KERTAUSTEHTÄVIÄ KURSSIIN 766323A-01 Mekaniikka, osa 1 Tässä materiaalissa on ensin helpompia laskuja, joiden avulla voi kerrata perusasioita, ja sen jälkeen muutamia vaikeampia laskuja. Laskujen jälkeen on pohdintatehtäviä. Niitäkin kannattaa miettiä, jos on aikaa. Pohdintatehtäviä tekemällä löytää aukkoja omassa tietämyksessään. Tässä materiaalissa viimeisenä on vastauksia laskuihin ja pariin pohdintatehtävään. Peruslaskuja T 1: Juna lähtee asemalta ja saavuttaa tasaisesti kiihdyttäen 5,0 minuutissa vauhdin 8,0 m/s. Tämän jälkeen juna kulkee tasaisella vauhdilla. Kuinka pitkän matkan juna kulkee 8,0 minuutissa lähtöhetkestä mitattuna? T 2: Kappale heitetään maan pinnalta suoraan ylöspäin alkunopeudella v y0 = 10 m/s. a) Kuinka kauan kappale nousee ennen kuin se alkaa jälleen pudota? b) Kuinka korkealle kappale nousee? c) Kuinka kauan kestää (heittämishetkestä alkaen) ennen kuin kappale tulee maahan takaisin? T 3: Kappale liikkuu pitkin x-akselia. Kappaleen nopeus ajan funktiona noudattaa yhtälöä v at 2 bt c missä a = 4,00 ms -3, b = -3,00 ms -2 ja c = -2,00 ms -1. Mikä on kappaleen kiihtyvyys ja paikka ajanhetkellä t = 2,00 s? Kappale on origossa, kun t = 0. Opastus: Nyt kiihtyvyys ei ole vakio. T 4: Vauhtipyörä (säde 0,300 m) aloittaa levosta ja pyörii vakiokulmakiihtyvyydellä 0,600 rad/s 2. Laske pyörän reunan pisteelle tangentiaalinen kiihtyvyys, normaalikiihtyvyys (= keskeiskiihtyvyys) ja kokonaiskiihtyvyys seuraavissa kohdissa: a) alussa b) kun pyörä on kääntynyt 60,0 o c) kun pyörä on kääntynyt 120,0 o. T 5: Ihminen heittää kiven kädellään 1,2 metrin korkeudelta maan pinnasta alkunopeudella 13,5 m/s ja kulmassa, joka on vaakatasosta 26 o ylöspäin. a) Mikä tulee olemaan kiven maksimikorkeus maan pinnasta? b) Mikä on kiven kantama, kun kivi putoaa vaakasuoralle maan pinnalle? c) Mikä on kiven lentoaika? d) Mikä on kiven nopeus, kun se osuu maahan? 3 2 T 6: Kappaleen paikka ajan funktiona on r [(2t 5t 3t)ˆ i (4t 2) ˆj ] m. Määritä nopeus ja kiihtyvyys ajan funktiona. Määritä kappaleen paikka, nopeus ja kiihtyvyys, kun t = 0 ja kun t = 5 s. T 7: Kappale, jonka massa on 2,2 kg, heitetään kaltevaa tasoa ylöspäin alkunopeudella 3,7 m/s. Tason kaltevuus on 20 o. Tason ja kappaleen välinen liikekitkakerroin 0,13. Laske Newtonin II lain avulla, kuinka pitkän matkan kappale liukuu tasoa pitkin ylöspäin, ennen kuin se pysähtyy.
T 8: Kappale, jonka massa on 2,9 kg, liikkuu siten että sen paikka ja nopeus ajanhetkellä t = 0 ovat r = (3i 4j 7k) m ja v = (2i + j + 3k) m/s. Ajanhetkellä t = 1,0 s voima F = (i 3j + 2k) N alkaa vaikuttaa kappaleeseen ja vaikutus kestää kaksi sekuntia. Laske kappaleen paikka, kun t = 4,5 s. T 9: Kappale on aluksi levossa korkeudella A (katso alla oleva kuva). Se päästetään vapaaksi ja liukuu ensin kitkatonta kaarevaa pintaa pitkin kohtaan B ja sen jälkeen vaakasuoraa pintaa pitkin kohtaan C, johon kappale pysähtyy. Mikä on kappaleen ja vaakasuoran pinnan välinen kitkakerroin, jos kaarevan pinnan säde R = 1,60 m, kappalen massa 0,200 kg ja vaakasuora väli BC 3,00 m? T 10: Alla olevan kuvan mukaisessa systeemissä jousi on aluksi puristuneena 0,220 m. Jousi vapautetaan ja kappale irtoaa siitä tasapainoaseman kohdalla. Kuinka korkealle kappale nousee tasoa pitkin, jos kitkaa ei ole? (Kappaleen massa on 2,00 kg, jousivakio 400 N/m ja tason kaltevuuskulma 37,0 o.) T 11: Kappale, jonka massa on m, liikkuu voimakentässä, jonka potentiaalienergia on muotoa U = ax 2 +bx. Olkoon massa m = 2,5 kg, vakio a = 3,2 J/m 2 ja vakio b = 1,1 J/m. a) Määritä tämän kentän kappaleeseen aiheuttama voima. b) Laske, minkä työn kappaleeseen vaikuttava voima tekee, kun kappale siirtyy kohdasta x = 0 kohtaan x = 2,0 m. c) Mikä on kappaleen nopeus b)-kohdassa esitetyn siirtymän jälkeen, jos origossa kappaleen nopeus v 0 oli (4,1 m) î? Oleta, että kappaleeseen ei vaikuta muita voimia. T 12: Systeemissä on neljä hiukkasta. Niiden massat ja paikat xy-koordinaatistossa ovat vastaavasti: 3,5 kg ja (1,0 m, 2,0 m), 2,8 kg ja (4,5 m, 0,3 m), 4,7 kg ja (2,7 m, 3,0 m) sekä 7,3 kg ja (6,1 m, 2,7 m). Laske muiden hiukkasten aiheuttama gravitaatiovoima ensimmäiseen 3,5 kg:n hiukkaseen (sekä voiman suunta että suuruus). T 13: Kappale, jonka massa on 3,0 kg, on kiinnitetty jouseen, jonka jousivakio on 22 N/m. Kappaletta poikkeutetaan 320 mm tasapainoasemastaan (jossa x = 0) eräällä ajanhetkellä t = 0 ja vapautetaan levosta. a) Mikä on liikkeen periodi? b) Mikä on syntyvän harmonisen liikkeen maksimikiihtyvyys?
T 14: Vaimenemattoman värähtelijän jaksonaika on 12.0 s. Vaimenevan värähtelijän kulmataajuus on 97 % vaimenemattoman värähtelijän kulmataajuudesta. a) Mikä on peräkkäisten maksimien amplitudien suhde? b) Missä ajassa värähtelijän amplitudi pienenee puoleen? Haastavampia laskuja T 15: Kun autoa lähdetään kiihdyttämään nopeudesta v 0 = 25,0 m/s, kiihtyvyys (samalla vaihteella ajettaessa) noudattaa yhtälöä a b ct dt 2 missä b = 1,00 m/s 2, c = 0,10 m/s 3 ja d = 0,01 m/s 4. Laske auton nopeus kymmenen sekunnin kuluttua kiihdytyksen aloittamisesta. Laske myös auton tänä aikana kulkema matka. T 16: Pistemäinen kappale liikkuu xy-tasossa siten, että sen kiihtyvyyden komponentit ovat: a a x y 4sin t 3cos t Hetkellä t = 0 kappaleen paikka on muotoinen tämä rata voisi olla? 3 ĵ ja nopeus 4 î. Johda kappaleen radan yhtälö. Mieti, minkä T 17: Kappale, jonka massa on m, lähtee liikkeelle paikasta x 0 pitkin x-akselia voiman F K 2 x vaikutuksen alaisena. Osoita, että kappaleen nopeus paikassa x noudattaa yhtälöä v 2K 1 m x x 2 1 0 Opastus: Kiihtyvyys on a dv dt dv dx dx dt dv v dx T 18: Kappaleeseen vaikuttavan konservatiivisen voiman lauseke on F 2x 2 iˆ 2yj ˆ Määritä voimaan liittyvä potentiaalienergian lauseke. Valitse potentiaalienergian nollakohta origoon.
Pohdintatehtäviä T 19: Kappale lähtee levosta ja liikkuu pitkin x-akselia. Kappaleen paikka ajan funktiona on esitetty alla olevassa kuvassa. Numeroarvoja on taulukossa. t [s] x [m] t [s] x [m] 0 0 7 25 1 1 8 25 1,5 2,25 9 25 2 4 10 20 2,5 6,25 11 15 3 9 12 10 3,5 12,25 13 5 4 16 14 0 4,5 20,25 15-5 5 25 16-10 6 25 17-15 a) Milloin kappaleen nopeus on nolla? b) Milloin kappaleen nopeus on vakio mutta eri kuin nolla? c) Milloin kappale on kiihtyvässä tai hidastuvassa liikkeessä? d) Mikä on kappaleen nopeus aikavälillä 9 s 17 s?
T 20: Kappale lähtee levosta ja liikkuu pitkin x-akselia. (Kyseessä on sama tapahtuma kuin tehtävässä T 19.) Kappaleen nopeus ajan funktiona on esitetty alla olevassa kuvassa. Numeroarvoja on taulukossa. t [s] v [m/s] t [s] v [m/s] 0 0 7 0 1 2 8 0 1,5 3 9 0 2 4 10-5 2,5 5 11-5 3 6 12-5 3,5 7 13-5 4 8 14-5 4,5 9 15-5 5 0 16-5 6 0 17-5 a) Milloin kappaleen kiihtyvyys on nolla? b) Milloin kappaleen kiihtyvyys on vakio mutta eri kuin nolla? c) Mikä on kappaleen kiihtyvyys aikavälillä 0 s 4,5 s? T 21: Kappaleen paikka ajan funktiona on x = x 0 + v 0 t + ½at 2. a) Mikä on kappaleen nopeus ajan funktiona? b) Mikä on vakioiden x 0, v 0 ja a arvo tehtävässä T 19 ja T 20 esitetylle liikkeelle välillä 0 s 4,5 s? T 22: a) Kirjoita paikan ja nopeuden yhtälöt pystysuoralle heittoliikkeelle. Nyt kannattaa käyttää paikan muuttujana y-koordinaattia. b) Piirrä pystysuoran heittoliikkeen tapauksessa kuvaaja y(t) eli korkeus ajan funktiona. c) Piirrä pystysuoran heittoliikkeen tapauksessa kuvaaja v y (t) eli nopeus ajan funktiona. d) Piirrä pystysuoran heittoliikkeen tapauksessa kuvaaja a y (t) eli kiihtyvyys ajan funktiona.
T 23: Suoraviivaisen, tasaisesti kiihtyvän liikkeen perusyhtälö on: x = x 0 + v 0 t + ½at 2 Kirjoita tämän yhtälön avulla vinon heittoliikkeen yhtälöt: -korkeus y ajan funktiona -vaakasuora siirtymä x ajan funktiona -pystysuora nopeus v y ajan funktiona -vaakasuora nopeus v x ajan funktiona Oleta alkunopeus v 0 ja lähtökulma α tunnetuksi. T 24: Kappale heitetään maan pinnalta alkunopeudella v o kulmaan α maan pintaan nähden. Hahmottele seuraavat kuvaajat: a) korkeus ajan funktiona, b) pysty- ja vaakasuuntaiset nopeuden komponentit ajan funktiona, c) pysty- ja vaakasuuntaiset kiihtyvyyden komponentit ajan funktiona, d) korkeus y maan pintaa pitkin mitatun etäisyyden x funktiona. T 25: Kappale on vinossa heittoliikkeessä, jossa ilman vastusta ei ole. Oheisessa kuvassa on esitetty kappaleen paikka vaaka- ja pystysuunnassa (eli x- ja y-koordinaatit) 0,1 sekunnin välein. Vastaavat lukuarvot ovat taulukossa. Maanpinta on kohdassa y = 0. a) Miltä korkeudelta kappale lähtee eli mikä on vakion y 0 arvo? b) Mikä on x 0 eli lähtöpisteen x-koordinaatti? c) Arvioi kuvasta ja/tai taulukosta, mikä on nousuaika? d) Arvioi kuvasta ja/tai taulukosta, mikä on lentoaika? e) Arvioi kuvasta ja/tai taulukosta, mikä on nousukorkeus? f) Arvioi kuvasta ja/tai taulukosta, mikä on lentomatka eli kantama? g) Laske lähtökulma. h) Laske lähtönopeus.
T 26: Kappale (massa m) liikkuu pitkin ympyränmuotoista rataa (säde R) hetkellisen nopeuden ollessa v. Kappale on kiihtyvässä liikkeessä, kiihtyvyys on vakio a (> 0). a) Piirrä kuva, johon merkitset nopeusvektorin, tangentiaalisen kiihtyvyysvektorin, normaalikiihtyvyysvektorin, kokonaiskiihtyvyysvektorin, kulmanopeusvektorin ja kulmakiihtyvyysvektorin. b) Mikä edellisessä kuvassa muuttuu, jos a olisi < 0 eli liike olisi hidastuvaa? c) Määritä edellä annettujen tietojen perusteella itseisarvo kulmanopeudelle, kulmakiihtyvyydelle, ja normaalikiihtyvyydelle (= keskeiskiihtyvyydelle). T 27: Liikeyhtälöksi sanotaan yhtälöä, joka kirjoitetaan kappaleelle (tai useamman kappaleen systeemille) Newtonin toisen lain mukaisesti ΣF i = ma. a) Kirjoita liikeyhtälö peräkärrylle (massa m), jota kiihtyvässä liikkeessä oleva auto vetää voimalla F. Peräkärryyn vaikuttaa kitkavoiman F µ. b) Tilanne on muuten sama kuin a)-kohdassa, mutta nyt auton ja peräkärryn muodostama systeemi liikkuu eteenpäin tasaisella nopeudella v. Kirjoita liikeyhtälö peräkärrylle. c) Kirjoita liikeyhtälö kelkalle (massa m), jota lapsi vetää mäkeä (kaltevuuskulma α) ylöspäin voimalla F. Kitkakerroin kelkan ja lumen välillä on µ.
T 28: Kappale (massa m) on kaltevalla tasolla, jonka kaltevuuskulma on α. Lepokitkakerroin pinnan ja kappaleen välillä on μ s ja liukukitkakerroin μ k. Piirrä kuva tilanteesta ja merkitse siihen kaikki voimat, jotka vaikuttavat kappaleeseen kun: a) kappale on levossa b) kappale liikkuu ylämäkeen nopeudella v. Mikä on kappaleen kiihtyvyys? T 29: Kappale (massa m) ja massaton lanka (pituus l ) muodostavat heilurin. Eräällä hetkellä langan poikkeamakulma pystysuorasta suunnasta on. (Suurin poikkeama on θ 0.) Piirrä kuva tilanteesta ja merkitse kuvaan kaikki voimat, jotka vaikuttavat kappaleeseen. Määritä langan jännitys ääriasennossa. T 30: Kappale, jonka massa m on 50 g, liikkuu kuvan mukaisesti pitkin vaakasuoraa ympyrää langan varassa. Langan pituus L on 86 cm ja kaltevuuskulma α on 8,5 o. (Huomaa: α on vakio.) a) Piirrä kuva, johon merkitset kaikki kappaleeseen vaikuttavat voimat. b) Määritä kappaleeseen vaikuttavien voimien suuruus ja kappaleen nopeus. α
T 31: Määritä voiman F = 10,0 N kappaleeseen tekemä työ seuraavissa tapauksissa: (Kappale siirtyy jokaisessa tapahtumassa 3 m oikealle.) a) F s = 3 m b) 30 o F s = 3 m c) F s = 3 m d) F s = 3 m T 32: a) Minkä työn seuraavat voimat tekevät kuvan kappaleeseen? Ilmoita vastaus vain kaavana annettuja symboleja käyttäen, ei numeroarvoja paitsi jos vastaus on nolla. F α i) voima F ii) pinnan tukivoima eli normaalivoima N iii) painovoima G iv) kitkavoima F. (Kappaleen massa on m ja kitkakerroin kappaleen ja tason välillä on.)
b) Mikä on a)-kohdan kappaleeseen tehty nettotyö ja kuinka paljon kappaleen kineettinen energia muuttuu? (Ilmoita tulokset kaavoina annettuja symboleja käyttäen.) T 33: Massa on kiinnitetty pystysuoran jouseen. Massaa poikkeutetaan niin, että se alkaa värähdellä. Massaan kiinnitetty kynä piirtää käyrää, joka esittää poikkeamaa ajan funktiona kuten videossa http://www.youtube.com/watch?v=t7frgxc9sbi Tuloksena saadaan alla olevat kuvat. Määritä a) liikkeen amplitudi (sama jokaisessa kolmessa kuvassa), b) liikkeen periodi (sama jokaisessa kolmessa kuvassa), c) liikkeen kulmataajuus (sama jokaisessa kolmessa kuvassa), d) liikkeen vaihekulma (eri jokaisessa kuvassa). e) Kirjoita alimmalle liikkeelle yhtälö x = Asin(ωt +φ), johon sijoitat vakioiden arvot. Oleta, että liike on vaimentumatonta.
T 34: Harmonisen värähtelijän yhtälö on x = (0,10 m) sin 2 (rad/s) t + /4. a) Mikä on suurin poikkeama tasapainoasemasta? b) Montako edestakaista värähdystä tapahtuu sekunnissa? c) Mikä on liikkeen taajuus? d) Mikä on poikkeama ajanhetkellä t = 0? T 35: Harmonisen värähtelijän liikettä kuvataan yhtälöllä x = Asin( t + ). Määritä harmonisen värähtelijän nopeus ajan funktiona ja kiihtyvyys ajan funktiona. T 36: Kappale, jonka massa on m, liikkuu harmonisen voiman F = - kx vaikutuksen alaisena. a) Kirjoita differentiaaliyhtälö, josta saa ratkaisuna kappaleen poikkeaman tasapainoasemasta ajan funktiona: x = A sin(ωt + φ). Yhtälöä ei tarvitse ratkaista, mutta selvitä pääpiirteittäin (esimerkiksi Fysiikan matematiikan kurssilla oppimasi perusteella), miten kyseinen differentiaaliyhtälö ratkaistaan. b) Mitä yllä olevassa lausekkeessa tarkoittavat A, ω ja φ? c) Miten lasketaan värähdysliikkeen periodi? d) Mikä on kyseisen värähtelijän hetkellinen potentiaalienergia ja kokonaisenergia. T 37: Kappale, jonka massa on m, liikkuu harmonisen voiman F = - kx vaikutuksen alaisena. Lisätään systeemiin liikettä hidastava voima, joka riippuu kappaleen nopeudesta seuraavalla tavalla: F = - bv a) Kirjoita differentiaaliyhtälö, josta saa ratkaisuna kappaleen poikkeaman tasapainoasemasta ajan funktiona. Yhtälöä ei tarvitse ratkaista, mutta saa ratkaista, jos haluaa treenata laskemista. b) Differentiaaliyhtälön ratkaisu on: x = Ae -(b/2m)t sin(ωt + φ) Mitä tässä yhtälössä tarkoittavat A, b, m, ω ja φ? c) Milloin vaimennettu värähtelijä on ylivaimennettu? Mitä se käytännössä tarkoittaa? d) Jos piirtäisit tehtävän vaimentumattoman ja vaimennetun värähtelijän kuvaajan, miten ne eroaisivat toisistaan? Oleta, että m, k ja φ ovat samoja molemmille värähtelijöille. T 38: Koejärjestely on muuten samanlainen kuin tehtävässä T 33, mutta nyt kappaleeseen vaikuttaa hidastava voima. Kappale on esimerkiksi upotettu nesteeseen. Asiaa havainnollistaa videossa http://www.youtube.com/watch?v=zqkj3gyvs0y vasemmanpuoleisin kuva tai video http://fi.wikipedia.org/wiki/tiedosto:damped_spring.gif Alla olevassa kuvassa on esitetty kappaleen poikkeama ajan funktiona. Määritä vakion b/2m arvo, jos liikettä kuvataan yhtälöllä x = Ae -(b/2m)t sin(ωt + φ).
Vastaukset T 1: 2,6 km T 2: a) 1,02 s, b) 5,10 m, c) 2,04 s T 3: a(2 s) = 13,0 m/s 2, x(2 s) = 0,667 m T 4: b) a TAN = 0,180 m/s 2, a RAD = 0,377 m/s 2, a TOT = 0,420 m/s 2 T 5: a) 2,99 m, b) 16,8 m, c) 1,4 s, d) 14,3 m/s T 6: t = 5 s r = 142 m, v = 103 m/s, a = 50,0 m/s 2. Anna tulokset (ensisijaisesti) vektoreina. T 7: 1,5 m T 8: r = (13,7i 4,67j + 9,95k) m T 9: 0,533 T 10: s = 0,820 m tai h = 0,493 m
T 11: a) [(6,4x + 1,1)i]N, b) 15 J, c) 2,2 m/s T 12: F KOK = (3,5i + 1,3j). 10-10 N, F KOK = 3,7. 10-10 N T 13: a) 2,32 s, b) 2,35 m/s 2 T 14: a) 0,21, b) 5,45 s T 15: v(10 s) = 36,7 m/s, x(10 s) = 308 m T 16: r = (4sint)i 3(cost -2)j T 18: T 30: G = 0,491 N, T = 0,496 N, v = 0,432 m/s T 38: noin 0,05 s -1