Optimointimallin avulla toteutetun raaka-aineiden arvotusprosessin arviointi

Mat-2.108 Sovelletun matematiikan erikoistyöt Optimointimallin avulla toteutetun raaka-aineiden arvotusprosessin arviointi 30.11.2004 Hannele Lehtinen 54426M 1

Sisällys 1. Johdanto...2 2. Öljynjalostusprosessi lyhyesti...3 3. Käytetty malli...4 4. Nykyinen arvotusprosessi...5 4.1 Yleiskuvaus...5 4.2 Tapausten muodostaminen...6 4.3 Arvojen laskeminen...7 4.4 Arvojen tulkinta ja käyttö...7 5. Arvotusprosessin arviointi...8 5.1 Arvotusprosessin tavoite...8 5.2 Ehdollisuus...9 5.3 Tapauksia kaukana todellisuudesta...10 5.4 Riskiasenteen huomiointi...11 5.5 Mallin oikeellisuuden vaikutus arvoihin...12 6. Käänteinen optimointi...13 6.1 Kuvaus...13 6.2 Soveltaminen...14 7. Arvotusvaihtoehtojen etsiminen...15 7.1 Vaihtoehtoja...15 7.2 Vaihtoehtoinen arvotustapa...16 7.3 Arvotustapojen vertailu esimerkein...17 8. Yhteenveto...19 2

1. Johdanto Öljynjalostusprosessi on monimutkainen systeemi, jossa lähtöaineina käytetään raakaöljyjä ja ulos saadaan erilaisia tuotteita. Hankittavat raakaöljyt valitaan huomioiden taloudelliset seikat, saantivarmuus, kuljetustekijät ja laatuominaisuudet, joita jalostuslaitteisto ja tuotteiden kysyntä edellyttävät. Kun pyritään optimaaliseen valintaan, halutaan jokaiselle mahdollisesti ostettavalle raakaöljylastille saada arvo, joka kertoo kyseisen lastin vaikutuksesta katteeseen. Arvo voidaan selvittää hyödyntämällä öljynjalostamosta tehtyä matemaattista mallia, joka optimoi parhaan raakaöljy-yhdistelmän annetuilla optimointitilanteen tiedoilla. Tässä työssä kuvaillaan erään yrityksen nykyistä arvotusrutiinia ja arvioidaan sitä eri näkökulmista. Nykyisessä arvotusrutiinissa kohdataan usein intuition vastaisia tuloksia, yleensä jokin raakaöljy saa muihin nähden heikomman arvon kuin sen ominaisuuksien perusteella voisi olettaa. Arvioinnin pohjana on käytetty osittain tätä ongelmaa. Lisäksi työssä pohditaan käänteisen optimoinnin soveltuvuutta raakaöljyjen arvottamiseen ja esitetään tähän menetelmään perustuva vaihtoehtoinen lähestymistapa arvojen selvittämiseen. 2. Öljynjalostusprosessi lyhyesti Öljynjalostus alkaa tislaamisesta, jossa raakaöljystä saadaan useita eri jakeita. Tislaus perustuu siihen, että raakaöljyn erilaiset osat höyrystyvät eri lämpötiloissa. Seuraavaksi muokataan jakeiden kemiallisia rakenteita ja nostetaan jakeiden jalostusarvoa reaktioiden avulla. Näitä ovat muun muassa reformointi ja krakkaus. Viimeisenä parannetaan jakeiden käytettävyysominaisuuksia esimerkiksi poistamalla rikkiä. Lopulliset tuotteet saadaan useimmiten sekoittamalla eri yksiköissä syntyneitä komponentteja. [1] Öljynjalostusprosessi on jatkuva, jalostamo pysäytetään vain huoltoseisokkien ajaksi. Prosessi ei ole erityisen selkeä kokonaisuus, vaan esimerkiksi yhdessä paikassa tapahtuva pieni muutos voi vaikuttaa yllättävän useisiin paikkoihin. Kuva 1 esittää jalostamon toimintaa periaatteellisesti. 3

Kuva 1. Jalostamon periaattellinen toimintamalli. (Mukaillen [1]) 3. Käytetty malli Öljynjalostamojen mallintamiseen käytetään Aspen Technology Inc -yhtiön PIMS-ohjelmistoa. PIMS-malli koostuu varsinaisen koodin lisäksi Excel-tiedostoista, joiden avulla syötetään mallille tarvittavat tiedot. Peruselementteinä ovat ostot, myynnit, prosessiyksiköiden kuvaukset ja lopputuotteiden sekoitukset. Mallin käytön tavoitteena on löytää sellaiset päätösmuuttujien arvot, joilla kohdefunktion arvo maksimoituu ja rajoitukset toteutuvat. Maksimoitavana kohdefunktiona on myyntikate, joka muodostuu seuraavasti: KATE = TUOTTEIDEN MYYNNIT RAAKA-AINEIDEN OSTOT MUUT KUSTANNUKSET Päätösmuuttujia ovat raakaöljyjen ja muiden raaka-aineiden ostot, lopputuotteiden myynnit ja prosessiyksiköiden kapasiteettien käyttö. Rajoitukset ovat muun muassa ostojen, myyntien ja kapasiteettien rajoja. 4

Öljynjalostusprosessissa on mukana epälineaarisia riippuvuuksia, joten mallin on ratkaistava epälineaarinen optimointitehtävä. Malli käyttää optimointitehtävän ratkaisemiseen hajautettu rekursio -tekniikkaa (Distributive Recursion) [2]. Siinä epälineaarinen optimointitehtävä linearisoidaan ja näin saatu tehtävä ratkaistaan erillisellä algoritmilla. Linearisointi tehdään uudestaan ratkaisun ympäristössä ja tehtävä ratkaistaan jälleen. Näin jatketaan, kunnes kahden peräkkäisen rekursiokierroksen ratkaisujen erotus on määrättyä toleranssia pienempi. Ohjelman ajo etenee siten, että ensimmäisenä ohjelma kokoaa LP-matriisin Excel-taulukoissa annetuista tiedoista. Sitten suoritetaan optimointia, kunnes yksikään muuttuja ei ole toleranssin ulkopuolella, tai kun määritelty rekursiokierrosten maksimimäärä on saavutettu. On siis mahdollista, että malli ei löydä konvergoinutta ratkaisua, jos jotkin ominaisuudet jäävät toleranssin ulkopuolelle rekursiokierrosten päättyessä. Aina mallin optimointialgoritmi ei pysty löytämään edes käypää ratkaisua. Ratkaisun löytymiseen voi vaikuttaa valitsemalla malliin sopivan kannan, josta optimointi aloitetaan, tai sopivat PDist- ja PGuess-tiedostot. PDist vaikuttaa optimointialgoritmin toimintaan, ja PGuessissa on alkuarvauksia joidenkin mallin muuttujien arvoille. Viimeisenä ohjelma kirjoittaa halutuntyyppisen raportin ajon tuloksista. Mallin lähtötietoja, kuten rajoituksia, voidaan muuttaa yksittäisiä ajoja varten muodostamalla Excel-taulukkoon tapauksia, joista ohjelma kayttaa nimitysta case. Niiden avulla voidaan ajaa useita erilaisia variaatioita peräkkäin. 4. Nykyinen arvotusprosessi 4.1 Yleiskuvaus Arvotusprosessilla tarkoitetaan kunkin raakaöljyn dollarimääräisen arvon selvittämistä. Näitä arvoja käytetään hyödyksi muun muassa raakaöljyjen hankintapäätöksien teossa. Raakaöljyt hankitaan lasteittain, joten samankin raakaöljyn eri lasteille voidaan saada erisuuruinen arvo. Prosessin ensimmäinen vaihe on realistisen perustilanteen rakentaminen. Mallin Excel-tiedostoihin pyritään saamaan mahdollisimman tarkat tiedot, kuten raaka-aineiden ja lopputuotteiden hinnat sekä valmistuskapasiteetit. Raaka-aineiden ostorajoiksi asetetaan niiden arvioidut saatavuudet ja myyntituotteiden rajoiksi niiden todennäköiset kysynnät. Tarkastelujaksona pidetään yhtä kuukautta. 5

Malli ratkaistaan perustilanteessa ja näin saadaan tarkasteluhetkellä raakaöljyjen saatavuuden rajoissa oleva optimaalinen raakaöljyjen yhdistelmä. Perustilannetta lähdetään muuttelemaan muodostamalla tapauksia, joissa mallia pakotetaan käyttämään perustilanteesta poikkeava määrä jotakin raakaöljyä. Vain yhden öljyn käyttömäärää muokataan kerrallaan. Muutoksissa raakaöljyn määrää kasvatetaan tai pienennetään yhden tai useamman lastin verran perustilanteessa käytetystä määrästä. Raakaöljylastin arvo selvitetään tutkimalla kahta tapausta, joista toisessa tutkittavaa raakaöljyä on käytetty lastin verran enemmän kuin toisessa. Näiden tapausten kohdefunktioiden arvojen välinen ero kertoo muutoksen suuruisen raakaöljymäärän eli lastin arvon. Tätä lukua muokataan vielä siten, että sitä voidaan vertailla muiden raakaöljyjen arvojen kanssa 4.2 Tapausten muodostaminen Todenmukaisen ja onnistuneen perustilanteen muodostaminen ensimmäisenä on tärkeää, koska muiden tapausten rakentaminen pohjautuu perustapauksen muunteluun. Perustapauksessa on tarkoituksena antaa mallin valita suurimman katteen tuottava raakaöljyjen hankintayhdistelmä vallitsevan tilanteen rajoissa. Arvotus tehdään jo useita viikkoja ennen tutkittavan kuukauden toteutumista, joten monet tiedot, kuten raaka-aineiden ja tuotteiden hintanoteeraukset, saattavat muuttua vielä arvottamisen jälkeen. Lisäksi osa tarvittavista rajoista, kuten myyntituotteiden kysynnät, perustuu arvioihin, ja niinpä optimointi ei tapahdu täysin tarkoilla arvoilla. Perustapausta ajetaan useita kertoja ja tarkastellaan sen antamia tuloksia, ennen kuin se hyväksytään. Jos esimerkiksi huomataan, että jollain raakaöljyllä on suuri varjohinta, eli malli haluaisi käyttää sitä paljon enemmän, voidaan sen käytettävän määrän ylärajaa mahdollisesti nostaa. Muuten raakaöljyjen ylärajat jokseenkin noudattelevat tuotantosuunnitelmaa, tosin lastien koosta poikkeavat määrät pyöristetään yleensä täysiksi lasteiksi. Rajojen asettamisessa otetaan huomioon myös raakaöljyjen saatavuudet sekä kuljetuskapasiteetin aiheuttamat rajoitukset. Valmistettavien tuotteiden ylärajat saadaan myös lähes suoraan tuotantosuunnitelmasta. Alarajoiksi asetetaan useimmiten ylärajat 0,7-kertaisina. Sellaisten tuotteiden, joiden tuotantomäärillä ei ole suurta merkitystä, ylärajat jätetään auki, jotta ainakaan ne eivät toimisi rajoittavina tekijöinä. Joissain tuotteissa yläraja on erittäin tärkeä, sillä ilman rajaa malli valmistaisi sitä yli kysynnän. 6

Joissain tuotteissa on myös valmistusvelvollisuuksia, jolloin alarajan asettaminen riittävän suureksi on merkittävää. Muut tapaukset muodostetaan siten, että niiden avulla voidaan selvittää kaikki tarvittavat lastien arvot. Useimmiten halutaan selvittää kahden ensimmäisen tai pelkän ensimmäisen lastin arvo. Joidenkin raakaöljyjen kohdalla ollaan kiinnostuneita vielä useammistakin lasteista. Tapauksien muodostaminen riippuu tapauksen ratkaisusta. Jos malli ei ota ollenkaan jotain raakaöljyä, tehdään tapaus, jossa malli pakotetaan ottamaan kyseistä raakaöljyä lastin verran. Tällöin tämän ja perustapauksen kohdefunktioiden arvojen erotuksesta saadaan ensimmäisen lastin arvo. Jos malli ottaa yhden lastin raakaöljyä, tehdään tapaukset, joissa pakotetaan kyseisen raakaöljyn käyttö nollaan ja lastin verran optimista ylöspäin ja saadaan laskettua ensimmäisen ja toisen lastin arvot. 4.3 Arvojen laskeminen Raakaöljylastin arvo voidaan laskea ottamalla tutkittavaksi kaksi tapausta, joista toisessa kyseistä raakaöljyä on käytetty lastin verran enemmän kuin toisessa. Lasketaan näiden tapausten kohdefunktioiden arvojen erotus ja jaetaan se lastin suuruudella, jotta saadaan arvon muutos tonnia kohden. Luku muutetaan tiheyden avulla lasketun barrelikertoimen avulla muotoon dollaria/tynnyri. Tämän luvun ja raakaöljyn tynnyrihinnan summa kertoo, kuinka paljon yhdestä tynnyrillisestä tiettyyn lastiin kuuluvaa raakaöljyä kannattaisi maksaa, jotta kate säilyisi ennallaan, kun kyseinen lasti pakotetaan malliin mukaan. Summaa pidetään varsinaisena raakaöljylastin arvona. Vertailuöljynä pidetään Pohjanmeren Brent-öljylaatua, ja arvot ilmoitetaan erotuksena Brentin arvoon nähden. Yleensä arvojen lisäksi lasketaan myös lastien kate-erot, joissa arvosta vähennetään käsiteltävän lastin ja vertailtavan Brent-lastin hintaero. 7

4.4 Arvojen tulkinta ja käyttö Arvot toimivat päätöksenteon tukivälineinä raakaöljyvalinnassa. Periaatteena on, että raakaöljylasti kannattaa ostaa, jos sen hinta on sen arvoa pienempi. Mitä enemmän lastin hinta alittaa lastin arvon, sitä kannattavampaa on ostaa se. Arvoja katsottaessa otetaan huomioon se, että optimoinnin parametreinä on käytetty arvioita, ja että osa malliin syötetyistä tiedoista vaihtelee jatkuvasti. Niinpä arvot toimivat lähinnä suuntaa antavasti. Jos kuitenkin jokin optimointimallin parametri, kuten raakaöljyn hinta, muuttuu merkittävästi arvotuksen jälkeen, tehdään ajot uudestaan päivitetyillä tiedoilla. Arvojen rinnalla katsotaan myös lastien kate-eroja, jotka kertovat hieman eri tavalla lastin kannattavuudesta. Raakaöljyvalintoja ei kuitenkaan tehdä pelkästään arvojen antaman järjestyksen mukaan. Raakaöljyn hinnan lisäksi valintoja määräävät myös muun muassa erityyppisten raakaöljyjen tarve ja voimassa olevat hankintasopimukset. Arvoja tarvitaan usein muutamien vaihtoehtojen vertailuun. 5. Arvotusprosessin arviointi 5.1 Arvotusprosessin tavoite Arvotuksessa pyritään saamaan selville, kuinka arvokas kukin raakaöljylasti on kuukauden katteen kannalta. Arvo ilmoitetaan muodossa dollaria/barreli, jolloin se siis kertoo yhden lastiin kuuluvan barrelin arvon. Tällä tavoin arvoista saadaan vertailukelpoisia, sillä lastien erisuuruuden vuoksi absoluuttisia lastien arvoja olisi mahdotonta vertailla. Ajatuksena on siis selvittää, paljonko kohdefunktion arvo muuttuu, kun yhden (arvotettavan) raakaöljyn määrää muutetaan pois perustilanteesta. 8

5.2 Ehdollisuus Optimointitehtävässä ratkaistaan maksimaalisen katteen tuottava raakaöljyjen hankintaportfolio. Kun ratkaistaan tapaus, jossa yhden raakaöljyn käytettävä määrä pakotetaan erisuuruiseksi kuin perusratkaisussa, koko muukin portfolio saattaa muuttua ja useimmiten muuttuukin. Yleensä tällä ei ole merkitystä arvotuksen kannalta, sillä käytettäviä raakaöljyvaihtoehtoja on paljon. Tehtävässä voidaan ajatella olevan kaksi raakaöljyä, tutkittava ja muu, johon voidaan laskea kuuluvaksi kaikki muut raakaöljyt. Kun kasvatetaan tutkittavan määrää, muun määrä pienenee ja päinvastoin. Koska muussa on niin paljon vaihtoehtoja, sen arvo pysyy määräänsä nähden melko vakiona. Tällä tavoin kyseisessä arvotusasetelmassa pystytään keskittymään tutkittavan raakaöljyn aiheuttamiin muutoksiin katteessa. Tilannetta voidaan kuitenkin ajatella myös hieman eri kannalta, erityisesti kahden raakaöljyn arvojen vertailutilanteessa. Kun optimoidaan kaksi tapausta, joissa yhtä raakaöljyä on pakotettu käyttämään erisuuruiset määrät, saadaan näiden tapausten kohdefunktioiden erotuksesta dollarimääräinen arvo, jonka tämän raakaöljyn käytetyn määrän muutos aiheuttaa katteessa. Jos muutos on lastin suuruinen, tämän arvon ja käytetyn hinnan summaa voidaan pitää lastin arvona ja tästä voidaan muokata barrelikohtainen arvo. Näin saadun arvon voidaan ajatella olevan eräällä tavalla ehdollinen. Arvon laskemisessa käytetyt kohdefunktioiden arvot pitävät tarkalleen paikkansa vain silloin, kun portfoliot pysyvät muuttumattomina. Esimerkiksi raakaöljylle A saadaan arvo pakottamalla sen määrä perusratkaisusta poikkeavaksi, ja tässä tilanteessa muidenkin raakaöljyjen määrät saattavat muuttua. Niinpä A:n arvon on tavallaan voimassa vain silloin, kun muillakin raakaöljyillä tapahtuvat tietyt muutokset. Tilannetta voidaan havainnollistaa seuraavan esimerkin avulla: Halutaan selvittää kahden raakaöljylastin arvot niiden keskinäistä vertailua varten. Raakaöljyä A käytetään optimiratkaisussa yli kaksi lastia ja raakaöljyä B yli yksi lasti. Oletetaan, että yksi lasti (80 000 tonnia) raakaöljyä A on hankittuna ja olisi tiedettävä, onko kannattavampaa ostaa toinen lasti A:ta (muutos 80 000 -> 160 000) vai ensimmäinen lasti B:tä (muutos 0 -> 80 000). Nykyisellä arvotustavalla muodostetaan tapaukset, joissa A pakotetaan yhteen ja kahteen lastiin, sekä tapaukset, joissa B pakotetaan nollaan ja yhteen lastiin. Tapaukset ovat taulukossa 1. Taulukkoon ei ole merkitty näkyviin kaikkia ratkaisun raakaöljyjä, koska niitä on useita kymmeniä. 9

Taulukko 1. Raakaöljyjen A ja B arvojen selvittämiseksi muodostetut tapaukset. Optimi A = 80 A = 160 B = 0 B = 80 Raakaöljy A 185,0 80,0 160,0 202,7 193,7 Raakaöljy B 99,6 159,7 91,6 0,0 80,0 Raakaöljy C 200,0 200,0 200,0 200,0 200,0 Raakaöljy D 0,0 45,6 0,4 0,0 2,4 jne Tarkkaillaan nyt raakaöljyn B määrää tapauksissa, joiden avulla selvitetään A:n muutoksen vaikutusta kohdefunktiossa. Kun A pakotetaan 80 000 tonniin, B:n optimaalinen määrä kohoaa 160 000 tonniin ja pakotettaessa A 160 000 tonniin, onkin B:n optimaalinen määrä vain 90 000 tonnia. Näin ollen A:n toisen lastin arvon, joka saadaan casejen A = 160 000 ja A = 80 000 erotuksesta, voidaan ajatella olevan voimassa ehdolla, että B:n määrä vähenee A:n määrän kasvaessa. Laskettaessa B:n arvoa B:n määrät kuitenkin muuttuvat A:n laskemisessa käytetyistä määristä, jolloin A:n ja B:n arvoja vertailtaessa vertaillaan tavallaan erilaisia lähtötilanteita. Tilanne voitaisiin ajatella vaihtoehtoisesti siten, että muodostettaisiin taulukon 2 mukaiset tapaukset. Taulukko 2. Toisenlainen tapaustenmuodostus A:n ja B:n arvottamiseksi Alkutilanne A:ta lisätään B:tä lisätään Raakaöljy A 80 160 80 Raakaöljy B 0 0 80 Muut vapaasti Tällöin muokattaisiin kahden raakaöljyn määrää kerrallaan. Alkutilanteessa olisi lastin verran raakaöljyä A, eikä yhtään raakaöljyä B, kuten tilanne todellisuudessakin on. Sitten A:ta ja B:tä lisättäisiin vuorollaan alkutilanteeseen. Tällä tavoin esimerkiksi A:n arvon laskemiseksi käytettävissä tapauksissa ei tapahtuisi B:n määrän muutosta, jolloin A:n ja B:n arvojen vertailussa ei syntyisi ristiriitaa. Näin lasketut arvot eroaisivat hieman perinteisellä tavalla lasketuista arvoista, joten ehdollisuus voi mahdollisesti selittää joitain epäloogisuuksia vertailutilanteissa. 5.3 Tapauksia kaukana todellisuudesta Epäintuitiivisille tuloksille voidaan hakea selitystä myös tapausten muodostusasetelmasta. 10

Kaikille arvotettaville raakaöljyille lasketaan ainakin ensimmäisen lastin arvo. Jos malli ottaa perustapaukseen raakaöljyä määrän, joka on kohtuullisen lähellä yhden lastin kokoa, on arvotustilanne luonnollinen, kun raakaöljyä poikkeutetaan optimimäärästään korkeintaan lastin verran. Tilanne on ongelmallisempi, kun kyseessä on sellainen raakaöljy, jota tarvitaan perustilanteessa useita lastillisia. Tällöin kyseisen raakaöljyn pakottaminen nollaan luo hyvin todellisuudenvastaisen tilanteen. Kun merkittävä osa raakaöljyportfoliosta koostuu yhdestä raakaöljystä, aiheuttaa sen poistaminen ratkaisusta hyvin poikkeavan tilanteen, kun suuren määrän tilalle on löydettävä toisia vaihtoehtoja. Kohdefunktion arvosta tulee perustilanteen vastaavaa huomattavasti heikompi. Mallissa erästä raakaöljyä on optimiratkaisussa neljä lastia, kun useimpia raakaöljyistä on nollasta kahteen lastia. Kun tämän raakaöljyn määrä pakotetaan pienemmäksi, kohdefunktion arvo luonnollisesti laskee. Mitä kauempana perustapauksen optimista ollaan, sitä pienempi kohdefunktion arvo on. Kaikkein huonoimmillaan se on, kun kyseisen raakaöljyn määrä pakotetaan nollaan. Kun määrää lähdetään kasvattamaan lasti kerrallaan, parantavat ensimmäiset lastit kohdefunktion arvoa huomattavasti, kun jokaisella lisäyksellä päästään lähemmäs optimitilannetta. Näin ensimmäisten raakaöljylastien arvot voivat olla luonnottoman suuria. Vähenevän rajahyödyn mukaan on luonnollista, että raaka-aineen määrän lisääntyessä siitä saatava hyöty vähenee, mutta tällaisissa tapauksissa väheneminen voi olla suhteettoman suurta. Tilannetta pyritään käytännössä korjaamaan lisäämällä ongelmallisiin tapauksiin mahdollisuus käyttää erästä raakaöljyä, jota todellisuudessa ei käytetä. Näin sillä pystytään korvaamaan osa suuren vähennyksen aiheuttamista puutteista, ja ensimmäiset arvot saadaan realistisemmiksi. 5.4 Riskiasenteen huomiointi Mallin sisältämä epävarmuus voi aiheuttaa ristiriitaa arvotusrutiiniin. Nykyisessä arvotustavassa raakaöljyn arvo saadaan vertailemalla kahden eri ratkaisun kohdefunktioita. Jos mallin käyttäjä ei ole riskineutraali, tällä tavoin saadut arvot eivät ehkä vastaa käyttäjän kannalta todellisia arvoja. Mallissa on monia parametrejä, jotka sisältävät epävarmuutta, kuten tuotteiden kysynnät ja raakaaineiden hinnat. Mallin käyttäjä voi olla esimerkiksi riskiä karttava arvotettavan raakaöljyn hinnan suhteen, eli pelätä hinnan nousevan arvotuksen jälkeen. Tällöin hänen arvotettavasta raakaöljystä 11

saamansa odotettu rajahyöty laskee määrän lisääntyessä. Raakaöljyn hyötyfunktio on siis määrän suhteen konkaavi. Hyötyfunktio määrän x suhteen saadaan hyödyn odotusarvoista eri määrillä: U ( x) Ε[ U ( x) ] =. (1) Kun halutaan selvittää raakaöljyn määrän muutoksen vaikutus kohdefunktiossa, on selvitettävä kohdefunktion arvo mallin käyttäessä raakaöljyä ennen muutosta olevan määrän sekä muutoksen jälkeisen määrän. Jotta nämä arvot saataisiin mallin käyttäjän asenne huomioiden, on otettava käyttöön varmuusekvivalentti C. Se kuvaa määrää, joka on varmasti nykyhinnalla saatuna yhtä mieluisa kuin määrä x epävarmuutta sisältävällä hinnalla: [ ( )] U ( C) = E U x. (2) Tällöin koettua hyötyä kuvaavat määrät saadaan käyttämällä kaavaa ( E[ U ( x) ]) 1 C = U, (3) eli hyötyfunktion käänteisfunktiosta, kun x kuvaa raakaöljyn määrää todellisuudessa. Kun raakaöljylastin arvo lasketaan kohdefunktioiden erotuksesta, kun raakaöljyn määrinä on käytetty todellisten määrien varmuusekvivalentteja, ei erotus ole sama kuin todellisilla määrillä laskettuna, jos hyötyfunktio ei ole lineaarinen. Niinpä erotuksen kautta laskemalla saadaan mallin käyttäjän kokema raakaöljylastin arvo vain silloin kuin mallin käyttäjä on riskineutraali. [3] 5.5 Mallin oikeellisuuden vaikutus arvoihin Tiedetään, että PIMS-malli ei ole täysin validi, eli kaikkia asioita ei ole mallinnettu aivan oikein. Mallissa on joitakin ristiriitaisuuksia todellisuuden kanssa, ja ne voivat osaltaan vääristää arvotusprosessia. Ongelmia aiheuttavat muun muassa eroavaisuudet mallin ja todellisuuden välillä ajettaessa runsasrikkisiä raakaöljyjä poikkeuksellisen vähän. Toinen epävalidisuutta aiheuttava asia on vedyn mallintaminen. Vedyn tuotantolaitoksen kuvaus on todenmukainen, mutta vedyn käyttö jalostamon muissa yksiköissä ei ole erityisen tarkka. Niinpä vetylaitoksen kapasiteetti rajoittaa usein optimointia, koska vetyä kuluu virheellisiä määriä mallissa. 12

Lisäksi mallissa on useita eri ajotapoja, joilla jalostamoa voidaan ajaa. Käytännössä ajotapaa ei vaihdeta edes viikoittain, mutta malli voi päätyä ratkaisuun, jossa yhdellä ajotavalla ajetaan vain muutama tunti. Tällaisilla yksityiskohdilla voi olla merkittävä vaikutus optimointitulokseen. 6. Käänteinen optimointi 6.1 Kuvaus Etsittäessä toisenlaisia näkökulmia raakaöljyjen arvotukseen portfolion yksittäisen osan arvon selvittämisessä voitaisiin mahdollisesti hyödyntää käänteistä optimointia. Kun tavallisessa optimointitehtävässä ratkaistaan optimaalisten päätösmuuttujien arvot tietyillä mallin parametreillä, niin käänteisessä optimoinnissa pyritään jostakin ratkaisusta saamaan optimaalinen muokkaamalla mallin parametrejä. Eräs sovellusesimerkki tästä on käänteinen sanomalehtimyyjän ongelma [4]: Perinteisessä sanomalehtimyyjän ongelmassa on selvitettävä sopiva myyntikapasiteetti, kun kysyntäjakauma on tiedossa. Optimoitavana kohdefunktiona on myynnistä saatava kate, joka on kysyntävaihtoehtojen funktio. Käänteinen ongelma vaatii ratkaisemaan optimaalisen kysyntäjakauman, kun myyntikapasiteetti pidetään vakiona. Tällainen ajattelutapa voi olla tarpeellisempi tilanteissa, joissa esimerkiksi tuotantokapasiteettia on vaikea muutella tai kapasiteetti on henkistä, eikä sen muutoksia saa helposti siirrettyä markkinoille. Yleisesti ottaen voidaan ajatella optimointiongelma P, jolla on mahdollisten ratkaisujen joukko S ja kustannusvektori c. Ongelma on siis muotoa P = min cx : x S. (4) Oletetaan, että x 0 S on eräs ongelman ratkaisu, joka ei välttämättä ole optimaalinen kustannusvektorin c suhteen. Otetaan käyttöön myös kustannusvektori d ja määritellään ongelmalle P variaatio P(d), jossa kustannusvektori c korvataan kustannusvektorilla d. Tällöin ongelma on muotoa P(d) = min dx : x S. (5) Käänteinen optimointiongelma on löytää kustannusvektori d siten, että ratkaisu x 0 on optimaalinen d:n suhteen. Samalla kustannusvektorin muutoksen c:stä d:hen on oltava pienin mahdollinen. L p - normilla ajateltuna tämä tarkoittaa, että p p 1/ [ Σ ] p j J d j c j d c = (6) 13

on oltava minimissään. [5] 6.2 Soveltaminen Käänteistä optimointia voidaan soveltaa investointivaihtoehtojen arvottamiseen. Tilanteessa, jossa voidaan investoida moniin investointikohteisiin erisuuruisia summia ja optimaalinen sijoitusportfolio tiedetään, voidaan määrittää yksittäisen investointikohteen arvo. Voidaan esimerkiksi ajatella, että pyritään maksimoimaan investointiportfoliosta saatavaa voittoa, joka on budjetin B funktio, eli kohdefunktio on muotoa f(b). Tiedetään vapaasti kaikista vaihtoehdoista muodostettavan portfolion kohdefunktion arvo X, joka on suurin arvo, joka käytettävissä olevilla instrumenteilla voidaan saada aikaiseksi. Nyt muodostetaan uusi ratkaisu, jossa lisätään mukaan jokin alkuperäistilanteesta puuttunut tai poistetaan jokin alkuperäistilanteessa mukana ollut instrumentti. Käänteisen optimoinnin ongelmana on etsiä uusi budjetti B*, jolla uuden ratkaisun kohdefunktion arvo olisi optimaalinen eli X. Tällöin on etsittävä nollakohta funktiolle f(b*) X. Uuden ja alkuperäisen ratkaisun muunnoksen (eli instrumentin lisäämisen tai poistamisen) arvo saadaan siitä, paljonko budjettia on muutettava, jotta uudesta ratkaisusta tulee optimaalinen. Raakaöljyjen arvotuksessa raaka-aineiden voidaan ajatella vastaavan edellisen esimerkin investointikohteita. Optimointimalliin ei ole kuitenkaan määritelty erityistä budjettia, joten soveltaminen ei käy aivan vastaavalla tavalla. Kustannusvektoriksi olisi hyvä löytää jokin rahamäärää kuvaava parametri, jotta käänteisessä optimointiongelmassa ratkaistavaa kustannusvektorin muutosta voitaisiin tulkita raakaöljymuutoksen arvona. Eräs vaihtoehto olisi ajatella kustannusvektorina ostohintaa sille raakaöljylle, jonka määrä kulloinkin on muokattavana. Tiedetään, että maksimoitava kohdefunktio eli kate on vähenevä yksittäisen raaka-aineen hinnan suhteen silloin, kun ratkaisussa on mukana kyseistä raaka-ainetta. Tällöin käänteisen optimoinnin kysymys olisi, paljonko muutetussa tilanteessa pitäisi raakaöljylastin hinnan olla, jotta saataisiin yhtä suuri kate kuin optimitilanteessa. Oikeastaan nykyisessä arvotusprosessissa etsitään vastausta juuri tähän samaan kysymykseen. Ratkaisutapa ja näin ollen tuloksetkin eroavat kuitenkin käänteisen optimoinnin ratkaisusta, sillä nykyisessä tavassa arvo ratkaistaan perustilanteen ja muokatun tilanteen kohdefunktioiden 14

erotuksen avulla. Lisäksi käänteisessä optimoinnissa muutetaan tutkittavaa tapausta varten vain yhtä raakaöljyä muiden pysyessä optimiratkaisun mukaisina, kun taas nykyisessä tavassa kaikkien raakaöljyjen määrät saavat muuttua vapaasti muutettaessa tutkittavaa raakaöljyä. 7. Arvotusvaihtoehtojen etsiminen 7.1 Vaihtoehtoja Raakaöljyjä arvotetaan PIMS-mallia käyttäen yleisesti lisäys- ja korvaustekniikoilla [6]. Lisäystekniikassa optimiratkaisuun pakotetaan jotakin raakaöljyä lasti enemmän ja katsotaan, miten se muuttaa katetta. Tämä vaatii kapasiteetin kasvattamisen mahdollisuutta, sillä oletettavasti optimiratkaisussa rajoittavana tekijänä toimii yleensä jonkin prosessiyksikön kapasiteetti. Korvaustekniikassa jokin optimiratkaisun oleellisista raakaöljyistä korvataan toisella ja tutkitaan, paljonko kate heikkenee. Tämän tavan hankaluutena on se, että sillä saadaan raakaöljyn arvo toiseen raakaöljyyn nähden eikä yleistä arvoa. Nykyisin käytössä oleva arvotustapa, jota on kuvailtu kappaleessa 4, on eräänlainen korvaustekniikan muunnelma. Siinä ei korvata tiettyä raakaöljyä, mutta malliin pakotetaan jotakin optimiratkaisusta puuttuvaa raakaöljyä, ja tällöin malli vähentää joitain optimiratkaisussa olleita raakaöljyjä etsiessään uuden optimin. Tämänhetkisessä mallissa raakaöljymuuttujat ovat jatkuvia, jolloin niitä ei välttämättä oteta optimiratkaisuun tasan lastin suuruista määrää. Jotta pystyttäisiin tarkalleen selvittämään, onko raakaöljylasti ratkaisussa mukana vai ei, pitäisi mallilla olla kyky ratkaista kokonaislukuoptimointitehtäviä. Tämä on mahdollista toteuttaa PIMS-mallissa lisäämällä siihen MIP-palikka, jonka avulla mallin päätösmuuttujat voidaan pakottaa saamaan diskreettejä arvoja. Lisäksi voitaisiin ajatella, että raakaöljylasteja voisi valita vain rajoitetun määrän. Esimerkiksi todellinen jalostamon säiliöiden määrä voisi olla rajoituksena, jos ajateltaisiin, ettei raakaöljyjä haluttaisi sekoittaa. 15

7.2 Vaihtoehtoinen arvotustapa Lisäys/vähennystekniikkaa ja käänteistä optimointia soveltamalla voitaisiin muodostaa arvotusprosessi, jossa arvolla olisi sama merkitys kuin nykyisessä arvotustavassa, mutta arvotustilanteen muodostaminen ajateltaisiin hieman eri tavalla. Prosessin toteutus ei ole tämän hetkisellä PIMS-mallilla täysin mahdollista, mutta toteuttaminen onnistuisi joillakin muutoksilla. Periaatteena on, että muodostetaan perustilanne, jossa optimaalinen ratkaisu selvitetään samoin kuin nykyisessä arvotuksessa. Raakaöljyjä saa kuitenkin valita vain kokonaisina lasteina, joten tämän toteuttamiseen tarvittaisiin MIP-lisäosaa. Kun tiedetään optimiratkaisu perustilanteessa, lähdetään siitä muuttelemaan kunkin raakaöljyn määriä yksi kerrallaan. Jos jokin raakaöljy ei ole mukana perusratkaisussa, pakotetaan uudessa tilanteessa sitä ratkaisuun lastillinen ja päinvastoin. Ylimääräisen lastin lisääminen perusratkaisuun edellyttää mahdollisuutta muokata mallissa jalostamon prosessiyksiköiden kapasiteettejä. Tämänhetkisessä arvotuksessa perusratkaisuun valitaan niin paljon raakaöljyjä, kuin mallin prosessiyksiköiden kapasiteetit, tai useimmiten jokin tietty kapasiteetti, sallivat. Tällöin ylimääräisen lastin lisääminen ratkaisuun ei juurikaan hyödytä, sillä kapasiteetti ei riitä käsittelemään lisäystä. Mallia voitaisiin kuitenkin muokata siten, että perusratkaisu etsittäisiin esimerkiksi 90-prosenttisella kapasiteetilla. Kun sitten perusratkaisuun lisättäisiin lastin verran raakaöljyä, otettaisiin käyttöön täysi kapasiteetti, jolloin raaka-aineen lisäämisellä olisi vaikutusta tuotantoon. Tavoitteena on löytää hinta, jolla tutkittavaan raakaöljylastiin kuuluva raakaöljytynnyri kannattaisi korkeintaan ostaa. Tämän ratkaisemisessa voidaan hyödyntää kappaleessa 6 esiteltyä käänteistä optimointia. Arvon selvittämistapa riippuu siitä, onko arvotettava lasti mukana optimiratkaisussa vai ei. Jos esimerkiksi lastia ei ole hyväksytty optimiratkaisuun, muodostetaan uusi tapaus, jossa optimiratkaisuun lisätään kyseinen lasti. Todennäköisesti tämä tapaus saa huonomman kohdefunktion arvon kuin optimiratkaisu. Tässä kohdassa ajatellaan käänteisen optimoinnin kannalta ja pyritään muokkaamaan tutkittavan raakaöljyn hintaa siten, että uuden tapauksen kohdefunktion arvo saadaan yhtä suureksi kuin optimiratkaisussa. Raakaöljyn uuden hinnan etsimisessä on sovellettava jotakin hakumenetelmää. Tiedetään, että maksimoitava kohdefunktio on laskeva raakaöljyn hinnan suhteen, eli mitä halvempaa raakaöljy on, 16

sitä suurempi kate siitä saadaan. Tämä pätee tietenkin vain kyseisen raakaöljyn ollessa mukana ratkaisussa. Kohdefunktion derivaattoja ei tiedetä, joten Newton-menetelmien käyttö ei ole mahdollista, mutta käytettäväksi voidaan valita jokin viivahakumenetelmä. Kultainen leikkauksen menetelmällä ja Fibonacci-haulla voidaan löytää riittävän tarkka tulos järkevällä iteraatiomäärällä. Valitaan tässä käytettäväksi kultainen leikkaus. Kultaisen leikkauksen menetelmä edellyttää aidosti kvasikonveksia funktiota, jollainen tässä tutkittava kohdefunktio on. Periaatteena on ottaa valitulta epävarmuusväliltä kaksi pistettä λ k ja µ k siten, että kumpikin piste jakaa epävarmuusvälin suhteessa 0,618. Selvitetään kohdefunktion arvot kummassakin pisteessä, ja se piste, jossa kohdefunktion arvo on kauempana etsittävästä arvosta, valitaan uudeksi varmuusvälin päätepisteeksi toisen pysyessä ennallaan. Näin edetään, kunnes varmuusväli on haluttua toleranssia pienempi. [7] 7.3 Arvotustapojen vertailu esimerkein Vaihtoehtoista arvotustapaa ei voi toteuttaa aivan sellaisenaan nykyisellä mallilla, sillä arvotustapa vaatisi malliin kokonaislukuintegroinnin mahdollistavan lisäosan. Myös kapasiteetin muuttelun täysin oikeanlaiseen toteuttamiseen tarvittaisiin usean asiantuntijan panostusta. Arvotustavan periaatetta voidaan kuitenkin havainnollistaa nykytilanteessa valitsemalla tutkittavaksi raakaöljyksi sellainen, jota on optimiratkaisussa lastin suuruinen määrä tai ei ollenkaan. Kapasiteetin pienennys voidaan toteuttaa yksinkertaistetulla tavalla, jossa vain raakaöljyn tislauskapasiteettia pienennetään. Tämä vastaa jokseenkin oikeaa tilannetta, sillä kaikki raakaöljy kulkee sen läpi. Tutkitaan raakaöljy A:n arvon laskemista kahdella eri tavalla. Malli ei ota optimiratkaisuun ollenkaan kyseistä raakaöljyä. Niinpä perinteisessä arvotustavassa tehdään optimiratkaisun lisäksi toinen tapaus, jossa pakotetaan raakaöljyn A käytettäväksi määräksi yksi lasti, muut raakaöljyt malli saa valita vapaasti. Taulukko 3 esittää raakaöljyn perinteisen arvotuksen. Taulukko 3. Raakaöljyn A arvon selvittäminen perinteisellä menetelmällä. Kohdefunktion arvo, kun malli Optimiratkaisun pakotettu kohdefunktio käyttämään lasti raakaöljyä A 64 916,9 64 168,7 erotus -748,18 erotus/tonni -9,35 erotus/barreli -1,24 17

barrelin hinta 38,24 barrelin arvo (=erotus + hinta) 37,01 Vaihtoehtoisessa arvotustavassa optimiratkaisun kohdefunktion arvo on pienempi kuin nykyisessä tavassa, sillä se ratkaistaan pienemmällä kapasiteetilla. Tällä ei ole kuitenkaan merkitystä raakaöljyjen arvoihin, sillä vastaavasti muidenkin tapausten kohdefunktiot saavat pienempiä arvoja. Taulukossa 4 on etsitty kultaista leikkausta käyttäen raakaöljyn A arvo. Optimiratkaisun kohdefunktion arvo on 62,7 miljoonaa dollaria, ja kun ratkaisuun lisätään lasti raakaöljyä A, kohdefunktion arvo laskee 1,0 miljoonaa dollaria. Raakaöljyn A hinnan täytyy siis olla nykyistä hintaa (38,24 dollaria/tynnyri) pienempi. Hinnat ilmoitetaan mallille muodossa dollaria/tonni, jolloin nykyinen hinta voidaan muokata barrelikertoimella jakamalla arvoksi 288,89 dollaria/tonni. Arvioidaan etsittävän hinnan olevan välillä 260-300, joten valitaan se epävarmuusväliksi. Jaetaan epävarmuusväli suhteessa α pisteisiin λ 1 ja µ 1, ja etsitään mallin avulla kohdefunktion arvot asettamalla tutkittavan raakaöljyn hinnaksi nämä pisteet. Jos kohdefunktio arvolla λ 1 on lähempänä optimiratkaisun kohdefunktion arvoa kuin kohdefunktio arvolla µ 1, pidetään seuraavalla iteraatiokierroksella a:n arvo ennallaan ja asetetaan b:ksi µ 1 ja päinvastoin. Näin jatketaan, kunnes huomataan epävarmuusvälin b k a k pienentyneen alle valitun toleranssin 0,1. Ratkaisu on iteraatiokierroksen 14 a:n ja b:n keskiarvo. Luku jaetaan vielä barrelikertoimella, jolloin se saadaan muotoon dollari/tynnyri. 18

Taulukko 4. Raakaöljyn A arvon selvittäminen vaihtoehtoisella menetelmällä. Optimiratkaisun kohdefunktion arvo 62 669,2 Kohdefunktion arvo, kun ratkaisuun on lisätty lasti raakaöljy A:ta 61 644,0 α 0,618 toleranssi 0,1 Iteraatio ak bk λ µ max(λ) max(µ) onko toleranssissa muutetaanko a:ta 1 260,00 300,00 275,28 284,72 62732,52 61977,25 FALSE FALSE 2 260,00 284,72 269,44 275,28 63199,72 62732,52 FALSE TRUE 3 269,44 284,72 275,28 278,88 62732,52 62444,50 FALSE FALSE 4 269,44 278,88 273,05 275,28 62910,91 62732,52 FALSE TRUE 5 273,05 278,88 275,28 276,66 62732,52 62622,06 FALSE TRUE 6 275,28 278,88 276,66 277,51 62622,06 62554,11 FALSE FALSE 7 275,28 277,51 276,13 276,66 62664,51 62622,06 FALSE FALSE 8 275,28 276,66 275,81 276,13 62690,06 62664,51 FALSE TRUE 9 275,81 276,66 276,13 276,33 62664,51 62648,41 FALSE FALSE 10 275,81 276,33 276,01 276,13 62674,11 62664,51 FALSE TRUE 11 276,01 276,33 276,13 276,21 62664,51 62658,02 FALSE FALSE 12 276,01 276,21 276,08 276,13 62665,07 62664,51 FALSE FALSE 13 276,01 276,13 276,05 276,08 62670,82 62665,07 FALSE FALSE 14 276,01 276,08 TRUE FALSE Ratkaisu: 276,04 Ratkaisu USD/BBL: 36,54 Huomataan, että eri tavoin etsityt raakaöljyn A arvot eroavat hieman toisistaan. Jatkotutkimuksena olisi mielenkiintoista selvittää kummallakin tavalla suuri määrä eri raakaöljyjen arvoja ja verrata, pysyvätkö raakaöljyjen keskinäiset suhteet samoina eri arvotustavoilla. 8. Yhteenveto Öljynjalostusprosessi voidaan kuvata epälineaarisena matemaattisena mallina, jonka avulla voidaan ratkaista optimaalinen raakaöljyjen hankintaportfolio vallitsevassa tilanteessa. Mallia voidaan hyödyntää myös yksittäisen raakaöljyn arvon selvittämisessä, ja tapoja tähän on useita. Pääasialliset käytössä olevat tavat ovat korvaus- ja lisäysmenetelmä. Nykyinen arvotusprosessi tapahtuu korvausmenetelmää mukaillen, mutta myös lisäysmenetelmän käyttö olisi mahdollista edellyttäen kuitenkin mallin muokkausta ja mietintätyötä. Käänteistä optimointia pystytään soveltamaan arvotukseen, ja yhdessä lisäystekniikan kanssa sitä hyödyntämällä voidaan rakentaa toisenlainen arvotusprosessi, kuten käytännössä on todettu. 19

Nykyisestä arvotusrutiinista voidaan löytää ongelmakohtia, kun sitä tarkastellaan eri näkökulmista. Kun arvioidaan nykyistä arvotusrutiinia kriittisesti, voidaan löytää joitain perusteluja epäintuitiivisille tuloksille, joita arvotettaessa tulee vastaan. Yhden raakaöljyn hämmästyttävän heikosta arvosta toisiin nähden ei voida kuitenkaan syyttää arvotusasetelmaa. On todennäköisempää, että koska malli pystyy ajettaessa käsittelemään samanaikaisesti enemmän riippuvuuksia ja vaikutussuhteita kuin ihminen ajatellessaan, paljastuu tuloksissa asioita, jotka eivät tunnu mallin käyttäjästä intuitiivisilta. Vastaavanlaisia ongelmia syntyisi varmasti myös muillakin arvotustavoilla, jos ne otettaisiin kriittiseen pohdintaan. Lähdeluettelo [1] Hästbacka, Kaj, Neste - Öljystä muoveihin, Kolmas painos, Neste Oy, 1992 [2] Bodington, C. Edward, Planning, Scheduling and Control Integration in the Process Industries, McGrawHill, Inc., 1995, sivut 186-187 [3] Luenberger, D.G., Investment Science, Oxford University Press, 1998 [4] Carr, Scott & Lovejoy, William, The Inverse Newsvendor Problem: Choosing an Optimal Demand Portfolio for Capacitated Resources, Management Science, Vol 46, No. 7, July 2000, sivut 912-927 [5] Ahuja, Ravindra K.,Inverse Optimization, Operations research, Vol. 49, No. 5, September- October 2001, sivut 771-783 [6] Aspen Technology, Inc., Q&A Forums on Planning & Economics PIMS Users Conference, 2000 ja 2001 [7] Bazaraa, M. S., Sherali, H. D., Shetty, C. M., Nonlinear Programming, Theory and Algorithms, Toinen painos, John Wiley and Sons, 1993 20