SISÄLLYS - DIGITAALITEKNIIKKA Digitaalitekniikan perusteita...2 Bitti (bit)...2 Tavu (bytes)...2 Sana (word)...2 Yksiköt...2 Binääri järjestelmän laskutapa...2 Esimerkki: Digikuvan siirron kestoaika...2 2-kanta järjestelmä eli binäärijärjestelmä...3 Esimerkki: Binääri luvun muunto kymmenjärjestelmään...3 DEC muodosta BIN muotoon...4 Esimerkki: Kymmenjärjestelmästä muunto binäärijärjestelmään...4 Negatiiviset binääriluvut...4 Esimerkki: Negatiivisia lukuja sisältävän lausekkeen rakenne...5 Esimerkki: Negatiivisen binääriluvun muodostaminen...5 Binäärilukujen laskeminen...5 Yhteenlaskun laskusäännöt...5 Esimerkki: Binäärilukujen yhteenlasku...5 Vähennyslaskun laskusäännöt...6 Kertolaskun laskusäännöt...6 Jakolaskun laskusäännöt...6 Binääripiste...7 Esimerkki: Binääripisteen käyttö...7 Esimerkki: Kymmenkantaisen desimaaliluvun muuntaminen binääri-järjestelmään...7 Liukuluvut...8 Esimerkki: Liukulukujen rakenne...8 8-kanta eli oktaavijärjestelmä...8 Lasku 1...8 Lasku 2...8 Lasku 3...8 16-kanta eli heksadesimaalijärjestelmä...9 Esimerkki: Binääriluvun muuntaminen 16-kanta järjestelmään...9 Muunnos kymmenkantajärjestelmästä muunnos 16-kanta järjestelmään...9 Digitaali- ja analogiatekniikan rajapinta...9 Analogia-digitaalimuunnos eli A/D-muunnos... 10 Nyqvistin teoria... 10 Digitaali- analogiamuunnos, eli D/A- muunnos... 11 Koodit... 11 BCD-koodi... 11 Gray-koodi... 12 7-segmentti näytöstä... 12 Peruspiirit... 12 AND eli JA-piiri... 12 OR eli TAI-piiri... 13 NOT eli EI-piiri... 13
Digitaalitekniikan perusteita Bitti (bit) Pienin tiedon esittämiseen käyt. yksikkö, arvo voi olla 1 tai 0.Lyhenteet bit tai b Tavu (bytes) Tavu on kahdeksan 8-bitin pituinen binääriluku esim. 10000110. Lyhenne t tai B Sana (word) Sanalla ei ole tarkkaa määritystä, mutta se sisältää tavuja. Sana voi olla esimerkiksi 16 tai 32 bittiä. esim 10010100 00101000 11010010 00100110 Yksiköt - 1 bitti - 1 tavu = 8 bittiä - 1kt (kilotavu) = 1024 tavua, jolloin esim 4kt = 4096tavua Suhdeluku on aina 1024, joka johtuu kaksilukujärjestelmän kerrannaisista. Koska 2 10 =1024 huomaa 1 2 =2, 2 2 =4, 4 2 =16, 16 2 =256 ja 32 2 =1024-1Mt (megatavu) = 2 20 = 1024 x 1024 = 1 048 576 tavua - 1Gt (gigatavu) = 2 30 = 1024 x 1024 x 1024 = 1 073 741 824 tavua Huom! Biteistä puhuessa suhdeluku on aina 10. Eli 1 kbit/s = 1000 bit/s ja jos ADSL kaistan nopeus on 512 kbut/s sen nopeus on 512 000 bit/s Binääri järjestelmän laskutapa Montako bittiä on 15t ja 10kt 15t = 15 x 8 = 120 bit 10kt = 10 * 1024 * 8 = 81 920 bit Montako tavua on 20kt ja 5Mt 20kt = 20 x 1024 = 20 480 t 5Mt = 5 x 1024 2 = 5 242 880 t Esimerkki: Digikuvan siirron kestoaika Digikuva joka on620kt, siirretään verkon yli. Verkon siirtokapasiteetti on 256 kbit/s. Kuinka kauan kuvan siirto kestää teoriassa? 620kt pitää muuttaa biteiksi! 620 x 1024 x 8 = 5 079 040 bit, joka jaetaan verkon siirtokapasiteetillä 256000bit/s = 5 079 040 bit / 256 000 bit/s = 19,84 sekunttia 2
2-kanta järjestelmä eli binäärijärjestelmä Kymmenlukujärjestelmä; Käytössä numerot 0 9 Binääri- eli kaksilukujärjestelmä; Käytössä numerot 0 ja 1 Näin binääriluku 10101 = kymmenlukujärjestelmän 21 Esimerkki: Binääri luvun muunto kymmenjärjestelmään Muunna 10-lukujärjestelmään binääriluku 00011011 jolloin luku on 16x1 + 8x1 + 2x1 + 1x1 = 27 Hyvä binääri muunnin: http://www.iboost.com/tools/number.htm 3
DEC muodosta BIN muotoon Kakkosen potenssisarja on muistettava; 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024 Muunnos voidaan tehdä jakolaskulla. Jakaminen aloitetaan suurimmalla kaksilukujärjestelmän kakkosen potenssiluvulla, joka menee vain kerran tähän muunnettavaan. Esimerkki: Kymmenjärjestelmästä muunto binäärijärjestelmään Muunna 27 binäärikuvuksi: Negatiiviset binääriluvut Teoriassa on kolme vaihtoehtoa negatiivisten lukujen esittämiseen. Käytännössä käytetään 2-komplementin muotoa, muut muodot ovat: 1. Suora tulkinta 2. 1-komplementti 3. 2-komplementti 1. Suora tulkinta Varataan yksi bitti esittämään onko luku positiivinen vai negatiivinen Esim. 0 = positiivinen 1 = negatiivinen. BIN 0 0011 = DEC +3 ja BIN 1 0011 = DEC -3 2. 1-komplementin tulkinta Jos luku on positiivinen, kirjoitetaan se normaalisti. Jos luku on negatiivinen, käännetään kaikki bitit päinvastaiseksi Esim. BIN 0011 = DEC +3 ja BIN 1100 = DEC -3 Myös 1-komplementin tulkinnassa vaaditaan merkkibitti 3. 2-komplementin tulkinta Jos luku on negatiivinen käännetään kaikki bitit päinvastaiseksi samalla tavalla kuin 1-komplementin tulkinnassa. (1 0 ja 0 1). Jonka jälkeen lisätään luku 1 (yksi) Tämän jälkeen esitystavan etuna on että vähennyslaskut voidaan tehdä yhteenlaskuna, kuten DEC järjestelmässä. 4
Esimerkki: Negatiivisia lukuja sisältävän lausekkeen rakenne 3-2 = 3 + (-2) = 1 Esimerkki: Negatiivisen binääriluvun muodostaminen Luvun -3 muodostaminn Käännä luvun 3 bitit päinvastoin: 0011 1100 Lisää lukuun 1: 1100 + 0001 = 1101 = -3 Binäärilukujen laskeminen Yhteenlaskun laskusäännöt 0 + 0 = 0 1 + 0 = 1 0 + 1 = 1 1 + 1 = 1 0 (yksi;nolla) Esimerkki: Binäärilukujen yhteenlasku 5
Vähennyslaskun laskusäännöt Vähennyslaskut tehdään yhteenlaskusääntöjen avulla esim 9 7 = 9 + (-7) 1001 = 9 1001 = (-7) (kahden komplementin tulkinta) 1001 + 1001 = 1 0 0 10 Vastaus tuli nyt viisi bittiseksi, mutta ensimmäistä ns. ylivuotobittiä ei vähennyslaskuissa huomioida. Jolloin vastaus on 0010 joka on 2 (9-7=2) Vähennyslasku tehdään helpoimmin siten että positiivinen vähennettävä muutetaan vastaavan suuruiseksi negatiiviseksi kahden komplementinluvuksi. Näin ollen esimerkiksi lasku (+9) (+5) muutetaan muotoon (+9) + (-5), joka antaa saman lopputuloksen. Em. lasku binäärimuodossa: 1001 0101 Käännetään 1001 + 1011 1001 + 1011 = 10100 Lopuksi poistetaan ylivuotobitti jolloin vastau on 0100 = 4 (9-5 = 4) Kertolaskun laskusäännöt Otetaan esimerkiksi 9 x 3 = 27 Ja binäärimuodossa: Jakolaskun laskusäännöt Jakolasku binääriluvuilla on hankalaa manuaalisesti. Yksinkertaiset jakolaskut voidaan muuntaa vähennyslaskuiksi 15 / 5 15 5 = 10 ; 10 5 = 5 ja 5 5 =0 = 3 6
Binääripiste 43,75 101011.11 Esimerkki: Binääripisteen käyttö Muunna kymmenlukujärjestelmään 0.101 ½ + 0 + 1/8 = 5/8 = 0,625 0.111 ½ + ¼ + 1/8 = 7/8 = 0,875 Esimerkki: Kymmenkantaisen desimaaliluvun muuntaminen binääri-järjestelmään Desimaaliluvun muuntaminen binäärijärjestelmään 0,165 muunnetaan binääriksi, tehdään se kertomalla luvulla 2 0,165 x 2 = 0,33 0 0,330 x 2 = 0,66 0 0,660 x 2 = 1,32 1 [ luku yksi (1) pilkun edestä jätetään pois ] 0,320 x 2 = 0,64 0 0,640 x 2 = 1,28 1 [ -- -- ] 0,280 x 2 = 0,56 0 0,560 x 2 voi olla ettei luku mene ikään tasan, jolloin se annetaan tarvittavalla tarkkuudella. vastaus luetaan tuloksien pystyriviltä = 0.001010 Samanlainen esimerkki jossa luku menee tasan! Esim. 0,75 0,75 x 2 = 1,5 1 [ Luvusta jätetään ykkönen pois, ja alemmas siirtyy vain 0,5 ] 0,50 x 2 = 1,0 1 Nyt vastaus binäärimuodossa on 0.11 (deg 0,75 = bin 0.11) 7
Liukuluvut Desimaalilukujen (esim. 23,65110) esittäminen binäärijärjestelmässä on hankalaa, siksi on otettu käyttöön liukuluvut. Esimerkki: Liukulukujen rakenne 10-lukujäejestelmästä; 314 x 10-3 [ Tässähän kaikki on kokonaislukuja] = 0,314 Yksinkertainen esitystarkkuus on 32 bittinen ja kaksinkertainen tarkkuus 64 bittinen. 8-kanta eli oktaavijärjestelmä Esiintyvät vain numerot 0 7, ja jokainen luku esitetään kolmella bitillä Muunnos binääristä 8-kant.järjestelmään: esim. 001 011 011 Eli luku on 8 järjestelmässä 1 3 3 (ei siis 133, vaan yksi,kolme,kolme) 8-kantajärjestelmään muuntaminen tehdään niin että binääriluvun bitit jaetaan kolmen bitin ryhmiin oikealta aloittaen, ja kukin ryhmä vastaa yhtä numeroa. Lasku 1 Muunna 8-kantajärjestelmään binääriluku 1011100101 Luku on 8-järjestelmässä 1 3 4 5 Lasku 2 Muunna 8-kantajärjestelmään binääriluku 1101011100111 Luku on 8-järjestelmässä 1 5 3 4 7 Lasku 3 Muunna kymmenlukujärjestelmän 255 8-kantajärjestelmään 255 11111111 Luku 255(deg) on 3 7 7 (oct) 8
16-kanta eli heksadesimaalijärjestelmä Järjestelmässä esiintyy numerot 0 9 sekä kirjaimet A F A = 10 B = 11 C = 12 D = 13 E = 14 F = 15 Näin saadaan esitettyä luvut 0 15 Esimerkki: Binääriluvun muuntaminen 16-kanta järjestelmään 16-kantajärjestelmässä käytettään neljää bittiä numeron esittämiseen Näin binääriluku 1010101010 on 16-kantajärjestelmässä luku 2AA Muunnos kymmenkantajärjestelmästä muunnos 16-kanta järjestelmään 1. Muunnos binääriksi esim 255 11111111 2. Binääriluku muunnetaan heksamuooon 1111 1111 F F Muunnos täytyy tehdä aina binäärimuodon kautta, niin oktaavi- kuin heksajärjestelmässäkin. Digitaali- ja analogiatekniikan rajapinta 9
Analogia-digitaalimuunnos eli A/D-muunnos Muunnos tehdään A/D-muuntimella, muunnin löytyy mm. matkapuhelimista, tietokoneen äänikortti, kuva skannerista. Muunnos on nelivaiheinen: 1. Suodatus; jolloin esim. puheesta suodatetaan yli 4kHz taajuudet pois, koska ihmisen puhe ei ylitä koskaan tätä rajaa. Lisäksi voidaan suodattaa pois häiriötaajuuksia. 2. Näytteenotto; suodatetusta signaalista otetaan määrä välein näytteitä, jolloin signaalin arvo näytteiden välillä jätetään huomioimatta. 3. Kvantisointi, eli pyöristys; Pyöristetään eli asetetaan vastaamaan analogisen arvon lähinnä olevaa digitaalista arvoa. 4. Koodaus; saadut näytearvot koodataan tallennusta tai siirtoa varten sopivaan muotoon. Nyqvistin teoria Näytteitä pitää ottaa riittävästi. Nyqvistin mukaan minimi näytteenottotaajuus on kaksi kertaa signaalissa esiintyvä korkein taajuus. Esimerkiksi puhelinverkossa puheen maksimi äänitaajuus on 3400Hz, jolloin minimi näytteenotto taajuus on 2 x 3400Hz eli 6800Hz. Käytännössä näytteenottotaajuus on aina hieman suurempi. Puhelinverkossa näytteitä otetaan 8000Hz:n taajuudella ja esimerkiksi äänikortissa 44kHz taajuudella. 10
Digitaali- analogiamuunnos, eli D/A- muunnos 1. Koodattu tieto dekoodataan digitaalisiksi arvoiksi, eli jännitteet +5V ja -5V muunnetaan numeroarvoon. 2. Muodostetaan lukuja vastaavat analogiset signaaliarvot, ja sijoitetaan ne peräkkäin aikajanalle. 3. Venytetään kutakin arvoa pitopiirillä, täyttämään väli seuraavaa asti 4. Lopuksi suodatetaan saatu kulmikas signaali, jolloin sen kulmikkuus poistuu. Näin signaali on lähes samanlainen kun alkuperäinen analoginen signaali. Koodit BCD-koodi Käytetään erilaisten näyttöjen ja laskurien yhteydessä. BCD sana tulee sanoista Binary coded Decimal. Esim. 1969 esitetään BCD koodina Koodissa jokainen luku on koodattu omaksi neljä bittiseksi binääriluvuksi. Ongelma on se jos luku suurenee yhdellä esim 3 4 = 0011 0100, tällöin useamman bitin pitää muuttua, jolloin mittauksessa saattaa tulla helposti virheitä. Tämä ongelma on kehitetty koodausjärjestelmä, jossa luvun suurentuessa yhdellä vain yksi bitti muuttuu. 11
Gray-koodi Gray-koodin erityispiirre on se, että sillä esitettävän kahden peräkkäisen numeron välillä on vain yhden bitin ero. Käytetään esim. pyörimisnopeusantureissa ja kulmamittausantureissa, joissa vältytään epämääräisiltä tilavaihdoksilta, koska vain yksi bitti vaihtuu. Gray-koodi muodostetaan matemaattisella kaavalla, jossa binääri arvot eivät vastaa todellisia lukuja. Gray-koodi 0 0000 1 0001 2 0011 3 0010 4 0110 5 0111 6 0101 7-segmentti näytöstä Jos esimerkiksi tuodaan kannoille 4 ja 1 virta, näyttö näyttää lukua 5 Peruspiirit AND eli JA-piiri JA-piirin molemmille kannoille (A ja B) pitää tulla virta, että piirin AB kanta saa jännitteen. Totuustaulukossa 1= tosi 0= epätosi. Ja-piiri vastaa periaatteeltaan kahta peräkkäistä kytkintä. JA-piirin totuustaulukko on seuraavanlainen: A B AB 0 0 0 1 0 0 0 1 0 1 1 1 12
OR eli TAI-piiri TAI-piirissä AB on 1 jos jommallekummalle navalle (A tai B) tulee jännite, TAI-Piiri vastaa kahta rinnakkaista kytkintä. Totuustaulukko TAI-piirille: A B AB 0 0 0 1 0 1 0 1 1 1 1 1 NOT eli EI-piiri EI-piiri kääntää aina jännitteen vastaiseksi, eli se invertoi. Sen totuustaulukko on: 0 1 1 0 13