LUKUTEORIA I. Tapani Matala-aho

LUKUTEORIA I Tapani Matala-aho 22. marraskuuta 2011

Sisältö 1 Johdanto 4 2 Merkintöjä 6 2.1 Lukujoukot.............................. 6 2.2 Sekalaisia merkintöjä......................... 6 2.3 Porrasfunktiot............................. 8 2.4 Tärkeitä kaavoja........................... 9 3 Kokonaislukurengas Z 10 3.1 Jaollisuus, alkuluvut......................... 10 3.2 Jakoalgoritmi............................. 12 3.3 Eukleideen algoritmi......................... 14 3.4 Kongruenssi.............................. 19 4 Kertomat, binomikertoimet 23 4.1 Palautuskaava, Pascalin kolmio................... 25 4.2 p-valuaatio kokonaisluvuille..................... 27 4.3 Binomisarja, Binomikehitelmä.................... 30 5 Rationaaliluvun jaollisuus (mod n) 31 5.1 Perusteita............................... 31 5.2 Wolstenholmen lause......................... 40 5.3 (p 1)! ja a p 1 (mod p 2 )....................... 45 5.4 Polynomien kongruenssi....................... 48 5.5 Sovelluksia lukujen kongruensseihin................. 50 6 Summausmenetelmiä 52 6.1 Polynomialgebran sovelluksia.................... 52 1

6.2 Teleskoopit.............................. 53 7 Fibonaccin ja Lucasin luvut 54 7.1 Rekursio ja Binet n kaava...................... 54 7.2 Matriisiesitys............................. 56 7.3 Generoiva sarja............................ 60 7.4 Laajennus negatiivisiin indekseihin................. 62 7.5 f n (mod k).............................. 65 7.6 f n (mod p)............................... 67 8 Lucasin jonot 70 8.1 Rekursio ja ratkaisu yritteellä.................... 70 9 Bernoullin luvut 74 9.1 Generoiva funktio ja sarja...................... 74 9.2 Palautuskaava............................. 76 9.3 Potenssisummia............................ 77 10 p-valuaatio 80 11 Bernoullin lukujen jaollisuudesta 83 12 Antiikin lukuja 89 12.1 Kolmio- neliö- ja tetraedriluvut................... 89 12.2 Pythagoraan luvut.......................... 89 12.3 Heronin luvut............................. 92 13 Irrationaaliluvuista 92 14 Ketjumurtoluvut 95 2

15 Työkaluja 99 15.1 Hieman polynomialgebraa...................... 99 15.2 Lisää polynomialgebraa........................ 102 15.2.1 Symmetriset peruspolynomit................. 102 15.3 Formaaleista potenssisarjoista.................... 104 16 Osamääräkunta 110 3

Luennot: Ti 14 16 BF119, To 14 16 BK122 1. Luento Ti 25.10.2011 klo 14 16 sali BF119. 1. Välikoe: Ma 28.11.2011 klo 14 18 salissa L6. 1. Välikokeen alue: Luvut 1 6 ja laskarit 1 4. HUOM: Teleskoopit ja Luvun 6 asiat siirtyvät 2. välikokeeseen. 2. Välikoe: 9.1.2012. KORJAUKSIA JA MUUTOKSIA: Seuraus 4 korjattu. Seuraus 4 lisäys kaavaan (3.44) 9.11.2011. Esimerkki 11 korjattu 9.11.2011. Kaavaan (4.46) tehty muutos 7.11.2011. Kaavaan (4.65) tehty muutos 7.11.2011. Luvun 5 alkuun on tehty useita muutoksia 7.11.2011. HUOM: Kappaleiden 5.4, 5.5, 6.1, 6.2 numerointi on korjattu 16.11.2011. Kappale 2.4 lisätty 16.11.2011 (16:00) 4

LUKUTEORIA, NUMBER THEORY, THÉORIE DES NOMBRES 802328A Lukuteorian perusteet (5 op) [=Aikaisempi Lukuteoria I (5op)] Luennoilla tarkastelemme matematiikan ja erityisesti lukuteorian tutkimuksessa usein esiintyvien lukujen aritmeettisia ominaisuuksia sekä aiheeseen liittyviä menetelmiä. Tutkittavia lukuja ovat esimerkiksi binomikertoimet, ketjumurtoluvut, potenssisummat sekä eräät matemaatikkojen Bernoulli, Fibonacci, Heron, Lucas, Neper, Pythagoras, Wilson ja Wolstenholme mukaan nimitetyt luvut. Sovellettavista työkaluista mainittakoon generoivat sarjat, irrationaalisuustarkastelut, matriisiesitykset, rationaalilukujen ja polynomien kongruenssit, rekursiot ja teleskoopit. 5

1 Johdanto Lukuteoria eli aritmetiikka tutkii erityisesti kokonaislukuihin liittyviä kysymyksiä. Aritmetiikan määritelmästä: Ensinnäkin, alkeisaritmetiikka eli alkeismatematiikka voidaan käsittää kokonaislukujen ja niiden laskutoimitusten-yhteenlasku, vähennyslasku, kertolasku ja jakolasku-muodostamaksi järjestelmäksi. Esimerkiksi korttipeli voidaan ajatella matemaattiseksi järjestelmäksi, jossa lukuja vastaavat kortit ja laskutoimituksia pelin säännöt. Toisaalta aritmetiikka laajasti katsottuna sisältää myös tutkimukselliset kysymykset ja niiden tarkasteluun kehitetyt työkalut. Tällöin termit lukuteoria ja aritmetiikka samaistetaan-kuten voi nähdä alan päälehtien Acta Arithmetica ja Journal of Number Theory nimistä. 6

LÄHTEITÄ: G.H. Hardy E.M. Wright: An Introduction to the Theory of Numbers. Kenneth H. Rosen: Elementary number theory and its applications. Number Theory Web American Mathematical Monthly 7

2 Merkintöjä 2.1 Lukujoukot N = {0, 1, 2,..., GOOGOL 10,...} = {ei-negatiiviset kokonaisluvut}. P = {2, 3, 5, 7, 11,...} = {alkuluvut}. Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2,...} = {kokonaisluvut}. Z + = {1, 2, 3,...} = N {0} = {positiiviset kokonaisluvut}. Z = { 1, 2, 3,...} = Z N = {negatiiviset kokonaisluvut}. Q = { m n m Z, n Z+ } = {rationaaliluvut}. R = {x x = k=l a k10 k, l Z; a k {0,..., 9}} = {reaaliluvut }. C = R(i) = {a + ib a, b R, i 2 = 1} = { kompleksiluvut} C Q = { Irrationaaliluvut }. Z m = {k Z k m}. R 0 = {r R r 0},... Q = Q {0}, R = R {0}, C = C {0}, 2.2 Sekalaisia merkintöjä Olkoot a, b lukuja sekä A, J lukujoukkoja: aj + b = {aj + b j J} a J = {a j j J} A J = {a j a A, j J} ESIM: J = Z, b Z, n Z +, tällöin merkitään b = nz + b, 8

joka on jakojäännösluokka (mod n) ja Z/nZ = {b b {0, 1,..., n 1}}, joka on jakojäännösrengas (mod n).! täsmälleen yksi. A B A B ja A = B. #A = A = Joukon A alkioiden lukumäärä. Olkoon A = {a 1,..., a m }, tällöin f(a) = f(a 1 ) +... + f(a m ), a A f(a) = f(a 1 ) f(a m ). a A Jos A =, niin f(a) = 0, f(a) = 1 a A a A (tyhjä summa ja tulo). Edelleen "Summaus n. tekijöiden yli" f(d) = f(d 1 ) +... + f(d k ), d n missä d i Z + ovat n:n erilliset tekijät. "Summaus n. alkutekijöiden yli" f(p) = f(p). p n p n,p P "Tulo n. alkutekijöiden yli" f(p) = f(p). p n p n,p P 9

2.3 Porrasfunktiot Määritelmä 2.1. Lattiafunktio (eli porrasfunktio) : R Z saadaan asettamalla x = [x] = max{n Z n x} aina, kun x R. Esimerkki 1. Jos x R 0, niin tällöin x on x:n kokonaisosa, mutta esimerkiksi 1.2 = 2. Määritelmä 2.2. Kattofunktio : R Z saadaan asettamalla x = min{n Z x n} aina, kun x R. Apulause. Olkoon x R muotoa x = k + c, k Z, 0 c < 1. (2.1) Tällöin Edelleen k = x. (2.2) x = x x R, (2.3) x x < x + 1 x R (2.4) 10

x + k = x + k x R, k Z, (2.5) x + y x + y x, y R, (2.6) Merkintä: Luvun x R desimaaliosa x y xy x, y R 0. (2.7) {x} = x x. (2.8) Esimerkki 2. 0 {x} < 1. (2.9) 2.4 Tärkeitä kaavoja n k = n(n + 1) ; (2.10) 2 n n a k = an+1 1, a = 1; (2.11) a 1 ( ) n t k = (1 + t) n, n N. (2.12) k 11

3 Kokonaislukurengas Z 3.1 Jaollisuus, alkuluvut Määritelmä 3.1. Olkoot a, b Z. Tällöin b a c Z : a = bc. (3.1) Kun b a, niin b jakaa (divides) a:n eli b on a:n tekijä (factor) eli a on b:n monikerta (multiple). Merkitään: b a, kun b ei jaa a:ta. Asetetaan "aksiomi": Jos b 1, niin b = ±1. (3.2) 3.2 Voidaan todistaa itseisarvon ja järjestyksen ominaisuuksilla. Esimerkki 3. 0 0, 0 a = 0. (3.3) Merkintöjä: Olkoot d, n Z, d 2, tällöin d s n d s n ja d s+1 n, s N. (3.4) Olkoon k Z, tällöin kz = {ka a Z} = (3.5) k:lla jaollisten kokonaislukujen joukko eli k:n monikerrat. Esimerkki 4. 3 4 162, 1Z = Z, 0Z = {0}. (3.6) Määritelmä 3.2. Olkoon q Z annettu ja olkoon d q, d Z. Jos d {1, 1, q, q}, niin d on luvun q triviaali tekijä. Jos d / {1, 1, q, q}, niin d on luvun q aito tekijä. 12

Määritelmä 3.3. Luku q Z on jaoton (irreducible) Jos d q, niin d = ±1 tai d = ±q. Siten jaottomalla kokonaisluvulla q on vain triviaalit tekijät 1, 1, q, q. Määritelmä 3.4. Luku p Z, p 2 on alkuluku (prime) Jos d p, niin d = ±1 tai d = ±p. Merkintä: Alkulukujen joukko P = {p p on alkuluku}. Siten p P p on jaoton ja p 2, joten P = {p 2, 3, 5, 7, 11,..., 101,...}. Alkutekijä=alkulukutekijä=(prime factor). Määritelmä 3.5. Luku n Z, on yhdistetty (composite) luku n:llä on ainakin 2 alkutekijää. Esimerkki 5. 4 on yhdistetty. 0 on yhdistetty. 3 ei ole yhdistetty eikä alkuluku mutta on jaoton. Määritelmä 3.6. Luvun n Z 2 esitys n = p r 1 1 p rt t, p i P, r i Z + (3.7) on luvun n luonnollinen alkulukuesitys, alkutekijäesitys (kanoninen alkutekijähajotelma, prime factorization). Jos, m/n Q, niin Esimerkki 6. m n = pr 0 0 p r 1 1 p rt t, p i P, p 0 = 1 r i Z. (3.8) 1 = ( 1) 1 2 0 3 0, 40 128 = 23 5 2 = 7 2 4 5 1 (3.9) 13

3.2 Jakoalgoritmi Lause 3.1. Olkoot a, b Z ja b = 0. Tällöin! q Z ja! r N : a = qb + r, 0 r < b. (3.10) Kun b Z +, niin q = a b. (3.11) Esimerkki 7. b = 3, a = 13 = ( 5) 3 + 2, q = 5, r = 2, a = 5 (3.12) b a = 13 = 4 3 + 1, q = 4, r = 1, a = 4 (3.13) b Määritelmä 3.7. Jaettaessa luku a luvulla b, on jakoalgoritmista saatu luku r jakojäännös (remainder) ja osamäärän (quotient) a/b kokonaisosa (integral part) on luku q, kun a/b 0 ja b 1. Määritelmä 3.8. Olkoot a, b Z annettu. Tällöin luku d N on lukujen a ja b suurin yhteinen tekijä (greatest common divisor) eli d =syt(a, b) = (a, b) mikäli a) d a ja d b; b) c a ja c b c d. Jos (a, b) = 1, niin sanotaan, että a ja b ovat keskenään jaottomia (relatively prime) ja merkitään a b. 14

Esimerkki 8. a) 23 32 (23, 32) = 1 (3.14) b) (0, a) = a a Z, (3.15) erityisesti (0, 0) = 0. (3.16) HUOM: Usein esiintyy myös määritelmä, jossa vaaditaan, että d Z +, jolloin (0, 0) (Muutoin saadaan samat tulokset). Määritelmä 3.9. Olkoot a, b Z annettu. Tällöin luku f N on lukujen a ja b pienin yhteinen jaettava (least common multiple) eli f =pyj[a, b] = [a, b] mikäli a) a f ja b f; b) a g ja b g f g. Esimerkki 9. Lause 3.2. Olkoot [0, 0] = 0 (3.17) a = m i=1 p r i i, b = m i=1 p s i i, p i P, r i, s i N. Tällöin syt(a, b) = m i=1 p min(r i,s i ) i, (3.18) pyj(a, b) = Esimerkki 10. Olkoot a = 3 5 2 7, m i=1 p max(r i,s i ) i. (3.19) b = 3 2 5 7, nyt syt(a, b)pyj(a, b) = 3 5 7 3 2 5 2 7 = ab. (3.20) 15

Lause 3.3. Olkoot a, b Z +, tällöin ab = syt(a, b)pyj(a, b) = (a, b)[a, b]. (3.21) TOD: (Harj.) Osoita ensin, että min(r i, s i ) + max(r i, s i ) = r i + s i. (3.22) 3.3 Eukleideen algoritmi Jakoalgoritmin nojalla saadaan E.A.=Eukleideen algoritmi. E.A. Olkoot a Z, b Z + annettu ja 1 b < a. r 0 = a, r 1 = b 0 r 1 < r 0 r 0 = q 1 r 1 + r 2 0 r 2 < r 1. r k = q k+1 r k+1 + r k+2. r n 2 = q n 1 r n 1 + r n n N : r n = 0, r n+1 = 0 0 r k+2 < r k+1 0 r n < r n 1 r n 1 = q n r n r n = syt(a, b). Tässä n = Eukleideen algoritmin pituus (length), jolle pätee n a 1. (3.23) Asetetaan nyt R k = r k, Q k = q k 1, k N, (3.24) 1 0 r k+1 16

jolloin Nähdään, että det Q k = 1, Q 1 k = 0 1. (3.25) 1 q k (E.A.) R k = Q k+1 R k+1, k = 0,..., n 1, (3.26) jolloin pätee Merkitään ja jolloin Nyt S k = s k 1) R 0 = Q 1 Q 2 Q k R k. (3.27) S 0 = s 0 t 0 = 1 0 (3.28) s 1 t 1 0 1 s k+1 t k t k+1 = Q k 1 Q 2 1 Q 1 1, (3.29) 2) R k = S k R 0. (3.30) 3) S k+1 = Q 1 k+1 S k (3.31) eli s k+1 s k+2 t k+1 t k+2 = 0 1 s k 1 q k+1 s k+1 s k q k+1 s k+1 t k+1 s k+1 t k q k+1 t k+1 t k t k+1 = (3.32) 4) Palautuskaavat eli rekursiot (recurrence): s k+2 = s k q k+1 s k+1, k = 0, 1,... t k+2 = t k q k+1 t k+1, k = 0, 1,... (3.33) 17

Yhtälöstä 2) saadaan r n = s n a + t n b, (3.34) josta edelleen saadaan Lause 3.4. : 5) syt(a, b) = s n a + t n b, (3.35) missä n on E.A:n pituus. Esimerkki 11. Olkoot a = 909 ja b = 309. Tällöin Eukleideen algoritmilla saadaan q 1 = 2, q 2 = 1, q 3 = 16, q 4 = 6, r 4 = 3, n = 4. (3.36) Seuraavaksi käytetään rekursioita (3.33) lähtien alkuarvoista (3.28). Laskemalla saadaan s 4 = 17, t 4 = 50 s 4 a + t 4 b = 3. (3.37) Seuraus 1. Olkoot a, b, c Z. Tällöin, jos a bc ja a c, (3.38) niin a b. (3.39) Seuraus 2. Olkoot a, b, c Z. Tällöin, jos a c ja b c ja a b, (3.40) niin ab c. (3.41) Seuraus 3. Olkoot a, b Z ja p P. Tällöin, jos p ab, (3.42) niin p a tai p b. (3.43) 18

Seuraus 4. Olkoot a Z, p P ja k, n Z +. Tällöin p a n p a p n a n ; (3.44) p k a n p a n. (3.45) Määritelmä 3.10. Olkoot a 1,..., a m Z annettu. Tällöin luku d m N on lukujen a 1,..., a m suurin yhteinen tekijä eli d m =syt(a 1,..., a m ) = (a 1,..., a m ) mikäli a) d m a i i = 1,..., m; b) c a i i = 1,..., m c d m. Huom 1. Olkoot a 1,..., a m Z pareittain keskenään jaottomia (pairwise relatively prime) eli a i a j i = j. (3.46) Tällöin (a 1,..., a m ) = 1. (3.47) Huom 2. Edellinen ei päde välttämättä vastakkaiseen suuntaan, sillä esimerkiksi (6, 9, 5) = 1 mutta (6, 9) = 3. (3.48) Määritelmä 3.11. Olkoot a 1,..., a m Z annettu. Tällöin luku f m N on lukujen a 1,..., a m pienin yhteinen jaettava eli f m =pyj[a 1,..., a m ] = [a 1,..., a m ] mikäli a) a i f m i = 1,..., m; b) a i c i = 1,..., m f m c. 19

Lause 3.5. Olkoon d m = (a 1,..., a m ), tällöin on olemassa sellaiset l 1,..., l m Z, että d m = l 1 a 1 +... + l m a m. (3.49) Todistus: Induktiolla. Perusaskel: m = 2 5). Induktio-oletus: Väite tosi, kun m = k. Induktioaskel: Olkoon m = k + 1. 1. Osoitetaan ensin, että a.) Koska niin eli on yhteinen tekijä. b.) Jos niin Siten d k+1 = (d k, a k+1 ). (3.50) d k+1 a 1,..., a k, a k+1, (3.51) d k+1 d k, d k+1 a k+1 (3.52) c d k, a k+1, (3.53) c a 1,..., a k, a k+1. (3.54) c d k+1, (3.55) joten on suurin tekijä. a.)+b.) d k+1 = (d k, a k+1 ). 2. Induktio-oletuksesta saadaan, että h i Z : d k = h 1 a 1 +... + h k a k (3.56) 20

ja Siten j i Z : (d k, a k+1 ) = j 1 d k + j 2 a k+1. (3.57) d k+1 = (d k, a k+1 ) = j 1 (h 1 a 1 +... + h k a k ) + j 2 a k+1 = l 1 a 1 +... + l k+1 a k+1. (3.58) Joten induktioaskel on todistettu ja induktioperiaatteen nojalla alkuperäinen lauseen väite on tosi. 3.4 Kongruenssi Määritelmä 3.12. Olkoon n Z + annettu ja a, b Z. Jos n a b, (3.59) niin tällöin asetetaan a b (mod n) (3.60) eli a on kongruentti b:n kanssa modulo n. Edelleen, luku n on kongruenssin (3.60) modulus. Huomaa, että n a b a = b + l n, jollakin l Z a b + nz = b. (3.61) Lemma 3.1. A. Keskenään kongruenteilla luvuilla on samat jakojäännökset ja Vice Versa. B. Kongruentit luvut kuuluvat samaan jakojäännösluokkaan eli a b (mod n) a = b. (3.62) 21

Siispä joukkoa Z/nZ = {a a = 0, 1, 2,..., n 1} = Z n (3.63) kutsutaan jakojäännösrenkaaksi, missä on laskutoimitukset a + b = a + b, (3.64) ab = ab. (3.65) Huom 3. Jakojäännösluokalle b voidaan käyttää myös merkintää [b] (Ryhmäteoreettinen sivuluokka). Huom 4. Usein kuitenkin lasketaan vain pelkillä edustajilla eli jakojäännöksillä 0, 1, 2,..., n 1 = 1 (mod n). Esimerkki 12. 1 + 1 = n 1 + 1 = n = 0, ( 1) 1 = 1, (3.66) 2 1 = 1 2 = p + 1 2, p P p 3. (3.67) Määritelmä 3.13. Olkoon R ykkösellinen rengas. Joukko on renkaan R yksikköryhmä. R = {yksiköt} = {u R u 1 R : uu 1 = 1} (3.68) Jos R = K-kunta, niin K = K {0}. Lemma 3.2. Joukko {a Z n a n} on renkaan Z n yksikköryhmä eli Z n = {a Z n a n}. (3.69) 22

Huomaa,että ehdosta a n seuraa Eukleideen algoritmin kohdan 5) nojalla, että 1 = s m a + t m n, (3.70) missä m on E.A:n pituus. Siten s m a 1 (mod n) a 1 = s m. (3.71) Erityisesti, jos p P, niin Z p on kunta ja Z p = {a Z p a p} = {1, 2,..., p 1}. (3.72) Määritelmä 3.14. Olkoon n 2. Jos a n, niin a on alkuluokka (mod n) ja Z n = {a Z n a n} on renkaan Z n kertolaskuryhmä (multiplication group of the ring). Määritelmä 3.15. Eulerin funktio φ : Z + Z + saadaan asettamalla φ(n) = #{k Z + 1 k n, k n} (3.73) aina, kun n Z +. Siten, ryhmän Z n kertaluku (order) on #Z n = φ(n). Lemma 3.3. φ(mn) = φ(m)φ(n), M N. (3.74) Eli φ on multiplikatiivinen ja koska ( φ(p m ) = p m 1 1 ), p P, m Z +, (3.75) p niin saadaan Lemma 3.4. Olkoon n = p a 1 1... p a k k, p i P. Tällöin ) (1 1pk φ(n) = p 1 a 1... p k a k ( 1 1 p 1 )... (3.76) 23

eli φ(n) = n p n ( 1 1 ). (3.77) p Lause 3.6. KIINALAINEN JÄÄNNÖSLAUSE: Olkoot m 1,..., m r Z + pareittain keskenään jaottomia ja olkoot a 1,..., a r Z annettu. Tällöin yhtälöryhmän x a 1 (mod m 1 ),. (3.78) x a r (mod m r ) ratkaisut ovat x = x 0 + l M, l Z, M = m 1... m r = m k M k, (3.79) missä x 0 = n 1 M 1 a 1 +... + n r M r a r, (3.80) n k M k 1 (mod m k ). (3.81) "Ratkaisu on yksikäsitteinen (solution is unique) (mod M)". Tod: Lasketaan M k = i =k m i 0 (mod m j ) j = k. (3.82) Joten x 0 n k M k a k 1 a k = a k (mod m k ) k = 1,..., r (3.83) ja siten x 0 on ratkaisu. Olkoon x ratkaisu, tällöin x x 0 0 (mod m k ) k = 1,..., r. (3.84) 24

Koska m i m j i = j, niin Harjoitustehtävän 14 nojalla x x 0 0 (mod m 1 m r ) (3.85) eli x x 0 (mod M). (3.86) 4 Kertomat, binomikertoimet Määritellään luvun n N kertoma n! induktiivisesti asettamalla Määritelmä 4.1. 0! = 1, (4.1) n! = n (n 1)!, n Z +. (4.2) Ja kertoman yleistys, Pochammerin symboli (a) n, seuraavasti. Määritelmä 4.2. Olkoon a C. Tällöin (a) 0 = 1, (4.3) (a) n = (a + n 1) (a) n 1, n Z +. (4.4) Erityisesti (1) n = n!. (4.5) Määritelmä 4.3. Olkoot a C ja k N. Tällöin luvut ( ) a = ( 1) k ( a) k k k! (4.6) ovat binomikertoimia "a yli k:n". 25

Tutkitaan erikoistapauksia. Olkoon aluksi k = 0. Tällöin ( ) ( ) a a = = ( a) 0 k 0 0! Kun k Z +, niin (a ) k k ( a)( a + 1) ( a + k 1) = ( 1) k! a(a 1) (a k + 1) k! Olkoon vielä a = n Z +, jolloin ( ) n n(n 1) (n k + 1) = k k! joten = 1 a C. (4.7) = a C. (4.8) n(n 1) (n k + 1)(n k)!, (4.9) k!(n k)! ( ) n = k n! k!(n k)! = 0 k n. (4.10) Jos k n + 1, niin ( ) n k ( n) ( n + j) ( n + k 1) = ( 1), (4.11) k k! missä 0 j k 1. Siten, kun j = n, niin n + j = 0 ja ( ) n = 0 k n + 1. (4.12) k Olkoon a = n Z, jolloin ( ) n k n(n + 1) (n + k 1) = ( 1) = k k! joten ( ) n k k (n + k 1)! ( 1), (4.13) k!(n 1)! ( ) n + k 1 = ( 1) k k k 0. (4.14) 26

4.1 Palautuskaava, Pascalin kolmio Lause 4.1. Olkoon a C. Tällöin ( ) ( ) a + 1 a = + k + 1 k + 1 ( ) a k k N. (4.15) Todistus. Lasketaan väitteen oikea puoli käyttäen binomikertoimien esitystä (4.8), jolloin ( ) a + k + 1 a(a 1) (a (k + 1) + 1) (k + 1)! a(a 1) (a k + 1)(a k) k!(k + 1) + a(a 1) (a k + 1) k! ( ) a = k a(a 1) (a k + 1) k! = a(a 1) (a k + 1) + = k! ( ) a k k + 1 + 1 = (a + 1)(a + 1 1) (a + 1 (k + 1) + 1) (k + 1)! Siis saatiin väitteen vasen puoli. = ( ) a + 1. (4.16) k + 1 Erikoistapauksena saadaan Lause 4.2. ( ) ( ) n + 1 n = + k + 1 k + 1 ( ) n k k, n N. (4.17) Jonka avulla (I tapa) voidaan todistaa. Lause 4.3. ( ) n Z + 0 k n N. (4.18) k Todistus. Induktio n:n suhteen. Aluksi n = 0, 1. ( ) 0 = 0 ( ) 1 = 0 ( ) 1 = 1. (4.19) 1 27

Induktio-oletus: Väite tosi, kun n = l. Induktioaskel: Olkoon n = l + 1. Tällöin ( ) ( ) ( ) l + 1 l l = + k + 1 k + 1 k 1 k + 1 l, (4.20) missä induktio-oletuksen nojalla oikea puoli Z +, joten ( ) l + 1 Z + 1 k + 1 l. (4.21) k + 1 Lisäksi ( ) l + 1 = l + 1 ( ) l + 1 = 1. (4.22) 0 Tuloksen (4.18) nojalla (n k + 1)(n k + 2) (n 1)n k! Z +, (4.23) joten k! (n k + 1)(n k + 2) (n 1)n, (4.24) mistä saadaan. Lause 4.4. k! (m + 1)(m + 2) (m + k) k, m N. (4.25) Edelleen Lause 4.5. Olkoon p P, tällöin ( ) p p k 1 k p 1. (4.26) Todistus. Tuloksen (4.24) nojalla k! (p k + 1)(p k + 2) (p 1)p, (4.27) Koska p k!, niin (4.27) johtaa relaatioon k! (p k + 1) (p 1) = l k!, (4.28) 28

jollakin l Z. Siten ( ) p = k (p k + 1)(p k + 2) (p 1)p k! = l p 0 (mod p). (4.29) 4.2 p-valuaatio kokonaisluvuille Tarkastellaan alkuluvun p esiintymistä kokonaisluvussa k (myöhemmin esitetään p-valuaation määritelmä rationaaliluvulle). Määritelmä 4.4. Olkoot p P, k Z {0}, r N ja p r k. (4.30) Tällöin asetetaan v p (k) = r. (4.31) Kertaa vielä, että p r k k = p r c, p c Z {0}. (4.32) Lause 4.6. Laskusääntöjä. Olkoon p P ja n, m Z {0}, tällöin v p (1) = 0; (4.33) v p (n) 0; (4.34) v p (nm) = v p (n) + v p (m); (4.35) v p (n!) = v p (1) + v p (2) +... + v p (n), n 1; (4.36) 29

n = p vp(n) = p vp(n) = p vp(n), n 1. (4.37) p n p n p P Määritelmä 4.5. Olkoot p P, k Z {0}, l Z +. Asetetaan tällöin w p l(k) = 1 jos p l k; (4.38) w p l(k) = 0 jos p l k. (4.39) Lause 4.7. Olkoot p P, k Z {0}, r N ja v p (k) = r. Tällöin v p (k) = Lause 4.8. Olkoot n Z + ja Tällöin A p = r w p i(k) = i=1 n i=1 p i w p i(k). (4.40) i=1, p P. (4.41) a) v p (n!) = A p. (4.42) b). p Ap n! p n!. (4.43) c). n! = p n p Ap. (4.44) Huomaa, että n/p i = 0, kun p i > n. Siten summat A p ovat äärellisiä. Todistus. Laskarit: Välillä [1, n] olevien luvulla p i jaollisten lukujen lkm= n #{k Z + 1 k n, p i k} =. (4.45) Toisaalta #{k Z + 1 k n, p i k} = w p i(1) + w p i(2) +... + w p i(n). (4.46) p i 30

Esimerkiksi 1,..., 1 p,..., 2 p,..., p p,..., n p,..., n (4.47) p missä pätee w p (1) = w p (2) =... = w p (p 1) = w p (p + 1) =... = 0 (4.48) w p (p) = w p (2p) =... = w p ( n p ) p = 1. (4.49) Siten w p (1) + w p (2) +... + w p (n) = n ; (4.50) p... missä n w p 2(1) + w p 2(2) +... + w p 2(n) = p 2 n w p r(1) + w p r(2) +... + w p r(n) = p r n < p r+1, p r ; (4.51), (4.52) n = 0. (4.53) p r+1 Lasketaan yhtälöt (4.50 4.52) puolittain yhteen, jolloin saadaan n n n v p (1) + v p (2) +... + v p (n) = + +... +. (4.54) p p 2 p r Siten Edelleen v p (n!) = n = A p, p P. (4.55) i=1 p i n! = p n p vp(n!). (4.56) Lauseen 4.3 II todistus. Kertomien alkutekijäkehitelmien nojalla n! k!(n k)! = p n p Bp, (4.57) 31

missä Tuloksen (2.6) B p = n k n k. (4.58) i=1 p i p i p i a + b a + b (4.59) avulla saadaan k n k + p i p i k p + n i p k = i p i n p i. (4.60) Siten B p N ja p Bp Z +, (4.61) p n joka identiteetin (4.57) kanssa todistaa, että ( ) n Z + 0 k n N. k 4.3 Binomisarja, Binomikehitelmä Sarjaa (1 + t) a = sanotaan Binomisarjaksi. Olkoon a = n N, jolloin (1 + t) n = ( ) a t k, a C (4.62) k n ( ) n t k. (4.63) k Asetetaan t = A/B, jolloin yhtälöstä (4.63) saadaan Binomikehitelmä: (A + B) n = k+l=n 0 k,l n n ( ) n A k B n k = (4.64) k n! k!l! Ak B l. (4.65) 32

Kun, a = 1 ja t = x, niin saadaan Geometrinen sarja: 1 1 x = x k. (4.66) Ja yleisemmin, jos a = n Z ja t = x, niin identiteetin (4.14) nojalla. 1 (1 x) = n ( n + k 1 k ) x k (4.67) 5 Rationaaliluvun jaollisuus (mod n) 5.1 Perusteita Olkoon p P. Jokaisella a/b Q on yksikäsitteinen esitys Asetetaan nyt a b = pr c d, c Z, d Z+, c d, p cd, r Z. (5.1) Määritelmä 5.1. Rationaaliluku a/b (osoittaja) on p:llä jaollinen eli p a b r 1. (5.2) Edelleen Esimerkki 13. Esimerkki 14. a b 0 (mod p) p a b 5 20 3 20 3 1 + 1 2 + 1 3 + 1 4 = 50 4! (5.3) 0 (mod 5). (5.4) 0 (mod 5). (5.5) 33

Laajennetaan Määritelmä 5.1 vapaastivalittavalle modulukselle n Z 2. Määritelmä 5.2. Olkoon n Z 2 annettu ja olkoon rationaaliluvun a/b Q alkutekijäesitys missä q j / {p 1,..., p k }. Jos a b = ±pr 1 1 p r k k q v 1 1 q v l l ; (5.6) p i, q j P r i Z +, v i Z, n = p s 1 1 p s k k, s i N, ja 0 s i r i i = 1,..., k, (5.7) niin n a b (5.8) ja sanotaan, että n jakaa rationaaliluvun a/b (osoittajan). Huom 5. Jos, n a/b, niin n b ja n a. Määritelmä 5.3. Olkoon n Z 2 annettu ja a/b, c/d Q. Jos niin n a b c d, (5.9) a b c d (mod n) (5.10) ja sanotaan, että luvut a/b ja c/d ovat kongruentteja (mod n). Lause 5.1. Olkoot n Z 2 ja a/b, c/d Q sekä P (x) Q[x]. Tällöin, jos a b c d (mod n), (5.11) niin P ( a b ) P ( c ) (mod n), (5.12) d 34

Esimerkki 15. 20 3 = 22 5 1 3 1 0 (mod 2 5). (5.13) missä p 1 = 2, p 2 = 5, q 1 = 3 ja r 1 = 2, r 2 = 1, v 1 = 1. Esimerkki 16. Esimerkki 17. 20 3 Esimerkki 18. Olkoon p P, tällöin 0 (mod 20), (5.14) 1 + 1 2 + 1 3 + 1 4 = 50 4! 0 (mod 52 ). (5.15) 1 + 1 2 + 1 3 + 1 4 25 7 (mod 53 ). (5.16) (2p 1)(2p 2) (p + 2)(p + 1) (5.17) (p 1)(p 2) 2 1 = (p 1)! (mod p), joten ( ) 2p 2 (mod p). (5.18) p Lause 5.2. Kongruenssi (mod n) on ekvivalenssirelaatio joukossa Q. Määritelmä 5.4. Olkoot n Z 2 ja a/b Q annettu ja n b. Tällöin a/b = { c d Q c d a b (mod n)} (5.19) on edustajan a/b määräämä jakojäännösluokka (mod n) ja Q n = {a/b a/b Q, n b}. (5.20) Asetetaan vielä laskutoimitukset (binary operations) x + y = x + y, x y = xy (5.21) aina, kun x, y Q n. 35

Lause 5.3. a) Laskutoimitukset { + : Q n Q n Q n, (5.22) ovat hyvinmääriteltyjä (well defined) eli binäärioperaatiot ovat funktioita. b). Nolla-alkio (zero) on 0 = na b a, b, b n (5.23) ja vasta-alkio x = x x Q n. (5.24) c). Ykkösalkio (unity) 1 = b + ln b l, b, b n (5.25) ja käänteisalkio (inverse) Lause 5.4. Olkoon n Z 2. Tällöin kuvaus x 1 = x 1 x, x 1 Q n. (5.26) F (a/b) = a ( b ) 1 (5.27) F : Q n Z n (5.28) on rengasisomorfia eli Q n = Zn. Todistus: Laskemalla saadaan 1) F ( a b + c ) = F d ( ) ad + bc = bd ad + bc ( bd ) 1 = (ad + bc) ( b ) 1 ( d ) 1 = a ( b ) 1 + c ( d ) 1 = 36

F ( ) a + F b joten F on ryhmien (Q n, +) ja (Z n, +) välinen homomorfia. ( ) c, (5.29) d 2) F ( a b c ) = F d ( ) ac = bd ac ( bd ) 1 = a ( b ) 1 c ( d ) 1 = F ( ) a F b ( ) c. (5.30) d 3) F ( 1 ) = F ( ) 1 = 1 ( 1 ) 1 = 1. (5.31) 1 Kohtien 1),2) ja 3) nojalla F : Q n Z n on rengasmorfismi. 4) Asetetaan nyt joten F ( ) a = 0, (5.32) b Kerrotaan 5.33 puolittain alkiolla b, jolloin saadaan a ( b ) 1 = 0. (5.33) a ( b ) 1 b = 0 b a = 0. (5.34) Siten F : Q n Z n on injektio. 5) Olkoon vielä k Z n. Tällöin, jos valitaan a = k, b = 1, niin F ( ) a = F b Siispä F : Q n Z n on surjektio. ( ) k = k ( 1 ) 1 = k. (5.35) 1 37

Kohtien 4) ja 5) nojalla on bijektio ja edelleen rengasisomorfia. F : Q n Z n Siten Q n ja Z n voidaan samaistaa, jolloin merkitään ESIM: Lasketaan 2/3 renkaassa Q 7. Aluksi saadaan Valitaan l = 4, jolloin Täten Q n a/b = ab 1 Z n. (5.36) 2 3 2 + l 7 3 2 3 2 + 4 7 3 (mod 7) l Z. (5.37) = 10 3 (mod 7). (5.38) 2/3 = 3. (5.39) Toisaalta Z 7 :ssa. 2 3 1 = 2 5 = 10 = 3. (5.40) Lemma 5.1. Olkoon G ryhmä ja a G. Tällöin kuvaukset ι : G G, ι(x) = x 1 (5.41) ja τ : G G, τ(x) = ax (5.42) ovat bijektioita. Todistus: Asetetaan ι(x 1 ) = ι(x 2 ) x 1 1 = x 1 2, (5.43) josta saadaan x 1 = x 2. Siten ι on injektio. Olkoon sitten y G annettu. Valitaan nyt x = y 1, jolloin ι(x) = ι(y 1 ) = (y 1 ) 1 = y. (5.44) 38

Täten ι on surjektio ja edelleen bijektio. Seuraus: Olkoon H = {a 1,..., a m } (5.45) äärellinen ryhmä. Tällöin ι(h) = H eli {a 1 1,..., a 1 m } = {a 1,..., a m }. (5.46) ESIM: Olkoon H =Z 11, missä 1 1 = 1, 2 1 = 6, 3 1 = 4,, 4 1 = 3, 5 1 = 9, 6 1 = 2, 7 1 = 8, 8 1 = 7, 9 1 = 5, 10 1 = 10. (5.47) Tällöin 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 = 1 2 2 1 3 3 1 5 5 1 7 7 1 10 = 1. (5.48) Lause 5.5. WILSONIN LAUSE: Olkoon p P. Tällöin Lause 5.6. Olkoot p P 3. Tällöin (p 1)! 1 (mod p). (5.49) 1 + 1 2 + 1 3 +... + 1 p 1 Todistus. Lemman 5.1 nojalla ι(z p) = Z p eli 0 (mod p). (5.50) {1 1,..., p 1 1 } = {1,..., p 1}. (5.51) Täten p 1 p 1 a 1 = b, (5.52) a=1 b=1 39

Seuraavassa käytetään samaistusta (5.36). Yhtälön V.P. (vasen puoli)= 1/1 + 1/2 +... + 1/p 1 = 1 + 1/2 +... + 1/(p 1) = 1 + 1/2 +... + 1/(p 1). (5.53) Toisaalta Yhtälön O.P. (oikea puoli)= 1 +... + p 1 = 1 + 2 +... + p 1 = p(p 1)/2 = 0, (5.54) missä p p(p 1)/2, sillä p 3. Ekvivalenssiluokkien (5.53) ja (5.54) identtisyydestä seuraa edustajien välinen kongruenssi (5.50). Lause 5.7. EULER-FERMAT: Olkoot a Z, m Z 2 annettu ja a m. Tällöin a φ(m) 1 (mod m). (5.55) Todistus. Asetetaan τ(x) = a x. Koska a Z m, niin Lemman 5.1 nojalla τ(z m) = Z m eli {a a 1,..., a a φ(m) } = {a 1,..., a φ(m) }. (5.56) Siten eli josta a a 1 a a φ(m) = a 1 a φ(m) (5.57) a φ(m) a 1 a φ(m) = a 1 a φ(m), (5.58) a φ(m) = 1. (5.59) SEURAUS: Lause 5.8. FERMAT N PIKKULAUSE: Olkoot a Z, p P annettu ja p a. Tällöin a p 1 1 (mod p). (5.60) 40

Todistetaan seuraavaksi eräs Wilsonin lauseen yleistys. Lause 5.9. Olkoot p P 3 ja r Z +. Tällöin Todistus. Olkoon a Z p r p r 1 k=1,p k k 1 (mod p r ). (5.61) oma käänteisalkionsa eli a = a 1 a 2 = 1. (5.62) Siten josta a 2 1 = 0, (5.63) (a 1)(a + 1) = l p r, (5.64) jollakin l Z. Välttämättä p a 1 tai p a + 1. (5.65) Jos niin p a 1 ja p a + 1, (5.66) p 2a p a. (5.67) Mutta a p, joten joudutaan ristiriitaan. Tarkastellaan siis tapaukset 1.) p a 1 ja p a + 1 (5.68) ja 2.) p a 1 ja p a + 1. (5.69) Tapaus 1. Yhtälön (5.64) nojalla p r a 1 a = 1. (5.70) 41

Tapaus 2. Yhtälön (5.64) nojalla p r a + 1 a = 1. (5.71) Siten a Z p r on oma käänteisalkionsa täsmälleen silloin, kun a = ±1. Edelleen Z pr = {1, 1} B, (5.72) missä joukon B = {b 1,..., b m }, m = φ(p r ) 2, (5.73) alkioille pätee 1 b i = bi, i = 1,..., m. (5.74) Täten B = {c 1,..., c m/2, c 1 1,..., c 1 m/2 } (5.75) ja siten a Z p r a = 1( 1)c 1 c 1 1 c m/2 c m/2 1 = 1. (5.76) ESIM: 3 2 = p r. Jolloin 1 2 4 5 7 8 1 (mod 3 2 ). (5.77) 5.2 Wolstenholmen lause Lause 5.10. WOLSTENHOLMEN LAUSE: Olkoon p P 5. Tällöin Todistus. Tarkastellaan polynomia 1 + 1 2 + 1 3 +... + 1 p 1 0 (mod p2 ). (5.78) G(x) = (x 1)(x 2) (x (p 1)) Z[x]. (5.79) 42

Aukaistaan tulo, jolloin G(x) = x p 1 W p 2 x p 2 + W p 3 x p 3... missä W i Z. Välittömästi saadaan +W 2 x 2 W 1 x + W 0, (5.80) x(x 1)(x 2) (x (p 1)) = x p W p 2 x p 1 + W p 3 x p 2 W p 4 x p 3 +... johon sijoitetaan x = y 1 ja siten +W 2 x 3 W 1 x 2 + W 0 x, (5.81) (y 1)(y 2) (y (p 1))(y p) = (y 1) p W p 2 (y 1) p 1 + W p 3 (y 1) p 2 W p 4 (y 1) p 3 +... Yhtälössä (5.82) V.P.= +W 2 (y 1) 3 W 1 (y 1) 2 + W 0 (y 1). (5.82) (y p)g(y) = (y p)(y p 1 W p 2 y p 2 + W p 3 y p 3... +W 2 y 2 W 1 y + W 0 ) = y p (p + W p 2 )y p 1 + (pw p 2 + W p 3 )y p 2 (pw p 3 + W p 4 )y p 3 +... (pw 2 + W 1 )y 2 + (pw 1 + W 0 )y pw 0. (5.83) 43

Toisaalta yhtälön (5.82) O.P.= ( ) ( ) ( ) p p p 1 y p ( + W p 2 )y p 1 + ( + W p 2 + W p 3 )y p 2 1 2 1 ( ) ( ) ( ) p p 1 p 2 ( + W p 2 + W p 3 + W p 4 )y p 3 3 2 1 ( ) ( ) ( ) p p 1 2 +... + ( + W p 2 +... + W 1 + W 0 )y p 1 p 2 1 (1 + W p 2 +... + W 1 + W 0 ). (5.84) Verrataan seuraavaksi vastinpotenssien kertoimia yhtälöissä (5.83) ja (5.84), jolloin y p : 1 = 1, (5.85) y p 1 : p + W p 2 = ( ) p + W p 2, (5.86) 1 y p 2 : pw p 2 + W p 3 = (5.87) ( ) ( ) p p 1 + W p 2 + W p 3, 2 1... y p 3 : pw p 3 + W p 4 = (5.88) ( ) ( ) ( ) p p 1 p 2 + W p 2 + W p 3 + W p 4, 3 2 1 y 1 : pw 1 + W 0 = (5.89) ( ) ( ) ( ) p p 1 2 + W p 2 +... + W 1 + W 0, p 1 p 2 1 44

y 0 : pw 0 = 1 + W p 2 +... + W 1 + W 0. (5.90) Kaksi ensimmäistä ovat triviaali-identiteettejä mutta seuraavista saadaan palautuskaavat: 3W p 4 = (p 2)W 1 = 2W p 3 = ( ) p + 4 W p 2 = ( ) p + 3 ( p 1 3 ( ) p + p 1 ( ) p, (5.91) 2 ( p 1 2 ) W p 2 + ) W p 2, (5.92) ( p 2 2 ( ) p 1 W p 2 +... + p 2 ) W p 3,... (5.93) ( ) 3 W 2, (5.94) 2 (p 1)W 0 = 1 + W p 2 +... + W 1. (5.95) Huomaa, että nämä yhtälöt ovat muotoa ( ) p jw p j 1 = +... j + 1 1 j p 1. (5.96) Käytetään tulosta (4.26), jolloin ( ) p p 2 (5.97) ja siten Seuraavaksi joten j = 1. p W p 2. (5.98) ( ) p p 3 ja p W p 2, (5.99) j = 2. p W p 3. (5.100) 45

Edelleen joten... Siten ( ) p p, 4 p W p 2 ja p W p 3, (5.101) j = 3. p W p 4. (5.102) j = p 2. p W 1. (5.103) p W 1, W 2,..., W p 2, (5.104) josta tuloksen (5.95) kanssa seuraa j = p 1. (p 1)W 0 1 (mod p) (5.105) eli Mutta W 0 1 (mod p). (5.106) W 0 = (p 1)!, (5.107) joten saadaan II todistus Wilsonin lauseelle. Sijoitetaan nyt x = p yhtälöön josta saadaan p 1 p 1 G(x) = (x j) = ( 1) i W i x i, W p 1 = 1, (5.108) j=1 i=0 W 1 = W 2 p W 3 p 2... + p p 2. (5.109) Koska p 5, niin p W 2 ja siten p 2 W 1. (5.110) Toisaalta W 1 = p 1 p 1 j=1 i=1,i =j i = 46

2 3 (p 1) + 1 3 4 (p 1) +... +1 2 (p 3) (p 1) + 1 2 (p 2) = Siten ( (p 1)! 1 + 1 2 + 1 3 +... + 1 ). (5.111) p 1 p 2 1 + 1 2 + 1 3 +... + 1 p 1 (5.112) II todistus Fermat n pikkulauseelle. Olkoot p P, a Z ja p a. Tällöin a j (mod p), (5.113) jollakin j = 1, 2,..., p 1. Sijoitetaan x = a yhtälöön (5.108), jolloin a p 1 W p 2 a p 2 + W p 3 a p 3... + W 2 a 2 W 1 a + W 0 0 (mod p), (5.114) missä Siten W p 2,..., W 1 0 (mod p). (5.115) a p 1 W 0 (p 1)! 1 (mod p). (5.116) 5.3 (p 1)! ja a p 1 (mod p 2 ) Tiedetään, että (p 1)! 1 (mod p 2 ), (5.117) kun p = 5, 13, 563,... (Wilsonin alkulukuja) ja a p 1 1 (mod p 2 ), (5.118) 47

kun p = 1093, 3511,... Mutta yleisellä tasolla kohtien (5.117) ja (5.118) jakojäännöksien (mod p 2 ) käyttäytymistä ei tunneta. Ehdon (5.118) tutkiminen on ollut tärkeää liittyen Fermat n suuren lauseen todistusyrityksiin, sillä jos p P 3 ja 2 p 1 1 (mod p 2 ), (5.119) niin x p + y p = z p x, y, z Z +. (5.120) Tosin Andre Wiles [Annals of Mathematics 141 (1994)] on todistanut, että (5.120) pätee ilman lisäoletusta (5.119). Wilesin todistus perustuu mm. elliptisten käyrien ominaisuuksiin. Olkoon p P 3, tällöin Pikku Fermat n nojalla tiedetään, että 2 p 1 1 = l p, (5.121) jollakin l Z, joten on luonnollista tutkia Fermat n osamääriä q p (2) = 2p 1 1 p Lause 5.11. Olkoon p P 3. Tällöin Z. (5.122) q p (2) = 2p 1 1 p 1 + 1 3 + 1 5 +... + 1 p 2 (mod p) (5.123) Huomaa, että (5.123) on yhtäpitävää ehdon ( 2 p 1 1 + p 1 + 1 3 + 1 5 +... + 1 ) p 2 kanssa. i=0 i=1 (mod p 2 ) (5.124) Todistus. Aluksi binomikaavalla saadaan p ( ) p 1 p ( ) p 2 p = = 2 +, (5.125) i i 48

jossa tuloksen (4.26) nojalla jollakin h i Z aina, kun i = 1,..., p 1. Edelleen eli h i = ( ) p = ph i, (5.126) i (p 1)(p 2) (p i + 1) i! ( 1) i 1 (i 1)! i! h i = ( 1)i 1 i = ( 1)i 1 i jollakin m i Z. Siten (5.126) ja (5.128) antavat ( ) ( ) p ( 1) i 1 = p + m i p ( 1) i 1 p i i i (mod p) (5.127) + m i p, (5.128) (mod p 2 ). (5.129) Yhtälöiden (5.125) ja (5.129) nojalla ( 2 p 2 + p 1 1 2 + 1 3... + 1 p 2 1 ) p 1 (mod p 2 ). (5.130) Toisaalta 1 1 2 + 1 3... + 1 p 2 1 p 1 = ( 2 1 + 1 3 + 1 5... + 1 ) p 2 ( 1 + 1 2 + 1 3 +... + 1 p 2 + 1 ) p 1 ( 2 1 + 1 3 + 1 5... + 1 ) p 2 (mod p 2 ) (5.131) tuloksen (5.78) nojalla. Yhdistämällä (5.130) ja (5.131) saadaan ( 2 p 2 + 2p 1 + 1 3 + 1 5... + 1 ) (mod p 2 ), (5.132) p 2 49

missä p 2, joten (5.124) seuraa. ESIM: Olkoon p = 7. Nyt 2 p 1 = 2 6 = 1 + 63 = 1 + 7 9 (5.133) ( 1 + 7 1 + 1 3 + 1 ) 5 (mod 7 2 ). (5.134) Huomaa, että 1/3 = 5 ja 1/5 = 3 (mod 7). 5.4 Polynomien kongruenssi Määritelmä 5.5. Olkoot n Z 2 ja jolloin asetetaan P (x) = Q(x) = n p k x k Q[x], n q k x k Q[x], P (x) Q(x) (mod n) Lause 5.12. Olkoon p P, tällöin polynomirenkaassa Q[x]. p k q k (mod n) k = 0, 1,..., n. (5.135) (x + 1) p x p + 1 (mod p). (5.136) Todistus. Binomisarjan ja Lauseen 4.5 nojalla p ( ) p (x + 1) p = x k (5.137) k x p + 0 x p 1 + 0 x p 2 +... + 0 x + 1 = x p + 1 (mod p). 50

Lause 5.13. Olkoot n Z 2 ja f(x), g(x), h(x) Q[x] ja g(x) h(x) (mod n). (5.138) Tällöin f(g(x)) f(h(x)) (mod n). (5.139) Lause 5.14. Olkoot p P ja r N. Tällöin (x + 1) pr x pr + 1 (mod p). (5.140) polynomirenkaassa Q[x]. Todistus. Induktiolla. r = 1. Lause 5.12. Induktioaskeleessa lasketaan V.P.= (x + 1) pr+1 = ((x + 1) pr ) p (x pr + 1) p (5.141) (x pr ) p + 1 = x pr+1 + 1 (mod p) (5.142) =O.P. Kohdassa (5.141) sovellettiin induktio-oletusta ja Lausetta 5.13 sekä kohdassa (5.141) Lausetta 5.12. Seurauksena saadaan Lause 5.15. Olkoot p P ja r Z +. Tällöin ( ) p r 0 k (mod p) k = 1,..., p r 1. (5.143) Lause 5.14 voidaan yleistää kahdenmuuttujan polynomeille. Lause 5.16. Olkoot p P ja r N. Tällöin (x + y) pr x pr + y pr (mod p) (5.144) polynomirenkaassa Q[x, y]. 51

Ja edelleen useanmuuttujan tapaukseen. Lause 5.17. Olkoot p P ja r N. Tällöin (x 1 +... + x m ) pr x pr 1 +... + x pr m (mod p) (5.145) polynomirenkaassa Q[x 1,..., x m ]. 5.5 Sovelluksia lukujen kongruensseihin Määritelmä 5.6. Rationaaliluku A = a/b Q on supistetussa muodossa, kun a b. Edelleen, den(a) = b on A:n nimittäjä. Määritelmä 5.7. Olkoon p P ja A = a b = c pr, p cd. (5.146) d Tällöin asetetaan v p (A) = r, (5.147) joka on luvun A eksponentiaalinen p-valuaatio. Siten, jos v p (A) 0, niin p b ja jos p A, niin p b. Sovelletaan Lausetta 5.17 antamalle muuttujille rationaalilukuarvot. Lause 5.18. Olkoot p P, r N ja A i Q, v p (A i ) 0 aina, kun i = 1,..., m. Tällöin (A 1 +... + A m ) pr Huomaa, että (5.148) on Pikku-Fermat n yleistys. Olkoot p P ja n N. Tiedetään, että p-kantakehitelmä n = i 0 A pr 1 +... + A pr m (mod p). (5.148) n i p i, 0 n i p 1 (5.149) on yksikäsitteinen. 52

Lause 5.19. LUCASIN (BINOMIKERROIN)LAUSE. Olkoot p P, n, k N sekä n = i 0 n i p i, k = i 0 k i p i, 0 k i, n i p 1. (5.150) Tällöin ( ) n k i 0 ( ni k i ) (mod p). (5.151) Todistus. Aluksi huomataan, että (1 + x) n = (1 + x) n 0 (1 + x) pn 1 (1 + x) p2 n 2 (1 + x) n 0 (1 + x p ) n 1 (1 + x p2 ) n 2 (mod p) (5.152) Lauseen 5.14 nojalla. Sama binomikehitelmillä n 0 ( n0 i i 0 =0 0 p 1 ( n0 i 0 =0 i 0 ) x i 0 ) x i 0 0 j 0 i j p 1 n n 1 ( n1 i i 1 =0 1 p 1 ( n1 ( ) n x k k ) x pi 1 ) x pi 1 i i 1 =0 1 i 2 =0 ( )( )( n0 n1 n2 i 0 i 1 n 2 ( n2 i i 2 =0 2 p 1 ( n2 i 2 i 2 ) x p2 i 2 = ) x p2 i 2 = ) x i 0+i 1 p+i 2 p 2 +... (mod p). (5.153) Tutkitaan V.P. polynomin termiä x k ja sen O.P. polynomin vastintermiä x i 0+i 1 p+i 2 p 2 +..., joka saadaan, kun k = k 0 + k 1 p + k 2 p 2 +... = i 0 + i 1 p + i 2 p 2 +... (5.154) 53

Luvun k yksikäsitteisen p-kantaesityksen nojalla havaitaan, että i 0 = k 0, i 1 = k 1,.... Täten vertaamalla kongruenssin (5.153) V.P. ja O.P. termejä x k, saadaan kongruenssi ( ) n k i 0 ( ni k i ) (mod p). (5.155) Esim: p = 7, n = 11 = 4 + 1 7, k = 5 = 5 + 0 7, joten ( ) ( )( ) ( )( ) 11 n0 n1 4 1 = = 0 1 = 0 5 5 0 (mod 7). (5.156) k 0 k 1 6 Summausmenetelmiä 6.1 Polynomialgebran sovelluksia ESIM: Lähdetään identiteetistä (1 + x) n (1 + x) m = (1 + x) n+m, (6.1) josta n j=0 ( ) n x j j Caychyn kertosäännöllä ( n+m josta j+l=k m l=0 ( )( n m j l j+l=k,0 j,l k ( ) m x l = l ) ) x k = ( )( ) n m j l Edelleen, asettamalla n = m = k, saadaan m j=0 ( )( ) n m = j m j ( ) 2m ; m n+m n+m ( n + m k ( n + m k ( ) n + m = k m j=0 ( ) 2 m = j ) x k. (6.2) ) x k, (6.3) (6.4) ( ) 2m. (6.5) m 54

6.2 Teleskoopit Teleskooppisumma ja teleskooppitulo n (a i+1 a i ) = a n+1 a 0 (6.6) i=0 n i=0 a i+1 a i = a n+1 a 0 (6.7) soveltuvat hyvin muunmuassa seuraavantyyppisten tulosten johtamiseen. n k = n(n + 1) 2 (6.8) n k 2 = n(n + 1)(2n + 1) 6 (6.9) n ( ) 2 n(n + 1) k 3 = (6.10) 2 n (2k + 1) = (n + 1) 2 (6.11) Johdetaan (6.11) valitsemalla a k = k 2 ja lähtemällä identiteetistä a k+1 a k = (k + 1) 2 k 2 = 2k + 1. (6.12) Otetaan summat (6.12) molemminpuolin, jolloin n (2k + 1) = Johdetaan vielä lähtemällä erotuksesta n (a k+1 a k ) = a n+1 a 0 = (n + 1) 2. (6.13) j=0 j 1 j! = 0 (6.14) 1 k! 1 (k + 1)! = k (k + 1)!. (6.15) 55

Summataan (6.15) puolittain, jolloin saadaan n ( ) 1 k! 1 = (k + 1)! n k (k + 1)!. (6.16) Yhtälön (6.16)vasemmanpuolen summassa on teleskooppi ja siten n k (k + 1)! = 1 1 (n + 1)!, (6.17) josta raja-arvona saadaan eli (6.14). k (k + 1)! = 1 (6.18) 7 Fibonaccin ja Lucasin luvut 7.1 Rekursio ja Binet n kaava Määritelmä 7.1. Luvut f 0 = 0, f 1 = 1 ja palautuskaava (eli rekursio) f n+2 = f n+1 + f n, n N, (9.1) muodostavat Fibonaccin luvut ja luvut l 0 = 2, l 1 = 1 sekä palautuskaava l n+2 = l n+1 + l n, n N, (9.2) muodostavat Lucasin luvut. Siten Fibonaccin lukuja ovat f 0 = 0, f 1 = 1, f 2 = 1, f 3 = 2, f 4 = 3, f 5 = 5, f 6 = 8, f 7 = 13,... (9.3) ja Lucasin lukuja ovat l 0 = 2, l 1 = 1, l 2 = 3, l 3 = 4, l 4 = 7, l 5 = 11, l 6 = 18, l 7 = 29,... (9.4) 56

Ratkaistaan rekursio v n+2 = v n+1 + v n, n N, (9.5) yritteellä v n = x n, x C. (9.6) Rekursiosta (9.5) saadaan jonka ratkaisut ovat x n+2 = x n+1 + x n x 2 x 1 = 0, (9.7) α = 1 + 5 2 Lause 7.1. Olkoot a, b C. Tällöin on rekursion (9.5) ratkaisu. Todistus. Suoraan laskemalla saadaan, β = 1 5. (9.8) 2 F n = aα n + bβ n (9.9) F n+2 = aα n+2 + bβ n+2 = a(α n+1 + α n ) + b(β n+1 + β n ) = aα n+1 + bβ n+1 + aα n + bβ n = F n+1 + F n. (9.10) Siten Fibonaccin luvut ovat muotoa mistä saadaan f n = aα n + bβ n (9.11) f 0 = aα 0 + bβ 0, f 1 = aα 1 + bβ 1. (9.12) Sijoitetaan alkuarvot f 0 = 0 ja f 1 = 1 yhtälöön (9.12), josta a + b = 0, a 1 + 5 2 + b 1 5 2 = 1 (9.13) ja siten a = 1/ 5 ja b = 1/ 5. Vastaavasti Lucasin luvuille ja siten saadaan. 57

Lause 7.2. Fibonaccin ja Lucasin luvut voidaan esittää Binet n kaavoilla (( ) f n = 1 n ( ) n ), (9.14) 5 l n = ( 1 + 5 2 1 5 2 1 + ) n ( 5 1 ) n 5 +. (9.15) 2 2 HUOM: Rekursioilla saadaan tarkat arvot nopeasti (laskennallinen kompleksisuus), mutta eksplisiittisistä esityksistä (9.14) ja (9.15) saadaan likiarvo nopeasti. Lause 7.3. f 2k = f 2k+1 = α 2k 5 α 2k+1 5 k N, (9.16) k N. (9.17) Todistus. Aluksi haetaan likiarvot. Koska α = 1 + 5 2 = 1.6180..., (9.18) ja α 1 = α 1 = 0.6180..., niin β = 1 5 2 = 1 α = 0.6180... (9.19) Siten β n / 5 < 1 n N. Tarkemmin laskareissa. 7.2 Matriisiesitys Olkoon F = 1 1 = f 2 f 1. (9.20) 1 0 f 1 f 0 58

Lasketaan potensseja F 2 = 2 1 = f 3 f 2, 1 1 f 2 f 1 F 3 = 3 2 = f 4 f 3. (9.21),... 2 1 f 3 f 2 Jolloin huomataan, että alkioiksi tulee Fibonaccin lukuja. Sovitaan vielä, että f 1 = 1, sillä tällöin pätee f 1 = f 0 + f 1. (9.22) Nyt Lause 7.4. Olkoon F 0 = I = 1 0 = f 1 f 0. (9.23) 0 1 f 0 f 1 F n = F n n N. (9.24) Tällöin F n = f n+1 f n f n f n 1. (9.25) Todistus. Induktiolla. Tapaukset n = 0 ja n = 1 kohdista (9.20) ja (9.23). Induktio-oletus: Identiteetti (9.24) pätee, kun n = k. Induktioaskel; Lasketaan F k+1 = F 1 F k = 1 1 f k+1 f k = 1 0 f k+1 + f k f k + f k 1 = f k+2 f k+1 f k+1 f k f k+1 f k f k f k 1 = F k+1. (9.26) Lause 7.5. Olkoot n, m N, tällöin f n+m+1 = f n+1 f m+1 + f n f m, (9.27) 59

Todistus. Sovelletaan identiteettiä f 2m+1 = f 2 m+1 + f 2 m, (9.28) f 2m = f m (f m+1 + f m 1 ). (9.29) F n+m = F n+m = F n F m = F n F m, (9.30) jolloin f n+m+1 f n+m f n+m = f n+1 f n f n+m 1 f n f n 1 f n+1f m+1 + f n f m f n f m+1 + f n 1 f m f m+1 f m f m f m 1 = f n+1 f m + f n f m 1. (9.31) f n f m + f n 1 f m 1 Vertaamalla matriisien (9.31) alkioita saadaan (9.27), josta edelleen saadaan (9.28) ja (9.29). Lause 7.6. Olkoon n N, tällöin f n+1 f n 1 f 2 n = ( 1) n. (9.32) Todistus. Otetaan determinantit tuloksesta (9.24), jolloin n f n+1 f n = 1 1. (9.33) 1 0 f n f n 1 Lause 7.7. Olkoon n N, tällöin lukujen f n+2 ja f n+1 Eukleideen algoritmin pituus on n. Edelleen syt(f n+1, f n ) = 1. (9.34) 60

Todistus. Olkoot a = f n+2 ja b = f n+1, jolloin r 0 = a, r 1 = b 0 r 1 < r 0 r 0 = q 1 r 1 + r 2 = 1 r 1 + r 2 0 r 2 < r 1 sillä f n+2 = 1 f n+1 + f n r 1 = q 2 r 2 + r 3 = 1 r 2 + r 3 0 r 3 < r 2 sillä f n+1 = 1 f n + f n 1. r k = q k+1 r k+1 + r k+2 = 1 r k+1 + r k+2 0 r k+2 < r k+1 sillä f n+2 k = 1 f n+1 k + f n k. r n 2 = q n 1 r n 1 + r n = 1 r n 1 + r n 1 = r n < r n 1 = 2 sillä f 4 = 1 f 3 + f 2 r n 1 = q n r n = 2 1 siten r n = syt(a, b) = 1. (9.35) Edelleen saadaan r n = s n a + t n b 1 = s n f n+2 + t n f n+1, (9.36) missä s n ja t n saadaan palautuskaavoista s k+2 = s k q k+1 s k+1 = s k s k+1, (9.37) t k+2 = t k q k+1 t k+1 = t k t k+1 0 k n 2 lähtien alkuarvoista s 0 = t 1 = 1, s 1 = t 0 = 0. ESIM: Olkoot n = 5, f 7 = 13, f 6 = 8, jolloin q 1 =... = q 4 = 1 ja q 5 = 2. Siten s 2 = 1, s 3 = 1, s 4 = 2, s 5 = 3,... t 5 = 5 ja 1 = ( 3) 13 + 5 8 = f 5 f 6 f 4 f 7. (9.38) 61

Lause 7.8. Olkoon a, b Z + annettu, tällöin Eukleideen algoritmin pituudelle n pätee n log a/ log((1 + 5)/2)). (9.39) Eukleideen algoritmissa r 0 = a, r 1 = b 0 < r 1 < r 0 r 0 = q 1 r 1 + r 2 0 < r 2 < r 1. r k = q k+1 r k+1 + r k+2. r n 2 = q n 1 r n 1 + r n r n 1 = q n r n + 0 0 < r k+2 < r k+1 0 < r n < r n 1 osamäärien kokonaisosille pätee q k 1 kaikilla k. Täten r n 1 = f 2, r n 1 2 = f 3, r n 2 1 r n 1 + r n f 3 + f 2 = f 4. Edelleen induktiolla saadaan r n h f h+2 h = 0, 1,..., n (9.40) ja siten a = r 0 f n+2 ((1 + 5)/2) n. (9.41) Epäyhtälön (9.41) todistus laskareissa. 7.3 Generoiva sarja Olkoon F (z) = f k z k 62

sarja, jolle haetaan lauseke tunnettujen funktioiden avulla. Vaihdetaan aluksi summausindeksi k = n + 2, jolloin F (z) = f n+2 z n+2 + f 1 z + f 0. (9.42) n=0 Seuraavaksi käytetään rekursiota (9.1), jolloin F (z) = z f n+1 z n+1 + z 2 n=0 n=0 z f k z k + z 2 k=1 f n z n + f 1 z + f 0 = f k z k + f 1 z + f 0 = z(f (z) f 0 ) + z 2 F (z) + z. (9.43) Yhtälöstä (9.43) saadaan ratkaisu Lause 7.9. Sarjalla on esitys rationaalifunktiona Määritelmä 7.2. Sarja F (z) = F (z) = F (z) = z 1 z z 2. f k z k z 1 z z 2. F (z) = f k z k (9.44) on Fibonaccin lukujen generoiva sarja ja funktio F (z) = on Fibonaccin lukujen generoiva funktio. z 1 z z 2 (9.45) 63

Määritelmä 7.3. Polynomi K(x) = K f (x) = x 2 x 1 on rekursion (9.1) karakteristinen polynomi. Huomaa, että K f (x) = (x α)(x β), (9.46) joten F (z) = 1/z (1/z α)(1/z β) = 1/z (1/z) 2 1/z 1 = 1/z K(1/z) = z (1 αz)(1 βz). (9.47) Jaetaan (9.47) osamurtoihin ja käytetään geometrisen sarjan summakaavaa, jolloin F (z) = 1 ( 1 5 1 αz 1 ) = 1 βz 1 ( α k β k) z k = f k z k. (9.48) 5 Vertaamalla sarjojen kertoimia saadaan jälleen Binet n esitys (9.14). 7.4 Laajennus negatiivisiin indekseihin Sallitaan Fibonaccin lukujen palautuskaavassa f k+2 = f k+1 + f k (9.49) negatiiviset indeksit, jolloin asettamalla k = 1, 2,..., saadaan f 1 = f 0 + f 1 f 1 = 1, (9.50) f 0 = f 1 + f 2 f 2 = 1, (9.51) f 1 = f 2 + f 3 f 3 = 2,... (9.52) 64

Sijoitetaan k = n rekursioon (9.49), jolloin f n = f (n 1) + f (n 2). (9.53) Lause 7.10. f n = ( 1) n+1 f n n N. (9.54) Todistus. Induktiolla käyttäen rekursiota (9.53). Äskeisen tuloksen nojalla Lause 9.4 laajenee myös negatiiviselle puolelle. Lause 7.11. Olkoon ja F = 1 1 1 0 F n = F n n Z. (9.55) Tällöin F n = f n+1 f n f n f n 1. (9.57) Todistus. n 0 kts. Lause 9.4. n 0. Alkuaskel: n = 1. Aluksi määrätään käänteismatriisi F 1 = 0 1 (9.58) 1 1 ja toisaalta F 1 = f 0 f 1 f 1 f 2 = 0 1. (9.59) 1 1 Laskareissa loput. Edelleen Lauseet 9.5 ja 9.6 laaajenevat negatiivisiin indekseihin. 65

Lause 7.12. Olkoot n, m Z, tällöin f n+m+1 = f n+1 f m+1 + f n f m, (9.60) f 2m+1 = fm+1 2 + fm, 2 (9.61) f 2m = f m (f m+1 + f m 1 ). (9.62) Huomaa, että (9.60) on yhtäpitävä kaavan f n+m = f n+1 f m + f n f m 1 (9.63) kanssa. Lause 7.13. Olkoon n Z, tällöin f n+1 f n 1 fn 2 = ( 1) n. (9.64) Lause 7.14. Olkoot n, r, N, M Z, tällöin f n f rn, (9.65) ja jos (M, N) = d, niin ja jos M N, niin (f M, f N ) = f d (9.66) f M f N f MN. (9.67) Todistus. Kohta (9.65). Relaatiosta (9.62) saadaan f 2n = f n (f n+1 + f n 1 ), (9.68) joten saadaan induktion alkuaskel f n f 2n. (9.69) Sijoitetaan m = rn yhtälöön (9.63), jolloin f (r+1)n = f n+1 f rn + f n f rn 1, (9.70) 66

jonka avulla saadaan induktioaskel ja siten (9.65) todistettua arvoilla r 1. Koska f 0 = 0, niin f n f 0 aina, kun n Z. Tapaus r 0 pienin säädöin vastaavasti. Kohta (9.66). Nyt M = dm ja N = dk, joillakin m, k Z. siten kohdan (9.65) nojalla f d f M, f d f N. (9.71) Lauseen 3.4 nojalla on olemassa sellaiset r, s Z, että d = rn + sm, joten jälleen kaavan (9.63) nojalla f d = f rn+sm = f rn+1 f sm + f rn f sm 1. (9.72) Jos, nyt c f M, c f N, (9.73) niin kohdan (9.65) nojalla c f sm, c f rn. (9.74) Täten kohdan (9.72) nojalla saadaan c f d. (9.75) Kohdan (9.71) nojalla f d on yhteinen tekijä ja kohdan (9.75) nojalla suurin tekijä. Kohta (9.67) laskarit. 7.5 f n (mod k) Tarkastellaan Fibonaccin jonoa (f n ) = (f n ) n=0 (mod k). ESIM: (f n ) (0, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 1,...) (mod 2). (9.76) 67

(f n ) (0, 1, 1, 2, 0, 2, 2, 1, 0, 1, 1,...) (mod 3). (9.77) (f n ) (0, 1, 1, 2, 3, 0, 3, 3, 1, 4, 0, 4, 4, 3, 2, 0, 2, 2, 4, 1, 0, 1, 1,...) (mod 5). (9.78) (f n ) (0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 3, 1, 4, 5, 9, 4, 3, 7, 0, 3, 3...) (mod 10), (9.79) f 15 = f 30 = f 45 = f 60 0, f 61 = f 62 1 (mod 10). (9.80) Siten f 3+l f l (mod 2), l N. (9.81) f 8+l f l (mod 3), l N. (9.82) f 20+l f l (mod 5), l N. (9.83) f 60+l f l (mod 10), l N. (9.84) Määritelmä 7.4. Jonon (a l ) jakso on luku J = J a Z +, jolle pätee a l+j = a l l N. Minimijakso=MJ a =min{j Z + J = jakso}. Tarkastellaan jonoa (f n ) Z k = {0,..., k 1} ja olkoon J f = J f (k). ESIM: MJ f (2) = 3, MJ f (3) = 8, MJ f (5) = 20, MJ f (10) = 60. (9.85) Koska niin joukossa #Z 2 k = #{(a, b) a, b Z k } = k 2, (9.86) {(f l, f l+1 ) l = 0, 1,..., k 2 } (9.87) on sellaiset alkiot, että (f l, f l+1 ) = (f h, f h+1 ) (9.88) 68

ja 0 l < h k 2. Olkoon J = h l, tällöin f l+j = f l, f l+j+1 = f l+1 (9.89) ja siten rekursion nojalla f n+j = f n n N, (9.90) misså 1 J k 2. Esim: J f (10) = 60 < 10 2. 7.6 f n (mod p) Binet n kaavan (9.14) avulla josta 1 2 n 5 (( ) n 0 + 0 f n = 1 2 n 5 ( n ( 1 n 2 n 5 i i=0 ( ) n 2 5 + 1 2 n 1 f n = Lause 7.15. Olkoon p P 7. 1.) Jos, (( 1 + ) n ( 5 1 ) n ) 5 = n 1 2 j=0 ) ( 5 i ( 5 ( ) n 0 + 2 ) ) i = ( ) n 2 ) 5 3 +..., (9.91) 3 ( ) n 5 j. (9.92) 2j + 1 5 p 1 2 1 (mod p), (9.93) niin 2.) Jos, f p 1 0 (mod p) ja MJ f (p) p 1. (9.94) 5 p 1 2 1 (mod p), (9.95) 69

niin f p+1 0 (mod p) ja MJ f (p) 2p + 2. (9.96) Myöhemmin neliöjäännösteorian avulla osoitetaan, että 1.) (9.93) p = 5m ± 1. 2.) (9.95) p = 5m ± 2. Todistus. Yhtälöstä (9.92) saadaan 2 p 1 f p = 2 p 1 j=0 ( ) p 5 j = 2j + 1 josta Lauseiden 4.5 ja 6.7 nojalla ( ) p + 1 ( ) p 5 +... + 3 f p 5 p 1 2 (mod p). (9.98) Edelleen asettamalla n = p + 1 yhtälöön (9.92) saadaan Tässä ( ) p 5 p 1 2, (9.97) p p 2 ( ) ( ) ( ) p + 1 p + 1 p + 1 2 p f p+1 = 5 j = + 5 +... 2j + 1 1 3 j=0 ( ) p + 1 + 5 p 1 2. (9.99) p ( ) p + 1 = 3 (p + 1)p(p 1) 3 2 0 (mod p) (9.100) ja yleisemminkin pätee ( ) p + 1 0 k (mod p) 2 k p 1. (9.101) Siten yhtälön (9.99) nojalla 2f p+1 1 + 5 p 1 2 (mod p). (9.102) Merkitään a = 5 p 1 2, jolloin a 2 1 (mod p). Nyt Lauseen 6.8 todistuksen nojalla a ±1 (mod p). 1.) Olkoon a 1 (mod p). Tällöin yhtälöiden (9.98) ja (9.102) nojalla f p 1, f p+1 1 (mod p). (9.103) 70

Täten, ensin rekursion avulla f p 1 0 (mod p) (9.104) ja edelleen rekursion nojalla f p 1+l f l (mod p) l N, (9.105) joten J f (p) = p 1. 2.) Olkoon a 1 (mod p). Tällöin yhtälöiden (9.98) ja (9.102) nojalla f p 1, f p+1 0 = f 0 (mod p). (9.106) Täten f p+2 1 = f 1 (mod p), (9.107) f p+3 1 = f 2 (mod p) (9.108) ja edelleen sekä f 2p+1 f p 1 (mod p) (9.109) f 2p+2 f p+1 0, (mod p) (9.110) joten J f (p) = 2p + 2. ESIM: 1.) p = 11 ja 5 p 1 2 = 5 5 1 (mod 11). Nyt 11 f 10 ja MJ f (11) = 10 = p 1. p = 29 ja 5 p 1 2 = 5 14 1 (mod 29). Nyt 29 f 28 mutta MJ f (29) = 14 = (p 1)/2. 2.) p = 7 ja Nyt 7 f 8 ja MJ f (7) = 16 = 2p + 2. 5 p 1 2 = 5 3 1 (mod 7). 71

8 Lucasin jonot 8.1 Rekursio ja ratkaisu yritteellä Jono (w n ) on ei-triviaali, jos ainakin yksi alkio w n = 0. Määritelmä 8.1. Olkoot r, s C, s = 0. Ei-triviaalia jonoa (w n ), joka toteuttaa palautuskaavan w n+2 = rw n+1 + sw n, n N (10.1) sanotaan Lucasin jonoksi. Ratkaistaan rekursio (10.1) yritteellä w n = x n, x C. (10.2) Kuten pykälässä 9. rekursiosta (10.1) saadaan x 2 rx s = 0, (10.3) jonka ratkaisut ovat α = r + r 2 + 4s 2 Määritelmä 8.2. Polynomi, β = r r 2 + 4s. (10.4) 2 K(x) = K w (x) = x 2 rx s = (x α)(x β) (10.5) on rekursion (10.1) karakteristinen polynomi. Lause 8.1. Olkoot a, b C. Tällöin w n = aα n + bβ n (10.6) on rekursion (10.1) ratkaisu. 72

1.) Olkoon r 2 + 4s = 0, tällöin α = β. Siten rekursion (10.1) kaikki ratkaisut ovat muotoa (10.4), joillakin a, b C, jotka riippuvat jonon (w n ) alkuarvoista w 0, w 1. Olkoot erityisesti jota sanotaan Fibonaccin muodoksi ja F n = 1 α β (αn β n ), (10.7) L n = α n + β n, (10.8) jota sanotaan Lucasin muodoksi. Huomaa, että αβ = s, α + β = r, α β = r2 + 4s ja F 0 = 0, F 1 = 1, F 2 = r, L 0 = 2, L 1 = r, L 2 = r 2 + 2s. Lause 8.2. L n = F 2n F n. (10.9) Todistus. Suoraan laskemalla ESIM:Rekursion F 2n F n = α2n β 2n α n β n = αn + β n = L n. (10.10) w n+2 = w n+1 w n (10.11) karakteristinen polynomi on K w (x) = x 2 x + 1 = (x α)(x β), (10.12) missä α = 1 + i 3 2, β = 1 i 3. (10.13) 2 Siten rekursion (10.11) yleinen ratkaisu on muotoa (10.6). a). Olkoot alkuarvot w 0 = 2 ja w 1 = 2, tällöin ( w n = 3 i 3 1 + i ) n ( 3 + 3 + i 3 1 i ) n 3. (10.14) 3 2 3 2 73