MAB: Ympyä 4 Aluksi Tämän luvun aihe on ympyä. Ympyä on yksi geometisista peusmuodoista ja on sinulle ennestään hyvinkin tuttu. Mutta oletko tullut ajatelleeksi, että ympyää voidaan pitää säännöllisen monikulmion ääimmäisenä eikoistapauksena? Ympyästä Ympyä voidaan määitellä tai mieltää monella tavalla. Yksi tapa on ajatella, että aloitetaan valitsemalla yksi tason piste ympyän keskipisteeksi. Sitten valitaan jana, jonka pituus on puolet aiotusta ympyän halkaisijasta. Akikielessähän ympyän kokoa kuvataan yleensä ilmoittamalla halkaisija. Jatketaan asettamalla valitun janan toinen loppupiste valittuun pisteeseen ja pidetään se siinä. Annetaan janan pyöähtää täysi kieos ympäi niin, että keskipisteessä oleva loppupiste pysyy paikoillaan ja toinen loppupiste liikkuu. Tällöin liikkuva piste piitää ympyän. Tätä menetelmää itse asiassa käytetään, kun ympyä piietään hapin avulla. Toinen tapa aloitetaan kuten ensimmäinen: valitaan ympyälle keskipiste ja halkaisija. Sitten ajatellaan, missä ne pisteet ovat, joiden etäisyys keskipisteestä on takalleen puolet valitusta halkaisijasta. Kaikki nämä pisteet ovat ympyän kehällä eikä ympyän kehällä toisaalta ole muita pisteitä. Minulta on joskus kysytty Kuuluuko kehä ympyään?. Tämä on asia, jonka ympyän piitäjä atkaisee. Äskeisten kahden määitelmän valossa ympyään ei muuta kuulukaan kuin ympyän kehä. Kysyjällä on siis mielessä lähinnä, kuuluuko ympyäviiva ympyälevyyn. Jos ympyä määitellään niin, että siinä ovat ne pisteet, jotka ovat takalleen etäisyydellä keskipisteestä tai lähempänä kuin :n etäisyydellä siitä, niin ympyään kuuluvat sekä ympyälevy että ympyäviiva. Voidaan myös määitellä, että takastellaan ympyää, jonka pisteet ovat lähempänä kuin :n päässä keskipisteestä. Tällöin ympyäviiva ei ole mukana ympyässä. Jos muuta ei nimenomaisesti sanota tai asiayhteys toisin osoita, niin tällä kussilla sana ympyä takoittaa ympyäviivaa eli ympyän kehää. Ympyän osat Luettelen ensin ne ympyän osat, jotka tavitsemme jatkossa. kehä Oheisen kuvion musta viiva on ympyän kehä. Ympyään piietty viheä jana on ympyän säde ja sininen jana on ympyän halkaisija. Halkaisija voidaan tulkita kahtena, takalleen peäkkäin olevana säteenä ja säde puolestaan halkaisijan puolikkaana. Halkaisijan molemmat päätepisteet ovat ympyän kehällä; säteen toinen päätepiste on ympyän keskipisteessä, toinen ympyän kehällä. keskipiste halkaisija säde Pieni, keltainen tähti ympyän keskellä on
keskipisteen paikka, mikä seikka ei liene yllätys! Kaikkiaan ympyä on edelleen se sama pyöeä, täydellinen olio, jonka olet tuntenut jo kauan. Nyt takastelemme sitä ehkä vain aiempaa takemmin. Keskipisteen symbolina käytän usein kijainta O, säteen symbolina kijainta ja halkaisijan symbolina kijainta d. Ympyän kehän symbolina käytetään usein kijainta D. Joskus vasinkin tekniikassa ympyän halkaisijaa mekitään keikkalaisella kijaimella φ eli (iso) fii. Ympyä nimetään tavallisesti keskipisteensä mukaan. Jos ympyän keskipiste on O, myös itse ympyää sanotaan ympyäksi O. Katsotaan vielä, millä ei tavoilla ympyä voidaan jakaa alueisiin. kaai α sektoi segmentti jänne Piioksen kulma α on sektoin keskuskulma. Ympyänsektoi tai vain sektoi on suljettu kuvio, jota ajoittavat kaksi ympyän sädettä ja ympyän kaaen osa eli sektoin kaai. Kaaen ajoittavat ne mainittujen säteiden käjet, jotka ovat ympyän kehällä. Piioksen vasemmassa ympyässä olevan sektoin käki on ympyän keskipisteessä. Sektoi on siis kulma, jonka käki on ympyän keskipisteessä ja jonka kylkinä on kaksi ympyän sädettä. Myös sektoin tapauksessa voidaan puhua vasemmasta ja oikeasta kyljestä kuten kulman tapauksessa. Nimeämällä sektoin kyljet voidaan määitellä myös se, kumpaa kahdesta mahdollisesta sektoista takoitetaan. Yllä olevan piioksen oikeanpuoleisessa ympyässä oleva kulma α on sektoin keskuskulma. Keskuskulmalla ei ole muita kokoajoituksia, kuin että se on kokeintaan 360 astetta niin ja vähintään 0 astetta. Jos keskuskulma on 360 astetta, niin koko ympyä on mukana sektoissa. Puoliympyää puolestaan vastaa 180 asteen keskuskulma. Huomaa, että tämä matematiikassa käytössä oleva sektoin määitelmä on sopusoinnussa sellaisten käsitteitten kanssa kuin taloussektoi tai julkinen sektoi. Tämä temihän viittaa tilastotieteelliseen piiakkakuvioon, jonka eäs siivu eli sektoi edustaa talousalan osuutta yhteiskunnassa. Ja kun leikkaat pyöeästä kakusta viipaleen, leikkaat kakusta oikeastaan sektoin.
Piioksen vasemmassa ympyässä on myös toinen suljettu ympyän osa-alue, ympyän segmentti. Sitä ajoittavat jänne ja ympyän kaaen osa. Jänteen molemmat päätepisteet ovat ympyän kehällä ja ajaavat tuon kaaenosan ympyän kehältä. Segmentti voidaan määitellä myös niin, että valitaan ympyän kehältä kaksi pistettä, jotka yhdistetään sekä janalla että kehän kaaella. Ympyän kehä Ympyän kehään liittyy luku, joka lienee maailman tunnetuin. Se on ympyän kehän pituuden ja halkaisijan pituuden suhde ja tunnetaan nimellä pii. Alun pein tuo sana pii, joka nykyään siis on eään luvun nimi, takoittaa keikkalaista kijainta π. Vaikka keikkalaiset ovat toki saaneet pitää kijaimensa, tätä heidän kijaintaan käytetään myös mainitun luvun symbolina kansainvälisesti ihan standadina. Meillekin siis π on pii eli ympyän kehän pituuden ja ympyänhalkaisijan pituuden suhde. Piietään kuva ja kijoitetaan piin määitelmä sen mekinnöin vielä uudestaan. D d Pii on siis ympyän kehän pituuden eli ympyän ympäysmitan ja halkaisijan pituuden osamäää: D π = d 3,1415965 358979338 46643383 795 Pii ei ole ationaaliluku Yksi huomattava piin ominaisuus on, että se ei ole ationaaliluku. Toisin sanoen, piitä ei voi takasti esittää mutolukuna ja niin ollen ei myöskään desimaalilukuna. On sinulla siis kuinka takka piin
likiavo tahansa, niin sinulla ei ole takinta mahdollista piin likiavoa puhumattakaan siitä, että sinulla olisi lopullisen takka piin desimaaliesitys. Huomaa, että kaikissa funktiolaskimissa on pii näppäin. Funktiolaskimeen piitä ei kannata koskaan näppäillä käsin, vaan aina käyttää tätä näppäintä piin käsin näppäilemisen sijasta. Jos kuitenkaan joudut käyttämään laskinta, jossa ei ole piitä, usein likiavo 3,14 on iittävän takka. Tämä likiavo täytyy muistaa. Tekstinkäsittelyohjelmassa saat π - kijaimen aikaiseksi kaavaeditoilla (tai mikä sen nimi sitten ohjelmassasi onkin) tai kijoittamalla kijaimen p ja valitsemalla sen fontiksi Symbol. Ainakin Windows -pohjaisissa ohjelmissa sen voi myös lisätä valitsemalla Lisää Mekki. Antiikin keikkalaisille filosofeille muun muassa pythagoalaisille tuotti suuta päänvaivaa se, kun huomattiin, että on olemassa lukuja, joita ei voi esittää kokonaislukujen osamääänä. Esimekki 1 Kaivonenkaan suu on ympyänmuotoinen. Jos sen halkaisija on 75 cm, kuinka pitkä on sen kehä? Koska kehä on pii ketaa halkaisija eli D = πd, niin D = π 75cm 35, 619 36cm. Käytin laskimen pii-näppäintä ja pyöistin tuloksen kolmen numeon takkuuteen. Katsotaan, kuinka käy, jos käytän piille avoa 3,14. Silloin D = 35,5 cm oli noin 36 cm. Eo näkyy juui ja juui. Vastaus: Ympyän kehä on 36 sentin pituinen. Esimekki Ympyän säde on 40 cm. Laske ympyän kehän pituus. Säteen avulla ilmoitettu kehän pituus on Vastaus: Kehän pituus on 51 cm. π, joten kehä on 51 sentin pituinen. Esimekki 3 Oletetaan, että sinulla pallo, jonka halkaisija on 4 cm. Kieät sen ympäille nauhan, jonka pingotat tiukasti pallon ympäille. Nauhan pituus on nyt sama kuin pallon ympäysmitan pituus. Sitten lisäät tuohon nauhaan yhden metin lisää ja asettelet sen pallon ympäille takasti niin, että se on joka puolella yhtä kaukana pallon pinnasta. Kuinka kauas pallon pinnasta nauha joutuu?
D + 1m Tehtävämme on tutkia, kuinka paljon nauhan säde kasvaa. Huomaa, että tutkimme, kuinka paljon säde kasvaa. Halkaisija ei kiinnosta juui nyt. Yksi tapa selvittää tämä asia on laskea suoaviivaisesti uuden säteen pituus ja veata sitä vanhaan. Toinen tapa on lähteä liikkeelle siitä, että kijoitetaan uusi säde vanhan funktiona. Käytän tätä jälkimmäistä tapaa. Yleisesti siis ympyän kehä on ympyähän tuo pallon ympäille kiedottu nauha on D = π, kun on säde, joten D =. π Olkoon alkupeäinen säde nyt s ja uusi säde s en halua käyttää :ää uudestaan, koska sillä olisi nyt vähän ei mekitys. Tällöin s = D π ja
D + 1m s' =. π Säteiden eotus eli muutos on siis ( D + 1m) D s' s = π π D + 1m D = π 1m = π 16cm Säde kasvaa siis 16 senttiä ja halkaisija jos sitä kysyttäisiin kasvaisi 3 senttiä. Mihin tavittiin tietoa pallon halkaisijasta? Ei mihinkään. Vastaus: Nauha joutuu noin 16 sentin päähän pallosta. Ympyänsektoin kaaen pituus Sektoin kaaen pituus sekä sektoin keskuskulman suuuus kulkevat käsikädessä sikäli, että samassa ympyässä niitten suuuudet vastaavat toisiaan yksikäsitteisesti. Tähän peustuu niin sanottu absoluuttinen aste eli adiaani. Emme tapaa adiaania tällä kussilla enää uudestaan: = πad. Tämä vastaavuus takoittaa sitä, että niin suui osa kuin kaaen pituus on koko ympyän kehän pituudesta, niin niin suui osa myös sektoin keskuskulma on täydestä ympyästä eli 360 asteesta ja kääntäen. Kijoitetaan tämä sama asia yhtälönä. Valitaan keskuskulmalle symboli α ja sektoin kaaelle symboli c. Ympyän säde olkoon kuten tavallista. Silloin α c 360 = π Tästä voidaan atkaista sektoin kaaen pituus, jolloin saadaan c = α π. tai sektoin keskuskulman suuuus, jolloin saadaan
c α =. π Esimekki 4 Hammaspyöän halkaisija on 17,0 cm ja kunkin hampaan keskuskulma on 6,74 astetta. Kuinka leveä hammas on? 6,74 Koska hampaan keskuskulma on 6,74º, niin sen osuus koko ympyästä on. osaa. Toisaalta 360 6,74 360 6, 74. osaa kehästä puolestaan on π 17cm 100, cm. Hampaan leveys on siis yksi sentti. 360 Vastaus: Hampaan leveys on 1,00 cm. Esimekki 5 Kuinka suuta keskuskulmaa vastaa ympyänsektoin kaai, jonka pituus on sama kuin ympyän säde? Jos ympyän säde on, niin myös kaaen pituus on. Keskuskulman α suuuus on siis α = π 180 = π 57, 9578 Vastaus: Säteen pituista kaata vastaa noin 57,3 asteen keskuskulma. Ympyän osien pinta-aloja Takastellaan seuaavia piioksia.
Vasen ympyä on jaettu kahteen yhtä suueen osaan eli kahteen puoliympyään. Oikea ympyä on jaettu yhteen ja kolmeen neljännesympyään. Molempien ympyöitten jakaminen on tehty sektoien avulla. Vasemman sektoin keskuskulma on 180º ja oikean ympyän 90º tai 70º iippuen siitä, kumpaa sektoia takastellaan. On helppo uskoa, että nämä ympyöiden osien alat edustavat myös puolikasta, yhtä neljäsosaa ja kolmea neljäsosaa ympyän koko alasta. Huomattavaa tässä on se, että kunkin sektoin keskuskulman asteluvun suhde koko ympyän astelukuun on sama kuin sektoin alan suhde koko ympyän alaan. Vetaa tätä suhdetta edellä olevaan ympyän kaaen pituuden ja asteluvun suhteeseen! Tämä tieto yleistetään koskemaan kaikkia ympyänsektoeita ja niitten aloja. Ensin tavitaan kuitenkin ympyän ala. Ympyän pinta-ala Mitä suuemmaksi säännöllisen n-kulmion luku n kasvaa sitä lähempänä n-kulmio on ympyää. Koska sinulla on keinot laskea säännöllisen n-kulmion ala, sinulla on peiaatteessa keinot johtaa ympyän ala tästä. Tulos on π, missä on ympyän säde. Ympyän pinta-ala A saadaan kaavasta A = π missä on ympyä säde. Jos ympyän halkaisijaa mekitään d:llä, ympyän ala voidaan esittää myös muodossa d π A = π = d. 4 Esimekki 6 Ympyän säde on 1,0 m. Laske ympyän ala.
Nyt = 1,0 m, joten A = π ( 1, 0m) = πm. Vastaus: Ympyän ala on noin 3,1 m. Esimekki 7 Ympyän halkaisija on 1,0 m. Laske ympyän ala. Edellä annetun kaavan avulla ympyän alan voi laskea suoaan halkaisijan avulla. Suosittelen kuitenkin, että opettelet vain toisen kaavan ulkoa ja toisen mahdollisesti niin, että osaat tavittaessa johtaa sen. Lasketaan ala nyt molemmilla kaavoilla. π A = d 4 π = 10, m 4 Ensin ala suoaan halkaisijasta eli ( ) 0, 8m. Sitten säteen avulla. Jos ympyän halkaisija on 1,0 m, niin sen säde on 0,5 m. Joten ( 0, 5m) 0, 8m A = π = π. Vastaus: Ympyän ala on noin 0,8 m. Esimekki 8 Pukissa oleva maali iittää 10 neliömetin alan maalaamiseen. Kuinka suuen ympyän sillä voi maalata? Koska A = π, niin A 10m =. Siis = 1, 8m π π Vastaus: Maali iittää sellaisen ympyän maalaamiseen, jonka säde on noin 1,8 metiä.. Esimekki 9 Leikkimökin äystäs koistellaan pipakakkukuvioin. Reunan yksi pipai koostuu puoliympyästä ja suoakulmiosta. Mitat annetaan kuvassa. Pipakakkueunan väi on punainen ja taustalaudan väi on valkoinen. Taustalaudan leveys on 7 cm. Kuinka suui on valkoiseksi maalattava alue, kun pipakakkueunaa ja taustaa tulee kaikkiaan 13 metiä? 4 cm,5 cm cm
13m Koska = 35, niin äystääseen tavitaan pipaeita 35 kappaletta. Siten pipaien 4cm suoakulmaisten osien yhteenlaskettu ala on 35, 5cm 4cm = 350cm. Puoliympyöitä on tietenkin myös 35 kappaletta. Puoliympyän halkaisija on 4 cm, joten sen säde on cm. Näillä tiedoilla saamme kaikkien puoliympyöitten yhteenlasketun alan, joka on ( cm ) = 04 35 π cm. Koska koko eunalaudan ala on 7cm 13m = 9100cm 9100cm 350cm 04 = 3808cm., valkoinen ala on Vastaus: Valkoiseksi maalattavan alueen pinta-ala on noin 3800 cm. Ympyän sektoin pinta-ala Edellä jo todettiin, että sektoin keskuskulman asteluvun suhde koko ympyän astelukuun on sama kuin sektoin alan suhde koko ympyän alaan. Esimekiksi siis kolme neljäsosaa koko ympyästä olevan sektoin ala on kolme neljäsosaa koko ympyän alasta. Toisaalta 3 70 = 4 360 ja vastaavasti (neljännesympyä) 1 90 =. 4 360 Jos sektoin keskuskulma on α ja ympyän säde, niin sektoin ala on α π Esimekiksi puoliympyä on sektoi, jonka keskuskulma on 180 astetta. Sen ala vaikkapa A on siis puolet koko ympyän alasta:
π A = 180 = π Esimekki 10 Laske ympyänsektoin pinta-ala, kun ympyän säde on 1 cm ja sektoin keskuskulma on 8º. α π 8 π Sektoin ala on = ( 1cm) = 35cm Vastaus: Ympyänsektoin pinta-ala on noin 35 cm.. Esimekki 11 Laske ympyänsektoin keskuskulma, kun ympyän säde on 14 cm ja sektoin pinta-ala on 0 cm. Sektoin pinta-alan laskukaava on α A = π, josta A 0cm α = = = 1. π π ( 14cm) Vastaus: Ympyänsektoin keskuskulma on noin 1 astetta. Esimekki 1 Laske ympyän ala, kun sellaisen ympyänsektoin ala on 5 cm, jonka keskuskulma on 15º. Ympyänsektoin alan kaavasta α A = π saadaan
π = A α = 5cm 15 = 600cm, joten kysytty ala on 600 cm. Vastaus: Ympyän ala on 600 cm. Esimekki 13 Antenninvalmistaja väittää, että heidän lähetysantenninsa säteilykulma siis kulma, josta antennin lähettämä säteily on havaittavissa on 35º. Antenninvalmistaja väittää samasta antennista myös, että minimiteholla heidän antenninsa lähettämä signaali on kuultavissa huonoissa olosuhteissa 30 metin ja ihanteellisissa olosuhteissa 60 metin päästä. Laske epävaman alueen pinta-ala. Kysytty ala saadaan, kun sellaisen sektoin alasta, jonka säde on 60 metiä ja keskuskulma 35º, vähennetään sellaisen sektoin ala, jolla on sama keskuskulma, mutta jonka säde on 30 metiä. Mekitään kysyttyä aluetta A:lla. Epävama alue 35 A = π 35 = π 85m 35 ( 60m) π ( 30m) [( 60m) ( 30m) ] Vastaus: Antennin epävaman kuuluvuusalueen ala on noin 85 m.
Ympyän segmentin pinta-ala Edellä olevasta segmentin kuvauksesta näemme, että sektoi ja segmentti liittyvät vahvasti toisiinsa samaan tapaan kuin sektoin kaai sekä sektoin keskuskulma. Aina kun määittelemme sektoin, määittelemme myös segmentin ja kääntäen. Samalla tulemme määitelleeksi myös janan, sektoin jänteen. Käytetään tätä havaintoa nyt sillä tavalla, että huomataan, että tämä jana jänne voidaan nähdä myös sellaisen tasakylkisen kolmion kantana, jonka kylkinä ovat sektoin kyljet. Jaetaan segmentin alan takasteleminen nyt kahteen tapaukseen. Toinen tapaus on sellainen, jossa sektoin keskuskulma on alle 180º ja toinen sellainen, jossa keskuskulma on yli 180º. No, eikö keskuskulma on tasan 180º ole tapaus? Jos sektoin keskuskulma on 180º, niin segmentti on puoliympyä kuten samaa kulmaa vastaava sektoikin ja segmentin jänne on siis sama kuin halkaisija. Tätä käsiteltiin eikseen jo aiemmin. Olkoon sektoin keskuskulma alle 180º. Jos keskuskulmaa mekitään α :lla, niin α < 180º. 180 α Tällöin kolmion kantakulma on ja kolmio tunnetaan, jos ympyän säde tunnetaan. Nyt segmentin ala saadaan vähentämällä tasakylkisen kolmion ala sektoin alasta. Jos keskuskulma on pienempi kuin 180º, niin segmentin ala on sektoin ja kolmion alojen eotus.
Olkoon sektoin keskuskulma yli 180º (kuva). Oheiseen piiokseen tilanteemme mukaisen segmentin jänne on piietty sinisellä viivalla. Sitä vastaavan kolmion tausta on valkoinen ja sektoin tausta punainen. Jos keskuskulma on suuempi kuin 180º, niin segmentin ala on sektoin ja kolmion alojen summa. α Esimekki 14 Laske segmentin ala kun sitä vastaavan keskuskulman asteluku on 5 ja ympyän säde eli on 15 cm. Piietään kuva, jonka avulla nimetään tavittavat oliot. Huomaa, että kuvassa määitellään jana s niin, että se on puolet segmentin jänteestä. Määitelmien mukaan h s sin 1, 5 = s = 15 cm ja α = 5º
h cos 1, 5 =. Näistä saadaan s = sin1, 5 ja h = cos1, 5, joten segmentin ala on 5 1 π cos( 1, 5 ) sin( 1, 5 ) 15, cm. Vastaus: Segmentin ala on noin 1,5 cm. Esimekki 15 Ympyän säde on 30 cm. Laske segmentin ala ja segmenttiä vastaavan sektoin kaaen pituus, kun segmentin jänteen pituus on 35cm. Piietään ensin lähtötilanne: Takastellaan ympyän niitä säteitä, jotka yhdistävät jänteen loppupisteet ja ympyän keskipisteen. Tällöin muodostuu tasakylkinen kolmio, jonka kokeus olkoon h ja kanta eli jänne olkoon b. Tällöin jänteen puolikas on b ja siis b = 17,5 cm. Mekitään vielä kolmion huippukulmaa kijaimella α ja ympyän sädettä kijaimella. Toinen piios esittää tätä tilannetta. jänteen pituus on 35 cm säde = 30 cm Koska kuvion tasakylkisen kolmion puolikas, joka on saatu aikaan jakamalla alkupeäinen kolmio kokeusjanalla kahtia, on suoakulmainen, ovat seuaavat yhtälöt voimassa = b + h b b ja α sin = b, h α joista
h = b ja α = sin -1 b Segmentin ala on siis -1 35cm sin 30cm π ja sektoin kaaen pituus on 1 35cm ( 30cm) 35cm ( 30cm) 134cm 35cm -1 sin 30cm π 30cm 37 cm Vastaus: Segmentin ala on noin 134 neliösenttimetiä ja sektoin kaaen pituus on noin 37 senttimetiä. Esimekki 16 A=cm Segmentin ala on cm. Mikä on koko ympyän ala, kun segmenttiä vastaavan keskuskulman asteluku on 30 ja ympyän säde on 15 cm. Piietään kuva. Määittelen kuvan avulla taas tavittavia muuttujia. Näitten lisäksi tavitaan segmentin jänne, olkoon se s ja kolmion kokeus olkoon h. Haluat ehkä tehdä oman piioksen ja mekitä siihen myös nämä muuttujat. Käyttämällä näitä muuttujia ilman lukuavoja saadaan yhtälö (katso Esimekki 14) =15 cm α A = π α = π sh α α sin cos α=30º
Ratkaistaan tästä yhtälöstä ympyän säde : α A = π = α α sin cos α α α A = π sin cos A α α α π sin cos cm = 30 30 30 π sin cos 13cm Täten ympyän ala on noin 533 cm. Vastaus: Ympyän ala on noin 530 cm. Ympyän tangentti Ympyän tangentti on suoa, joka liittyy kahteen pisteeseen: piste, jossa tangentti sivuaa ympyää ja ympyäviivan ulkopuolinen piste, jonka kautta tangentti kulkee. Piste, jossa tangentti sivuaa ympyää, on ympyän ja tangentin ainoa yhteinen piste. Jos suoalla ja ympyällä on kaksi yhteistä pistettä, suoa ei ole ympyän tangentti. Jos yhteisiä pisteitä ei ole yhtään, suoa ei myöskään ole ympyän tangentti. Suoa on ympyän tangentti takalleen silloin, kun ympyällä ja suoalla on yksi yhteinen piste Saman asian voi sanoa toisinkin. Suoa on ympyän tangentti takalleen silloin, kun suoa sivuaa ympyää yhdessä pisteessä Mieti, miksi ympyäviivan sisäänsä sulkeman kuvion ympyän! sisällä olevan pisteen kautta ei voi piitää samalle ympyälle tangenttia.
Olen piitänyt oheiseen kuvaan ympyän ja sille yhden tangentin. Huomaa siinä seuaava seikka, jota ei peustella. Ympyälle piietty tangentti on kohtisuoassa sivuamispisteeseen piiettyä sädettä vastaan. Takastellaan nyt seuaavaa kuvaa, johon piisin ensin ympyän ja sen ulkopuolelle pisteen P. Sitten piisin kolme suoaa, jotka jokainen kulkevat ympyän ulkopuolisen pisteen P kautta. Kaksi niistä, suoat s ja t, ovat ympyän tangentteja ja kolmas, suoa l, kulkee ympyän keskipisteen O kautta. α B β A O t s l Pisteen P kautta voidaan piitää ympyälle O kaksi tangenttia. Olkoon niitten välinen kulma α. Tämä ympyän tangenttien välinen kulma on nimeltään tangenttikulma. Tangenttien välistä kulmaa sanotaan tangenttikulmaksi
Pisteet A ja B ovat pisteitä, joissa tangentit sivuavat ympyää. Kuvaan on mekitty myös kaksi sädettä, jotka leikkaavat tangentteja näissä pisteissä. Nämä leikkauskulmat ovat siis suoat. Mekitään näitten säteitten muodostamaa (pienempää) kulmaa kijaimella β. Kuvaan piietyt säteet, jotka määitelmänsä mukaisesti kohtaavat ympyänkehän tangenttien sivuamispisteissä, muodostavat keskenään kulman, jota ole kuviossa mekinnyt kijaimella β. Sitä sanotaan näitä tangentteja vastaavaksi keskuskulmaksi. Tangenttien sivuamispisteissä ympyäviivaa leikkaavat säteet muodostavat tangentteja vastaavan keskuskulman Kolmioitten AOP ja BOP kaikkien kulmien summa on 360 astetta, koska yhden kolmion kulmien summa on 180 astetta. Koska suoa l puolittaa kulmat α ja β, puolet molemmista kulmista on toisessa kolmiossa, toinen puoli toisessa. Saadaan yhtälö kolmion AOP kulmat + kolmion BOP kulmat = 360º α β α β + + 90 + + + 90 = α + β + 180 = α + β = 180, koska kolmiot AOP ja BOP ovat suoakulmaiset. Olemme päätyneet tulokseen Tangenttikulman ja sitä vastaavan keskuskulman summa on 180 astetta Ympyään ja sen tangentteihin liittyvät laskut ovat usein atkaistavissa Pythagoaan lauseen ja tigonometian avulla. Tämä johtuu siitä, että tangentit ja niitä vastaavat ympyän säteet muodostavat kaksi suoakulmaista kolmiota. Esimekki 17 Rantapallon halkaisija on 60 cm. Jos katsot sitä 9,7 metin päästä, kuinka suuessa kulmassa näet sen?
Ajatellaan tilannetta tasossa emme tavitse palloa, vaan ympyän. Tehtävämme on atkaista tangenttikulman suuuus, kun ympyän keskipiste on etäisyydellä 10 m = 9,7 m + 0,3 m ympyän ulkopuolisesta pisteestä, sanokaamme pisteestä P. Selvennetään asiaa piioksen avulla. Mekitsen kysyttyä kulmaa α :lla jotta saan laskuihin kokonaisen kulman. Edellähän tangenttikulmaa mekittiin α :lla. Sini-funktion määitelmän nojalla saadaan yhtälö sin α =, s josta edelleen α = 3, 4 = 3 6'. Vastaus: Kysytty kulma on noin 3,4 astetta. s α P Esimekki 18 Rantapallon halkaisija on 60 cm. Kuinka kaukaa sitä pitää katsoa, jotta tangenttikulmaa vastaavan keskuskulman suuuus on 178? Kuinka suui tangenttikulma on tällöin? Otetaan uusi kopio Esimekin 17 piioksesta. Käytän taas kaksinketaisia kulmia kuvan määitelmissä, jotta saan kokonaisia kulmia laskuihin. Täten esimekiksi keskuskulma = 178 = β. Koska tangenttikulman ja sitä vastaavan keskuskulman summa on 180 astetta, annettua keskuskulmaa vastaava tangenttikulma saadaan yhtälöstä β s α P α + β = 180, josta α =. Sini-funktion määitelmän mukaan sin α =, s josta
s = = 17m. sinα Vastaus: Rantapalloa on katsottava noin 17 metin päästä. Tangenttikulma on tällöin. Esimekki 19 Kuinka ylös on noustava, jotta näkisi Suomen kokonaan? Suomen pituus on 1150 kilometiä ja Maan säde on 6367,5 kilometiä. Määitellään kuvan avulla seuaavat suueet. Etäisyydet: = Maan säde, s = Maan keskipisteen ja kuvitellun katselupisteen välinen etäisyys sekä t = piste, jossa näkösäde sivuaa Maata. Kulmat: Kulma, jossa Suomi näkyy ylhäältä = α, Suomen pituutta vastaavan kaaen keskuskulma = β. Huomaa vielä, että t kuten edellä. Kun vetaat Suomen pituutta Maan säteeseen, huomaat, että oheisen piioksen mittasuhteet eivät ole kohdallaan. Se ei kuitenkaan haittaa. Lasketaan Suomen pituutta vastaavan kaaen keskuskulma, kun ympyän säde on 6367,5 kilometiä: t α s 1150 β = π 6367, 5, = 10, 3 β joten β = 5, 17. Kosini-funktion määitelmän mukaan cos β =. s Siis s = cos β = 6394
Etäisyys pinnalta on siis 6 kilometiä. Vastaus: Suomi näkyy kokonaan noin 6 kilometin kokeudesta.
Keskeisiä käsitteitä π Keskipiste Ympyä Säde Halkaisija Kehä Sivuamispiste Segmentti Sektoi Tangentti Puoliympyä Vasen kylki Tangenttikulma Oikea kylki Kaai Keskuskulma Jänne Jänteen kokeus