SAVONIA-AMMATTIKORKEAKOULU Tekniikk Infrrkentmisen j kivnnisln työnjohdon koulutus (ESR) MATEMATIIKAN HARJOITTELUMATERIAALI Hrjoitustehtävien rtkisut Ari Tuomenlehto - 0 -
Hrjoitustehtävien rtkisut 1. ) + 4 7 = + 8 = 1 (+ 4) 7 = 7 7 = 49. 11, 61+ 1,96 + 48, 0 + 0,11 = 61, 6 61, 6. 4., 456 1, 945 = 0, 61904... 0, 6,4 + 0, 0678 15,6, 001 + = 119,48... 119 1, 86 1, 6 +,175 5. 6. 7. (10 7) ( ) 4xy 4 ( 10) ( ) 80 8 8 14 8 + 14 6 y = = + = + = + = = 4x 0 4 ( 10) 0 70 7 7 7 7 7 1 1 9) 1 9 1 9 + 1 10 1 + ( ) 1+ 1+ + (6 9 9 9 9 9 10 10 0 5 = = = = = = = = = 1 ( ) 1+ 1+ + 1 1 ) 1 1 + 1 4 9 4 4 9 6 6 (9,4 m) + (11, 41m) = 17, 47 m 17 m 8. ( ( c d) 9. b c + d 10. ) 4x + 8y 5x + 6 y = ( 4 5) x + (8 6) y + + + = 9x + y + 5 + + + = (1 1) + (1 1) + + ( 1+ ) = + b b b b b b b 11. ) x + 1 (4 5 x) = x + 1 4 + 5x = 7x x(1 + y) + y( x) = x + xy + y yx = x + y c) + + = + + + 1 x x x ( x 4x x 7) 1 x x x x 4x x 7 = x x + x x + x x + + = x + x + 4 7 1 8 1. ) (4 5x 4 y) = 4 5x 4y = 1 15x 1y - 1 -
1. ( x + y)( + 4 z) = x ( ) x 4z + y ( ) + y 4z = x 4xz 9y + 1yz = x 9y 4xz + 1yz 1. ) 0 5x 40y 0 5x 40y = = 6 x 8y 5 5 5 5 10z 6xz + yz 10z 6xz yz = + = 5 x + y z z z z 14. ) 4mn 6n + n = m n n + n 1 = n(m + 1) ( + c) x + y( + c) = ( + c)( x + y) c) y xz = 1 y + ( 1) + xz ( 1) = ( 1) ( y + + xz) 15. ) c) d) 4x 4x 8x = = b 5y b 5y 15by 4 p 4 1p p = = 7w 7w 7w 1 1 : 5 = = = b b 5 b 5 10b x 5 : z x w x = = w = xw 5y w 5y 5z 5y 5z 5yz 16. ) c) d) (14 4bc bc = 8xy xy 64xyz 16xz (16 xz = 4y ( ( ) b + c b + c b + c = = b + c b + c ( b+ c b + c ( b + c) = = xb + xc x ( b + c) x 17. ) c) d) ) ) 4) ( 4 + 4 + = + = = = 6 4 1 1 1 1 1 4 ( x+ 1 1 1+ x 1+ 1+ x x + ( x + 1) + = = = = x + 1 x + 1 x + 1 x + 1 x + 1 ) ) x + x + ( x + ) ( x + ) x + 9 x + 4 x + 9 + x + 4 5 x + 1 + = + = + = = 4 6 4 6 1 1 1 1 1) 1 ( ) + 5 = = = = = y y y 1 ( y) y y y y y - -
17. e) z+ ) z+ 1) 1 ( z + ) 1 (z + 1) z + 6 z + 1 = = z + 1 z + (z + 1)( z + ) (z + 1)( z + ) (z + 1)( z + ) (z + 1)( z + ) z + 6 (z + 1) z + 6 z 1 z + 5 = = = (z + 1)( z + ) (z + 1)( z + ) (z + 1)( z + ) 18. ) c) 19. ) c) d) 0. ) c) ( ) + 5 = 4 + 5 = 9 + 5 = 4 + 5 = 1 0 + 5 = 1+ 5 = 6 1 1 1 5 5 5 8 = = = = 8 8 x y y y y y = = = x y x x x x 5 5 5 4 4 4 1 1 = 1 = = = 0 1 0 1 1 1 1 1 0 1 0 ( 1) ( 1) 1 1 1 1 1 ( 1) 1 5 10x + y ei voi sieventää 4 5x + y ( (4 ( z) z 4z z = = = (4 y) 4 y 16y 4y ( b c ) = ( b ) ( c ) = b c = b c 4 6 4 ( x y z ) x y z ( x y z ) ( x y z ) ( x y z ) ( b c ) : = : = ( b c ) b c ( b c ) ( b c ) ( b c ) ( x y z ) 4 4 ( x y z ) ( b c ) ( x ) ( y ) ( z ) ( ) ( b ) ( c ) x y z b c = = = ( b c ) ( x y z ) ( b ) ( c ) ( x ) ( y ) ( z ) b c x y z 4 4 6 6 9 4 6 8 6 9 6 6 6 b c x y z z = = 6 9 6 6 6 b c x y z c 4 6 8 6 6 9 1. ) c) 1 1 x ( + x x x x = = = x( + ( + ( + ( + ( + 4 1 4 1+ 4 c) ) c b c b + b + c + + = + + = b c bc bc bc bc bc 1 x x 1 1 x x 1 x (1 )( x + ) = 1 x + 1 x = x + 1 x x 1 x 1 x x x 1 x 1 x ( x 1) x 1 x 1 = x + 1 = x 1+ = x 1+ 1 = x x 1 x 1 x 1 ( x - -
1. d) e) f) b 1 1 b 1 b 1 b b b b ( b+ 1 b + 1 b + 1 b + 1 ( b + 1) = : = = = b b b + 1 b ( b + 1) b ) ) ( + ) : ( + ) = ( + ) : ( + ) ) ( 1 1 1 1 1 + 1 1 + 1 ( + 1) ( + ) : = ( + ) : = : = = 1 1 ( ( + 1) + = = = + = + = ( + )( ) = + 4 ( ) 4 ( ) 4 = = + =. ) c) d) e) ) + + b ( + ( + + b + b + b = = + b ( + ( + ( + ( + ( + b + b + b ) b b b b b ( b + b ) b + b = = = = = ( ) ( ) + b + b + b + b + b y) ) 1 1 1 y 5 y 5y + (1 )( ) = 1 1 + = + = + = y y y y y y y y y y y y ( x ) 1 1 1 1 1 ( 1) x x x x x x ( x ) : + 1 = ( ) : + 1 = + 1 = + 1 = x 1+ 1 = x x x x x x x 1 x 1 1 1 1 1 1 1 ( )( x + y) = x + y x y = x + 1 1 y = x y y x y y x x y x y x = = = = 1 ) 1 1 + 1 1+ 1+ + 1 1 1 1 1 1 1 = : = (1 ) = 1. ) 0, 5 = 0,5 c) 81 81 = = = 7 1 1 1000 1000 = 1000 = = 100 = 10 10 10 10 4. ) x x x ( + 1) = + 1 = + 1 9 = 9 = x x x - 4 -
4. c) 6 x ( x ) x x = = = y ( y ) y y 9 d) ( 4 + 7 4 7 ) = ( 4 + 7 4 7 ) ( 4 + 7 4 7 ) = ( 4 + 7 ) ( 4 + 7 ) ( 4 7 ) ( 4 7 ) ( 4 + 7 ) + ( 4 7 ) = 4 + 7 ( 4 + 7 ) ( 4 7 ) ( 4 7 ) ( 4 + 7 ) + 4 7 = 8 ( 4 + 7 ) ( 4 7 ) = 8 16 4 7 + 4 7 7 = 8 9 = 8 = 5. ) 7x = 5 : 7 jetn puolittin luvull 7, jok supistuu vsemmlt 5 x = 7 kx = m : k jetn puolittin k :ll, jok supistuu vsemmlt m x = k c) 7x + = 11x 5 siirretään termejä + 5 = 11x 7x suoritetn yhteenlskut j vihdetn puolet keskenään 4x = 7 : 4 jetn puolittin luvull 4, jok supistuu vsemmlt 7 x = 4 d) x + b = cx + d siirretään termejä x cx = d b erotetn yhteinen tekijä x x( c) = d b jetn puolittin ( c) :llä jok supistuu vsemmlt d b x = c - 5 -
1 6. ) + 4 = x kerrotntn puolittin x :llä x x + 4x = 1 siirretään termejä 4x = 1 4x = : 4 1 x = 1 = verrnto, kerrotn ristiin x + 4 x x + = 4 x siirretään termejä x + x = 4 4x = : 4 1 x = 7. ) F = m : m F m = F = m W W 1 W U = = CU = CU C W C = U :U c) U P = R R RP = U : P U R = P - 6 -
7. d) Q = mc T : mc Q T mc = Q T = mc E R + r 8. ) = verrnto, kerrotn ristiin e r E r = e ( R + r) Er = er + er Er er = er erotetn yhteinen tekijä r r( E e) = er : ( E e) jetn puolittin ( E e) :llä jok supistuu vsemmlt er r = E e 1+ B A = C 1 B (1 + B) C A = (1 B) kerrotn puolittin (1 B) :llä jok supistuu oikelt 1 B A (1 B) = (1 + B) C A AB = C + BC siirretään termejä A C = AB + BC vihdetn puolet keskenään AB + BC = A C B( A + C) = A C : ( A + C) A C B = A + C p c) (1 + ) = b 100 p + = b 100 100 100 + p = 100b p = 100b 100 : 100b 100 p = - 7 -
8. d) = ( )( )( ) : p( p )( p A p p p b p c A p c p( p )( p b ) = A c = p p( p )( p 9. Olkoon ensimmäisestä kokeest trvittv pistemäärä n. Tällöin toisen kokeen pistemäärä on n + 1, kolmnnen n + j neljännen n +. Sdn yhtälö n + ( n + 1)( n + )( n + ) = 66, jonk rtkisu on n = 15 60 W 65 7,h 60 W 65 7,h 0. 100 % = 100 % 1,8% 8700 kwh 8700 10 Wh 1. Olkoon veroton hint ennen lennust M. Tällöin verollinen hint ennen lennust oli ( M + M ) = 1, M. 100 8 Alennuksen jälkeen verollinen hint oli ( M + M ) = 1,08 M. 100 Näinollen lennus oli 1, M 1, 08 M = 0,14 M. 0,14 M Alennus oli siis 100 % 11,5%. 1, M. Kun kurkun mss oli 400g j vesipitoisuus 99%, oli kurkuss muut inett kuin vettä eli ns. 1 kiintoinett 1%. Kiintoineen mss oli siis 400g 4g 100 =. Viikon kuluttu (vettä oli hihtunut siten, että) vesipitoisuus oli enää 98%. Tällöin kiintoineen osuus oli %. Kurkun mss rtke yhtälöstä 4g 100 m =, jost rtkisu on 00g. - 8 -
. Olkoon lisättävä määrä m (kg). Suoln määrään perustuen sdn yhtälö 15, 11, 1, 6,7 + m = ( m + 6,7), jonk rtkisu on m 106,4kg 100 100 100 15, 11, 1, 6,7 + m = ( m + 6,7) 100 100 100 5, 5784 + 0,11m = 0,1m + 4,5141 5, 5784 4, 5141 = 0,1m 0,11m 1, 064 = 0, 01m m = 106,4kg 4. Olkoon bruttoplkk M ( ). Tällöin nettoplkk on 100 5 M = 0,65M, 100 lyhennysten j korkojen jälkeen jäljellä on 100 4,5 0,65M = 0,4575M, 100 kulustsmenojen jälkeen säästöön jää 100 87, 0,4575M = 0,054496M, 100 sdn yhtälö 0,054496M = 109, jonk rtkisu on M = 000 5. ) x x + 1 = 0 ( ) ± ( ) 4 1 1 ± 0 x = = = 1 1 (ns. kksoisjuuri) x(x ) = 1+ x(1 x) x x = 1+ x x x + x x x + 1 = 0 5x 6x + 1 = 0 ( 6) ± ( 6) 4 5 1 6 ± 16 6 ± 4 x = = = = 5 10 10 0, 1-9 -
5. c) x+ ) x ) x + x 4 = 1 x x + ( x + )( x + ) ( x )( x 4) = 1 ( x + )( x ) ( x + )( x ) x x x x x x x x x x x x + + + 4 4 + 8 = 1 + 4 + 4 x x x x + 4 + 4 6 + 8 = 1 x 4 x 4 x x x x + 4 + 4 ( 6 + 8) = 1 x 4 x x x x + 4 + 4 + 6 8 = 1 x 4 10x 4 = 1 ( x 4) x 4 10x 4 = x 4 0 = x 4 10x + 4 x 10x = 0 x( x 10) = 0 x = 0 ti x = 10-10 -
6. Suorien osien pituudet ovt 1000 π r 500 = 500 π r (jolloin p.o. r < 159 ). π Säde r rtke yhtälöstä π π (500 r)r + r = 49500 π π 1000r r + r = 49500 π r r + = 1000 49500 0 61,08 r 57, 0015 (ei käy) π π (500 r)r + r = 49500 Kenttälueen pituudeksi sdn s = r + (500 π r) 61,08 + 500 π 61, 08 40 m s - 11 -
7. Olkoon pieneen ltikkoon mhtuv määrä m (kg). Tällöin pieniä ltikoit trvittisiin 0000 kpl m j suuri 0000 kpl. m + 80 Sdn yhtälö 0000 0000 = 100. m + 80 m + 80 0000 0000 100 m m + 80 = m( m + 80) 0000( m + 80) 0000m = 100 m( m + 80) 0000 + 1600000 0000 = 100 + 8000 m m m m 100m + 8000m 1600000 = 0 9,7 kg m (-17) 8. c β ) = 16,8 mm j c =,7 mm 16,8 sinα =,7 + b = c b = c b c α b 16,8 α = rcsin 45,1 β 90, 0 45,1 = 44,9,7 (,7 mm) (16,8 mm) 16,7 mm = = - 1 -
8 b = 58,km j β = 5,0 α = 90,0 β = 90,0 5,0 = 65,0 α tnα = b b b = 58,km tn 65,0 15 km b sin β = c csin β = b c : sin β b 58,km c = = 18km sin β sin 5,0 c b β - 1 -
8. c) c β = 1,4 mm j b = 6,8mm α b c = + b = (1,4 mm) (6,8 mm) 0,0 mm 1, 4 tnα = = = 0,5 b 6,8 α = rctn 0,5 6, 6 α = 6,6 β = 90,0 6,6 = 6,4-14 -
9. c 56,6,76 m sin 56,6 = c c c sin 56,6 =,76 m : sin 56,6,76 m,76 m c =,1m sin 56,6,76 m tn 56,6 = tn 56,6 =,76m : tn 56,6,76m = 1,8 m tn 56,6-15 -
40. B D A AC 6, 0 Olkoon kulm ACD α. Kolmiost ABC sdn: cosα = = BC 6, 68 6,0 cosα = 6,68 6,0 α = rccos 5, 684 6,68 AD sinα = AC AC AD = AC sinα = 6,0cm sin 5,684,61cm C - 16 -
41.,95m β b Oheisess suorkulmisess kolmioss pätee : b = :. Lske α, β, j b. tnα = = b α = rctn, 7 β = 90,0 α = 90,0,7 = 56, α Merkitään = s j b = s. Täällöin Pythgorn luseell sdn ( s) + ( s) = (,95m) ( s) + ( s) = (,95m) 4s + 9 s = (,95m) 1 s = (,95 m) 1 (,95 m) s = 1 s = (,95m) 1 (,95m) = s = 1,64 m 1 (,95 m) b = s =,45m 1-17 -
4. A B 17 C D E F G H I AC = 90, FI = EH = 0, GH = 4 DF cos17 = 90 DF = 90 cos17 HI = EF = 90 cos17 4 BE tn17 = EF BE= tn17 EF = tn17 (90 cos17 4) x = BH = EH + BE = 0 + tn17 (90 cos17 4) 47-18 -
4. 5,00 m x x Kolmion l on x x ( x) + x = (5m) 5x = 5m = x ( knt kert korkeus/ ). Pythgorn luseen perusteell pätee: x = 5m. Siis kolmion l on 5m 44. h 6,0 h tn 6,0 = 11 m 11 m h = 11 m tn 6,0 81,4m 11 m - 19 -
45. s 5,0 5,0 km 5,9 km cos5,0 = s s s cos5,0 = 5,9 km : cos5,0 5,0 km s = 8,1km cos5,0-0 -
46. s 4660 α 500 1 tnα = 1 α = rctn 18, 45 4660 + 500 cosα = s s s cosα = 5160 : cosα 5160 5160 s = 5440 cosα cos18, 45 47. Kyllä voi, kosk 600 + 40 < 500 48. 1km = 10 m 1mm 10 m = 6 1km = (10 m) = (10 ) m = 10 m 10 mm 10 10 = m = 10 m V = 10 mm 1km = 10 m 10 m = 10 m = 10000 m 6 4-1 -
49. 1m 1km = 10 l 1l = 10 m = 10 m 9 1km = (10 m) = (10 ) m = 10 m 9 9 1km = 10 m 1m = 10 km 1l = 10 m = 10 10 km = 10 km 9 1 V = 5, 10 65 160l = 5, 10 65 160 10 km 0,km 6 6 1 50. α π (4,56 m) = 15,77 m 60 60 π (4,56 m) 15,77 m 60 α = 86,9 π (4,56 m) 17, 51. Sdn yhtälö π r =,16 m 8,40 m 100 17, π r =,16 m 8,40 m : π 100 0,17,16 m 8,40 m r = π 0,17,16 m 8,40 m r = 0,85m π 5. π t = =,5dm/min (4, dm) 9,dm 146min h 6min 4 5. Sdn yhtälö π (10 cm) h = π (9 cm), jost rtkistun 4 π (9 cm) h = 9,7 cm π (10 cm) - -
54. 1 1 Olkoon α kuvss olev 4,0 m:n jännettä vstv keskuskulm. α 1 α Tällöin sin = 67,8 α 14,76 1 14, 76 1 Pienemmän segmentin l on π 1 1 sin14, 76 19 m 60 Suuremmn segmentin l on π 1 m 19 m 9 m - -
55. h tn 0 = r r = h tn 0 h r 0. Sijoittmll tämä krtion tilvuuden kvn sdn 1 1 h V r h h V h π h = π = π = tn 0 (tn 0 ) π h (tn 0 ) (tn 0 ) π = (tn 0 ) V = π (tn 0 ) V (tn 0 ) 8,0m h = =,07 m π π - 4 -
56. h α ) Reiän tilvuus on sm kuin sellisen suorn ympyrälieriön tilvuus, jonk pohjn säde on 0,9cm j korkeus h.,5cm cos4,0 = h,5cm h = cos4,0,5cm V = π (0,9cm) 10,7cm cos4,0,5cm 0,0cm = π (0,9cm) cosα,5cm cos α = π (0,9 cm) 0,0cm α 7,7-5 -