Johdatus reaalifunktioihin 802161P, 5op Osa 2 Pekka Salmi 1. lokakuuta 2015 Pekka Salmi FUNK 1. lokakuuta 2015 1 / 55
Jatkuvuus ja raja-arvo Tavoitteet: ymmärtää raja-arvon ja jatkuvuuden määritelmät intuitiivisesti osaa laskea raja-arvoja Pekka Salmi FUNK 1. lokakuuta 2015 2 / 55
Raja-arvon epämääräinen määritelmä Funktiolla f on pisteessä x 0 raja-arvonaan luku a, jos muuttujan arvojen lähestyessä arvoa x 0 funktion f arvot lähestyvät lukua a. Lähestymisen tulee olla sellaista, että tulemalla tarpeeksi lähelle lukua x 0 saadaan funktion f arvot niin lähelle lukua a kuin suinkin halutaan. (WSOY, Pitkä matematiikka 7: Derivaatta) Pekka Salmi FUNK 1. lokakuuta 2015 3 / 55
Esimerkki a 1 x x 0 Pekka Salmi FUNK 1. lokakuuta 2015 4 / 55
Oskiloiva raja-arvo ( x sin 1 x ) 0.05 ( 1 ) lim x sin = 0 x 0 x Pekka Salmi FUNK 1. lokakuuta 2015 5 / 55
Esimerkki Tutkitaan funktion f (x) = 3x 1 käyttäytymistä pisteen x = 1 läheisyydessä. (Huomaa että f (1) = 2.) Olkoon ɛ > 0 virhetermi. Määrää ne x:n arvot joilla kun ɛ = 0,1. f (x) 2 < ɛ Pekka Salmi FUNK 1. lokakuuta 2015 6 / 55
Raja-arvon määritelmä Olkoon f reaalifunktio joka on määritelty (ainakin) joukossa ]x 0 r, x 0 + r[ \ {x 0 } jollain r > 0. Funktiolla on raja-arvo a R pisteessä x 0 mikäli kaikilla ɛ > 0 löytyy sellainen δ > 0 että f (x) a < ɛ aina kun 0 < x x 0 < δ. Toisin sanoen kun f :n arvoja tarkastellaan tarpeeksi lähellä pistettä x 0 (muttei pisteessä x 0!), niin ne kaikki saadaan mielivaltaisen lähelle lukua a. Funktion f raja-arvoa pisteessä x 0 merkitään lim f (x). x x 0 Huomaa että funktion f arvolla pisteessä x 0 ei ole mitään merkitystä raja-arvon määritelmässä, eikä funktiota f ole välttämättä edes määritelty pisteessä x 0. Pekka Salmi FUNK 1. lokakuuta 2015 7 / 55
Esimerkki 1 1 ɛ = 0.3 ɛ 1 1 x δ δ = 0.2 Pekka Salmi FUNK 1. lokakuuta 2015 8 / 55
Esimerkki, osa 2 Sama δ ei toimi kun lukua ɛ pienennetään: 1 ɛ = 0.15 ɛ 1 1 x δ δ = 0.2 Pekka Salmi FUNK 1. lokakuuta 2015 9 / 55
Esimerkki, osa 3 Luku δ voidaan kuitenkin valita vielä pienemmäksi... 1 ɛ = 0.15 ɛ 1 1 x δ δ = 0.1 Pekka Salmi FUNK 1. lokakuuta 2015 10 / 55
Laskuesimerkki Laske funktion raja-arvo pisteessä 2. f (x) = x 2 x 2 + x 6 Pekka Salmi FUNK 1. lokakuuta 2015 11 / 55
Raja-arvoa ei ole olemassa f (x) lim f (x) = 1 mutta lim f (x) = 2 x 2 x 2+ Pekka Salmi FUNK 1. lokakuuta 2015 12 / 55
Raja-arvoa ei ole olemassa 2 1 sin(1/x) Funktio ( 1 ) f (x) = sin x x 0 oskiloi voimakkaasti pisteen 0 läheisyydessä, joten raja-arvoa ei ole olemassa. ( 1 ) lim sin x 0 x Pekka Salmi FUNK 1. lokakuuta 2015 13 / 55
Raja-arvon ominaisuuksia Lemma Kaikilla a, b, x 0 R pätee lim x x0 ax + b = ax 0 + b. Lause (Raja-arvon laskusääntöjä) Olkoot f ja g funktioita joilla on raja-arvot pisteessä x 0 ja olkoon c R vakio. Tällöin 1 lim x x0 ( f (x) + g(x) ) = ( limx x0 f (x) ) + ( lim x x0 g(x) ) 2 lim x x0 cf (x) = c lim x x0 f (x) 3 lim x x0 f (x) = lim x x0 f (x) 4 lim x x0 ( f (x)g(x) ) = ( limx x0 f (x) )( lim x x0 g(x) ) 5 lim x x0 f (x) g(x) = limx x 0 f (x) lim x x0 g(x) olettaen että lim x x 0 g(x) 0. Pekka Salmi FUNK 1. lokakuuta 2015 14 / 55
Rationaalifunktioiden raja-arvot Edellä olevista laskusäännöistä ja lemmasta seuraa että polynomeille P ja Q pätee P(x) lim P(x) = P(x 0 ) ja lim x x 0 x x 0 Q(x) = P(x 0) Q(x 0 ) kun Q(x 0 ) 0. Toisin sanoen polynomi- ja rationaalifunktiot ovat jatkuvia... Esimerkki lim x 2 x + 2 x 2 + 6x + 8 = lim x 2 x + 2 (x + 2)(x + 4) = lim x 2 1 x + 4 = 1 2 Pekka Salmi FUNK 1. lokakuuta 2015 15 / 55
Funktion jatkuvuus pisteessä Olkoon f reaalifunktio, joka on määritelty ainakin joukossa ]x 0 r, x 0 + r[ jollain r > 0. Funktio f on jatkuva pisteessä x 0 mikäli f (x 0 ) = lim x x 0 f (x). Siis f on jatkuva pisteessä x 0 jos f :n arvo pisteessä x 0 on sama kuin f :n raja-arvo pisteessä x 0. Toisin sanoen f on jatkuva pisteessä x 0 mikäli kaikilla ɛ > 0 löytyy sellainen δ > 0 että f (x) f (x 0 ) < ɛ aina kun x x 0 < δ. Pekka Salmi FUNK 1. lokakuuta 2015 16 / 55
Jatkuva funktio Olkoon f : M R missä M R. Funktio f on jatkuva (kokonaisuudessaan) jos f on jatkuva jokaisessa määritysalueensa M pisteessä. Pekka Salmi FUNK 1. lokakuuta 2015 17 / 55
1/x 1 x Pekka Salmi FUNK 1. lokakuuta 2015 18 / 55
Sinin jatkuvuus Lemma Kaikilla x, y R, sin x sin y x y. Seuraus Sini on jatkuva funktio. Seuraus Kosini, tangentti ja kotangentti ovat jatkuvia funktioita. Pekka Salmi FUNK 1. lokakuuta 2015 19 / 55
Yhdistetyn funktion raja-arvo Lause Oletetaan että raja-arvo lim x x0 f (x) =: y 0 on olemassa ja että funktio g on jatkuva pisteessä y 0. Tällöin yhdistetyllä funktiolla g f on olemassa raja-arvo pisteessä x 0 ja lim (g f )(x) = g( lim f (x)) = g(y 0 ). x x 0 x x 0 Erityisesti jos f on jatkuva pisteessä x 0 ja g on jatkuva pisteessä f (x 0 ) niin g f on jatkuva pisteessä x 0. Huomautus: jos f on jatkuva, niin y 0 = f (x 0 ) ja täten g(y 0 ) = (g f )(x 0 ). Pekka Salmi FUNK 1. lokakuuta 2015 20 / 55
Alkeisfunktiot ovat jatkuvia Alkeisfunktiot ovat jatkuvia määrittelyalueellaan: polynomifunktiot rationaalifunktiot juurifunktiot trigonometriset funktiot eksponenttifunktiot logaritmifunktiot hyperboliset funktiot näiden äärelliset yhdistelmät (summat, tulot, osamäärät, yhdistetyt funktiot). Pekka Salmi FUNK 1. lokakuuta 2015 21 / 55
Alkeisfunktioiden äärelliset yhdistelmät ovat jatkuvia Esimerkki Funktio sin(x 2 ) + e x on jatkuva. Pekka Salmi FUNK 1. lokakuuta 2015 22 / 55
Puristuslause eli suppiloperiaate Seuraavan lauseen avulla voi laskea useita raja-arvoja. Lause Olkoot f, g ja h funktioita joille päätee 1 f (x) g(x) h(x) aina kun 0 < x x 0 < r 2 lim x x0 f (x) = lim x x0 h(x) =: a. Tällöin funktiolla g on raja-arvo pisteessä x 0 ja lim g(x) = a. x x 0 Pekka Salmi FUNK 1. lokakuuta 2015 23 / 55
Puristuslauseen sovellus Esimerkki Tutkitaan raja-arvoa sin x lim x 0 x. (0, 1) (0, 0) sin x x tan x Kun 0 < x < π/2, sin x < x < tan x. Pekka Salmi FUNK 1. lokakuuta 2015 24 / 55
Raja-arvo äärettömyydessä Olkoon f reaalifunktio, joka on määritelty ainakin joukossa [M, + [ jollain M R. Luku a R on funktion f raja-arvo äärettömyydessä + mikäli kaikilla ɛ > 0 löytyy sellainen R > 0 että f (x) a < ɛ aina kun x > R. Vastaavasti a R on funktion f : ], M] R raja-arvo äärettömyydessä mikäli kaikilla ɛ > 0 löytyy sellainen R < 0 että Merkitään näitä raja-arvoja ( = + ). f (x) a < ɛ aina kun x < R. lim f (x) ja lim f (x). x + x Pekka Salmi FUNK 1. lokakuuta 2015 25 / 55
Asymptoottiesimerkki Tutkitaan funktion raja-arvoja äärettömyydessä. f (x) = 2x + 1 x 1 2x+1 x 1 Pekka Salmi FUNK 1. lokakuuta 2015 26 / 55
Asymptootit Suoraa y = c kutsutaan funktion f horisontaaliseksi asymptootiksi jos lim f (x) = c tai lim f (x) = c. x x + Vastaavasti suoraa x = c kutsutaan funktion f vertikaaliseksi asymptootiksi jos lim f (x) = + tai lim f (x) = tai x c x c lim f (x) = + tai lim f (x) =. x c+ x c+ Pekka Salmi FUNK 1. lokakuuta 2015 27 / 55
Äärettömät raja-arvot Funktion f oikeanpuoleinen raja-arvo pisteessä x 0 on + mikäli kaikilla R > 0 löytyy sellainen δ > 0 että f (x) > R aina kun 0 < x x 0 < δ. Funktion f oikeanpuoleinen raja-arvo pisteessä x 0 on mikäli kaikilla R < 0 löytyy sellainen δ > 0 että Näitä merkitään f (x) < R aina kun 0 < x x 0 < δ. lim f (x) = + ja lim f (x) =. x x 0 + x x 0 + Vasemmanpuoleiset raja-arvot määritellään käyttämällä f :n arvoja x 0 :n vasemmalla puolella (eli 0 < x x 0 < δ korvataan lausekkeella 0 < x 0 x < δ). Näitä merkitään lim x x0 f (x). Pekka Salmi FUNK 1. lokakuuta 2015 28 / 55
Jatkuvien funktioiden väliarvolause Lause Olkoon f : [a, b] R jatkuva. Tällöin funktio f saa kaikki arvot, jotka ovat lukujen f (a) ja f (b) välissä. Pekka Salmi FUNK 1. lokakuuta 2015 29 / 55
Derivaatan määritelmä Olkoon f funktio joka on määritelty (ainakin) välillä ]x 0 r, x 0 + r[ jollain r > 0. Tällöin f on derivoituva pisteessä x 0 jos raja-arvo f (x 0 ) := lim x x 0 f (x) f (x 0 ) x x 0 on olemassa. Tällöin lukua f (x 0 ) kutsutaan funktion f derivaataksi pisteessä x 0. Pekka Salmi FUNK 1. lokakuuta 2015 30 / 55
Geometrinen tulkinta Erotusosamäärä f (x) f (x 0 ) x x 0 on pisteiden (x 0, f (x 0 )) ja (x, f (x)) kautta kulkevan suoran kulmakerroin. Kun x x 0, niin erotusosamäärän raja-arvona saadaan f :n kuvaajan pisteeseen (x 0, f (x 0 )) piirretyn tangentin kulmakerroin. f (3) f (1) (1, f (1)) 3 1 (3, f (3)) f (x) = 1 x Derivaatta kertoo kuvaajan jyrkkyyden kyseisessä pisteessä. Pekka Salmi FUNK 1. lokakuuta 2015 31 / 55
Fysikaalinen tulkinta Olkoon f kappaleen paikka ajanhetkellä x. Tällöin erotusosamäärä f (x) f (x 0 ) x x 0 on kappaleen keskimääräinen nopeus välillä [x 0, x] (tai [x, x 0 ] jos x 0 > x). Kun x x 0, niin erotusosamäärän raja-arvona saadaan kappaleen nopeus ajanhetkellä x 0. Pekka Salmi FUNK 1. lokakuuta 2015 32 / 55
Funktion derivaattafunktio Funktio f on derivoituva välillä ]a, b[ mikäli se on derivoituva jokaisessa pisteessä x 0 ]a, b[. Tällöin f voidaan ajatella funktioksi ]a, b[ R. Aiempi kaava voidaan kirjoittaa toiseen muotoon (asettamalla x 0 = x ja x x 0 = h): f f (x + h) f (x) (x) = lim. h 0 h Tämän kaavan hyöty on siinä, että nyt f on helpompi mieltää kuvaukseksi, jonka muuttuja on x. Pekka Salmi FUNK 1. lokakuuta 2015 33 / 55
Huomautuksia Vaihtoehtoisia merkintöjä: f (x 0 ) = (Df )(x 0 ) = df dx (x 0). Jos funktio f on derivoituva pisteessä x 0, niin f on myös jatkuva pisteessä x 0. Pekka Salmi FUNK 1. lokakuuta 2015 34 / 55
Esimerkkejä Esimerkki Laske funktion f (x) = c derivaatta (c vakio). Esimerkki Laske funktion f (x) = cx derivaatta (c vakio). Esimerkki Laske funktion f (x) = x 2 derivaatta. Pekka Salmi FUNK 1. lokakuuta 2015 35 / 55
Esimerkkejä Esimerkki Tutki funktion f (x) = x derivoituvuutta pisteessä 0. Esimerkki Tutki funktion ( 1 ) x sin kun x 0 f (x) = x 0 kun x = 0 derivoituvuutta pisteessä 0. Esimerkki Tutki funktion ( 1 ) x 2 sin kun x 0 f (x) = x 0 kun x = 0 derivoituvuutta pisteessä 0. Pekka Salmi FUNK 1. lokakuuta 2015 36 / 55
Derivaatta origossa? ( x sin 1 x ) ( x 2 sin 1 x ) Pekka Salmi FUNK 1. lokakuuta 2015 37 / 55
Derivaatan laskusääntöjä Lause Olkoot f ja g funktioita jotka ovat derivoituvia pisteessä x ja c R vakio. Tällöin 1 (f + g) (x) = f (x) + g (x) 2 (cf ) (x) = cf (x) 3 (fg) (x) = f (x)g(x) + f (x)g (x) ( f ) (x) f (x)g(x) f (x)g (x) 4 = g g(x) 2. Pekka Salmi FUNK 1. lokakuuta 2015 38 / 55
Alkeisfunktioiden derivaattoja Seuraavaan listaan on kerätty alkeisfunktioiden derivaattoja (x on muuttuja). 1 Dc = 0 kun c R on vakio (eli vakiofunktion derivaatta on 0) 2 Dx = 1 3 Dx n = nx n 1 kun n N 4 D x = 1 2 x 5 Dx r = rx r 1 kun r R (tämä kattaa edelliset säännöt) 6 De x = e x 7 D log x = 1 x 8 Da x = a x log a kun a > 0 Pekka Salmi FUNK 1. lokakuuta 2015 39 / 55
Alkeisfunktioiden derivaattoja 2 9 D sin x = cos x 10 D cos x = sin x 11 D tan x = 1 cos 2 x = 1 + tan2 x 12 D cot x = 1 sin 2 x = 1 cot2 x 13 D arcsin x = 1 1 x 2 14 D arccos x = 1 1 x 2 15 D arctan x = 1 1 + x 2 Pekka Salmi FUNK 1. lokakuuta 2015 40 / 55
Ketjusääntö Lause Olkoon f derivoituva pisteessä x 0 ja g derivoituva pisteessä f (x 0 ). Tällöin (g f )(x) = g(f (x)) on derivoituva pisteessä x 0 ja (g f ) (x 0 ) = g (f (x 0 ))f (x 0 ). Esimerkki Olkoon g(x) = sin x ja f (x) = x 2. Tällöin g f (x) = sin(x 2 ) ja (g f ) (x) = cos(x 2 ) (2x). Pekka Salmi FUNK 1. lokakuuta 2015 41 / 55
Käänteisfunktion derivaatta Lause Olkoon f jatkuvasti derivoituva (eli derivaatta f on jatkuva funktio) ja f (x 0 ) 0. Tällöin funktiolla f on olemassa derivoituva käänteisfunktio f 1 pisteen y 0 = f (x 0 ) ympäristössä ja (f 1 ) (y 0 ) = 1 f (x 0 ). Pekka Salmi FUNK 1. lokakuuta 2015 42 / 55
Arkustangentin derivaatta Esimerkki Olkoon f (x) = tan x jolloin f 1 (y) = arctan y. Kaavan mukaan D arctan y = Nyt y = f (x) = tan x joten 1 D tan x = 1 1 + tan 2 x. D arctan y = 1 1 + y 2. Pekka Salmi FUNK 1. lokakuuta 2015 43 / 55
Ääriarvot Funktiolla f : M R (M R) on maksimi kohdassa x 0 mikäli f (x) f (x 0 ) kaikilla x M. Toisaalta funktiolla f on paikallinen maksimi kohdassa x 0 mikäli on olemassa sellainen r > 0 että f (x) f (x 0 ) kaikilla x M joilla x x 0 < r. Vastaavasti f :llä on minimi kohdassa x 0 mikäli f (x) f (x 0 ) kaikilla x M ja f :llä on paikallinen minimi kohdassa x 0 mikäli on olemassa sellainen r > 0 että f (x) f (x 0 ) kaikilla x M joilla x x 0 < r. Pekka Salmi FUNK 1. lokakuuta 2015 44 / 55
Kriittiset pisteet Lause Jos funktiolla f : ]a, b[ R on paikallinen maksimi tai minimi kohdassa x 0 ]a, b[, missä f on derivoituva, niin f (x 0 ) = 0. (x/2 1) 2 + 1 Funktion f derivaatan nollakohtia kutsutaan kriittisiksi pisteiksi. Kriittinen piste voi olla joko 1 paikallinen maksimikohta 2 paikallinen minimikohta 3 satulapiste (= kriittinen piste joka ei ole paikallinen ääriarvokohta). Pekka Salmi FUNK 1. lokakuuta 2015 45 / 55
Esimerkkejä Esimerkki Etsi funktion f (x) = x 3 x 2 1 kriittiset pisteet ja tutki niiden laatu. 3 x 3 3 x 2 1 x 3 Esimerkki Funktiolla f (x) = x 3 on satulapiste kohdassa x = 0. Pekka Salmi FUNK 1. lokakuuta 2015 46 / 55
Dierentiaalilaskennan väliarvolause Lause (Väliarvolause) Olkoon f jatkuva välillä [a, b] ja derivoituva välillä ]a, b[. Tällöin on olemassa sellainen c ]a, b[, että f (b) f (a) = f (c)(b a). Tulkinta: Tarkasteluvälillä hetkellinen nopeus on jollain hetkellä sama kuin keskimääräinen nopeus. a c b Pekka Salmi FUNK 1. lokakuuta 2015 47 / 55
Seuraus Jos jollain välillä f (x) = g (x) jokaisessa pisteessä x, niin on olemassa sellainen vakio c, että f (x) = g(x) + c jokaisessa välin pisteessä x. Erityisesti jos f (x) = 0 jollain välillä, niin f on vakiofunktio kyseisellä välillä. Pekka Salmi FUNK 1. lokakuuta 2015 48 / 55
Funktion kulun tutkiminen Lause Jos f (x) > 0 jollain välillä, niin f on aidosti kasvava kyseisellä välillä. Jos taas f (x) < 0 jollain välillä, niin f on aidosti vähenevä kyseisellä välillä. Esimerkki Funktion f (x) = x 2 2x derivaatta on f (x) = x 3 3 x 2 1 f (x) = x 2 2x = x(x 2). Huomaa, että f (x) = 0 kun x {0, 2}, f (x) < 0 kun 0 < x < 2 ja muulloin f (x) > 0. f (x) = x 3 3 x 2 1 Pekka Salmi FUNK 1. lokakuuta 2015 49 / 55
Toinen derivaatta Korkeamman kertaluvun derivaatat saadaan derivoimalla derivaattafunktiota (mikäli mahdollista): f (x) = (f ) (x), f (x) = (f ) (x),... Lause Olkoon f (x 0 ) = 0. Jos f (x 0 ) > 0, niin funktion f kriittinen piste x 0 on paikallinen minimikohta. Jos taas f (x 0 ) < 0, niin x 0 on paikallinen maksimikohta. Perustelu: Olkoot f (x 0 ) = 0 ja f (x 0 ) > 0. Nyt f f (x 0 + h) f (x 0 ) f (x 0 + h) (x 0 ) = lim = lim > 0, h 0 h h 0 h joten kun h on tarpeeksi pieni niin f (x 0 + h) < 0 kun h < 0 ja f (x 0 + h) > 0 kun h > 0. Täten f on vähenevä x 0 :n vasemmalla puolella ja kasvava oikealla, joten x 0 on paikallinen minimikohta. Pekka Salmi FUNK 1. lokakuuta 2015 50 / 55
Esimerkki Esimerkki Etsi funktion kriittiset pisteet ja tutki niiden laatu. f (x) = x + 1 x 2 + 1 x+1 x 2 +1 Pekka Salmi FUNK 1. lokakuuta 2015 51 / 55
Jatkuvalla funktiolla ääriarvot suljetulla välillä Lause Suljetulla välillä [a, b] määritellyllä jatkuvalla funktiolla f : [a, b] R on ääriarvot kyseisellä välillä. Jatkuvan funktion f : [a, b] R ääriarvojen etsiminen: 1 Tutki funktion f kriittiset pisteet eli derivaatan nollakohdat. 2 Tutki välin päätepisteet a ja b. 3 Tutki pisteet, joissa f ei ole derivoituva. Pekka Salmi FUNK 1. lokakuuta 2015 52 / 55
Esimerkkejä Esimerkki Etsi funktion f (x) = x 3 x 2 1 ääriarvot välillä [ 1, 1]. 3 Esimerkki Etsi funktion f (x) = x 3 x 2 1 ääriarvot välillä [ 2, 4]. 3 x 3 3 x 2 1 Pekka Salmi FUNK 1. lokakuuta 2015 53 / 55
l'hôpitalin sääntö Tutkitaan raja-arvoa missä Jos f (x) lim x x 0 g(x) lim f (x) = lim g(x) = 0 x x 0 x x 0 f (x) lim x x 0 g (x) (tai ± ). on olemassa, niin raja-arvo ( ) on olemassa ja voidaan laskea l'hôpitalin säännöllä: f (x) lim x x 0 g(x) = lim f (x) x x 0 g (x). ( ) Pekka Salmi FUNK 1. lokakuuta 2015 54 / 55
Esimerkkejä Esimerkki Laske lim x 0 x tan x. Esimerkki Laske lim x x. x 0+ Pekka Salmi FUNK 1. lokakuuta 2015 55 / 55