MEKAANISET VÄRÄHTELIJÄT KOKEELLISEN OPETUKSEN VÄLINEINÄ

Pro gradu - tutkielma MEKAANISET VÄRÄHTELIJÄT KOKEELLISEN OPETUKSEN VÄLINEINÄ Juho Tiili 1997 Ohjaaja: Tarkastajat: Prof. Kaarle Kurki-Suonio Prof. Kaarle Kurki-Suonio Dos. Heimo Saarikko HELSINGIN YLIOPISTO FYSIIKAN LAITOS PL 9 (Siltavuorenpenger 20 D) 00014 Helsingin yliopisto

HELSINGIN YLIOPISTO HELSINGFORS UNIVERSITET Tiedekunta/Osasto Fakultet/Sektion Laitos Institution Matemaattis-luonnontieteellinen tiedekunta Fysiikan laitos Tekijä Författare Tiili, Juho Antti Työn nimi Arbetets titel Mekaaniset värähtelijät kokeellisen opetuksen välineinä Oppiaine Läroämne Fysiikan opettajan sv Työn laji Arbetets art Pro gradu Tiivistelmä Referat Aika Datum 14.11.1997 Sivumäärä Sidoantal 53 Hahmottava lähestymistapa on fysiikan opetuksen lähestymistapa, joka perustuu merkityksiä luovan kokeellisuuden käyttöön fysiikan opetuksessa. Sen mukaan fysiikan käsitteet ja lait eivät ole ainoastaan suureiden algebrallisia relaatioita vaan käsitteet on liitettävä niiden fysikaaliseen merkitykseen. Käsitteiden merkitykset täytyy tuntea ennen itse käsitteitä. Tutkimuksessa suunnitellaan ja toteutetaan demonstraatiokokonaisuus, jossa lähestytään mekaanisiin värähtelyihin liittyviä käsitteitä hahmottavan lähestymistavan mukaisesti. Samalla tutustutaan sähkömekaanisen värähtelijän käyttöön värähtelyihin ja aaltoliikkeeseen liittyvien demonstraatioiden välineenä. Värähdysliikkeen kvantitatiiviseen kuvaamiseen liittyvä käsitteistö luodaan yksinkertaisella jousi-punnussysteemillä. Samalla systeemillä luodaan myös ominaisvärähtelyjen ja ominaistaajuuden käsitteet systeemille ominaisina itsenäisinä liikkeen vapausasteina. Ominaistaajuuden olemassaolon yhteys systeemin sisäiseen dynamiikkaan löydetään värähtelevän systeemin tasapainoasemaan palauttavan voiman kautta ja näin saadaan esiin ominaistaajuuden olemassaolon yhteys mekaniikkaan. Sähkömekaanisen värähtelijän avulla tutkitaan erilaisten systeemien ominaisvärähtelyjä. Tutkimuksen kohteena ovat jousi-punnussysteemien ominaisvärähtelyt, jännitetyn kielen ominaisvärähtelyt suljetuilla ja avoimilla reunaehdoilla, sekä vedenpinnan ja kimmoisten levyjen ominaisvärähtelyt. Käsitteenmuodostus ulotettiin myös aaltoliikkeen käsitteistöön. Tulkitsemalla jännitetyn kielen ominaisvärähtelyt seisovaksi aaltoliikkeeksi saadaan esitettyä laki aaltoliikkeen vaihenopeuden riippuvuudelle taajuudesta. Tämä riippuvuus, aaltoliikkeen dispersiorelaatio, on jännitetyn kielen tapauksessa lineaarinen. Vaihenopeus on taajuudesta riippumaton ja riippuu ainoastaan väliaineen, kielen, jännitystilasta ja pituusmassasta. Dispersiorelaatio yleistetään epälineaariseksi tutkimalla aaltoliikettä jäykässä metallisilmukassa. Tässä systeemissä aaltoliikkeen vaihenopeus kasvaa siirryttäessä kohti suurempia taajuuksia. Avainsanat - Nyckelord hahmottava lähestymistapa, dispersiorelaatio, demonstraatio, ominaisvärähtely Säilytyspaikka - Förvaringställe Muita tietoja

Sisältö 1. JOHDANTO...1 2. FYSIIKAN KÄSITTEENMUODOSTUS JA HAHMOTTAVA LÄHESTYMISTAPA...2 2.1. FYSIIKAN KÄSITTEENMUODOSTUS...2 2.2. FYSIIKAN KÄSITTEELLINEN RAKENNE...3 2.3. SUUREET PROSESSEINA...5 2.4. HAHMOTTAVA LÄHESTYMISTAPA...7 3. KÄSITTEELLISET TAVOITTEET...8 4. VÄRÄHTELIJÄ...9 5. VÄRÄHDYSLIIKKEEN HAHMOTTAVA KOKEELLISUUS...14 5.1. VÄRÄHDYSLIIKKEEN KÄSITTEISTÄMINEN...14 5.2. OMINAISVÄRÄHTELY JA SEN OLEMASSAOLON YHTEYS SYSTEEMIN DYNAMIIKKAAN...15 5.3. RESONANSSI...19 6. ERILAISTEN SYSTEEMIEN OMINAISVÄRÄHTELYJÄ...21 6.1. JOUSI-PUNNUSSYSTEEMIEN OMINAISVÄRÄHTELYT...21 6.2. JÄNNITETYN KIELEN OMINAISVÄRÄHTELYT...22 6.2.1. Koelaitteisto...22 6.2.2. Kielet...23 6.2.3. Päistä kiinnitettyjen kielten ominaisvärähtelyt...24 6.2.4. Kielen pituuden vaikutus ominaisvärähtelyihin...25 6.2.5. Toisesta tai molemmista päistä vapaan kielen ominaisvärähtelyt...26 6.3. VEDENPINNAN OMINAISVÄRÄHTELYT...30 6.4. CHLADNIN LEVYT - OHUEN TERÄSLEVYN OMINAISVÄRÄHTELYT...31 7. DISPERSIORELAATIO...36 7.1. OMINAISVÄRÄHTELYJEN TULKINTA SEISOVAKSI AALTOLIIKKEEKSI...36 7.2. KIELEN JÄNNITYSVOIMAN JA PITUUSMASSAN VAIKUTUS AALTOLIIKKEEN VAIHENOPEUTEEN...38 7.3. PULSSIN ETENEMISNOPEUS-SUUREEN LIITTÄMINEN NOPEUSSUUREIDEN JOUKKOON...43 7.4. VAIHENOPEUDEN YLEISTÄMINEN DISPERSIORELAATIOKSI...44 7.5. PITKITTÄINEN AALTOLIIKE JOUSESSA...47 8. JOHTOPÄÄTÖKSET...50 VIITTEET...52

1 1. Johdanto Helsingin yliopiston fysiikan laitoksen didaktisen fysiikan osastolla tehtävä tutkimus keskittyy tutkimaan fysiikan tiedollis-käsitteellistä ja metodisprosessuaalista rakennetta ja sen merkitystä fysiikan opettamiselle. Näiden rakenteiden tuntemuksen avulla pyritään arvioimaan ja kehittämään fysiikan opetusta Suomen koululaitoksessa. Kokeellisuus kuuluu fysiikan opettamiseen jo metodis-prosessuaalisista syistä. Kokeiden tekeminen opetustilanteessa vain sen vuoksi, että fysiikka on kokeellinen luonnontiede, ei kuitenkaan ole fysiikan käsitteenmuodostuksen, oppimisen, kannalta kovinkaan avartavaa. Samoin motivoiva demo eli temppu, johon annetaan luontevalta ja opettajan mielestä fysikaaliselta kuulostava selitys, ei usein auta ymmärtämään liidulla hätäisesti taululle kirjoitettua kaavaa, palaa fysiikan kauniista teoriasta, joka jalostuu näin täysin vailla merkitystä olevaksi tyhjäksi lauseeksi. Pahimmassa tapauksessa tämä kaava pitää osata kokeessa ulkoa. Kokeellisuus voidaan kuitenkin valjastaa ei ainoastaan auttamaan vaan olemaan oleellisin osa fysiikan käsitteenmuodostusprosessia. Tämä edellyttää opetuksen kokeellisuudelta tietoista pyrkimystä merkityksiä luovaan kokeellisuuteen, jossa kokeellisuuden tavoitteena on fysiikan käsitteellisten tavoitteiden omaksuminen. Tämä käsitteenmuodostusprosessi luo fysikaalisen tiedon osaksi oppijan tietorakennetta samoja periaatteita käyttäen kuin se on luotu aikanaan osaksi fysiikan tietorakennetta. Prosessin ohjaaminen edellyttää fysiikan tiedollis-käsitteellisen rakenteen tuntemista ja laajapohjaista demonstraatiovälineiden käyttötaitoa, joka ei rajoitu ainoastaan kokeiden mekaaniseen tekemiseen. Hyödyllisin kysymys jonka fysiikan opetustehtävissä oleva henkilö voi itselleen tehdä kuuluu: miksi minä teen tämän kokeen/demonstraation? Opetuksen lähestymistapaa, joka nojautuu merkityksiä luovaan kokeellisuuteen käsitteellisten tavoitteiden omaksumiseksi on alettu kutsua Helsingin yliopiston fysiikan laitoksen didaktisen fysiikan osastolla hahmottavaksi lähestymistavaksi. Hahmo tässä nimityksessä viittaa fysiikan käsitteen syntyyn hahmona, jonka merkitys ja kiinnitys kehittyy, abstrahoituu ja yleistyy käsitteenmuodostusprosessin edetessä. Tämän tutkimuksen tavoitteena on osittain laitteistolähtöisesti selvittää mekaanisen värähtelijän käyttömahdollisuudet fysikaalisen käsitteenmuodostuksen tukena. Samalla luodaan hahmottavan lähestymistavan keinoin mekaanisiin värähtelyihin liittyvä fysikaalinen käsitteistö.

2 2. Fysiikan käsitteenmuodostus ja hahmottava lähestymistapa Tämä luku perustuu lähteeseen [11], ellei toisin mainita. 2.1. Fysiikan käsitteenmuodostus Fysiikan käsitteenmuodostus on tieteellinen prosessi, joka pyrkimyksenä on luonnossa tapahtuvien tahdosta riippumattomien ilmiöiden selittäminen luonnontieteellistä metodia käyttäen samojen yleisten peruslakien avulla. Lähtökohtana on luonto ja tavoitteena luoda sen käyttäytymistä kuvaava yhtenäinen teoria, joka tarjoaa selitysperustan kaikille tahdosta riippumattomille luonnonilmiöille. Fysiikan oppimisen prosessi on oleellisesti samanlainen. Tieto luodaan nyt vain osaksi oppijan tietorakennetta samalla tavoin kuin se on luotu fysiikan tietorakenteeksi. Käsitteenmuodostuksen kannalta ei ole olemassa puhtaasti kokeellisia tai puhtaasti teoreettisia fysiikan käsitteitä. Uuden fysiikan käsitteen syntyyn tarvitaan empirian ja teorian keskinäistä vuorovaikutusta. Puhutaan empirian ja teorian yhdistävästä dualismista. Kaikki fysiikan käsitteet syntyvät hahmoina, joiden merkitys kehittyy sekä empirian että teorian avulla. Empiriaa ovat havainnot ja mittaukset. Pelkkä mittaaminen ei kuitenkaan tee fysiikasta tiedettä ja edistä tieteellistä käsitteenmuodostusta. Käsitteet ovat teorian peruselementtejä. Fysiikan teoria liittää olioiden ominaisuuksia kuvaavat suureet laeiksi ja kokoaa ilmiöspesifiset peruslait yhdeksi fysiikan kunkin osa-alueen perusteoriaksi, jotka yhdessä muodostavat fysiikan teoreettisen tietorakenteen. Pelkkä teoria ilman kokeellista todistusaineistoa on kuitenkin merkityksetön. Nämä kaksi elementtiä, empiria ja teoria tarvitsevat kiinteästi toisiaan. Fysiikan tieto muodostuu empirian ja teorian yhteistyöstä. Toinen saa merkityksensä toisen kautta. Kaikki fysiikan käsitteet ovat luonteeltaan empiiris-teoreettisia. Täten tiukka jako teoreettiseen fysiikkaan ja kokeelliseen fysiikkaan on merkityksetön käsitteenmuodostuksen kannalta. Tieteellisessä prosessissa käsitteenmuodostuksen suunta on kuitenkin aina empiriasta teoriaan. Samalla siirryttäessä kohti teoriaa käsite yleistyy ja abstrahoituu koska siirrytään kauemmaksi ihmisen havaintomaailmasta, tehdystä kokeesta. Käsitteen sitominen empiriaan on välttämätöntä ymmärtämisen kannalta. Todellinen ymmärtäminen alkaa havainnosta, empiriasta. Havaintojen avulla luodaan käsitteelle ensin merkitys. Käsitteiden merkitykset syntyvät empiirisinä hahmoina havainnosta ennen itse käsitettä, jolle tulee näin järkevä merkitys. Ilman havaintoon sitomista käyttöön otettu käsite on turha, koska sille ei ole annettu mitään havaintoon liittyvää merkitystä. Täten empirian primaarisuus korostuu aina uutta käsitettä luotaessa. Empiirisista lähtökohdista luotua käsitettä yleistetään ja täsmennetään sekä empirian että teorian keinoin. Käsitteen kehittymisen hahmotusprosessi empiriasta teoriaan ei ole kuitenkaan suoraviivainen. Hahmottamisen dynamiikka on kaksisuuntaista teorian ja empirian vuorottelua. Sitä voidaan havainnollistaa kuvan 1 induktiodeduktiosyklillä.

3 KOKEELLINEN FYSIIKKA TEOREETTINEN FYSIIKKA INDUKTIO PELKISTYS YLEISTYS LUONTO ILMIÖT HAVAINTO MITTAUS KOE HAHMOTUS KÄSITTEET SUUREET LAIT TEORIAT MALLIT ENNUSTEET DEDUKTIO Kuva 1: Hahmottamisen dynamiikka. [11 s.149] Kokeiden perusteella tehdään yleistäviä induktiopäätelmiä, joilla pyritään kohti yleisiä periaatteita, teoriaa. Teorian pohjalta voidaan tehdä ilmiötä koskevia yksittäisiä ennusteita, deduktiopäätelmiä, joita testataan kokeita tekemällä. Kokeet joko vahvistavat tai kaatavat teoreettisen ennusteen paikkansapitävyyden tai vaativat teorian täsmentämistä. Käsitteiden muodostuminen fysiikan tietorakenteen osasiksi koostuu tällaisista peräkkäisistä sykleistä. Käsitteenmuodostusprosessi ei kuitenkaan ole induktio-deduktioautomaatti, joka ottaa vastaan mittausdataa ja jalostaa siitä tietoa osaksi fysiikan teoriaa. Hahmotusprosessi on luonteeltaan intuitiivinen, ei looginen. Sitä ohjaa luova intuitiivinen oivaltaminen, joka perustuu ihmismielen kykyyn ymmärtää ja tulkita kokeissa esiintyviä säännönmukaisuuksia ja lainalaisuuksia. Tutkijalla on tietoinen pyrkimys kohti loogis-rakenteellisia hahmokokonaisuuksia. Tämä pyrkimys ohjaa tekemään luonnolta juuri oikeita kysymyksiä, tekemään juuri oikeita kokeita ja tulkitsemaan kokeiden antamia tuloksia ja tekemään niiden perusteella järkeviä induktiivisia päätelmiä. Tämän intuitionsa ohjaamana syntyneen teorian, lait, tutkija altistaa kuitenkin kokeille. Hän testaa kokeita tekemällä lakiensa toimivuutta yksittäisissä erikoistapauksissa. 2.2. Fysiikan käsitteellinen rakenne Fysiikan käsitteenmuodostus on oleellisesti prosessi, joka etenee ilmiön kvalitatiivisesta havaitsemisesta ja hahmottamisesta kohti ilmiöiden täsmällistä kvantitatiivista esittämistä. Tässä prosessissa on erotettavissa neljä eri tasoa: Kielen, suureiden, lakien ja teorian tasot. Jokaisen tason sisällä käsitteenmuodostus on luonteeltaan intuition ohjaama induktio-deduktiosykli. Siirtyminen käsitehierarkian tasolta toiselle vastaa suurta hyppäystä abstraktiotasolta toiselle. Nämä siirtymiset kä-

4 sitteenmuodostuksen keskeisten kynnysten yli ovat myös luonteeltaan samanlaisia intuition ohjaamia induktio-deduktiosyklejä, kuva 2. 1. KVALITATIIVINEN TIETO: KIELI HAVAINTO PERUSHAHMOTUS luonnehdinta, tunnistus, luokittelu MIELIKUVAT, TERMIT oliot, ilmiöt, ominaisuudet ESIKVANTIFIOINTI säilyjät, muuttujat, riippuvuudet 2. KVANTITATIIVINEN TIETO: SUUREET MITTAUS SUUREEN PERUSMÄÄRITTELY YLEISTYS, LAAJENNUS KÄYTTÖALUE 3. KVANTITATIIVINEN ESITYS: LAIT KONTROLLOITU KOE LAKI numeerinen - graafinen - algebrallinen TÄSMENNYS, YLEISTYS SUURE-ENNUSTEET PÄTEVYYSALUE 4. KVANTITATIIVINEN SELITYS: TEORIA KOKEELLINEN TUTKIMUS PERUSLAIT SELITTÄVÄT MALLIT LAKIENNUSTEET SOVELLUSALUE Kuva 2: Fysiikan käsitteellinen rakenne. [11 s.159] Kvalitatiivisella tasolla tehdään käsitteenmuodostusprosessiin liittyvä perushahmotus ja esikvantifiointi. Perushahmotukseen kuuluu tutkimuksen kohteena olevaan ilmiöalueeseen liittyvä olioiden, ilmiöiden ja olioiden ominaisuuksien tunnistaminen ja luokittelu. Olioita, ilmiöitä ja olioiden ominaisuuksia kuvaamaan luodaan kvalitatiivisen tason käsitteet. Käsitteitä, teorian peruselementtejä, luodaan jo perushahmotuksen tasolla. Kvantifiointi, ominaisuuden saattaminen mitattavaan muotoon, on askel kvalitatiivisen esittämisen tasolta kvantitatiivisen esittämisen tasolle. Tässä prosessissa ominaisuuksista tulee suureita. Ominaisuuksien välisistä riippuvuuksista tulee lakeja. Lakien avulla havaintomaailmasta voidaan tehdä yksinkertaisia ennusteita, joiden pätevyyttä testataan.

5 Täten jokaisen suureen kvantifioinnissa edetään suureiden hierarkkisessa verkossa. Jokainen uusi suure, jonka kvantifiointiin tarvitaan alemman tason suureita on suureiden hierarkiassa korkeammalla tasolla. Tällaista tiukkaa suureiden hierarkiaa ei löydy kvalitatiivisen tiedon tasolta. Tämä tekee kvantifioinnista fysiikan käsitteenmuodostuksen kannalta keskeisimmän prosessin. Se luo kvaliteeteista kvantiteetteja ja siten saattaa kvalitatiivisella tasolla luodut käsitteet fysiikan tietorakenteen jäykän suurehierarkian piiriin. Kvantitatiivisella tasolla olioiden ominaisuuksia kuvataan suureilla ja ilmiöiden riippuvuudet muodostavat lakeja. Esikvantifioinnissa havaitut riippuvuudet täsmennetään algebrallisiksi esityksiksi. Kvantifioitua suuretta yleistetään ja täsmennetään. Lakien, myös suureiden määrittelylakien idealisointeja pyritään purkamaan ja näin käsitteet yleistyvät ja abstrahoituvat. Käsitteen kehitys jatkaa taas induktiodeduktiosykliään. Kvantitatiivisella tasolla empiirisistä lähtökohdista luodut eri käsitteet voivat käsitteenmuodostusprosessin edetessä yleistyä yhdeksi kattokäsitteeksi. Teorian taso on fysiikan tietorakenteen ylin hierarkkinen taso, jolle johtaa looginen strukturointi. Strukturoinnissa luodaan jo ymmärretyn ilmiömaailman selittävä perusmalli ja kausaalisuhteiden, jotka on havaittu jo esikvantifiointivaiheessa, täsmällinen esitys. Teoria on vain jo ymmärretyn täsmennettyä esittämistä. Teorian tasolla ilmiömaailman suureet ja lait kytketään fysiikan yleiseen tietorakenteeseen. Teoria käsittää koko ilmiömaailman selittävät peruslait ja on näin ollen suuri kokonaisuus, esim. Newtonin mekaniikka. Myös teorian tasolla on löydettävissä hierarkkista yleistymistä ja abstrahoitumista. 2.3. Suureet prosesseina Fysiikan käsitteenmuodostus tapahtuu luomalla uusia suureita, jotka liitetään aikaisemmin tunnettuun fysiikan tietorakenteeseen. Suureet ovat fysiikan tietorakenteen perusobjekteja ja lait ovat niiden välisiä relaatioita. Suure on tärkeä silta empirian ja eksaktin fysiikan tietorakenteen välillä. Aina kun mitataan, mitataan suureen arvoja. Suure ei ole vain toisten suureiden välinen algebrallinen relaatio vaan sillä on aina oma fysikaalinen merkityksensä. Uuden suureen käyttöönotto on esisijaisesti sen fysikaalisen merkityksen toteaminen. Uuden suureen määritteleminen yhdellä tyhjentävällä määrittelyllä, joka tyhjentävästi kertoo suureen merkityksen siten, että sen fysikaalinen merkitys on ymmärretty, on mahdotonta. Uuden suuren syntyprosessi etenee portaittain fysiikan käsitteellisten tasojen mukaan. Suure syntyy ensin kvalitatiivisen tason hahmona perushahmotuksessa, jossa suure, joka tässä vaiheessa on kvaliteetti, käsitteistyy kuvaamaan jonkin olion jotain ominaisuutta. Esikvantifioinnissa selvitetään tarkasteltavaan ilmiöalueeseen liittyvät riippuvuussuhteet ja syy-seuraussuhteet kvalitatiivisella tasolla. Luodaan komparatiivisia hahmoja perushahmotuksessa luotujen ominaisuuksien välille. Verrataan olion ominaisuuksien asteita. Mikä pysyy, mikä muuttuu? Jos muutetaan olion jotain ominaisuutta tai altistetaan olio erilaisiin olosuhteisiin, miten se vaikuttaa olion muihin ominaisuuksiin. Varsinainen suure syntyy kvantifioinnin kautta. Olion ominaisuutta kuvaava käsite kvantifioidaan suureeksi. Tehdään kvantifioiva koe, jossa ominaisuus esiintyy mahdollisimman pelkistettynä ja muuttumattomana, invarianttina. Kokeessa tulisi myös näkyä selkeä yhteys kvalitatiivisen tason kvaliteettiin, josta ollaan luomassa kvantiteettia. Tällaisen kokeen tekeminen vaatii yleensä tarkkaa rajausta ja ideali-

sointeja. Kvalitatiivisen tason perushahmotus ja esikvantifiointi ohjaavat näihin idealisointeihin ja pelkistyksiin. Kvantifioivan kokeen tavoitteena on todentaa suureen määrittelylaki. Tämä tapahtuu useimmin osoittamalla jo tunnettujen suureiden verrannollisuus tilanteessa, jossa kvantifioitava suure pysyy vakiona. Graafinen esitys on tärkein väline tällaisessa kvantifiointiprosessissa. Graafiseen esitykseen nojautuen on helppo todentaa kahden suureen välinen verrannollisuus, suureiden suhteen invarianssi, joka on riippumattomuutta toisen suureen arvosta. Graafisen esityksen avulla todettu verrannollisuus kirjoitetaan algebralliseen muotoon, jolloin olemme vain verrannollisuuskertoimen määrityksen päässä suureen algebrallisesta määrittelylaista. Nopeuden kvantifiointi on yksinkertainen esimerkki kvantifioivasta kokeesta. Kvantifioitaessa nopeuden käsitettä järjestetään koe, jossa kappaleeseen ei kohdistu vuorovaikutuksia kappaleen etenemissuunnassa. Tällöin on perusteltua olettaa, että kappaleen liiketila ei tässä suunnassa muutu. Esimerkkitilanteena on vaunu vaakasuoralla ilmatyynyradalla. Mitataan liikkeelle sysätyn vaunun paikkaa ajan funktiona. Toistetaan koe antamalla vaunulle erilaisia liiketiloja, siis erilaisia nopeuksia kuitenkin laitteisto silmällä pitäen järkevissä rajoissa. Kaikkien liikkeitten kuvaajat ovat suoria. Vaunun siirtymä on siis verrannollinen aikaväliin. Vaunun liiketilan ollessa suurin, siis nopeuden ollessa suurin saadaan liikkeen kuvaajaksi jyrkin suora. Näiden suorien fysikaaliset kulmakertoimet kuvaavat vaunun nopeutta, joka on kullekin liikkeelle ominainen invariantti. Riippumatta aikavälin pituudesta paikan ja ajan muutoksen suhde pysyy kussakin liikkeessä vakiona. Kun tämä verrannollisuus on todettu ja tulkittu, voidaan suureen määrittelylaki kirjoittaa nyt graafisen esityksen pohjalta algebrallisessa muodossa. Laki on kuitenkin tässä vaiheessa pätevyysalueeltaan varsin suppea. Se on voimassa vain tilanteissa, jossa suure pysyy vakiona. Toinen kvantifioivan kokeen periaate on olion ominaisuuksien vertailu, siten, että toisen olion avulla mitataan toista. Toisella oliolla tutkittava ominaisuus on esim. kaksinkertainen toiseen verrattuna. Tällöin kvantifioitavan suureen yksikön valintaan tarvitaan yksikköolio, jonka ominaisuus saa yksikköjärjestelmässä arvon yksi yksikkö. Tällöin täytyy myös osoittaa yksikköolion valinnan mielivaltaisuus. Suureen määrittelyn täytyy olla yksikköoliosta riippumaton. Missä tahansa valitussa yksikköjärjestelmässä toisen olion ominaisuuden asteen kaksinkertaisuus merkitsee myös kaksinkertaista suureen arvoa. Tyypillinen ja selvä esimerkki kahden olion ominaisuuksien vertailuun perustuvasta kvantifioinnista on hitaan massan käsitteen kvantifiointi. Kappaleiden vuorovaikuttaessa hitaamman kappaleen liiketila muuttuu vähemmän. Tämän ominaisuuden, hitauden, kvantifiointi massaksi tapahtuu törmäyskokeiden avulla. Tässä kokeessa keskeisenä idealisointina tarvitaan tilanne, jossa kappaleiden liiketilaa muuttaa vain niiden välinen kosketusvuorovaikutus. Lähimmäksi tätä tilannetta päästään tarkastelemalla liukujien törmäyksiä ilmatyynyradalla. Kvantifioinnin ensimmäinen vaihe on osoittaa, että törmäävien kappaleiden A ja B nopeuksien muutosten itseisarvojen suhde on kappaleparille ominainen vakio riippumatta törmäyksen luonteesta ja voimakkuudesta. Tämä on kappaleparille ominainen suure, joka tulkitaan kappaleen A hitauden mittaamiseksi kappaleen B hitaudella. Toisessa vaiheessa kappaleiden A ja B hitaudet mitataan kolmannen kappaleen C hitaudella. Näiden hitauksien suhde on riippumaton käytetystä yksikkökappaleesta C, joka voidaan valita mielivaltaisesti.[11 s.216][1] Kvantifioitua suuretta, joka on ensi sijassa olemassa vain invarianttina suureena määrittelylakinsa idealisointien toteutuessa, aletaan yleistämään. Kvantifioinnin vaatimista idealisoinneista ja rajauksista luopuminen ulottaa suureen merkityk- 6

7 sen yhä laajemmalle alueelle tilanteisiin, joissa se ei ole invariantti. Suureen merkitys saattaa laajentua jopa eri ilmiöalueisiin. 2.4. Hahmottava lähestymistapa Hahmottava lähestymistapa on fysiikan opetukseen kehitetty lähestymistapa joka perustuu edellä luvuissa 2.1. - 2.3. esitettyihin argumentteihin fysiikan käsitteenmuodostuksesta. Tämän lähestymistavan mukaan fysiikan opetuksen tulisi edetä yleisen fysiikan käsitteenmuodostuksen portaita pitkin empiriasta kohti teoriaa, suureiden merkityksistä kohti niiden algebrallisia lausekkeita. Lähestymistapa ohjaa oppijan tekemään omakohtaisia havaintoja ja oppimaan niiden avulla. Samalla intuition ohjaama hahmotusprosessi kasvattaa oppijaa itsenäiseen ajatteluun. [11 s. 264-265]

8 3. Käsitteelliset tavoitteet Tässä tutkimuksessa pyritään luomaan demonstraatiokokonaisuus hahmottavan lähestymistavan ideoiden mukaan niistä käsitteistä, jotka ovat lähestyttävissä mekaanisten värähtelijöiden kautta. Tähän käsitteistöön kuuluvat: Värähtelyjen kvantitatiiviseen kuvaamiseen tarvittavat käsitteet. Ominaisvärähtely ja ominaistaajuus systeemille ominaisina itsenäisinä vapausasteina. Reunaehto systeemin ominaisvärähtelyjen muodon määrääjänä. Erilaisten systeemien ominaisvärähtelyt. Käsitteenmuodostus ulotetaan myös aaltoliikkeen käsitteistöön. Jännitettyjen kielten ominaisvärähtelyt tulkitaan seisovaksi aaltoliikkeeksi. Jännitettyjen kielten avulla tulisi pystyä luomaan seuraavat käsitteet: Aaltoliikkeen vaihenopeus väliaineen tilalle ominaisena suureena. Aaltoliikkeen vaihenopeus yleistettynä dispersiorelaatioksi. Ryhmänopeus - pulssin etenemisnopeus. Käsitteenmuodostuksen apuna käytetään sähkömekaanista värähtelijää [2]. Samalla testataan sen käyttömahdollisuuksia hahmottavan lähestymistavan mukaisissa kokeissa.

9 4. Värähtelijä Kuva 3: Värähtelijä SF-9324. Joissain tämän tutkimuksen kokeissa värähtelijänä käytettiin Pascon välittämää mekaanista värähtelijää: Variable Frequency Mechanical Wave Driver, Model SF- 9324, kuva 3. [2]. Laitteen suomalaisena jälleenmyyjänä on toiminut Gammadata Finland Oy. Samaa laitetta välittää moni eri demonstraatiovälinevalmistaja, ainakin NTL (Suomen edustaja MFKA-kustannus OY) [7] ja SF (edustaja Printel OY) [15], joka on samalla laitteen todellinen tanskalainen valmistaja. Pascon välittämänä värähtelijään on lisätty jalusta, jolla se voidaan kiinnittää statiiviin myös vaakasuoraan. Laite on suunniteltu toimimaan värähtelyjen ja aaltojen lähteenä koejärjestelyissä, joissa tarvitaan värähtelyjä halutulla tarkasti määrättävissä olevalla taajuudella ja säädettävissä olevalla amplitudilla. Näillä ominaisuuksilla laitteella pitäisi olla paljon käyttöä hahmottavan lähestymistavan mukaisessa opetuksessa aina perushahmotuksesta kvantifioiviin kokeisiin. Viime vuosina raportoiduissa kokeissa laitetta on käytetty värähtelyjen lähteenä ainakin analogiademonstraatiossa yksiulotteisen hilan dynamiikasta jaksollisilla reunaehdoilla [5] ja demonstraatiossa poikittaista seisovista aalloista kielessä, jonka päät pääsevät vapaasti värähtelemään.[8] Toimintaperiaate Värähtelyjen tuottamiseen tarvitaan itse värähtelijän lisäksi signaaligeneraattori, josta ulos tulevan jännitteen taajuutta ja amplitudia voidaan säätää. Signaaligeneraattorin tulisi myös tuottaa tarvittaessa muitakin kuin sinimuotoista värähtelyä. Signaaligeneraattorissa tulisi olla vahvistimellinen ulostulo, josta saadaan käyttöön 1 A virta. Varsinaisena värähtelijänä laitteessa toimii pitkäiskuinen kaiutinelementti, joka muuntaa elementin puhekelan läpi kulkevan sähkövirran edestakaiseksi liikkeeksi. Elementti sisältää renkaan muotoisen kestomagneetin ja sen keskellä magneetin kentässä olevan kelan, jonka läpi johdetaan sähkövirtaa, kuva 4. Magneetti on kiinnitetty laitteen runkoon. Kela on kiinnitetty elementin kalvoon, johon myös laitteen värähtelevä osa, sauva on kiinnitetty.

10 magneetti puhekela kalvon ripustus Kuva 4: Yksinkertaistettu kuva värähtelijän rakenteesta. Sähkövirran kulkiessa kelan läpi siihen kohdistuu magneettinen voima, joka liikuttaa kelaa ja kalvoa sähkövirran tahdissa. Liike on vaimennettu siten, että kela ja sen mukana elementti ja sauva pääsevät liikkumaan magneetin sisällä maksimissaan 3,5 mm:n amplitudilla. Jos kelan läpi johdetaan vaihtovirtaa, kela värähtelee vaihtovirran taajuudella. Maksimiamplitudi saavutetaan valmistajan ilmoituksen mukaan 0,25 A:n tehollisella virralla. Syötetyn virran ei tarvitse olla sinimuotoista, laitteella saadaan myös tuotettua myös muun muotoisia värähtelyjä. Valmistaja ilmoittaa värähtelijän toimivan taajuuksilla 0,1 Hz - 5 khz, ja värähtelyjen amplitudin pienenenevän huomattavasti yli 100 Hz:n taajuuksilla. Valmistajan ilmoittama taajuusvaste, eli värähtelijän amplitudi taajuuden funktiona kun värähtelijään syötetyn vaihtovirran amplitudin säätö pidetään vakiona, on esitetty tummemmalla värillä kuvassa 5. Kuva 5: Valmistajan ilmoittama taajuusvaste [12 s. 116].

11 Värähtelijään kiinnitettävät systeemit liitetään värähtelijän sauvaan, jossa on laitteiden kiinnittämistä varten naaraspuolinen banaaniliitin. Värähtelijään kohdistuva kuormitus tulisi tapahtua värähdysliikkeen suunnassa. Sauvan vääntäminen sivusuunnassa voi johtaa laitteen vaurioitumiseen. [2] Mitattu taajuusvaste Taajuusvaste, värähtelijän amplitudi taajuuden funktiona kun värähtelijään syötetyn vaihtovirran amplitudin säätö pidetään vakiona määritettiin kokeellisesti. Kaavio mittausjärjestelystä on kuvassa 6. Värähtelijään syötettiin sinimuotoista vaihtojännitettä Signaali Oy:n signaaligeneraattorista malli OFG-101. Kuva 6: Kaavio taajuusvasteen mittauksen koejärjestelystä. Signaaligeneraattorin amplitudin säätö pidettiin mittausten ajan vakiona siten, että 1 Hz:n taajuudella värähtelyn amplitudi oli valmistajan ilmoittaman maksimiamplitudin (3,5 mm) suuruinen. Muutettiin vaihtojännitteen taajuutta ja värähtelijän amplitudi mitattiin katetometrillä. Värähtelyjen amplitudien mittaamiseksi katetometriin oli kiinnitetty teipillä jäykkä paperinpala. Kun värähtelijän kärki osui paperinpalaan se taipui hieman ja tapahtumasta kuului myös ääni. Alle 2 Hz:n taajuuksilla havainnoitiin lapun liikettä värähtelijän kärjen osuessa paperinpalaan. Tätä korkeammilla taajuuksilla näköhavaintoa oli vaikeampi tehdä, jolloin kuunneltiin osumasta aiheutuvaa ääntä. Mittaus suoritettiin aina laskemalla katetometrin tankoa kunnes havaittiin värähtelijän kärjen osuminen lappuun, jonka jälkeen tankoa nostettiin kunnes löytyi kohta jossa osuminen oli juuri ja juuri aistein havaittavissa. Jännitteen taajuus määritettiin matalilla taajuuksilla (alle 25 Hz) tietokoneeseen kytkettävällä Universal Laboratory Interface (ULI) - mittausjärjestelmän [16] jänniteanturilla mittaamalla syöttöjännitettä ajan funktiona. Ohjelman kursoritoiminnolla määritettiin jännitteen jaksonaika, jonka käänteisarvo on jännitteen taajuus. Korkeilla taajuuksilla (yli 25 Hz) taajuuden mittaukseen käytettiin yleismittaria TES-2730. Laitteiden keskinäinen kalibraatio varmistettiin mittaamalla kummallakin menetelmällä 25 Hz:n vaihtojännitteen taajuus. Molemmilla menetelmillä saatiin sama tulos. Värähtelyjen mitatut amplitudit taajuuden funktiona on esitetty kuvassa 7. Kuvasta nähdään, että värähtelyjen amplitudi pysyy lähes vakiona 40 Hz:n taajuuteen asti, jonka jälkeen se pienenee nopeasti. Yli 500 Hz:n taajuuksilla amplitudi on alle 0,1 mm, joten se ei ole enää mitattavissa katetometrillä.

12 Taajuus Kuva 7: Värähtelijän mitattu taajuusvaste. f / Hz Mitatusta taajuusvasteesta havaitaan värähtelijän amplitudin pienenevän jo huomattavasti 100 Hz pienemmillä taajuuksilla. Tämä täytyy mittauksia tehtäessä ottaa huomioon lisäämällä värähtelijään syötettävän signaalin amplitudia siirryttäessä korkeammille taajuuksille. Mikäli työskentely edellyttää värähtelyiltä ehdotonta vakioamplitudia, on värähtelijä käyttökelpoinen taajuusalueella 0,1 Hz - 30 Hz, jos värähtelijään syötettävän signaalin amplitudi pidetään vakiona. Valmistajan ilmoittamassa taajuusvasteessa, kuva 5, esiintyvää resonanssikohtaa ei havaittu mitatussa taajuusvasteessa. Mitattu taajuusvaste laski selvästi valmistajan ilmoittamaa matalammilla taajuuksilla. Kuvan 5 mukaan värähtelijän amplitudin pitäisi olla maksimiamplitudin suuruinen vielä 50 Hz:n taajuudella. Mittausten mukaan, kuva 6, taajuusvaste alkaa laskea jo 30 Hz:n taajuudella. Valmistajan ilmoittaman taajuusvasteen mittauksessa värähtelijän käyttöjännite on otettu eri signaaligeneraattorista, mallia PASCO PI-9587C [12 s.206]. Laitteen amplitudin muuttumista laitetta kuormitettaessa tutkittiin samanlaisella koejärjestelyllä. Värähtelijää kuormitettiin asentamalla se värisyttämään jännitettyä kieltä. Kielenä käytettiin Pascon valmistaman kielisarjan punaista kieltä [3]. Yksityiskohtaisempi kuvaus kielen kiinnityssysteemistä on luvussa 6.2.1. Kieli jännitettiin ripustamalla sen vapaaseen päähän punnuksia, joiden yhteenlaskettu massa oli 1,7 kg. Tämä järjestelyn aiheuttama kuormitus on suurimpia värähtelijään kohdistuvia kuormituksia sen normaalissa opetuskäytössä. Kieli on pituusmassaltaan toiseksi suurin ja kieltä jännittävät punnukset ovat myös suurimpia, mitä herkkäliikkeisen väkipyörän yli menevän kielen päähän voi ripustaa väkipyörän vaurioitumatta. Olosuhteiden vakioimiseksi tutkittaessa kuormituksen vaikutusta amplitudiin käytettiin samaa signaaligeneraattoria ja pidettiin jännitteen säätö samana kuin mitattaessa kuormittamattoman värähtelijän taajuusvastetta.

13 Kuvassa 8 on esitetty värähtelijän taajuusvasteet kuormittamattomana ja kuormitettuna. Kuva 8: Värähtelijän taajuusvaste kuormitettuna ja kuormittamattomana. Kuvasta 8 havaitaan kuormituksen pienentävän värähtelijän maksimiamplitudia merkittävästi. Värähtelijän amplitudi ei ole systeemissä säilyvä suure vaan riippuu värähtelijän kuormituksesta. Amplitudin maksimi pieneni vapaan värähtelijän 3,5 mm:tä 2,8 mm:iin. Vasteen muoto sen sijaan säilyy oleellisesti samanlaisena sekä kuormittamattomalla että kuormitetulla värähtelijällä. Amplitudi pysyy kuormakohtaisesti vakiona kun värähtelijän taajuus on alle 30 Hz. Kuormitetun värähtelijän amplitudi tosin pieneni alle 0,1 mm:iin jo noin 200 Hz:n taajuudella. Värähtelevä systeemi vaikutti vain vähän värähtelijän vasteen muotoon. Käytettäessä värähtelevää kieltä värähtelijän amplitudi kasvoi kielen resonanssitaajuuksilla. Tämä näkyy kuvassa 8 kohoumina 10 Hz:n - 40 Hz:n alueella. Vastetta tutkittaessa signaaligeneraattori viritettiin kielen resonanssitaajuudelle ja lähelle sitä taajuuden molemmin puolin. Tällöin havaittiin kielen perustaajuudella sekä ensimmäisellä ja toisella harmonisella kerrannaistaajuudella amplitudin kasvavan selvästi värähtelijän ollessa resonanssissa kielen kanssa. Sen sijaan kolmannella ja sitä suuremmilla harmonisilla kerrannaistaajuuksilla värähtelijän amplitudi katetometrillä mitaten pieneni vähän, yleisimmin 0,1 mm. Tämä voi johtua vasteen yleisestä laskusta tällä taajuusalueella.

14 5. Värähdysliikkeen hahmottava kokeellisuus 5.1. Värähdysliikkeen käsitteistäminen Värähdysliikkeen ilmiömaailmaan tutustuminen aloitetaan hahmottavan lähestymistavan mukaisesti liikkeen perushahmotuksesta, jossa opitaan tunnistamaan värähdysliike ja luodaan värähdysliikkeeseen kuuluvat perushahmot. Perushahmotuksen lähteinä voidaan käyttää erilaisia ympäristöstä löytyviä kimmoisia kappaleita. Kaikille värähtelyille hahmotetaan helposti luonne edestakaisena, toistuvana ja jaksollisena ilmiönä. Ilmiössä on kyse systeemin sisäisestä liikkeestä. Käsitteenmuodostus etenee kuitenkin vasta kun tutkittava tilanne osataan idealisoida mahdollisimman yksinkertaiseksi, tilanteeksi jossa värähdysliike esiintyy pelkistetyimmillään systeemin sisäisenä vapausasteena. Tähän tarkoitukseen sopiva systeemi on sopivan löysään jouseen tiukasti nippusiteellä kiinnitetty punnus. Tätä yksinkertaista systeemiä käyttäen esitetään samalla värähdysliikkeen kuvaamista varten tarvittavat käsitteet kuten tasapainoasema, amplitudi, jaksonaika ja tasapainoasemaan palauttava voima. Värähtely: Jousi ja siihen ripustettu punnus muodostavat yksinkertaisen värähtelevän systeemin. Jouseen ripustettua punnusta poikkeutetaan siten, että systeemi alkaa värähdellä. Havaitaan liikkeen olevan edestakaista liikettä systeemin tasapainoaseman molemmin puolin. Liike toistuu jaksollisena siten, että sillä on silminnähden koko ajan sama jaksonaika. Värähdysliike on siis systeemin sisäistä jaksollista liikettä tasapainoaseman molemmin puolin. Tasapainoasema: Jouseen ripustettu punnus riippuu jousen varassa paikallaan jos mikään ulkoinen häiriö ei sitä liikuta. Jos jousta poikkeutetaan tasapainoasemastaan, alkaa se värähdellä tämän tasapainoaseman molemmin puolin. Kun värähtely vaimentuu ja lopulta häviää on punnus taas tasapainoasemassaan. Tasapainoasemaan palauttava voima: Yksinkertaisen jousi-punnus-systeemin tapauksessa tasapainoasemastaan poikkeutettuun punnukseen kohdistuvien voimien (gravitaatio, jousivoima) resultantti on jousen venymisestä tai kasaan painumisesta johtuva jousivoima, joka on verrannollinen punnuksen etäisyyteen tasapainoasemasta ja suuntautuu tasapainoasemaan päin. Tämä voima kääntää aina punnuksen liikkeen tasapainoasemaa kohti ja ylläpitää värähtelyjä. Värähtelyt kuitenkin vaimenevat. Tämä johtuu mm. ilmanvastuksesta ja systeemissä tapahtuvista energiahäviöistä. Energiaa kuluu jossain määrin jousen lämpenemiseen ja enemmän värähtelyn jatkuessa liikkeeseen tulevien sivusuuntaisten heilahtelujen pyörimisen liike-energioihin.

15 Amplitudi: Jousi ja punnus saatetaan värähtelemään siten, että poikkeutettaessa punnuksen etäisyys tasapainoasemasta vaihtelee. Liike on kuitenkin aina värähtelyä. Värähtelyjen laajuus sen sijaan riippuu siitä, kuinka paljon systeemiä on poikkeutettu tasapainoasemastaan. Amplitudi on suure, joka kuvaa värähdysliikkeen laajuutta ja on systeemin suurin poikkeama tasapainoasemastaan. Jaksonaika ja taajuus: Jaksonajan ja taajuuden käsitteiden lähestymiseen tarvitaan systeemi, jolla nämä ominaisuudet pysyvät mahdollisimman hyvin vakiona. Tällainen on juuri jousen varassa riippuva punnus, joka värähtelee jousen suunnassa. Jousi-punnussysteemin avulla käsitteiden luominen tapahtuu asettamalla jouseen ripustettu punnus värähtelemään. Silmämääräisesti katsottuna yhteen värähtelyyn näyttää kuluvan aina sama aika. Tätä voidaan tutkia myös tarkemmin mittaamalla sekuntikellolla viiteen värähdykseen kulunut aika, joka toistettaessa mittausta havaitaan aina mittaustarkkuuden rajoissa samaksi. Yhteen jaksoon kulunut aika on siis viiteen jaksoon kulunut aika jaettuna viidellä. Jaksonajan samuutta voidaan vielä testata mittaamalla myös neljään, kolmeen tai kahteen jaksoon kulunut aika. Aina jaettaessa kyseinen aika jaksojen lukumäärällä saadaan yhden jakson ajaksi sama tulos. Varioimalla värähtelyn amplitudia jaksonaika ei muutu. Tässä täytyy kuitenkin varoa liian suuria amplitudeja, koska tällöin systeemiin tulee helposti häiriöitä (sivuttaisheilahtelut), jotka peittävät alleen puhtaan edestakaisen värähtelyn. 5.2. Ominaisvärähtely ja sen olemassaolon yhteys systeemin dynamiikkaan Varioimalla systeemiä, vaihtamalla punnuksen massaa tai jousta saadaan aina kullekin systeemille oma jaksonaika, joka kuitenkin vaihtelee eri jousi-punnusyhdistelmien mukaan. Voidaan sanoa jaksonajan olevan systeemille ominainen vakio riippumatta värähtelyn amplitudista. Jaksonaika siis ilmaisee kuinka kauan aikaa värähtelijältä kuluu yhteen värähdykseen. Jaksonajan käänteisarvo, taajuus ilmaisee kuinka monta värähdystä värähtelijä tekee aikayksikössä. Jos jaksonaika on systeemille ominainen niin sen käänteisarvo, vastaavaa taajuus on myös systeemille ominainen ja sitä kutsutaan systeemin ominaistaajuudeksi. Yksinkertaisella jousi-punnus-systeemillä on vain yksi ominaistaajuus. Se värähtelee aina samalla taajuudella. Tämä on yksinkertaisen värähtelevän systeemin ainoa vapausaste. Tämä värähdysliike on harmoninen värähdysliike. Tällöin värähtelyn jaksonaika on sama riippumatta värähtelyn amplitudista. Vain tällöin voidaan sanoa systeemillä olevan sille ominainen ominaistaajuus. Ominaistaajuudella tapahtuvaa värähtelyä kutsutaan systeemin ominaisvärähtelyksi. Vastakohtana edellisille rakennetaan epäharmoninen värähtelijä, jonka jaksonaika ja taajuus riippuvat värähtelyn laajuudesta. Rakenteeltaan koejärjestely on yksinkertainen. Värähtelijänä käytetään kappaletta, joka on kiinnitetty jännitetyn jousen keskikohtaan ja joka asetetaan värähtelemään siten, että värähtelyt tapahtuvat 90:n kulmassa jouseen nähden. Koejärjestely on esitetty kuvassa 9.

16 Kuva 9: Epäharmonisen värähtelijän koejärjestely. Värähtelevänä kappaleena käytettiin Pascon vaunuradan vaunua, johon oli kiinnitetty ULI-järjestelmän voima-anturi Dual range force sensor [16]. Vaunun liikettä tutkittiin ULI-järjestelmän ultraäänianturilla ja samalla mitattiin vaunuun kohdistuvaa voimaa. Vaunu kiinnitettiin voima-anturista rataan nähden 90:n kulmassa olevan löysän jousen keskikohtaan. Jousen jousivakio määritettiin erikseen itsenäisesti venyttämällä sitä eri massaisilla punnuksilla. Jousivakioksi saatiin 3,1 N/m. Kuvassa 10 on esitetty vaunun paikka ajan funktiona kun systeemi pannaan värähtelemään. t= 1,8s t = 2,0s Kuva 10: Epäharmonisen värähtelijän paikka ajan funktiona. Kuvaajasta havaitaan, että värähtelyjen amplitudin pienentyessä niiden jaksonaika pitenee. Kun amplitudi on noin 25 cm värähdyksen jaksonaika on 1,8 s. Kun amplitudi on pienentynyt alle 10 cm:n jaksonaika on 2,0 s.

17 Kuvassa 11 on esitetty vaunuun vaikuttava voima vaunun paikan funktiona. Kuva 11: Epäharmoniseen värähtelijään vaikuttava voima paikan funktiona. Voiman kuvaajasta nähdään, että se kaartuu selvästi suurilla venymillä. Vaunuun vaikuttava voima ei ole verrannollinen venymään, joten voima ei ole harmoninen. Suurilla venymillä voima on harmonisen voiman lakiin verrattuna suurempi. Tällöin systeemin jaksonaika lyhenee kun amplitudi kasvaa, kuten mittauksista havaittiin. Mahdollisia ennusteita varten voiman laki tässä kokeessa on pääteltävissä algebrallisessa muodossa teorian kautta. Oletetaan, että kokeessa käytetyn kimmoisan harmonisen jousen jousivakio on k. Vaunun ja jousen liitoskohdan ja jousen kiinnityspisteen välistä etäisyyttä merkitään a:lla. Vaunun poikkeama tasapainoasemastaan on x, kuva 12. a x l Kuva 12: Epäharmoninen värähtelijä ylhäältä päin kuvattuna.

18 Kuvan tilanteessa jousi ajatellaan kahdeksi sarjaan kytketyksi jouseksi, joiden jousivakiot ovat 2k. Kun vaunua on poikkeutettu tasapainoasemastaan matka x, kuva 12, kohdistaa yksi jousi vaunuun jousen suuntaisen, venymään verrannollisen voiman, jonka suuruus on : F 2 k( la) (1) Pythagoraan lauseen perusteella tämä muuntuu muotoon: 2 2 F 2k( x a a) (2) Yhden jousen kohdistaman voiman liikkeen suuntainen komponentti F x on suuruudeltaan: F F x 2 2 x x 2k( x a a) (3) l 2 2 x a Joka voidaan kirjoittaa lyhyemmin: a Fx 2kx( 1 ) (4) 2 2 x a Vaunuun kohdistuu liikkeen suunnassa yhtä suuri voima kummastakin jousen puolikkaasta, ja näin vaunuun kohdistuva liikkeen suuntainen kokonaisvoima F T poikkeaman x funktiona on : a FT 2Fx 4kx( 1 ) (5) 2 2 x a Tämän funktion (5) kuvaaja on kuvassa 13. Epäharmonisen värähtelijän mallinnus 1,5 1 voima F / N 0,5 0-0,5-0,25-0,20-0,15-0,10-0,05 0,00 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25-1 -1,5 paikka x / m Kuva 13: Epäharmonisen värähtelijän mallinnus. Teoreettisen päättelyn tuloksena saatu voiman lain kuvaaja, kuva 13, ei ole täysin samanlainen kuin aito mitattu voima. Kaareutumissuunta ja muoto pääpiirteittäin on kuitenkin sama. Mitattu voiman lain kuvaaja, kuva 12, sisältää monen värähdyksen aikana mitatun voiman kuvaajan. Kuvassa on havaittavissa jonkin verran hystereesiä.

19 Vaunuun kohdistuva voima ei ole verrannollinen vaunun etäisyyteen tasapainoasemastaan. Tämä laki antaa suurilla venymillä (x >>a) tuloksen, jonka mukaan voima on verrannollinen etäisyyteen. Tämä tilanne vastaisi aidosti tilannetta, jossa molemmat jousenpuolikkaat ovat venyneet ja kohdistavat vaunuun radan suuntaisen voiman joka vastaa näiden rinnan kytkettyjen jousien vaunuun kohdistamaa voimaa. Pieniä värähtelyjä tarkasteltaessa voiman laki (5) voidaan kirjoittaa muotoon: 1 F 4kx( 1 ) (6) 2 x 1 2 a Pienillä venymillä (l<<a) tätä voidaan approksimoida binomikehitelmän nojalla: F k x 3 2 2 (7) a Voima on verrannollinen venymän kolmanteen potenssiin ja on näin aidosti epäharmoninen. Edellisen perusteella systeemin ominaistaajuuden olemassaolon yhteys systeemin sisäiseen dynamiikkaan aukeaa tasapainoon palauttavan voiman kautta. Kaikilla systeemeillä, joilla on ominaisvärähtelyjä joiden taajuus on amplitudista riippumaton, toimii värähtelyjen tasapainoasemaan palauttavana voimana harmoninen voima, joka on verrannollinen systeemin osasen poikkeamaan tasapainoasemasta. Jousi-punnus-esimerkissä tämä yhteys on selvä. Jousivoiman laki on muodoltaan harmonisen voiman laki, jonka mukaan värähtelevän systeemin alkioon kohdistuva voima on verrannollinen alkion poikkeamaan tasapainoasemasta. Tämä laki tunnetaan myös Hooken lakina [6 s. 40]: F kx (8) Viimeisenä tarkastellulla systeemillä tasapainoon palauttavan voiman laki poikkesi edellisestä (8). Systeemillä ei ollut värähtelyn amplitudista riippumatonta ominaistaajuutta. Systeemin värähtelyn jaksonaika pieneni kun amplitudi suureni. Tämä tilanne vastaa voiman lakia, jonka mukaan voima ei kasva verrannollisena venymään, vaan tätä nopeammin. 5.3. Resonanssi Jousen varassa värähtelevä punnus on esimerkki erittäin yksinkertaisesta värähtelevästä kimmoisasta systeemistä. Se värähtelee aina samalla taajuudella. Tähän systeemiin kohdistetaan nyt pakkovoima erilaisilla taajuuksilla esim. riiputtamalla systeemiä kädestä jousen toisesta päästä. Pakkovärähtelyn taajuutta voidaan nyt helposti muuttaa liikuttamalla kättä eri taajuuksilla. Pakkovärähtelyn taajuutta muuttamalla havaitaan ominaistaajuutta pienemmillä pakkovärähtelyn taajuuksilla punnuksen liikkuvan samassa vaiheessa pakkovärähtelijän kanssa. Taajuutta lisäämällä havaitaan, että jousi-punnussysteemin ominaistaajuudella sen joutuvan resonanssiin pakkovärähtelijän kanssa. Sen värähtelyjen amplitudi kasvaa huomattavasti. Ominaistaajuutta suuremmilla taajuuksilla punnuksen värähtelyjen amplitudit ovat taas pieniä verrattuna resonanssissa olevan punnuksen värähtelyjen amplitudiin. Punnus

ja värähtelijä ovat toisiinsa nähden vastakkaisessa vaiheessa. Jos värähtelevään systeemiin kohdistuu jaksollinen häiriö, jonka taajuus on sama kuin systeemin ominaistaajuus, joutuu systeemi resonanssiin pakkovärähtelyn kanssa. Tällöin sen värähtelyjen amplitudi kasvaa huomattavasti. Värähtelevä systeemi ottaa vastaan energiaa ominaistaajuudellaan. Tämä on tietenkin mahdollista ainoastaan systeemille, jolla on tarkasti määrätty ominaistaajuus, joka ei riipu värähtelyjen amplitudista. Jos värähtely on epäharmonista, amplitudin kasvaessa värähtelijä ei enää vastaanota energiaa, koska se ei ole resonanssissa vakiotaajuisen pakkovärähtelijän kanssa. Käsin aiheutettu pakkovoima ei ole kaikkein havainnollisin, koska käden liike on usein varsin epämääräinen. Tätä resonanssi-ilmiötä voidaan käyttää erilaisten mekaanisten systeemien ominaisvärähtelyjen etsimiseen. Jos systeemi joutuu resonanssiin tunnetuntaajuisen pakkovoiman kohdistuessa systeemiin, tiedetään pakkovoiman taajuuden olevan systeemin ominaistaajuus. 20

21 6. Erilaisten systeemien ominaisvärähtelyjä 6.1. Jousi-punnussysteemien ominaisvärähtelyt Ensimmäinen värähtelyjen hahmottavaan lähestymiseen liittyvä demonstraatio, jossa tarvitaan tarkasti tietyllä taajuudella tuotettua värähdysliikettä on erilaisten jousi-punnussysteemien värähtelyt. Tällaisten systeemien ominaisvärähtelyjen demonstroiminen mekaanista värähtelijää hyväksi käyttäen on tärkeää. Jos systeemi saatetaan pakkovärähtelyyn käsin, ei pakkovärähtelyn taajuus pysy vakiona vaan ihminen säätää sen taajuutta aistinvaraisesti havaittavan pienen positiivisen takaisinkytkennän ansiosta. Värähtelijän synnyttämät värähtelyt ovat tarkasti tietyntaajuisia. Tällöin punnussysteemin ominaistaajuudet ovat määritettävissä hyvinkin tarkasti. Punnussysteemin käyttäytyminen ominaistaajuuden molemmin puolin ominaistaajuuden lähellä tulee myös helpommin havaittavaksi. Värähtelijä värähtelee koko ajan samalla pienellä amplitudilla. Tällöin punnusten resonanssi-ilmiö on paljon vakuuttavampi kuin käytettäessä systeemiä käsin. Resonanssissa punnusten värähtelyjen amplitudi on huomattavasti värähtelijän aiheuttaman pakkovärähtelyn amplitudia suurempi kun taas käsin aiheutetut pakkovärähtelyjen amplitudi on helposti lähes samansuuruinen punnusten värähtelyjen amplitudin kanssa. Käsin aiheutettuna tämä demonstraatio toimii kuitenkin kvalitatiivisen tason demonstraationa, jonka tavoitteena on vain osoittaa systeemin ominaisvärähtelyn muodot. Tutkitut systeemit: Käytetään ensin kahta samanmassaista punnusta (m = 50 g) ja kolmea keskenään samanlaista löysähköä jousta Tämä punnussysteemi laitetaan riippumaan pitkästä statiivista, kuva 14. Jousien ja punnusten väliset liitokset vahvistettiin ennen demonstraation toteuttamista nippusiteillä. Näin systeemi pysyy koossa vaikka värähtelyjen amplitudi kasvaisi suureksi. Värähtelijän ohjaussignaali otettiin Philip Harrisin power signal generator - signaaligeneraattorista. Tässä generaattorissa on herkempi taajuuden säätö halutulla taajuusalueella ja punnussysteemi on näin helpompi saada resonanssiin. Värähtelijän taajuuden mittaamiseksi mitattiin värähtelijään syötettävän signaalin taajuus digitaalisen muistioskilloskoopin Tektronix TDS 210 taajuudenmittaustoiminnolla. Laitteella voidaan mitata signaalin taajuus millihertsin resoluutiolla. Säädettiin värähtelijään syötettävän signaalin taajuutta. Punnussysteemi värähteli kauttaaltaan tahdissa kahdella eri taajuudella, 1,14 Hz ja 2,06 Hz. Tällöin punnussysteemin vätähtelyjen muodot olivat: 1. Molemmat punnukset liikkuvat samaan suuntaan. 2. Punnukset liikkuvat vastakkaisiin suuntiin. Kuva 14.

22 Viritettäessä havaitaan myös, että systeemin alimmainen jousi värähtelee värähtelijän kanssa samaan suuntaan kun pakkovärähtelijän taajuus on systeemin resonanssitaajuutta pienempi. Kun pakkovärähtelyn taajuus on suurempi, alimmainen jousi ja värähtelijä liikkuvat toisiinsa nähden vastakkaiseen suuntaan. Tätä ilmiötä on hyvä käyttää myös apuna värähtelijän virittämisessä systeemin ominaistaajuudelle. Virittäminen on aika hidasta, johtuen siitä, että käytetyt taajuudet ovat suuruusluokaltaan noin 1 Hz. Tällöin punnussysteemin amplitudin kasvu resonanssikohdassa on niin hidasta, että pakkovärähtelyn taajuus viritetään helposti ominaistaajuuden ohi. Koe toistetaan kolmella samanlaisella punnuksella ja neljällä samanlaisella jousella. Tällöin värähtelymoodeja on kolme erilaista: 1. Kaikki punnukset liikkuvat samaan suuntaan. 2. Ylin ja alin liikkuvat eri suuntiin, keskimmäinen on paikoillaan. 3. Ylin ja alin liikkuvat samaan suuntaan, keskimmäinen niihin nähden vastakkaiseen suuntaan. Näiden värähtelymuotojen ominaistaajuudet olivat 0,88 Hz, 1,68 Hz ja 2,27 Hz. Punnussysteemien saattaminen resonanssiin värähtelijän kanssa on huomattavasti vaikeampaa kuin käsin. Pakkovärähtelyjen täytyy olla erittäin tarkasti samantaajuisia punnussysteemin ominaistaajuuksien kanssa. Tämä tuo esiin selvästi värähtelyjen energian ja systeemin vapausasteen välisen yhteyden. Punnussysteemi vastaanottaa energiaa vain ominaistaajuuksillaan. Nämä ominaistaajuudet liittyvät kukin yhteen systeemin vapausasteeseen. Punnuksien lisääminen vaikuttaa systeemin ominaisvärähtelyjen määrään. Tästä systeemin vapausasteen mielikuva kehittyy edelleen. Kun systeemin rakenneosasten määrä lisääntyy, sen värähtelyjen vapausasteiden määrä lisääntyy. 6.2. Jännitetyn kielen ominaisvärähtelyt 6.2.1. Koelaitteisto Tutkittiin värähtelijällä aiheutettuja värähtelyjä ja poikittaista aaltoliikettä jännitetyissä kielissä. Mittauksissa värähtelijän syöttösignaali otettiin Signaali Oy:n signaaligeneraattorista mallia OFG-101. Taajuus mitattiin mittaamalla syötetyn signaalin taajuutta yleismittarilla TES-2740. Koelaitteisto koostui värähtelijän lisäksi eri pituusmassaisista kielistä, joita jännitettiin viemällä kieli pöydän reunaan kiinnitetyn väkipyörän yli ja ripustamalla tähän päähän punnus. Toinen pää kiinnitettiin tukevasti paikoilleen statiivipuristimen avulla, kuva 15. Kuva 15: Koelaitteisto jännitettyjen kielten ominaisvärähtelyjen tutkimiseksi. Puristimen käyttäminen kielen kiinnittämiseen oli hyvä ratkaisu. Tällöin kieltä pystytään tarvittaessa vaihtamaan helposti ilman ylimääräisiä solmuja. Pelkkä

23 metallikärkinen puristinleuka ei kuitenkaan sellaisenaan ollut hyvä kiinnike, koska se vahingoitti paksuimpien kielten päällä ollutta muovikerrosta. Leukoja parannettiin liimaamalla puristinleukojen kärkiin joustavat kumiset tyynyt. Tällöin leukojen ja kielen välinen kitka saatiin tarpeeksi suureksi ja kieliä ei tarvinnut puristaa niin suurella voimalla, että ne olisivat vahingoittuneet. Kielen väkipyörän puoleisen päähän ei laitettu terävää kiinnitystä, jotta kielen jännitystila olisi mahdollisimman hyvin tunnettu. Värähtelijän kytkentä värähtelevään kieleen tapahtui laitteen mukana toimitetuilla sauvan banaaniliittimeen sopivalla kappaleella, jonka päällä olevan U- muotoisen raon yli kieli kulki. 6.2.2. Kielet Kokeissa käytettiin Pascon valmistamaa kielisarjaa: Vibrating Wire Set, Model WA-9608.[3] Sarja sisältää kahdeksan erilaista kieltä, joiden pituusmassat ovat välillä 0,675 g/m - 16,08 g/m. Kielet ovat itse asiassa poikkipinta-alaltaan erilaisia sähköjohtoja. Kuusi paksuinta kieltä on päällystetty erivärillisillä muovikuorilla. Tämä helpottaa eri kielten tunnistamista. Kevyimmät päällystämättömät kielet olivat jo liiankin kevyitä ja menivät helposti sotkuun ja ylimääräisille mutkille. Tämä tekee niiden käyttämisestä käytännössä mahdotonta. Kaikkien kielten sisus on kuitenkin metallia. Tämä mahdollistaa kielen värähtelyjen tutkimisen ilman värähtelijää vaihtovirran ja magneetin avulla siten, että magneetin kohtioiden väliin asetetun kielen läpi johdetaan sinimuotoista vaihtovirtaa. Tällöin kieleen kohdistuu virtaan verrannollinen magneettinen voima. Kieli saadaan värähtelemään vaihtovirran taajuudella. Tutkittavana olleiden kielten pituusmassat määritettiin kokeellisesti punnitsemalla kielet Mettler P-1000 vaa'alla ja mittaamalla niiden pituudet rullamitalla. Kielen pituusmassa on sen massan ja pituuden suhde. m l (9) Missä on kielen pituusmassa, m on kielen massa ja l on kielen pituus. Kokeellisesti määritetyt ja valmistajan ilmoittamat pituusmassat ovat taulukossa 1. Taulukko 1: Kielten massat, pituudet ja pituusmassat. Kieli m/(g) l/(m) / (g/m) valm. / (g/m) Valkoinen 152,4 0,2 9,40 0,01 16,21 0,03 16,08 Punainen 98,7 0,2 9,30 0,01 10,61 0,02 10,32 Sininen 71,8 0,2 9,75 0,01 7,36 0,02 7,07 Vihreä 49,0 0,2 9,43 0,01 5,20 0,02 5,13 Keltainen 23,8 0,2 9,39 0,01 2,54 0,02 3,16 Musta 11,0 0,2 9,45 0,01 1,16 0,02 1,53 Metalli 0,016" 9,9 0,2 9,65 0,01 1,03 0,02 1,02 Metalli 0,013" 6,6 0,2 9,88 0,01 0,67 0,02 0,675 Kokeellisesti määritetyillä pituusmassoilla ja valmistajan ilmoittamilla ohjeellisilla pituusmassoilla oli joissain tapauksissa varsin suuri ero. Suurimmillaan se