nopeasti täydessä toteutuksessa (complete replicate).
|
|
- Antero Siitonen
- 6 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 8. Osittaiset 2 k faktorikokeet Faktoreiden lukumäärän k kasvaessa 2 k koeasetelmassa kasvaa koetoistojen (runs) määrää nopeasti täydessä toteutuksessa (complete replicate). Esimerkiksi 2 6 asetelman täysi toteutus vaatii 64 koetoistoa. Vapausasteita on kaikkiaan 63, joista vain 6 tarvitaan päävaikutusten estimointiin ja 15 toisen asteen yhdysvaikutusten estimoimiseksi. Loput 42 kuluvat kolmannen ja sitä korkeamman asteen yhdysvaikutusten estimointiin. 1
2 Niinpä, jos voidaan olettaa, että korekeamman asteen tekijät ovat käytännön kannalta merkityksettömiä, voidaan alemman asteen vaikutukset estimoida toteuttamalla vain osa täyden asetelman vaihtoehdoista. Tällaista koeasetelmaa sanotaan osittaiseksi faktorikokeeksi (fractional factorial design). Käyttökelpoinen etenkin, kun etsitään merkittäviä faktoreita suuresta määrästä potentiaalisia faktoreita. 2
3 Osittaisten faktorikokeiden käyttökelpoisuus nojautuu kolmeen periaatteeseen: (1) The sparsity of effects principle (Vaikutustekijöiden vähälukuisuus): Ainoastaan päävaikutukset ja alhaisen asteen yhdysvaikutukset vaikuttavat koetulokseen. (2) The projection property (Projisointiominaisuus): Identifioimalla osittaiskokeiden avulla merkittävät faktorit voidaan niiden suhteen toteuttaa korkeamman asteen yhdysvaikutukset sisältävä koe. (3) Sequential experimentation (Peräkkäistoteutus) Kahden tai useamman osittaiskokeen toistot (runs) voidaan yhdistää laajemmaksi asetelmaksi, josta saadan estimoitua halutut pää- ja yhdysvaikutukset. Näihin palataan tuonnempana. 3
4 8.1 The one-half fraction of the 2 k design (2 k kokeen puolitettu ositus) Jos 2 k kokeen toistoista voidaan toteuttaa vain puolet, eli 2 k /2 = 2 k 1, sanotaan asetelmaa 2 k kokeen puolitetuksi osittaiskokeeksi (one-half fraction) tai 2 k 1 asetelmaksi (2 k 1 design). 4
5 Käytännössä puolitettu asetelma toteutetaan siten, että tehdään kokeet, joissa korkeimman asteen yhdysvaikutustekijä on samaa merkkiä. Esimerkki 8.1: 2 3 kokeen puolitettu osakoe 2 3 1, jossa on siis 2 2 = 4 käsittelykombinaatiota. Vaihtoehtoina on toteuttaa käsittelyt, joissa ABC = +1 tai ABC = 1. Vaihtoehdossa ABC = +1 toteutetaan A B C AB AC BC ABC Havaitaan, että AB = C, AC = B ja BC = A, täten kokeessa toisen asteen yhdysvaikutukset sulautuvat päävaikutuksiin, eikä niitä voida erikseen estimoida. 5
6 Itse asiassa estimoitaessa päävaikutuksia A, B ja C, estimoiduksi tuleekin päävaikutusten ja toisen asteen yhdysvaikutusten yhdistetyt tekijät, eli A + BC, B + AC ja C + AB. Tämä on hinta, joka joudutaan osittaiskokeessa maksamaan. Tässä konkretisoituu osittaiskokeen perusoletus: The sparsity of effects principle, joka kokeessa tarkoittaa, että ainoastaan päävaikusten tulisi olla todellisuudessa merkityksellisiä. Vaihtoehto ABC = 1 johtaa käsittelyihin A B C AB AC BC ABC Havaitaan: AB = C, AC = B ja BC = A, eli yhdysvaikutukset jälleen sulautuvat päävaikutuksiin ja kun estimoidaan päävaikutukset A, B ja C estimoidaan itse asiassa A BC, B AC ja C AB. 6
7 Huom. 8.1: Tekijää ABC sanotaan kokeen generaattoriksi. Huom. 8.2: Merkitsemällä ABC:n +1 saraketta 1 1 (1) I = 1 1 vektorilla, sanotaan relaatiota (2) I = ABC koeasetelman määrittäväksi relaatioksi (defining relation). 7
8 Huom. 8.3: Relaation (3) I = +ABC määräämää ositusta sanotaan pääositukseksi (principal fraction) ja (4) I = ABC määräämää ositusta sanotaan komplementaariseksi (complementary) ositukseksi. 8
9 Asetelman resoluutio (design resolution) Edellä olevan esimerkin asetelmaa sanotaan resoluutio III asetelmaksi (resolution III design). Siinä toisen asteen yhdysvaikutukset sulautuvat päävaikutuksiin (tai päävaikutukset sulautuvat toisen asteen tekijöiden kanssa). 9
10 Yleisesti sanotaan, että asetelman resoluutio on R, jos mikään p:n faktorin vaikutus ei sulaudu sellaisten vaikutusten kanssa, jotka muodostuvat vähemmästä kuin R p faktorista asetelmassa R = 3, p = 1 ja päävaikutukset sulautuvat R p = 3 1 = 2 faktorin muodostamiin (yhdys)vaikutuksiin. I = ABC (tai I = ABC) määräämää asetelmaa sanotaan usein myös 2III 3 1 asetelmaksi, joka osoittaa, että kysymyksessä on puolitettu osittaiskoe, jonka resoluutio on III. 10
11 Käytännön sovelluksissa resoluutiot III, IV ja V ovat käytettyjä: III resoluution kokeet (Resolution III designs): Päävaikutukset sulautuvat toisen asteen vaikutusten kanssa, mutta eivät muiden päävaikutukten kanssa. Toisen asteen vaikutukset voivat sulautua muihin toisen asteen vaikutuksiin. IV resoluution kokeet (Resolution IV designs): Päävaikutukset eivät sulaudu päävaikutusten kanssa eivätkä toisen asteen vaikutusten kanssa, mutta toisen asteen vaikutukset ovat sulautuneet joidenkin muiden toisen asteen vaikutusten kanssa. Esimerkiksi 2 4 1, asetelma, jossa I = ABCD, on IV asetelma (2 4 1 IV ). Resoluution V kokeet (Resolution V designs): Päävaikutukset eivätkä toisen asteen vaikutukset sulaudu muihin pää- tai toisen asteen vaikutuksiin. Toisen asteen vaikutukset ovat sulautuneet kolmannen asteen yhdysvaikutusten kanssa. Esimerkiksi 2 5 1, jossa I = ABCDE on V asetelma. 11
12 Tavoitteena on aina korkein mahdollinen resoluutio, jolloin pienin määrä interaktioita sulautuu. 12
13 Puolittaisen osakokeen asetelman konstruointi 2 k puolittaisen asetelman eli 2 k 1 -asetelman korkeimman resoluution koe saadaan konstruoitua muodostamalla täysi 2 k 1 -kokeen asetelma, siten, että viimeinen faktori K = ABC (K 1). 13
14 Esimerkki 8.2: IV -asetelma Full 2 3 factorial IV, I = ABCD Run A B C A B C D = ABC Havaitaan esimerkiksi, että AD = A(ABC) = A 2 BC = BC eli AD sulautuu BC:n kanssa. Huomattavaa kuitenkin on, että valitsemalla mitkä tahansa kolme faktoria, kuten A, C ja D, niin ACD, AC, eikä CD sulaudu mihinkään tekijöiden A, C ja D muodostamiin pää- tai yhdysvaikutuksiin. Toisin sanoen yllä oleva IV 2 3 faktorikokeen. asetelma sisältää täyden 14
15 Huom. 8.4: Mitä tahansa interaktion termiä voidaan käyttää viimeisen (k:nnen) faktorin sarakkeen muodostamiseksi, mutta ainoastaan ABC (K 1) tuottaa korkeimman resoluution mukaisen asetelman. 15
16 Osittaiskokeen projisointi faktorikokeeksi (Projection property): Jokainen resoluution R osittaiskoe sisältää täyden R 1 faktorin kokeen (ks. Esim. 8.2). Toisin sanoen resoluution R koe projisoituu täydeksi R 1 faktorin kokeeksi. Käyttökelpoinen, jos havaitaan, että viimeisellä faktorilla ei ole vaikutusta vastemuuttujaan. Yleistys: Jokainen 2 k 1 prosjisoituu kahden toiston täydeksi 2 k 2 faktorikokeeksi, neljän toiston täydeksi 2 k 3 faktorikokeeksi, jne. 16
17 Esimerkki 8.3: Suodatusesimerkki (Esim. 6.4). Alkuperäinen asetelma on 2 4, jossa on yksi toisto (replicate) kullakin faktorikombinaatiolla. Päävaikutukset A, C ja D sekä yhdysvaikutukset AC ja AD osoittautuivat nollasta poikkeavikisi. Oletetaan, että olisi toteutettu asetelma, jossa I = ABCD, eli IV asetelma (resoluution IV), jossa toteutettavat käsittelyt ovat kuten Esimerkissä 8.2. proc glm:llä toteutettuna saadaan regressioestimaatit tekijöille A, B, C, D, AB, AC, AD. Todellisuudessa edellä olevat tekijät sisältävät myös sulautunvan termin tekijät, eli A A + BCD, B B + ACD, C C + ACD, D D + ABC, AB AB + DC, AC AC + BD, AD AD + BC. 17
18 Title "Design of Experiments: Example 8.3 2ˆ(4-1) resolution IV"; data ex83; input A B C D y; datalines; ; Title2 "Regression coefficients for the full model"; proc glm data = ex83; model y = A B C D A*B A*C A*D /ss3; run; 18
19 Tuloksiksi saadaan: Intercept A [+ BCD] 9.50 B [+ ACD] 0.75 C [+ ABD] 7.00 D [+ ABC] 8.25 AB [+ CD] AC [+ BD] AD [+ BC] 9.50 B:n ja AB:n kertoimet ovat selvästi merkityksettömiä. Pudottamalla ne pois vapautuu kaksi vapausastetta, jolloin voidaan aidosti estimoida jäljellä olevien parametrien merkitsevyyttä. 19
20 Toteuttamalla proc glm data = ex83; model y = A C D A*C A*D /ss3; run; saadaan The GLM Procedure Dependent Variable: y R-Square Coeff Var Root MSE y Mean Source DF Type III SS Mean Square F Value Pr > F A C D A*C A*D Standard Parameter Estimate Error t Value Pr > t Intercept <.0001 A C D A*C A*D
21 Lopputulos on lähes sama kuin Esimerkissä 6.4. Ero johtuu pääasiassa siitä, että kukin tekijä on sulautuneiden tekijöiden summa. Kuitenkin, koska esimerkiksi B:n päävaikustus on merkityksetön, niin on uskottavaa, että myös korkeamman asteen termit, joissa B on mukana ovat merkityksettöminä, eli A + BCD A, AC + BD AC ja AD + BC AD. 21
22 Esimerkki 8.4: asetelma piirilevyn tuotannon parantamisessa. Vastemuuttuja: y: piirilevytuotannon tuottavuus (process yield), sopivissa yksiköissä mitattuna. Faktorit: A: Apperture setting (small, large) B: Exposure time (20 percent below nominal, 20 percent above nominal) C: Develop time (30s, 40s) D: Mask dimension (small, large) E: Etch time (14.5 min, 15.5 min) 22
23 Generaattorin I = ABCDE mukaisen asetelman havainnot: ==================================== Run A B C D E = ABCD y ==================================== Jokainen päävaikutus sulautuu neljännen asteen yhdysvaikutuksen kannsa, esimerkiksi A = BCDE. Vastaavasti jokainen toisen asteen yhdysvaikutus sulautuu jonkin kolmannen asteen yhdysvaikutuksen kanssa, esimerkiksi AB = CDE. 23
24 Kuitenkaan päävaikutukset eivätkä toisen asteen vaikutukset sulaudu muihin päävaikutuksiin tai toisen asteen vaikutuksiin. Täten kysymyksessä on resoluution V asetelma, eli V koeasetelma. 24
25 SAS-ajo: Title "Design of Experiments, Example 8.4"; Title2 "Integrated circuit process improvement"; options ls = 80; data example84; input A B C D E y; label A = "Aperture: -1 = small, +1 = large" B = "Exposure time: -1 = -20%, +1 = +20%" C = "Develop time: -1 = 30s, +1 = 40s" D = "Mask dimension: -1 = Small, +1 = Large" E = "Etch time: -1 = 14.5 min, +1 = 15.5 min" y = "Process yield"; datalines; ; run; proc glm data = example84; Title3 "Regression coefficients"; model y = A B C D E@2; run; quit; 25
26 Kokoamalla tulokset estimoinnista, saadaan ======================================================== Regression Effect Coefficient Estimate Parameter Estimate (= 2 x reg coeff) SS Intercept A B C D E A*B A*C A*D A*E B*C B*D B*E C*D C*E D*E ======================================================== Huom. Regressio-kertoimet ilmaisevat yhden yksik\"on muutoksen ja "effect estimate" ilmaisee muutoksen -1:sta +1:een, eli kahden yksikon muuoksen. Taten effect estimate = 2 x regression coefficeint. 26
27 Silmämääräisesti havaitaan välittömästi, että muut kuin päävaikutukset A (= A + BCDE), B (= B + ACDE), C (= C +ABDE) ja yhdysvaikutus AB (= AB +CDE) ovat selvästi vähämerkityksellisiä. Alla oleva normaalijakauman kvantiilikuvio (qq-plot) vahvistaa tämän näkemyksen. Huom. Vaikka kaikkiin termeihin sulautuu korkeamman asteen termejä, ne eivät ole ilmeisesti merkityksellisiä, sillä kaikki sulautuvat tekijät ovat vähintään kolmatta astetta, eikä mikään niistä sinänsä näytä olevan merkityksellinen. 27
28 Normal Quantile Plot 2 A B 1 AB C Tulkitsemalla merkityksettömät termit satunnaiskohinaksi ja tekijät muuttujiksi, jotka saavat arvoja välillä [ 1, 1], estimoidaan malli (5) y = μ + β a A + β a B + β c C + β ab AB + ε. Saadaan: proc glm data = example84; model y = A B C A*B; run; 28
29 R-Square Coeff Var Root MSE y Mean Source DF Type III SS Mean Square F Value Pr > F A <.0001 B <.0001 C <.0001 A*B <.0001 Standard Parameter Estimate Error t Value Pr > t Intercept <.0001 A <.0001 B <.0001 C <.0001 A*B <
30 1 s r e s yhat Residuaalikuviot näyttävät jäännösten olevan satunnaisia. Regressiokertoimet ovat positiivisia, joten tuotos maksimoituu, kun faktoreiden arvot valitaan +1:stä vastaaviksi. 30
31 Peräkkäisyys (Sequences of Fractional Factorials) Osaittaisfaktorikokeiden etu on niiden ekonomisuus ja tehokkuus. Edut korostuvat, jos koeasetelmat on tehtävissä peräkkäin. 31
32 Esimerkiksi k = 4 faktorin kokeessa täydessä kokeessa on 2 4 = 16 käsittelykombinaatiota. Yleensä kannattaa toteuttaa koe peräkkäisenä sitem, että ensin toteutetaan IV asetelma, esimerkiksi I = ABCD (kahdeksan käsittelyä). Jos ei saada selkeää kuvaa faktoreiden (yhdys) vaikutuksista, voidaan toteuttaa I = ABCD. Tällöin koko koe muodostaa lohkokokeen, jossa lohkotekijänä on ABCD. Korkein yhdysvaikutus (ABCD) informaatio menetetään, mutta useimmissa tapauksissa tätä toista puolikasta ei tarvitse toteuttaa, jolloin syntyy (merkittävä) säästö. 32
33 Esimerkki 8.5: Tarkastellaan Esimerkin 8.1 (Esim. 6.4 aineisto) komplementaarista puolta (I = ABCD) =============== A B C D y =============== 33
34 ========================================= I = ABCD A B C D AB AC AD y = mean(factor. y) ========================================= ======================================================== I = -ABCD A B C D AB AC AD y ======================================================== 34
35 ================================== Aliased effects in I = -ABCD in I = ABCD A - BCD = A + BCD = 19.0 B - ACD = 4.75 B + ACD = 1.5 C - ABD = 5.75 C + ABD = 14.0 D - ABC = D + ABC = 16.5 AB - CD = 1.25 AB + CD = -1.0 AC - BD = AC + BD = AD - BC = AD + BC = 19.0 ================================== True Effect Estimates (from the Aliased effects) A = = [(A-BCD)+(A+BCD)]/2 B = 3.13 C = 9.88 D = AB = 0.13 AC = AD = ABC = 1.88 = [(D+ABC)-(D-ABC)]/2 ABD = 4.13 ACD = BCD = Havaitaan, että estimaatit (= 2 reg.coeff) ovat samat kuin alkuperäisessä täydessä kokeessa. Yhdysvaikutuksista ainoastaan AC ja AD ovat merkityksellisiä, 35
36 8.2 The One-Quarter Fraction of the 2 k Design (2 k asetelman neljännes ositus) 2 k -asetelman neljännesositus saadaan, kun kokeesta tehdään 2 k 2 = 2 k /4 käsittelykombinaatiota. Toteutus: Laaditaan 2 k 2 asetelmaa vastaava täysi faktorikoe ja määrätään jäljelle jäävien kahden faktorin käsittelyt kahden sopivan yhdysvaikutuksen avulla. Täten 2 k 2 asetelmassa on kaksi generaattoria. Merkitään generaattoreita P :llä ja Q:lla. I = P ja I = Q ovat asetelman generoivat relaatiot. 36
37 Generaattorin etumerkki määrää minkä neljänneksen mukaan koe toteutetaan. ±P ja ±Q ovat P :n ja Q:n muodostman generaattoriperheen jäseniä. Ositus, jossa molemmat P ja Q ovat positiivisia määrittää pääosituksen (pricnipal fraction). 37
38 Asetelman (täysin) määrittävä relaatio (complete defining relation) muodostuu sarakkeiden mukaan, jotka ovat ykkösvektoreita (= I). Näitä ovat P, Q ja P Q (I = P = Q = P Q). Termiä P Q sanotaan yleistetyksi yhdysvaikutukseksi (generalized interaction). Tekijöitä P, Q ja P Q määrittävässä relaatiossa kutsutaan sanoiksi (words). Huom. 8.5: Asetelman resoluutio on sama kuin määrittävän generaattorin lyhimmän sanan pituus (eli kirjaimien lukumäärä). Sulautuvat tekijät, joita sanotaan usein myös alias tekijöiksi, muodostuvat kun kerrotaan tekijöiden sarakkeet P :llä Q:lla ja P Q:lla. 38
39 Esimerkki 8.6: aliasrakenne. Valitaan generaattorit I = ABCE ja I = BCDF. Asetelman määrittävä relaatio on tällöin (6) I = ABCE = BCDF = ADEF, joten asetelman resoluutio on IV. Aliasrakenne (sulautumiset) ================================================= A = BCE = DEF = ABCDF AB = CE = ACDF = BDEF B = ACE = CDF = ABDEF AC = BE = ABDF = CDEF C = ABE = BDF = ACDEF AD = EF = BCDE = ABCF D = BCF = AEF = ABCDE AE = BC = DF = ABCDEF E = ABC = ADF = BCDEF AF = DE = BCEF = ABCD F = BCD = ADE = ABCEF BD = CF = ACDE = ABEF BF = CD = ACEF = ABDE ABD = CDE = ACF = BEF ACD = BDE = ABF = CEF ================================================= Täten, kun estimoidaan päävaikutus A, estimoidaan tosiasiassa efekti A + BCE + DEF + ABCDF. 39
40 Taulukosta havaitaan, että jokainen päävaikutus sulautuu joidenkin kolmen ja viiden faktorin yhdysvaikutusten kanssa, mutta ei toisen asteen vaikutusten kanssa. Toisen asteen vaikutukset ovat sulautuneet joidenkin toisen asteen vaikutusten kanssa. Täten kysymyksessä tosiaankin on resoluution IV, eli IV asetelma. 40
41 Esimerkki 8.7: Parts manufacture in an injection molding process show excessive shrinkage. Six factors impact on the shrinkage are investigated: A: Mold temperature B: Screw speed C: Holding time D: Cycle time E: Gate size F : Holding pressure Each factor has two levels. y: Shrinkage in percentage (response variable) design is used with one replicate, i.e a 16 runs two-level fractional factorial design. Generating relations: I = ABCE and I = BCDF. Complete generating relations: I = ABCE = BCDF = ADEF, implying a IV design. 41
42 Data: ================================== Basic design A B C D E = ABC F = BCD y ================================= 42
43 SAS-ajo options ls = 80; Title "Example 8.7: Injection Molding Process"; Title2 "A 2ˆ6-2 Resolution IV Design"; data example86; input A B C D y; E = A*B*C; F = B*C*D; label A = "Mold temperature" B = "Screw speed" C = "Holding time" D = "Cycle time" E = "Gate size" F = "Holding pressure" y = "Shrinkage of manufatured parts (x 10)"; datalines; ; run; proc glm data = example86; Title3 "Regression Estimates of the Full Model"; model y = A B C D E F A*B A*C A*D A*E A*F B*D B*F A*B*D A*C*D / ss3; run; quit; 43
44 =================================== Parameter Estimate SS Intercept A B C D E F A*B A*C A*D A*E A*F B*D B*F A*B*D A*C*D =================================== Tekijöiden A (alias A + BCE + DEF + ABCDF), B (B + ACE + CDF + ABDEF) ja AB (AB + CE + ACDF + BDEF) kertoimet poikkeavat ainoastaan merkittävästi nollata. Tämä näkyy selvästi narmaalijakauman kavantiilikuviosta. 44
45 Regressiokertoimien normaalijakauman qq-plot (vasen kuvio) ja AB-interaktio (oikealla) AB A B B+ Normal value (z) Shrinkage B B- B Factor regression estimate Mold temperature (A) Merkittäviä tekijöitä ovat siis vain A ja B sekä niiden yhdysvaikutus. Oikean puolen kuvioista nähdään, että prosessiiin ei paljoakaan vaikuta A:n taso (mold temperature), jos B (screw speed) on -1 eli alhaalla. Sen sijaan prosessi on sensitiivinen lämpötilalle, jos B on +1 (screw speed high). Pitämällä B alhaalla on kutistuminen noin 10 prosentin luokkaa riippumatta lämpötilasta. Pienimpään kutistumaan päästään siis, kun A ja B ovat alimmissa arvoissaan. 45
46 A B 6 AB 4 Normal value (z) Residuals Residual Factor C Residuaalien normaalisuuskuvio ei osoita suurempia poikkeamia. Residuaalien variaatio näyttää kuitenkin olevan riippuvainen C:n arvoista. Säätämällä C alimpaan arvoon minimoituu myös vaihtelu, eli tuotteet ovat homogeenisempia. 46
47 Huom. 8.6: IV asetelma voidaan projisoida yhden toiston täydeksi 2 4 faktorikokeeksi, kahden toiston 2 3 kokeeksi ja neljän toiston 2 2 kokeeksi. Esimerkki 8.8: Esimerkissä 8.7 vain faktoreilla A ja B sekä yhdysvaikutuksella AB on vaikutusta, joten yllä oleva koe projisoitui 2 2 kokeeksi, jossa on n = 4 toistoa per käsittely kombinaatio. Huom 8.7: Yleisesi 2 k 2 osakoe voidaan projisoida joidenkin r:n faktorin, r k 2 täydeksi faktorikokeeksi tai osakokeeksi. Täydet 2 r kokeet voidaan muodostaa faktoreista, joiden kombinaatiot eivät muodosta sanoja (words) täysin määrittävässä relaatiossa (complete defining relation, I = P = Q = P Q). 47
48 8.3 Yleinen 2 k p Osakoe (General 2 k p Fractional Factorial Design) 2 k -kokeen osakoetta, jossa totetutetaan 2 k p käsittelykombinaatiota sanotaan 2 k -kokeen 1/2 p -osakokeeksi, lyhysti 2 k p -osakokeeksi (2 k p fractional factorial design). Määrittävä relaatio (complete defining relation) muodostuu p:stä (riippumattomasta) generaattorista ja niiden 2 p p 1 yleistetystä yhdysvaikutuksesta. Aliasrakenne saadaan selville kertomalla jokainen pää- ja yhdysvaikutustemi määrittävän relaation tekijöillä. 48
49 Resoluutio ilmaisee kuinka pahasti asetelman vaikutukset ovat sulautuneita (mitä alhaisempi sitä huonompi). Lähtökohtaisesti generaattorit valitaan siten, että saavutetaan mahdollisimman korkea resoluutio. Lisäksi, jos on useampia saman resoluutiotason asetelmia, niin yleensä kannattaa valita se, jolla on vähiten alimman tason aliasrekanteita. 49
50 Esimerkki 8.8: Kolmen IV asetelman kahden faktorin interaktion aliasrakenteet: Generaattorit I Generaattorit II Generaattorit III F = ABC F = ABC F = ABCD G = BCD G = ADE G = ABDE AB = AC AB = AF CE = F G AC = BF AC = BF CF = EG AD = F G AD = EG CG = EF AG = DF AE = DG BD = CG AF = BC BG = CD AG = DE AF = BC = DG Vähiten toisen asteen yhdysvaikutusten aliasrakenteita muodostuu generaattoreiden III mukaisessa asetelmassa, joten se on paras vaihtoehto. 50
51 Määrittävän relaation (complete defining relation) sanojen pituuskaavio (length pattern) on lukujono, jossa kukin luku ilmaisee vastaavan sanan pituuden relaatiossa. Esimerkiksi asetelman määrittävn relaation I = ABCF = BCDG = ADF G pituuskaavio on {4, 4, 4}. Määrittävä relaatio, jossa on pienin määrä pituudeltaan lyhimpiä sanoja muodostaa pienimmän aberraation asetelman (minimum aberration design). 51
52 Voidaan osoittaa, että minimoimalla aberraatio resoluution R asetelmassa takaa, että pienin määrä päävaikutuksia sulautuu asteen R 1 yhdysvaikutusten kanssa, pienin määrä kahden tekijän yhdysvaikutuksia sulautuu asteen R 2 yhdysvaikutustan kanssa, jne. Esimerkki 8.9: Esimerkin 8.8 astelmien pituuskaaviot: I: 4, 4, 4, II: 4, 4, 5 ja III: 5, 5, 4. Täten asetelmassa III on pienin määrä lyhimpiä sanoja, joten se on pienimmän aberraation asetelma. Seuraavan sivun taulukkoon on koottu pienimmän aberraation asetelmia, kun k 8. 52
53 Selected 2 k p Fractional Factorial Designs: Number of Number Design factors,k Fraction of runs generators III 4 C = ±AC IV 8 D = ±ABC V 16 E = ±ABCD IV 8 D = ±AB E = ±AC VI 32 F = ±ABCDE IV 16 E = ±ABC F = ±BCD III 8 D = ±AB E = ±AC F = ±BC VII 64 G = ±ABCDEF IV 32 F = ±ABCD G = ±ABDE IV 16 E = ±ABC F = ±BCD G = ±ACD V 64 G = ±ABCD H = ±ABEF IV 32 F = ±ABC G = ±ABD H = ±BCDE IV 16 E = ±BCD F = ±ACD G = ±ABC H = ±ABD 53
54 Esimerkki 8.9: Olkoon k = 7 ja tavoitteena on estimoida päävaikutukset ja saada joitain käsitystä toisen asteen yhdysvaikutuksia. Kolmen ja korkeamman asteen yhdysvaikutusten uskotaan olevan käytännössä merkityksettömiä. Näillä perusteilla resoluution IV asetelma on sopiva, sillä siinä päävaikutukset eivät sulaudu toisen asteen termien kanssa. Toisen asteen termit sulautuvat johinkin toisen asteen termeihin (tarkoituksena onkin saada jotain käsitystä toisen asteen yhdysvaikutuksista). Yllä olevan taukukon mukaan vaihtoehtoina ovat IV (1/8 ositus, 16 tois- (1/4 ositus, 32 toistoa) tai IV toa). 54
55 Tutkimalla aliasrakenteita tehdään lopullinen valinta. (ks. /pri/section3/eqns/2to7m2.txt ja /pri/section3/eqns/2to7m3.txt) Tässä tavoitteisiin nähden riittäväksi osoittautuu IV - asetelma. 55
56 8.4 Placket-Burman asetelmat Placket-Burman (PB) koeasetelmat ovat osittaiskokeita, joissa voi olla maksimissaan k = N 1 faktoria, missä N neljällä jaollinen toistojen lukumäärä (12, 20, 24, 28, 36). Jos N on kakkosen potenssi, PB-asetelma palautuu tavanomaiseksi osittaiskokeeksi. PB-asetelmaa voidaan käyttää tapauksissa, joissa yhdysvaikutusten oletetaan olevan merkityksettömiä. Tällöin suuresta määrästä faktoreita voidaan PB-menetelmällä tehokkaasti seuloa tärkeimmät. Lisää asiasta: 56
8. Osittaiset 2 k faktorikokeet. Niinpä, jos voidaan olettaa, että korekeamman
8. Osittaiset 2 k faktorikokeet Faktoreiden lukumäärän k kasvaessa 2 k koeasetelmassa kasvaa koetoistojen (runs) määrää nopeasti täydessä toteutuksessa (complete replicate). Esimerkiksi 2 6 asetelman täysi
Lisätiedotproc glm data = ex61; Title2 "Aliasing Structure of the 2_IV^(5-1) design"; model y = A B C D E /Aliasing; run; quit;
Title "Exercises 6"; Data ex61; input A B C D E y @@; Label A = "Furnance Temperature" B = "Heating Time" C = "Transfer Time" D = "Hold Down Time" E = "Quench of Oil Temperature" y = "Free Height of Leaf
Lisätiedot8. Osittaiset 2 k faktorikokeet. Niinpä, jos voidaan olettaa, että korekeamman
8. Osittaiset 2 k faktorikokeet Faktoreiden lukumäärän k kasvaessa 2 k koeasetelmassa kasvaa koetoistojen (runs) määrää nopeasti täydessä toteutuksessa (complete replicate). Esimerkiksi 2 6 asetelman täysi
LisätiedotLohkotekijät muodostuvat faktoreista, joiden suhteen ei voida tehdä (täydellistä) satunnaistamista.
7. Lohkominen ja sulautus 2 k kokeissa Lohkominen (Blocking) Lohkotekijät muodostuvat faktoreista, joiden suhteen ei voida tehdä (täydellistä) satunnaistamista. Esimerkiksi faktorikokeessa raaka-aine-erät
Lisätiedot7. Lohkominen ja sulautus 2 k kokeissa. Lohkominen (Blocking)
7. Lohkominen ja sulautus 2 k kokeissa Lohkominen (Blocking) Lohkotekijät muodostuvat faktoreista, joiden suhteen ei voida tehdä (täydellistä) satunnaistamista. Esimerkiksi faktorikokeessa raaka-aine-erät
Lisätiedot7. Lohkominen ja sulautus 2 k kokeissa. Lohkominen (Blocking)
7. Lohkominen ja sulautus 2 k kokeissa Lohkominen (Blocking) Lohkotekijät muodostuvat faktoreista, joiden suhteen ei voida tehdä (täydellistä) satunnaistamista. Esimerkiksi faktorikokeessa raaka-aine-erät
LisätiedotOsafaktorikokeet. Heliövaara 1
Osafaktorikokeet Heliövaara 1 Osafaktorikokeet Kun faktorien määrä 2 k -faktorikokeessa kasvaa, tarvittavien havaintojen määrä voi ylittää kokeentekijän resurssit. Myös estimoitavien korkean asteen yhdysvaikutustermien
LisätiedotLähtökohta: k faktoria, kullakin kaksi tasoa ("high", "low"). tulee katettua (complete replicate). Havaintojen
6. 2 k faktorikokeet Lähtökohta: k faktoria, kullakin kaksi tasoa ("high", "low"). Vähintään 2 k havaintoa, jotta kaikki vaihtoehdot tulee katettua (complete replicate). Havaintojen kokonaismäärä N = 2
LisätiedotOsafaktorikokeet. Kurssipalautetta voi antaa Oodissa Kuusinen/Heliövaara 1
Osafaktorikokeet Kurssipalautetta voi antaa Oodissa 27.4.-25.5. Kuusinen/Heliövaara 1 Osafaktorikokeet Kun faktorien määrä 2 k -faktorikokeessa kasvaa, tarvittavien havaintojen määrä voi ylittää kokeen
Lisätiedot6. 2 k faktorikokeet. Lähtökohta: k faktoria, kullakin kaksi tasoa ("high", "low"). määrä per faktoritasokombinaatio (balansoidussa)kokeessa.
6. 2 k faktorikokeet Lähtökohta: k faktoria, kullakin kaksi tasoa ("high", "low"). Vähintään 2 k havaintoa, jotta kaikki vaihtoehdot tulee katettua (complete replicate). Havaintojen kokonaismäärä N =2
Lisätiedot2 k -faktorikokeet. Vilkkumaa / Kuusinen 1
2 k -faktorikokeet Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi 2 k -faktorikoe on k-suuntaisen varianssianalyysin erikoistapaus, jossa kaikilla tekijöillä on vain kaksi tasoa, matala (-) ja korkea (+). 2 k -faktorikoetta
Lisätiedot6. 2 k faktorikokeet. Lähtökohta: k faktoria, kullakin kaksi tasoa ("high", "low"). määrä per faktoritasokombinaatio (balansoidussa)kokeessa.
6. 2 k faktorikokeet Lähtökohta: k faktoria, kullakin kaksi tasoa ("high", "low"). Vähintään 2 k havaintoa, jotta kaikki vaihtoehdot tulee katettua (complete replicate). Havaintojen kokonaismäärä N =2
LisätiedotFaktorikokeilla tarkoitetaan koesuunnitelmaa, jossa koe toistetaan kaikilla faktoreiden tasojen kombninaatioilla.
5. Johdatus faktorikokeisiin 5.1 Taustaa Faktorikokeilla tarkoitetaan koesuunnitelmaa, jossa koe toistetaan kaikilla faktoreiden tasojen kombninaatioilla. Täten, jos faktorilla A on a tasoa ja faktorilla
Lisätiedot5. Johdatus faktorikokeisiin. Tekijän omaa vaikutusta vastemuuttujaan sanotaan. 5.1 Taustaa
5. Johdatus faktorikokeisiin 5.1 Taustaa Faktorikokeilla tarkoitetaan koesuunnitelmaa, jossa koe toistetaan kaikilla faktoreiden tasojen kombninaatioilla. Täten, jos faktorilla A on a tasoa ja faktorilla
Lisätiedot5. Johdatus faktorikokeisiin. Tekijän omaa vaikutusta vastemuuttujaan sanotaan. 5.1 Taustaa
5. Johdatus faktorikokeisiin 5.1 Taustaa Faktorikokeilla tarkoitetaan koesuunnitelmaa, jossa koe toistetaan kaikilla faktoreiden tasojen kombninaatioilla. Täten, jos faktorilla A on a tasoa ja faktorilla
Lisätiedot9.1 Hierarkiset asetelmat (Nested Designs)
9. Muita koeasetelmia 9.1 Hierarkiset asetelmat (Nested Designs) Tietyissä koetilanteissa yhden faktorin tasot ovat samanlaisia joskaan ei täysin identtisiä toisen faktorin eri tasoilla. Tällaista asetelmaa
LisätiedotKaksitasoiset hierarkiset asetelmat (Two-Stage Nested Designs) 9. Muita koeasetelmia. 9.1 Hierarkiset asetelmat (Nested Designs)
9. Muita koeasetelmia 9.1 Hierarkiset asetelmat (Nested Designs) Tietyissä koetilanteissa yhden faktorin tasot ovat samanlaisia joskaan ei täysin identtisiä toisen faktorin eri tasoilla. Tällaista asetelmaa
LisätiedotKoesuunnittelu 2 k -faktorikokeet. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Koesuunnittelu 2 k -faktorikokeet TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 2 k -faktorikokeet 2 2 -faktorikokeet 2 3 -faktorikokeet 2 k -faktorikokeet TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 2 2 k -faktorikokeet: Mitä opimme?
LisätiedotTässä harjoituksessa käydään läpi R-ohjelman käyttöä esimerkkidatan avulla. eli matriisissa on 200 riviä (havainnot) ja 7 saraketta (mittaus-arvot)
R-ohjelman käyttö data-analyysissä Panu Somervuo 2014 Tässä harjoituksessa käydään läpi R-ohjelman käyttöä esimerkkidatan avulla. 0) käynnistetään R-ohjelma Huom.1 allaolevissa ohjeissa '>' merkki on R:n
LisätiedotA250A0050 Ekonometrian perusteet Tentti
A250A0050 Ekonometrian perusteet Tentti 28.9.2016 Tentissä ei saa käyttää laskinta. Tentistä saa max 80 pistettä. Hyväksytysti suoritetusta harjoitustyöstä saa max 20 pistettä. Huom. Merkitse vastauspaperin
Lisätiedot9. Muita koeasetelmia. Kaksitasoiset hierarkiset asetelmat (Two-Stage Nested Designs) 9.1 Hierarkiset asetelmat (Nested Designs)
9. Muita koeasetelmia 9.1 Hierarkiset asetelmat (Nested Designs) Tietyissä koetilanteissa yhden faktorin tasot ovat samanlaisia joskaan ei täysin identtisiä toisen faktorin eri tasoilla. Tällaista asetelmaa
LisätiedotKeskipisteen lisääminen 2 k -faktorikokeeseen (ks. Montgomery 9-6)
Mat-.3 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit kevät Keskipisteen lisääminen k -faktorikokeeseen (ks. Montgomery 9-6) Esim (Montg. ex. 9-, 6-): Tutkitaan kemiallisen prosessin saannon Y riippuvuutta faktoreista
LisätiedotKertausluento. Vilkkumaa / Kuusinen 1
Kertausluento Vilkkumaa / Kuusinen 1 Kokeellinen tutkimus Kokeellisessa tutkimuksessa on tavoitteena selvittää, miten erilaiset käsittelyt vaikuttavat tutkimuksen kohteisiin - Esim. miten lämpötila ja
LisätiedotTekijä Pitkä matematiikka On osoitettava, että jana DE sivun AB kanssa yhdensuuntainen ja sen pituus on 4 5
Tekijä Pitkä matematiikka 6..06 8 On osoitettava, että jana DE sivun AB kanssa yhdensuuntainen ja sen pituus on 5 sivun AB pituudesta. Pitää siis osoittaa, että DE = AB. 5 Muodostetaan vektori DE. DE =
LisätiedotVARIANSSIANALYYSI ANALYSIS OF VARIANCE
VARIANSSIANALYYSI ANALYSIS OF VARIANCE 1 Suomalaisten aikuisten pituusjakauma:.8.7.6.5.4.3.2.1 14 15 16 17 18 19 2 21 Jakauma ei ole normaali, sen olettaminen sellaiseksi johtaa virheellisiin päätelmiin.
LisätiedotLohkoasetelmat. Vilkkumaa / Kuusinen 1
Lohkoasetelmat Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi 1/3 Kaksisuuntaisella varianssianalyysilla voidaan tutkia kahden tekijän A ja B vaikutusta sekä niiden yhdysvaikutusta tutkimuksen kohteeseen Kaksisuuntaisessa
LisätiedotVastepintamenetelmä. Kuusinen/Heliövaara 1
Vastepintamenetelmä Kuusinen/Heliövaara 1 Vastepintamenetelmä Vastepintamenetelmässä pyritään vasteen riippuvuutta siihen vaikuttavista tekijöistä approksimoimaan tekijöiden polynomimuotoisella funktiolla,
LisätiedotTavoite on eliminoida sen vaikutus koetuloksista. 4. Satunnaistetut lohkokokeet, latinalaiset neliöt ja vastaavat asetelmat. Eliminointimenetelmiä:
4. Satunnaistetut lohkokokeet, latinalaiset neliöt ja vastaavat asetelmat 4.1 Satunnaistettu lohkokoe (Randomized Block Design) Kiusatekijä (nuisance factor): Kiusatekijä on taustatekijä, joka voi vaikuttaa
LisätiedotLohkoasetelmat. Heliövaara 1
Lohkoasetelmat Heliövaara 1 Kiusatekijä Kaikissa kokeissa, kokeen tuloksiin voi vaikuttaa vaihtelu joka johtuu kiusatekijästä. Kiusatekijä on tekijä, jolla mahdollisesti on vaikutusta vastemuuttujan arvoon,
LisätiedotHilbertin aksioomat ja tarvittavat määritelmät Tiivistelmä Geometria-luentomonisteesta Heikki Pitkänen
Hilbertin aksioomat ja tarvittavat määritelmät Tiivistelmä Geometria-luentomonisteesta Heikki Pitkänen 1. Hilbertin aksioomat 1-3 Oletetaan tunnetuiksi peruskäsitteet: piste, suora ja suora kulkee pisteen
LisätiedotTilastollinen vastepintamallinnus: kokeiden suunnittelu, regressiomallin analyysi, ja vasteen optimointi. Esimerkit laskettu JMP:llä
Tilastollinen vastepintamallinnus: kokeiden suunnittelu, regressiomallin analyysi, ja vasteen optimointi Esimerkit laskettu JMP:llä Antti Hyttinen Tampereen teknillinen yliopisto 29.12.2003 ii Ohjelmien
LisätiedotVastaukset 1. A = (-4,3) B = (6,1) C = (4,8) D = (-7,-1) E = (-1,0) F = (3,-3) G = (7,-9) 3. tämä on ihan helppoa
Vastaukset 1. A = (4,3) B = (6,1) C = (4,8) D = (7,1) E = (1,0) F = (3,3) G = (7,9) 2. 3. tämä on ihan helppoa 4. 5. a) (0, 0) b) Kolmannessa c) Ensimmäisessä d) toisessa ja neljännessä 117 6. 7. 8. esimerkiksi
Lisätiedot[MTTTA] TILASTOMENETELMIEN PERUSTEET, KEVÄT 209 https://coursepages.uta.fi/mttta/kevat-209/ HARJOITUS 5 viikko 8 RYHMÄT: ke 2.5 3.45 ls. C6 Leppälä to 08.30 0.00 ls. C6 Korhonen to 2.5 3.45 ls. C6 Korhonen
LisätiedotResiduaalit. Residuaalit. UK Ger Fra US Austria. Maat
TAMPEREEN YLIOPISTO Tilastollisen mallintamisen harjoitustyö Teemu Kivioja ja Mika Helminen Epätasapainoisen koeasetelman analyysi Worksheet 5 Matematiikan, tilastotieteen ja filosofian laitos Tilastotiede
LisätiedotKaksisuuntaisen varianssianalyysin tilastollisessa malli voidaan esittää seuraavassa muodossa:
Mat-.03 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit Mat-.03 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat: Kaksisuuntainen varianssianalsi Aritmeettinen keskiarvo, Estimointi, F-testi,
LisätiedotLatinalaiset neliöt. Latinalaiset neliöt. Latinalaiset neliöt. Latinalaiset neliöt: Mitä opimme? Latinalaiset neliöt
TKK (c) Ilkka Mellin (005) Koesuunnittelu TKK (c) Ilkka Mellin (005) : Mitä opimme? Tarkastelemme tässä luvussa seuraavaa kysymystä: Miten varianssianalyysissa tutkitaan yhden tekijän vaikutusta vastemuuttujaan,
LisätiedotJakaumien merkitys biologisissa havaintoaineistoissa: Löytyykö ratkaisu Yleistetyistä Lineaarisista (Seka)Malleista?
1 Hydrobiologian tutkijaseminaari 20.3.2000 Jakaumien merkitys biologisissa havaintoaineistoissa: Löytyykö ratkaisu Yleistetyistä Lineaarisista (Seka)Malleista? Jari Hänninen Turun yliopisto Saaristomeren
LisätiedotLukumäärän laskeminen 1/7 Sisältö ESITIEDOT:
Lukumäärän laskeminen 1/7 Sisältö Samapituisten merkkijonojen lukumäärä I Olkoon tehtävänä muodostaa annetuista merkeistä (olioista, alkioista) a 1,a 2,a 3,..., a n jonoja, joissa on p kappaletta merkkejä.
LisätiedotRegressioanalyysi. Vilkkumaa / Kuusinen 1
Regressioanalyysi Vilkkumaa / Kuusinen 1 Regressioanalyysin idea ja tavoitteet Regressioanalyysin idea: Halutaan selittää selitettävän muuttujan havaittujen arvojen vaihtelua selittävien muuttujien havaittujen
LisätiedotRegressioanalyysi. Kuusinen/Heliövaara 1
Regressioanalyysi Kuusinen/Heliövaara 1 Regressioanalyysin idea ja tavoitteet Regressioanalyysin idea: Oletetaan, että haluamme selittää jonkin selitettävän muuttujan havaittujen arvojen vaihtelun joidenkin
Lisätiedota) Arkistokatu ja Maaherrankatu ovat yhdensuuntaiset. Väite siis pitää paikkansa.
Tekijä MAA3 Geometria 14.8.2016 1 a) Arkistokatu ja Maaherrankatu ovat yhdensuuntaiset. Väite siis pitää paikkansa. b) Pirttiniemenkatu ja Tenholankatu eivät ole yhdensuuntaisia. Väite ei siis pidä paikkaansa.
LisätiedotVastepintamenetelmä. Vilkkumaa / Kuusinen 1
Vastepintamenetelmä Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Varianssianalyysissa tutkitaan tekijöiden vaikutusta vasteeseen siten, että tekijöiden tasot on ennalta valittu. - Esim. tutkitaan kemiallisen prosessin
LisätiedotTilastollisen analyysin perusteet Luento 9: Moniulotteinen lineaarinen. regressio
Tilastollisen analyysin perusteet Luento 9: lineaarinen lineaarinen Sisältö lineaarinen lineaarinen lineaarinen Lineaarinen Oletetaan, että meillä on n kappaletta (x 1, y 1 ), (x 2, y 2 )..., (x n, y n
Lisätiedotx 7 3 4x x 7 4x 3 ( 7 4)x 3 : ( 7 4), 7 4 1,35 < ln x + 1 = ln ln u 2 3u 4 = 0 (u 4)(u + 1) = 0 ei ratkaisua
Mallivastaukset - Harjoituskoe E E a) x 7 3 4x x 7 4x 3 ( 7 4)x 3 : ( 7 4), 7 4,35 < 0 x 3 7 4 b) 0 / x + dx = 0 ln x + = ln + ln 0 + = ln 0 Vastaus: ln c) x 4 3x 4 = 0 Sijoitetaan x = u Tulon nollasääntö
Lisätiedot1. PÄÄTTELY YHDEN SELITTÄJÄN LINEAARISESTA REGRESSIOMALLISTA
Mat-2.104 Tilastollisen analyysin perusteet / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat Päättely yhden selittäjän lineaarisesta regressiomallista Ennustaminen, Ennuste, Ennusteen luottamusväli, Estimaatti, Estimaattori,
Lisätiedotc) Vektorit ovat samat, jos ne ovat samansuuntaiset ja yhtä pitkät. Vektorin a kanssa sama vektori on vektori d.
Tekijä Pitkä matematiikka 4 9.12.2016 20 a) Vektorin a kanssa samansuuntaisia ovat vektorit b ja d. b) Vektorit ovat erisuuntaiset, jos ne eivät ole yhdensuuntaiset (samansuuntaiset tai vastakkaissuuntaiset).
LisätiedotEsim Brand lkm keskiarvo keskihajonta A ,28 5,977 B ,06 3,866 C ,95 4,501
Esim. 2.1.1. Brand lkm keskiarvo keskihajonta A 10 251,28 5,977 B 10 261,06 3,866 C 10 269,95 4,501 y = 260, 76, n = 30 SS 1 = (n 1 1)s 2 1 = (10 1)5, 977 2 321, 52 SS 2 = (n 2 1)s 2 2 = (10 1)3, 8662
LisätiedotOsa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi
Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Estimointi TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Estimointi >> Todennäköisyysjakaumien parametrit ja niiden estimointi Hyvän estimaattorin
Lisätiedot2. Keskiarvojen vartailua
2. Keskiarvojen vartailua Esimerkki 2.1: Oheiset mittaukset liittyvät Portland Sementin sidoslujuuteen (kgf/cm 2 ). Mittaukset y 1 ovat nykyisestä seoksesta ja mittaukset y 2 uudesta seoksesta, jossa lisäaineena
LisätiedotIlmoittaudu Weboodissa klo (sali L4) pidettävään 1. välikokeeseen!
8069 TILASTOTIETEEN PERUSMENETELMÄT I Harjoitus 7, viikko 9, kevät 2013 (Muut kuin taloustieteiden tiedekunnan opiskelijat) MUISTA MIKROLUOKKAHARJOITUKSET VIIKOLLA 9! Ilmoittaudu Weboodissa 4.3.2013 klo
LisätiedotYhden selittäjän lineaarinen regressiomalli (jatkoa) Ensi viikolla ei pidetä luentoa eikä harjoituksia. Heliövaara 1
Yhden selittäjän lineaarinen regressiomalli (jatkoa) Ensi viikolla ei pidetä luentoa eikä harjoituksia Heliövaara 1 Regressiokertoimien PNS-estimaattorit Määritellään havaintojen x j ja y j, j = 1, 2,...,n
Lisätiedot33. pohjoismainen matematiikkakilpailu 2019 Ratkaisut
33. pohjoismainen matematiikkakilpailu 2019 Ratkaisut 1. Kutsutaan (eri) positiivisten kokonaislukujen joukkoa merkitykselliseksi, jos sen jokaisen äärellisen epätyhjän osajoukon aritmeettinen ja geometrinen
LisätiedotJohdanto 2. 2 Osamääräkunnan muodostaminen 7. 3 Osamääräkunnan isomorfismit 16. Lähdeluettelo 20
Osamääräkunta LuK-tutkielma Lauri Aalto Opiskelijanumero: 2379263 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Kevät 2016 Sisältö Johdanto 2 1 Käsitteitä ja merkintöjä 3 2 Osamääräkunnan muodostaminen
LisätiedotKoesuunnittelu Vastepintamenetelmä. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Koesuunnittelu Vastepintamenetelmä TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Vastepintamenetelmä Vastepintamenetelmä: Johdanto 2 k -faktorikokeet Vastefunktion kaarevuuden testaaminen 1. asteen vastepintamallin varianssianalyysihajotelma
LisätiedotOpiskelija viipymisaika pistemäärä
806109 TILASTOTIETEEN PERUSMENETELMÄT I Harjoitus 7, viikko 9, kevät 2012 (Muut kuin taloustieteiden tiedekunnan opiskelijat) MUISTA MIKROLUOKKAHARJOITUKSET VIIKOILLA 8 JA 9! 1. Jatkoa harjoituksen 5 tehtävään
LisätiedotIlkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Estimointi
Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Estimointi TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 1 Estimointi >> Todennäköisyysjakaumien parametrit ja niiden estimointi Hyvän estimaattorin
LisätiedotLohkoasetelmat. Kuusinen/Heliövaara 1
Lohkoasetelmat Kuusinen/Heliövaara 1 Kiusatekijä Kaikissa kokeissa kokeen tuloksiin voi vaikuttaa vaihtelu, joka johtuu kiusatekijästä. Kiusatekijä on tekijä, jolla on mahdollisesti vaikutusta vastemuuttujan
Lisätiedot3. Kongruenssit. 3.1 Jakojäännös ja kongruenssi
3. Kongruenssit 3.1 Jakojäännös ja kongruenssi Tässä kappaleessa esitellään kokonaislukujen modulaarinen aritmetiikka (ns. kellotauluaritmetiikka), jossa luvut tyypillisesti korvataan niillä jakojäännöksillä,
Lisätiedotpitkittäisaineistoissa
Puuttuvan tiedon ongelma p. 1/18 Puuttuvan tiedon ongelma pitkittäisaineistoissa Tapio Nummi tan@uta.fi Matematiikan, tilastotieteen ja filosofian laitos Tampereen yliopisto mtl.uta.fi/tilasto/sekamallit/puupitkit.pdf
LisätiedotVastepintamenetelmä. Heliövaara 1
Vastepintamenetelmä Kurssipalautteen antamisesta saa hyvityksenä yhden tenttipisteen. Palautelomakkeeseen tulee lähiaikoina linkki kurssin kotisivuille. Heliövaara 1 Vastepintamenetelmä Vastepintamenetelmässä
LisätiedotKaksisuuntainen varianssianalyysi. Heliövaara 1
Kaksisuuntainen varianssianalyysi Heliövaara 1 Kaksi- tai useampisuuntainen varianssianalyysi Kaksi- tai useampisuuntaisessa varianssianalyysissa perusjoukko on jaettu ryhmiin kahden tai useamman tekijän
LisätiedotToimittaja 1 2 3 Erä 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 2 1 1 0 1 0 2 2 1 3 1 3 0 4 2 4 0 3 4 0 1 2 0 4 1 0 3 2 2 2 0 2 2 1
Mat-.03 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat: Hierarkkiset koeasetelmat -faktorikokeet Vastepintamenetelmä Aritmeettinen keskiarvo, Estimaatti, Estimaattori, -testi, aktorikokeet,
LisätiedotHarjoitus 9: Excel - Tilastollinen analyysi
Harjoitus 9: Excel - Tilastollinen analyysi Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt Syksy 2006 Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 1 Harjoituksen aiheita Tutustuminen regressioanalyysiin
LisätiedotHelsingin, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 9.6.2014 klo 10 13
Helsingin, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 9.6.014 klo 10 13 1. Ratkaise seuraavat yhtälöt ja epäyhtälöt: x + a) 3 x + 1 > 0 c) x x + 1 = 1 x 3 4 b) e x + e x 3
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 8. marraskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 8. marraskuuta 2007 1 / 15 1 Tilastollisia testejä Z-testi Normaalijakauman odotusarvon testaus, keskihajonta tunnetaan
LisätiedotJuuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty
Kokoavia tehtäviä ILMAN TEKNISIÄ APUVÄLINEITÄ. A III, B II, C ei mikään, D I. a) Kolmion kulmien summa on 80. Kolmannen kulman suuruus on 80 85 0 85. Kolmiossa on kaksi 85 :n kulmaa, joten se on tasakylkinen.
LisätiedotSimuloinnin strategisia kysymyksiä
Simuloinnin strategisia kysymyksiä Timo Tiihonen Tietotekniikan laitos 2010 Simuloinnin strategisia kysymyksiä Miten toimitaan, kun halutaan tietää enemmän kuin yhden simulointimallin tulos. Miten tulos
LisätiedotHarha mallin arvioinnissa
Esitelmä 12 Antti Toppila sivu 1/18 Optimointiopin seminaari Syksy 2010 Harha mallin arvioinnissa Antti Toppila 13.10.2010 Esitelmä 12 Antti Toppila sivu 2/18 Optimointiopin seminaari Syksy 2010 Sisältö
LisätiedotMatematiikan olympiavalmennus
Matematiikan olympiavalmennus Syyskuun 2014 vaativammat valmennustehtävät, ratkaisuja 1. Onko olemassa ehdot a + b + c = d ja 1 ab + 1 ac + 1 bc = 1 ad + 1 bd + 1 cd toteuttavia reaalilukuja a, b, c, d?
Lisätiedotpitkittäisaineistoissa
Puuttuvan tiedon käsittelystä p. 1/18 Puuttuvan tiedon käsittelystä pitkittäisaineistoissa Tapio Nummi tan@uta.fi Matematiikan, tilastotieteen ja filosofian laitos Tampereen yliopisto Puuttuvan tiedon
LisätiedotEstimointi. Estimointi. Estimointi: Mitä opimme? 2/4. Estimointi: Mitä opimme? 1/4. Estimointi: Mitä opimme? 3/4. Estimointi: Mitä opimme?
TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Johdatus tilastotieteeseen TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 2 Mitä opimme? 1/4 Tilastollisen tutkimuksen tavoitteena on tehdä johtopäätöksiä prosesseista, jotka generoivat reaalimaailman
Lisätiedot(d) Laske selittäjään paino liittyvälle regressiokertoimelle 95 %:n luottamusväli ja tulkitse tulos lyhyesti.
2. VÄLIKOE vuodelta -14 1. Liitteessä 1 on esitetty R-ohjelmalla saatuja tuloksia aineistosta, johon on talletettu kahdenkymmenen satunnaisesti valitun miehen paino (kg), vyötärön ympärysmitta (cm) ja
Lisätiedot4. Satunnaistetut lohkokokeet, latinalaiset neliöt ja vastaavat asetelmat. Kiusatekijä on taustatekijä, joka voi vaikuttaa
4. Satunnaistetut lohkokokeet, latinalaiset neliöt ja vastaavat asetelmat 4.1 Satunnaistettu lohkokoe (Randomized Block Design) Kiusatekijä (nuisance factor): Kiusatekijä on taustatekijä, joka voi vaikuttaa
Lisätiedot203 Asetetaan neliöt tasoon niin, että niiden keskipisteet yhtyvät ja eräiden sivujen välille muodostuu 45 kulma.
Pyramidi 3 Geometria tehtävien ratkaisut sivu 1 201 202 Saadaan tapaukset 1) Tason suorat l ja m voivat olla yhdensuuntaiset, mutta eri suorat, jolloin niillä ei ole yhteisiä pisteitä. l a) A B C A B C
LisätiedotKOHDE: Kansakoulukuja 1 Fredrikinkatu 57 Tilatiedot 1. Kerros
Fredrikinkatu 57 Tilatiedot 1. Kerros Tilatunnus Tilanumero Käyttötarkoitus Pinta ala '2C94 1,H1 HISSI 1 3,9 '2C9D 1,H2 HISSI 2 3,9 '2CA6 1,H3 HISSI 3 2,0 '2CAF 1,H4 HISSI 4 2,0 '2BC5 101 SÄ 1,8 '2BAA
LisätiedotSalausmenetelmät. Veikko Keränen, Jouko Teeriaho (RAMK, 2006)
Salausmenetelmät Veikko Keränen, Jouko Teeriaho (RAMK, 2006) LUKUTEORIAA JA ALGORITMEJA 3. Kongruenssit à 3.1 Jakojäännös ja kongruenssi Määritelmä 3.1 Kaksi lukua a ja b ovat keskenään kongruentteja (tai
LisätiedotOletetaan, että virhetermit eivät korreloi toistensa eikä faktorin f kanssa. Toisin sanoen
Yhden faktorin malli: n kpl sijoituskohteita, joiden tuotot ovat r i, i =, 2,..., n. Olkoon f satunnaismuuttuja ja oletetaan, että tuotot voidaan selittää yhtälön r i = a i + b i f + e i avulla, missä
LisätiedotKurssikoe on maanantaina 29.6. Muista ilmoittautua kokeeseen viimeistään 10 päivää ennen koetta! Ilmoittautumisohjeet löytyvät kurssin kotisivuilla.
HY / Avoin ylioisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 201 Harjoitus 7 Ratkaisut palautettava viimeistään perjantaina 26.6.201 klo 16.00. Huom! Luennot ovat salissa CK112 maanantaista 1.6. lähtien.
LisätiedotVapaus. Määritelmä. jos c 1 v 1 + c 2 v c k v k = 0 joillakin c 1,..., c k R, niin c 1 = 0, c 2 = 0,..., c k = 0.
Vapaus Määritelmä Oletetaan, että v 1, v 2,..., v k R n, missä n {1, 2,... }. Vektorijono ( v 1, v 2,..., v k ) on vapaa eli lineaarisesti riippumaton, jos seuraava ehto pätee: jos c 1 v 1 + c 2 v 2 +
LisätiedotLoad
Tampereen yliopisto Tilastollinen mallintaminen Mikko Alivuotila ja Anne Puustelli Lentokoneiden rakennuksessa käytettävien metallinkiinnittimien puristuskestävyys Matematiikan, tilastotieteen ja filosofian
LisätiedotSimuloinnin strategisia kysymyksiä
Simuloinnin strategisia kysymyksiä Miten toimitaan, kun halutaan tietää enemmän kuin yhden simulointimallin tulos. Miten tulos riippuu mallin syöttötiedoista. Miten tulos riippuu mallin rakenteellisista
LisätiedotSAS/IML käyttö ekonometristen mallien tilastollisessa päättelyssä. Antti Suoperä 16.11.2009
SAS/IML käyttö ekonometristen mallien tilastollisessa päättelyssä Antti Suoperä 16.11.2009 SAS/IML käyttö ekonometristen mallien tilastollisessa päättelyssä: Matriisi ja vektori laskennan ohjelmisto edellyttää
LisätiedotJuuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty
Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 17.10.016 Kokoavia tehtäviä ILMAN TEKNISIÄ APUVÄLINEITÄ 1. A III, B II, C ei mikään, D I. a) Kolmion kulmien summa on 180. Kolmannen kulman
LisätiedotTilastollisten menetelmien käyttö Kelan tutkimustoiminnassa
Tilastollisten menetelmien käyttö Kelan tutkimustoiminnassa Risto Lehtonen Helsingin yliopisto Kela 1 Tilastokeskuksen SAS-seminaari 16.11.2009 Aiheita Kelan tutkimustoiminta SAS-sovellukset vaativien
Lisätiedotxi = yi = 586 Korrelaatiokerroin r: SS xy = x i y i ( x i ) ( y i )/n = SS xx = x 2 i ( x i ) 2 /n =
1. Tutkitaan paperin ominaispainon X(kg/dm 3 ) ja puhkaisulujuuden Y (m 2 ) välistä korrelaatiota. Tiettyä laatua olevasta paperierästä on otettu satunnaisesti 10 arkkia ja määritetty jokaisesta arkista
LisätiedotJohdatus tilastotieteeseen Estimointi. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus tilastotieteeseen Estimointi TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Estimointi Todennäköisyysjakaumien parametrit ja niiden estimointi Hyvän estimaattorin ominaisuudet TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 2 Estimointi:
LisätiedotJohdatus regressioanalyysiin. Heliövaara 1
Johdatus regressioanalyysiin Heliövaara 1 Regressioanalyysin idea Oletetaan, että haluamme selittää jonkin selitettävän muuttujan havaittujen arvojen vaihtelun selittävien muuttujien havaittujen arvojen
LisätiedotLataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla!
Miten opit parhaiten? Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! n Harjoittelu tehdään aktiivisesti tehtäviä ratkomalla. Tehtävät kattavat kaikki yo-kokeessa
Lisätiedot0, niin vektorit eivät ole kohtisuorassa toisiaan vastaan.
Tekijä Pitkä matematiikka 4 9.1.016 168 a) Lasketaan vektorien a ja b pistetulo. a b = (3i + 5 j) (7i 3 j) = 3 7 + 5 ( 3) = 1 15 = 6 Koska pistetulo a b 0, niin vektorit eivät ole kohtisuorassa toisiaan
LisätiedotSuhtautuminen Sukupuoli uudistukseen Mies Nainen Yhteensä Kannattaa Ei kannata Yhteensä
806109 TILASTOTIETEEN PERUSMENETELMÄT I Harjoitus 7, viikko 9, kevät 2011 (Muut kuin taloustieteiden tiedekunnan opiskelijat) MUISTA MIKROLUOKKAHARJOITUKSET VIIKOILLA 8 JA 9! 1. Eräässä suuressa yrityksessä
LisätiedotARKISTOLUETTELO A MERKINTÄKIRJAT. Aa Luokkien päiväkirjat. sis. 5 sidosta. 1 kansio. Aa:1 1924-1926. Päiväkirjoja. Päiväkirja. 4 sidosta.
ARKISTOLUETTELO Kunta/Kuntainliitto Pääsarjan nimike Valkeakosken kaupunki A-E, G-J Arkistonmuodostaja/viranomainen Valkeakosken yhteiskoulu Hyllyn numero 146-153 Lukumäärä ja laatu Arkistotunnus Asiakirjakokonaisuuden
Lisätiedot9 Projektiivisen geometrian alkeita
9 9 Projektiivisen geometrian alkeita 800-luvun alussa syntynyt projektiivinen geometria oli ensimmäinen todellinen Eukleideen luoman geometrian alueen laajennus. Projektiivista geometriaa voi ja pitäisikin
LisätiedotProjektiivisen geometrian alkeita
Projektiivisen geometrian alkeita Jotkin kilpailutehtävät saattavat ratketa helpoimmin menetelmillä, jotka kuuluvat ns. projektiivisen geometrian alaan. Projektiivinen geometria on eräänlaista pelkän viivoittimen
Lisätiedotja λ 2 = 2x 1r 0 x 2 + 2x 1r 0 x 2
Johdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 4, 7.10.2015 1. Olkoot c 0, c 1 R siten, että polynomilla r 2 c 1 r c 0 on kaksinkertainen juuri. Määritä rekursioyhtälön x n+2 = c 1 x n+1 + c 0 x n, n N,
LisätiedotMS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 7: Pienimmän neliösumman menetelmä ja Newtonin menetelmä.
MS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 7: Pienimmän neliösumman menetelmä ja Newtonin menetelmä. Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Kevät 2016
LisätiedotUSEAN MUUTTUJAN REGRESSIOMALLIT JA NIIDEN ANA- LYYSI
TEORIA USEAN MUUTTUJAN REGRESSIOMALLIT JA NIIDEN ANA- LYYSI Regressiomalleilla kuvataan tilanteita, jossa suureen y arvot riippuvat joukosta ns selittäviä muuttujia x 1, x 2,..., x p oletetun funktiomuotoisen
LisätiedotEstimointi. Vilkkumaa / Kuusinen 1
Estimointi Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Tilastollisessa tutkimuksessa oletetaan jonkin jakauman generoineen tutkimuksen kohteena olevaa ilmiötä koskevat havainnot Tämän mallina käytettävän todennäköisyysjakauman
LisätiedotATH-koulutus: R ja survey-kirjasto THL 16.2.2011. 16. 2. 2011 ATH-koulutus / Tommi Härkänen 1
ATH-koulutus: R ja survey-kirjasto THL 16.2.2011 16. 2. 2011 ATH-koulutus / Tommi Härkänen 1 Sisältö Otanta-asetelman kuvaaminen R:llä ja survey-kirjastolla Perustunnusluvut Regressioanalyysit 16. 2. 2011
LisätiedotNopea kertolasku, Karatsuban algoritmi
Nopea kertolasku, Karatsuban algoritmi Mikko Männikkö 16.8.2004 Lähde: ((Gathen and Gerhard 1999) luku II.8) Esityksen kulku Algoritmien analysointia (1), (2), (3), (4) Klassinen kertolasku Parempi tapa
LisätiedotRatkaisut vuosien tehtäviin
Ratkaisut vuosien 1978 1987 tehtäviin Kaikki tehtävät ovat pitkän matematiikan kokeista. Eräissä tehtävissä on kaksi alakohtaa; ne olivat kokelaalle vaihtoehtoisia. 1978 Osoita, ettei mikään käyrän y 2
Lisätiedot