Arkikielen sana vauhti (speed) tarkoittaa fysiikassa nopeuden (velocity) suuruutta (magnitude of velocity). Kun nopeus on fysiikassa vektorisuure, niin vauhti taas on vain luku skalaari johon liittyy yksikkö. Nopeuden ja vauhdin yksikkö SI-järjestelmässä on metri sekunnissa eli m/s. Voit puhua myös nopeusvektorista, joka on sama kuin nopeus. Sanojen nopeus ja vauhti välillä kannattaa tehdä ero silloin, kun mukana on vektoreita eikä muuten tiedä, kummasta puhutaan. Mainittakoon derivointitaitoisille, että kappaleen (hetkellinen) nopeus on sen paikkavektorin ensimmäinen aikaderivaatta, toisin sanoen v= d r dt. Kun vaikkapa pyöräilijä on edennyt lähtöpisteestään neljännestunnissa viiden kilometrin päähän, sanotaan, että hänen keskivauhtinsa tällä matkalla on ollut tunnissa. 5km km =20 1 4 h h eli 20 kilometriä Tuttu yksikkö kilometriä tunnissa on johdannaissuure eli se on johdettu SI järjestelmän perusyksiköstä. Muunnetaan nyt nopeus 20 kilometriä tunnissa metreiksi sekunnissa. Se tapahtuu siten, että korvataan kilometrit metreillä ja tunnit sekunneilla: 20 km h =20 1000m 3600s = 20 3,6 m s, joka on noin 5,6 metriä sekunnissa. Koska 1 km h = 1000m 3600s = 1 m 3,6 s, niin kun muunnat kilometrejä tunnissa metreiksi sekunnissa, jaa luvulla 3,6 ja kun muunnat metrejä sekunnissa kilometreiksi tunnissa, kerro luvulla 3,6. Metri sekunnissa on siis isompi yksikkö kuin kilometri tunnissa: 3,6 km/h = 1 m/s. Tähän mennessä meillä on: Keskivauhti = kuljettu matka matkaan käytetty aika eli 1(11)
Vastaavasti v= s t = v. v= s t r, missä r on nopeuden suuntainen yksikkövektori. Huomaa, että näitten yhtälöitten tarkoitus ei ole tehdä yksinkertaisesta asiasta hankalaa, vaan näyttää yksinkertaisen ja tutun asian avulla fysiikan merkintätapoja. Kun nyt v pysyy samana, liike on tasaista. Määritelmä. Kappaleen liike on tasaista, jos sen nopeusvektori ei muutu. Liike ei siis ole tasaista vaikka nopeuden suuruus pysyisi samana, mutta suunta muuttuisi. Liikkeen tasaisuuden vaatimuksena on sekä suuruuden että suunnan vakioisuus. Derivointitaitoinen huomaa, että jos liike on tasaista, niin d v dt = 0. Tapa, jolla määrittelin tasaisen liikkeen sopii kyllä hyvin yhteen sen kokemuksen kanssa, joka meillä kaikilla on liikkeestä. Liike on tosiaan tasaista silloin, kun meno ei tunnu kuoppaiselta, eikä nykivältä tai kaartelevalta. Toinen mahdollisuus määritellä tasainen vauhti on käyttää keskinopeutta. Määritelmä. Liike on tasaista, jos keskivauhti on sama riippumatta aikavälistä, jolta se lasketaan. Kappaleen rataan tai sen määritelmään ei liity mitään yllätystä: Määritelmä. Rata on kappaleen paikka ajan funktiona. Määrittelenpä vielä kappaleen levonkin tässä vaiheessa: Määritelmä. Kappale on levossa, jos liike on paitsi tasaista niin myös sen vauhti on tasan nolla. Seuraava kuva esittää sellaisen henkilön rataa, joka etenee tasaisella kuuden kilometrin vauhdilla tunnissa. Siinä aika on vaaka-akselilla ja etäisyys lähtöpaikasta on pystyakselilla. 2(11)
Kuvan suoran yhtälö on y = 6x. Sen mukaan esimerkiksi kolmen tunnin päästä ollaan 18 kilometrin etäisyydellä. Fysiikassa aikaa merkitään usein t:llä ja matkaa s:llä. Tällöin yhtälö saa muodon s = 6t tai s(t) = 6t, kun halutaan vielä erikseen mainita, että matka on ajan funktio. Henkilö siis etääntyy lähtöpaikastaan ja varsinkin vertailupisteestä. Piirretään toinen kuva, missä henkilö lähestyy samalla 6 km/h nopeudella jotain maalia alkaen 12 kilometrin etäisyydeltä ja jatkaa vielä matkaa 3 kilometriä maalin ohi ja pysähtyy sitten. Yhtälö on nyt y = 12 6x, kun 0 x 2 1 2. Tällöin 3 y 12, kuten kuvastakin näet. 3(11)
Kulmakertoinen siis sen x:n kertoimen 6 merkki on nyt miinus, koska matka lyhenee aluksi eli y koordinaatti pienenee. Vakio 12 viittaa lähtötilanteeseen. Mitä sitten tarkoittaa se, kun auton nopeusmittari tai pikemminkin vauhtimittari osaa kertoa nopeuden suuruuden heti liikkeelle lähdön jälkeen ja vieläpä koko ajan vaikka nopeus muuttuisi paljonkin? Eihän auto mittaa matkaa ja siihen käytettyä aikaa? Auton nopeusmittari mittaa hetkellistä vauhtia (instantaneous speed). Hetkellinen vauhti on oikeastaan matematiikan ideaalimaailmaan kuuluva asia, mutta tämä meidän raadollinen reaalimaailmammekin voi approksimoida sitä (katso MAA12) ajattelemalla, että tarkasteluväli lähestyy nollaa mielivaltaisen lähelle, muttei saavuta sitä. Ja kun tarkasteluväli sitten lähestyy nollaa, niin tarkkaillaan, mitä arvoa vauhti lähestyy. Se on sitten tuo hetkellinen vauhti. Jos siis merkitään hetkellistä vauhtia v:llä, niin Hetkellinen vauhti s v= lim t 0 t 4(11)
ja hetkellinen nopeus (instantaneous velocity) on vastaavasti Hetkellinen nopeus v= lim x t 0 t i y t j. Jos kolmas ulottuvuus tarvitaan, niin se tuo mukaan lisätermin z lim t 0 t k. Esimerkki 1 Tarkastellaan oheista kuvaa. Siinä on erään kappaleen rata: vaaka-akselilla on aika ja pystyakselilla on kappaleen etäisyys jostakin pisteestä, joka on valittu origoksi. Jos aika eli vaaka-akseli tulkitaan sekunteina ja pystyakseli eli matka metreinä, niin kyseessä on ilmeisesti kävelijä, joka on lähtenyt liikkeelle viiden metrin päästä origosta missä origo sitten kävelijän kannalta onkin. Hän on kulkenut ensin kolme sekuntia samalla nopeudella ja hidastaa sitten vähän. Tätä vauhdin muutoskohtaa osoittaa merensininen nuoli. Se on pisteessä aika = 3 sekuntia ja paikka = 11 metriä eli on kuljettu 11 metriä miinus 5 metriä eli 6 metriä kolmessa 5(11)
sekunnissa. Keskinopeus on tällä ensimmäisellä osuudella siten 6 m 3 s =2 m s. Matka jatkuu uudella nopeudella, joka on taas vakio, koska liikettä kuvaa jana. Jana alkaa etäisyydeltä eli y:n arvolla 11 metriä sekä ajanhetkellä x akseli 3 sekuntia. Pisteessä (6 s;14 m) eteneminen pysähtyy. Koska on siis kuljettu 14 metriä 11 metriä = 3 metriä kolmessa sekunnissa, niin keskinopeus on ollut 1 metri sekunnissa. Ajanhetkestä 6 sekuntia ajanhetkeen 15 sekuntia paikka pysyy 14:nä metrinä, joten keskinopeus tällä välillä on nolla. Hetkestä 15 sekuntia ollaan jälleen liikkeellä. Liikutaan tasaisella nopeudella hetkeen 20 sekuntia saakka, jossa kirjaaminen loppuu. Keskinopeus viimeisellä osuudella on 5 m 14 m 20 s 15 s = 9 m 5 s. Huomaa, että kun akselit tulkitaan kuten Esimerkissä 1, seuraavan kuvan tilanne on mahdoton: siinähän kuljettaisiin monta metriä ilman, että matkaan tarvitaan aikaa ja sitten aika kulkisi vielä taaksepäin! Tarkastellaan Esimerkkinä 2 autoa, joka kiihdyttää nollasta sataan suunnilleen kymmenessä sekunnissa. Seuraava kuva esittää sen etäisyyttä metreinä lähtöpaikasta ajan funktiona. 6(11)
Esimerkki 2 Merkitään aikaa kirjaimella t ja kuljettua matkaa kirjaimella s. Arvioidaan kuvan perusteella auton hetkellistä vauhtia 6 sekunnin kohdalla. Luetaan sitä varten kuvasta matka ajan arvolla 5,5 sekuntia ja 6,5 sekuntia. Ne ovat vastaavasti 25 metriä ja 38 metriä. Nopeuden arvio on täten 38m 25m v 6,5s 5,5 s =13 m s 47 km/h. Raja-arvon ideaa sovellettiin tässä niin, että luettiin kuvasta niin lyhyt väli kuin näytti mahdolliselta. Vastoin otsikkoa tämä ei ole tasaisen liikkeen esimerkki, mutta ei se varmaan haittaa. Hetkellisen nopeuden esimerkki ei ole tasaisen liikkeen tapauksessa kovin mielenkiintoinen. Kun liike on tasaista, niin kuljettu matka on suoraan verrannollinen käytettyyn aikaan eli yhtälöitten 7(11)
avulla: v= s t s=v t t= s v Huomaa, että (suoraan) verrannollisuutta merkitään usein symbolilla ~ tai. Esimerkiksi s ~ t. Näissä yhtälöissä v = nopeus, t = aika ja s = matka kunhan mikään nimittäjistä ei ole nolla. Jos tasaisesti liikkuva kappale on havaintojen alkaessa eli hetkellä t = 0 etäisyydellä s 0 mitattuna liikkeen suuntaan, saadaan yhtälö s=s 0 v t. Merkinnät ovat taas kuten edellä. Esimerkki 3 Titta käveli kesäiltapäivän kuumassa auringonpaisteessa kotoa kaverinsa luo. Matkaa oli yhteensä kahdeksan kilometriä. Hänen nopeutensa hiipui niin, että viiden kilometrin kohdalla hänen siihenastinen keskinopeutensa oli kellon ja kuljetun matkan mukaan laskettuna vain neljä kilometriä tunnissa. Silloin hän päätti Ei tule mitään! ja paiskasi painavat kenkänsä pöheikköön. Loppumatkan hän kulki keskinopeudella 6,5 kilometriä tunnissa. Mikä oli Titan toteutunut keskinopeus koko matkalla? Ratkaisu Koska Titta oli kulkenut ensimmäiset viisi kilometriä keskinopeudella 4 kilometriä tunnissa, niin hänellä oli mennyt siihen aikaa 5 km 4 km/h =75 min. Koska vauhdin petraaminen tuotti loppumatkalla tuloksen 6,5 kilometriä tunnissa, niin aikaa meni 3 km 6,5 km/h 28 min. Titan 8 km keskinopeus v koko matkalla oli siis v= 75 min 28 min 4,7 km/h 1,3 m s. Vastaus: Titan keskinopeus matkalla oli noin 1,3 metriä sekunnissa eli noin 4,7 kilometriä tunnissa. Huomaa, että käytin erottelematta molempia sanoja sekä vauhti että nopeus. Titan äskeisessä tilanteessa molemmat ovat oikein. 8(11)
Esimerkki 4 Lassi lähti kotoa polkupyörällä kotoa kirkonkylään elokuviin kello 19.00. Hän viiletti pyörällään tasaista vähän yli kahta kymppiä eli hänen nopeutensa oli paitsi vakio, niin nimenomaan 21 kilometriä tunnissa. Mutta kohtalaisen tovin päästä velipoika Leevi huomasi, että Lassi oli unohtanut leffanaposteltavat kotiin. Koska Leevi tiesi, että Lassin elokuvan katsomisesta ei tule mitään ilman naposteltavaa, hän nappasi namut mukaansa ja singahti mopolla perään kello 20.01. Hän ajoi tietenkin juuri niin kovaa kuin mopolla pääsi, eli hänen takaa-ajovauhtinsa oli 45 km/h. Koska ja kuinka kaukana kotoa Leevi saavutti Lassin? Ratkaisu Tämän voi ratkaista periaatteessa kahdellakin tavalla: kuvasta tai laskennallisesti eli analyyttisesti. Jälkimmäinen keino tuottaa tietenkin tarkan tuloksen kun taas ensimmäinen vain arvion. Kuva kannattaa silti piirtää joka tapauksessa. Kuva auttaa hahmottamaan tilannetta sekä arvioimaan, onko laskujen tuloksena saatava tulos edes mahdollinen. Ensin on laadittava yhtälöt, jotka kuvaavat veljesten paikkoja ajan funktiona. Kello voidaan laittaa raksuttamaan sitä hetkestä, jona Lassi lähti kotoa tai mistä tahansa muusta hetkestä tai paikastakin, jos niin halutaan. Koska kerran saa valita, kannattaa valita järkevästi. Valitaan nollahetkeksi Lassin lähtöhetki ja merkitään aikaa t:llä Lassin koordinaatiston mukaan. Tällöin Leevin lähtöhetki on +61 minuuttia. Perustan tämän esimerkin sille tosiseikalle, että poikien liike on tasaista toisin sanoen sille tosiseikalle, että heidän nopeusvektorinsa ei muutu ainakaan ennen kuin Leevi saavuttaa Lassin. Lassi liikkuu yhtälön s= v L a t mukaan. Voidaan sanoa, että vektorimerkinnän käyttäminen on tässä kohtaa ihan oikein, mutta toisaalta turhaa koreilua. Käytin sitä nyt kuitenkin esimerkin vuoksi jo tässä. Vektorimerkinnän käyttäminen sopii paremmin tilanteisiin, missä suhteellisia liikkeitä on enemmän. 9(11)
Lassin liikeyhtälön ilman vektorimerkintää, mutta yksiköitten kanssa on: s= 21 3,6 m s t. Jotta Lassin ja Leevin liikeyhtälöitten vertailemisessa on mieltä, on Leevin yhtälöt kirjoitettava muotoon, jossa niissä oleva aika tarkoittaa aikaa saman kellon mukaan. Koska Leevi lähti 61 minuuttia myöhemmin, sen on näyttävä yhtälössä. Tämän lisäksi kirjoitan Leevin liikeyhtälön siten, että yksikköinä ovat metri sekunnissa ja sekunti: s=v L e t 3660 = 45 3,6 m s t 3660 s. Kuten kuvastakin näet, poikien kohtaaminen on meidän yhtälöittemme kannalta sama asia kuin että Lassin ja Leevin kulkemat matkat s ovat samat. Tämä tieto antaakin minulle seuraavan yhtälön ja näytänpä sen sinullekin: 21 3,6 m 45 t= s 3,6 m s t 3660 s. 10(11)
Yhtälön ratkaisu on 6862,5 sekuntia. Kun tämä sijoitetaan liikeyhtälöihin, niin nähdään, että pojat kohtaavat 40 031,25 metrin päässä kotoa. Molemmista liikeyhtälöistä on tietysti saatava sama etäisyys. Vastaus on aina annettava järkevällä tarkkuudella. Tulokseni on, että Leevi saavutti Lassin noin 40 kilometrin päässä kotoa kello 20.54. Käytännössä ihmiset eivät aina lue kelloa edes tällä tarkkuudella. Siksi voidaan sanoa, että pojat kohtasivat 40 kilometrin päässä kotoa vähän ennen yhdeksää. Jos nollakohdaksi valittaisiin Leevin lähtöhetki, saataisiin seuraavat yhtälöt: s= 21 3,6 s= 45 3,6 m t 3660 s s m s t Vastaus: Leevi saavutti Lassin noin 40 kilometrin päässä kotoa vähän ennen yhdeksää. 11(11)