EDE-00 Elementtimenetelmän perusteet. Harjoitus 5r Syksy 03. 400 mm 0 kn 600 mm A 400 mm B 8 kn 300 mm 5 kn 000 mm 8 kn 300 mm 300 mm 00 mm. Määritä pisteiden A ja B siirtymät elementtimenetelmällä, kun kaikkien sauvojen materiaalin kimmokerroin on 70 GPa. Missä sauvassa on suurin jännitys? PS. Kaikki neljä elementtiä pisteen B kohdalla siirtyvät saman määrän. Käytä eliminointimenetelmää oleellisten reunaehtojen hoitamiseksi. Voit käyttää myös IDtaulukkoa, jossa on nollia 3 5 Q Q 3 Q 4 Q 3 4 4 Kimmokerroin Pinta-ala A Elementti Pituus l e [mm] E [MPa] [mm ] Solmu n Solmu n 70000 300 600 70000 300 300 3 3 70000 600 400 3 4 70000 600 400 3 5 70000 00 000 3 4 Jäykkyysmatriisit k e EA = L ID E*A/le k.400e+05 -.400E+05 N/mm.400E+05 -.400E+05.400E+05 3 ID E*A/le k 7.000E+04-7.000E+04 N/mm 7.000E+04-7.000E+04 7.000E+04 3 3 ID E*A/le k 3 4.667E+04-4.667E+04 N/mm 4.667E+04-4.667E+04 4.667E+04 3 3 ID E*A/le k 4 4.667E+04-4.667E+04 N/mm 4.667E+04-4.667E+04 4.667E+04 3 3 4 ID E*A/le k 5 3.500E+05-3.500E+05 3 N/mm 3.500E+05-3.500E+05 3.500E+05 4
EDE-00 Elementtimenetelmän perusteet. Harjoitus 5r Syksy 03. ID-taulukko Vaihtoehtoinen ID-taulukko (tuottaa 4*4 matriisin) (tuottaisi * matriisin Kr) Solmu ID Solmu ID 0 3 3 3 4 4 4 0 Kokonaisjäykkyysmatriisi K 3 4.333E+05 -.400E+05-9.333E+04 0 -.400E+05.00E+05-7.000E+04 0-9.333E+04-7.000E+04 5.33E+05-3.500E+05 3 0 0-3.500E+05 3.500E+05 4 elementin 3 ja 4 osuus elementit,3 ja 4 solmu elementti 5 solmu elementti solmu ja elementti solmu elementin,3 ja 4 solmu sekä elementin 5 solmu Eliminointimenetelmä (poistetaan rivit ja 4 ja vastaavat sarakkeet) Jäykkyysmatriisi Kr Käänteismatriisi.00E+05-7.000E+04 4.98866E-06 6.807E-07-7.000E+04 5.33E+05 6.807E-07.0408E-06 Solmukuormitusvektori P Kuormitusvektori (nyt ei ole kenttäkuormituksia, jotenka F=P) P 0000 N F 0000 N 000 N 000 N Siirtymävektori Q 0.064 mm 0.050 mm Q = K F r
EDE-00 Elementtimenetelmän perusteet. Harjoitus 5r Syksy 03. Jälkilaskenta Elementtivoimat Siirtymät q k.400e+05 -.400E+05 0 mm Ele -.400E+05.400E+05 0.064 mm k*q f -8984. N σ = f /A 5.0 MPa 8984. N k 7.000E+04-7.000E+04 0.064 mm Ele -7.000E+04 7.000E+04 0.050 mm k*q f 05.9 N σ = f /A -3.4 MPa -05.9 N k 3 4.667E+04-4.667E+04 0.000 mm Ele3-4.667E+04 4.667E+04 0.050 mm k3*q3 f 3-37.5 N σ = f /A 5.8 MPa 37.5 N k 4 4.667E+04-4.667E+04 0.000 mm Ele4-4.667E+04 4.667E+04 0.050 mm k4*q4 f 4-37.5 N σ = f /A 5.8 MPa 37.5 N k 5 3.500E+05-3.500E+05 0.050 mm Ele5-3.500E+05 3.500E+05 0.000 mm k5*q5 f 5 738.0 N σ = f /A -7.4 MPa -738.0 N Vasen tukireaktio (f+f3+f4) Rv -369.0 N Oikea tukireaktio (f5) Ro -738.0 N Tukireaktioiden summa -3000.0 N Ulkoinen kuorma (Sum F) Sum(F) 3000 N (tasapaino OK) Vasemman tukireaktion saisi myös kokonaisjäykkyysmatriisin ensimmäisen rivin avulla K.333E+05 -.400E+05-9.333E+04 0 alla on koko mallin siirtymävektorin transpoosi QT 0 0.064 0.050 0 Rv -369.0 N = K*Q Oikean tukireaktion saisi myös kokonaisjäykkyysmatriisin viimeisen rivin avulla K4 0.000 0.000-350000.000 350000.00 QT 0.000 0.064 0.050 0.00 Ro -738.0 N = K4*Q q q3 q4 q5
Tampereen teknillinen yliopisto EDE-00 Elementtimenetelmän perusteet. Harjoitus 5r Syksy 03. q q Q Q Brass q Elementin jäykkyysmatriisi 630000-630000 -630000 630000 k = E A L 575 575 N K = k + k = 000 575 575 mm Koska siirtymä Q = 0, niin eliminoidaan rivi ja sarake σ = E Bq = 70000 N 385 N mm Q = 385000 N Q = = 0.44mm mm 575 N 0 N [ ] mm = 85.56MPa mm 00mm 0.444 σ = E B q = 05000 Globaali jäykkyysmatriisi K Q = F 000 575 Q Elementin jäykkyysmatriisi E A k = L q 0 N [ ] mm = 8.33MPa mm 00mm 0.444 945000-945000 -945000 945000 Q
Tampereen teknillinen yliopisto EDE-00 Elementtimenetelmän perusteet. Harjoitus 5r Syksy 03. Q Q Minä olen lisävihje Kierteen nousu on mm, joten saadaan siirtymille Q ja Q rajoiteyhtälö. Q = Q + missä on 0.5 mm. Hoidellaan rajoiteyhtälö sakkomenetelmällä (Penalty Method) eli lisätään laskentamallin kimmoenergiaan neliöllinen termi Up. U kok = U + U p = U e + C ( Q Q ) e missä C = sakkokerroin, jonka tulee olla huomattavasti suurempi kuin suurin jäykkyysmatriisin diagonaalilla oleva suurin termi esim C = 05 max { K ii } käy hyvin. Nyt rajoiteyhtälö toteutuu vain likimääräisesti, mutta sitä paremmin, mitä suurempi sakkokerroin on. Toisaalta suuri sakkokerroin vaikeuttaa yhtälöryhmän ratkaisua, joten eo. sakkokerroin on hyvä kompromissi. Derivoimalla kimmoenergian lisätermiä saadaan DQ C ( Q Q ) = C ( Q Q + ) DQ C ( Q Q ) = C ( Q Q ) joten rajoiteyhtälön lisävaikutus yhtälöryhmään on C C C Q C = C Q C
EDE-00 Elementtimenetelmän perusteet. Harjoitus 5r Syksy 03. Kimmokerroin Pituus l e Pinta-ala A Solmu Elementti E [MPa] [mm] [mm ] n (Holkki) 70000 400 40 (Pultti) 05000 399.5 78.54 ID-taulukko (tuottaa * matriisin) Mutterin kiristys Solmu ID 0.5 0 3 Q Q Jäykkyysmatriisit k e EA = L E*A/le k.450e+04 -.450E+04 N/mm.450E+04 -.450E+04.450E+04 E*A/le k.064e+04 -.064E+04 N/mm.064E+04 -.064E+04.064E+04 Kokonaisjäykkyysmatriisi K (ilman rajoiteyhtälön vaikutusta).450e+04 0.000E+00 0.000E+00 N/mm.064E+04 C.450E+09 N/mm (=0^5*.45*0^4) Kokonaisjäykkyysmatriisi K Ulkoinen kuormitus.4500e+09 -.45000E+09 N/mm -.45000E+09.4500E+09 Ilman sakkotermejä Sakkotermit F 0 N -5000000 0 N 5000000
EDE-00 Elementtimenetelmän perusteet. Harjoitus 5r Syksy 03. Siirtymä K -.5E-05.5E-05.5E-05.5E-05 Q -0.8636 mm Tark. Q-Q 0.736 mm 0.49999774 OK Pultin lokaalisiirtymävektori q Kinemaattinen matriisi B 0-0.005033 0.005039 0.736 Venymä B*q 0.00068 σ = E*B*q Normaalivoima 7.3 MPa 560.6 N Holkin lokaalisiirtymävektori q Kinemaattinen matriisi B 0-0.005 0.005-0.8636 Venymä B*q -0.00057 σ = E*B*q Normaalivoima -40.0 MPa -560.6 N