5.3 Matriisin kääntäminen adjungaatilla

Samankaltaiset tiedostot
Neliömatriisin adjungaatti, L24

Aiheet. Kvadraattinen yhtälöryhmä. Kvadraattinen homogeeninen YR. Vapaa tai sidottu matriisi. Vapauden tutkiminen. Yhteenvetoa.

Lineaarialgebra II, MATH.1240 Matti laaksonen, Lassi Lilleberg

Aiheet. Kvadraattinen yhtälöryhmä. Kvadraattinen homogeeninen YR. Vapaa tai sidottu matriisi. Vapauden tutkiminen. Yhteenvetoa.

Kaksirivisen matriisin determinantille käytämme myös merkintää. a 11 a 12 a 21 a 22. = a 11a 22 a 12 a 21. (5.1) kaksirivine

9.7 Matriisinormit. Vaasan yliopiston julkaisuja 225. Ei siis lainkaan ongelmia defektiivisyydestä.

Matriisi on suorakulmainen lukukaavio. Matriiseja ovat esimerkiksi: ,, x1 x. Matriiseihin perehtyminen voidaan perustella useilla järkisyillä.

Lineaarikuvausten. Lineaarikuvaus. Lineaarikuvauksia. Ydin. Matriisin ydin. aiheita. Aiheet. Lineaarikuvaus. Lineaarikuvauksen matriisi

3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä

8 KANNAT JA ORTOGONAALISUUS. 8.1 Lineaarinen riippumattomuus. Vaasan yliopiston julkaisuja 151

Yhtälöryhmän herkkyys

Insinöörimatematiikka IA

LIITTEET Liite A Stirlingin kaavan tarkkuudesta...2. Liite B Lagrangen kertoimet...3

Tehtäviä neliöiden ei-negatiivisuudesta

3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä

Seuraavat peruslauseet 1-8 voidaan helposti todistaa integraalin määritelmästä. Integroimisjoukko R oletetaan rajoitetuksi Jordanmitalliseksi

Lineaariset kongruenssiyhtälöryhmät

Determinantti 1 / 30

Informaatiotieteiden yksikkö. Lineaarialgebra 1A. Pentti Haukkanen. Puhtaaksikirjoitus: Joona Hirvonen

Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 5 (6 sivua)

Miten osoitetaan joukot samoiksi?

4 KORKEAMMAN KERTALUVUN LINEAARISET DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT. Kertaluvun n lineaarinen differentiaaliyhtälö ns. standardimuodossa on

Determinantit. Kaksirivinen determinantti. Aiheet. Kaksirivinen determinantti. Kaksirivinen determinantti. Kolmirivinen determinantti

Koodausteoria, Kesä 2014

1 Eksponenttifunktion määritelmä

2.8. Kannanvaihto R n :ssä

A = a b B = c d. d e f. g h i determinantti on det(c) = a(ei fh) b(di fg) + c(dh eg). Matriisin determinanttia voi merkitä myös pystyviivojen avulla:

Ominaisarvo-hajoitelma ja diagonalisointi

LU-hajotelma. Esimerkki 1 Matriisi on yläkolmiomatriisi ja matriisi. on alakolmiomatriisi. 3 / 24

Informaatiotieteiden yksikkö. Lineaarialgebra 1A. Pentti Haukkanen. Puhtaaksikirjoitus: Joona Hirvonen

Informaatiotieteiden yksikkö. Lineaarialgebra 1A. Pentti Haukkanen. Puhtaaksikirjoitus: Joona Hirvonen

Matriisit, kertausta. Laskutoimitukset. Matriisikaavoja. Aiheet. Määritelmiä ja merkintöjä. Laskutoimitukset. Matriisikaavoja. Matriisin transpoosi

Ennakkotehtävän ratkaisu

7 Vapaus. 7.1 Vapauden määritelmä

Informaatiotieteiden yksikkö. Lineaarialgebra 1A. Pentti Haukkanen. Puhtaaksikirjoitus: Joona Hirvonen

Ominaisarvo ja ominaisvektori

1 Kertaus. Lineaarinen optimointitehtävä on muotoa:

Ominaisarvo ja ominaisvektori

Tehtävä 1. Voidaanko seuraavat luvut esittää kahden neliön summina? Jos voidaan, niin kuinka monella eri tavalla? (i) n = 145 (ii) n = 770.

Liittomatriisi. Liittomatriisi. Määritelmä 16 Olkoon A 2 M(n, n). Matriisin A liittomatriisi on cof A 2 M(n, n), missä. 1) i+j det A ij.

Kertausta Talousmatematiikan perusteista Toinen välikoe

Sovitaan ensin merkintätavoista. Ratkaisemme ensin yksinkertaisen yhtälöparin. 5y = 10. x = 3 x = 1

4.6 Matriisin kääntäminen rivioperaatioilla

Kannan vektorit siis virittävät aliavaruuden, ja lisäksi kanta on vapaa. Lauseesta 7.6 saadaan seuraava hyvin käyttökelpoinen tulos:

Matematiikka B2 - Avoin yliopisto

Ominaisarvot ja ominaisvektorit 140 / 170

7. Aliavaruudet. Lineaariset yhtälöryhmät

Ville Turunen: Mat Matematiikan peruskurssi P1 1. välikokeen alueen teoriatiivistelmä 2007

Matriisit, L20. Laskutoimitukset. Matriisikaavoja. Aiheet. Määritelmiä ja merkintöjä. Laskutoimitukset. Matriisikaavoja. Matriisin transpoosi

2.1.4 har:linyryhmat03. Octavella. Katso ensin esimerkit???? esim:yroctave01 Octaven antamat vastausehdotukset.

Kanta ja Kannan-vaihto

Kertausta Talousmatematiikan perusteista Toinen välikoe

Johdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 5, Ratkaise rekursioyhtälö

802118P Lineaarialgebra I (4 op)

Matriisit, L20. Laskutoimitukset. Matriisikaavoja. Aiheet. Määritelmiä ja merkintöjä. Laskutoimitukset. Matriisikaavoja. Matriisin transpoosi

Matriisien tulo. Matriisit ja lineaarinen yhtälöryhmä

Ortogonaalisen kannan etsiminen

Matemaattinen Analyysi, s2016, L2

1. (Jatkoa Harjoitus 5A tehtävään 4). Monisteen esimerkin mukaan momenttimenetelmän. n ne(y i Y (n) ) = 2E(Y 1 Y (n) ).

Matikkapaja keskiviikkoisin klo Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/81

(0 desimaalia, 2 merkitsevää numeroa).

Matriisilaskenta Luento 16: Matriisin ominaisarvot ja ominaisvektorit

HY, MTL / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIb, syksy 2018 Harjoitus 3 Ratkaisuehdotuksia.

Lineaariset yhtälöryhmät ja matriisit

Pseudoalkuluvuista ja alkulukutestauksesta

Matematiikka B2 - TUDI

MATP153 Approbatur 1B Harjoitus 1, ratkaisut Maanantai

Lineaarinen toisen kertaluvun yhtälö

Diskreetin Matematiikan Paja Ratkaisuja viikolle 4. ( ) Jeremias Berg. n(n + 1) 2. k =

Pienimmän neliösumman menetelmä (PNS)

Numeeriset menetelmät

Matriisilaskenta. Harjoitusten 3 ratkaisut (Kevät 2019) 1. Olkoot AB = ja 2. Osoitetaan, että matriisi B on matriisin A käänteismatriisi.

Käänteismatriisi 1 / 14

Lineaarikuvauksen R n R m matriisi

Lineaarialgebra, kertausta aiheita

2.2 Gaussin eliminaatio. 2.2 Gaussin eliminaatio. 2.2 Gaussin eliminaatio. 2.2 Gaussin eliminaatio

Lineaariavaruudet. Span. Sisätulo. Normi. Matriisinormit. Matriisinormit. aiheita. Aiheet. Reaalinen lineaariavaruus. Span. Sisätulo.

Käänteismatriisin. Aiheet. Käänteismatriisin ominaisuuksia. Rivioperaatiot matriisitulona. Matriisin kääntäminen rivioperaatioiden avulla

10 Matriisit ja yhtälöryhmät

5. Lineaarisen optimoinnin perusprobleemat

Kertaa tarvittaessa induktiota ja rekursiota koskevia tietoja.

Johdatus matemaattiseen päättelyyn

Pienimmän neliösumman menetelmä (PNS)

( ) k 1 = a b. b 1) Binomikertoimen määritelmän mukaan yhtälön vasen puoli kertoo kuinka monta erilaista b-osajoukkoa on a-joukolla.

dx = d dψ dx ) + eikx (ik du u + 2ike e ikx u i ike ikx u + e udx

Ominaisarvoon 4 liittyvät ominaisvektorit ovat yhtälön Ax = 4x eli yhtälöryhmän x 1 + 2x 2 + x 3 = 4x 1 3x 2 + x 3 = 4x 2 5x 2 x 3 = 4x 3.

Neliömatriisin A determinantti on luku, jota merkitään det(a) tai A. Se lasketaan seuraavasti: determinantti on

Ax, y = x, A y. A = A A hermiittinen. Jokainen reaalinen ja symmetrinen matriisi on määritelmän mukaan myös hermiittinen. A =, HARJOITUSTEHTÄVIÄ

Lineaarialgebra a, kevät 2019 Harjoitus 6 (ratkaisuja Maple-dokumenttina) > restart; with(linalg): # toteuta ihan aluksi!

Pienimmän neliösumman menetelmä (PNS)

Yhtälöryhmä matriisimuodossa. MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta. Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia. 2x1 x 2 = 1 x 1 + x 2 = 5.

Talousmatematiikan perusteet

Insinöörimatematiikka D

Matematiikan tukikurssi

Osittaistuenta Gaussin algoritmissa: Etsitään 1. sarakkeen itseisarvoltaan suurin alkio ja vaihdetaan tämä tukialkioiksi (eli ko. rivi 1. riviksi).

Ristitulolle saadaan toinen muistisääntö determinantin avulla. Vektoreiden v ja w ristitulo saadaan laskemalla determinantti

5 OMINAISARVOT JA OMINAISVEKTORIT

Lineaarialgebra a, kevät 2018 Harjoitusta 5 Maplella

Mat Lineaarinen ohjelmointi

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I, HY Kurssikoe Ratkaisuehdotus. 1. (35 pistettä)

Transkriptio:

Vaasa yliopisto julkaisuja 08 Sec:MatIvAdj 53 Matriisi käätämie adjugaatilla Määritelmä 3 -matriisi A adjugaatti o -matriisi adj(a) (α i j ), missä α i j ( ) i+ j det(a ji ) (, joka o siis alkioo a ji liittyvä kofaktori) Siis adjugaatti o kofaktorikaavio traspoosi Lause 4 () (2) Jos det(a) 0, ii adj(a)a Aadj(A) det(a)i A adj(a) Todistus: () (adj(a)a) i j α ik a k j k det(a[i : k { 0, ku i j det(a), ku i j det(a)δ i j a k j ( ) i+k det(a ki ) k a k j e k ]) det(a[i : a j ]) Siis adj(a)a det(a)i Toisaalta voimme päätellä, että adjugaati traspoosi o traspoosi adjugaatti seuraavasti: (adj(a) T ) i j adj(a) ji ( ) j+i det(a i j ) ( ) i+ j det((a T ) ji ) (adj(a T )) i j Tästä seuraa, että Aadj(A) ( adj(a) T A T ) T ( adj(a T )A T ) T ( det(a T )I ) T det(a)i (2) Seuraa välittömästi kohdasta () Esimerkki 5 Olkoo A 3 3 2 3 Silloi det(a) ( ) + 3 3 + ( )+2 3 2 3 (3 ) 3 (2 0) + (2 0) 2 + ( )+3 2 3

Vaasa yliopisto julkaisuja 09 A 3 2; A 2 2 2; A 3 2 3 2 A 2 3 2; A 22 3 3; A 23 3 3 3 A 3 3 3 0; A 32 3 2 ; A 33 3 3 2 3 3 ja A 2 + A A 2 + A 3 A 2 + A 22 A 32 + A 3 A 23 + A 33 2 2 0 2 3 2 3 3 0 5 05 5 5 Tarkistus: 3 3 2 3 0 5 05 5 5 0 5 05 5 5 3 3 2 3 0 0 0 0 0 0 0 0 Sec:Cramer 54 Crameri kaavat Edellä käydyt tarkastelut atavat yt mahdollisuude johtaa kaava myös yhtälöryhmä ratlkaisulle silloi, ku ratkaisu o yksikäsitteie Kysymys ei kuitekaa ole vai keiosta saada kaava, vaa esimerkit tuovat esii, miksi Crameri kaavat ovat korvaamato apu eräissä ogelmissa Lause 6 (Crameri kaavat) (Oletus:) Olkoo A x b, jossa muuttujia o yhtä mota kui yhtälöitä, ja yhtälöryhmä kerroimatriisi o sääöllie Auki kirjoitettua: a a 2 a x b a 2 a 22 a 2 x 2 b 2 ja det(a) 0 a a 2 a x b

Vaasa yliopisto julkaisuja 0 (Väite saallisesti:) Yhtälöryhmä k:s tutemato saadaa lausekkeesta x k D k det(a), missä D k o determiatti, joka saadaa, ku kerroimatriisi k:s sarake korvataa b:llä (eli yhtälöryhmä RHS:llä) (Väite kaavaa:) (Kaava aukikirjoitettua:) x k x k det(a[k : b]) det(a) a a (k ) b a (k+) a a 2 a 2(k ) b 2 a 2(k+) a 2 a a (k ) b a (k+) a Todistus: Lausekkeide yksikertaistamiseksi merkitsemme tämä todistukse aja matriisi A alkioo a i j liittyvää kofaktoria symbolilla c i j Koska A o sääöllie, o sillä kääteismatriisi, joka voimme lausua adjugaati avulla Siis x A b adj(a) b c c 2 c c c 2 c c c 2 c b b 2 b Ratkaisuvektori k:s koordiaatti o siis x k j j c jk b j ( ) j+k b j det(a jk ) det(a[k : b]) Esimerkki 7 Ratkaistaksemme yhtälöryhmä 2x + 9y 2z 2 7x 3y 6z 8 x + 2y + 3z,

Vaasa yliopisto julkaisuja laskemme determiatit 2 9 2 D 7 3 6 2 3 2 3 6 2 3 9 7 6 3 + ( 2) 7 3 2 5 2 9 2 D 8 3 6 2 3 2 3 6 2 3 9 8 6 3 + ( 2) 8 3 2 302 2 2 2 D 2 7 8 6 3 2 8 6 3 2 7 6 3 + ( 2) 7 8 0 2 9 2 D 3 7 3 8 2 2 3 8 2 9 7 8 + 2 7 3 2 5 Nyt x D /D 2, y D 2 /D 0 ja z D 3 /D Esimerkki 8 Seuraavaksi palaamme esimerkkii (??), esim_c2s4 joka oli jo sivulla?? esim_c2s4 Ratkaistavaa oli yhtälöryhmä x + y z 0 x αβ y 0, ty + z I 0 missä x kulutus tasapaiotilassa, y kasatulo tasapaiotilassa, z ivestoiit tasapaiotilassa, I 0 keskimääräie ivestoititaso (oletetaa vakioksi), s säästämisaste (0 s, oletetaa vakioksi), t veroaste (0 t, oletetaa vakioksi), k ivestoitie herkkyys kulutukse muutokselle, (oletetaa vakioksi) α s, β t

Vaasa yliopisto julkaisuja 2 Yhtälöryhmässä esiityy yt kirjaikertoimia, joide umeroarvot eivät ole tiedossa Silti haluamme voida ratkaista yhtälöryhmä Toisessa pivotoiissa voi tulla ogelmia, jos käytämme rivioperaatioita Crameri kaavoja käytettäessä, ei tarvitse pivotoida, vaa kaavat perustuvat determiatteihi, joide lasku o tässä tilateessa suoraviivaista Kerroimatriisi ja RHS ovat yt: A αβ 0 0 t, b 0 0 I 0 ja tarvittavat determiatit ovat: D αβ 0 (kehitetää sarakkee suhtee) 0 t +( ) αβ 0 t t + 0 αβ ( t) s( t) D 0 αβ 0 I 0 t +0 0 + I 0 αβ 0 I 0 αβ I 0 ( s)( t) (kehitetää sarakkee suhtee) D 2 0 0 0 (kehitetää 2 sarakkee suhtee) 0 I 0 I 0 0 + 0 I 0 D 3 0 αβ 0 (kehitetää 3 sarakkee suhtee) 0 t I 0 αβ I 0(αβ ) I 0 (( s)( t) ) +0 0 + I 0

Vaasa yliopisto julkaisuja 3 Siis ratkaisu o olemassa, ku s 0 ja t ja silloi tasapaiossa kulutus x D D I 0( s)( t) I 0( s) s( t) s kasatulo y D 2 D I 0 s( t) I 0 s( t) ivestoiit z D 3 D I ) 0(( s)( t) ) t I 0 ( + s( t) s( t) Sec:YRHomog 55 Homogeeiset yhtälöryhmät Tässä kappaleessa tutkitaa yhtälöryhmää, jossa o muuttujaa ja yhtälöä, ja yksi yhtälöryhmä kerroimatriisi sarake voidaa lausua muide sarakkeide lieaarikombiaatioa Voisimme toki tutkia jo tapausta, jossa yksi tai useampi sarake voidaa lausua muide lieaarikombiaatioa, mutta lykkäämme tämä tapaukse käsittely lukuu 5 Yksikertaistamalla ogelmaasettelua saamme helpommi luettava esitykse Näillä eväillä tulemme luvussa 4 laskemaa matriisie omiaisvektoreita Määritelmä 9 Yhtälöryhmä o homogeeie, jos jokaise yhtälö RHS o olla Homogeeie yhtälöryhmä o siis muotoa a x + a 2 x 2 + + a 0 a 2 x + a 22 x 2 + + a 2 0 a x + a 2 x 2 + + a 0 Homogeeisella yhtälöryhmällä o aia ratkaisu x 0, jota saomme triviaaliksi ratkaisuksi Jos yhtälöryhmä kerroimatriisi o sääöllie (det(a) 0), ii triviaali ratkaisu o aioa ratkaisu Jotta homogeeisella yhtälöryhmällä ( muuttujaa ja yhtälöä) olisi ei-triviaali ratkaisu, tulee kerroimatriisi determiati olla 0 Silloi yhtälöryhmää ei voida ratkaista