Geometrian kertausta MAB2 Juhani Kaukoranta Raahen lukio
Ristikulmat Ristikulmat ovat yhtä suuret keskenään
Vieruskulmien summa 180 Muodostavat yhdessä oikokulman 180-50 =130 50
Samankohtaiset kulmat Kun suora leikkaa kahta yhdensuuntaista suoraa, ovat samankohtaiset kulmat yhtä suuret
Vieruskulmien summa = 180 180 - α α α
Kolmion kulmien summa=180 180 Nelikulmion kulmien summa = 360 360
Tasakylkinen kolmio Kyljet yhtä pitkiä Kantakulmat yhtä suuria Korkeusjana puolittaa kannan Korkeusjana puolittaa huippukulman a a Tasasivuinen kolmio Kaikki sivut yhtä pitkiä Kaikki kulmat 60 Katso taulukkokirjasta tasakylkisen kolmion kaavoja 60 60 60
Yhdenmuotoisuus Yhdenmuotoisten kuvioiden mittasuhteet ovat samat ja vastinkulmat yhtä suuret Vastinjanojen suhde on vakio ja sitä sanotaan mittakaavaksi Vastinjanoista saadaan verranto iso / pieni 3 4 6 6 3 4 4 36 18 4 4,5
Aurinko paistaa puuhun ja keppiin samassa kulmassa. Kolmiot yhdenmuotoiset. 31 1,5 2,6 1,5 m 2,6m 31 m 2,6 311,5 311,5 2,6 18 Vastaus: Puun pituus on 18 m
e d f Janat a ja d ovat yhdensuuntaisia Miksi kolmiot yhdenmuotoisia? c b Jos a ja d yhdensuuntaisia, niin syntyy samankohtaisia kulmia a Vastikulmat yhtä suuria Vastisivuille verrannot: a c b d f e
sivu 18 37 40 12 12 4037 4037 12 123 Vast. 120m
151 151-302 sivu 18 302 151 151 2 151 1 2(151 ) 302 2 2 302 3 302 302 3 101 Vast. 101 cm siitä reunasta, jolta puolelta laukaistaan
Auto on 5882 m päässä katsojasta. Sen etuvalot ovat 2 m päässä toisistaan. Kuinka kaukana valojen kuvat ovat verkkokalvolla, jos silmamunan koko on 23 mm? 0,023 m R=5882 m d=2 m Vastinsivu jen suhde on sama m0,023m 5882m : d 0,023m 5882m 2 6 7,8 10 m 7,8 m
ALOJEN SUHDE ON Sivujen suhteen neliö Mittakaavan neliö 1 3 Sivujen suhde = 1 : 3 Alojen suhde = 1 : 9
Kuinka paljon pituudeltaan 170 cm tarvitsee kangasta enemmän kuin pituudeltaan 152 cm? 170 cm 152 cm Kangasta tarvitaan alojen suhteessa Alojen suhde = mittakaavan neliö isoala pikkuala 170cm 152cm 2 1, 25 V: pitempi tarvitsee 1,25 kertaa enemmän kangasta
Mittakaava Kuva Luonto 1 : 20 000 (kartta) kerto jako 1 cm 20000cm 4,5 cm 20000 4,5 cm = 90 000 cm = 900 m
Kuinka monta % pikkuympyröiden alojen summa on ison ympyrän alasta? pikkuympyrän säde = R ison ympyrän säde = 3R säteiden suhde = 1:3 Pituuksien suhde 1:3 Alojen suhde 1:9 Jos pikkuympyrä on A, niin ison ala on 9A Pikkuympyät 7A 0,7777... 77,8 % Isoympyrä 9A
Yhdenmuotoisuus:Tiivistelmä Jos kuvioa tai kappaletta suurennetaan tai pienennetään, saadaan yhdenmuotoinen kuvio, Tasokuviot yhdenmuotoisia vastinkulmat yhtä suuria Mittakaava = vastisivujen suhde = suurennus/pienennys-suhde Pinta-alojen suhde = mittakaavan neliö vastisivujen suhteen neliö Tilavuuksien suhde = mittakaavan kuutio vastinsivujen suhteen kuutio
Tilavuuksien suhde = vastinsivujen suhteen kuutio (mittakaavan kuutio eli kolmas potenssi) 7 m Jos pieni patsas painaisi 21 tonnia, kuinka paljon painaisi iso patsas? 15 m Ratk.: Painojen suhden on sama kuin tilavuuksien suhde, koska patsaat ovat samaa ainetta (kiveä) Ison patsaan massa = 3 15 7 21 tn = 207 tn
Pythagoraan Lause Suorakulmaisessa kolmiossa on kateettien neliöiden summa yhtä suuri kuin hypotenuusan neliö a 2 b 2 c 2 Huom! Jos kolmio ei ole suorakulmainen piirrä korkeusjana Huom! Etsi ensimmäisenä hypotenuusa (pisin)
Esimerkki Hyp 2,3 cm 2,3 2 4,2 2 2 2 2,3 2 4,2 2 4,2 cm (2,3 2 4,2 2 ) 4,7885... Vastaus: 4,8 cm
Esim. Laske oheisen suorakulmaisen kolmion sivun pituus Pythagoras Hyp 23,0 cm 2 19 2 23 2 19,0 cm 2 23 2 19 2 (23 2 19 2 ) 12,961... Vastaus: 13,0 cm
Piste A on (-2,1) ja piste B on (5,-4). Laske pisteiden välisen etäisyyden tarkka arvo ja likiarvo A 7 2 2 d 7 5 74 d 8,6 d=? 5 B Vastaus: Tarkka arvo on 74, likiarvo on 8,6
Trigonometria Suorakulmaisessa kolmiossa (jos kolmio ei ole suorakulmainen, piirrä korkeusjana)
Trigonometriset funktiot Katso ensin hypotenuusa = pisin sivu sin cos vastainen hypotenuusa vier hyp vast hypotenuusa tan vast vier vier α
A Harjoittelua 4 5 C 3 B sin sin cos cos tan tan 3 5 4 5 3 4 4 5 3 5 4 3
Esimerkki sivun laskemisesta 62 5m tan 62 5 5 tan 62 9,4 Vast. 9,4 m
Esimerkki sivun laskemisesta 32,6 sin 44 44 32,6 cm 32,6 46,9 sin 44 Vast. 46,9 cm
Kulman laskeminen käänteisfunktion avulla 12 m 10 m Epäelegantisti tan 10 12 10 12-1 ELEGANTISTI tan ( ) 39,8 10 tan 12 tan 0,83333... 39,8-1 tan ( 0,83333..)
Laske kolmion pinta-ala korkeuden avulla 6,3 m 130 α=50 7,0 m h=? h sin 50 7,0 h 7,0 sin 50 h 5,3623... α = 180-130 = 50 Ala kanta korkeus 6,3m 5,3623m 2 2 17 m 2
Laske kolmion pinta-ala suoraan kaavalla 6,3 m 130 7,0 m Taulukkokirjassa on sivulla 29 valmis kaava kolmion pinta-alan laskemiseksi, jossa on kolmion kaksi sivua ja niiden välinen kulma. Ala = 6,3m 7,0m sin 130 17 m 2 2
GPS,Asteet, minuutit ja sekunnit 1 = 60 kulmaminuuttia = 60 ( 1 kulmaminuutti = 1 = 60 kulmasekuntia = 60 mutta GPS:ssä ei yleensä käytetä kulmasekunteja) Esim. Muuta desimaalimuotoon (asteiksi) 27 15 15 = 15 / 60 astetta = 0,25 27 15 = 27,25 Laskimella ei käytetä minuutteja: sin 27 15 = sin 27,25 0,45787 GPS lukema 27 35.125' desimaalimuotoon: 35.125 = 35,125/60 astetta = 0,5854166 27 35.125' = 27,585417
Kompassin suuntalukemat N = 0 (=360 ) W=270 E=90 S=180
Ympyrän osat Piiri p = 2 R (kehä, ympärysmitta) Kaaren pituus = 2 R 360 Kaari Ala = R 2 Sektorin ala = R 360 2
Ympyrän säde on 8,50 cm. Mikä on 72 keskuskulmaa vastaavan jänteen pituus? Kulma trigonometria 72 36 8,50 cm sin 36 8,50 8,50 sin 36 4,99617... 2 9,9923... V: Jänne on 9,99 cm
Ympyrän säde on 8,50 cm. Mikä on 72 keskuskulmaa vastaavan segmentin pinta-ala? Kulma trigonometria Jänne = 9,99 cm Segmentti = sektori - kolmio 72 360 2 Sektorin ala = 8,50 45,396... h cos36 8,50 h 8,50 cos 36 6,8766 9,99 6,8766 Kolmion ala = 2 34,348 Segmentin ala = 45,396 cm 2-34,348 cm 2 =11 cm 2
Faroksen majakka oli 140 m korkea Kuinka kauas majakan valo näkyi? 6370 km b 6370 km 0,140 km cos Majakan huippu keskipisteestä 6370 +0,140 km = 6370,14 km 6370 km 6370,14km 6370 6370,14-1 cos ( ) 0,3798638... 0,3798638... kaari b 2 6370km 360 42 km Vastaus: 42 km päähän
Tangenttikulma ja keskuskulma Tangentti on kohtisuorassa sädettä vastaan 90 Tangenttikulma 2β Keskuskulma 2α
Tehtävä 72 2 36 Maapallo näkyy miehitetystä avaruusaluksesta 72º kulmassa. Mikä on aluksen korkeus maanpinnasta.? 6370 sin 36 6370 10837 sin 36 Etäisyys maasta on 10837-6370 = 4467 Vastaus 4500 km
TÖRPÖT (LIERIÖ) Kansi ja pohja ovat samanlaisia TILAVUUS = POHJAN ALA KORKEUS VAIPAN ALA = POHJAN PIIRI KORKEUS
SUIPOT (kartiot, pyramidit) Tilavuus = Pohjan ala 3 korkeus
Kartio Sivujana s = R h 2 2 h s Pohjan ala Tilavuus = 3 2 R h 3 korkeus R Vaipan ala = R s
Kartion sivujana on 3,2 cm ja pohjan säde 1,8 cm. Kuinka suuri on kartion vaipan ala ja kartion tilavuus? S=3,2 cm Vaipan Ala = rs r Tilavuus = 2 h 3 h Vaippa = π 1,8cm 3,2cm=18 cm 2 + r = 1,8 cm 2 2 h = (3,2cm) (1,8cm) 2,6457cm Tilavuus = 3 3 2 2 r h 1,8 2, 6457 cm 9, 0 cm 3 3
Pallo Pinta-ala = 4 R 2 R Tilavuus = 4 R 3 3
Asteet, minuutit ja sekunnit 1 = 60 kulmaminuuttia = 60 ( 1 kulmaminuutti = 1 = 60 kulmasekuntia = 60 ) Esim. Muuta desimaalimuotoon (asteiksi) 27 15 15 = 15 / 60 astetta = 0,25 27 15 = 27,25 sin 27 15 = sin 27,25 0,4579
Mikä on matka A ja B välillä, jos ne ovat samalla pituuspiirillä (meridiaanilla). A on 70 pohjoista leveyttä ja B 80 eteläistä leveyttä? Maan säde 6370 km N A 70 pohjoista leveyttä Kulma AOB = 150 O S 0 150 Kaari AB= 2 6370 km 360 AB 16 700 km B 80 eteläistä leveyttä V: 16 700 km
Laske Helsingin ja Tokion etäisyys. Maapallon ympärysmitta on 40 000 km. Helsinki ja Tokion välinen kaari on 72 astetta. 72 Helsinki =? Tokio p = 40 000 km Tai säteen avulla: 72 40 000 km=8 000 km 360 Vastaus: Etäisyys on 8 000 km 72 2 6370 km 8004,77... km 8000 km 360