MAA0 A-osa. Ratkaise. a) x + 6x = 0 b) (x + 4)(x 4) = 9 a) 3x 6x a) Kirjoitetaan summa x + 6x yhteisen tekijän avulla tulomuotoon ja ratkaistaan yhtälö tulon nollasäännön avulla. x + 6x = 0 x(x + 6) = 0 x = 0 tai x + 6 = 0 x = 6 x = 6 tai x = 0 b) (x + 4)(x 4) = 9 x 4 = 9 x = 9 + 6 x = 5 5 5 tai 5 5
c) 3x 6x 3x 6x 0 3x 0 : ( 3) x 0. Ratkaise yhtälö x 6x + 9 = 0 a) ratkaisukaavalla b) neliöimällä polynomi muistikaavalla. c) Ratkaise epäyhtälö x 6x + 9 > 0. a) x 6x +9 = 0 a =, b = 6, c = 9 b) x 6x + 9 = 0 x 3 x + 3 = 0 (x 3) = 0 x 3 = 0 x = 3 x = ()±() = ± = = 3 c) b)-kohdan perusteella x 6x + 9 = (x 3) ja (x 3) 0, joten epäyhtälö x 6x + 9 > 0 toteutuu kaikilla muilla x:n arvoilla paitsi arvolla x = 3. Siis x 3. 3. a) Laske viidesosa luvusta 500. b) Määritä funktion f(x) = x 3 5x + 3 kuvaajan jonkin pisteen koordinaatit, kun piste ei sijaitse koordinaattiakseleilla. c) Keksi neljännen asteen polynomifunktio, jolla ei ole nollakohtia. 500 00 5 00 5 0 a) 5 5 5 5 5 5 b) Jos x =, niin f() = 3 5 + 3 = 6 0 + 3 = 9. Siis ehdot täyttävä piste on esimerkiksi (, 9). c) Koska x 4 0, niin x 4 + > 0, joten polynomiksi kelpaa esimerkiksi x 4 +. 4. Ratkaise epäyhtälö. a) x + 3x + 0
b) 6x 3 + 8x + x < 0 a) x + 3x + 0 3 3 4 Ratkaistaan ensin nollakohdat. x + 3x + = 0 3 9 8 4 3 4 tai 4 4 4 tai b) 6x 3 + 8x + x < 0 Ratkaistaan ensin nollakohdat. 6x 3 + 8x + x = 0 x(3x + 4x + ) = 0 x = 0 tai 3x + 4x + = 0 x = 0 tai 4 4 4 3 3 4 6 tai 6 6 3 6 x = 3 tai x = Tehdään merkkikaavio. 3 0 x + 3x + 4x + + + + x(3x + 4x + ) + + x 3x + 4x + tai 0 6x 3 + 8x + x < 0, kun 3.
B-osa. Yhdistä kysymykset A D oikeaan ratkaisuun I IV. Mikä on mahdollinen epäyhtälön f (x) 0 ratkaisu, kun funktion f A kuvaaja on alaspäin aukeava paraabeli ja funktion f nollakohdat ovat ja 3 B kuvaaja on alaspäin aukeava paraabeli ja funktion f ainoa nollakohta on 3 C kuvaaja on nouseva suora ja funktion f nollakohta on 3 D kuvaaja on laskeva suora ja funktion f nollakohta on 3 E kuvaaja on paraabeli ja sen suurin arvo on F diskriminantti on? I x 3 II x = 3 III x 3 IV x 3 V ei ratkaisua A III B II C I D IV E-III (kuvaajan oltava alaspäin aukeava, koska sillä on suurin arvo, joka on huipussa) F-III (koska D > 0, niin nollakohtia on kaksi). a) Perustele, että luku x = on yhtälön 3(x + a) = 3(a + x) (x ) ratkaisu, olipa a mikä tahansa luku b) Muodosta se toisen asteen polynomifunktio, jolle f() = 0 ja jonka lausekkeessa on tekijät x + 3 ja x 4. a) Sijoitetaan luku x = yhtälöön 3(x + a) = 3(a + x) (x ). 3(( ) + a) = 3(a + ( )) ( ( ) ) 3a 3a = 3 + 3 0 = 0 tosi Yhtälö toteutuu kaikilla vakion a arvoilla, kun x =. b) Funktio on muotoa f(x) = a(x + 3)(x 4). Tiedetään, että f() = 0. f() = a( + 3)( 4) = a 5 ( ) = 0a 0a = 0 : ( 0) a = Kysytty funktio on f(x) = (x + 3)(x 4) = (x 4x + 3x ) = x + x +. 3. Perustele väitteet täsmällisesti hyödyntäen diskriminanttia.
a) Yhtälöllä x + 5x + 3 = 0 on kaksi ratkaisua. b) Funktio f (x) = x + x + saa vain positiivisia arvoja. c) Epäyhtälö x x 4 < 0 toteutuu kaikilla muuttujan x arvoilla. a) Yhtälöllä x + 5x + 3 = 0 on kaksi ratkaisua, koska D = 5 4 3 = 3 > 0. b) Funktio f (x) = x + x + saa vain positiivisia arvoja, koska D = 4 = 3 < 0 eli sillä ei ole nollakohtia ja funktion kuvaaja on ylöspäin aukeava paraabeli. c) Tutkitaan funktion h(x) = x x 4 ratkaisujen lukumäärää. Diskriminantti D = ( ) 4 ( ) ( 4) = 3 < 0, joten funktiolla ei ole nollakohtia ja sen kuvaaja on alaspäin aukeava paraabeli. Epäyhtälö x x 4 < 0 toteutuu kaikilla muuttujan x arvoilla.
B-osa 4. Ahmon ulkoilualueen hiekkamäen päälle erotetaan turvallisuussyistä 80 metrin pituisella aidalla suorakulmion muotoinen alue. Suorakulmion muotoinen aitaus tehdään vain kolmelle sivulle, sillä yhdeltä sivulta hiekka valuu mäkeä alas. Miten aitaaminen tulisi tehdä, jotta alueen alaksi tulisi 600 m? Merkitään kirjaimella x yhden sivun pituutta. Sivun pituus voi olla vain välillä 0 < x < 40. Pinta-ala lasketaan x(80 x) (m ). Toisaalta pinta-ala on 600 m, joten saadaan yhtälö x(80 x) = 600 x + 80x 600 = 0 x = 0 tai x = 30 Näistä arvoista molemmat käyvät. Jos toisen sivun pituus on 0 metriä, toisen sivun pituus on 80 m 0 m = 60 m. Jos toisen sivun pituus on 30 m, toisen sivun pituus on 80 m 30 m = 0 m.
5. Polynomin x + ax + b nollakohdat ovat x = ja x = 3. a) Selvitä vakioiden a ja b arvot. b) Mikä on polynomin pienin arvo? a) Polynomin x + ax + b nollakohdat ovat x = ja x = 3, joten tekijät ovat x + ja x 3. Sijoitetaan nollakohdat x = ja x = 3 polynomin lausekkeeseen. Koska toisen termin kerroin on, on polynomin lauseke (x + )(x 3) = x x 3. Vakio a on siis ja b = 3. b) Tutkitaan polynomia x x 3. Polynomin kuvaaja on ylöspäin aukeava paraabeli. Tiedetään, että sen nollakohdat ovat x = ja x = 3. Polynomi saa pienimmän arvonsa paraabelin huipussa, joka on nollakohtien puolivälissä. 3 Lasketaan siis nollakohtien keskiarvo. Sijoitetaan tämä polynomin lausekkeeseen, jolloin saadaan 3 = 4. Pienin arvo on 4.