Insinöörimatematiikka D Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2014 Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Luentokalvot 3 1 of 16
Kertausta Lineaarinen riippuvuus Vektorijoukko {v 1, v 2,..., v k } on lineaarisesti riippumaton, jos vektoreiden v 1,..., v k lineaarikombinaationa voidaan nollavektori muodostaa vain ilmeisellä tavalla 0 v 1 + 0 v 2 +... + 0 v k = 0. Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Luentokalvot 3 2 of 16
Kertausta Lineaarinen riippuvuus Vektorijoukko {v 1, v 2,..., v k } on lineaarisesti riippumaton, jos vektoreiden v 1,..., v k lineaarikombinaationa voidaan nollavektori muodostaa vain ilmeisellä tavalla 0 v 1 + 0 v 2 +... + 0 v k = 0. Jos on muitakin tapoja, on joukko lineaarisesti riippuva. Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Luentokalvot 3 2 of 16
Kertausta Lineaarinen riippuvuus Vektorijoukko {v 1, v 2,..., v k } on lineaarisesti riippumaton, jos vektoreiden v 1,..., v k lineaarikombinaationa voidaan nollavektori muodostaa vain ilmeisellä tavalla 0 v 1 + 0 v 2 +... + 0 v k = 0. Jos on muitakin tapoja, on joukko lineaarisesti riippuva. Lineaarinen riippuvuus jokin joukon vektoreista voidaan esittää muiden avulla: v i = c 1 v 1 +... + c i 1 v i 1 + c i+1 v i+1 +... + c k v k Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Luentokalvot 3 2 of 16
Kertausta Lineaarinen riippuvuus Vektorijoukko {v 1, v 2,..., v k } on lineaarisesti riippumaton, jos vektoreiden v 1,..., v k lineaarikombinaationa voidaan nollavektori muodostaa vain ilmeisellä tavalla 0 v 1 + 0 v 2 +... + 0 v k = 0. Jos on muitakin tapoja, on joukko lineaarisesti riippuva. Lineaarinen riippuvuus jokin joukon vektoreista voidaan esittää muiden avulla: v i = c 1 v 1 +... + c i 1 v i 1 + c i+1 v i+1 +... + c k v k L(v 1,..., v k ) = L(v 1,..., v i 1, v i+1,..., v k ) Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Luentokalvot 3 2 of 16
Kertausta Esimerkkejä Esimerkit 21 23 Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Luentokalvot 3 3 of 16
Vektoriavaruudet Lause Olkoot v 1,..., v k R n ja A k n matriisi: A = v 1. v k. Jos A B ja niin B = u 1. u k, L(v 1,..., v k ) = L(u 1,..., u k ) Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Luentokalvot 3 4 of 16
Vektoriavaruudet Seuraus Olkoon S = {v 1,..., v k } ja A matriisi, jonka riveinä ovat nämä vektorit. Olkoon A B, missä B on redusoitu porrasmatriisi. Vektorijoukko S on lineaarisesti riippuva tarkalleen silloin kun matriisissa B on nollarivi. Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Luentokalvot 3 5 of 16
Vektoriavaruudet Seuraus Olkoon S = {v 1,..., v k } ja A matriisi, jonka riveinä ovat nämä vektorit. Olkoon A B, missä B on redusoitu porrasmatriisi. Vektorijoukko S on lineaarisesti riippuva tarkalleen silloin kun matriisissa B on nollarivi. Esimerkki 24 Olkoon S = {(1, 2, 1), ( 2, 3, 1), (4, 1, 3)}. Koska 1 2 1 2 3 1 4 1 3 on S lineaarisesti riippuva.... 1 0 5 7 0 1 1 7 0 0 0, Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Luentokalvot 3 5 of 16
Vektoriavaruudet Seuraus Olkoon S = {v 1,..., v k } ja A matriisi, jonka riveinä ovat nämä vektorit. Olkoon A B, missä B on redusoitu porrasmatriisi. Vektorijoukko S on lineaarisesti riippuva tarkalleen silloin kun matriisissa B on nollarivi. Esimerkki 24 Olkoon S = {(1, 2, 1), ( 2, 3, 1), (4, 1, 3)}. Koska 1 2 1 2 3 1 4 1 3... on S lineaarisesti riippuva. Lisäksi 1 0 5 7 0 1 1 7 0 0 0, L((1, 2, 1), ( 2, 3, 1), (4, 1, 3)) = L((1, 0, 5 7 ), (0, 1, 1 7 )). Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Luentokalvot 3 5 of 16
Vektoriavaruudet Joukko B on vektoriavaruuden V kanta, jos V = L(B). B on lineaarisesti riippumaton. Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Luentokalvot 3 6 of 16
Vektoriavaruudet Joukko B on vektoriavaruuden V kanta, jos V = L(B). B on lineaarisesti riippumaton. Jos B = {v 1,..., v k } on äärellinen, sanotaan että V on k-ulotteinen. Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Luentokalvot 3 6 of 16
Vektoriavaruudet Joukko B on vektoriavaruuden V kanta, jos V = L(B). B on lineaarisesti riippumaton. Jos B = {v 1,..., v k } on äärellinen, sanotaan että V on k-ulotteinen. Merkintä: dim(v ) = k. Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Luentokalvot 3 6 of 16
Vektoriavaruudet Joukko B on vektoriavaruuden V kanta, jos V = L(B). B on lineaarisesti riippumaton. Jos B = {v 1,..., v k } on äärellinen, sanotaan että V on k-ulotteinen. Merkintä: dim(v ) = k. Vektoriavaruuden V = {0} kannaksi sovitaan tyhjä joukko; dim({0}) = 0 Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Luentokalvot 3 6 of 16
Vektoriavaruudet Joukko B on vektoriavaruuden V kanta, jos V = L(B). B on lineaarisesti riippumaton. Jos B = {v 1,..., v k } on äärellinen, sanotaan että V on k-ulotteinen. Merkintä: dim(v ) = k. Vektoriavaruuden V = {0} kannaksi sovitaan tyhjä joukko; dim({0}) = 0 Jos vektoriavaruudella V ei ole äärellistä kantaa, sanotaan, että V on ääretönulotteinen; dim(v ) = Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Luentokalvot 3 6 of 16
Vektoriavaruudet Lause Vektoriavaruuden kaikissa kannoissa on yhtä monta vektoria. Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Luentokalvot 3 7 of 16
Vektoriavaruudet Lause Vektoriavaruuden kaikissa kannoissa on yhtä monta vektoria. Lause Jos B = {b 1,..., b n } on avaruuden V kanta, niin jokaisella x V on yksikäsitteinen esitys kantavektoreiden lineaarikombinaationa: x = x 1 b 1 +... + x n b n Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Luentokalvot 3 7 of 16
Vektoriavaruudet Lause Vektoriavaruuden kaikissa kannoissa on yhtä monta vektoria. Lause Jos B = {b 1,..., b n } on avaruuden V kanta, niin jokaisella x V on yksikäsitteinen esitys kantavektoreiden lineaarikombinaationa: Esimerkki x = x 1 b 1 +... + x n b n {e 1, e 2,..., e n } on R n :n kanta, ns. luonnollinen kanta. Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Luentokalvot 3 7 of 16
Vektoriavaruudet Olkoon x V ja B = {b 1,..., b n } on avaruuden V (reaalinen tai kompleksinen) kanta ja x = x 1 b 1 +... + x n b n. lukuja x 1,..., x n kutsutaan vektorin x koordinaateiksi kannan B suhteen. Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Luentokalvot 3 8 of 16
Vektoriavaruudet Olkoon x V ja B = {b 1,..., b n } on avaruuden V (reaalinen tai kompleksinen) kanta ja x = x 1 b 1 +... + x n b n. lukuja x 1,..., x n kutsutaan vektorin x koordinaateiksi kannan B suhteen. Vektoria x B = (x 1,..., x n ) ( R n tai C n ) sanotaan x:n koordinaattivektoriksi kannan B suhteen. Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Luentokalvot 3 8 of 16
Vektoriavaruudet Olkoon x V ja B = {b 1,..., b n } on avaruuden V (reaalinen tai kompleksinen) kanta ja x = x 1 b 1 +... + x n b n. lukuja x 1,..., x n kutsutaan vektorin x koordinaateiksi kannan B suhteen. Vektoria x B = (x 1,..., x n ) ( R n tai C n ) sanotaan x:n koordinaattivektoriksi kannan B suhteen. Esimerkkejä Esimerkit 26 31 Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Luentokalvot 3 8 of 16
Vektoriavaruudet Huomautus Jos V = L(v 1,..., v k ), mutta S = {v 1,..., v k } ei ole avaruuden V, kanta, on S välttämättä lineaarisesti riippuva. Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Luentokalvot 3 9 of 16
Vektoriavaruudet Huomautus Jos V = L(v 1,..., v k ), mutta S = {v 1,..., v k } ei ole avaruuden V, kanta, on S välttämättä lineaarisesti riippuva. Tällöin jokin vektori, esim. v k L(v 1,..., v k 1 ) ja siksi V = L(v 1,..., v k 1 ). Poistamista voidaan jatkaa, kunnes saadaan kanta. Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Luentokalvot 3 9 of 16
Vektoriavaruudet Huomautus Jos V = L(v 1,..., v k ), mutta S = {v 1,..., v k } ei ole avaruuden V, kanta, on S välttämättä lineaarisesti riippuva. Tällöin jokin vektori, esim. v k L(v 1,..., v k 1 ) ja siksi V = L(v 1,..., v k 1 ). Poistamista voidaan jatkaa, kunnes saadaan kanta. Esimerkki Esimerkki 32 Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Luentokalvot 3 9 of 16
Vektoriavaruudet Huomautus Jos V = L(v 1,..., v k ), mutta S = {v 1,..., v k } ei ole avaruuden V, kanta, on S välttämättä lineaarisesti riippuva. Tällöin jokin vektori, esim. v k L(v 1,..., v k 1 ) ja siksi V = L(v 1,..., v k 1 ). Poistamista voidaan jatkaa, kunnes saadaan kanta. Esimerkki Esimerkki 32 Lause Jos V on äärellisesti generoitu, ja U V, voidaan U:n kanta täydentää V :n kannaksi. Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Luentokalvot 3 9 of 16
Vektoriavaruudet Huomautus Jos V = L(v 1,..., v k ), mutta S = {v 1,..., v k } ei ole avaruuden V, kanta, on S välttämättä lineaarisesti riippuva. Tällöin jokin vektori, esim. v k L(v 1,..., v k 1 ) ja siksi V = L(v 1,..., v k 1 ). Poistamista voidaan jatkaa, kunnes saadaan kanta. Esimerkki Esimerkki 32 Lause Jos V on äärellisesti generoitu, ja U V, voidaan U:n kanta täydentää V :n kannaksi. Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Luentokalvot 3 9 of 16
Vektoriavaruudet Seuraus Jos U V, on dim(u) dim(v ) Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Luentokalvot 3 10 of 16
Vektoriavaruudet Seuraus Jos U V, on dim(u) dim(v ) Jos n = dim(v ), on jokainen V :n osajoukko, jossa on enemmän kuin n vektoria, lineaarisesti riippuva. Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Luentokalvot 3 10 of 16
Matriisit Matriisi A on kaavio A = A 11 A 12... A 1n A 21 A 22... A 2n...... A m1 A m2... A mn. Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Luentokalvot 3 11 of 16
Matriisit Matriisi A on kaavio A = A 11 A 12... A 1n A 21 A 22... A 2n...... A m1 A m2... A mn. Tyyppi m n: m riviä, n saraketta. Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Luentokalvot 3 11 of 16
Matriisit Matriisi A on kaavio A = A 11 A 12... A 1n A 21 A 22... A 2n...... A m1 A m2... A mn. Tyyppi m n: m riviä, n saraketta. A ij : matriisin alkiot Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Luentokalvot 3 11 of 16
Matriisit Matriisi A on kaavio A = A 11 A 12... A 1n A 21 A 22... A 2n...... A m1 A m2... A mn. Tyyppi m n: m riviä, n saraketta. A ij : matriisin alkiot A ij R: reaalinen matriisi Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Luentokalvot 3 11 of 16
Matriisit Matriisi A on kaavio A = A 11 A 12... A 1n A 21 A 22... A 2n...... A m1 A m2... A mn. Tyyppi m n: m riviä, n saraketta. A ij : matriisin alkiot A ij R: reaalinen matriisi A ij C: kompleksinen matriisi Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Luentokalvot 3 11 of 16
Matriisit 1 n-matriisia A = (A 11 A 12... A 1n ) kutsutaan vaakavektoriksi tai rivivektoriksi. Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Luentokalvot 3 12 of 16
Matriisit 1 n-matriisia A = (A 11 A 12... A 1n ) kutsutaan vaakavektoriksi tai rivivektoriksi. A 11 A 21 m 1-matriisia A = kutsutaan pystyvektoriksi tai. sarakevektoriksi. A m1 Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Luentokalvot 3 12 of 16
Matriisit 1 n-matriisia A = (A 11 A 12... A 1n ) kutsutaan vaakavektoriksi tai rivivektoriksi. A 11 A 21 m 1-matriisia A = kutsutaan pystyvektoriksi tai. sarakevektoriksi. Huomautus A m1 Sekä pysty- että vaakavektori voidaan tulkita avaruuden R n (tai C n ) alkioksi. Näissä käytetään yleensä vain yksinkertaista indeksointia. Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Luentokalvot 3 12 of 16
Matriisit Nollamatriisi O on matriisi, jonka kaikki alkiot ovat nollia Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Luentokalvot 3 13 of 16
Matriisit Nollamatriisi O on matriisi, jonka kaikki alkiot ovat nollia Neliömatriisi on matriisi, jossa rivien määrä on sama kuin sarakkeiden määrä Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Luentokalvot 3 13 of 16
Matriisit Nollamatriisi O on matriisi, jonka kaikki alkiot ovat nollia Neliömatriisi on matriisi, jossa rivien määrä on sama kuin sarakkeiden määrä Diagonaalimatriisi on neliömatriisi D, jolle pätee i j D ij = 0. Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Luentokalvot 3 13 of 16
Matriisit Nollamatriisi O on matriisi, jonka kaikki alkiot ovat nollia Neliömatriisi on matriisi, jossa rivien määrä on sama kuin sarakkeiden määrä Diagonaalimatriisi on neliömatriisi D, jolle pätee i j D ij = 0. Identiteettimatriisi I n on diagonaalimatriisi, jonka kaikki diagonaalialkiot ovat ykkösiä. Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Luentokalvot 3 13 of 16
Matriisit Nollamatriisi O on matriisi, jonka kaikki alkiot ovat nollia Neliömatriisi on matriisi, jossa rivien määrä on sama kuin sarakkeiden määrä Diagonaalimatriisi on neliömatriisi D, jolle pätee i j D ij = 0. Identiteettimatriisi I n on diagonaalimatriisi, jonka kaikki diagonaalialkiot ovat ykkösiä. Transpoosi (A T ) ij = A ji. Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Luentokalvot 3 13 of 16
Matriisit Nollamatriisi O on matriisi, jonka kaikki alkiot ovat nollia Neliömatriisi on matriisi, jossa rivien määrä on sama kuin sarakkeiden määrä Diagonaalimatriisi on neliömatriisi D, jolle pätee i j D ij = 0. Identiteettimatriisi I n on diagonaalimatriisi, jonka kaikki diagonaalialkiot ovat ykkösiä. Transpoosi (A T ) ij = A ji. Neliömatriisi A on symmetrinen, jos A T = A. Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Luentokalvot 3 13 of 16
Matriisit Nollamatriisi O on matriisi, jonka kaikki alkiot ovat nollia Neliömatriisi on matriisi, jossa rivien määrä on sama kuin sarakkeiden määrä Diagonaalimatriisi on neliömatriisi D, jolle pätee i j D ij = 0. Identiteettimatriisi I n on diagonaalimatriisi, jonka kaikki diagonaalialkiot ovat ykkösiä. Transpoosi (A T ) ij = A ji. Neliömatriisi A on symmetrinen, jos A T = A. Matriisin A:n vastamatriisi A määritellään asettamalla ( A) ij = A ij. Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Luentokalvot 3 13 of 16
Matriisit Skalaarikertolasku Jos A on m n-matriisi ja c joko kompleksi- tai reaaliluku, on ca m n-matriisi, jolle pätee (ca) ij = ca ij (kertolasku alkioittain). Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Luentokalvot 3 14 of 16
Matriisit Skalaarikertolasku Jos A on m n-matriisi ja c joko kompleksi- tai reaaliluku, on ca m n-matriisi, jolle pätee (ca) ij = ca ij (kertolasku alkioittain). Matriisien yhteenlasku Jos A on m n-matriisi ja B r s-matriisi, summa A + B määritellään vain jos m = r ja n = s. Tällöin (A + B) ij = A ij + B ij Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Luentokalvot 3 14 of 16
Matriisit Skalaarikertolasku Jos A on m n-matriisi ja c joko kompleksi- tai reaaliluku, on ca m n-matriisi, jolle pätee (ca) ij = ca ij (kertolasku alkioittain). Matriisien yhteenlasku Jos A on m n-matriisi ja B r s-matriisi, summa A + B määritellään vain jos m = r ja n = s. Tällöin (A + B) ij = A ij + B ij Huomautus m n-matriisit muodostavat vektoriavaruuden yhteenlaskun ja skalaarikertolaskun suhteen. Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Luentokalvot 3 14 of 16
Matriisit Esimerkki 33 ( ) 2 1 0 A = on 2 3-matriisi, 0 1 3 Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Luentokalvot 3 15 of 16
Matriisit Esimerkki 33 ( ) 2 1 0 A = on 2 3-matriisi, 5A = 0 1 3 ( 10 5 0 0 5 15 ) Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Luentokalvot 3 15 of 16
Matriisit Esimerkki 33 ( ) 2 1 0 A = on 2 3-matriisi, 5A = 0 1 3 Esimerkki 34 ( ) 2 1 0 A = on 2 3-matriisi ja B = 0 1 3 3 2-matriisi. Summaa A + B ei ole määritelty. ( 10 5 0 0 5 15 1 0 2 1 1 3 ) Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Luentokalvot 3 15 of 16
Matriisit Esimerkki 35 ( 2 1 0 A = 0 1 3 2 3-matriisi. ) on 2 3-matriisi ja B = ( 1 2 1 0 1 3 ) on Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Luentokalvot 3 16 of 16
Matriisit Esimerkki 35 ( ) 2 1 0 A = on 2 3-matriisi ja B = 0 1 3 2 3-matriisi. ( ) ( ) 2 1 0 1 2 1 A + B = + = 0 1 3 0 1 3 ( 1 2 1 0 1 3 ( 3 1 1 0 2 6 ) on ) Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Luentokalvot 3 16 of 16
Matriisit Esimerkki 35 ( ) 2 1 0 A = on 2 3-matriisi ja B = 0 1 3 2 3-matriisi. ( ) ( ) 2 1 0 1 2 1 A + B = + = 0 1 3 0 1 3 Esimerkki 36 ( 1 2 1 0 1 3 ( 3 1 1 0 2 6 ) on ) ( x + 3, x 1, x) = ( x, x, x) + (3, 1, 0) Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Luentokalvot 3 16 of 16
Matriisit Esimerkki 35 ( ) 2 1 0 A = on 2 3-matriisi ja B = 0 1 3 2 3-matriisi. ( ) ( ) 2 1 0 1 2 1 A + B = + = 0 1 3 0 1 3 Esimerkki 36 ( 1 2 1 0 1 3 ( 3 1 1 0 2 6 ) on ) ( x + 3, x 1, x) = ( x, x, x) + (3, 1, 0) = x( 1, 1, 1) + (3, 1, 0) Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Luentokalvot 3 16 of 16