PALLON PUTOAMINEN VÄLIAINEISSA

PALLON PUTOAMINEN VÄLIAINEISSA Tieokonesimulaaio ja siihen liiyä kokeellinen ukimus Joosa Kurinen ja Heidi Juuinen Mikkelin Lyseon lukio ysiikka 30..007

TIIVISTELMÄ Viksu-iedekilpailuprojekimme aiheena on ieokonesimulaaio, joka simuloi kappaleen, lähinnä pallon, puoamisa ilman halki eeen. Simulaaiossa kaikkia kappaleeseen ja ympärisöön liiyiä ominaisuuksia oi muuaa apaasi, ieyin kokeellisen osuuden aseamin rajoiuksin. Joa simulaaio pysyy laskemaan kappaleen liikkeen, on iedeää, miä oimia kappaleeseen aikuaa ja kuinka näiden oimien suuruude saadaan laskeua. Kun pallo on kokonaan ilmassa ai kokonaan edessä, ei ongelmaa ole. Silloin pysymme laskemaan palloon aikuaa oima almiilla kaaoilla. Ongelma, joa yössämme ukimme, synyy silloin, kun pallo örmää eeen eli on osiain ilmassa ja osiain edessä. Silloin ei iedeä, kuinka suuri äliaineen asus ilman- ja edenasuksisa muodosuu. Toisaala myös eden pinajänniyksen aikuus örmäyksessä on unemaon. Koska ilmiö on hyin monimukainen, oi olla, eä kappaleeseen aikuaa lisäksi myös joku meille unemaon oima. Kilpailuyömme kokeelliseksi osuudeksi jääkin seliää, mien örmäyksen aikana aikuaa oima laskeaan. Pyrimme muodosamaan mallin, jolla saadaan laskeua nopeuden suunnalle asakkainen kokonaisoima örmäyksen aikana. Tällöin oimien eroelu ei ole enää älämäönä. Koska asusaa oima ei oleeaasi ole akio koko örmäyksen ajan, on meidän helpoeaa ilannea niin, eä yriämme luoda mallin, jolla saadaan laskeuksi keskimääräinen asusaa oima. Tukimusuloksemme pohjauua omiin miausuloksiimme. Olemme kerännee laajan aineison kokeellisa ieoa pudoamalla pallon noin 00 keraa eeen. Näisä noin 00 oli onnisuneia miauksia. Olemme kokeillee erilaisia muuujia, kuen örmäysnopeus, massa, ilauus, säde, ja kasonee, kuinka ne oa aikuanee asusaan oiman suuruueen. Tulokse olemme kerännee aulukoiksi ja kuaajiksi, joiden aulla yhälön muodosaminen on suorieu. Tukimusulosemme mukaan keskimääräinen asusaa oima örmäyksen aikana saadaan laskeua yhälösä: 3 ( ) ( ) J a + b + c dr + er + fr jossa : J,378 a 0,8094094 b 0, 4830963 c 0, 4969379 d 84, 7365 e 504, 74 f 7, 704076 Jakoukimuksille olisi kuienkin area monilla osa-alueilla, joa simulaaion ja örmäykseen liiyän mallin luoeauus ja yleiseäyys paranisia. - -

SISÄLLYSLUETTELO: JOHDANTO.................................................................. TEORIA TYÖN TAUSTALLA................................................... AINEISTO JA MENETELMÄT.................................................. 7 MITTAUSTULOSTEN KÄSITTELY JA LOPULLISET TULOKSET................... 0 TULOSTEN TARKASTELU.................................................... 7 Tukimusulosen hyödyllisyys ja käyömahdollisuude..................... 7 Virheiden ja epäarkkuusekijöiden arioini.............................. 8 JATKOTUTKIMUKSEN AIHEET................................................ 9 LÄHDELUETTELO........................................................... 0 LIITTEET.................................................................... 0 - -

JOHDANTO Idea simulaaiosa sai alkunsa syksyllä 005 kun haluiin kokeilla oisiko pelkän fysiikan ensimmäisen kurssin ieojen sekä ilmaisen Gamemaker-ohjelman aulla simuloida joain apahumaa. Pääeiin yriää luoda simulaaio, joka simuloisi ihmisen puoamisa eeen. Näin ollen sillä oiaisiin ukia esimerkiksi mien syä alaan piää olla, joa ihminen ei osuisi pohjaan sinne hypäessään. Ensimmäisen kurssin iedo eiä kuienkaan ollee riiään laaja, joen projeki keskeyeiin oisaiseksi. Siä pääeiin jakaa uudelleen keäällä 006 sekä syksyllä 006 ensimmäisen mekaniikan kurssin yheydessä. Silloin myös luouiin ihmisen käyämisesä kappaleena, sillä ihmisen muoo ja iheysjakauma olisi ollu aian liian monimukainen. Ihminen koraiin kolmella säännöllisellä kappaleella: pallolla, kuuiolla ja lieriöllä. Nähyään simulaaion opeaja ehdoi simulaaion kehiämisä eeenpäin iksuyönä. Toesimme, eä simulaaio oimii melko luoeaasi silloin kun kappale on joko kokonaan ilmassa ai edessä. Silloin kappaleeseen aikuaa oima (painooima, äliaineenasus ja nose) saadaan laskeua yleisesi unneujen lukion oppimäärään kuuluien kaaojen aulla. Sen sijaan kun kappale on osiain ilmassa ja osiain edessä eli kappaleen ja eden älisen örmäyksen aikana, emme oinee laskea kappaleeseen kohdisuia oimia luoeaasi. Pääimme yriää rakaisa ongelman kokeellisilla ukimuksilla. Koska arioimme yön eriäin haasaaksi, yriimme yksinkeraisaa siä hieman ukimalla ainoasaan keskimääräisä asusaaa oimaa. Silloin kokonaisoima muodosuisi siiä ja painooimasa. Tässä aiheessa luouimme myös ylimääräisisä kappaleiden muodoisa ja jäimme simulaaioon ain pallon. Yriimme miaa asusaaa oimaa käyäen monenlaisia meneelmiä, mua emme löyänee oimiaa ennen kuin alkuuodesa 007, jolloin päädyimme käyämään kiihyyysanuria ja aloporia. Tukimme eri muuujien aikuusa asusaaan oimaan yksi kerrallaan. Näisä saimme yhälö, joka osoiia oiman errannollisuuden ähän muuujaan muiden muuujien pysyessä akiona. Lopuksi yriimme yhdisää nämä yhälö ja saimme kaaan joka anaa uloksena keskimääräisen asusaan oiman siihen syöeyillä muuujien aroilla. Tää kaaaa käyimme sien simulaaiossa. - 3 -

TEORIA TYÖN TAUSTALLA Tarkasellaan kappaleeseen aikuaia oimia sen ollessa kokonaan ilmassa ai edessä. Tällöin kappaleeseen aikuaa painooima (maan eooima), äliaineen aiheuama nose sekä äliaineen asus. Näiden oimien suuruude oidaan laskea käyämällä mekaniikan peruslakeja. G Painooima N Nose (ympäröiän ilman ai eden aiheuama) d Väliaineen asus (ilman ai eden aiheuama) Kua : Voimakuio kappaleen ollessa kokonaan ilmassa ai edessä Tarkasellaan seuraaaksi kappaleeseen aikuaia oimia örmäyksen aikana eli pallon ollessa osiain edessä. Kappaleeseen aikuaa edelleen painooima, nose ja äliaineen asus. Painooima pysyy akiona, mua noseen ja äliaineenasuksen laskeminen mekaniikan perusyhälöisä johdeuilla kaaoilla ei ole luoeaaa. Lisäksi palloon aikuaa ainakin pinajänniyksen aiheuama oima, jonka suuruua emme pysy laskemaan. Palloon saaaa myös aikuaa joku äysin unemaon oima. G Painooima N Nose (ympäröiän ilman ja eden aiheuama) d Väliaineen asus (ilman ja eden aiheuama) γ Pinajänniyksen aiheuama oima? Mahdollinen unemaon oima Kua : Voimakuio kappaleen ollessa osiain edessä (örmäyksen aikana) Yhdisämällä kaikki nopeuden suunaa asaan olea oima yhdeksi asusaaksi oimaksi saamme yksinkeraiseua ilannea niin, eä oimme läheä kokeellisesi esimään mallia, jolla - 4 -

ämä oima oiaisiin laskea. Jos saamme miaua nopeuden muuoksen örmäyksen aikana sekä siihen kuluneen ajan ja iedämme kappaleen massan, oimme laskea näisä keskimääräisen asusaan oiman, joka aikuaa örmäyksen aikana. G Painooima Vasusaa oima Kua 3: Voimakuio kappaleen ollessa osiain edessä (örmäyksen aikana) Seuraaaksi esielemme yhälö, joihin simulaaion laskennallinen oimina perusuu. Poikkipina-ala (pallo): A π r Jossa : r pallon säde Tilauus (pallo): 3 4 π r V 3 Jossa : r pallon säde Kappaleen massa: m ρ Jossa : kappale ρ V kappale kappaleen iheys V kappaleen ilauus Painooima: G mg Jossa: m massa g puoamiskiihyyys - 5 -

Väliaineen asus (Newonin asuslaki): äliaine A d cwρ Jossa : c w muookerroin A poikkipina ala ρ äliaine nopeus äliaineen iheys Väliaineen asuksen muookerroin (pallo): c w 0,47 Re > 000 Hyin pienillä Reynoldin luun aroilla äliaineen asuksen muookerroin ei ole akio, aan seuraaalla aalla Reynoldin luusa riippuainen: c w 0,44 4 Re 4 Re + 4 Re 500 0,687 ( + 0,5 Re ) 3 6 Re+ Re < 0, < Re 000 9 60 Re < 500 Re ln ( Re) 0, Re < Lähde: Hämeri, K. 005. Luenomuisiinpano, Hiukkasen suoraiiainen liike. Reynoldin luku: ρ Re μ jossa : äliaine äliaine ρ μ d äliaine äliaine äliaineen iheys nopeus d pallon halkaisija 6 7,4 0 ilmalle äliaineen iskosieei 3,000 0 edelle Lähde: Lai, T., LaBeu, K., Marin, K. & Silley, B. 004. Golf Ball Projecile Moion Projec. Nose (Arkhimedeen laki): N ρ Jossa : ympäröiä aine ρ gv ympäröiä aine ympäröiän aineen iheys g puoamiskiihyyys V kappaleen ilauus - 6 -

Lisäy massa (pallolle): m added Jossa : πr 3 ρäliaine Vρ 3 r pallon säde ρ äliaine äliaine äliaineen iheys V pallon ilauus Lisäy massa jäeään huomioa örmäyksen aikana. Lähde: <hp://en.wikipedia.org/wiki/added_mass> Veden aaloliikkeen aikuus Veden aaloliike ja roiskuminen uo asiaan monimukaisuua omala osalaan, mua se jäeään huomioa ja oleeaan, eä sen aikuus sisälyy keskimääräiseen asusaaan oimaan, joka selieään kokeellisesi. Newonin II lain mukainen liikeyhälö (kappaleen ollessa kokonaan ilmassa ai edessä): kokonaiso ima G + d + N ( m + madded )a Laskujen aikaäli pyriään piämään niin pienenä, eä oima oidaan oleaa likimain akioksi. Newonin II lain mukainen liikeyhälö (örmäyksen aikana): kokonaiso ima G + ma Painooima on akio, joen kun käyeään keskimääräisä asusaaa oimaa, säilyy kokonaisoima akiona. Keskimääräisen asusaan oiman käyö johaa irheeseen örmäyksen aikana, mua irhe asoiuu örmäyksen pääymiseen mennessä. Kiihyyys: Liikeyhälöisä saadaan kiihyyydeksi: a Jossa : kokonaisoima m kokonaisoima m massa kappaleeseen aikuaa kokonaisoima ( örmäyksen aikana) ai m massan ja lisäyn massan summa ( muulloin) - 7 -

Maka asaisessa kiihyyydessä: s s0 + 0 + a Jossa : s uusi eäisyys nollaasosa ( eden pinnasa) s 0 0 edellinen eäisyys nollaasosa ( eden pinnasa) nopeus kyseisen aikaälin alussa a kiihyyys aikaälin laskuja sekunnissa piuus Aikaäli pyriään piämään niin pienenä, eä kiihyyys oidaan oleaa likimain asaiseksi. Nopeus asaisessa kiihyyydessä: Jossa + a 0 : uusi nopeus 0 edellinen nopeus aikaälin piuus laskuja sekunnissa a kiihyyys Aikaäli pyriään piämään niin pienenä, eä kiihyyys oidaan oleaa likimain asaiseksi. Poeniaalienergia: E P mgh Jossa : E p poeniaalienergia kyseisen aikaälin lopussa m massa g puoamiskiihyyys h korkeus nollaasosa ( eden pinnasa) Liike-energia: Ekin m Jossa : E kin kineeinen energia kyseisen aikaälin lopussa m massa nopeus Liikemäärä: p m Jossa : m massa nopeus - 8 -

Ympäröiä paine (pallon keskipiseen korkeudella): s + r p pilma + phydrosaainen 0300Pa 00Pa + ρ 8m Jossa : p kokonaispaine kyseisen aikaälin lopussa s eäisyys edenpinnasa, pallon pohjaan kun s > 0, muulloin s 0 r pallon säde h syyys ρ esi eden iheys esi ( edenpinnasa, pallon keskikohaan) gh s r ai s 0 s + r, kun s < r, muulloin h 0 Wikipedian arikkelin mukaan: Ilmanpaine laskee nousaessa korkeammalle merenpinnan asola. Maanpinnan läheisissä ilmakerroksissa 8 merin nousu korkeussuunnassa merkisee noin hpa ( mbar) ähennysä ilmanpaineessa. Joen kun normaali ilmanpaine on noin,03 bar 0300 Pa, niin ilmanpaine korkeudessa s on 0300Pa s 00Pa. Koska eäisyys s laskeaan pallon 8m pohjasa edenpinaan, äyyy siihen lisää pallon säde r, joa saadaan paine pallon keskikohdassa. Lähde: <hp://fi.wikipedia.org/wiki/ilmanpaine> Paineen muuosnopeus (pallon keskipiseen korkeudella): p muuosnopeus Jossa : Δp Δ p muuosnopeus p paine p p0 s r ai s 0 Δ paineen keskimääräinen muuosnopeus aikaälillä p 0 edellinen paine Δ aikaälin piuus laskuja sekunnissa AINEISTO JA MENETELMÄT Tukimuksemme on kokeellinen, joen ulokse pohjauua omiin miausuloksiimme. Työmme arkoius on ukia keskimääräisä asusaaa oimaa pallon örmäessä eeen. Miauksia aren rakensimme elineen, jonka aulla pysyimme pudoamaan palloa eeen ja miaamaan eri muuujien aroilla synyän keskimääräisen asusaan oiman kiihyyyden kaua. Käyimme poikkipina-alalaan erikokoisia palloja. Pallon kiinniimme pikaliiman ja eipin aulla pikään ja melko ohueen mealliankoon, niin eä mealliangon pää oli pallon sisällä. Näin ollen - 9 -

pallo pysyi ukeasi paikoillaan myös örmäyksessä. Tukiessamme massan aikuusa oimaan, saimme lisämassan magneeeisa, joka pysyiä eipin aulla kiinni mealliangossa. Pudoimme palloa isoon esiasiaan. Pallo sai ippua apaasi, mua jouduimme laiamaan mealliangon kulkemaan onon muoipuken läpi, joka aas oli kiinniey pysysuorasi saiiin aulla ilmaan. Muoipuki oli halkaisijalaan suurempi kuin meallianko, jolloin kika mealliangon ja siä ukean muoipuken älillä ei ollu koin suuri. Näin armisimme sen, eä pallo ja meallianko puoaa ja örmäää eeen lähes kohisuorasi. Miauslaieisomme koosui kiihyyysanurisa ja aloporisa, joiden anamaa daaa käsieliin ieokoneella Logger Pro -ohjelmalla. Päädyimme ähän meneelmään, koska se osoiauui ainoaksi käyökelpoiseksi. Ensin ajaelimme muun muassa käyää ideokameraa kuaamaan pallon liikeä, mua meneelmä oli hyläää, koska käyeäissämme ollu kamera oli aallinen ideokamera, jonka nopeus oli 4 kuaa/s. Tämä on aian liian ähän, koska pallon örmäys kesää niin lyhyen ajan. Kua 4: Miauslaieiso Kiihyyysanurin kiinniimme mealliangon yläosaan eipillä kohisuoraan eenemissuunaa asaan. Valoporia aren meidän äyyi ehdä raualangasa ja mehupillisä kaksi aakasuoraa ulokea mealliankoon. Kiedoimme raualanga puken ympärille ja kiinniimme ne siihen eipillä ja siniarralla. Lisäksi jouduimme pujoamaan niiden ympärille pilli, koska raualanga olia niin kapea, eä ne eiä yksissään pysynee peiämään aloporin sädeä. Kua 5: Kiihyyysanuri Kua 6: Valopori (Pilli oa miauksessa aloporia kohi.) - 0 -

Pilli aseimme mealliankoon sien, eä alempi pilli oli juuri kulkenu aloporin läpi, kun ise pallo oli eden ja ilman rajapinnassa eli juuri örmäämäisillään eeen. Ylempi pilli aas aseeiin sien, eä se oli juuri läpäissy aloporin pallon mennessä kokonaan eden alle. Tieokone laski pallon nopeuden örmäyksen alussa ja lopussa makan lausekkeella s, jossa s on ohjelmaan syöey pillin halkaisijan aro ja on aika, joka pillilä kesää ohiaa säde (alkaen hekesä jolloin pilli peiää säeen ja pääyen hekeen jolloin pilli ei enää ole säeen iellä). Koska nopeus miaaan lyhyelä ajala, oidaan pallon kiihyyys jäää huomioa ja oleaa liike sillä aikaälillä lähes asaiseksi. Pienenääksemme irheä käyimme oisena miausmeneelmänä kiihyyysanuria, joka näyi ise asiassa anaan yleensä parempia uloksia kuin alopori. Kiihyyyden kuaajasa saimme graafisesi inegroimalla pallon örmäysnopeuden ja örmäyksen jälkeisen nopeuden. Kiihyyyden kuaajasa pysyi melko helposi pääelemään, missä kohdassa örmäys alkoi. Sen sijaan örmäyksen loppumiskohaa ei kuaajasa pysyny armasi sanomaan, jolloin hyödynsimme aloporin anamaa örmäyksen loppumisajankohaa, jonka aulla osasimme inegroida kiihyyyden kuaajan oikeasa kohdasa. Suoriimme miaukse edellä kuaun miauslaieison aulla. Tukimme pallon nopeuden, massan, säeen, keskikohdan poikkipina-alan ja ilauuden aikuusa keskimääräisen asusaan oiman suuruueen, sien eä samanaikaisesi ukimme ain yhden muuujan aikuusa ja muu ekijä pidimme akiona. - -

Kua 7: Esimerkkiapaus kiihyyysanurin piirämäsä kuaajasa MITTAUSTULOSTEN KÄSITTELY JA LOPULLISET TULOKSET Nopeuden aikuusa ukiaessa pudoimme koko ajan samankokoisa ja samanmassaisa palloa eri korkeuksila eeen. Näin ollen örmäysnopeus aiheli sen mukaan, kuinka korkeala pallo ippui. - -

Keräsimme aulukkoon örmäykseen kuluneen ajan, sekä molemmilla miausaoilla saadu örmäysnopeude ja örmäyksen jälkeise nopeude, joisa laskimme keskiaro. Yhälösä a Δ / Δ, saimme pallon keskimääräisen kiihyyyden örmäyksen aikana. Newonin II laisa ma, saimme keskimääräisen kokonaisoiman. Kun ähensimme keskimääräisesä kokonaisoimasa painooiman G mg, saimme keskimääräisen asusaan oiman örmäyksen aikana. Tuloksisa eimme (, )-kuaajan. Kua 8: Törmäysnopeuden aikuus keskimääräiseen asusaaan oimaan Pallon säeen, poikkipina-alan ja ilauuden aikuusa ukimme pudoamalla erikokoisia palloja eeen samala korkeudela, jolloin örmäysnopeus pysyi lähes akiona. Massa pideiin myös kaikissa miauksissa samana. Toisimme miaukse jokaisella pallolla iisi keraa irheen minimoimiseksi. Taulukoimme miausulokse samalla aalla kuin nopeusmiauksissa. Toesimme, eä nopeus ei pysyny riiään asaisena miausen älillä, ja siiä seurasi liian suure irhee oiman aroihin. Koska nopeuden kuaajasa saau yhälö aikui melko luoeaala (yhälö ja sen muodosaminen selieään myöhemmin), käyimme siä nopeuden muuumisen aikuuksen poisamiseksi. Valisimme miausuloksia keskimääräisesi hyin asaaan nopeuden 0 ja pyrimme korjaamaan oiman aro siä nopeua asaaiksi kaikissa miausuloksissa. Tämän - 3 -

suoriimme keromalla erikseen jokaisessa miauksessa saadun keskimääräisen asusaan oiman suhdeluulla. Suhdeluku k saaiin jakamalla aikaisemmisa miauksisa saau nopeuden funkio samalla funkiolla niin, eä osoiajassa oleassa yhälössä käyimme muuujan arona soiua yheisä nopeua 0 (keskiaro kaikisa nopeuksisa) ja nimiäjässä kyseisessä miauksessa saaueua odellisa nopeua. (korjau) k (korjaaa) nopeus nopeus ( ( 0 ) korjaaa nopeus ) (korjaaa) Näisä nopeudella korjauisa keskimääräisen asusaan oiman aroisa oimme keskiaro iiden ryhmissä niin, eä jokaiselle pudoeulle erikokoiselle pallolle saaiin keskimääräiseksi asusaaksi oimaksi yksi aro. Tuloksisa eimme kolme kuaajaa: (r, )-, (A, )-, ja (V, )- kuaaja. Myöhemmin päädyimme käyämään säeen kuaajaa. (Ks. s. 6). Erikokoisen sopiien pallojen aikean saaauuden ja pallon kiinniämiseen kuluan pikän ajan akia suoriimme miauksia neljällä eri pallolla. Suoriimme kuienkin useia miauksia jokaisa palloa kohi luoeauuden paranamiseksi. Kua 9: Säeen aikuus keskimääräiseen asusaaan oimaan Massan aikuusa keskimääräiseen asusaaan oimaan ukimme pudoamalla samankokoisa palloa samala korkeudela eeen, muuamalla ain sen massaa. Massaa saimme lisäyä - 4 -

kiinniämällä magneeeja mealliankoon. Myös näissä miauksissa haaiiin sama ongelma nopeuden akiona piämisessä, ja se rakaisiin myös samalla aalla. Massamiauksisa keräsimme sama iedo, kuin muisakin miauksisa ja eimme niisä (m, )-kuaajan. Kua 0: Massan aikuus keskimääräiseen asusaaan oimaan Seuraaaksi lähdimme esimään kuaaja oeuaia yhälöiä. Tässä hyödynsimme ilmaisa CureExper.3 ohjelmaa. Ohjelma anoi jokaiselle kuaajalle suuren määrän yhälöiä, joisa meidän äyyi yriää alia ilmiöä parhaien kuaaa. Aluksi karsimme pois ne, joka olia seläsi irheellisiä. Seläsi irheellisiksi kasoimme: - yhälö, joka eiä oeuanee miauspiseiä riiään hyin - yhälö, joka eiä ollee aidosi kasaia aina kun x 0 - yhälö, joka jollain x:n arolla anoia uloksen, joka ylii laskeun maksimioiman eli joka oli niin suuri, eä pallo olisi läheny akaisin ylöspäin, aikka sen iheys on suurempi kuin eden iheys. Koska asusaa oima muodosuu pääasiassa äliaineen asuksesa sekä noseesa, joiden aiheuama oima kasaa nopeuden ja ilauuden kasaessa, pääelimme, eä myös keskimääräisen - 5 -

- 6 - asusaan oiman äyyy olla aidosi kasaa kaikilla muuujilla. Suurimman mahdollisen oiman kaaan johdimme seuraaalla aalla: Laskeaan asusaan oiman suuruus kun örmäyksessä nopeus puoaa nollaan: 0 m/s Δ - 0s? Δ s d r r s a a s a, + Δ Δ Valiaan posiiiinen suuna ylöspäin, jolloin asusaa oima on posiiiinen ja painooima negaiiinen. Silloin: + + + r g m mg r m G G k k 4 4 Näillä meneelmillä hylkäsimme suurimman osan yhälöisä ja alisimme jäljelle jääneisä oisen aseen yhälön, sillä se oeui miauspisee parhaien. Toisaala se oli myös yksinkeraisin, ja koska äliaineen asus on normaalisi errannollinen nopeuden neliöön, oli se myös luonein alina. Törmäysnopeuden aikuus keskimääräiseen asusaaan oimaan: 0,4969379 0,4830963 0,8094094 : + + c b a jossa akio r c b a nopeus r m ma r r a r r r r k 4 4 4 4 +

Seuraaaksi kasoimme millaisia kaaoja CureExper anoi säeen ja sen johdannaisen miausuloksisa. Suurimman osan kaaoisa hylkäsimme samoin perusein kuin nopeudenkin kohdalla. Taas jäi kuienkin jäljelle useia kaaoja, joisa oli hankala alia parasa. Rakaisimme ongelman rakenamalla simulaaiosa ersion, jossa örmäyksen aikana aikuia äliaineen asus sekä nose, joiden kaaa johdimme mekaniikan peruslaeisa. Käyimme ässä yheydessä seuraaanlaisia kaaoja: Väliaineen asus Newonin asuslaisa mukaueuna: cwρ esi A x + cwρesi A ( x) Nose Arkhimedeen laisa mukaueuna: ( ρ gv x) + [ ρ gv ( x) ] esi esi Näissä kaaoissa x arkoiaa prosenuaalisa osuua pallon ilauudesa, joka on eden alla. x asaa näin ollen siä prosenuaalisa osuua, joka pallon ilauudesa on edenpinnan yläpuolella. Prosenuaalisen osuuden x laskeminen: s π s r + x 3, kun r s 0 V Jossa : x prosenuaalinen osuus pallon ilauudesa, joka on eden alla s eäisyys edenpinnasa pallon pohjasa laskeuna r pallon söde V pallon ilauus Kyseinen kaaa johdeiin maol-aulukoisa löyyäsä kaaasa V π h r h 3 Muookeroimen aroksi löyyi pallon kohdalla eri läheisä lukuisia aihoehoja, joisa alisimme aron 0,47. Valiaessa simulaaion alkuaroja, annoimme massalle saman aron kuin miauksissa, ja alisimme örmäysnopeudeksi saman nopeuden, joa käyimme korjaessamme miausuloksia nopeuden aihelun akia. Täsä ei saada koin arkkoja uloksia, minkä akia kokeellinen osio alun perin jouduiin aloiamaan. Ajaelimme kuienkin, eä äsä saadu asusaan oiman aro oisia osoiaa - 7 -

oikean suurusluokan. Verasimme kaaojen anamia uloksia simulaaion uloksiin ja hylkäsimme ne, joka anoia suuruusluokalaan aian erilaisia uloksia. Silikin meille jäi ielä kolme melko yhä hyää mallia. Näisä alisimme kolmannen aseen polynomin, jossa muuujana oli säde, sillä se oeui parhaien sekä simulaaion ulokse, eä alkuperäise miausulokse. Säeen aikuus keskimääräiseen asusaaan oimaan: 3 säde dr + er + fr jossa : d 84, 7365 e 504, 74 f 7, 704076 Massan kuaajasa haaisimme, eeiä pisee noudaanee miään selkeää käyrän yhälöä. Pisee nousia keskimäärin hieman ylöspäin, mua oesimme, eä massan aikuus suheessa miausarkkuueen on liian pieni, joa siä olisi mielekäsä oaa huomioon. Pääelimme, eä massalla on odennäköisesi aikuusa ainoasaan sen akia, eä suuremmalla massalla nopeus puoaa örmäyksessä ähemmän, jolloin äliaineen asus säilyy suurempana ja näin ollen keskimääräinen asusaa oima kasaa hieman. Pääimme jäää ämän aikuuksen huomioa, koska siä ei pysyy riiäällä arkkuudella miaamaan. Lopullinen malli siis muodoseaan ain nopeuden ja säeen kaaoisa. Verrannollisuua kuaaa yhälö yhdisimme keromalla ne keskenään sekä sopialla akiolla. Vakio aliiin sien, eä lopullinen malli oeuaa miausulokse niillä muuujien aroilla, joia kyseisessä miauksessa käyeiin. Vakion aroksi saaiin näin J,378 Eli siis: akio nopeus säde 3 ( ) ( ) J a + b + c dr + er + fr jossa : örmäysnopeus r pallon säde J,378 a 0,8094094 b 0, 4830963 c 0, 4969379 d 84, 7365 e 504, 74 f 7, 704076 Joa dimensio menisiä oikein ja uloksen yksiköksi saaaisiin Newon, olisi akioille anneaa yksikö, mua emme kaso ää mielekkääksi, koska yhälöllä ei ole riiäää eoreeisa pohjaa, aan se ain mallinaa ilmiöä kokeellisen ulosen pohjala. - 8 -

TULOSTEN TARKASTELU Tukimusulosen hyödyllisyys ja käyömahdollisuude Simulaaion aulla oidaan ukia erilaisen pallojen käyäyymisä niiden pudoessa ilman halki eeen. Simulaaio piirää myös makan, nopeuden, kiihyyyden ja kokonaisoiman kuaaja, joisa oidaan arkasella erilaisia asioia, kuen eri muuujien aikuusa puoamisnopeueen eri aiheissa. Vapaakappalekuasa oidaan nähdä eri oimien keskinäise suuruude sekä kiihyyysja nopeusekori reaaliajassa. Simulaaio laskee ja näyää myös muun muassa paineen, liikeenergian ja liikemäärän suuruude. Koska palloon kohdisua oima eiä ole jakuasi akioia ja esimerkiksi äliaineen asuksen muookerroin muuuu jakuasi pienillä Reynoldin luun aroilla, ei asaaaa arkaselua ole helppo oeuaa ise laskemalla. Vaikka kokeellisen osuuden uloksena saau yhälö ei ole yleiseäyydelään ja arkkuudelaan koin hyä, on se sili suheellisen käyökelpoinen apa arkaselaessa pallon nopeuden muuumisa eden ja ilman rajapinnan yliyksessä. Ilmiön simuloiminen oisella aalla - kuen esimerkiksi arkaselemalla yksiäisen molekyylien kappaleeseen aiheuamia oimia - aaisi luulaasi huomaaan suuren laskenaehon. Simulaaioa oi myös hyödynää erilaisissa erikoisapauksissa. Esimerkiksi jos kappale laieaan puoamaan riiään korkeala ai edenpinnan alapuolela, oidaan ukia, kuinka kauan kappaleela kesää saauaa äliaineenasuksen ja noseen aiheuama rajanopeus sekä kuinka suuri se on. Koska simulaaio laskee myös paineen ja sen muuosnopeuden (örmäyshekeä lukuun oamaa), oidaan näiä ieoja hyödynää, jos esimerkiksi eeen pudoeaa, pallomainen kappale kesää ain ieyn suuruisen paineen ai jos paine ei saa muuua liian nopeasi. Toisaala pallon sisällä oi olla esimerkiksi ukimuslaieia, joka kesää ain ieyn suuruisen kiihyyyden. Myös ää oidaan arkasella simulaaiossa. Simulaaion hyödynäminen opeuskäyössä oisi myös olla mahdollisa esimerkiksi kuaajien ulkinaan ja ymmärämiseen liiyissä ehäissä. Tukimusprojekisa kokonaisuudessaan on ollu luonnollisesi myös suuri henkilökohainen hyöy. Olemme päässee uusumaan erilaisiin miaus- ja ulosenkäsielyekniikoihin sekä oppimaan kriiisä irheläheiden arkaselua ja ieeellisä kirjoiamisa. Olemme siis oanee merkiään askeleen kohi ieeellisä maailmaa. - 9 -

Virheiden ja epäarkkuusekijöiden arioini Koska yömme perusuu kokeellisiin miauksiin, on siinä paljon epäarkkuusekijöiä. Miauslaieisossa on ieenkin rajallinen miausarkkuus, jossa eriyisesi aloporin puueellinen näyeenooaajuus oli haiapuolena. Pillien ja pallojen halkaisijoiden miauksiinkin sisälyy oma miausirheensä. Suurimma irheekijä oa kuienkin ise rakenneussa mialaieisossa. Mealliangossa kiinni olea pilli eiä pysy aina ihan kohisuorassa aloporin säeeseen nähden, jolloin aloporin säeen leikkaama maka ei asaa miaua. Lisäksi pilli ja alopori on mahdoon sijoiaa keskenään aian oikeisiin kohiin. Sen akia örmäyksen alku- ja loppukohdissa on epäarkkuua. Koska jouduimme kiinniämään erikokoise pallo liiman ja eipin aulla mealliankoon, pallojen massa saaoi muuua hiukan miausen aikana epäarman esiiiiyden akia. Lisäksi kiihyyysanuri saaoi pääsä käänymään irheasenoon, joka aas aikui anurin anamiin uloksiin. Miausuloksiin uo irheä myös se, eä syseemi ei pudonnu aian suorassa siä ukeasa pukesa huolimaa ja ämä puki oisaala aiheui myös pienen ylimääräisen asusaan kikaoiman. On myös mahdollisa, eä mealliankoon kiinniey lisämassa on päässy ähän liikkumaan örmäyksen aikana. Nopeus oli mahdoona piää äysin akiona massa- ja ilauusmiauksissa ja äsä synyi mahdollisesi melko suuri irhe. Tää ongelmaa yriimme kuienkin korjaa ise kehielemällämme meneelmällä. (Ks. s. ) Myös ulosen käsielyyn sisälyy epäarmuusläheiä. Koska miauspiseiä ei käyeään ajan ja laieison akia ollu koin paljoa eikä koin suurela alueela, pysyy uloksiin soiamaan useia kaaoja. Niiden ulokse kuienkin eroaa oisisaan merkiääsi miausalueen ulkopuolella, joen oikean aliseminen on aikeaa. Lisäksi on hyä muisaa, eä uloksia käsieläessä saaoi apahua myös inhimillisiä irheiä. - 0 -

JATKOTUTKIMUKSEN AIHEET Simulaaiossa joudumme ällä hekellä aseamaan seuraaa rajoiukse: - Puoaa kappale on muodolaan pallo. - Pallo on äysin pyöreä eikä muua muooaan simulaaion aikana. - Pallon iheys on suurempi ai yhä suuri kuin neseen (eden) iheys. - Väliaineina on ilma (yläpuolella) ja esi (alapuolella). Tiheyde ja iskosieei oa normaaleja. - Vesialue on rajaon, jolloin sen pinnanaso ei muuu pallon upoessa eeen. - Veeen ei synny aaloja. - Puoamiskiihyyys on normaali (9,8 m/s²). - Lämpöila oa lähellä huoneen lämpöilaa - Ilmanpaine edenpinnan asossa on normaali Joa simulaaion yleiseäyys ja sien myös käyökelpoisuus paranisi, äyyisi suoriaa uusia miauksia sien, eä näiä oleuksia oiaisiin ähenää. Toisaala miaukse äyyisi muuenkin suoriaa uudelleen paremmilla meneelmillä ja laieilla, joa niiden luoeauus paranisi. Myös yhälön muodosamiseen käyeyjä meneelmiä piäisi kehiää edelleen. Simulaaion luoeauus huononee kun muuujien aro eiä ole samaa suuruusluokkaa kokeellisissa miauksissa käyeyjen kanssa. Tämänkin ongelman poisamiseksi olisi hyä ehdä jakoukimusa. Ise simulaaioa oisi kehiää muun muassa luomalla siihen ehokkaamma laskena-algorimi. Tähän oisi mahdollisesi hyödynää esimerkiksi Runge-Kua meneelmää. Kuaajien skaalaauua oisi paranaa ja simulaaion oisi rakenaa ukemaan liikeä kolmessa ulouuudessa. Myös mahdollisuus useiden kappaleiden yhäaikaiseen käyöön lisäisi simulaaion hyödyllisyyä. - -

LÄHDELUETTELO Elorana, K., Leho, H. & Luoma, T. 005. ysiikka, ysiikka luonnonieeenä. Tammi, Jyäskylä. Happonen, R. (oim.). 00. MAOL-auluko. Oaa, Keuruu. Haukainen, R Leho, H., Leskinen, J. & Luoma, T. 006. ysiikka 4, Liikkeen lai. Tammi, Jyäskylä. Hämeri, K. 005. Luenomuisiinpano, Hiukkasen suoraiiainen liike. Saaailla www-muodossa: hp://www.am.helsinki.fi/~khameri/af05/uniform.pdf (Lueu 9.7. 007) Young, H. & reedman, R. 004. Uniersiy Physics wih Modern Physics h Ediion. Addison- Wesley, San rancisco. Lai, T., LaBeu, K., Marin, K. & Silley, B. 004. Golf Ball Projecile Moion Projec. Saaailla www-muodossa: hp://claymore.engineer.gsu.edu/~lai/3/golfball.pdf (Lueu 4..007) Wikipedia. The free encyclopedia. Saaailla muodossa: hp://en.wikipedia.org/wiki/main_page (Lueu 4..007) - <hp://en.wikipedia.org/wiki/added_mass> Wikipedia. Vapaa ieosanakirja. Saaailla www-muodossa: hp://fi.wikipedia.org/wiki/wikipedia:eusiu (Lueu 4..007) - <hp://fi.wikipedia.org/wiki/ilmanpaine> LIITTEET liie : Simulaaio - Pallon puoaminen äliaineissa.exe (Tieokonesimulaaio, CD-leyllä) liie : Tiiiselmä objekien oiminnoisa simulaaiossa.doc (ysiikan kannala merkiää osa lähdekoodisa, CD-leyllä) liie 3: Objekien oiminno simulaaiossa.doc (Ei sisälly arsinaiseen Viksu-yöhön, CD-leyllä) - -