Kul Virtausmekaniikan Seminaari Bernoullin suku

Transkriptio

1 Kul Virtausmekaniikan Seminaari Bernoullin suku Mikael Lees 66825C

2 Sisällysluettelo 1. Johdanto Bernoullin suku Jacob Bernoulli Johann Bernoulli Nicolaus I Bernoulli Nicolaus II Bernoulli Johann II Bernoulli Daniel Bernoulli Elämä Tiede Hydrodynamica Johtopäätökset Lähteet

3 1. Johdanto Tieteen historiassa tapahtui eurooppalaisittain mielenkiintoisia asioita 1500-luvulla, kun Eurooppa kohtasi islamilaisen maailman ja pimeä keskiaika vaihtui renessanssiin. Eurooppalaiset pääsivät näin käsiksi antiikin Kreikan, Rooman ja islamilaisen maailman tiedemiesten töihin. Eurooppalainen tiede lähti kehittymään huimaa vauhtia 1600-luvulla sellaisten nimien kuin Newton, Liebniz, Kopernicus, ja Hooke johdolla luvun jälkimmäisellä puoliskolla nousi Sveitsissä esille Bernoullin tiedemiesten suku. [1] Tämä työ käsittelee juuri Bernoullin sukua, heidän elämäänsä ja heidän saavutuksiaan tieteen saralla. Työssä keskitytään suvun kahteen tieteellisesti merkittävimpään sukupolveen, eli kuvan 1 mukaan 2. ja 3. sukupolveen. Erityinen painoarvo tarkastelussa annetaan ehkäpä kuuluisimmalle Bernoullille eli Danielille. Se, että Bernoullin suvussa oli useita tiedemiehiä ei ole kovin yleisesti tiedossa, tai ainakaan ei osata yleisesti sanoa kuka heistä on kehitellyt minkäkin Bernoullin nimellä tunnetun teoreeman tai lauseen. Tämän työn tarkoituksena on selventää juuri tätä seikkaa ja tutkia miten Bernoullien luoma tiede vaikuttaa vielä nykypäivänä. 2. Bernoullin suku Bernoullin suku muutti Sveitsin Baseliin 1500-luvulla, kun suvun silloinen patriarkka Leon Bernoulli siirsi perheensä nykyisen Belgian Antwerpenista Baseliin pakoon Espanjalaisten vainoa protestantteja kohtaan. Suvun tieteellinen historia alkaa Nicolaus Bernoullista ( ), joka oli Leonin lapsenlapsi. [3] Nicolauksesta alkaen suvussa oli useita menestyneitä tiedemiehiä, joilla oli vielä usein sama nimi. Heidän erottamisen helpottamiseksi etunimien perään on alettu liittämään roomalaisia numeroita, kuten kuninkailla on tapana. Bernoullin tiivistetty sukupuu alkaen Nicolauksesta ja päättyen luvun puoleen väliin on esitetty kuvassa 1. Tieteellisesti merkittävien henkilöiden nimet on kirjoitettu sinisellä. Nicolaukselle syntyi kolme poikaa; Jacob, Nicolaus ja Johann, joista Jacob ja Johann olivat suvun ensimmäiset laajempaa tunnettavuutta keränneet matemaatikot. Kolmannessa sukupolvessa kuuluisat Bernoullit keskittyivät Johannin sukuhaaraan, mutta myös Nicolauksen poika Nicolaus I keräsi tunnustusta saavutuksistaan. Viimeisimpiä tunnettuja edustajia Bernoullin suvusta ovat Nobel-palkittu kirjailija Herman Hesse sekä kuuluisa arkkitehti Hans Benno Bernoulli. Seuraavissa alaluvuissa käsitellään suvun tiedemiehiä ja heidän saavutuksiaan lyhyesti, pois lukien Daniel Bernoulli, jonka elämää ja tieteellisiä saavutuksia käsitellään tarkemmin omassa luvussaan. 3

4 Kuva 1 - Bernoullien sukupuu 2.1 Jacob Bernoulli Jacob (tunnettu myös nimillä James ja Jacques) Bernoulli syntyi Baselissa Hän opiskeli isänsä pyynnöstä teologiaa ja filosofian maisteriksi vuonna 1671 ja teologian lisensiaatiksi Teologian opintojen aikana hän kuitenkin opiskeli myös matematiikkaa ja astronomiaa vasten vanhempiensa tahtoa. Valmistumisensa jälkeen Jacob lähti kiertämään Eurooppaa tavatakseen muita matemaatikkoja ja fyysikkoja oppiakseen lisää. Matkojensa aikana hän tapasikin muun muassa Hooken ja Boylen ja aloitti kirjeenvaihdon muun muassa Liebnitzin kanssa. Jacob palasi Baseliin 1683 ja kieltäytyi hänelle tarjotusta kirkon virasta opettaakseen mekaniikkaa Baselin yliopistossa. Vuonna 1687 hänestä tuli Baselin yliopiston matematiikan professori. Suunnilleen samoihin aikoihin Jacobin veli aloitti matematiikan opinnot veljensä alaisuudessa. Jacob opetti sukulaisistaan lisäksi myös veljenpoikaansa Nicolaus I:stä. [3,4] Kuva 2 - Jacob Bernoulli 4

5 Liebnitzin innoittamana Jacob aloitti veljensä kanssa laskennan tarkemman tutkimuksen. Veljekset riitaantuivat kuitenkin hyvin pian ja kummatkin jatkoivat tutkimuksiaan omilla tahoillaan. Alkuaikoina Jacobin tutkimus keskittyi hyvin paljon lukuteoriaan ja todennäköisyyslaskentaan, hänen saavutuksikseen voidaankin lukea muun muassa Bernoulli koe ja suurten lukujen laki, josta hän julkaisi ensimmäisen version vuonna Suurten lukujen laki sanoo, että jos Bernoulli koetta toistetaan hyvin monta kertaa, on tapahtumien esiintymistiheys yksittäisen tapahtuman todennäköisyys. Vuosien 1982 ja 1704 Jacob julkaisi neljä teosta käsitellen päättymättömiä lukujonoja, jotka sisälsivät muun muassa todistuksen siitä että lauseke (1) ei supistu ja, että lauseke (2) convergoituu alle arvon 2. Euler laski myöhemmin tarkan arvon lausekkeelle (2), eli Baselin probleemalle. [3,4] (1) (2) Vuonna 1690 Jacobista tuli ensimmäinen ihminen joka ratkaisi ensimmäisen asteen epälineaarisen differentiaaliyhtälön, hän ratkaisi sen separoimalla. Samassa artikkeli Jacob käytti myös ensimmäistä kertaa termiä integraali sen nykyisessä merkityksessä. Vuonna 1696 julkaistussa artikkelissa Jacob ratkaisi nykyään Bernoullin differentiaaliyhtälönä tunnetun yhtälön (3). [3,4] + = (3) Jacobin tunnetuin teos on vuoden 1713 Ars Conjectandi, joka julkaistiin siis 8 vuotta hänen kuolemansa jälkeen Nicolaus I:sen toimesta. Jacob kirjoitti teoksen vuosien 1684 ja 1689 välissä, muttei ikinä julkaissut sitä itse. Ars Conjectandi käsitteli todennäköisyyslaskentaa ja kombinatoriikkaa, sitä pidetään yhtenä tämän alan tärkeimpinä teoksina. Kirjassa Jacob käsitteli paljon muiden kuten Liebnitzin aiempaa työtä alalla ja esitti monia uusia todistuksia. Tässä teoksessa Jacob esitti lopullisen muodon suurten lukujen laista ja lisäksi kirja esitteli Bernoulli luvut, Bernoulli kokeen sekä Bernoulli jakauman. [5] Jacob Bernoulli kuoli Baselissa vuoden ikäisenä. Hän piti matematiikan professorin tuolia kuolemaansa asti, jolloin Johann Bernoulli tuli hänen seuraajakseen. 2.2 Johann Bernoulli Johann (tunnettu myös nimillä Jean ja John) Bernoulli syntyi Baselissa. Johannin tapauksessa isä Nicolaus olisi halunnut poikansa opiskelevan kauppatieteitä, mutta Johann vastusti tätä ja aloitti lääketieteen opinnot Basel yliopistossa ja valmistui lääketieteen tohtoriksi Ennen tätä Johannilla oli kuitenkin herännyt veljensä tapaan kiinnostus matematiikkaan ja hän opiskeli myös tätä tieteen lajia samanaikaisesti lääketieteen opintojen kanssa. [6,7] Jo lääketieteen opintojen aikana Johann tuntui keskittyvän enemmän matematiikkaan ja hän lähtikin Geneveen opettamaan differentiaalilaskentaa vuonna Genevestä hän jatkoi matkaansa Pariisiin, jossa hän tapasi de Kuva 3 - Johann Bernoulli 5

6 l Hopitalin vuonna 1692, tästä tuttavuudesta olisi tulevan Johannille niin hyötyä kuin harmiakin. Johann Leibnitzin laskentaopin asiantuntijana opetti de l Hopitalille Liebnitzin teorioita huomattavaa maksua vastaan. Heidän väliseen sopimukseen kuului myös se, että Johann myi matemaattisia löydöksistä de l Hopitalille. Johann palasi pian Baseliin, mutta kaksikon kirjeenvaihto jatkui. [6,7] Valmistuttuaan vihdoin lääketieteen tohtoriksi, Johann meni naimisiin ja sai matematiikan professorin tuolin Groningenista, jonne hän perheineen lähti vuonna Groningenista perhe lähti takaisin Baseliin kaksi päivää Jacobin kuoleman jälkeen vuonna Johann sai kuitenkin tietää veljensä kuolemasta vasta matkalla. Baseliin palattuaan Johann otti veljensä paikan matematiikan professorina. Professuurinsa aikana hän opetti muun muassa Daniel Bernoulli, Leonhard Euler ja Pierre Louis Maupertuis. [6,7] Jacob ja Johann tekivät aluksi läheistä yhteistyötä tutkimuksissaan, mutta tämä läheisyys vaihtui hyvin pian mustasukkaisuuteen ja suoraan kilpailuun. Veljekset kilpailivat keskenään siitä kumpi ehtii i ensin ratkaista jonkun ongelman, ja ratkaisivat usein toistensa esittämiä probleemoita. Johannilla oli vastaavanlaisia ongelmia myös muiden kanssa. Nykyisin l Hopitalin sääntönä tunnettu teoreema on alun perin Johannin todistama, mutta de l Hopital julkaisi sen vuonna Johann väitti todistustaan omakseen de l Hopitalin kuoltua, mutta todistus tälle saatiin vasta vuonna 1922, kun Baselista löydettiin kopio Johannin tekstistä. Myöhemmin Johann kilpaili myös rajusti poikansa Danielin kanssa. [6,7] Johannin nin ensimmäinen tärkeä itsenäinen matemaattinen löytö oli ketjukäyrän ongelman ratkaisu. Ketjukäyrä on käyrä, jonka ketju muodostaa kun se on kahdesta päästä tuettu ja roikkuu painovoiman johdosta. Ongelman oli esittänyt Johann Bernoulli ja tätä ratkaisua voidaankin pitää veljesten riitojen alkuna. Ketjukäyrän yhtälö on lausekkeessa (4). Kuvassa 4 on esitetty muutama ketjukäyrä eri a:n arvoilla. = cosh = / + / (4) Kuva 4 Ketjukäyriä 6

7 Vuonna 1696 Johann esitti brakistokronin ongelman, vaikka oli jo itse ratkaissut sen. Vastauksia hän sai muun muassa Leibnitziltä ja veljeltään. Brakistokroni on kahden pisteen välinen käyrä, jota pitkin kulkiessaan pistemäinen massa saavuttaa loppupisteen nopeimmin, massaa vaikuttaa vain painovoima. Brakistokroni on esitetty kuvassa 5. Kuva 5 Brakistokroni Vuonna 1713 Johannilla oli keskeinen rooli Newton-Leibnitz kiistassa siitä kenelle kuului kunnia differentiaalilaskennan keksimisestä. Johann tuki vahvasti Leibnitzia perusteluinaan se, että hän pystyi Leibnitzin opein ratkaisemaan ongelmia, joita Newton ei pystynyt. Samaan aikaan Johann puolusti voimakkaasti Descartesin pyörreteoriaa Newtonin gravitaatioteoriaa vastaan, tämä viivytti Newtonin teorian yleistä hyväksyntää. [6,7] Johann teki myös työtä mekaniikan parissa tutkien kineettistä energiaa. Johann teki työtä myös poikansa Danielin alalla eli virtausopissa. Hän julkaisi kirjan Hydraulica, jossa oli hänen poikansa kehittämä nykyään Bernoullin lakina tunnettu lause. Johann päiväsi oman teoksena vuodelle 1732, kun Danielin teos Hydrodynamica oli päivätty vuodelle 1734, tämä aikaisempi päiväys kuitenkin osoittautui valheelliseksi. Johann oli aikansa ehdottomasti tunnetuimpia matemaatikkoja ja hänet hyväksyttiinkin kaikkiin tärkeimpiin sen aikaisiin tiedeakatemioihin kuten Pariisin, Berliinin, Lontoon, Pietarin ja Bolognan akatemioihin. Johann kuoli Baselissa. 2.3 Nicolaus I Bernoulli Nicolaus I Bernoulli syntyi 21. Lokakuuta vuonna 1687 Baselissa Johann ja Jacob Bernoullin veljenpojaksi. Hän aloitti jo nuorena matematiikan opinnot setiensä kanssa ja valmistuikin matematiikan maisteriksi Jacobin alaisuudesta vuonna Viisi vuotta myöhemmin eli 22- vuotiaana hän valmistui matematiikan tohtoriksi. [8] Vuonna 1712 Nicolaus I lähti kiertämään Eurooppaa tavaten matkoillaan muun muassa Pierre de Montmortin, jonka kanssa hänelle kehittyikin pitkään jatkuva kirjeenvaihto. Palattuaan matkoiltaan Nicolaukselle tarjottiin vuonna 1716 Padovan yliopiston Galileo-tuolia eli matematiikan professorin virkaa, joka on nimetty Galileo Galilein mukaan (Galileo piti tuolia hallussaan vuosina ). Padovassa Nicolaus I työskenteli pääasiassa geometrian ja differentiaaliyhtälöiden parissa. Vietettyään kuusi vuotta Italiassa, hän palasi Baseliin logiikan professoriksi vuonna [8] 7

8 Nicolaus I ei yltänyt vastaavanlaiseen kuuluisuuteen kuin setänsä, tämä johtunee siitä, ettei hän ollut kovin tuottelias julkaisujen saralla. Hänen suurimmat saavutukset onkin kätketty hänen laajaan kirjeenvaihtoonsa. Merkittävimpänä saavutuksena voidaan pitää nykyisin Pietarin paradoksina tunnettua probleemaa. Pietarin paradoksi käsittelee uhkapeliä, jonka pelaajalle tuottaman voiton odotusarvo on ääretön mutta, jonka pelaamisoikeudesta harva maksaisi kovinkaan paljoa. [2,8] Nicolaus I oli kirjeenvaihdossa myös Leibnizin ja Eulerin kanssa. Heidän kanssaan hän käsitteli muun muassa lukujonojen supistumista. Eulerin kanssaan käymässä kirjeenvaihdossa ( Nicolaus I kritisoi Eulerin käyttämiä menetelmiä Baselin probleeman ratkaisemiseen ja esitti oman versionsa siitä. Baselin probleema on esitetty kaavassa (2). [2] Nicolaus I hyväksyttiin elämänsä aikana kolmeen tärkeään Eurooppalaiseen tiedeakatemiaan; vuonna 1713 Berliinin akatemiaan, vuonna 1714 Englannin tiedeakatemiaan (Royal Society) ja myös Bolognan akatemiaan vuonna Nicolaus I kouli Baselissa 29. Marraskuuta [8] 2.4 Nicolaus II Bernoulli Nicolaus II Bernoulli syntyi Baselissa Johann Bernoullin esikoisena. Hän aloitti 13- vuotiaansa Baselin yliopistossa opiskellen suvun tapaan kahta ainetta; matematiikkaa ja lakia. Vuonna 1715 hän valmistui juridiikan lisensiaatiksi. Valmistumisensa jälkeen hän lähti Italiaan aluksi yksityiseksi opettajaksi ja myöhemmin Padovan yliopistoon opettamaan matematiikkaa. Vuonna 1725 hän lähti nuoremman veljensä Danielin kanssa juuri perustettuun Pietarin akatemiaan. [9] Kuva 6 - Nicolaus II Bernoulli Nicolaus II työskenteli matematiikan saralla lähinnä käyrien, differentiaaliyhtälöiden ja todennäköisyyslaskennan parissa, eli hän seurasi hyvinkin tarkasti suvun aiempia matemaatikkoja. Uransa alkuaikoina hän toimi isänsä Johannin assistenttina auttaen kirjeenvaihdon kanssa, erityisesti liittyen Liebniz-Newton kiistaan. Valitettavasti hänen kontribuutionsa matematiikkaan jäivät vähäisiksi johtuen hänen kuolemasta hyvin nuorena vain kahdeksan kuukautta Pietariin saapumisen jälkeen. Nicolaus II kuoli Pietarissa korkeaan kuumeeseen. [9] 8

9 2.5 Johann II Bernoulli Johann II Bernoulli, Johann Bernoullin nuorin poika, syntyi Baselissa Toukokuun 28. päivä vuonna Hän opiskeli lakia ja valmistui juridiikan tohtoriksi vain 17-vuotiaana vuonna Lain ohella hän opiskeli perheen tavan mukaan myös matematiikkaa. Johann II oli isänsä seuraaja Baselin yliopiston matematiikan professorina tämän kuoleman jälkeen. [2,10] Johann II ei tehnyt tieteen historiaa mullistavia löydöksiä matematiikan tai fysiikan saralla, mutta yhdellä asteikolla mitattuna hän oli selvästi menestynyt tiedemies: hän voitti arvostetun Pariisin akatemian tiedepalkinnon jopa neljä kertaa. Nämä neljä voitokasta työtä käsittelivät eetteriä, käsivintturia, valon etenemistä sekä magneettia. Johann II työskentelikin muusta suvusta poiketen lähinnä fysiikan parissa, erityisesti valon ja lämmön parissa. Johann II eli isänsä tapaan melko vanhaksi ja kuoli vasta 80-vuotiaana Baselissa. [2,10] 3. Daniel Bernoulli Daniel Bernoulli oli ehkäpä tunnetuin kaikista Bernoullin suvun tiedemiehistä, ainakin kun asiaa tarkastelee mekaniikan ja erityisesti virtausmekaniikan kannalta, joka onkin tärkein ala tätä työtä silmällä pitäen. Tässä luvussa käsitellään Daniel Bernoullin elämää ja hänen kontribuutioitaan tieteen saralla sekä näiden vaikutusta virtausmekaniikan nykymuotoon. 3.1 Elämä Daniel Bernoulli syntyi Groningenissa 8. Helmikuuta 1700 sillä aikaa kun hänen isänsä oli siellä matematiikan professorina. Daniel oli kolmesta matemaatikkoveljeksestä keskimmäinen. Daniel aloitti opintonsa Baselin yliopistossa 13-vuotiaana, mutta ei matematiikan vaan filosofian parissa. Aivan kuten hänen isänsä tapauksessa, Danielin vanhemmat eivät halunneet poikansa opiskelevan matematiikkaa vaan kauppatieteitä. Daniel kuitenkin vastusti tätä ja halusi lukea matematiikkaa, kompromissiin päädyttiin filosofian avulla. Filosofian opiskelun ohella Daniel kuitenkin opiskeli myös matematiikkaa vanhemman veljensä avustuksella. Daniel valmistui filosofian maisteriksi vuonna 1716, vain 16-vuotiaana. Kuva 7 - Daniel Bernoulli Valmistumisen jälkeen Daniel halusi jälleen lähteä lukemaan matematiikkaa, mutta Johann kielsi tämän sillä perusteella, että matemaatikkona ei voi tienata riittävästi. Täten Daniel aloitti lääketieteen opinnot jälleen Baselin yliopistossa, josta hän valmistui lääketieteen tohtoriksi 20- vuotiaana. Tänä aikana isä Johann kuitenkin suistui opettamaan Danielille myös matematiikkaa, 9

10 erityisesti teorioitaan kineettisestä energiasta. Daniel hyödynsikin ajatuksia energian säilymisestä väitöskirjassaan hengityksen mekaniikasta. Tätä väitöskirjaa voidaan ehkä pitää kipinänä Danielin kiinnostukselle virtausmekaniikkaan. Danielin elämän seuraava vaihe vietettiin Veneziassa, jossa hän harjoitti lääketiedettä lääkärinä. Veneziassa hän myös julkaisi ensimmäisen matemaattisen työnsä. Vuonna 1725 Daniel palasi Italiasta Baseliin, mutta hyvin nopeasti hän sai kutsun lähteä vanhemman veljensä kanssa opettamaan matematiikkaa uuteen Pietarin akatemiaan. Veljekset lähtivätkin kohti Pietaria vuoden 1725 lopulla. Pietarissa vietetty aika, etenkin vuoden 1727 jälkeen kun Danielin ystävä Leonhard Euler saapui sinne, oli Danielin elämän tieteellisesti tuottoisinta. Euler ja Daniel tutkivat Pietarissa yhdessä muun muassa elastisuutta, värähtelyä ja virtausmekaniikkaa. Tästä huolimatta Daniel ei kuitenkaan viihtynyt Pietarissa vaan lähti sieltä nuoremman veljensä kanssa vuonna Pienten kiertoteiden kautta he palasivat Baseliin Saman vuonna Daniel osallistui Pariisin akatemian tiedekilpailun pääpalkintoon työllä, joka käsitteli astronomiaa. Pääpalkinto sinä vuonna jaettiin kahden osallistujan kesken; Danielin ja hänen isänsä Johannin. Tämä käytännössä katkaisi isän ja pojan välit, sillä Johann ei voinut hyväksyä sitä, että hänen poikansa nähtiin hänen vertaisenaan. Tämä voi olla yksi syy siihen, että Daniel ei vuoden 1734 jälkeen enää juuri kiinnostunut matematiikasta samalla tavalla kuin Pietarin aikoinaan. Isän ja pojan välit eivät vain katkenneet vaan myöhemmin heidän suhteensa oli suorastaan vihamielinen. Daniel aloitti Baselissa opettamaan kasvitieteitä, tämä kuvastaakin hyvin kuinka tyytymätön hän Pietarissa oli, sillä kasvitieteet eivät missään nimessä olleet Danielin mielenkiinnon kohteena. Vuonna 1743 hän sai kuitenkin paikan fysiologian opettajana ja jätti kasvitieteet taakseen. Lopullisesti hän sai haluamansa vuonna 1750 kun hänet nimitettiin fysiikan professoriksi Baselin yliopistossa, tässä tehtävässä hän jatkoi aina vuoteen 1776 asti. Daniel kuoli synnyinkaupungissaan Baselissa 8. Maaliskuuta Tiede Daniel Bernoullin tieteellinen työ keskittyi aluksi matematiikkaan, erityisesti todennäköisyyslaskentaan ja tilastotieteeseen. Myöhemmin hän keskittyi soveltamaan matematiikkaa fysiikkaan. Hänet tunnetaan parhaiten työstään virtausmekaniikan ja elastisuuden parissa. Kuten aiemmassa kappaleessa mainittiin, Daniel julkaisi ensimmäisen merkittävän tieteellisen työnsä vuonna 1724 ollessaan Veneziassa. Työ oli neliosainen matemaattinen teos nimeltään Exercitationes (Mathematical Exercises). Työn ensimmäinen osa käsitteli Faro korttipeliä, sillä ei ole juurikaan tieteellistä merkitystä, mutta se osoittaa, että Daniel tutki siihen aikaan todennäköisyyslaskentaa. Teoksen toinen osa tutki veden virtausta säiliöstä reiän läpi ja käsitteli Newtonin teorioista aiheesta, tässä vaiheessa Daniel ei vielä keksinyt ratkaisua tälle ongelmalle. Kolmas osa käsitteli Riccati differentiaaliyhtälöä (5) ja viimeinen osa käsitteli geometriaa. Tämä työ 10

11 ei siis vielä tuonut mukanaan mullistavia löydöksiä, mutta se näytti mihin suuntaan Danielin tutkimus oli menossa. = + + (5) Veneziassa Daniel teki myös ensimmäisen kontribuutionsa mekaniikan saralla suunnittelemalla tiimalasin laivakäyttöön, jonka hiekan valumisnopeus oli vakio riippumatta laivan heilumisesta. Hän ilmoitti tämän keksinnön Pariisin akatemian tiedekilpailuun vuonna 1724 ja lopulta hän myös voitti sen. Tämä tulisi olemaan vasta Danielin ensimmäinen voitto kyseisessä kilpailussa. Pietarissa ollessaan ja työskennellessään Eulerin kanssa parivaljakko teki suuria edistysaskelia elastisuuden ja palkkiteorian saralla. Yhdessä he kehittivät Euler-Bernoulli palkkiteorian (6), jota käytetään edelleen hyvin paljon lujuusopissa. Tämä teoria on yksi Daniel Bernoullinin merkittävimmistä teoista. Palkkiteorian staattisen tilanteen lisäksi kaksikko käsitteli myös palkkien dynaamista tilannetta ja määrittelivätkin värähtelevän systeemin noodit ja värähtelytaajuudet. = (6) Yhtälössä (6) esiintyy palkin taipuma, jakautunut kuorma, kimmokerroin ja jäyhyysmomentti. Tätä yhtälöä integroimalla voidaan siis ratkaista palkin taipuma, kun tunnetaan siihen vaikuttava jakautunut kuorma (esimerkiksi massa). Kuvassa 8 on esimerkki palkista, joka taipuma voidaan ratkaista yhtälöllä (6). q 0 y x L Kuva 8 Jaukautuneella kuormalla kuormitettu palkki Tärkeimmän työnsä Hydrodynamica Daniel kirjoitti pääosin ollessaan Pietarissa, hän kuitenkin viimeisteli kirjaa vielä neljä vuotta palattuaan Pietarista ja julkaisi sen vasta vuonna Tätä työtä käsitellään tarkemmin kappaleessa Elämänsä aikana Daniel voitti Pariisin akatemian tiedekilpailun pääpalkinnon yhteensä 10 kertaa. Aiheina näissä töissä oli ankkurin optimaalinen muoto (jaettu voitto Giovanni Polenin kanssa 1737), Newtonin teoria nousuvedestä (yhdessä Eulerin kannsa 1740), magnetismi (1743 ja 1746), metodi jolla määrittää kellonaika merellä (1747), merivirrat (1751), voimien vaikutus laivaan (1753) ja lopuksi ehdotus tavasta vähentää laivojen heiluntaa kovassa merenkäynnissä (1757). Näistä aiheista voidaan huomata myös Danielin kiinnostus merenkäyntiä kohtaan. 11

12 3.2.1 Hydrodynamica Daniel Bernoulli julkaisi vuonna 1738 teoksen Hydrodynamica, joka on antanut nimensä hydrodynamiikan tieteenalalle. Tämä teos oli Danielin suurin kontribuutio tieteelle ja se sisälsi useita kohtia, jotka loivat perustaa tulevaisuuden tutkimukselle ja joiden jäljet näkyvät edelleen virtausmekaniikassa. Daniel kirjoitti työn pääasiassa ollessaan Pietarissa, mutta viimeistely kirjaa vielä neljä vuotta sieltä palattuaan. Tunnetuin Hydrodynamicassa julkaistu kohta on nykyisin Bernoullin lakina (7) tunnettu fysiikan laki, joka käsittelee nesteen virtausnopeuden ja paineen välistä yhteyttä. Lain mukaan virtauksen nopeuden muuttuessa sen paineen on muututtava vastakkaiseen suuntaan, jotta virtauksen kokonaisenergia säilyy vakiona. Kuvassa 9 on havainnollistettu tätä ilmiötä suljetun putken virtauksessa. + + = (7) Kuva 9 - Bernoullin laki Daniel esitteli teoksessa myös perusteita kineettisen kaasuteorian synnylle. Hän antoi peruslakeja kaasuteorialle ja esitteli hieman vaillinaisen version yli 100-vuotta myöhemmin julkaistusta van der Waalsin tilanyhtälöstä (8). + = (8) Hydrodynamica antoi myös ensimmäisen oikean ratkaisun ongelmalle, jossa vesi virtaa ulos säiliöstä pienen reiän kautta. Daniel siis palasi tässä takaisin vuoden 1724 paperiinsa, jossa käsiteltiin samaa asiaa. Ongelman ratkaisu onnistui käyttäen energian säilymisperiaatetta, eli käytännössä Bernoullin lakia. Hydrodynamica käsitteli myös muita käytännön aiheita, kuten erilaisia ratkaisua laivojen voimanlähteiksi, pumppuja ja muita vedennostovälineitä. Laivojen voimanlähteisiin liittyi vesisuihkun reaktiovoiman ja vesisuihkun kallistettuun tasoon aiheuttaman voiman käsittely. Kuten aiemmin on mainittu, olivat Danielin ja hänen isänsä välit todella heikot Hydrodynamican julkaisun aikoihin. Isä Johann ei ilmeisesti voinut hyväksyä, että hänen poikansa voisi julkaista jotain niin merkittävää, joten hän kirjoitti oman vastaavanlaisen teoksen Hydraulica ja yritti kirjata 12

13 julkaisupäivän vuoteen 1732, jotta näyttäisi siltä, että Daniel kopioi tätä teosta eikä toisin päin. Tämä huijaus kuitenkin huomattiin nopeasti ja Daniel sai hänelle kuuluvan kunnian. 4. Johtopäätökset Bernoullin suku on ollut erittäin merkittävä tieteen kehitykselle kehittäen monia edelleenkin käytössä olevia lakeja ja menetelmiä matemaattisiin ja fysikaalisiin ongelmiin. Erityisen merkittäviä henkilöitä suvusta ovat olleet veljekset Jacob ja Johann, jotka kehittivät vahvasti differentiaalilaskentaa ja todennäköisyyslaskentaa siihen suuntaan missä ne tällä hetkellä ovat sekä Johannin poika Daniel, joka loi hydrodynamiikan tieteenalan ja pohjan nykyiselle virtausmekaniikalle. Daniel Bernoullin työ Hydrodynamica loi perustan Eulerin ja Stokesin myöhemmälle työlle aiheen parissa ja on lopulta mahdollistanut virtausten laskennan tämän hetkisen tason. 13

14 Lähteet [1] Hart-Davis, Adam et. al.. Science, the Definitive Visual Guide. Lontoo, Iso-Britannia: DK, [2] Fleckenstein, J. Dictionary of Scientific Biography., New York, [3] O'Connor, J & Robertson, E. Jacob Bernoulli. The MacTutor History of Mathematics archive. University of St. Andrews, School of Mathematics and Statistics. [4] "Jakob Bernoulli." Encyclopædia Britannica. Encyclopædia Britannica, [5] Shafer, Glenn. The Significance of Jacob Bernoulli s Ars Conjectandi for the Philosophy of Probability Today. Journal of Econometrics, [6] O'Connor, J & Robertson, E. Johann Bernoulli. The MacTutor History of Mathematics archive. University of St. Andrews, School of Mathematics and Statistics. [7] "Jakob Bernoulli." Encyclopædia Britannica. Encyclopædia Britannica, [8] O'Connor, J & Robertson, E. Nicolaus(I) Bernoulli. The MacTutor History of Mathematics archive. University of St. Andrews, School of Mathematics and Statistics. [9] O'Connor, J & Robertson, E. Nicolaus(II) Bernoulli. The MacTutor History of Mathematics archive. University of St. Andrews, School of Mathematics and Statistics. [10] O'Connor, J & Robertson, E. Johann(II) Bernoulli. The MacTutor History of Mathematics archive. University of St. Andrews, School of Mathematics and Statistics. [11] "Daniel Bernoulli." Encyclopædia Britannica. Encyclopædia Britannica, [12] O'Connor, J & Robertson, E. Daniel Bernoulli. The MacTutor History of Mathematics archive. University of St. Andrews, School of Mathematics and Statistics. 14