Vaasa yliopisto julkaisuja 08 Sec:MatIvAdj 53 Matriisi käätämie adjugaatilla Määritelmä 3 -matriisi A adjugaatti o -matriisi adj(a) (α i j ), missä α i j ( ) i+ j det(a ji ) (, joka o siis alkioo a ji liittyvä kofaktori) Siis adjugaatti o kofaktorikaavio traspoosi Lause 4 () (2) Jos det(a) 0, ii adj(a)a Aadj(A) det(a)i A adj(a) Todistus: () (adj(a)a) i j α ik a k j k det(a[i : k { 0, ku i j det(a), ku i j det(a)δ i j a k j ( ) i+k det(a ki ) k a k j e k ]) det(a[i : a j ]) Siis adj(a)a det(a)i Toisaalta voimme päätellä, että adjugaati traspoosi o traspoosi adjugaatti seuraavasti: (adj(a) T ) i j adj(a) ji ( ) j+i det(a i j ) ( ) i+ j det((a T ) ji ) (adj(a T )) i j Tästä seuraa, että Aadj(A) ( adj(a) T A T ) T ( adj(a T )A T ) T ( det(a T )I ) T det(a)i (2) Seuraa välittömästi kohdasta () Esimerkki 5 Olkoo A 3 3 2 3 Silloi det(a) ( ) + 3 3 + ( )+2 3 2 3 (3 ) 3 (2 0) + (2 0) 2 + ( )+3 2 3
Vaasa yliopisto julkaisuja 09 A 3 2; A 2 2 2; A 3 2 3 2 A 2 3 2; A 22 3 3; A 23 3 3 3 A 3 3 3 0; A 32 3 2 ; A 33 3 3 2 3 3 ja A 2 + A A 2 + A 3 A 2 + A 22 A 32 + A 3 A 23 + A 33 2 2 0 2 3 2 3 3 0 5 05 5 5 Tarkistus: 3 3 2 3 0 5 05 5 5 0 5 05 5 5 3 3 2 3 0 0 0 0 0 0 0 0 Sec:Cramer 54 Crameri kaavat Edellä käydyt tarkastelut atavat yt mahdollisuude johtaa kaava myös yhtälöryhmä ratlkaisulle silloi, ku ratkaisu o yksikäsitteie Kysymys ei kuitekaa ole vai keiosta saada kaava, vaa esimerkit tuovat esii, miksi Crameri kaavat ovat korvaamato apu eräissä ogelmissa Lause 6 (Crameri kaavat) (Oletus:) Olkoo A x b, jossa muuttujia o yhtä mota kui yhtälöitä, ja yhtälöryhmä kerroimatriisi o sääöllie Auki kirjoitettua: a a 2 a x b a 2 a 22 a 2 x 2 b 2 ja det(a) 0 a a 2 a x b
Vaasa yliopisto julkaisuja 0 (Väite saallisesti:) Yhtälöryhmä k:s tutemato saadaa lausekkeesta x k D k det(a), missä D k o determiatti, joka saadaa, ku kerroimatriisi k:s sarake korvataa b:llä (eli yhtälöryhmä RHS:llä) (Väite kaavaa:) (Kaava aukikirjoitettua:) x k x k det(a[k : b]) det(a) a a (k ) b a (k+) a a 2 a 2(k ) b 2 a 2(k+) a 2 a a (k ) b a (k+) a Todistus: Lausekkeide yksikertaistamiseksi merkitsemme tämä todistukse aja matriisi A alkioo a i j liittyvää kofaktoria symbolilla c i j Koska A o sääöllie, o sillä kääteismatriisi, joka voimme lausua adjugaati avulla Siis x A b adj(a) b c c 2 c c c 2 c c c 2 c b b 2 b Ratkaisuvektori k:s koordiaatti o siis x k j j c jk b j ( ) j+k b j det(a jk ) det(a[k : b]) Esimerkki 7 Ratkaistaksemme yhtälöryhmä 2x + 9y 2z 2 7x 3y 6z 8 x + 2y + 3z,
Vaasa yliopisto julkaisuja laskemme determiatit 2 9 2 D 7 3 6 2 3 2 3 6 2 3 9 7 6 3 + ( 2) 7 3 2 5 2 9 2 D 8 3 6 2 3 2 3 6 2 3 9 8 6 3 + ( 2) 8 3 2 302 2 2 2 D 2 7 8 6 3 2 8 6 3 2 7 6 3 + ( 2) 7 8 0 2 9 2 D 3 7 3 8 2 2 3 8 2 9 7 8 + 2 7 3 2 5 Nyt x D /D 2, y D 2 /D 0 ja z D 3 /D Esimerkki 8 Seuraavaksi palaamme esimerkkii (??), esim_c2s4 joka oli jo sivulla?? esim_c2s4 Ratkaistavaa oli yhtälöryhmä x + y z 0 x αβ y 0, ty + z I 0 missä x kulutus tasapaiotilassa, y kasatulo tasapaiotilassa, z ivestoiit tasapaiotilassa, I 0 keskimääräie ivestoititaso (oletetaa vakioksi), s säästämisaste (0 s, oletetaa vakioksi), t veroaste (0 t, oletetaa vakioksi), k ivestoitie herkkyys kulutukse muutokselle, (oletetaa vakioksi) α s, β t
Vaasa yliopisto julkaisuja 2 Yhtälöryhmässä esiityy yt kirjaikertoimia, joide umeroarvot eivät ole tiedossa Silti haluamme voida ratkaista yhtälöryhmä Toisessa pivotoiissa voi tulla ogelmia, jos käytämme rivioperaatioita Crameri kaavoja käytettäessä, ei tarvitse pivotoida, vaa kaavat perustuvat determiatteihi, joide lasku o tässä tilateessa suoraviivaista Kerroimatriisi ja RHS ovat yt: A αβ 0 0 t, b 0 0 I 0 ja tarvittavat determiatit ovat: D αβ 0 (kehitetää sarakkee suhtee) 0 t +( ) αβ 0 t t + 0 αβ ( t) s( t) D 0 αβ 0 I 0 t +0 0 + I 0 αβ 0 I 0 αβ I 0 ( s)( t) (kehitetää sarakkee suhtee) D 2 0 0 0 (kehitetää 2 sarakkee suhtee) 0 I 0 I 0 0 + 0 I 0 D 3 0 αβ 0 (kehitetää 3 sarakkee suhtee) 0 t I 0 αβ I 0(αβ ) I 0 (( s)( t) ) +0 0 + I 0
Vaasa yliopisto julkaisuja 3 Siis ratkaisu o olemassa, ku s 0 ja t ja silloi tasapaiossa kulutus x D D I 0( s)( t) I 0( s) s( t) s kasatulo y D 2 D I 0 s( t) I 0 s( t) ivestoiit z D 3 D I ) 0(( s)( t) ) t I 0 ( + s( t) s( t) Sec:YRHomog 55 Homogeeiset yhtälöryhmät Tässä kappaleessa tutkitaa yhtälöryhmää, jossa o muuttujaa ja yhtälöä, ja yksi yhtälöryhmä kerroimatriisi sarake voidaa lausua muide sarakkeide lieaarikombiaatioa Voisimme toki tutkia jo tapausta, jossa yksi tai useampi sarake voidaa lausua muide lieaarikombiaatioa, mutta lykkäämme tämä tapaukse käsittely lukuu 5 Yksikertaistamalla ogelmaasettelua saamme helpommi luettava esitykse Näillä eväillä tulemme luvussa 4 laskemaa matriisie omiaisvektoreita Määritelmä 9 Yhtälöryhmä o homogeeie, jos jokaise yhtälö RHS o olla Homogeeie yhtälöryhmä o siis muotoa a x + a 2 x 2 + + a 0 a 2 x + a 22 x 2 + + a 2 0 a x + a 2 x 2 + + a 0 Homogeeisella yhtälöryhmällä o aia ratkaisu x 0, jota saomme triviaaliksi ratkaisuksi Jos yhtälöryhmä kerroimatriisi o sääöllie (det(a) 0), ii triviaali ratkaisu o aioa ratkaisu Jotta homogeeisella yhtälöryhmällä ( muuttujaa ja yhtälöä) olisi ei-triviaali ratkaisu, tulee kerroimatriisi determiati olla 0 Silloi yhtälöryhmää ei voida ratkaista