävä, mikä olisi paras reitti lomamatkaa varten. Kuvat A ja B näyttävät karttaa alueesta ja välimatkoja kaupunkien välillä. 59 60 83

Kuva B. Lyhyin välimatka kaupungista toiseen kilometreissä. Kysymys 1: Loma * Laske lyhyin välimatka tietä pitkin kaupunkien Nuben ja Kado välillä. 61 62 Kysymys 2: Loma * Sanna asuu Angaz issa. Hän haluaa käydä Kado ssa ja Lapat issa. Hän voi matkustaa enintään 300 km yhdessä päivässä, mutta voi keskeyttää matkansa missä tahansa kaupunkien välissä ja yöpyä teltassa. Sanna haluaa viipyä molemmissa kaupun- geissa kaksi yötä, jotta voi kuluttaa yhden päivän katsellen kaupungin nähtävyyksiä. Esitä Sannan matkasuunnitelma täyden- täen seuraavaan taulukkoon paikat, joissa hän yöpyy. 63 64 84

LUOVUUS MATEMATIIKASSA Erkki Pehkonen SOKLA /HY Taustaa Elämässä selviämiseen tarvitaan koko joukko auktoriteettiuskoa (esim. hissi toimii nappia painamalla moitteettomasti) sekä runsaasti perustietoja eri aloilta (esim. sähkön kulkemi- nen virtapiireissä, kun sulake on palanut). Mutta muuttuvassa yhteiskunnassa tarvitaan näiden lisäksi intuitiivista menettelyä: intuition avulla saadaan uusia ideoita ja entisen totuuden arvo asetetaan kyseenalaiseksi. 1 2 Mihin luovuus liittyy? Yleensä ihmiset ajattelevat, että luovuudella ja matematiikalla ei ole mitään tekemistä toistensa kanssa. Mutta luovuus ei ole vain taiteilijoille ja tieteilijöille kuuluvat ominaisuus, vaan se on myös osa jokapäiväistä elämää. Opetussuunnitelman kaikkia aineita koskevana (formaalina) yleistavoitteena on luovuuden kehittäminen (OPH 2004). Logiikka ja luovuus 3 4 Matematiikka ja luovuus Joustava ajattelu (luovuuden osa) on eräs tärkeimmistä ominaisuuksista, joita menestyksekäs ongelmanratkaisija tarvitsee. Matematiikassa tarvitaan kahta erilaista ajattelumoodia: Luovaa ajattelua ja analyyttista ajattelua. Logiikka Loogiseksi ajatteluksi sanotaan sellaista ajattelua, joka perustuu logiikkaan. Tällöin ajatellaan logiikan olevan ns. kaksi- arvoista propositiologiikkaa, jossa jokainen väite on joko tosi (1) tai epätosi (0), kolmatta vaihtoehtoa ei ole. 5 6 85

Mitä on luovuus? Luovuus on käsite, joka on koettu hankalaksi määritellä (ks. Haylock 1987). Kun määrittely ei ole ollut mahdollista, niin kirjallisuudessa on ollut tyypillistä kuvailla luovuus sellaisten henkilöiden käyttäytymisen kautta, joita yleisesti pidetään luovina (ts. prototyypin avulla määrittely). esim. Arkhimedes, Darwin 7 Määritelmiä Esim. Matti Bergström (1985) kuvailee luovuutta esiintymisenä, jossa yksilö tuottaa jotakin uutta ja ennalta-arvaamatonta. Mm. Torrance (1974) kehitti testejä luovuuden neljän komponentin mittaamiseksi: ideavuolaus, idea-joustavuus, originaalisuus, viimeistely. 8 Divergoiva ja konvergoiva ajattelu Divergoivalla ajattelulla tarkoitetaan lähinnä mielikuvitukseen perustuvaa, epäjohdonmukaisesti aiheesta toiseen hyppivää, pääasiassa ohjaamatonta ajattelua. Konvergoiva ajattelu on määrätietoisesti tavoitteeseen pyrkivää loogista ajattelua. 9 10 Luova ajattelu Luova ajattelu määritellään loogisen ajattelun ja divergentin ajattelun tavoitteellisena yhdistelmänä. On olemassa monia tekniikkoja tuottaa divergoivaa ajattelua ja sillä runsaasti ajatuksia (ideoita), kuten kysymyslistat, aivoriihi, tuuma-talkoot ja kaukaiset ajatusmallit. Luovuuden yhteys matematiikkaan 11 12 86

Luova ongelmanratkaisu Ongelmanratkaisu tilanteissa ratkaisija joutuu vuorottelemaan kriittisen ajattelun ja luovan ajattelun välillä siirtyen ideasta toiseen, idean kriittisestä arvioinnista sen kehittämiseen (McGregor 2007). Luovaa ongelmanratkaisua voidaan pitää laajana kokonaisvaltaisena prosessina, johon liittyy erilaisia menetelmiä, mutta ennen kaikkea vanhojen luutuneiden ajattelutapojen ja asenteiden muuntamista joustaviksi ja vastaanottavaisiksi. Bergström (1985) kirjoitti paljon matematiikan ja luovuuden välisistä yhteyksistä 1980-luvulla. Hän korosti kouluopetuksessa logiikan ja luovuuden välistä tasapainoa. Jos yksilö painottaa loogista ajattelua liian paljon, hän vastaavasti vaimentaa luovuuttaan. Luovuus vaatii kehittyäkseen toiminnan-vapautta ylenmääräisestä paineesta ja kontrollista. 13 14 Oppimispsykologisia tutkimustuloksia Matematiikka ei ole vain laskemista, vaan opetuksen päämääränä pitäisi olla myös ymmärtäminen ja matemaattisen ajattelun kehittäminen. Psykologiset tutkimukset ovat kuitenkin osoittaneet, että (matematiikankin) oppiminen on vahvasti tilannesidonnaista. Tavanomainen opetus soveltuu tosiasioiden oppimiseen, mutta toimintatapojen oppimiseen tarvitaan uusia menetelmiä, jotka panostavat oppilaiden omaehtoiseen opiskeluun. 15 Tutkimuksessa on todettu, että sääntöjen ja algoritmien jatkuva painotus saattaa estää luovuuden ja ongelmanratkaisutaitojen kehittymisen (esim. Bergström 1985). Sellaiset oppimisympäristöt, jotka tarjoavat oppilaille mahdollisuuksia tutkimiseen, non- verbaaliin ilmaisuun, laboratoriotyöskentelyyn ja moniaistiseen oppimiseen, antavat oppilaille mahdollisuuksia saavuttaa uusia tasoja matematiikassa. 16 Avoin lähestymistapa Japanissa kehitettiin 1970-luvulla ns. avoin lähestymistapa matematiikanopetukseen, jonka tavoitteena on kehittää oppilaiden luovuutta ja luokkahuoneessa mielekästä keskustelua. Samoihin aikoihin Englannissa otettiin käyttöön ns. tutkimustehtävät (investigations), jotka tulivat suosituiksi matematiikan-opetuksessa. Siksi 1980-luvulla ajatus käyttää avoimia tehtäviä jossakin muodossa luokkahuoneessa levisi yli koko maailman. 17 Opetussuunnitelmissa Ajatus käyttää avoimia ongelmia koulu- matematiikassa on kirjoitettu joissakin maissa jopa opetussuunnitelmaan. Esimerkiksi Hampurin (Saksa) yhtenäiskoulun matematiikan opetussuunnitelmassa on varattu noin viidesosa opetusajasta sisältövapaaksi, jotta opettajat innostuisivat käyttämään matemaattisia aktiviteetteja (Anon. 1990). 18 87

Japanilainen lähestymistapa Japanilainen avoin lähestymistapa keskittyy luovuuden kehittämiseen matematiikan- opetuksen puitteissa. Siinä ei olekaan keskeistä ongelmatehtävien ratkaiseminen, vaan mahdollisimman monen erilaisen ratkaisukeinon löytäminen, ts. luovuuden kehittäminen matematiikan opetuksen puitteissa. 19 Tutkimustehtävät Tutkimustehtäville on tyypillistä, että siinä annetaan lähtötilanne, jonka puitteissa oppilas itse muotoilee ongelmansa ja ratkaisee sen. Tutkimustehtävät voidaan jakaa strukroituihin ja ei-strukturoituihin. Näistä jälkimmäiset ovat Englannissa käytössä: oppilaalle annetaan tehtävätilanne ja muutama alkuongelma, jonka jälkeen he jatkavat itsenäisesti. Strukturoituja tutkimustehtäviä kutsutaan myös ongelmakentiksi. 20 Esimerkki 1 (Neliön jako) Jaa neliö neljään yhtenevään osaan viidellä eri tavalla! 21 Jatkokysymyksiä Tälle ongelmalle on olemassa useita ratkaisuja, joten voidaan jatkaa esim. seuraavilla kysymyksillä: Pystytkö löytämään kuudennen erilaisen ratkaisun? Entä seitsemännen? Kuinka monta erilaista ratkaisua arvelet olevan kaikkiaan? Onko enemmän kuin 10? Tämän jälkeen jatko riippuu siitä, mitä opetus-ryhmä saa ratkaisuina. Ratkaisuja on ääretön määrä, peräti ylinumeroituvasti ääretön määrä. 22 Seuraava tehtävä, joka ei välttämättä ole suunniteltu kovin avoimeksi, vaikka on selkeästi non-standardi ongelma, on suoraan peruskoulun matematiikan oppikirjasta Laskumatikainen 8. Esimerkki 2 (monikulmion pinta-ala) Kuinka monta prosenttia monikulmion pinta- ala kasvaa, kun sivun pituus kasvaa 25 %? Miten arvelette oppilaiden lähtevän tätä ratkaisemaan? 23 24 88

Ongelmanratkaisu edistää luovuutta, mutta... Ongelmanratkaisussa on luova elementti, mutta ei paljonkaan vapautta, ja luovuus vaatii vapautta. Ongelmanasettelu Jotta oppilaille annettaisiin enemmän vapautta, luonnollinen ratkaisu on sallia luovuuden oppilaiden itse asettaa omat kysymyksensä. Ongelma saattaa olla avoin siten, että se kehittäjänä ehdottaa toisten ongelmien muotoilemista, jolloin tuloksena oleva toiminta on ongelmanasettelua. 25 26 Mitä on ongelmanasettelu? Ongelmanasettelu (problem posing) tarkoittaa ongelmatilanteessa ongelman muotoilua siten, että se saadaan ratkaistavaan muotoon. Yksinkertaisimmillaan ongelmanratkaisu on yksinkertaisen kysymyksen (ongelman) esittämistä ja kun siihen on saatu vastaus, niin ongelmanratkaisua on opiskeltu. Mutta jokaisen tällaisen ongelman takana on suuri joukko potentiaalisesti kiinnostavia ongelmia (alkuperäisen ongelman variaatioita). 27 Esimerkki 3 (Ulamin spiraali) Positiiviset kokonais- luvut on kirjoitettu spiraalin muotoon, ns. Ulamin spiraali. Keksi matemaattinen ongelma, joka perustuu ko. luku- spiraaliin, ja koeta ratkaista se. 28 1716151413 1854312 1961 211 207 8 910 2122 Esimerkissä 3 pitää ratkaisijan ensin keksiä sopiva ongelma ja muotoilla se (ongelman asettaminen). Mahdollisista ongelmista pari esimerkkiä: Löytyykö keskipisteestä lähtevässä diagonaali- jonossa 1, 3, 13, mitään säännönmukaisuutta? Mikä on em. lukujonon n:s termi? Ulamin spiraalista voidaan kehittää loputon määrä hyvin matematiikanopetukseen soveltuvia ongelmia. 29 Miten ongelmanasettelua toteutetaan? Alkuperäisestä ongelmasta voidaan kehittää monia uusia ongelmia (ongelman variointi) muuttamalla siinä olevaa tunnettua tietoa, kysyttyä tietoa tai ongelman rajoituksia. Kaikkein tavallisimpia muunnoksia ovat: Vaihdetaan tunnettu ja kysytty keskenään. Pudotetaan tehtävän rajoitus pois, jolloin uusia ongelmia saadaan esille. 30 89

Miten ongelmanasettelu edistää luovuutta? Opettaja mallintaa prosessia henkilökohtaisesti hämmästelemällä avoimesti oppilaiden kanssa, tukemalla vapaata ideoiden vaihtamista ja aktiivisesti rohkaisemalla heitä yhteistyöhön, kunnioittamalla oppilaiden spontaaneja entäpä-jos -arveluita ja ratkaisuarvauksia sekä olemalla yhtä kiinnostunut siitä, kuinka oppilaat ajattelevat ongelmasta kuin mitä he saavat tulokseksi (Moses & al. 1990). 31 Strategioita ongelmanasettelun edistämiseksi (Moses & al. 1990) Käytä oppikirjan tehtäviä pohjana ongelman-asettelussa. Vältä sellaisia kysymyksiä, joihin on vain yksi vastaus. Ohjeita luokkahuoneen opiskeluilmapiirin parantamiseksi: - Anna oppilaiden valita, mitä ongelmia he yrittävät ratkaista. - Vältä aikapainetta ongelmanratkaisussa. - Toteuta aivoriihitoimintaa oppilaillesi kanssa, rohkaise heitä kommunikointiin ja yhteistyöhön. 32 Esimerkki 5 Lopuksi Jotkut luvut voidaan esittää peräkkäisten positiivisten kokonaislukujen summana, kuten 9 = 2 + 3 + 4, 11 = 5 + 6. Millä luvuilla on tällainen ominaisuus? Koulun matematiikanopetus voi kehittyä ajattelua ja ymmärtämistä painottavaan suuntaan, kun opettajat itse ryhtyvät aktiivisiksi. Luokassa käytetty opetusmateriaali ei sinänsä tee opetuksesta hyvää oleellista on opettajan oma henkilökohtainen panos. 33 34 Lopuksi (jatk.) Siksi opettajien ei pitäisi enää tyytyä valmiiseen materiaaliin, vaan ryhtyä itse kehittämään ja muotoilemaan oppikirjan tehtäviä edelleen. Opettajien innostus ja luovuus on edellytys oppilaiden matemaattisen luovuuden kehittymiselle. 35 90

n n Divergoivalla ajattelulla tarkoitetaan lähinnä mielikuvitukseen perustuvaa, epäjohdonmukaisesti aiheesta toiseen hyppivää, pääasiassa ohjaamatonta ajattelua. Konvergoiva ajattelu on määrätietoisesti tavoitteeseen pyrkivää loogista ajattelua. 10 Esimerkki 3 (Ulamin spiraali)! Positiiviset kokonaisluvut on kirjoitettu spiraalin muotoon, ns. Ulamin spiraali. Keksi matemaattinen ongelma, joka perustuu ko. lukuspiraaliin, ja koeta ratkaista se. 17 16 15 14 13 18 5 4 3 12 19 6 1 2 11 20 21 7 22 8 9 10 28 91

Lopuksi((jatk.)( Siksi(opettajien(ei(pitäisi(enää(tyytyä( valmiiseen(materiaaliin,(vaan(ryhtyä(itse( kehittämään(ja(muotoilemaan(oppikirjan( tehtäviä(edelleen.(( Opettajien(innostus(ja(luovuus(on(edellytys( oppilaiden(matemaattisen(luovuuden( kehittymiselle.(( 35 - Erkki Pehkonen Helsingin yliopisto S