Tietokonearitmetiikka
|
|
- Antti Keskinen
- 7 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Luento 6 ALU: Aritmeettis-Looginen Yksikkö Tietokonearitmetiikka Stallings: Ch 9 Kokonaislukuesitys Kokonaislukuaritmetiikka Liukulukuesitys Liukulukuaritmetiikka Luento 6-1 ALU = Aritmetic Logic Unit Suorittava yksikkö, tiedon käsittely u Kokonaisluku ja liukulukuaritmetiikkaa u Vertailut, sivuttaissiirrot u Bittien kopiointi rekisteristä toiseen u Osoitelaskenta: Hypyt, muistiviittaukset Input u Yleensä kaksi operandia sisään u Rekistereistä (ja muistista) Operatio u Usein käskyrekisterin perusteella Output u Rekisteriin/Muistiin/PSW:hen + - *?? ylivuoto? 2 kpl? (Sta06 Fig 9.1) Luento 6-2 tulos Kokonaislukuesitys (Integer Representation) Arvo binäärimuodossa, bittijonona Merkin paino määräytyy paikan mukaan Kokonaislukujen esitys 57 = 5* *10 0 = = 1* * * * * *2 0 = = 0x39 = 3* *16 0 heksadesimaaliesitys Eniten merkitsevä bitti / vähiten merkitsevä bitti u MSB, most ificant bit u LSB, Least ificant bit Luento 6-3 Luento 6-4 Kokonaislukuesitys (Integer Representation) Entä negatiiviset arvot? u Etumerkki-suuruus u 2:n komplemettimuoto Tietokoneet käyttävät 2:n komplementtia u Ei erikseen +0 ja -0 u Laskuissa ei tarvitse erikseen huomioida etumerkkiä u Vähennyslasku voidaan suorittaa yhteenlaskuna! u Helpompi laitteistolle -57 = etumerkki -57 = = = = = = :n komplementti Esimerkki u 8-bittinen esitys, esitä arvo = itseisarvo invertoi bitit (1:n komplementti) lisää :n komplementtimuoto u Laajentuu helposti esim. 16-bittiseksi 57 = = = = Hylkää mahd. ylivuotava bitti extension Luento 6-5 Luento 6-6 / 2006 / Teemu Kerola 1
2 2:n komplementti Arvoalue: -2 n-1 2 n bits: = bits: = Yhteenlaskun ylivuoto helppo havaita u Ei ylivuotoa, jos erimerkkiset yhteenlaskettavat u Ylivuoto, jos samanmerkkiset yhteenlaskettavat ja tuloksen merkki eri kuin yhteenlaskettavien merkki 57 = = = Ylivuoto! Luento 6-7 2:n komplementti Vähennyslasku yhteenlaskuna! u Unohda etumerkki, käsittele etumerkittöminä! u Ensin 2:n komplementti vähennettävästä, sitten add u Helppo laitteisto -3 = = = = 0011 u Tarkistus Tuliko ylivuoto? Merkki = 1, siis negatiivinen Itseisarvo: invertoi bitit ja lisää 1-3 2:n komplementtiesityksessä (Sta06 Table 9.1) Luento 6-8 Negaatio = 2:n komplementti Kokonaislukuaritmetiikkaa Negaatio Yhteen/vähennyslasku Kertolasku Jakolasku 1: invertoi kaikki bitit 2: lisää 1 3: tarkista erikoistilanteet u Jätä ylivuotobitti huomiotta u Muuttuiko merkki? Pienimmälle luvulle ei negaatiota Ellei, aiheuta poikkeus Helppo laitteisto -57 = = = Luento 6-9 Luento 6-10 Yhteenlasku (ja vähennyslasku) Kokonaislukujen kertolasku Normaali binääriyhteenlasku u Jos vähennyslasku, muodosta vähennettävästä ensin komplementti, sitten yhteenlaskuna Ylivuotobitistä ei tarvitse välittää u Tarkkaile sensijaan summan merkkiä Helppo laitetoiminto u 2:n komplementtipiiri ja yhteenlaskupiiri (Sta0 Fig 9.6) Binääriluvuillakin kuten koulussa opittu u Helppo kertoa 0:lla tai 1:llä Laitteistolla? u Monimutkainen u Tarjolla useita algoritmeja Ylivuoto? u 32 b operandit tulos 64 b? Helppo laitteisto, jos etumerkittömiä u Vain monta yhteenlaskua u Tai sivuttaissiirtoa ja yhteenlaskua siirto vasemmalle = kerro 2:lla esim: 5 * => add, shift, shift, add (Sta06 Fig 9.7) Luento 6-11 Luento 6-12 / 2006 / Teemu Kerola 2
3 Etumerkittömien lukujen kertolasku kerrottava (Fig. 8.8 [Stal99]) (Fig. 9.8) Uned Multiplication Example (19) Overflow? No. 13 * 11 =??? M 1011 = = = 143 Result on left, multiplier on right! ADD ADD ADD tulo(s) kertoja (+ tuloksen loppuosa) JosQ 0 =0 vain shift muuten add, shift (Sta06 Fig 9.8a) Luento 6-13 SHIFT SHIFT SHIFT SHIFT C A Q from C take next sumtake next sum result bit from A take skip next next sum sum just do SHIFT Luento 6-14 Etumerkittömien lukujen kertolasku Etumerkittömien kertolasku Q * M = 1101 * 1011 = eli 13*11 = 143 [Sta06 Fig 9.8a] (Sta06 Fig 9.9) (Sta06 Fig 9.8b) Luento 6-15 Luento 6-16 Negatiivisten kertolasku? Ed. algoritmi ei toimi negatiivisille luvuille Voisi tehdä näin u muuta operandit positiivisiksi kokonaisluvuiksi v käytä ed. algoritmia tutki operandien merkki, muuta tulos tarvittaessa komplementtimuotoon Parempia ja nopeampia tapoja olemassa Boothin Algoritmi Huomio edell. algoritmista u Yhteenlasku vain (aina), kun kertojassa esiintyy 1 Boothin algoritmin idea (tehostus) u Yhdistä vierekkäiset 1:set yhdeksi köntäksi u Tee köntälle yksi yhteenlasku ja yksi vähennyslasku u Esim. 7*x = 8*x +( x) 111*x = 1000*x +(-x) = shift, shift, shift, complement, add 5 * 7 = 0101 * 0111 = 0101 * ( ) = 35 Toimii 2:n komplementtimuodoille, myös negatiivisille! Luento 6-17 Luento 6-18 / 2006 / Teemu Kerola 3
4 Boothin Algoritmi Booth s Algorithm for Twos Complement Multiplication 10 = könttä alkoi 11 = könttä jatkuu 01 = könttä loppui Arithmetic Shift Right: = täytä etumerkillä (Fig [Stal99]) Fig arithmetic shift right operands Q -1 (Sta06 Fig 9.12) Luento 6-19 result Luento 6-20 Booth s Algorithm Example (15) Boothin Algoritmi, esim. Sta06 Fig * 3 =? = = 21 M: 0111 Fig [Sta06] Q * M = 0011 * 0111 = eli 3*7 = 21 Arithmetic Arithm Shift Right SHIFT Arithm SHIFT A: Q: extended 1 bit of result Carry bit was lost Luento 6-21 Q ADD just SHIFT 10 subtract 00 just A-M SHIFT (Sta06 Fig 9.13) Luento 6-22 Kokonaislukujen jakolasku Kokonaislukujen jakolasku Binääriluvuillakin kuten koulussa opittu u Helppo: osamäärään tulee vain 0:ia ja 1:siä (jakaja) osamäärä jaettava Toimii positiivisilla luvuilla, negatiivisille lisävirittelyjä Ks. tarkemmin kirjan esimerkki Fig 9.17 [Sta06 ] A Q Q 0 SHL +/- +/- jakojäännös Laitteistototeutus vastaavasti kuin kertolaskussa u Siirto vasemmalle = uusi numero mukaan (Sta06 Fig 9.15) Luento 6-23 palauta A ennalleen ja ota uusi numero alas Sta06 Fig 9.16 Luento 6-24 / 2006 / Teemu Kerola 4
5 Liukulukuesitys Liukulukuesitys Merkitsevät numerot ja suuruusluokka Normeerattu muoto u pistettä edeltävä numero > = * = * = * = * Luento 6-25 Luento 6-26 IEEE 754 Liukulukuformaatit 32-bittinen liukulukuesitys 1 b etumerkille u 1 = -, 0 = + 8 b exponentille u Ei erikseen etumerkkiä, vaan erillinen nollataso (bias) Esim. Exp=5gtalleta 127+5, Exp=-5gtalleta b mantissalle (ificant) u Normeeratussa muodossa binääripistettä edeltävä numero aina 1, ei talleteta (piilobitti, Zuse Z3 1939) Binäärimuodossa esitetyn liukuluvun arvo -1 Sign * 1.Mantissa * 2 Exponent-127 (Sta06 Table 9.3) Luento 6-27 Luento 6-28 Esimerkkejä Esimerkkejä 23.0 = * 2 0 = * 2 4 =? 127+4= exponent mantissa exponent mantissa X =? X = (-1) 0 * * 2 ( ) = * = * 2 0 =? = = (1+ 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16) * 2 = ( ) * 2 exponent mantissa = * 2 = Luento 6-29 Luento 6-30 / 2006 / Teemu Kerola 5
6 Liukulukujen tarkkuudesta (32b) IEEE 754 Erityismerkitykset Not a Number Arvoalue u 8 b eksponenttig ~ Tarkkuus u 24 b mantissa g 2 24 ~ 1.7 * 10-7 ~ 6 desimaalia u Parempi tarkkuus pienille luvuille ilman normalisointia Double Precision vastaavasti (Sta06 Table 9.4) Luento 6-31 Luento 6-32 NaN: Not a Number Liukulukuaritmetiikkaa IEEE-754 Standardi Yhteen/vähennyslasku Kertolasku Jakolasku (Sta06 Table 9.6) Luento 6-33 Luento 6-34 Liukulukuaritmetiikka Laskentaa varten leveämpiä työrekistereitä u Guard bits u Enemmän merkitseviä bittejä mm. mantissalle u Käytetään myös normeeraamattomia muotoja Yhteen- ja vähennyslasku u Enemmän välivaiheita kuin kerto/jakolaskussa u Operandeille ensin sama eksponentti Toisen normeeraus purettava tarkkuutta häviää u Tulos voi vaatia normeerauksen Kerto- ja jakolasku u Mantissa ja eksponentti käsiteltävä erikseen Liukulukuaritmetiikka (Sta06 Table 9.5) Luento 6-35 Luento 6-36 / 2006 / Teemu Kerola 6
7 Yhteen- ja vähennyslasku Erikoistilanteita (Sta06 Fig 9.22) Luento 6-37 Eksponentin ylivuoto (Hyvin suuri luku) u Arvoksi tai - vai u Aiheuta poikkeus ohjelmoitava optio Eksponentin alivuoto (Olemattoman pieni luku) u Arvoksi 0 (tai aiheuta poikkeus) ohjelmoitava optio Mantissan ylivuoto u Yhteenlaskun tuloksena mantissa, jossa binääripisteen edellä useita numeroita u Normeeraa! Mantissan alivuoto u Yhteiseen eksponenttiin siirtyminen voi aiheuttaa merkitsevien bittien katoamista (entä, jos kaikki merkitsevät menee?) u Pyöristä? Luento 6-38 Pyöristys Kertolasku Esimerkki u Arvo neljän desimaalin tarkkuudella u Esittämiseen käytössä vain 3 desimaalia , u Normaalien pyöristyssääntöjen mukaan lähimpään esitettävissä olevaan u Aina kohti u Aina- kohti u Aina 0 kohti 3.123, , , , Esim. Intel Itanium -laitteisto tukee näitä kaikkia (Sta06 Fig 9.23) Luento 6-39 Luento 6-40 Jakolasku Kertauskysymyksiä Miksi käytetään 2:n komplementtimuotoa? Miten 2:n komplementtiesitys laajenee suurempaan tilaan (esim. 8b esitys 16 b:n esitys)? Millainen on yksinkertaisen tarkkuuden liukuluvun esitysmuoto? Milloin tulee liukuluvun alivuoto? (Sta06 Fig 9.24) Luento 6-41 Luento 6-42 / 2006 / Teemu Kerola 7
Tietokonearitmetiikka
Tietokoneen rakenne Luento 6 Tietokonearitmetiikka Stallings: Ch 9 Kokonaislukuesitys Kokonaislukuaritmetiikka Liukulukuesitys Liukulukuaritmetiikka Luento 6-1 ALU: Aritmeettis-Looginen Yksikkö ALU = Aritmetic
LisätiedotTietokonearitmetiikka
Luento 6 ALU: Aritmeettis-Looginen Yksikkö Tietokonearitmetiikka (Computer Arithmetic) Stallings: Ch 9 Kokonaislukuesitys Kokonaislukuaritmetiikka Liukulukuesitys Liukulukuaritmetiikka Luento 6-1 ALU =
LisätiedotTietokonearitmetiikka
Tietokoneen rakenne Luento 6 Tietokonearitmetiikka (Computer Arithmetic) Stallings: Ch 9 Kokonaislukuesitys Kokonaislukuaritmetiikka Liukulukuesitys Liukulukuaritmetiikka Luento 6-1 ALU: Aritmeettis-Looginen
Lisätiedot811120P Diskreetit rakenteet
811120P Diskreetit rakenteet 2016-2017 2. Lukujen esittäminen ja aritmetiikka 2.1 Kantajärjestelmät ja lukujen esittäminen Käytettävät lukujoukot: Luonnolliset luvut IN = {0,1,2,3,... } Positiiviset kokonaisluvut
LisätiedotLukujärjestelmät. Digitaalitekniikan matematiikka Luku 9 Sivu 3 (26) Lukujärjestelmät ja lukujen esittäminen Fe
Digitaalitekniikan matematiikka Luku 9 Sivu 3 (26) Lukujärjestelmät ja lukujen esittäminen.9.2 Fe Lukujärjestelmät Kymmen- eli desimaalijärjestelmä: kantaluku perinteisesti käytetty ja tuttu numerot,,
LisätiedotANSI/IEEE Std
Digitaalitekniikan matematiikka Luku 9 Sivu 1 (26) Lukujärjestelmät ja lukujen esittäminen ANSI/IEEE Std 754-2008 0 1 0 1 1 0 0 0 B = Σ B i 2 i Digitaalitekniikan matematiikka Luku 9 Sivu 2 (26) Johdanto
LisätiedotTiedon esitysmuodot. Luento 6 (verkkoluento 6) Lukujärjestelmät Kokonaisluvut, liukuluvut Merkit, merkkijonot Äänet, kuvat, muu tieto
Luento 6 (verkkoluento 6) Tiedon esitysmuodot Lukujärjestelmät Kokonaisluvut, liukuluvut Merkit, merkkijonot Äänet, kuvat, muu tieto Ohjelman esitysmuoto Rakenteellinen tieto 1 Tiedon tyypit Kommunikointi
LisätiedotLiukulukulaskenta. Pekka Hotokka
Liukulukulaskenta Pekka Hotokka pejuhoto@cc.jyu.fi 10.11.2004 Tiivistelmä Liukulukuja tarvitaan, kun joudutaan esittämään reaalilukuja tietokoneella. Niiden esittämistavasta johtuen syntyy laskennassa
LisätiedotC = P Q S = P Q + P Q = P Q. Laskutoimitukset binaariluvuilla P -- Q = P + (-Q) (-Q) P Q C in. C out
Digitaalitekniikan matematiikka Luku ivu (2).9.2 Fe C = Aseta Aseta i i = n i > i i i Ei i < i i i Ei i i = Ei i i = i i -- On On On C in > < = CI CO C out -- = + (-) (-) = + = C + Digitaalitekniikan matematiikka
LisätiedotNumeeriset menetelmät
Numeeriset menetelmät Luento 2 To 8.9.2011 Timo Männikkö Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 2 To 8.9.2011 p. 1/33 p. 1/33 Lukujen tallennus Kiintoluvut (integer) tarkka esitys aritmeettiset operaatiot
Lisätiedot5. Laskutoimitukset eri lukujärjestelmissä
5. Laskutoimitukset eri lukujärjestelmissä Lukujen esitykset eri lukujärjestelmissä Muunnokset lukujärjestelmien välillä Laskutoimitukset eri lukujärjestelmissä. 5.1. Muunnokset lukujärjestelmien välillä
LisätiedotSISÄLLYS - DIGITAALITEKNIIKKA
SISÄLLYS - DIGITAALITEKNIIKKA Digitaalitekniikan perusteita...2 Bitti (bit)...2 Tavu (bytes)...2 Sana (word)...2 Yksiköt...2 Binääri järjestelmän laskutapa...2 Esimerkki: Digikuvan siirron kestoaika...2
LisätiedotTiedon esitysmuodot. Luento 6 (verkkoluento 6) Lukujärjestelmät Kokonaisluvut, liukuluvut Merkit, merkkijonot Äänet, kuvat, muu tieto
Luento 6 (verkkoluento 6) Tiedon esitysmuodot Lukujärjestelmät Kokonaisluvut, liukuluvut Merkit, merkkijonot Äänet, kuvat, muu tieto Monitavuinen tieto Ohjelman esitysmuoto Rakenteellinen tieto 1 Tiedon
LisätiedotDigitaalitekniikan matematiikka Luku 10 Sivu 1 (14) Lukujärjestelmämuunnokset. 2 s s
Digitaalitekniikan matematiikka Luku 10 Sivu 1 (14) k 10 2 10 2 s 10 10 8 10 16 10 2 10 2 s 2 8 8 2 2 16 16 2 Digitaalitekniikan matematiikka Luku 10 Sivu 2 (14) Johdanto Tässä luvussa perustellaan, miksi
LisätiedotTIES325 Tietokonejärjestelmä. Jani Kurhinen Jyväskylän yliopisto Tietotekniikan laitos
TIES325 Tietokonejärjestelmä Jani Kurhinen Jyväskylän yliopisto Tietotekniikan laitos Kevät 2008 Luku 4 Tietokoneen sisäinen toiminta Edellisisää osioiss aon tarkasteltu tietokoneen kehittymistä ja sen
LisätiedotPalautteita. Tutoriaalit olivat vaikeat! Totta, tentti on onneksi helpompi
Palautteita Tutoriaalit olivat vaikeat! Totta, tentti on onneksi helpompi 504 Mitä range() tekee? range on funktio, joka palauttaa listan esim. a = range(5,10) Palauttaa listan [5,6,7,8,9] Siis nämä kolme
LisätiedotTiedon tyypit Kommunikointi ihmisen kanssa. Luento 6 Tiedon esitysmuodot. Tiedon esitys laitteistossa (4) Suorittimen ymmärtämä tieto (9)
Luento 6 Tiedon esitysmuodot Lukujärjestelmät Kokonaisluvut Liukuluvut Merkit, merkkijonot Totuusarvot Kuvat, äänet, hajut(?) Tiedon tyypit Kommunikointi ihmisen kanssa kuva, ääni, merkit, Laitteiston
LisätiedotLuento 6 Tiedon esitysmuodot. Tiedon esitys laitteistossa (4) Tiedon esitys (7) Suorittimen ymmärtämä tieto (9) Tietokoneen toiminta, K
Luento 6 Tiedon esitysmuodot Lukujärjestelmät Luvut, merkit, merkkijonot, totuusarvot, oliot Kuvat, äänet, hajut(?) Ohjelmat 1 Tiedon tyypit Kommunikointi ihmisen kanssa kuva, ääni, merkit, Laitteiston
LisätiedotLuento 6 Tiedon esitysmuodot
Luento 6 Tiedon esitysmuodot Lukujärjestelmät Kokonaisluvut Liukuluvut Merkit, merkkijonot Totuusarvot Kuvat, äänet, hajut(?) 1 Tiedon tyypit (3) Kommunikointi ihmisen kanssa kuva, ääni, merkit, Laitteiston
LisätiedotLuento 6 Tiedon esitysmuodot. Tiedon esitys laitteistossa (3)
Tietokoneen toiminta 3.4.24 Luento 6 Tiedon esitysmuodot Lukujärjestelmät Kokonaisluvut Liukuluvut Merkit, merkkijonot Totuusarvot Kuvat, äänet, hajut(?) Tiedon tyypit (3) Kommunikointi ihmisen kanssa
LisätiedotLuento 6 Tiedon esitysmuodot
Luento 6 Tiedon esitysmuodot Lukujärjestelmät Kokonaisluvut Liukuluvut Merkit, merkkijonot Totuusarvot Kuvat, äänet, hajut(?) 1 Tiedon tyypit Kommunikointi ihmisen kanssa kuva, ääni, merkit, Laitteiston
LisätiedotJakso 6 Tiedon esitysmuodot
Jakso 6 Tiedon esitysmuodot Lukujärjestelmät Kokonaisluvut Liukuluvut Merkit, merkkijonot Totuusarvot Kuvat, äänet, hajut(?) Ohjelman esitysmuoto 1 Tiedon tyypit Kommunikointi ihmisen kanssa kuva, ääni,
LisätiedotLuento 6 Tiedon esitysmuodot
Luento 6 Tiedon esitysmuodot Lukujärjestelmät Kokonaisluvut Liukuluvut Merkit, merkkijonot Totuusarvot Kuvat, äänet, hajut(?) 1 Tiedon tyypit (3) Kommunikointi ihmisen kanssa kuva, ääni, merkit, Laitteiston
LisätiedotLuento 6 Tiedon esitysmuodot
Luento 6 Tiedon esitysmuodot Lukujärjestelmät Kokonaisluvut Liukuluvut Merkit, merkkijonot Totuusarvot Kuvat, äänet, hajut(?) Tiedon esitys laitteistossa (2) Tietoa siirretään muistiväylää pitkin sanoina
LisätiedotLuento 6 Tiedon esitysmuodot
Luento 6 Tiedon esitysmuodot Lukujärjestelmät Luvut, merkit, merkkijonot, totuusarvot, oliot Kuvat, äänet, hajut(?) Ohjelmat 1 Tiedon tyypit Kommunikointi ihmisen kanssa kuva, ääni, merkit, Laitteiston
LisätiedotLuento 6 Tiedon esitysmuodot. Tiedon esitys laitteistossa (3)
Tietokoneen toiminta, Kesä 22 4.8.22 Luento 6 Tiedon esitysmuodot Lukujärjestelmät Kokonaisluvut Liukuluvut Merkit, merkkijonot Totuusarvot Kuvat, äänet, hajut(?) Tiedon tyypit (3) Kommunikointi ihmisen
LisätiedotOngelma(t): Miten tietokoneen komponentteja voi ohjata siten, että ne tekevät yhdessä jotakin järkevää? Voiko tietokonetta ohjata (ohjelmoida) siten,
Ongelma(t): Miten tietokoneen komponentteja voi ohjata siten, että ne tekevät yhdessä jotakin järkevää? Voiko tietokonetta ohjata (ohjelmoida) siten, että se pystyy suorittamaan kaikki mahdolliset algoritmit?
LisätiedotLuento 6 Tiedon esitysmuodot. Lukujärjestelmät Kokonaisluvut Liukuluvut Merkit, merkkijonot Totuusarvot Kuvat, äänet, hajut(?)
Luento 6 Tiedon esitysmuodot Lukujärjestelmät Kokonaisluvut Liukuluvut Merkit, merkkijonot Totuusarvot Kuvat, äänet, hajut(?) 1 Tiedon tyypit (3) Kommunikointi ihmisen kanssa kuva, ääni, merkit, Laitteiston
LisätiedotKombinatorisen logiikan laitteet
Kombinatorisen logiikan laitteet Kombinatorinen logiikka tarkoittaa logiikkaa, jossa signaali kulkee suoraan sisääntuloista ulostuloon Sekventiaalisessa logiikassa myös aiemmat syötteet vaikuttavat ulostuloon
LisätiedotMerkitse kertolasku 3 3 3 3 potenssin avulla ja laske sen arvo.
13 Luvun potenssi Kertolasku, jonka kaikki tekijät ovat samoja, voidaan merkitä lyhyemmin potenssin avulla. Potenssimerkinnässä eksponentti ilmaisee, kuinka monta kertaa kantaluku esiintyy tulossa. Potenssin
LisätiedotLaitteistonläheinen ohjelmointi
Laitteistonläheinen ohjelmointi 4 op Luennoija: Pertti Lehtinen Luennot: Perjantai 12-14 TB104 Esitiedot: Mikroprosessorit Perusohjelmointikurssi Kurssin osat: luennot, harjoitustyö, tentti Materiaali:
LisätiedotKappale 20: Kantaluvut
Kappale 20: Kantaluvut 20 Johdanto: Kantaluvut... 328 Kantalukujen syöttäminen ja muuntaminen... 329 Matemaattiset toiminnot Hex- ja Bin-luvuilla... 330 Bittien vertaileminen ja manipulointi... 331 Huom!
LisätiedotSystem.out.printf("%d / %d = %.2f%n", ekaluku, tokaluku, osamaara);
Kysy Karilta tai Kimmolta, jos tehtävissä on jotain epäselvää. Kerro WETOon liittyvät ongelmat suoraan Jormalle sähköpostitse (jorma.laurikkala@uta.fi). Muista nimetä muuttujat hyvin sekä kommentoida ja
LisätiedotSystem.out.printf("%d / %d = %.2f%n", ekaluku, tokaluku, osamaara);
Mikäli tehtävissä on jotain epäselvää, laita sähköpostia vastuuopettajalle (jorma.laurikkala@uta.fi). Muista nimetä muuttujat hyvin sekä kommentoida ja sisentää koodisi. Ohjelmointitehtävien osalta palautetaan
LisätiedotTietotyypit ja operaattorit
Tietotyypit ja operaattorit Luennossa tarkastellaan yksinkertaisten tietotyyppien int, double ja char muunnoksia tyypistä toiseen sekä esitellään uusia operaatioita. Numeeriset tietotyypit ja muunnos Merkkitieto
LisätiedotLaitteistonläheinen ohjelmointi
Laitteistonläheinen ohjelmointi 4 op Luennoija: Pertti Lehtinen Harjoitustyö: Mikko Vulli Esituedot: Mikroprosessorit Perusohjelmointikurssi Kurssin osat: luennot, harjoitustyö, tentti Materiaali: luentomoniste
LisätiedotTyyppejä ja vähän muutakin. TIEA341 Funktio ohjelmointi 1 Syksy 2005
Tyyppejä ja vähän muutakin TIEA341 Funktio ohjelmointi 1 Syksy 2005 Viime luennolla... Haskellin alkeita pääasiassa Hello World!... ja muita tutunoloisia ohjelmia Haskellilla Haskellin voima on kuitenkin
LisätiedotKäskykannat. Tietokoneen rakenne. Ch [Sta06] Operaatioista Operandeista Osoitustavoista Pentium / PowerPC. Luento 7-1
Tietokoneen rakenne Luento 7 Käskykannat Ch 10-11 [Sta06] Operaatioista Operandeista Osoitustavoista Pentium / PowerPC Luento 7-1 Käskysykli CPU suorittaa ohjelmaa konekielinen käsky kerrallaan Käskyn
LisätiedotNumeeriset menetelmät TIEA381. Luento 2. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 2 () Numeeriset menetelmät / 39
Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 2 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 2 () Numeeriset menetelmät 14.3.2013 1 / 39 Luennon 2 sisältö Luvusta 1: Numeerinen stabiilisuus Liite A: Liukulukuaritmetiikasta
LisätiedotNegatiiviset luvut ja laskutoimitukset
7.lk matematiikka Negatiiviset luvut ja laskutoimitukset Hatanpään koulu Syksy 2017 Janne Koponen 2 Sisällys 1. Negatiiviset ja positiiviset luvut sekä vertailut... 4 2. Lukujen vertailu... 8 3. Plussien
LisätiedotNegatiiviset luvut ja laskutoimitukset
7.lk matematiikka Negatiiviset luvut ja laskutoimitukset Hatanpään koulu Syksy 2017 Janne Koponen 2 Sisällys 1. Negatiiviset ja positiiviset luvut sekä vertailut... 4 2. Lukujen vertailu... 8 3. Plussien
LisätiedotLOAD R1, =2 Sijoitetaan rekisteriin R1 arvo 2. LOAD R1, 100
Tiedonsiirtokäskyt LOAD LOAD-käsky toimii jälkimmäisestä operandista ensimmäiseen. Ensimmäisen operandin pitää olla rekisteri, toinen voi olla rekisteri, vakio tai muistiosoite (myös muuttujat ovat muistiosoitteita).
LisätiedotBL40A1711 Johdanto digitaalielektroniikkaan: Johdanto ja lukujärjestelmät
BL40A1711 Johdanto digitaalielektroniikkaan: Johdanto ja lukujärjestelmät Laboratory of Control Engineering and Digital Systems Focus of research and education Energy efficient systems Renewable energy
LisätiedotTietokoneen rakenne Käskysykli CPU suorittaa ohjelmaa konekielinen käsky kerrallaan
Käskykannat Ch 10-11 [Sta06] Operaatioista Operandeista Osoitustavoista Pentium / PowerPC Luento 7 Käskysykli CPU suorittaa ohjelmaa konekielinen käsky kerrallaan Käskyn suoritus muodostuu vaiheista, joita
LisätiedotLuento 7: Käskykannat Tietokoneen rakenne / 2006 / Teemu Kerola 9/25/2006
Tietokoneen rakenne Luento 7 Käskykannat Ch 10-11 [Sta06] Operaatioista Operandeista Osoitustavoista Pentium / PowerPC Luento 7-1 Käskysykli CPU suorittaa ohjelmaa konekielinen käsky kerrallaan Käskyn
LisätiedotOhjelmoijan binaarialgebra ja heksaluvut
Paavo Räisänen Ohjelmoijan binaarialgebra ja heksaluvut www.ohjelmoinaan.net Tätä opasta saa vapaasti kopioida, tulostaa ja levittää ei kaupallisissa tarkoituksissa. Kuitenkaan omille nettisivuille opasta
LisätiedotPaavo Räisänen. Ohjelmoijan binaarialgebra ja heksaluvut. www.ohjelmoimaan.net
Paavo Räisänen Ohjelmoijan binaarialgebra ja heksaluvut www.ohjelmoimaan.net Tätä opasta saa vapaasti kopioida, tulostaa ja levittää ei kaupallisissa tarkoituksissa. Kuitenkaan omille nettisivuille opasta
LisätiedotDiskreetit rakenteet. Juha Kortelainen
Diskreetit rakenteet 811120P 5 op Juha Kortelainen Syksy 2015 Sisältö 1 Algoritmin käsite 4 1.1 Mitä algoritmi on?........................ 4 1.2 Kontrollirakenteet......................... 6 1.3 Muita
LisätiedotMikrokontrollerit. Mikrokontrolleri
Mikrokontrollerit S-108.2010 Elektroniset mittaukset 18.2.2008 Mikrokontrolleri integrointi säästää tilaa piirilevyllä usein ratkaisu helpompi ja nopeampi toteuttaa ohjelmallisesti prosessori 4-64 bittinen
LisätiedotDigitaalitekniikan matematiikka Harjoitustehtäviä
arjoitustehtäviä Sivu 6 6.3.2 e arjoitustehtäviä uku 3 ytkentäfunktiot ja perusporttipiirit 3. äytäväkytkin on järjestelmä jossa käytävän kummassakin päässä on kytkin ja käytävän keskellä lamppu. amppu
Lisätiedot7. Laskutoimitukset eri lukujärjestelmissä 1 / 31
7. Laskutoimitukset eri lukujärjestelmissä 1 / 31 Johdanto Lukujen esitykset eri lukujärjestelmissä Muunnokset lukujärjestelmien välillä Laskutoimitukset eri lukujärjestelmissä. 2 / 31 7.1. Muunnokset
LisätiedotYksinkertaisin järjestelmä
Digitaalinen Signaalinkäsittely T05 Luento 5 -.04.006 Jarkko.Vuori@evtek.fi Yksinkertaisin järjestelmä Differenssiyhtälö [ n] x[ n] y Lohkokaavio X() Y() Siirtofunktio H ( ) Nolla-napa kuvio Ei nollia
Lisätiedot1. luento. Ohjelmointi (C) T0004 Syksy 2003. 1. luento. 1. luento. 1. luento. 1. luento. kurssin sisältö ja tavoitteet työmuodot.
EVTEK Teknillinen ammattikorkeakoulu Ohjelmointi (C) T0004 Syksy 2003 Olli Hämäläinen kurssin sisältö ja tavoitteet työmuodot luennot 1-2/2003 laboratorioharjoitukset 1-2/2003 kotitehtävät, laboratoriokerrat
LisätiedotJava-kielen perusteet
Java-kielen perusteet Tunnus, varattu sana, kommentti Muuttuja, alkeistietotyyppi, merkkijono, literaalivakio, nimetty vakio Tiedon merkkipohjainen tulostaminen 1 Tunnus Java tunnus Java-kirjain Java-numero
LisätiedotLUKUTEORIA johdantoa
LUKUTEORIA johdantoa LUKUTEORIA JA TODISTAMINEN, MAA11 Lukuteorian tehtävä: Lukuteoria tutkii kokonaislukuja, niiden ominaisuuksia ja niiden välisiä suhteita. Kokonaislukujen maailma näyttää yksinkertaiselta,
LisätiedotLiukulukujen vaihtoehtoisia esitystapoja
Tomi Lundberg Liukulukujen vaihtoehtoisia esitystapoja Tietotekniikan kandidaatintutkielma 16. joulukuuta 2015 Jyväskylän yliopisto Tietotekniikan laitos Tekijä: Tomi Lundberg Yhteystiedot: tomi.t.lundberg@student.jyu.fi
Lisätiedot1. Mikä on lukujen 10, 9, 8,..., 9, 10 summa? 2. Mikä on lukujen 10, 9, 8,..., 9, 10 tulo? =?
Tehtävät 1 1. Mikä on lukujen 10, 9, 8,..., 9, 10 summa? 2. Mikä on lukujen 10, 9, 8,..., 9, 10 tulo? 3. 16 125 250 =? 4. Kirjoita lausekkeeseen sulut siten, että tulos on nolla. 2 + 2 2 2 : 2 + 2 2 2
LisätiedotHUOLTOMATEMATIIKKA 1, SISÄLTÖ TIEDOT JA ESIMERKIT:
1 HUOLTOMATEMATIIKKA 1, SISÄLTÖ 1) Laskujärjestys 2) Likiarvo ja pyöristäminen 3) Paperilla laskeminen, yhteen- ja vähennyslaskut sekä kerto- ja jakolaskut 4) Yksikkömuunnokset, kerrannaisyksiköt sekä
Lisätiedot8.1 Murtoluvun määritelmä - murtoluvulla tarkoitetaan aina osaa (osia) jostakin kokonaisuudesta
8. Murtoluvun määritelmä - murtoluvulla tarkoitetaan aina osaa (osia) jostakin kokonaisuudesta - oheisessa kuvassa ympyrä on jaettu kolmeen yhtä suureen osaan, joista kukin osa on yksi kolmasosa koko ympyrästä
LisätiedotHuom! (5 4 ) Luetaan viisi potenssiin neljä tai viisi neljänteen. 7.1 Potenssin määritelmä
61 7.1 Potenssin määritelmä Potenssi on lyhennetty merkintä tulolle, jossa kantaluku kerrotaan itsellään niin monta kertaa kuin eksponentti ilmaisee. - luvun toinen potenssi on nimeltään luvun neliö o
LisätiedotTiedon esitysmuodot Tiedon muuttumattomuuden tarkistus Järjestelmän sisäinen muisti
Luentokerta 4 Tiedon esitysmuodot Tiedon muuttumattomuuden tarkistus Järjestelmän sisäinen muisti Lukujärjestelmät Kokonaisluvut, liukuluvut Merkit, merkkijonot Ohjelman esitysmuoto Rakenteellinen tieto
LisätiedotPerustietotyypit ja laskutoimitukset
Perustietotyypit ja laskutoimitukset 2 Perustietotyypit ja laskutoimitukset Tässä luvussa käsittelemme C++:n perustietotyyppejä, varsinkin sellaisia kuin sinä mitä todennäköisemmin tulet käyttämään omissa
Lisätiedot811120P Diskreetit rakenteet
811120P Diskreetit rakenteet Juha Kortelainen Ari Vesanen Syksy 2018 Esipuhe Tämä moniste on pääosin Juha Kortelaisen laatima. Olen muuttanut algoritmien esitystavan ja tehnyt pieniä korjauksia. Ari Vesanen
LisätiedotTalousmatematiikan perusteet, L2 Kertaus Aiheet
Talousmatematiikan perusteet, L2 Kertaus 1 Laskutoimitukset tehdään seuraavassa järjestyksessä 1. Sulkujen sisällä olevat lausekkeet (alkaen sisältä ulospäin) 2. potenssit ja juurilausekkeet 3. kerto-
Lisätiedot1 Peruslaskuvalmiudet
1 Peruslaskuvalmiudet 11 Lukujoukot N {1,, 3, 4,} on luonnollisten lukujen joukko (0 mukana, jos tarvitaan), Z {, 3,, 1, 0, 1,, 3,} on kokonaislukujen joukko, Q m n : m, n Z, n 0 on rationaalilukujen joukko,
LisätiedotAlgoritmit 1. Luento 11 Ti Timo Männikkö
Algoritmit 1 Luento 11 Ti 14.2.2017 Timo Männikkö Luento 11 Algoritminen ongelmanratkaisu Osittaminen Lomituslajittelu Lomituslajittelun vaativuus Rekursioyhtälöt Pikalajittelu Algoritmit 1 Kevät 2017
LisätiedotTietokoneen toiminta, K Tavoitteet (4)
Jakso 12 Yhteenveto Keskeiset asiat 1 Tavoitteet (4) Ymmärtää tietokonejärjestelmän keskeiset piirteet sillä suoritettavan ohjelman näkökulmasta Miten tietokonejärjestelmä suorittaa sille annettua ohjelmaa?
LisätiedotTalousmatematiikan perusteet, L2 Kertaus Aiheet
Talousmatematiikan perusteet, L2 Kertaus 1 Laskutoimitukset tehdään seuraavassa järjestyksessä 1. Sulkujen sisällä olevat lausekkeet (alkaen sisältä ulospäin) 2. potenssit ja juurilausekkeet 3. kerto-
LisätiedotLiite 1. Laajennettu Eukleideen algoritmi suoraviivainen tapa
Liite 1. Laajennettu Eukleideen algoritmi suoraviivainen tapa - johdanto - matemaattinen induktiotodistus - matriisien kertolaskun käyttömahdollisuus - käsinlaskuesimerkkejä - kaikki välivaiheet esittävä
LisätiedotJavan perusteet. Ohjelman tehtävät: tietojen syöttö, lukeminen prosessointi, halutun informaation tulostaminen tulostus tiedon varastointi
1 Javan perusteet Ohjelmointi IPO-malli Java lähdekoodista suoritettavaksi ohjelmaksi Vakio Muuttuja Miten Javalla näytetään tietoa käyttäjälle, miten Javalla luetaan käyttäjän antama syöte Miten Javalla
LisätiedotLuku- ja merkkikoodit. Digitaalitekniikan matematiikka Luku 12 Sivu 1 (15)
Digitaalitekniikan matematiikka Luku 12 Sivu 1 (15) A = a = i i w i Digitaalitekniikan matematiikka Luku 12 Sivu 2 (15) Johdanto Tässä luvussa esitetään kymmenjärjestelmän lukujen eli BCD-lukujen esitystapoja
LisätiedotLuento 2: Viivan toteutus
Tietokonegrafiikan perusteet T-111.4300 3 op Luento : Viivan toteutus Lauri Savioja 11/07 Primitiivien toteutus / 1 GRAAFISTEN PRIMITIIVIEN TOTEUTUS HUOM! Oletuksena on XY-koordinaatisto Suorien viivojen
Lisätiedottikra_oppimistavoitteet.doc Sivu 1 / / Teemu Kerola Oppimistavoitteet kurssilla Tietokoneen rakenne Osaa selittää Boolen algebran
tikra_oppimistavoitteet.doc Sivu 1 / 5 7.8.2006 / Teemu Kerola Oppimistavoitteet kurssilla Tietokoneen rakenne Digitaalilogiikka Tuntee Boolen muuttujan ja totuusarvon käsitteet (Diskr. matem.) Osaa selittää
LisätiedotNumeerinen analyysi 2016
Numeerinen analyysi 2016 Sisältö 1 Johdanto 8 2 Numeerinen tehtävä 9 2.1 Numeerinen algoritmi............................ 9 2.2 Esimerkki.................................. 10 2.3 Numeerisen laskennan virheet.......................
LisätiedotPython-ohjelmointi Harjoitus 2
Python-ohjelmointi Harjoitus 2 TAVOITTEET Kerrataan tulostuskomento ja lukumuotoisen muuttujan muuttaminen merkkijonoksi. Opitaan jakojäännös eli modulus, vertailuoperaattorit, ehtorakenne jos, input-komento
LisätiedotTWEN 131 PD / 1430 PD KÄYTTÖOHJE
TWEN 131 PD / 1430 PD KÄYTTÖOHJE 1 Virran kytkeminen ja paristonvaihto...3 Ennen virran kytkemistä...3 Virran kytkeminen...3 Varoitus...3 Pariston vaihto...3 2 Värinauhan vaihto...3 3 Kuittinauhan asetus...4
LisätiedotOhjelmointi 1 C#, kevät 2013, 2. tentti
ITKP102 Ohjelmointi 1 C# 15.5.2013 1 / 6 Ohjelmointi 1 C#, kevät 2013, 2. tentti Tentaattori Antti-Jussi Lakanen Tässä tentissä saa olla mukana omia muistiinpanoja yhden arkin verran. Tentin valvojalla
Lisätiedot1 Numeroista lukuja 1.
1 1 Numeroista lukuja Mitä lukuyksikköä edustaa numero a) 4 luvussa 5 469 satoja b) 7 luvussa 35,271 sadasosia c) 1 luvussa 0,5281? kymmenestuhannesosia Kirjoita lukuyksiköiden mukaisena summalausekkeena.
Lisätiedot815338A Ohjelmointikielten periaatteet Harjoitus 2 vastaukset
815338A Ohjelmointikielten periaatteet 2015-2016. Harjoitus 2 vastaukset Harjoituksen aiheena on BNF-merkinnän käyttö ja yhteys rekursiivisesti etenevään jäsentäjään. Tehtävä 1. Mitkä ilmaukset seuraava
LisätiedotOhjelmointiharjoituksia Arduino-ympäristössä
Ohjelmointiharjoituksia Arduino-ympäristössä Yleistä Arduino-sovelluksen rakenne Syntaksi ja käytännöt Esimerkki ohjelman rakenteesta Muuttujat ja tietotyypit Tietotyypit Esimerkkejä tietotyypeistä Ehtolauseet
LisätiedotLIITE 1 VIRHEEN ARVIOINNISTA
Oulun yliopisto Fysiikan opetuslaboratorio Fysiikan laboratoriotyöt 1 1 LIITE 1 VIRHEEN RVIOINNIST Mihin tarvitset virheen arviointia? Mittaustuloksiin sisältyy aina virhettä, vaikka mittauslaite olisi
LisätiedotOHJ-1010 Tietotekniikan perusteet 4 op Syksy 2012
OHJ-1010 Tietotekniikan perusteet 4 op Syksy 2012 Luento 6: Tiedon esittäminen tietokoneessa, osa 1 Tekijät: Antti Virtanen, Timo Lehtonen, Matti Kujala, Kirsti Ala-Mutka, Petri M. Gerdt et al. Luennon
LisätiedotJakso 12 Yhteenveto. Keskeiset asiat Teemu Kerola, K2000
Jakso 12 Yhteenveto Keskeiset asiat 1 Tavoitteet (4) Ymmärtää tietokonejärjestelmän keskeiset piirteet sillä suoritettavan ohjelman näkökulmasta Miten tietokonejärjestelmä suorittaa sille annettua ohjelmaa?
LisätiedotLuento 0: Kurssihallinto Tietokoneen rakenne (2 ov / 4 op) Syksy 2006
Luento 0 581365 Tietokoneen rakenne (2 ov / 4 op) Syksy 2006 Teemu Kerola Helsingin yliopisto Tietojenkäsittelytieteen laitos Luento 0-1 Tietokoneen rakenne Asema opetuksessa u 1999 HajaTilin pakollinen,
Lisätiedot0. perusmääritelmiä. Lukutyypit Laskusäännöt Laskujärjestys
Lukutyypit Laskusäännöt Laskujärjestys 0. perusmääritelmiä Luonnolliset luvut (N): 1, 2, 3, 4 Kokonaisluvut (Z):... 4, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, 4... RaFonaaliluvut (Q): kaikki luvut, jotka voidaan esihää kahden
LisätiedotLuento 3: Digitaalilogiikka 29.8.2006. Luento 3. u binary: AND ( ) A B = AB. u unary: NOT ( _ ) A. u precedence: NOT, AND, OR.
Luento 3 Digital logic Stallings: Appendix B Combinational Circuits Simplification Sequential Circuits Luento 3-1 Luento 3-2 George Boole u ideas 1854 Claude Shannon u apply to circuit design, 1938 u father
LisätiedotTietokoneen rakenne (2 ov / 4 op) Syksy 2006
Luento 0 581365 Tietokoneen rakenne (2 ov / 4 op) Syksy 2006 Teemu Kerola Helsingin yliopisto Tietojenkäsittelytieteen laitos Luento 0-1 Tietokoneen rakenne Asema opetuksessa u 1999 HajaTilin pakollinen,
LisätiedotPUHUTAAN NUMEROILLA Murtoluvut Desimaaliluvut tai
PUHUTAAN NUMEROILLA Murtoluvut 1/2 yksi kahdesosaa (puoli) 2/3 kaksi kolmasosaa 3/4 kolme neljäsosaa 4/5 neljä viidesosaa 5/6 viisi kuudesosaa 6/7 kuusi seitsemäsosaa 7/8 seitsemän kahdeksasosaa 8/9 kahdeksan
LisätiedotNeure - tehtäväluettelo 1 / 5 14.12.2005, 17:05
Neure - tehtäväluettelo 1 / 5 14.12.2005, 17:05 Matematiikka Huom! Mikäli tehtävällä ei vielä ole molempia teknisiä koodeja, tarkoittaa se sitä, että tehtävä ei ole vielä valmis jaettavaksi käyttöön, vaan
LisätiedotDigital logic. Boolean Algebra. Tietokoneen rakenne. Tietokoneen rakenne
Tietokoneen rakenne Luento 3 Digital logic Stallings: Appendix B Boolean Algebra Combinational Circuits Simplification Sequential Circuits Luento 3-1 Tietokoneen rakenne Boolean Algebra Luento 3-2 Tietokoneen
Lisätiedotn! k!(n k)! n = Binomikerroin voidaan laskea pelkästään yhteenlaskun avulla käyttäen allaolevia ns. palautuskaavoja.
IsoInt Tietokoneiden muisti koostuu yksittäisistä muistisanoista, jotka nykyaikaisissa koneissa ovat 64 bitin pituisia. Muistisanan koko asettaa teknisen rajoituksen sille, kuinka suuria lukuja tietokone
LisätiedotAjattelemme tietokonetta yleensä läppärinä tai pöytäkoneena
Mikrotietokone Moderni tietokone Ajattelemme tietokonetta yleensä läppärinä tai pöytäkoneena Sen käyttötarkoitus on yleensä työnteko, kissavideoiden katselu internetistä tai pelien pelaaminen. Tietokoneen
LisätiedotOngelma(t): Miten mikro-ohjelmoitavaa tietokonetta voisi ohjelmoida kirjoittamatta binääristä (mikro)koodia? Voisiko samalla algoritmin esitystavalla
Ongelma(t): Miten mikro-ohjelmoitavaa tietokonetta voisi ohjelmoida kirjoittamatta binääristä (mikro)koodia? Voisiko samalla algoritmin esitystavalla ohjelmoida useita komponenteiltaan ja rakenteeltaan
LisätiedotTietokoneen rakenne (2 ov / 4 op) Syksy 2007 Liisa Marttinen. Helsingin yliopisto Tietojenkäsittelytieteen laitos
Luento 0 581365 Tietokoneen rakenne (2 ov / 4 op) Syksy 2007 Liisa Marttinen Helsingin yliopisto Tietojenkäsittelytieteen laitos Luento0-1 Tietokoneen rakenne Asema opetuksessa u 2005 HajaTilin valinnainen,
LisätiedotA L G E B R A N O P P I - J A E S I M E R K K I K I R J A PORVOO HELSINKI WERNER SÖDERSTRÖM OSAKEYHTIÖ KAHDESTOISTA PAINOS
K. V Ä I S Ä L Ä A L G E B R A N O P P I - J A E S I M E R K K I K I R J A I KAHDESTOISTA PAINOS PORVOO HELSINKI WERNER SÖDERSTRÖM OSAKEYHTIÖ Kouluhallituksen hyväksymä WERNER SÖDERSTRÖM OSAKEYHTIÖN KIRJAPAINOSSA
Lisätiedot0. perusmääritelmiä. Lukutyypit Laskusäännöt Laskujärjestys
0. perusmääritelmiä Lukutyypit Laskusäännöt Laskujärjestys Luonnolliset luvut (N): 1, 2, 3, 4 Kokonaisluvut (Z):... 4, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, 4... RaConaaliluvut (Q): kaikki luvut, jotka voidaan esieää kahden
LisätiedotPERUSKOULUSTA PITKÄLLE
Raimo Seppänen Tytti Kiiski PERUSKOULUSTA PITKÄLLE KERTAUSTA JA TÄYDENNYSTÄ LUKION PITKÄLLE MATEMATIIKALLE JA MATEMATIIKKAA VAATIVAAN AMMATILLISEEN KOULUTUKSEEN MFKA-KUSTANNUS OY HELSINKI 2007 SISÄLLYS
Lisätiedot7. Näytölle tulostaminen 7.1
7. Näytölle tulostaminen 7.1 Sisällys System.out.println- ja System.out.print-operaatiot. Tulostus erikoismerkeillä. Edistyneempää tulosteiden muotoilua. 7.2 Tulostusoperaatiot System.out.println-operaatio
Lisätiedot2 j =
1. Modulaariaritmetiikkaa Yksinkertaisissa salausjärjestelmissä käytettävä matematiikka on paljolti lukuteoriaan pohjautuvaa suurten lukujen modulaariaritmetiikkaa (lasketaan kokonaisluvuilla modulo n).
LisätiedotDiskreetit rakenteet P 5 op
Diskreetit rakenteet 811120P 5 op Juha Kortelainen Ari Vesanen Syksy 2016 Esipuhe Tämä moniste on pääosin Juha Kortelaisen laatima. Olen muuttanut algoritmien esitystavan ja tehnyt pieniä korjauksia. Ari
Lisätiedot