763343A KIINTEÄN AINEEN FYSIIKKA Ratkaisut 2 Kevät 2018 1. Tehtävä: Kuparin kiderakenne on pkk. Käyttäen säteilyä, jonka aallonpituus on 0.1537 nm, havaittiin kuparin (111-heijastus sirontakulman θ arvolla 21 40' ja (200-heijastus arvolla θ = 25 13. Mikä on hilavakion a arvo? [Merkintä (200 tarkoittaa heijastusta tasosta (100 vastaten kertalukua n = 2.] Ratkaisu: Huomaa, että merkintä 40 = 40 60 ( = minuutti, eli yksi kuudeskymmenesosa. Braggin ehdon mukaan hilatasojen etäisyys (111-tasoille on d = nλ 2 sin θ = 0.1537 2 sin(21 40 nm 0.208149nm (1 a = d h 2 + k 2 + l 2 = 0.208149 3 0.36 nm. (2 Samaan tulokseen päästään, kun lasketaan (200-tasojen etäisyys d = nλ 2 sin θ = 2 0.1537 2 sin(25 13 nm 0.360762 nm (3 a = d h 2 + k 2 + l 2 = 0.360762 1 0.36 nm. (4
2. Tehtävä: Piirrä kuutiollisen kiteen yksikkökoppiin hilatasot (210 ja (111. Osoita, että hilatasojen etäisyys yksinkertaisen kuutiollisen kiteen tapauksessa on kaavan d = a h2 + k 2 + l 2 mukainen. Ratkaisu: Tarkastellaan ensin tasoa (210. Palataan Millerin indekseistä takaisin koor- 1 dinaatteihin aî, aĵ ja aˆk. Otetaan ensin käänteisluvut indekseistä ja saadaan: 2, 1 ja (huomataan siis, että taso ei leikkaa z-akselia. Yksi hilataso kulkee näiden pisteiden kautta. Muut tasot saadaan kertomalla em. pisteet kokonaisluvulla (mieti miten Millerin indeksit muodostettiin!. (210-suuntaiset tasot määräytyvät siis pisteistä a n î ja anĵ, 2 missä n on nollasta poikkeava kokonaisluku. Nyt riittää tarkastella tasoja xy-tasossa (koska tasot eivät leikkaa z-akselia. Jokaisen hilapisteen kautta kulkee taso. Kun siis halutaan tutkia kahden vierekkäisen tason välistä etäisyyttä d, niin kuvan perusteella riittää tutkia tason kohtisuoraa etäisyyttä origosta. Tällöin d a/2 = a a/2 1 2 + 2 d = a 2 12 + 2. (5 2 Tarkastellaan sitten tasoja (111. Tasot kulkevat pisteiden naî, naĵ ja naˆk kautta. Taas riittää tarkastella kohtisuoraa etäisyyttä origosta. Kuvan perusteella d a/ 2 = a d = 3a/ 2 a 12 + 1 2 + 1 2. (6 3. Tehtävä: Diraktiometrimittauksessa havaittiin intensiteettihuiput seuraavilla sirontakulman θ arvoilla: 20, 29, 36.5, 43.4, 50.2, 57.35 ja 65.55. Käytetyn säteilyn aallonpituus oli 0.154 nm. Lähtien oletuksesta, että pienin kulma vastaa yksinkertaisen kuutiollisen hilan heijastusta (100, testaa pystytkö selittämään kaikki loput intensiteettihuiput. Ratkaisu: Lasketaan ensin hilavakion arvo a = d = λ 2 sin θ = 0.154 2 sin(20 nm 0.225nm. (7
Sijoittamalla annetut luvut kaavaan n = 2d sin θ λ saadaan toisen kertaluvun heijastus kulmalla 43.2, joka vastannee sirontakulmaa 43.4. Tutkitaan seuraavaksi heijastuksia hilatasosta (110 (huomaa, että tasot (101 ja (011 ovat ekvivalentteja!. Nyt d = a/ 1 2 + 1 2 + 0 0.159193nm ja saadaan ensimmäisen kertaluvun heijastus kulmalla 29. Seuraavaksi tutkitaan tasoja (111. Edelleen, d = a/ 3 0.129981nm ja kulma 36.5 vastaa ensimmäisen kertaluvun heijastusta. Edeten samalla tavalla saadaan, että 50.2 vastaa ensimmäisen kertaluvun heijastusta hilatasosta (210 ja 57.35 vastaavaa tasosta (211. Kulma 65.55 ei vastaa mitään Braggin ehdon mukaista heijastusta yksinkertaisesta kuutiollisesta hilasta. Tämä nähdään esimerkiksi siten, että kun Millerin indeksien kasvattamista jatketaan tulee pian vastaan tilanne missä n < 1. Tämän jälkeen indeksien kasvattamista on turha jatkaa, koska se vain pienentää n:n arvoa (mieti!. Oletus on siis väärä! Seuraavaksi tulisi käydä läpi muut yksinkertaisen kuutiollisen hilan tasot (esim. olettaa, että pienin kulma vastaa (110 heijastusta jne.. Jos (ja kun nekään eivät kykene selittämään havaittuja intensiteettihuippuja, on vaihdettava hilarakennetta. Kaikki sirontakulmat saataisiin selitettyä olettamalla tkk-rakenne. Tällöin alin kulma vastaa heijastusta (110-tasosta (koska 100 on sammunut. 4. Tehtävä: a Ainetta tutkitaan elektronidiraktiolla. Mikä on elektronin energian vähintään oltava, jotta saataisiin diraktiopiikki hilasta, jonka hilavakio on 0.2 nm? b Jotta elektronit tunkeutuisivat kunnolla näytteeseen käytetään energiaa 100 kev. Missä kulmassa saadaan alimman kertaluvun heijastus? Ratkaisu: a Braggin ehdon mukaan elektronin aallonpituuden on oltava vähintään λ 2d, jotta diraktiopiikkejä nähtäisiin. Koska d = a/ h 2 + k 2 + l 2 a, niin myös λ 2a. Elektronin energia määräytyy kaavasta E = h 2 /2mλ 2, missä h on Planckin vakio ja m elektronin massa. Tästä saadaan E = h2 2mλ 2 (8 h2 9.4eV. (9 8ma2
b Nyt E = 100 kev. Tästä saadaan aallonpituus λ = h 2mE 4.0pm. (10 Braggin lain mukaan alimmalle kertaluvulle (n = 1 sin θ = λ 2d = λ ( λ 2a θ = arcsin 0.56. (11 2a
5. Tehtävä: Tutki onko tasoissa (100, (110 ja (111 sammuneita heijastuksia tilakeskeisessä kuutiollisessa rakenteessa. Toista sama pintakeskeisessä rakenteessa. Ratkaisu: Monisteen mukaisesti heijastuksissa peräkkäisistä hilatasoista eroaa valon kulkema matka 2d sin θ:n verran. Kun tämä matka on aallonpituuden λ monikerta, ovat heijastuneet aallot samassa vaiheessa ja vahvistavat toisiaan. Vastaavasti, jos ko. matka on λ/2 monikerta ovat vaiheet vastakkaiset ja heijastus sammuu. Nyt sekä tkkettä pkk-hilalla on (100-tasot myös yksikertaisen kuutiollisen hilan (100-tasojen välissä. Voimakkaan sironnan tapauksessa yksinkertaisessa kuutiollisessa hilassa 2a sin θ = nλ. (12 Nyt tkk-ja pkk-hiloilla välitasoista heijastuneet aallot kulkevat matkan a sin θ = n λ. (13 2 Kun n on pariton saadaan yllä olevan perusteella heijastumisen sammuminen. z (110 (0,0,2a z (111 y (0,2a,0 y x x (2a,0,0 z x=a/2 (111 y Tkk-rakenteessa (110-tasot ovat samat kuin yksinkertaisella kuutiollisella hilalla (lisäpisteet sijaitsevat yksinkertaisen kuutiollisen hilan (110-tasoissa, joten sammumisia ei
tapahdu (ks. kuva. Sen sijaan pkk-hilalla on taas lisätasot päähilatasojen väleissä [kuvassa ainostaan kaksi kuudesta tahkojen keskipisteestä osuu (110-tasoon]. Kuten yllä, tapahtuu sammuminen, kun n on pariton. Pkk-rakenteella (111-tasot ovat samat kuin yksinkertaisella kuutiollisella hilalla [kuvassa isompi (111-taso leikkaa yksikkökopin katkoviivoja pitkin, ja tahkojen keskipisteet sijaitsevat näillä viivoilla]. Tkk-hilalla on lisätasot, joten sammuminen tapahtuu, kun n on pariton [kuvassa poikkileikkaus yz-tasossa arvolla x = a/2: yksikkökopin keskipiste jää (111-tasojen väliin].