Oulun Yliopisto Kandidaatintutkielma ALKULUVUISTA (mod 6) Marko Moilanen Opiskelijanro: 1681871 17. joulukuuta 2014
Sisältö 1 Johdanto 2 1.1 Tutkielman sisältö........................ 2 1.2 Alkulukujen historia....................... 2 1.3 Sanastoa.............................. 3 2 Alkuluvut (mod n) 3 3 Alkulukujen luokittelusta 8 3.1 Luvun 1 monikerrat........................ 8 3.2 Ensisijaiset alkuluvut....................... 9 3.3 Toissijaiset alkuluvut....................... 10 4 Alkulukujen luokittelun seuraus 11 4.1 Alkulukujen neliöistä....................... 12 4.2 Joukko, joka sisältää vain kaikki alkulukuvut.......... 15 4.3 Eräitä alkulukutyyppejä..................... 17 Viitteet 20 1
1 Johdanto 1.1 Tutkielman sisältö Tutkielmassa etsitään vastausta kysymykseen onko alkulukujen taustalla olemassa jokin järjestelmä, joka ohjaa niiden käyttäytymistä ja esiintymistä. Tutkielmassa tarkastellaan alkulukuja aritmeettisissa progressioissa 6n ± 1. Tarkastelu antaa erään näkökulman alkulukujen joukolle, joka saadaan tuotettua kahden apujoukon avulla. Alkulukujoukon ohella tutkielmassa tarkastellaan joukkoa E, joka koostuu alkulukujen keskinäisistä tuloista. Alkulukujen luokittelun ohessa tutkielmassa todistetaan lauseita ja saadaan seurauksia, joilla on alkulukujen tutkimukselle ja numeromaailman ymmärtämiselle merkitystä. Lukijalta edellytämme lukuteorian alkeiden, matemaattisen todistelun sekä joukko-opin perustuntemusta, yhtälöiden ja yhtälöparien muodostamisen, kongruenssiajattelun sekä edellä mainittuihin aiheisiin liittyvien matemaattisten merkintöjen tuntemusta. Allekirjoittaneen osuus työssä on varsin suuri, sillä olen itsenäisesti kehittänyt lähes kaikki määritelmät, lauseet, todistukset ja esimerkit vuosien 2011 2014 aikana. Luonnollisesti useissa lauserakenteissa ja todistuksissa oli paranneltavaa. Suurinta osaa työstäni ei saatu mahtumaan tähän suppeaan kandidaatintutkielmaan. 1.2 Alkulukujen historia Alkulukujen historia johtaa epävirallisesti Egyptiin ja ensimmäiseen tunnettuun matemaattiseen kirjoitukseen, Rhind Papyrukseen, jossa alkuluvut oli merkitty toisista luvuista poikkeavalla tavalla. [2] Nykypäivänä tunnettu alkulukujen tutkimuksen historia on kuitenkin lähtöisin Kreikasta. Eukleideen Alkeet (n. 300 eaa.) sisältää tärkeitä teorioita alkuluvuista. Alkeissa todistetaan muun muassa, että alkulukuja on ääretön määrä. [1] Seuraavaksi alkulukujen historiaa kehitti Eratosthenes (n. 276 195 eaa.), jonka mukaan on nimetty Eratostheneen seula -algoritmi. Eratostheneen seulalla voidaan seuloa luonnollisten lukujen joukosta kaikki alkuluvut. Seulan toimintaperiaate on hyvin yksinkertainen: Jos esimerkiksi tahdotaan etsiä alkuluvut väliltä [100, 200], poistetaan ensin luvulla 2 jaolliset luvut, seuraavaksi luvulla 3 jaolliset luvut, jne. Seulonta voidaan lopettaa, kun kaikki lukua 200 pienemmät luvut on käyty läpi. Tässä esimerkissä seulonta lopetetaan luvun 14 kohdalla. Kreikkalaisten jälkeen alkulukujen tutkimuksessa ei tapahtunut edistystä 2
juuri lainkaan ennen 1600-lukua, kunnes vuonna 1640 Pierre de Fermat luonnosteli ilman todistusta Fermat n pienen lauseen. Sen todistivat myöhemmin Leibniz ja Euler. Keskiajalta lähtien alkulukuja on jaettu erilaisiin järjestelmiin sen perusteella, miten ne käyttäytyvät tai miten ne voidaan tuottaa. Esimerkiksi lukuja M p sanotaan Mersennen alkuluvuiksi ja ne ovat muotoa M p = 2 p 1 olevia alkulukuja. Kaisu Kangas kirjoittaa Tiede-lehdessä (30.5.2011): Matemaatikkoja on askarruttanut iän kaiken, onko alkulukujen esiintyminen muiden lukujen joukossa säännönmukaista. Tieteen Kuvalehden (2/2007) artikkelissaan Matematiikan 7 kiperintä ongelmaa myös Erik Wied pohtii: Onko alkuluvuissa järjestelmä? Yleisen käsityksen mukaan alkulukuihin ei tähän mennessä ole löytynyt yksinkertaista järjestelmää, jonka mukaan ne esiintyisivät. 1.3 Sanastoa Kokonaislukujen joukolle käytetään merkintää Z. Ei-negatiivisille kokonaisluvuille {0, 1, 2, 3,... } käytetään merkintää N. Olkoon lisäksi Q rationaalilukujen joukko, eli muotoa q = m, olevat luvut, jossa m, n Z, ja n 0. n Tutkielma keskittyy alkulukuihin, niiden tutkimiseen modulossa 6 sekä joukkojen G = {g N g = 6n ± 1, n N}, E = {e N e = g a g b, g a, g b > 1, g a, g b G} ja ˆP = G \ E ominaisuuksien tutkimiseen. 2 Alkuluvut (mod n) Matematiikan kirjallisuudessa alkuluvut määritellään: Alkuluku on lukua 1 suurempi kokonaisluku, joka ei ole jaollinen muilla positiivisilla kokonaisluvuilla kuin yhdellä ja itsellään. Alkulukujen joukkoa merkitään kirjaimella P. Ensimmäiset alkuluvut ovat 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 ja 29. Alkulukuja on ääretön määrä. [3, Määritelmä 7.9.] ja [4, s. 2]. Seuraavaksi etsitään eri tapoja tutkia alkulukuja. Työkaluna etsinnässä käytetään kongruenssiajattelua, jonka avulla luvut jaetaan eri jäännösluokkiin. Tavoitteena on löytää sellainen modulo, jossa on mahdollisimman vähän alkulukujen kanssa kongruentteja lukuja. Aluksi etsimistä helpotetaan esittelemällä joukko, jossa alkulukujen joukosta on poistettu luvut 2 ja 3 ja lisätty luku 1. 3
Määritelmä 1. Joukko ˆP = (P\{2, 3}) {1}. Ensimmäiset joukon ˆP alkiot ovat 1, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 ja 29. Erityisesti joukon ˆP alkiot eivät ole jaollisia luvuilla 2 tai 3. Lause 2.1. Joukon ˆP ja kokonaislukujoukon alkiot ovat kongruentteja keskenään (mod 1). Todistus. Olkoon p ˆP sekä k N. Tällöin pätee, että p k (mod 1). Siis joukon ˆP ja kokonaislukujoukon alkiot ovat kongruentteja keskenään (mod 1). Lause 2.2. Joukon ˆP alkiot ovat kongruentteja parittomien lukujen kanssa (mod 2). Todistus. Olkoon n = 2l+1, l N ja p ˆP, jolloin p = 2k +1, k N. Tällöin pätee, (2k + 1) = p 2l + 1 (mod 2). Joukon ˆP alkiot ovat siis kongruentteja parittomien lukujen kanssa (mod 2). Kun lukuja tutkitaan modulossa 3, havaitaan osan joukon ˆP alkioista olevan kongruentteja osan parillisten lukujen kanssa. Vastaavasti kun lukuja tutkitaan modulossa 4, havaitaan osan joukon ˆP alkioista olevan kongruentteja osan kolmella jaollisten lukujen kanssa. Esimerkki. Otetaan esimerkiksi parilliset luvut 2 ja 8, sekä joukon ˆP alkio 5. Näille pätee, että 2 5 8 (mod 3). Kun otetaan esimerkiksi kolmella jaolliset luvut 3 ja 15, sekä joukon ˆP alkiot 7 ja 11, näillä pätee 3 7 11 15 (mod 4). 4
Huomautus. vaikka modulo 4 tarkastelussa pätee, että 5 13 (mod 4), tässä tutkielmassa tullaan osoittamaan, että luvut 5 ja 13 eroavat ominaisuuksiltaan toisistaan. Myöskään tämän vuoksi niitä ei kannata pitää kongruentteina toisiinsa nähden, kun tutkitaan järjestelmää alkulukujen taustalla. Lause 2.3. Joukon ˆP alkiot ovat kongruentteja lukujen 1 ja 1 kanssa (mod 6). Todistus. Olkoon r ˆP. Tällöin Määritelmän 1. nojalla r 2k tai r 3l, k, l N. Siten pätee r 2, r 3, r 4, r 6 (mod 6). Täten, tai Toisinsanoen, r 7 7 6 = 1, r 5 5 6 = ( 1) (mod 6). r ±1 (mod 6). Seuraus 2.4. Kaikki joukon ˆP alkiot, eli myös kaikki alkuluvut poislukien 2 ja 3, voidaan esittää muodossa 6n ± 1, n N. Toisinsanoen, ˆP {g Z + g = (6n ± 1), n N}. Todistus. Seuraa suoraan Lauseesta 2.3. Lause 2.5. Vain ja ainoastaan modulossa 6n pätee, että joukon ˆP alkiot eivät ole kongruentteja yhdenkään kahdella tai kolmella jaollisen alkion kanssa. 5
Todistus. Pitää siis osoittaa, että valitaanpa mikä tahansa muu modulo kuin 6n, niin aina tulee kahdella tai kolmella jaollisia lukuja, jotka ovat kongruentteja joukon ˆP alkioiden kanssa. Lauseessa 3.2. todistamme, että kaikki einegatiiviset kokonaisluvut ovat muotoa 2k tai 3l tai 6n ± 1. Näinollen riittää tarkastella erikseen näitä kolmea moduloa 2k ja 3l ja 6n ± 1, sekä todistaa väite todeksi erikseen niissä jokaisessa. 1) Tarkastellaan kaikkia moduloja, joiden luku on muotoa (mod 6n ± 1), jossa n N. Olkoon x (6n ± 1). Tällöin esimerkiksi, tai x + 5 = (6n + 1) + 5 = 6n + 6 = 2 (3n + 3) = 2k 5 (mod 6n + 1), } {{ } k x + 5 = (6n 1) + 5 = 6n + 4 = 2 (3n + 2) = 2k 5 (mod 6n 1). } {{ } k Eli kaikissa moduloissa, joiden luku on muotoa (mod 6n ± 1), jossa n N joukon ˆP alkiot ovat kongruentteja joidenkin parillisten lukujen kanssa. 2) Tarkastellaan kaikkia moduloja, joiden luku on 3l 6n, jossa l, n N. Tässä tulee siis jättää tarkastelun ulkopuolelle joukko, jossa alkiot ovat muotoa 6n. Täten lukujen muotoa 3l, on l oltava pariton luku eli l = 2a + 1, a N. Merkitään kaikkia tarkasteltavia alkioita kirjaimella B. Täten, B = {3, 9, 15, 21,... } B = {3 + 6m m N} Koska modulo luku 3l on aina pariton, on sitä seuraavan luvun oltava parillinen. Tällöin, 1 2k (mod 3l). Tästä seuraa myös, että esimerkiksi 1 + 2(3l) = 7 2k (mod 3l). Kun valitaan mikä tahansa (mod 3l 6n), on osa joukon ˆP alkioista kongruentteja parillisten lukujen kanssa. 3) Tarkastellaan kaikkia moduloja, joiden luku on 2k 6n, jossa k, n N. 6
Koska alkiot muotoa 6n halutaan jättää tarkastelun ulkopuolelle, pitää tarkastella lukuja 2k, jossa k 3l, ja k, l N. Muodostetaan joukko C, joka on siis parilliset luvut poistettuna kuudella jaolliset luvut, ja merkitään sitä seuraavalla tavalla C 1 C 2 = C = {2, 4, 8, 10, 14, 16, 20,... }. Joukko C voidaan jakaa edelleen kahdeksi joukoksi C 1 ja C 2, eli C 1 = {2 + 6m m N} ja C 2 = {4 + 6m m N}. Olkoon nyt c 1 C 1, ja c 2 C 2. Huomataan, että sekä c 1 + 1 = (2 + 6m) + 1 = 6m + 3 = 3 (2m + 1) = 3l, } {{ } =l c 2 1 = (4 + 6n) 1 = 6n + 3 = 3 (2n + 1) = 3l. } {{ } =l Näinollen saadaan aikaan kongruensseja joukkojen C 1 ja ˆP alkioiden välille. Nyt siis pätee 1 3l (mod c 1 ), ja samoin esimerkiksi 1 + 2(3l) = 7 3l (mod c 1 ). Vastaavasti joukkojen C 2 ja ˆP alkioiden välille pätee ja samoin esimerkiksi 1 3l (mod c 2 ), 1 + 2(3l) = 5 3l (mod c 2 ). Siten kun valitaan mikä tahansa (mod 2k 6n), on osa joukon ˆP alkioista kongruentteja kolmella jaollisten lukujen kanssa. 4) Kun tarkastellaan moduloa 6n, voidaan Lauseen 2.3. ja Seurauksen 2.4. nojalla todeta, ettei näissä moduloissa ole yhtään kahdella tai kolmella jaollista lukua, joka olisi kongruentti joukon ˆP alkioiden kanssa. Kohdista 1), 2), 3) ja 4) Vain ja ainoastaan modulossa 6n pätee, että joukon ˆP alkiot eivät ole kongruentteja yhdenkään kahdella tai kolmella jaollisen alkion kanssa. 7
Alkuluvut (mod 6) Kappaleen 2 nojalla voidaan todeta, että (mod 6n) on tehokas tapa tutkia alkulukuja sekä niiden käyttäytymistä. Jotta tutkimuksessa voidaan keskittyä olennaisiin seikkoihin, rajataan tutkimusalue supistamalla modulo 6n moduloksi 6. Täten saadaan jakojäännöspaikkoihin [-1] ja [1] vain joukon ˆP alkioita ja näiden alkioiden monikertojen sekä monikertojen monikertoja. Kuudella jaollisuus on siis ainoa tapa eristää pois kaikki kahdella ja kolmella jaolliset luvut samoista jäännösluokista alkulukujen kanssa. 3 Alkulukujen luokittelusta 3.1 Luvun 1 monikerrat Todistelujen vuoksi määritellään jaollisuuden [3, Määritelmä 7.1.] ja monikerran [3, s. 49] käsitteet. Määritelmä 2. Kokonaisluku n on jaollinen kokonaisluvulla m, jos jollain kokonaisluvulla a pätee n = am. Tällöin merkitään m n. Määritelmä 3. Kun ryhmän laskutoimitusta merkitään yhteenlaskuna, potensseja kutsutaan monikerroiksi. Täten jos (G, +) on ryhmä, x ryhmän G alkio ja k kokonaisluku, merkitään kx = x + x + + x. } {{ } kkpl Merkintä vastaa kertolaskuryhmän potenssia. Lause 3.1. Kaikki kokonaisluvut ovat luvun 1 monikertoja. Todistus. Kokonaislukujen joukko varustettuna yhteen- ja kertolaskulla muodostaa kommutatiivisen renkaan. Täten on voimassa renkaan laskusäännöt. [3, s. 163]. Olkoon R kommutatiivinen rengas ja 0, 1 R. Määritellään renkaan alkion a monikerta asettamalla. i) k = 0: ka = 0. ii) k s moninkerta eli ka: (k + 1)a = a + ka, k N. 8
iii) arvolla k: ( k)a = ka, k 1. iv) erikoistapauksena saadaan k s moninkerta, kun a = 1: (k + 1)1 = 1 + k1, k 0. Täten kaikki kokonaisluvut ovat luvun 1 monikertoja. 3.2 Ensisijaiset alkuluvut Kun alkulukujen tutkimisessa on apuna (mod 6), kaikki luvuilla 2 ja 3 jaolliset luvut jäävät pois kuin itsestään alkulukujen joukosta. Tähän vedoten on perusteltua pohtia, voisiko lukuja 2 ja 3 kutsua ensisijaisiksi alkuluvuiksi ja näinollen jättää ne syrjään itse alkulukujen joukosta. Määritelmä 4. Ensisijaisia alkulukuja (Primary Primes) ovat luvut 2 ja 3. Merkitään ensisijaisia alkulukuja kirjaimella P. Seuraavaksi yhdistetään niin sanottu täydellinen alkuluku 1 sekä ensisijaiset alkuluvut 2 ja 3. Näin saadaan aikaan kolmikko, jonka avulla voidaan taas kerran muodostaa kaikki ei-negatiiviset kokonaisluvut. Tässä mallissa käytetään suoraan lukuja 2 ja 3 sekä niiden tulon kylkiä eli lukuja, jotka ovat muotoa (2 3)n ± 1, n N. Lause 3.2. Kaikki kokonaisluvut ovat muotoa 2k, 3l tai (6n ± 1)j, missä j, k, l Z ja n N. Todistus. Todistetaan lause käyttäen kongruenssia. Nyt kun a N, niin a 0, a 1, a 2, a 3, a 4, tai a 5 (mod 6). Valitsemalla k:t ja l:t seuraavalla tavalla, saadaan luvut väitettyyn muotoon: Kun a 0 (mod 6), niin a = 0 + l 6 = 2 (l 3) = 2k, } {{ } =k kun a 2 (mod 6), niin a = 2 + l 6 = 2 (1 + l 3) } {{ } =k kun a 3 (mod 6), niin a = 3 + k 6 = 3 (1 + k 2) } {{ } =l kun a 4 (mod 6), niin a = 4 + l 6 = 2 (2 + l 3) } {{ } =k = 2k, = 3l, sekä = 2k. 9
Jäljelle jäävät tekijät 6n + 1 ja 6n + 5, joista 6n + 1 on jo valmiiksi väitetyssä muodossa, sekä 6n + 5 on sama kuuden jakojäännös kuin 6n 1, koska 5 ( 1) (mod 6). Näin ollen kaikki luonnolliset luvut ovat muotoa 2k, 3l tai (6n±1)j, missä j, k, l Z ja n N. Seuraus 3.3 (Aritmetiikan peruslause). Kaikki luonnolliset luvut voidaan esittää yksikäsitteisesti tekijöidensä 2, 3 ja 6n ± 1 ˆP, n N. Todistus. Koska Seuraus 3.3. on käytännössä sama kuin aritmetiikan peruslause, on myös Lauseen todistus yleisesti tunnettu. Esimerkki. Otetaan kolme esimerkkiä miten kaikki luvut on esitettävissä tekijöiden 2, 3 ja (6n ± 1) avulla. i) Kun tutkitaan lukua 966, nähdään että 966 = 2 3 7 23 = 2 3 (6 1 + 1)(6 4 1). ii) Kun tutkitaan lukua 825037, nähdään että 825037 = 19 173 251 = (6 3 + 1)(6 29 1)(6 42 1). iii) Kun tutkitaan lukua 44100, nähdään että 44100 = 4 9 25 49 = 2 2 3 2 (6 1 1) 2 (6 1 + 1) 2. 3.3 Toissijaiset alkuluvut Jatketaan alkulukujen määrittelyn parissa. Asetetaan kaikki ei-negatiiviset kokonaisluvut taulukkoon, jossa on 6 saraketta. Z + 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 10
Lukujen jaollisuudesta tiedämme, että yhtään alkulukua p > 3 ei ole kongruenssissa lukujen 2, 3, 4 ja 6 kanssa (mod 6). Eli seuraavaksi jätetään tarkastelun ulkopuolelle taulukosta luvut muotoa 2k ja 3l. Luvut muotoa 6n ± 1 6n + 1 6n 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 Kun ei negatiivisia kokonaislukuja tarkastellaan ylläolevassa taulukosta, on perusteltua määritellä alkulukujen joukko koskettamaan lukua 1, joka sisältyy tarkastelualueeseen. Vastaavasti on perusteltua jättää luvut 2 ja 3 pois alkuluvuista, sillä ne eivät kuulu tarkasteltavaan joukkoon. Määritelmä 5. Toissijainen alkuluku (Secondary Prime) on positiivinen kokonaisluku, joka ei ole jaollinen muilla luvuilla kuin yhdellä ja itsellään. Erityisesti se ei myöskään ole jaollinen luvuilla 2 tai 3. Ensimmäiset toissijaiset alkuluvut ovat 1, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 ja 29. Toissijaisia alkulukuja on ääretön määrä. Merkitään toissijaisia alkulukuja kirjaimella P. 4 Alkulukujen luokittelun seuraus Tässä kappaleessa rakennetaan joukko ˆP, joka osoitetaan sisältävän kaikki, ja erityisesti vain kaikki, toissijaiset alkuluvut ensimmäisestä aina äärettömyyteen saakka. Tämä tarkoittaa, että ensin väitetään ja sitten todistetaan alkulukujen joukolla olevan hyvin selkeitä säännönmukaisuuksia. Tutkimuksen päätuloksena osoitetaan, miten kaikki alkuluvut voidaan täsmällisesti tuottaa kahden apujoukon avulla. Vastaavaa matemaattista osoitusta ei tiettävästi ole aiemmin esitetty. Määritelmä 6. Luku a > 1 on yhdistetty luku, jos se ei ole ensisijainen tai toissijainen alkuluku. Toisinsanoen a = bc, jossa 1 < b, c < a. 11
Huomautus. Myöhempää käyttöä varten merkitään ja joukkoon G liittyen, ja G := {g N g = 6n ± 1, n N}, g := g (6n 1) := G, g + := g (6n + 1) := G +, joissa merkintä (6n±1) tarkoittaa lukujonoa, jonka alkiot ovat muotoa 6n±1. Merkitään myös E := {e N e = g a g b, g a, g b > 1, g a, g b G}. Lause 4.1. Kaikki alkuluvut kuuluvat joukkoon G, eli alkuluvut ovat muotoa 6n ± 1, n N. Todistus. Katso Seuraus 2.4. ja huomaa, että tässä alkulukuihin ei kuulu luvut 2 ja 3. Eli ˆP G. 4.1 Alkulukujen neliöistä Seuraus 4.2. Kaikki toissijaisten alkulukujen neliöt ovat muotoa (6n + 1), jossa n N. Todistus. Seuraus voidaan esittää myös muodossa, p 2 1 (mod 6), joka seuraa suoraan Lauseesta 4.2. Katso tarkemmin todistuksen osio 2), jossa kohdat i) ja ii). Huomautus. Seuraus 4.3. ei kuitenkaan ole erityinen tulos, sillä vastaavasti voidaan todistaa kaikki seuraavat tapaukset. 12
Alkulukujen neliöt (mod n), n 24 p 2 1 (mod 2) p 2 1 (mod 3) p 2 1 (mod 4) p 2 1 (mod 6) p 2 1 (mod 8) p 2 1 (mod 12) p 2 1 (mod 24) Ylläolevaa taulukkoa ja Seurausta 4.3. mukaellen saadaan aikaan seuraava lause. Lause 4.3. Kaikki alkulukujen neliöt ovat muotoa (24t + 1), jossa t N. Todistus. Seurauksen 3.4. nojalla tiedetään, että kaikki alkulukujen neliöt ovat muotoa 6n ± 1, jossa n N. Täten (mod 24) tapauksessa riittää tarkastella joukon ˆP alkioita {1, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23}, jotka toisinsanoen ovat joukon (mod 24) jäännösluokat {[1], [5], [7], [11], [13], [17], [19], [23]}. Lukujen jaollisuuden nojalla muissa jäännösluokissa olevat alkiot eivät ole muotoa 6n ± 1, eivätkä täten voi olla alkulukujen neliöitä. Tutkitaan jäännösluokkiin kuuluvien alkioiden neliöt. Alkulukujen neliöt (mod 24) 1 2 = 1 + 24 0 1 (mod 24) 5 2 = 1 + 24 1 1 (mod 24) 7 2 = 1 + 24 2 1 (mod 24) 11 2 = 1 + 24 5 1 (mod 24) 13 2 = 1 + 24 7 1 (mod 24) 17 2 = 1 + 24 12 1 (mod 24) 19 2 = 1 + 24 15 1 (mod 24) 23 2 = 1 + 24 22 1 (mod 24) Täten alkulukujen neliöille pätee p 2 1 (mod 24), eli kaikki alkulukujen neliöt ovat muotoa (24t + 1), jossa t N. 13
Seuraavaksi viedään alkulukujen neliöajattelu vielä pidemmälle ja ratkaistaan, että mitkä ovat kaikki mahdollisuudet tutkia alkulukujen neliöitä. Lause 4.4. Kaikilla toissijaisilla alkuluvuilla p pätee p 2 1 (mod n), jos ja vain jos n 24. Todistus. Koska kyseessä on jos ja vain jos lause, se tulee osoittaa todeksi molempiin suuntiin. Olkoon b = 6k ± 1. Osoitetaan, että b 2 1 (mod n 24). Tarkastellaan ensin tilanne, jossa modulo on suurempi kuin 24. Toisinsanoen kaikilla m 25 voidaan valita p = 5 ˆP, jolloin pätee p 2 1 (mod m). Ylläolevista saadaan, että b 2 = 36k 2 ± 12 + 1 = 12k(3k ± 1) + 1. Nyt k on joko pariton tai parillinen. Kun k on parillinen eli k = 2h, saadaan b 2 = 24h(6h ± 1) + 1 1 (mod 24). Sekä vastaavasti, kun k on pariton eli k = 2h + 1, saadaan b 2 = 12k(6h + 3 ± 1) + 1 1 (mod 24). } {{ } 2Z Kaikilla joukon G alkioilla b pätee, että b 2 1 (mod 24). Näinollen se pätee siis myös kaikilla toissijaisilla alkuluvuilla p. Nyt koska p 2 1 (mod 24), 14
saadaan kongruenssilaskusäännöistä suoraan, että kun A B (mod M), ja tässä N M, niin myös A B (mod N). Näinollen on voimassa, että p 2 1 (mod n 24). Todetaan vielä lisäksi, että joikaista m 25 kohti on olemassa sellainen joukon G alkio b, että b 2 1 (mod m). On siis oltava, että b 2 < m. Ylläolevista kohdista tulee todistetuksi väite p 2 1 (mod n) n 24. 4.2 Joukko, joka sisältää vain kaikki alkulukuvut Seuraavaksi siirrytään tutkimuksen päätulokseen, eli katsotaan miten kaikki alkuluvut paljastetaan kahden apujoukon avulla. Lause 4.5. Kaikki, ja erityisesti vain kaikki, alkuluvut kuuluvat joukkoon ˆP, joka saadaan poistamalla joukko E joukosta G. Toisinsanoen, ˆP = G \ E G = ˆP E, ˆP E =. Todistus. Lauseen 4.1. nojalla kaikki alkuluvut sisältyvät joukkoon G. Siten, G = ˆP J, jossa ja J = {ab a, b Z >1 } ab ±1 (mod 6). 15
Osoitetaan, että J = E. Kun ab ±1 (mod 6), ovat vain seuraavat vaihtoehdot mahdollisia: Näinollen jokaisessa vaihtoehdossa, 1 1 ( 1) ( 1) 1 ab, 1 1 1 ab, 1 ( 1) ( 1) ab a ±1 (mod 6) ja Tästä seuraa, että J = E. b ±1 (mod 6). Huomautus. Tässä vaiheessa myös viimeistään huomataan, että itseasiassa P = ˆP. Kun alkulukujen joukkoa on rakennettu kahden muun joukon G ja E avulla, ei ole haluttu pitää mukana Määritelmän 5. merkintää alkuluvuista sekoittamassa osoituksia. Esimerkki. Otetaan kolme esimerkkiä mitä ˆP = G \ E on käytännössä. i) Tutkitaan lukua 23 G. Nähdään, että 23 on muotoa 6n 1, missä n = 4. (6n 1) = 23 6n = 24 n = 4 Toisaalta g a g b = 23 on totta vain, kun g a = 1 ja g b = 23. Täten 23 / E ja edelleen 23 ˆP = G \ E. ii) Tutkitaan lukua 91 G. Nähdään, että 91 on muotoa 6n + 1, missä n = 15. (6n + 1) = 91 6n = 90 n = 15 16
Toisaalta 91 on myös muotoa 7 13, eli g a g b = 91 = 7 13. Täten luku 91 kuuluu joukkoon E, eikä siten voi kuulua joukkoon ˆP. iii) Tutkitaan lukua 1225 G. Nähdään, että 1225 on muotoa 6n + 1, missä n = 204. (6n + 1) = 1225 6n = 1224 n = 204 Toisaalta 1225 on myös muotoa 25 49, eli g a g b = 1225 = 25 49. Täten luku 1225 kuuluu joukkoon E, eikä siten voi kuulua joukkoon ˆP. 4.3 Eräitä alkulukutyyppejä Seuraus 4.6. Koska joukko ˆP sisältää kaikki, ja vain kaikki, alkuluvut ensimmäisestä aina äärettömyyteen asti, on jokainen muu alkulukuja tuottava lukujono, polynomi tai alkulukuseula sen osajoukko. Todistus. Todistetaan esimerkkeinä tunnetuimpia tapauksia. (1) Mersenne alkuluvut M p = 2 p 1 Koska erityisesti p 2k, k N, niin tällöin Tämä johtuu siitä, että 2 p 1 3 (mod 6). 4 a 4 (mod 6), a N. Nyt siis pitää ratkaista, että minkä luvun kanssa 2 p 1 on kongruentti (mod 6). Koska p on aina pariton nähdään, että 2 p 2 (mod 6), jolloin päätellään, että 2 p 1 1 (mod 6). 17
Näinollen Mersenne alkuluvut M p = 2 p 1 sisältyvät joukkoon ˆP ja vielä tarkemmin ne sisältyvät sen osajoukkoon ˆP +. (2) Fermat n luvut F n = 2 2n + 1 Koska Fermat n luvuissa on luvulla 2 potenssina luku 2, on kyseessä aina luvun 4 potenssi. Tästä voidaan suoraan päätellä, että joten myös pätee, että 4 n 4 (mod 6), F n = 4 n + 1 5 ( 1) (mod 6). Näinollen Fermat n luvut F n = (2 2 ) n + 1 sisältyvät joukkoon G. Vastaavasti mikäli Fermat n luku on alkuluku, se sisältyy joukkoon ˆP ja vielä tarkemmin sen osajoukkoon ˆP. Huomautus. Tässä ei oteta mukaan Fermat n lukua arvolla 0, joka tuottaa luvun 3. Tämä on tutkielman kannalta hyväksyttävää, sillä luku 3 ei kuulu joukkoon ˆP. (3) Sophie Germain alkuluvut P SG = 2p + 1, p P. Tutkitaan ensin tapaus p 1 (mod 6). Tällöin nähdään, että 2p 2 1 2 (mod 6). Tästä voidaan suoraan päätellä, että 2p + 1 2 + 1 3 p (mod 6). Tutkitaan toiseksi tapaus p ( 1) (mod 6). Tällöin nähdään, että Taas voidaan päätellä, että 2p 2 ( 1) ( 2) (mod 6). 2p + 1 ( 2) + 1 ( 1) p (mod 6). On siis selvää, että Sophie Germain alkuluvut sisältyvät joukon ˆP osajoukkoon ˆP. 18
Huomautus. Jos kaava olisi vastaavasti (2p 1), toimisi se samalla tavalla jakojäännöspaikalla 1, mutta ei paikalla (-1). Tällöin saman ehdon toteuttavat alkuluvut kuuluisivat (6n + 1):een. Tämän seikan vuoksi on syytä pohtia, ovatko Sophie Germainin alkuluvut mitenkään erikoisempia kuin tämän vastaavan kaavan (2p 1) tuottamat alkuluvut? (4) Kaikki muut tapaukset todistetaan vastaavasti. 19
Viitteet [1] Eukleides, Alkeet (Elementa)., n. 300 eaa. [2] The Rhind Mathematical Papyrus., British Museum 10057 AND 10058, In Two Volumes., Mathematical Association Of America, Ohio, U. S. A., 1927. [3] Häsä, Jokke; Rämö, Johanna, Johdatus Abstraktiin Algebraan., Hakapaino Oy, Helsinki 2012. [4] Hardy, G. H.; Wright, E. M., An Introduction To The Theory Of Numbers., Oxford University Press, 2008. 20