GeoGebra ja L A TEX matematiikan sähköisessä ylioppilaskokeessa

GeoGebra ja L A TEX matematiikan sähköisessä ylioppilaskokeessa Mikko Rautiainen Savitaipaleen lukio 11. lokakuuta 2017

Sisältö 1 Johdanto 1 2 GeoGebran asetuksista 2 3 LaTeXin perusteet 2 3.1 Yhtäsuuruusmerkkien asettaminen päällekkäin.................. 3 3.2 Vaakasuuntainen tyhjä tila............................... 4 3.3 Tavallinen teksti LaTeXin sisällä............................ 4 3.4 Ylä- ja alaindeksit.................................... 5 3.5 Peruslaskutoimitukset................................. 5 3.6 Korkeat sulut...................................... 7 3.7 Yhtälö- ja epäyhtälöryhmät LaTeXilla........................ 7 3.8 Kreikkalaiset aakkoset, \log, \sin, ja prosenttimerkki.............. 8 3.9 Keskiarvo ja summa.................................. 9 3.10 Todennäköisyyslaskennan merkintöjä LaTeXilla.................. 9 3.11 LaTeX-tehtäviä MAY1-kurssilta............................ 10 3.12 LaTeX-tehtäviä muilta kursseilta........................... 11 4 Piirtoalueen perusteet 14 4.1 Kuvaajien piirtäminen................................. 14 4.2 Kuvaajan värin ja paksuuden muuttaminen..................... 15 4.3 Ympyrä ja tangenttisuorat............................... 16 4.4 Kolmion piirtäminen.................................. 17 4.5 Käyrän tangentti ja tangentin kulmakerroin..................... 19 5 CAS perusteet 21 5.1 CAS tehtäviä....................................... 22 6 Liite 1: MiKTeXin asentaminen omalle koneelle 23 7 Liite 2: Luettelo yleisimmin käytetyistä symboleista 25 7.1 Kreikkalaiset aakkoset................................. 25 7.2 Erikoismerkkejä..................................... 25 8 Liite 3: Kevään 2016 pitkän matematiikan yo-kokeen osa B1 GeoGebralla 26 This work is licensed under a Creative Commons Attribution 3.0 Unported license. 2

1 Johdanto Tämä on opas GeoGebran ja Latexin käyttöön matematiikan sähköisessä yo-kokeessa. Oppaan tarkoitus on esitellä GeoGebran tarjoamat toiminnot, joiden avulla ylioppilaskokeeseen vastaaminen onnistuu. Kaikenkattava GeoGebra-opas tämä ei ole eikä tule olemaankaan; sellaista kaipaava voi tutustua esimerkiksi J. & M. Hohenwarterin kirjoittamaan ohjekirjaan 1 GeoGebran versiolle 4.4. GeoGebran avulla pystytään vastaamaan kaikkiin ylioppilaskokeen tehtäviin ja saamaan vastauksesta selkeän ja siistin. Matemaattisen tekstin asettelu saadaan GeoGebralla paperille kirjoitettua vastaavaksi. Matemaattisen tekstin tuottaminen GeoGebran avulla perustuu LaTeXiin 2. LaTeX on erityisesti matematiikan kirjoittamiseen suunniteltu ladontaohjelma, jolla saa kirjoitettua siististi kaikki matemattiset merkinnät. LaTeXilla on valitettavasti kohtuullisen korkea oppimiskäyrä. Helppoa tapaa kirjoittaa matematiikkaa sähköiseen muotoon ei kuitenkaan Digabi OS:ssä ole. Pelkkä tämän oppaan läpi lukeminen tai edes esimerkkien tekeminen ei anna riittäviä taitoja sähköiseen ylioppilaskokeeseen vastaamiseen. GeoGebran ja eritoten LaTeXin sujuvaan käyttöön vaaditaan runsaasti harjoittelua. GeoGebraa tulisikin käyttää matematiikan opiskelussa mukana koko lukio-opiskelun ajan, että se olisi hyödyllinen ja luotettava työkalu kirjoituspäivänä. Latexin ja GeoGebran avulla pystyy vastaamaan kaikkiin matematiikan sähköisen ylioppilaskokeen tehtäviin. Joissakin tehtävissä voi olla helpompaa käyttää jotakin Digabista löytyvää laskinohjelmistoa. Kokeen A-osiossa ei saa käyttää GeoGebraa, mutta siinä yhtälöiden syöttäminen Latexin ladontamenetelmää käyttäen on sallittu. Demoversio löytyy osoitteesta https://math-demo. abitti.fi/. 1 https://static.geogebra.org/book/intro-en.pdf 2 katso https://fi.wikipedia.org/wiki/latex 1

2 GeoGebran asetuksista GeoGebran oletusfontti on onnettoman pieni. Se kannattaa käydä vaihtamssa Asetukset-valikosta. Lisäksi GeoGebra tahtoo nimetä kaikki mahdolliset janat ja luvut, joita ei tarvitse nimetä. Valinnalla Asetukset - Nimeäminen - Nimeä vain pisteet saa ohjelmaa hieman hillittyä. Piirtoalueelle voi olla joskus tarpeen asettaa koordinaattiruudukko. Napsauta tyhjää kohtaa piirtoalueella (ettei mitään ole valittuna), napsauta oikealla hiiren painikkeella piirtoaluetta ja valitse Koordinaattiruudukko. 3 LaTeXin perusteet LaTeXia voi käyttää GeoGebralla voi kirjoittaa tekstiä Piirtoalueelle napsauttamalla Lisää teksti. 2

Tekstikenttään voidaan syöttää tavallista tekstiä tai LaTeX-kaavoja Tekstinlisäysikkunan kokoa kasvattamalla voit saada enemmän rivejä näkyviin syötekenttään. Olemassaolevan tekstikentän muokkaus onnistuu valitsemalla Siirtotyökalu ja kaksoisnapsauttamalla muokattavaa tekstiä. 3.1 Yhtäsuuruusmerkkien asettaminen päällekkäin Yhtälöitä kirjoitettaessa tulee yhtäsuuruusmerkit asettaa päällekkäin seuraavasti 3 : 3 Tämän ohjeen LaTeX-merkinnöissä oletetaan, että käyttäjä kirjoittaa syötteensä GeoGebran teksinlisäysikkunaan jossa on LaTeX-kaava -valinta ruksattu. Jos käytetään oikeaa LaTeX-ladontaohjelmistoa, tulee syötteisiin lisätä matematiikkatilan aloitus ja lopetusmerkit \( ja \). 3

a + 1 = b a = b 1 Kaavassa \begin{split} ja \end{split} tasaa &-merkin jälkeen tulevan merkin samalle kohtaa. Jokaisella rivillä on oltava täsmälleen yksi &-merkki. \\ tekee rivinvaihdon. Jokaisen rivin lopussa viimeistä riviä lukuunottamatta on oltava rivinvaihto. Mikäli yhtäsuuruusmerkin vasemmalla puolella ei ole mitään, sinne tulee joskus asettaa GeoGebrassa välilyönti eli kenoviiva: f(2) = 2 1 = 1 3.2 Vaakasuuntainen tyhjä tila Vaakasuuntaista tyhjää tilaa voidaan luoda seuraavasti: välilyönti: \ neljä välilyöntiä: \quad kahdeksan välilyöntiä: \qquad 3.3 Tavallinen teksti LaTeXin sisällä Jos LaTeX-kaavan sekaan halutaan tavallista tekstiä, sen kirjoittaminen onnistuu merkinnällä \text{}. Esimerkki: x 2 = 4 x = ±2 x = 2 negatiivinen ei kelpaa 4

3.4 Ylä- ja alaindeksit Yläindeksien ja alaindeksien kirjoittaminen onnistuu merkeillä ˆ ja _ seuraavasti: Syöte xˆ2 tulostaa näytölle x 2. Syöte xˆ{y-2} tulostaa näytölle x y 2. Syöte a_2 tulostaa näytölle a 2. Syöte a_{n-1} tulostaa näytölle a n 1. Alaindeksiin lisätään oletuksena matematiikkatilamuotoilua sisältöä. Tekstin lisääminen onnistuu seuraavasti: A_\text{sektori} (A sektori ) 3.5 Peruslaskutoimitukset \cdot tulostaa (eli kertolaskumerkin). Murtolausekkeet voidaan kirjoittaa komennolla \frac{2}{3}, joka tulostaa 2 3. Sekaluvut voi kirjoittaa kirjoittamalla kokonaisluvun ja murtoluvun peräkkäin, 1\frac{2}{3} tulostaa 1 2 3 Murtolukuja voi yhdistellä: \frac{2}{\frac{4}{7}}, tulostaa 2 4. 7 Merkintä \sqrt{} tulostaa neliöjuuren,, esim. \sqrt{20} ( 20). Jos käyttää neliöjuurta ilman lukua, kannattaa lisätä välilyönnit: \sqrt{\ \ } tulostaa. Yleinen juurimerkki: \sqrt[3]{8} tulostaa 3 8 \pm tulostaa ±. Esimerkki (Lyhyt 1/s16). Määritellään funktio f(x) = x 3 2x 2 + x + 7. a) Laske f(1). b) Laske f (2). Ratkaisu. a) f(1) = x3 2x 2 + x + 7 = 1 3 2 1 2 + 1 + 7 = 1 2 + 1 + 7 = 7 b) 5

f(x) = x 3 2x 2 + x + 7 f (x) = 3x 2 4x + 1 f (2) = 3 2 2 4 2 + 1 = 12 8 + 1 = 5 Huom. f (2) tarkoittaa funktion f derivaattafunktion f (MAA6, MAB7) arvoa kohdassa 2. Esimerkki (lyhyt s16/2ab). a) Sievennä lauseke 1 2 + 1 2 2 + 1 2 3. b) Ratkaise yhtälö 5 2x+4 = 5 x. Ratkaisu. a) 1 2 + 1 2 + 1 4) 2 2 = 1 2) 3 2 + 1 4 + 1 8 = 4 8 + 2 8 + 1 8 = 7 8 Ratkaisussa \prescript{}{} tekee yläindeksin ja alaindeksin ennen seuraavaa merkintää (seuraava frac tulee olla aaltosulkeissa). Laventaminen on hyvin raskasta kirjoittaa LaTeXilla, eikä sitä ole välttämätöntä merkitä näkyviin; voisi kirjoittaa vain 1 2 + 1 2 2 + 1 2 3 = 1 2 + 1 4 + 1 8 = 4 8 + 2 8 + 1 8 = 7 8 6

b) 5 2x+4 = 5 x samat kantaluvut 2x + 4 = x 2x + x = 4 3x = 4 : 3 x = 4 3 3.6 Korkeat sulut \frac{}{} tuottaa oletuksena matalat sulut myös murtolukujen ympärille. Jos haluaa oikean näköiset sulut, pitää käyttää merkintää \left\frac{}{}\right). 3.7 Yhtälö- ja epäyhtälöryhmät LaTeXilla LaTeX osaa kirjoittaa yhtälöryhmät siististi merkintöjen \begin{cases} ja \end{cases} avulla. &-merkkiä käytetään kuten \splitin kanssa eli tasaamaan yhtäsuuruusmerkkien paikat: 2x + y = 5 x y = 1 Vastaavasti voidaan merkitä epäyhtälöryhmä. 2x + y + 5z 5 x y + 2z < 1 x + y + z 2 jossa \leq tulostaa -merkin ja \geq tulostaa -merkin. Esimerkki (lyhyt s13/2b). Ratkaise yhtälöpari 2x + y = 4 x + 2y = 1 Ratkaisu. 7

2x + y = 4 x + 2y = 1 2 2x + y = 4 2x + 4y = 2 Lasketaan yhtälöt yhteen puolittain, jolloin x-termit eliminoituvat: 5y = 6 : 5 y = 6 5 Sijoitetaan y = 6 5 ensimmäiseen yhtälöön: 2x + 6 5 = 4 2x = 4 6 5 2x = 14 5 : 2 x = 7 5 Vastaus: x = 7, y = 6. 5 5 Yhtälöryhmät on mahdollista ratkaista myös GeoGebran CAS-ominaisuudella tai piirtoalueella. 3.8 Kreikkalaiset aakkoset, \log, \sin, ja prosenttimerkki Trigonometriset funktiot, logaritmifunktiot ja kreikkalaiset aakkoset kirjoitetaan kenoviivan avulla seuraavasti: Kreikkalaiset aakkoset saa kirjoitettua muodossa \alpha (α) tai \pi (π). Kattava luettelo symboleista löytyy liitteistä. sin kirjoitetaan \sin. cos 60 kirjoitetaan \cos 60ˆ\circ. Ilman kenoviivaa merkintä näyttää huonolta: cos60 tan π kirjoitetaan \tan \pi arcsin 30 kirjoitetaan \arcsin 30ˆ\circ 8

arcsin tarkoittaa samaa kuin sin 1, joka kirjoitetaan \sinˆ{-1} lg 3 kirjoitetaan \lg 3 Logaritmin kantaluku merkitään kuten alaindeksi: log 2 32 = 5 merkitään \log_2 32 = 5. e-kantainen logaritmifunktio ln merkitään \ln Prosenttimerkin saa kenoviivan avulla: \% tulostaa %. Esimerkki 3.8.1. Ratkaise terävä kulma α asteen tarkkuudella, kun sin α = 0,8. Ratkaisu. sin α = 0,8 α = sin 1 0,8 α 53,1 3.9 Keskiarvo ja summa Muuttujan x keskiarvo x merkitään \bar{x}. Summa 10 i=0 a i merkitään \sum_{i = 0}ˆ{10} a_i 3.10 Todennäköisyyslaskennan merkintöjä LaTeXilla P (A) kirjoitetaan yksinkertaisesti P(A). P (punainen) kirjoitetaan P(\ text{punainen}). Tapahtuman A komplementti eli vastapahtuma kirjoitetaan \overline{a}. ( n k) kirjoitetaan {n \choose k}. x N(µ, σ) kirjoitetaan x \sim N(\ mu, \sigma) Esimerkki 3.10.1. Vakioveikkauksessa on 13 kohdetta. Millä todennäköisyydellä umpimähkään valittaessa saadaan tasan 11 oikein? Ratkaisu. P (tasan 11 oikein) = ( ) 13 11 ( ) 11 1 3 = 1,9569... 10 4 1,96 10 4 ( ) 13 11 2 3 9

Esimerkki 3.10.2. Satunnaismuuttuja x N(100, 15). Määritä P (x 80). Ratkaisu. Olkoon z satunnaismuuttuja, jolle z N(0,1), ts. z noudattaa normitettua normaalijakaumaa. Arvoa x = 80 vastaava normitettu arvo on z 80 = x µ σ 80 100 z 80 = 15 z 80 = 1,25 Kysytty todennäköisyys on P (x 80) = P (z 1,25) = P (z 1,25) = Φ(1,25) 0,8944 0,89 3.11 LaTeX-tehtäviä MAY1-kurssilta 1. a) Paidan hinta oli ennen alennusmyyntiä 42 eur. Kuinka paljon paita maksoi 20 % alennuksessa? b) Laukun hinta oli 30 % alennusmyynnissä 35 eur. Mikä oli laukun alentamaton hinta? c) Osakkeiden arvo nousi ensimmäisenä vuotena 7 % ja toisena 10 %. Kuinka monta prosenttia osakkeiden arvo nousi yhteensä kahden ensimmäisen vuoden aikana? 2. Piirrä funktion f(x) = 2x 2 4x 12 kuvaaja ja vastaa sen perusteella. a) Millä muuttujan x arvoilla funktion f arvo on suurempi kuin 4? b) Millä muuttujan x arvoilla funktion f arvo on pienempi kuin 6? 3. Määritä lukujonon (a n ) jäsen a 25. a) a n = n 3 7n b) a 1 = 3 ja a n = 2a n 1 1, kun n = 2, 3, 4,... 4. Geometrisen lukujonon ensimmäinen jäsen on 80 ja toisesta jäsenestä alkaen jonon jäsen on puolet edellisestä jäsenestä. Laske lukujonon 20 ensimmäisen jäsenen summa. 10

5. Yrityksen liikevaihto on tammikuussa 23 000 euroa. Yrityksen tavoitteena on kasvattaa liikevaihtoa 3 % jokaisen kuukauden aikana. Laske koko vuoden liikevaihto, jos tavoite toteutuu 3.12 LaTeX-tehtäviä muilta kursseilta 1. Sievennä lauseke x(x 2) + x mallin mukaisesti: x(x 2) + x = x 2 2x + x = x 2 x 2. Sievennä lauseke (x 3)(x 3) mallin mukaisesti: (x 3)(x 3) = x 2 3x 3x + 9 = x 2 6x + 9 3. Kirjoita yhtälön x 2 7x + 10 = 0 ratkaisu mallin mukaisesti: 4. Kirjoita verrantoyhtälön x = b ± b 2 4ac 2a x = ( 7) ± ( 7) 2 4 1 10 2 1 = 7 ± 49 40 2 = 7 ± 3 2 x 1 = 7 + 3 2 x 2 = 7 3 2 = 5 = 2 ( 1,5 t ) 2 = 51 80 ratkaisu mallin mukaisesti. Vihje: kolme pistettä saa sievästi kun kirjoittaa \ldots. ( ) 2 1,5 = 51 t 80 1,5 2 = 51 t 2 80 51t 2 = 1,5 2 80 : 51 t 2 = 1,52 80 51 t 2 = 180 51 180 t = ± 51 t = ±1,8786... t 1,9 11 negatiivinen ei kelpaa

5. Kirjoita mallin mukainen ratkaisu yhtälöparille y = 1x + 2 2 x 2y = 4. Koska toisessa yhtälössä on y valmiiksi ratkaistu, kannattaa käyttää sijoituskeinoa. y = 1x + 2 2 x 2y = 4 x 2 ( ) 1 2 x + 2 = 4 x x 4 = 4 4 = 4 Sijoittamalla saadaan identtisesti tosi yhtälö, joten jokainen sijoitetun yhtälön ratkaisu on myös toisen yhtälön ratkaisu. Yhtälöparin toteuttavat kaikki suoran y = 1 2 x + 2 pisteet. Vihje: korkeat sulut saa kirjoittamalla \left(\frac{}{}\right) 6. Määritä pisteiden (0,1) ja (1, 5) kautta kulkevan suoran kulmakerroin mallin mukaisesti. Vihje: iso delta kirjoitetaan \Delta. k = y x = y 2 y 1 x 2 x 1 = 5 1 2 0 = 6 2 = 3 7. Määritä pisteiden ( 1, 5) ja (11,1) kautta kulkevan suoran yhtälö mallin mukaisesti. y y 1 = y 2 y 1 x 2 x 1 (x x 1 ) y ( 5) = 1 ( 5) (x ( 1)) 11 ( 1) y + 5 = 6 (x + 1) 12 y + 5 = 1 (x + 1) 2 y = 1 2 x + 1 2 5 y = 1 2 x 41 2 12

8. Suorakulmaisen kolmion kulman α viereinen sivu on 12,1 mm ja hypotenuusa 14,2 mm. Laske kulma α asteen tarkkuudella mallin mukaisesti. cos α = 12,1 14,2 cos α = 0,85211... α = cos 1 0,85211... α 31,558 α 32 9. Ratkaise eksponenttiyhtälö kahden desimaalin tarkkuudella mallin mukaisesti. 2 x = 5 lg lg 2 x = lg 5 x lg 2 = lg 5 : lg 2 x = lg 5 lg 2 x = 2,321... x 2,32 10. Laske mallin mukaisesti todennäköisyys, että heitettäessä arpakuutiota 5 kertaa, saadaan ainakin 1 kuutonen. P (5 heittoa, ainakin 1 kuutonen) = 1 P (0 kuutosta) ( ) 5 5 = 1 6 = 0,598... 0,60 11. Laske mallin mukaisesti todennäköisyys saada Lotossa 5 oikein. ( 7 )( 32 ) 5 2 P (5 oikein) = ( 39 ) 7 21 496 = 15 380 937 = 6,77... 10 4 6,8 10 4 13

4 Piirtoalueen perusteet Tähän osioon on kopioitu joitain osia Janne Cederbergin oppaasta GeoGebra-harjoituksia maluopettajille (lisenssi CC-BY). 4.1 Kuvaajien piirtäminen GeoGebralla voidaan piirtää funktioden kuvaajia alareunasta löytyvän Syöttökentän avulla. Piirretään seuraavien funktioiden kuvaajat: f(x) = 2x + 1 g(x) = x 2 3x + 2 h(x) = cos x Kirjoita syöttökenttään f(x) = 2x + 1 ja paina enter. Funktion lauseke näkyy vasemman reunan Algebraikkunassa ja itse kuvaaja oikean reunan Piirtoalueessa. Kirjoita syöttökenttään g(x) = xˆ2-3x + 2 ja paina enter-näppäintä. Lisää funktio cos x. Kirjoita h(x) = cos(x) ja paina enter-näppäintä. 14

4.2 Kuvaajan värin ja paksuuden muuttaminen Kuvaajan värin ja paksuuden muuttaminen onnistuu Ominaisuudet-valinnan kautta. Napsauta haluamaasi kuvaajaa hiiren oikealla painikkeella ja valitse aukeavasta valikosta Ominaisuudet. Omnaisuudet-valikossa valitse välilehti Väri. 15

Muuta kuvaajan väriksi tummanvihreä. Valitse välilehti Objektin tyyli. Valitse Objektin tyyli -välilehdeltä viivan paksuus 5. Kuvaajan paksuus muuttuu vastaamaan uutta valintaa. Vaihda funktion f(x) = 2x + 1 kuvaaja katkoviivaksi valitsemalla Ominaisuudet - Objektin tyyli - Viivan tyyli. 4.3 Ympyrä ja tangenttisuorat Piirrä ympyrä (x+3)ˆ2 + (y-2)ˆ2 = 16 sekä piste B = (4,2) syöttökentän avulla. Piirrä ne ympyrän tangentit, jotka kulkevat pisteen B kautta. 16

Merkitse tangenttien ja ympyrän leikkauspisteet Piste-työkalulla.. Määritä sitten muodostuneen tangenttikulman suuruus Kulma-työkalulla. 4.4 Kolmion piirtäminen Piirretään tasakylkinen kolmio, jonka kannan pituus on 4 ja kylkien pituudet 5. Piirretään kolmiolle korkeusjana. Piirrä kanta x-akselille valitsemalla Jana-työkalu. 17

Piirrä jana, jonka päätepisteet ovat A(0,0) ja B(4,0). Piirrä sitten origokeskinen ympyrä, jonka säde on 5. Käytä työkalua Ympyrä: keskipiste ja säde. Piirrä toinen samankokoinen ympyrä, nyt keskipisteenä (4,0). Täydennä kuviosi tasakylkiseksi kolmioksi. Aseta piste (piste C) ympyröiden leikkauspisteeseen ja piirrä janat AC ja BC. Aseta janalle AB piste D kirjoittamalla syötekenttään (x(c), 0). Tämä luo pisteen jolla on sama x-koordinaatti kuin pisteellä C, ja jonka y-koordinaatti on 0. 18

Piirrä kolmion korkeusjana CD. Vaihda korkeusjanan tyyli katkoviivaksi (Ominaisuudet - Objektin tyyli - Viivan tyyli). Poista ympyrät näkyvistä. Älä kuitenkaan pyyhi ympyröitä (ts. poista niitä kokonaan), ettei piste C katoa. Lisää kulmat CDA ja DAC kolmioon. Lisää vielä tekstityökalulla kannan ja kylkien pituuden ilmaisevat luvut. Poista akselit ja pisteet näkyvistä. Poista myös suoran kulman nimi näkyvistä. Tallenna lopuksi työsi. 4.5 Käyrän tangentti ja tangentin kulmakerroin Piirretään paraabelille y = x 2 tangentti ja tutkitaan tangentin kulmakerrointa. Aseta koordinaattiruudukko näkyviin. Piirrä funktion f(x) = x 2 kuvaaja syöttökentän avulla. Aseta kuvaajalle piste A. Piirrä kuvaajalle tangentti käyttäen Tangentti-työkalua. 19

Määrittele kulmakerroin k kirjoittamalla syöteriville k = Kulmakerroin[g]. Raahaa pistettä A hiirellä. Tarkkaile miten tangentti muuttuu. Lisää piste B kirjoittamalla syöttökenttään B=(x(A), k). Napsauta pistettä B hiiren oikealla painikkeella ja valitse Jälki käyttöön. Siirrä pistettä A hiirellä. Piste B piirtää osan funktion h(x) = 2x kuvaajasta. Funktion h arvo ilmaisee funktion f(x) = x 2 tangentin kulmakertoimen jokaisella muuttujan arvolla. Sanotaan, että funktio h on funktion f derivaattafunktio. 20

5 CAS perusteet GeoGebralla voidaan ratkaista yhtälöparit CAS-laskimessa. Laskin avataan valikoista Näytä - CAS tai näppäinyhdistelmällä Ctrl+Shift+K. CAS-välilehdellä voidaan laskea tavallisia tai symbolisia laskutoimituksia sekä kirjoittaa tekstiä. Tekstin kirjoittaminen onnistuu, kun valitaan Näytä tyylipalkki ja sieltä edelleen T-kirjain (teksti). Jos halutaan käyttää CASin laskentaominaisuuksia, T ei pidä olla valittuna. Tällöin yhtälöparin voi ratkaista seuraavasti: Ratkaise[{2x+y = 4, -x + 2y = 1}, {x,y}] jolloin GeoGebra tulostaa suoraan vastauksen. 21

5.1 CAS tehtäviä 1. Kirjoita vastaava lasku käyttäen GeoGebran CAS-toimintoa. Vihje: Yhtälöparin ratkaisun syntaksi on Ratkaise[{yhtälö1, yhtälö2}, {muuttuja1, muuttuja2}]. Tulos näyttää tältä: {{x = 2y 4, y = y}} josta pitää nähdä, että yhtälöparin ratkaisu on kaikki suoran x = 2y 4 pisteet. Tämä on sama suora kuin y = 1x + 2. 2 22

6 Liite 1: MiKTeXin asentaminen omalle koneelle Jos haluat kokeilla täysveristä LaTeX-ladontaohjelmaa Windowsissa, toimi seuraavasti: 1. Asenna Basic MiKTeX 4 Installer -paketti osoitteesta https://miktex.org/download. Valitse asennuksen aikana Install missing packages on the fly -kysymykseen Yes. 2. Etsi bin-kansio MiKTeXin alta, luultavasti osapuilleen C:\Program Files\MiKTeX 2.9\miktex\bin 3. Lataa jokin PDF-lukija 5, esim. Sumatra PDF osoitteesta http://www.sumatrapdfreader.org/download-free-pdf-viewer.html ja asenna se koneellesi. 4. Lataa TeXnicCenter 6 osoitteesta http://www.texniccenter.org/download/ ja asenna se koneellesi. 5. Avaa TeXnicCenter ja kerro sille kohdassa 2 etsimäsi kansio, kun se kysyy Where are MiKTeX executables located? 6. TeXnicCenterin pitäisi osata valita itse loput asetukset (esim. pdf-lukija). 7. Säädä TeXnicCenterissä Output Profile oletusasennosta LaTeX DVI muotoon LaTeX PDF. 8. Avaa uusi tiedosto TeXnicCenterissä ja kopioi seuraava LaTeX-koodi leikepöydän avulla TeXnicCenteriin. 4 MiKTeX on LaTeXin Windows-versio, joka hoitaa kääntämisen.tex-tiedostosta.pdf-tiedostoksi 5 PDF-lukijaa käytetään vain MiKTeXin luomien pdf-tiedostojen lukemiseen 6 TeXnicCenter on.tex-tiedostojen kirjoittamiseen tarkoitettu tekstieditori, joka osaa värikoodata.tex-koodin. Lisäksi editorissa on liuta ominaisuuksia, jotka helpottavat LaTeX-koodin kirjoittamista. 23

\documentclass[12pt,leqno,a4paper]{article} % kirjoitelmaluokka article \usepackage{amsfonts,amssymb} % AMSFonts antaa lisää matematiikkasymbol \usepackage{palatino,url,paralist} % paralist auttaa listojen ulkoasun \usepackage[t1]{fontenc} % is oriented to output, that is, what fonts t \usepackage[english,finnish]{babel} % tavutus \usepackage[latin2]{inputenc} % allows the user to input accented chara \usepackage[pdftex]{graphicx} % jpg, png kuvien lisäys \usepackage[intlimits]{amsmath} % määrätyn integraalin ala- ja ylärajat \usepackage{color} % \color{blue}sinistä\color{black}mustaa \usepackage{icomma} % desimaalipilkku paikoilleen \begin{document} \title{introduction to \LaTeX{}} \author{author s Name} \maketitle \begin{abstract} The abstract text goes here. \end{abstract} \section{introduction} Here is the text of your introduction. \begin{equation} \label{simple_equation} \alpha = \sqrt{ \beta } \end{equation} \subsection{subsection Heading Here} Write your subsection text here. \begin{center} \includegraphics{myfigure.jpg} \end{center} \newpage \section{conclusion} Write your conclusion here. \end{document} 9. Paina Ctrl+Shift+F5, jolloin MiKTeX kääntää.tex-tiedostosi avulla pdf-tiedoston. Tietokone asentelee ensimmäisellä kääntämiskerralla minuutin verran puuttuvia paketteja. 10. Jos kaikki meni putkeen, luotu PDF-tiedosto avautuu PDF-lukijassa. Voit tehdä muutoksia TeXnicCenterin puolella ja tehdä aina halutessasi uuden pdf-tiedoston. 24

7 Liite 2: Luettelo yleisimmin käytetyistä symboleista Tuolla on 200-sivuinen lista LaTeX-symboleja: http://tug.ctan.org/info/symbols/ comprehensive/symbols-a4.pdf Vähemmälläkin pärjää, joten tässä oleellisimmat. 7.1 Kreikkalaiset aakkoset α β γ δ ɛ ε ζ η θ ι κ λ \alpha \beta \gamma \delta \epsilon \varepsilon \zeta \eta \theta \iota \kappa \mu ν ξ π ρ σ τ υ φ ϕ χ ψ ω \nu \xi \pi \rho \sigma \tau \upsilon \phi \varphi \chi \psi \omega Γ Θ Λ Ξ Π Σ Υ Φ Ψ Ω \Gamma \Delta \Theta \Mu \Xi \Pi \Sigma \Upsilon \Phi \Psi \Omega 7.2 Erikoismerkkejä % \% \neq \leq \geq \infty \vee \wedge \forall \exists ± \pm \times \cup \cap \in / \notin \subset \subseteq \supset \supseteq \cdot \to \iff \sim \perp \parallel sin cos tan arcsin \nparallel \rightarrow \leftarrow \Rightarrow \Leftarrow \sum \prod \int \sin \cos \tan \arcsin arccos \arccos arctan \arctan ln \ln log \log lim \lim lim x 0 \lim_{x \to 0} \sphericalangle N \mathbb{n} Z \mathbb{z} Q \mathbb{q} R \mathbb{r}... \ldots 25

8 Liite 3: Kevään 2016 pitkän matematiikan yo-kokeen osa B1 GeoGebralla 5. Eurooppalaisessa ruletissa kierroksen tulos on yksi luvuista 0,1,2,3,...,35,36, jotka kaikki ovat yhtä todennäköisiä. Luku 0 on musta, ja muista luvuista puolet on punaisia ja puolet valkoisia. Laske seuraavien pelitapojen voittojen odotusarvot, kun panoksena on 1 eur. a) Pelaaja valitsee yhden luvuista 0,1,2,3,...,35,36. Jos kierroksen tulos on tämä luku, niin pelaaja saa takaisin oman panoksensa ja voittaa 35 euroa. Muissa tapauksissa hän häviää panoksensa. b) Pelaaja valitsee vaakarivin 7 8 9 Jos kierroksen tulos on jokin näistä luvuista, niin pelaaja saa takaisin oman panoksensa ja voittaa 11 euroa. Muissa tapauksissa hän häviää panoksensa. c) Pelaaja valitsee valkoisen värin. Jos kierroksen tulos on valkoinen luku, niin pelaaja saa takaisin oman panoksensa ja voittaa 1 euron. Muissa tapauksisa hän häviää panoksensa. Ratkaisu. Tehtävä onnistuu suhteellisen helposti GeoGebran LaTeX-toiminnoilla. 26

Ensimmäinen yhtälö: 6. Maapallon säde on 6 371 km, ja sen pohjoisen napapiirin leveysaste on 66,5. Pohjoiselta napapiiriltä valitaan pisteet A ja B, joiden pituusasteiden erotus on 90 astetta. a) Määritä pisteiden A ja B välisen viivasuoran tunnelin pituus. b) Määritä pisteiden A ja B välisen lyhyemmän napapiirin kaaren pituus. Ratkaisu. Tehtävässä joutuu käyttämään aikaa yhtälöiden muotoiluun jonkin verran. Myös kahden ympyrän piirtäminen vie jonkin verran aikaa. 27

Säteen r laskeminen: Tunnelin pituuden x laskeminen: 7. Kolme ympyrää sivuaa toisiaan oheisen kuvion mukaisesti. Ympyröiden keskipisteet ovat A, B ja C ja niiden säteet samassa järjestyksessä 3, 3 ja 2. Kuinka suuri ympyrä mahtuu näiden kolmen ympyrän väliin jäävään alueeseen? Anna vastauksena tämän ympyrän säteen tarkka arvo. Ratkaisu. 28

8. a) Muodosta sen tason yhtälö, joka kulkee pisteen (2,4,6) kautta ja leikkaa xy-tason pitkin suoraa x + 2y = 3. b) Missä pisteissä a-kohdan taso leikkaa koordinaattiakselit? Ratkaisu. Kolmiulotteinen vektorilaskennan tehtävä. Perinteisellä menetelmällä tehtynä tämä on hyvin työläs kirjoittaa tietokoneella. 29

Ensimmäinen pitkä yhtälö: Korkeat sulut: GeoGebrassa on myös 3d-piirtomahdollisuus. 30

3d-mallinnuksella tason yhtälön saa suhteellisen helposti selville. Ensin piirretään Piirtoalueella suora x + 2y = 3. Sitten 3d-piirtoalueella piirretään pisteet A, B ja C sekä vektorit AB ja BC. Lopuksi piirretään taso pisteiden A, B ja C kautta. Tason yhtälö on 6x + 12y 7z = 18. Nyt tason ja koordinaattiakselien leikkauspisteet voidaan ratkaista asettamalla halutut koordinaatit nollaksi ja ratkaisemalla yhtälöstä jäljelle jäävä muuttuja. 9.1 Luvun 20 likiarvoja voidaan laskea tarkastelemalla jonon suorakulmioita, joiden pintaala on 20. Aloitetaan suorakulmiosta S 1, jonka sivujen pituudet ovat x 1 = 1 ja y 1 = 20 x 1. Seuraavan suorakulmion S 2 yhden sivun pituus x 2 saadaan laskemalla lukujen x 1 ja y 1 keskiarvo, jolloin toisen sivun pituus on y 2 = 20 x 2 Tiedetään, että jatkamalla tällä tavalla saadaan jono suorakulmioita S 2, S 2, S 3,..., joiden muoto lähestyy neliötä. Tämän neliön sivun pituus on silloin 20. Määritä approksimaation x 5 suhteellinen virhe oikeaan 8-desimaaliseen likiarvoon 20 4,47213596 verrattuna. Anna vastaus prosenttiyksikön kymmenesosan tarkkuudella. 31

Ratkaisu. GeoGebran CAS-osio selviää tästä laskintehtävästä hyvin. Muotoilu ei valitettavasti ole yhtä siisti kuin piirtoalueelle LaTeXilla kirjoitettuna. Lisäksi Digabi ei osaa ottaa ikkunasta ruudunkaappausta leikepöydälle, joten jos CAS-alueesta haluaa siistin kuvan (ilman muita ikkunan osia) pitää se käydä tekemässä GIMPin kautta. 9.2 Funktion g(x) arvoille on voimassa 20 g(x) 16 kaikilla x R. Osoita, että funktio f(x) = x 2 g(x) on derivoituva kohdassa x = 0. Ratkaisu. Ratkaisu on lyhyt, eikä vaadi kohtuuttomia ponnisteluja tekniseltä kannalta. 32