Koesuunnittelu Vastepintamenetelmä. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
|
|
- Jarmo Niemelä
- 7 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Koesuunnittelu Vastepintamenetelmä TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
2 Vastepintamenetelmä Vastepintamenetelmä: Johdanto 2 k -faktorikokeet Vastefunktion kaarevuuden testaaminen 1. asteen vastepintamallin varianssianalyysihajotelma Vastefunktion optimin etsiminen ja gradienttimenetelmä Vastefunktion optimin etsiminen ja 2. asteen vastepintamalli TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 2
3 Vastepintamenetelmä: Mitä opimme? Tarkastelemme tässä luvussa seuraavaa kysymystä: Miten varianssianalyysissa etsitään vastemuuttujaan vaikuttavien tekijöiden optimaaliset tasot. Rajoitumme tilanteeseen, jossa tekijöille on valittu vain kaksi tasoa. Esitiedot: Yksisuuntainen varianssianalyysi Kaksisuuntainen varianssianalyysi Useampisuuntainen varianssianalyysi 2 k -faktorikokeet TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 3
4 Vastepintamenetelmä Avainsanat 1. asteen vastepintamalli 2. asteen vastepintamalli F-testi Faktorikoe Gradienttimenetelmä Interaktio Jäännösneliösumma k-suuntainen varianssianalyysi Kaarevuus Kokonaiskeskiarvo Kokonaisneliösumma Kokonaisvaihtelu Neliösumma Odotusarvo Ominaisarvotehtävä Optimi Puhdas kvadraattinen kaarevuus Puhdas virhe Päävaikutus Ryhmä Taso Testi Vapausaste Varianssi Varianssianalyysihajotelma Varianssianalyysitaulukko Vastepinta Yhdysvaikutus TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 4
5 Vastepintamenetelmä >> Vastepintamenetelmä: Johdanto 2 k -faktorikokeet Vastefunktion kaarevuuden testaaminen 1. asteen vastepintamallin varianssianalyysihajotelma Vastefunktion optimin etsiminen ja gradienttimenetelmä Vastefunktion optimin etsiminen ja 2. asteen vastepintamalli TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 5
6 Vastepintamenetelmä: Johdanto Vastepintamenetelmä 1/3 Haluamme selvittää, miten vastemuuttujan y arvot riippuvat k:n kvantitatiivisen faktorin eli tekijän x 1, x 2,, x k arvoista. Oletetaan, että vastemuuttujan y havaittujen arvojen riippuvuutta faktoreiden x 1, x 2,, x k tasoista voidaan kuvata funktiolla y = f(x 1, x 2,, x k ) + ε jossa jäännöstermi ε edustaa satunnaisvirhettä vastemuuttujan y havaituissa arvoissa. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 6
7 Vastepintamenetelmä: Johdanto Vastepintamenetelmä 2/3 Vastepintamenetelmän tavoitteena on löytää sellainen faktoreiden x 1, x 2,, x k tasojen kombinaatio, joka optimoi (minimoi/maksimoi) vastefunktion arvon. f(x 1, x 2,, x k ) Funktion f muoto on kuitenkin tavallisesti tuntematon ja siksi funktiota pyritään approksimoidaan sopivasti valitulla faktoreiden polynomilla. Tällöin on tärkeätä selvittää riittääkö funktiolle f faktoreiden kelvollisella arvoalueella lineaarinen approksimaatio vai tarvitaanko jotakin korkeampiasteista approksimaatiota. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 7
8 Vastepintamenetelmä: Johdanto Vastepintamenetelmä 3/3 Tarkastelemme tässä luvussa vastepintamenetelmää 2 k -faktorikokeiden yhteydessä; ks. lukua 2 k -faktorikokeet. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 8
9 Vastepintamenetelmä: Johdanto Luonnolliset muuttujat Kutsumme tekijöitä A, B, C,, K luonnollisiksi muuttujiksi, jos niiden arvot on annettu muuttujien oikeissa, luonnollisissa mittayksiköissä. Olkoon X + = Tekijän X arvo, kun tekijän X taso on korkea (+) X = Tekijän X arvo, kun tekijän X taso on matala ( ) jossa X = A, B, C,, K TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 9
10 Vastepintamenetelmä: Johdanto Koodatut muuttujat Olkoon X ( X+ + X )/2 x = ( X+ X )/2 luonnollista muuttujaa X vastaava koodattu muuttuja. Tällöin 1, jos X X x = + = + 1, jos X = X Kääntäen, luonnollisen muuttujan X arvot saadaan koodatun muuttujan x arvoista kaavalla 1 1 X = ( X+ X ) x+ ( X+ + X ) 2 2 TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 10
11 Vastepintamenetelmä: Johdanto 1. asteen lineaarinen vastepintamalli 1/2 Määritellään 1. asteen lineaarinen vastepintamalli kaavalla y k = 0 + ixi + i= 1 β β ε jonka selittäjinä on tekijöitä A, B, C,, K vastaavat koodatut muuttujat x 1, x 2,, x k Mallin avulla voidaan mallintaa tekijöiden A, B, C,, K päävaikutukset. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 11
12 Vastepintamenetelmä: Johdanto 1. asteen lineaarinen vastepintamalli 2/2 Koska 1. asteen lineaarinen vastepintamalli y k = 0 + ixi + i= 1 β β ε on koodattujen muuttujien x i, i = 1, 2,, k suhteen lineaarinen, niin se ei kykene ottamaan huomioon vastefunktion f mahdollista kaarevuutta (epälineaarisuutta) tekijöiden A, B, C,, K vaikutuksien suhteen. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 12
13 Vastepintamenetelmä: Johdanto Interaktiotermien lisääminen 1. asteen lineaariseen vastepintamalliin Lisäämällä 1. asteen lineaariseen vastepintamalliin tekijöitä A, B, C,, K vastaavien koodattujen muuttujien pareittaiset tulot saadaan vastepintamalli = k 0 + i i + ij i j + i= 1 i< j y β β x β xx ε Malli on edelleen 1. astetta koodattujen muuttujien x i, i = 1, 2,, k suhteen. Mallin avulla voidaan mallintaa tekijöiden A, B, C,, K päävaikutukset ja kahden tekijän (pareittaiset) interaktiot. Malli pystyy jonkin verran ottamaan huomioon vastefunktion f mahdollista kaarevuutta (epälineaarisuutta) tekijöiden A, B, C,, K vaikutuksien suhteen. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 13
14 Vastepintamenetelmä: Johdanto 2. asteen vastepintamalli 1/2 Lisäämällä 1. asteen lineaariseen vastepintamalliin tekijöitä A, B, C,, K vastaavien koodattujen muuttujien pareittaiset tulot ja toiset potenssit saadaan 2. asteen vastepintamalli 0 k k 2 i i ij i j ii i i= 1 i< j i= 1 y= β + β x + β xx + β x + ε Mallin avulla voidaan mallintaa tekijöiden A, B, C,, K päävaikutukset ja kahden tekijän (pareittaiset) interaktiot. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 14
15 Vastepintamenetelmä: Johdanto 2. asteen vastepintamalli 2/2 2. asteen vastepintamallilla 0 k k 2 i i ij i j ii i i= 1 i< j i= 1 y= β + β x + β xx + β x + ε voidaan usein approksimoida riittävällä tarkkuudella epälineaarista vastefunktiota f niiden optimin (maksimin/ minimin) ympäristössä. Tällöin tekijöiden A, B, C,, K optimaaliset tasot on helppo määrätä käyttäen hyväksi estimoitua 2. asteen vastepintamallia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 15
16 Vastepintamenetelmä: Johdanto Vastepintamallit regressiomalleina Huomautus: Vastepintamallit ovat parametrien suhteen tavanomaisia lineaarisia regressiomalleja, joiden parametrit voidaan estimoida pienimmän neliösumman menetelmällä millä tahansa lineaaristen mallien estimointiin tarkoitetulla ohjelmalla. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 16
17 Vastepintamenetelmä Vastepintamenetelmä: Johdanto >> 2 k -faktorikokeet Vastefunktion kaarevuuden testaaminen 1. asteen vastepintamallin varianssianalyysihajotelma Vastefunktion optimin etsiminen ja gradienttimenetelmä Vastefunktion optimin etsiminen ja 2. asteen vastepintamalli TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 17
18 2 k -faktorikokeet 1. kertaluvun vastepintamalli Olkoon = k 0 + i i + ij i j + i= 1 i< j y β β x β xx ε 1. asteen vastepintamalli, jonka selittäjinä on tekijöitä A, B, C,, K vastaavat koodatut muuttujat x i, i = 1, 2,, k ja niiden pareittaiset tulot. Mallin avulla voidaan mallintaa tekijöiden A, B, C,, K päävaikutukset ja kahden tekijän (pareittaiset) interaktiot. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 18
19 2 k -faktorikokeet 1. kertaluvun vastepintamalli ja 2 k -faktorikokeet Tarkastelemme seuraavassa 1. asteen vastepintamalliin liittyviä 2 k -faktorikokeita. Huomautus: = k 0 + i i + ij i j + i= 1 i< j y β β x β xx ε 2 k -faktorikokeen tilastollinen malli on k-suuntaisen varianssianalyysin tilastollisen mallin erikoistapaus; ks. lukuja Useampisuuntainen varianssianalyysi ja 2 k -faktorikokeet. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 19
20 2 k -faktorikokeet 2 k -faktorikokeen määritelmä 2 k -faktorikokeen tavoitteena on tutkia, miten k faktoria eli tekijää A, B, C,, K joilla kaikilla on kaksi tasoa: matala ( ) ja korkea (+) vaikuttavat kiinnostuksen kohteena olevan vastemuuttujan y keskimääräisiin arvoihin. Tällöin kokeen kohteisiin voidaan kohdistaa 2"#$#% 2! 2= 2 k k kpl käsittelykombinaatiota. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 20
21 2 k -faktorikokeet Käsittelykombinaatioiden merkitseminen Käytetään käsittelykombinaatioille seuraavaa merkintätapaa: (i) Merkitään tekijöiden A, B, C,, K korkeata tasoa (+) vastaavilla pienillä kirjaimilla a, b, c,, k. (ii) Merkitään tekijöiden A, B, C,, K matalaa tasoa ( ) jättämällä vastaavat pienet kirjaimet merkitsemättä. (iii) Olkoon kaikkien tekijöiden matalan tason ( ) merkintänä (1). TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 21
22 2 k -faktorikokeet Havaintoarvojen kokonaissummien merkitseminen Oletetaan, että jokaista käsittelykombinaatiota on kokeessa toistettu n kertaa, jolloin havaintojen kokonaislukumäärä on 2 k n Merkitään vastemuuttujan y havaittujen arvojen summaa jokaiselle käsittelykombinaatiolle samalla tavalla kuin itse käsittelykombinaatiota: (1) a, b,, k ab, ac,, jk TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 22
23 2 k -faktorikokeet Tekijöiden A, B, C,, K päävaikutuksien ja yhdysvaikutuksien määrääminen 1/3 Tekijöiden A, B, C,, K päävaikutukset ja interaktiot eli yhdysvaikutukset voidaan määrätä kaavalla X = a± b± k± n k 1 ( 1)( 1)!( 1)/( 2 ) jossa X viittaa määrättävään päävaikutukseen tai yhdysvaikutukseen ja merkit sulkulausekkeissa määräytyvät seuraavan säännön mukaan: Merkki =, jos vastaava tekijä on mukana määrättävässä vaikutuksessa Merkki = +, jos vastaava tekijä ei ole mukana määrättävässä vaikutuksessa Lisäksi 1 on korvattava laskutoimitusten jälkeen merkinnällä (1). TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 23
24 2 k -faktorikokeet Tekijöiden A, B, C,, K päävaikutuksien ja yhdysvaikutuksien määrääminen 2/3 Koska tässä tarkastellaan vain tekijöiden A, B, C,, K päävaikutuksia ja pareittaisia interaktioita, niin tulon X = a± b± k± n k 1 ( 1)( 1)!( 1)/( 2 ) tekijöissä esiintyy täsmälleen yksi tai kaksi miinusmerkkiä. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 24
25 2 k -faktorikokeet Tekijöiden A, B, C,, K päävaikutuksien ja yhdysvaikutuksien määrääminen 3/3 Jos (κ 1), κ = a, b, c,, k on ainoa tulon X tekijöistä, jossa esiintyy miinusmerkki, tulo X mallintaa tekijän κ päävaikutusta. Jos (κ 1), κ = a, b, c,, k (λ 1), λ = a, b, c,, k κ λ ovat ainoat tulon X tekijöistä, joissa esiintyy miinusmerkki, tulo X mallintaa tekijöiden κ ja λ pareittaista interaktiota. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 25
26 2 k -faktorikokeet Tekijöiden A, B, C,, K päävaikutuksien ja yhdysvaikutuksien neliösummien määrääminen Koska tekijöiden A, B, C,, K päävaikutukset ja yhdysvaikutukset ovat käsittelykombinaatioiden ortogonaalisia kontrasteja, niitä vastaavat neliösummat saadaan kaavalla (ks. lukua Yksisuuntainen varianssianalyysi): SSX = n X k jossa X viittaa vastaavaan kontrastiin. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 26
27 2 k -faktorikokeet Varianssianalyysitaulukko Testit 2 k -faktorikokeen nollahypoteeseille perustuvat seuraavilla kalvoilla esitettävään varianssianalyysitaulukkoon. Taulukko on jaettu kolmeen osaan: (i) Päävaikutukset (ii) Kahden tekijän interaktiot (iii) Jäännösvaihtelu, kokonaisvaihtelu TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 27
28 2 k -faktorikokeet Varianssianalyysitaulukko: Päävaikutukset Tekijöiden A, B, C,, K päävaikutukset: Vaihtelun lähde SS df MS = SS/df F = MS/MSE A SSA 1 MSA F A = MSA/MSE B SSB 1 MSB F B = MSB/MSE C SSC 1 MSC F C = MSC/MSE K SSK 1 MSK F K = MSK/MSE Päävaikutusten lukumäärä: k TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 28
29 2 k -faktorikokeet Varianssianalyysitaulukko: Kahden tekijän interaktiot Tekijöiden A, B, C,, K kahden tekijän interaktiot: Vaihtelun lähde SS df MS = SS/df F = MS/MSE AB SSAB 1 MSAB F AB = MSAB/MSE AC SSAC 1 MSAC F AC = MSAC/MSE JK SSJK 1 MSJK F JK = MSJK/MSE Kahden tekijän interaktioiden lukumäärä: k 2 TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 29
30 2 k -faktorikokeet Varianssianalyysitaulukko: k:n tekijän interaktio, jäännös- ja kokonaisvaihtelu Jäännösvaihtelu ja kokonaisvaihtelu: Vaihtelun lähde SS df MS = SS/df Jäännösvaihtelu SSE 2 k (n 1) MSE Kokonaisvaihtelu SST 2 k n 1 TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 30
31 2 k -faktorikokeet 2 k -faktorikokeet ja regressioanalyysi Estimoidaan mallin = k 0 + i i + ij i j + i= 1 i< j y β β x β xx ε regressiokertoimet PNS-menetelmällä. Tällöin kertoimien PNS-estimaattoreilla on seuraavat ominaisuudet: b0 = Kaikkien havaintojen aritmeettinen keskiarvo 2bi = Tekijöiden A, B, C,, K päävaikutukset 2b = Kahden tekijän yhdysvaikutukset ij TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 31
32 Vastepintamenetelmä Vastepintamenetelmä: Johdanto 2 k -faktorikokeet >> Vastefunktion kaarevuuden testaaminen 1. asteen vastepintamallin varianssianalyysihajotelma Vastefunktion optimin etsiminen ja gradienttimenetelmä Vastefunktion optimin etsiminen ja 2. asteen vastepintamalli TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 32
33 Vastefunktion kaarevuuden testaaminen Kvadraattisen kaarevuuden testaaminen 2 k -koeasetelmassa sovellettavan 1. asteen vastepintamallin = k 0 + i i + ij i j + i= 1 i< j y β β x β xx ε riittävyyttä vastefunktion f(x 1, x 2,, x k ) approksimaationa tarkastellaan tavallisesti testaamalla tarvitaanko mallissa puhdasta kvadraattista kaarevuutta kuvaavia neliöllisiä termejä x 2, i= 1,2,, k i TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 33
34 Vastefunktion kaarevuuden testaaminen Keskipisteen lisääminen Kaarevuuden testaaminen voidaan tehdä lisäämällä 2 k -koeasetelmaa vastaavaan k-dimensionaaliseen kuutioon sen keskipiste. Keskipiste CP saadaan laskemalla keskiarvo jokaisen tekijän A, B, C,, K arvoista korkealla (+) ja matalalla ( ) tasolla: CP = ( CA, CB,, CK) jossa X+ + X CX =, X = A, B, C,, K 2 Koodattujen muuttujien arvoissa keskipisteenä on origo: (0, 0,, 0) TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 34
35 Vastefunktion kaarevuuden testaaminen Keskipisteen lisääminen: Havainnollistus Keskipisteen lisääminen 2 2 -koeasetelmaan: + b ab B (C A, C B ) (1) a A + TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 35
36 Vastefunktion kaarevuuden testaaminen Kulmapistehavainnot Oletetaan, että vastemuuttujasta y on kerätty n havaintoa jokaisessa 2 k -faktorikokokeen koeasetelmaa vastaavan k-dimensionaalisen kuution kulmapisteessä. Kulmapisteissä kerättyjen havaintojen kokonaislukumäärä on 2 k n = n F (merkintä) TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 36
37 Vastefunktion kaarevuuden testaaminen Keskipistehavainnot Kerätään n C (> 1) havaintoa 2 k -faktorikokokeen koeasetelmaa vastaavan k-dimensionaalinen kuution keskipisteessä CP = ( C, C,, C ) Olkoot A B K z1, z2,, z nc keskipisteessä CP mitatut vastemuuttujan y arvot. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 37
38 Vastefunktion kaarevuuden testaaminen Kulmapistehavaintojen ja keskipistehavaintojen keskiarvot Olkoon y F kulmapistehavaintojen keskiarvo. Olkoon y C 1 nc = z n C k= 1 keskipistehavaintojen keskiarvo. k TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 38
39 Vastefunktion kaarevuuden testaaminen Kaarevuus Jos kulmapistehavaintojen ja keskipistehavaintojen keskiarvojen erotus y on pieni, niin keskipistehavainnot ovat lähellä kulmahavaintojen määräämää tasoa ja vastefunktion kaarevuus on pientä. Siksi kaarevuuden testaaminen perustetaan erotuksen y F F neliöön. y y C C TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 39
40 Vastefunktion kaarevuuden testaaminen Nollahypoteesi Kaarevuutta koskeva nollahypoteesi H PQ : Ei puhdasta kvadraattista kaarevuutta voidaan ilmaista 2. asteen vastepintamallin 0 k k 2 i i ij i j ii i i= 1 i< j i= 1 y= β + β x + β xx + β x + ε parametrien avulla muodossa k H : β = 0 PQ i= 1 ii TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 40
41 Vastefunktion kaarevuuden testaaminen Kvadraattista kaarevuutta kuvaava neliö Määritellään puhdasta kvadraattista kaarevuutta kuvaava neliö kaavalla jossa nn F C SSPQ = ( yf yc) n + n y F y C F C = Kulmapistehavaintojen keskiarvo = Keskipistehavaintojen keskiarvo n F = Havaintojen kokonaislukumäärä kulmapisteissä n C = Havaintojen lukumäärä keskipisteessä 2 TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 41
42 Vastefunktion kaarevuuden testaaminen Puhdasta virhettä kuvaava neliösumma 1/2 Määrätään puhdasta virhettä kuvaava neliösumma keskipistehavainnoista z k, k = 1, 2,, n C (> 1) kaavalla jossa y C 2 2 n 2 2 ( ) kij iij ( k C ) i= 1 j= 1 k= 1 k= 1 SSPE = y y + z y y iij = Havaintoarvojen y kij aritmeettinen keskiarvo kulmapisteessä (i, j) = Keskipistehavaintojen keskiarvo n C TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 42
43 Vastefunktion kaarevuuden testaaminen Puhdasta virhettä kuvaava neliösumma 2/2 Jos jokaisessa kulmapisteessä on kerätty vain yksi havainto, määrätään puhdasta virhettä kuvaava neliösumma SSPE pelkästään keskipistehavainnoista z k, k = 1, 2,, n C (> 1): jossa SSPE = ( zk yc) y C n C k= 1 2 = Keskipistehavaintojen keskiarvo TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 43
44 Vastefunktion kaarevuuden testaaminen Testi puhtaalle kvadraattiselle kaarevuudelle Määritellään F-testisuure SSPQ FPQ = ( nc 1) SSPE jossa SSPQ on puhdasta kvadraattista kaarevuutta kuvaava neliö ja SSPE on puhdasta virhettä kuvaava neliösumma. Jos nollahypoteesi H PQ : Ei puhdasta kvadraattista kaarevuutta pätee, niin FPQ F(1, nc 1) Suuret testisuureen F PQ arvot johtavat nollahypoteesin hylkäämiseen. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 44
45 Vastefunktion kaarevuuden testaaminen Testi kaarevuudelle on lack-of-fit-testi Puhtaan kvadraattisen kaarevuuden olemassaolon testaamiseen tarkoitettua F-testiä kutsutaan usein lack-of-fit-testiksi koska siinä testataan, miten paljon puhtaasti kvadraattisten termien puuttuminen vastepintamallista huonontaa mallin ja havaintojen yhteensopivuutta. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 45
46 Vastepintamenetelmä Vastepintamenetelmä: Johdanto 2 k -faktorikokeet Vastefunktion kaarevuuden testaaminen >> 1. asteen vastepintamallin varianssianalyysihajotelma Vastefunktion optimin etsiminen ja gradienttimenetelmä Vastefunktion optimin etsiminen ja 2. asteen vastepintamalli TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 46
47 1. asteen vastepintamallin varianssianalyysihajotelma Varianssianalyysihajotelma 1/3 Tarkastelemme tässä 2 2 -faktorikokeeseen liittyvää varianssianalyysihajotelmaa tilanteessa, jossa kokeeseen on liitetty keskipiste. Tarkastelu yleistyy ilmeisellä tavalla 2 k -faktorikokeisiin, kun k > 2. Jos 2 2 -faktorikokeeseen on liitetty keskipiste, pätee varianssianalyysihajotelma SST = SSA + SSB + SSAB + SSPQ + SSPE TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 47
48 1. asteen vastepintamallin varianssianalyysihajotelma Varianssianalyysihajotelma 2/3 Varianssianalyysihajotelman SST = SSA + SSB + SSAB + SSPQ + SSPE neliösummilla on seuraavat tulkinnat: SST SSA SSB = Havaintojen kokonaisneliösumma =Tekijän A päävaikutusta kuvaava neliösumma =Tekijän B päävaikutusta kuvaava neliösumma SSAB = Tekijöiden A ja B interaktiota kuvaava neliösumma SSPQ = Puhdasta kvadraattista kaarevuutta kuvaava neliösumma SSPE = Puhdasta virhettä kuvaava neliösumma TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 48
49 1. asteen vastepintamallin varianssianalyysihajotelma Varianssianalyysihajotelma 3/3 Vertaamalla 2 2 -faktorikokeen tavanomaista varianssianalyysihajotelmaa SST = SSA + SSB + SSAB + SSE edellisen kalvon varianssianalyysihajotelmaan nähdään, että keskipistehavaintojen lisääminen on mahdollistanut jäännösneliösumman SSE hajottamisen puhdasta kvadraattista kaarevuutta ja puhdasta virhettä kuvaavien neliösummien summaksi: Huomautus: SSE = SSPQ + SSPE Keskipistehavainnoilla ei ole vaikutusta neliösummien SSA, SSB ja SSAB arvoihin. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 49
50 1. asteen vastepintamallin varianssianalyysihajotelma Varianssianalyysitaulukko 1/2 Varianssianalyysitaulukko 2 2 -faktorikokeelle, johon on lisätty keskipiste : Vaihtelun Lähde SS df MS F A SSA 1 MSA/df F A = MSA/MSPE B SSB 1 MSB/df F B = MSB/MSPE AB SSAB 1 MSAB/df F AB = MSAB/MSPE PQ SSPQ 1 MSPQ/df F PQ = MSPQ/MSPE PE SSPE n F + n C 5 E SSE n F + n C 4 MSE/df T SST n F + n C 1 TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 50
51 Vastepintamenetelmä Vastepintamenetelmä: Johdanto 2 k -faktorikokeet Vastefunktion kaarevuuden testaaminen 1. asteen vastepintamallin varianssianalyysihajotelma >> Vastefunktion optimin etsiminen ja gradienttimenetelmä Vastefunktion optimin etsiminen ja 2. asteen vastepintamalli TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 51
52 Vastefunktion optimin etsiminen ja gradienttimenetelmä 1. asteen vastepintamalli ja faktoreiden optimaalisten tasojen etsiminen Oletetaan, että haluamme löytää estimoidun 1. asteen vastepintamallin avulla koodattuja muuttujia x 1, x 2,, x k vastaavien tekijöiden A, B, C,, K tasot, jotka optimoivat (minimoivat/maksimoivat) vastepintafunktion arvon. k = + 0 i= 1 yˆ b bx f(x 1, x 2,, x k ) i i TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 52
53 Vastefunktion optimin etsiminen ja gradienttimenetelmä Faktoreiden optimaalisten tasojen etsiminen 1/3 Kuten tunnettua, funktio kasvaa voimakkaimmin sen gradientin suuntaan. Siten vastepinta (taso) kasvaa voimakkaimmin vektorin suuntaan. k = + 0 i= 1 yˆ b bx b = (,,, ) b1 b2 b k i i Tekijöiden A, B, C,, K optimaaliset tasot löydetään keräämällä uusia havaintoja vektorin b (tai b) suunnasta, kunnes vasteen arvo ei enää parane. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 53
54 Vastefunktion optimin etsiminen ja gradienttimenetelmä Faktoreiden optimaalisten tasojen etsiminen 2/3 Askeleet, joilla siirtyminen vektorin b (tai b) suuntaan tapahtuu, voidaan määrätä seuraavalla tavalla: (i) Olkoon x j faktoreista tärkeintä vastaava koodattu muuttuja tai se, jota vastaava regressiokertoimen estimaatin itseisarvo b j on suurin. Valitaan muuttujalle x j askelpituudeksi x j. (ii) Valitaan muuttujille x i askelpituudet kaavalla bi xi = xj, i = 1,2,, k, i j bj (iii) Konvertoidaan askelpituudet koodattujen muuttujien arvoista luonnollisten muuttujien arvoiksi. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 54
55 Vastefunktion optimin etsiminen ja gradienttimenetelmä Faktoreiden optimaalisten tasojen etsiminen 3/3 Askelpituuksien konvertointi koodattujen muuttujien arvoista luonnollisten muuttujien arvoiksi tapahtuu kaavalla ( X+ X ) X = x 2 jossa ja x = X = Askelpituus koodatun muuttujan arvoissa Askelpituus luonnollisen muuttujan arvoissa X = X:n arvo, kun X:n taso on korkea ( + ) + X = X:n arvo, kun X:n taso on matala ( ) X = A, B, C,, K TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 55
56 Vastepintamenetelmä Vastepintamenetelmä: Johdanto 2 k -faktorikokeet Vastefunktion kaarevuuden testaaminen 1. asteen vastepintamallin varianssianalyysihajotelma Vastefunktion optimin etsiminen ja gradienttimenetelmä >> Vastefunktion optimin etsiminen ja 2. asteen vastepintamalli TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 56
57 Vastefunktion optimin etsiminen ja 2. asteen vastepintamalli 2. asteen vastepintamalli ja faktoreiden optimaalisten tasojen etsiminen Oletetaan, että haluamme löytää estimoidun 2. asteen vastepintamallin avulla koodattuja muuttujia x 1, x 2,, x k vastaavien tekijöiden A, B, C,, K tasot, jotka optimoivat (minimoivat/maksimoivat) vastepintafunktion arvon. 0 f(x 1, x 2,, x k ) k k 2 i i ij i j ii i i= 1 i< j i= 1 yˆ = b + bx + b xx + b x TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 57
58 Vastefunktion optimin etsiminen ja 2. asteen vastepintamalli Faktoreiden optimaalisten tasojen etsiminen 1/2 Olkoon ŷ= b 0 + bx + xbx estimoitu 2. asteen vastepintamalli matriisimuodossa, jossa x1 b1 b11 b12 /2! b1 k /2 x 2 b 2 b12 /2 b22! b2 k /2 x= b= B ) ) = ) ) * ) x b b /2 b /2! b k k 1k 2k kk TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 58
59 Vastefunktion optimin etsiminen ja 2. asteen vastepintamalli Faktoreiden optimaalisten tasojen etsiminen 2/2 Derivoidaan funktio ŷ= b 0 + bx + xbx vektorin x alkioiden suhteen ja merkitään derivaatta nollaksi: yˆ = b + 2Bx = 0 x Tämän normaaliyhtälön ratkaisu on muotoa x S = B b Sijoittamalla ratkaisu optimoitavaan funktioon saadaan optimiarvoksi 1 y = b + bx ˆS 0 2 S TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 59
60 Vastefunktion optimin etsiminen ja 2. asteen vastepintamalli Optimin laadun määrääminen Optimin laatu (minimi/maksimi) voidaan määrätä tutkimalla matriisin B ominaisarvoja. Matriisin B ominaisarvot saadaan determinanttiyhtälöstä B λi = 0 Jos matriisin B kaikki ominaisarvot λ 1, λ 2,, λ k ovat negatiivisia, vastaa optimi minimiä. Jos matriisin B kaikki ominaisarvot λ 1, λ 2,, λ k ovat positiivisia, vastaa optimi maksimia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 60
61 Vastefunktion optimin etsiminen ja 2. asteen vastepintamalli Lisähavaintojen kerääminen Jos havaintoja on kerätty vain 2 k -koeasetelmaan liittyvän kuution kulmapisteissä ja keskipisteessä, joudutaan 2. asteen vastepintamallin parametrien estimoimiseksi keräämään lisähavaintoja. Suosittu valinta on kerätä lisähavainnot (koodattujen muuttujien arvoissa) koordinaattiakseleilta, etäisyyden k päässä origosta olevien pisteiden määräämistä kohdista. Nämä pisteet ovat saman pallon pinnalla kuin 2 k - koeasetelmaan liittyvän kuution kulmapisteet ja niissä estimoidun 2. asteen vastepintamallin vastemuuttujan arvoille antamien ennusteiden varianssi on vakio. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 61
Vastepintamenetelmä. Kuusinen/Heliövaara 1
Vastepintamenetelmä Kuusinen/Heliövaara 1 Vastepintamenetelmä Vastepintamenetelmässä pyritään vasteen riippuvuutta siihen vaikuttavista tekijöistä approksimoimaan tekijöiden polynomimuotoisella funktiolla,
LisätiedotKoesuunnittelu 2 k -faktorikokeet. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Koesuunnittelu 2 k -faktorikokeet TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 2 k -faktorikokeet 2 2 -faktorikokeet 2 3 -faktorikokeet 2 k -faktorikokeet TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 2 2 k -faktorikokeet: Mitä opimme?
LisätiedotVastepintamenetelmä. Heliövaara 1
Vastepintamenetelmä Kurssipalautteen antamisesta saa hyvityksenä yhden tenttipisteen. Palautelomakkeeseen tulee lähiaikoina linkki kurssin kotisivuille. Heliövaara 1 Vastepintamenetelmä Vastepintamenetelmässä
LisätiedotVastepintamenetelmä. Vilkkumaa / Kuusinen 1
Vastepintamenetelmä Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Varianssianalyysissa tutkitaan tekijöiden vaikutusta vasteeseen siten, että tekijöiden tasot on ennalta valittu. - Esim. tutkitaan kemiallisen prosessin
Lisätiedot2 2 -faktorikokeen määritelmä
TKK (c) Ilkka Mellin (005) Koesuunnittelu TKK (c) Ilkka Mellin (005) : Mitä opimme? Tarkastelemme tässä luvussa seuraavaa kysymystä: Miten varianssianalyysissa tutkitaan kahden tai useamman tekijän vaikutusta
LisätiedotKaksisuuntainen varianssianalyysi. Heliövaara 1
Kaksisuuntainen varianssianalyysi Heliövaara 1 Kaksi- tai useampisuuntainen varianssianalyysi Kaksi- tai useampisuuntaisessa varianssianalyysissa perusjoukko on jaettu ryhmiin kahden tai useamman tekijän
LisätiedotLatinalaiset neliöt. Latinalaiset neliöt. Latinalaiset neliöt. Latinalaiset neliöt: Mitä opimme? Latinalaiset neliöt
TKK (c) Ilkka Mellin (005) Koesuunnittelu TKK (c) Ilkka Mellin (005) : Mitä opimme? Tarkastelemme tässä luvussa seuraavaa kysymystä: Miten varianssianalyysissa tutkitaan yhden tekijän vaikutusta vastemuuttujaan,
LisätiedotKaksisuuntainen varianssianalyysi. Vilkkumaa / Kuusinen 1
Kaksisuuntainen varianssianalyysi Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Luennot 6 ja 7: yksisuuntaisella varianssianalyysilla testataan ryhmäkohtaisten odotusarvojen yhtäsuuruutta, kun perusjoukko on jaettu
LisätiedotLohkoasetelmat. Vilkkumaa / Kuusinen 1
Lohkoasetelmat Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi 1/3 Kaksisuuntaisella varianssianalyysilla voidaan tutkia kahden tekijän A ja B vaikutusta sekä niiden yhdysvaikutusta tutkimuksen kohteeseen Kaksisuuntaisessa
Lisätiedot2 k -faktorikokeet. Vilkkumaa / Kuusinen 1
2 k -faktorikokeet Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi 2 k -faktorikoe on k-suuntaisen varianssianalyysin erikoistapaus, jossa kaikilla tekijöillä on vain kaksi tasoa, matala (-) ja korkea (+). 2 k -faktorikoetta
LisätiedotLohkoasetelmat. Heliövaara 1
Lohkoasetelmat Heliövaara 1 Kiusatekijä Kaikissa kokeissa, kokeen tuloksiin voi vaikuttaa vaihtelu joka johtuu kiusatekijästä. Kiusatekijä on tekijä, jolla mahdollisesti on vaikutusta vastemuuttujan arvoon,
LisätiedotKeskipisteen lisääminen 2 k -faktorikokeeseen (ks. Montgomery 9-6)
Mat-.3 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit kevät Keskipisteen lisääminen k -faktorikokeeseen (ks. Montgomery 9-6) Esim (Montg. ex. 9-, 6-): Tutkitaan kemiallisen prosessin saannon Y riippuvuutta faktoreista
LisätiedotLohkoasetelmat. Kuusinen/Heliövaara 1
Lohkoasetelmat Kuusinen/Heliövaara 1 Kiusatekijä Kaikissa kokeissa kokeen tuloksiin voi vaikuttaa vaihtelu, joka johtuu kiusatekijästä. Kiusatekijä on tekijä, jolla on mahdollisesti vaikutusta vastemuuttujan
LisätiedotKertausluento. Vilkkumaa / Kuusinen 1
Kertausluento Vilkkumaa / Kuusinen 1 Kokeellinen tutkimus Kokeellisessa tutkimuksessa on tavoitteena selvittää, miten erilaiset käsittelyt vaikuttavat tutkimuksen kohteisiin - Esim. miten lämpötila ja
LisätiedotRegressioanalyysi. Vilkkumaa / Kuusinen 1
Regressioanalyysi Vilkkumaa / Kuusinen 1 Regressioanalyysin idea ja tavoitteet Regressioanalyysin idea: Halutaan selittää selitettävän muuttujan havaittujen arvojen vaihtelua selittävien muuttujien havaittujen
LisätiedotUseampisuuntainen varianssianalyysi. Useampisuuntainen varianssianalyysi. Useampisuuntainen varianssianalyysi
(c) lkka Mellin (005) Useampisuuntainen varianssianalsi ohdatus tilastotieteeseen Useampisuuntainen varianssianalsi (c) lkka Mellin (005) Useampisuuntainen varianssianalsi: Mitä opimme? arkastelemme tässä
LisätiedotHierarkkiset koeasetelmat. Heliövaara 1
Hierarkkiset koeasetelmat Heliövaara 1 Hierarkkiset koeasetelmat Kaksiasteista hierarkkista koeasetelmaa käytetään tarkasteltaessa seuraavaa kysymystä: Miten varianssianalyysissa tutkitaan kahden tekijän
LisätiedotRegressioanalyysi. Kuusinen/Heliövaara 1
Regressioanalyysi Kuusinen/Heliövaara 1 Regressioanalyysin idea ja tavoitteet Regressioanalyysin idea: Oletetaan, että haluamme selittää jonkin selitettävän muuttujan havaittujen arvojen vaihtelun joidenkin
LisätiedotJohdatus varianssianalyysiin. Vilkkumaa / Kuusinen 1
Johdatus varianssianalyysiin Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Luento 4: kahden riippumattoman otoksen odotusarvoja voidaan vertailla t-testillä H 0 : μ 1 = μ 2, T = ˉX 1 ˉX 2 s 2 1 + s2 2 n 1 n 2 a t(min[(n
LisätiedotKaksisuuntaisen varianssianalyysin tilastollisessa malli voidaan esittää seuraavassa muodossa:
Mat-.03 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit Mat-.03 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat: Kaksisuuntainen varianssianalsi Aritmeettinen keskiarvo, Estimointi, F-testi,
LisätiedotOsafaktorikokeet. Kurssipalautetta voi antaa Oodissa Kuusinen/Heliövaara 1
Osafaktorikokeet Kurssipalautetta voi antaa Oodissa 27.4.-25.5. Kuusinen/Heliövaara 1 Osafaktorikokeet Kun faktorien määrä 2 k -faktorikokeessa kasvaa, tarvittavien havaintojen määrä voi ylittää kokeen
LisätiedotToimittaja 1 2 3 Erä 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 2 1 1 0 1 0 2 2 1 3 1 3 0 4 2 4 0 3 4 0 1 2 0 4 1 0 3 2 2 2 0 2 2 1
Mat-.03 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat: Hierarkkiset koeasetelmat -faktorikokeet Vastepintamenetelmä Aritmeettinen keskiarvo, Estimaatti, Estimaattori, -testi, aktorikokeet,
LisätiedotMat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007
Mat-.104 Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 007 8. luento: Usean selittäjän lineaarinen regressiomalli Kai Virtanen 1 Usean selittäjän lineaarinen regressiomalli Selitettävän muuttujan havaittujen
LisätiedotMat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007
Mat-.04 Tilastollisen analsin perusteet, kevät 007. luento: Kaksisuuntainen varianssianalsi Kai Virtanen Kaksisuuntaisen varianssianalsin perusasetelma Jaetaan perusjoukko rhmiin kahden tekän A ja B suhteen
LisätiedotJohdatus regressioanalyysiin. Heliövaara 1
Johdatus regressioanalyysiin Heliövaara 1 Regressioanalyysin idea Oletetaan, että haluamme selittää jonkin selitettävän muuttujan havaittujen arvojen vaihtelun selittävien muuttujien havaittujen arvojen
LisätiedotYksisuuntainen varianssianalyysi (jatkoa) Kuusinen/Heliövaara 1
Yksisuuntainen varianssianalyysi (jatkoa) Kuusinen/Heliövaara 1 Odotusarvoparien vertailu Jos yksisuuntaisen varianssianalyysin nollahypoteesi H 0 : µ 1 = µ 2 = = µ k = µ hylätään, tiedetään, että ainakin
LisätiedotOdotusarvoparien vertailu. Vilkkumaa / Kuusinen 1
Odotusarvoparien vertailu Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Viime luennolta: yksisuuntaisella varianssianalyysilla testataan nollahypoteesia H 0 : μ 1 = μ 2 = = μ k = μ Jos H 0 hylätään, tiedetään, että
LisätiedotYksisuuntainen varianssianalyysi (jatkoa) Heliövaara 1
Yksisuuntainen varianssianalyysi (jatkoa) Heliövaara 1 Odotusarvoparien vertailu Jos yksisuuntaisen varianssianalyysin nollahypoteesi H 0 : µ 1 = µ 2 = = µ k = µ hylätään tiedetään, että ainakin kaksi
LisätiedotYhden selittäjän lineaarinen regressiomalli (jatkoa) Ensi viikolla ei pidetä luentoa eikä harjoituksia. Heliövaara 1
Yhden selittäjän lineaarinen regressiomalli (jatkoa) Ensi viikolla ei pidetä luentoa eikä harjoituksia Heliövaara 1 Regressiokertoimien PNS-estimaattorit Määritellään havaintojen x j ja y j, j = 1, 2,...,n
LisätiedotHarjoitus 9: Excel - Tilastollinen analyysi
Harjoitus 9: Excel - Tilastollinen analyysi Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt Syksy 2006 Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 1 Harjoituksen aiheita Tutustuminen regressioanalyysiin
LisätiedotJohdatus tilastotieteeseen Yleinen lineaarinen malli. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1
Johdatus tilastotieteeseen Yleinen lineaarinen malli TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Yleinen lineaarinen malli Usean selittäjän lineaarinen regressiomalli Yleisen lineaarisen mallin matriisisesitys Yleisen
LisätiedotIlkka Mellin Tilastolliset menetelmät. Osa 4: Lineaarinen regressioanalyysi. Yleinen lineaarinen malli. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1
Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 4: Lineaarinen regressioanalyysi Yleinen lineaarinen malli TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Yleinen lineaarinen malli >> Usean selittäjän lineaarinen regressiomalli
LisätiedotMat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007
Mat-.14 Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 7 7. luento: Tarina yhden selittään lineaarisesta regressiomallista atkuu Kai Virtanen 1 Luennolla 6 opittua Kuvataan havainnot (y, x ) yhden selittään
LisätiedotKoesuunnittelu Latinalaiset neliöt. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Koesuunnittelu Latinalaiset neliöt TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Latinalaiset neliöt Latinalaisten neliöiden koeasetelma ja sen malli Latinalaisten neliöiden koeasetelman analysointi Laskutoimitusten suorittaminen
LisätiedotMS-C2103 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit (5 op)
MS-C2103 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit (5 op) Aalto-yliopisto 2016 Käytannön järjestelyt Luennot: Luennot ma 4.1. (sali E) ja ti 5.1 klo 10-12 (sali C) Luennot 11.1.-10.2. ke 10-12 ja ma 10-12
LisätiedotMat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007
Mat-.04 Tilastollisen analsin perusteet, kevät 007. luento: Kaksisuuntainen varianssianalsi Kai Virtanen Kaksisuuntaisen varianssianalsin perusasetelma aetaan perusoukko rhmiin kahden tekän A a B suhteen
LisätiedotTilastollisen analyysin perusteet Luento 9: Moniulotteinen lineaarinen. regressio
Tilastollisen analyysin perusteet Luento 9: lineaarinen lineaarinen Sisältö lineaarinen lineaarinen lineaarinen Lineaarinen Oletetaan, että meillä on n kappaletta (x 1, y 1 ), (x 2, y 2 )..., (x n, y n
Lisätiedot1 Rajoittamaton optimointi
Taloustieteen matemaattiset menetelmät 7 materiaali 5 Rajoittamaton optimointi Yhden muuttujan tapaus f R! R Muistutetaan mieleen maksimin määritelmä. Funktiolla f on maksimi pisteessä x jos kaikille y
LisätiedotJohdatus tilastotieteeseen Estimointi. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus tilastotieteeseen Estimointi TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Estimointi Todennäköisyysjakaumien parametrit ja niiden estimointi Hyvän estimaattorin ominaisuudet TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 2 Estimointi:
LisätiedotABHELSINKI UNIVERSITY OF TECHNOLOGY
Johdatus regressioanalyysiin Regressioanalyysin idea Oletetaan, että haluamme selittää jonkin selitettävän muuttujan havaittujen arvojen vaihtelun selittävien muuttujien havaittujen arvojen vaihtelun avulla.
LisätiedotMS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 7: Pienimmän neliösumman menetelmä ja Newtonin menetelmä.
MS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 7: Pienimmän neliösumman menetelmä ja Newtonin menetelmä. Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Kevät 2016
LisätiedotEstimointi. Estimointi. Estimointi: Mitä opimme? 2/4. Estimointi: Mitä opimme? 1/4. Estimointi: Mitä opimme? 3/4. Estimointi: Mitä opimme?
TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Johdatus tilastotieteeseen TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 2 Mitä opimme? 1/4 Tilastollisen tutkimuksen tavoitteena on tehdä johtopäätöksiä prosesseista, jotka generoivat reaalimaailman
LisätiedotTilastollisen analyysin perusteet Luento 8: Lineaarinen regressio, testejä ja luottamusvälejä
Tilastollisen analyysin perusteet Luento 8: Lineaarinen regressio, testejä ja luottamusvälejä arvon Sisältö arvon Bootstrap-luottamusvälit arvon arvon Oletetaan, että meillä on n kappaletta (x 1, y 1 ),
LisätiedotJohdatus tilastotieteeseen Kaksisuuntainen varianssianalyysi. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
ohdatus tilastotieteeseen Kaksisuuntainen varianssianalyysi TKK (c) Ilkka Mellin (2005) Kaksisuuntainen varianssianalyysi Varianssianalyysi: ohdanto Kaksisuuntainen varianssianalyysi ja sen suorittaminen
LisätiedotJohdatus tilastotieteeseen Testit suhdeasteikollisille muuttujille. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1
Johdatus tilastotieteeseen Testit suhdeasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (004) 1 Testit suhdeasteikollisille muuttujille Testit normaalijakauman parametreille Yhden otoksen t-testi Kahden
LisätiedotAltistusaika 1 kk 2 kk 3 kk 1.35 1.53 1.38 1.35 1.63 1.51 1.60 1.40 2.18 1.77 1.66 1.98 1.73 1.76 1.60 1.72
Mat-.03 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit Mat-.03 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit / Ratkaisut iheet: vainsanat: Kaksisuuntainen varianssianalsi Lohkoasetelmat Latinalaiset neliöt ritmeettinen
LisätiedotMS-C2103 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit (5 op)
MS-C2103 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit (5 op) Aalto-yliopisto 2017 Todennäköisyyslaskennan kertaus Satunnaismuuttujat ja tn-jakaumat Tunnusluvut χ 2 -, F- ja t-jakauma Riippumattomuus Tilastotieteen
LisätiedotJohdatus tilastotieteeseen Testit laatueroasteikollisille muuttujille. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1
Johdatus tilastotieteeseen Testit laatueroasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Testit laatueroasteikollisille muuttujille Laatueroasteikollisten muuttujien testit Testi suhteelliselle
LisätiedotTestejä suhdeasteikollisille muuttujille
Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Testejä suhdeasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (007) 1 Testejä suhdeasteikollisille muuttujille >> Testit normaalijakauman
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 30. marraskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 30. marraskuuta 2007 1 / 19 1 Lineaarinen regressiomalli ja suurimman uskottavuuden menetelmä Minimin löytäminen
LisätiedotJohdatus tilastotieteeseen Testit suhdeasteikollisille muuttujille. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus tilastotieteeseen Testit suhdeasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (005) 1 Testit suhdeasteikollisille muuttujille Testit normaalijakauman parametreille Yhden otoksen t-testi Kahden
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 22. marraskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 22. marraskuuta 2007 1 / 17 1 Epäparametrisia testejä (jatkoa) χ 2 -riippumattomuustesti 2 Johdatus regressioanalyysiin
Lisätiedot1. YKSISUUNTAINEN VARIANSSIANALYYSI: AINEISTON ESITYSMUODOT
Mat-2.104 Tilastollisen analyysin perusteet / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat: Yksisuuntainen varianssianalyysi Bartlettin testi, Bonferronin menetelmä, F-testi, Jäännösneliösumma, χ 2 -testi, Kokonaiskeskiarvo,
LisätiedotJohdatus todennäköisyyslaskentaan Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia Johdanto χ 2 -jakauma F-jakauma t-jakauma TKK (c) Ilkka Mellin
LisätiedotErityiskysymyksiä yleisen lineaarisen mallin soveltamisessa
Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 4: Lineaarinen regressioanalyysi Erityiskysymyksiä yleisen lineaarisen mallin soveltamisessa TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Erityiskysymyksiä yleisen lineaarisen
LisätiedotOsa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi
Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Estimointi TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Estimointi >> Todennäköisyysjakaumien parametrit ja niiden estimointi Hyvän estimaattorin
LisätiedotJos nyt on saatu havaintoarvot Ü ½ Ü Ò niin suurimman uskottavuuden
1.12.2006 1. Satunnaisjakauman tiheysfunktio on Ü µ Üe Ü, kun Ü ja kun Ü. Määritä parametrin estimaattori momenttimenetelmällä ja suurimman uskottavuuden menetelmällä. Ratkaisu: Jotta kyseessä todella
LisätiedotTilastollisen analyysin perusteet Luento 7: Lineaarinen regressio
Tilastollisen analyysin perusteet Luento 7: Lineaarinen regressio Sisältö Regressioanalyysissä tavoitteena on tutkia yhden tai useamman selittävän muuttujan vaikutusta selitettävään muuttujaan. Sen avulla
LisätiedotMS-C2103 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit (5 op)
MS-C2103 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit (5 op) Aalto-yliopisto 2017 Käytännön järjestelyt Luennot: Luennot maanantaisin (sali E) ja keskiviikkoisin (sali U4) klo 10-12 Luennoitsija: (lauri.viitasaari@aalto.fi)
Lisätiedot1. YKSISUUNTAINEN VARIANSSIANALYYSI: AINEISTON ESITYSMUODOT
imat-2.104 Tilastollisen analyysin perusteet / Tehtävät Aiheet: Avainsanat: Ysisuuntainen varianssianalyysi Bartlettin testi, Bonferronin menetelmä, F-testi, Jäännösneliösumma, χ 2 -testi, Koonaisesiarvo,
LisätiedotTestit laatueroasteikollisille muuttujille
Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Testit laatueroasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Testit laatueroasteikollisille muuttujille >> Laatueroasteikollisten
LisätiedotIlkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Estimointi
Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Estimointi TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 1 Estimointi >> Todennäköisyysjakaumien parametrit ja niiden estimointi Hyvän estimaattorin
Lisätiedot2. Teoriaharjoitukset
2. Teoriaharjoitukset Demotehtävät 2.1 Todista Gauss-Markovin lause. Ratkaisu. Oletetaan että luentokalvojen standardioletukset (i)-(v) ovat voimassa. Huomaa että Gauss-Markovin lause ei vaadi virhetermien
LisätiedotLuento 8: Epälineaarinen optimointi
Luento 8: Epälineaarinen optimointi Vektoriavaruus R n R n on kaikkien n-jonojen x := (x,..., x n ) joukko. Siis R n := Määritellään nollavektori 0 = (0,..., 0). Reaalisten m n-matriisien joukkoa merkitään
LisätiedotYleistetyistä lineaarisista malleista
Yleistetyistä lineaarisista malleista Tilastotiede käytännön tutkimuksessa -kurssi, kesä 2001 Reijo Sund Klassinen lineaarinen malli y = Xb + e eli E(Y) = m, jossa m = Xb Satunnaiskomponentti: Y:n komponentit
LisätiedotEstimointi. Vilkkumaa / Kuusinen 1
Estimointi Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Tilastollisessa tutkimuksessa oletetaan jonkin jakauman generoineen tutkimuksen kohteena olevaa ilmiötä koskevat havainnot Tämän mallina käytettävän todennäköisyysjakauman
LisätiedotJohdatus todennäköisyyslaskentaan Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (005) 1 Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia Multinomijakauma Kaksiulotteinen normaalijakauma TKK (c) Ilkka
LisätiedotVäliestimointi (jatkoa) Heliövaara 1
Väliestimointi (jatkoa) Heliövaara 1 Bernoulli-jakauman odotusarvon luottamusväli 1/2 Olkoon havainnot X 1,..., X n yksinkertainen satunnaisotos Bernoulli-jakaumasta parametrilla p. Eli X Bernoulli(p).
LisätiedotLuento 8: Epälineaarinen optimointi
Luento 8: Epälineaarinen optimointi Vektoriavaruus R n R n on kaikkien n-jonojen x := (x,..., x n ) joukko. Siis R n := Määritellään nollavektori = (,..., ). Reaalisten m n-matriisien joukkoa merkitään
LisätiedotMoniulotteisia todennäköisyysjakaumia. Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia. Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia: Mitä opimme?
TKK (c) Ilkka Mellin (4) Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia Johdatus todennäköisyyslaskentaan Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (4) Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia: Mitä
LisätiedotMoniulotteisia todennäköisyysjakaumia
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (007) 1 Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia >> Multinomijakauma Kaksiulotteinen
LisätiedotKorrelaatiokertoinen määrittely 165
kertoinen määrittely 165 Olkoot X ja Y välimatka- tai suhdeasteikollisia satunnaismuuttujia. Havaintoaineistona on n:n suuruisesta otoksesta mitatut muuttuja-arvoparit (x 1, y 1 ), (x 2, y 2 ),..., (x
Lisätiedotχ = Mat Sovellettu todennäköisyyslasku 11. harjoitukset/ratkaisut
Mat-2.091 Sovellettu todennäköisyyslasku /Ratkaisut Aiheet: Yhteensopivuuden testaaminen Homogeenisuuden testaaminen Riippumattomuuden testaaminen Avainsanat: Estimointi, Havaittu frekvenssi, Homogeenisuus,
LisätiedotJohdatus tilastotieteeseen Regressiomallin valinta. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1
Johdatus tilastotieteeseen Regressiomallin valinta TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Regressiomallin valinta Regressiomallin valinta: Johdanto Mallinvalintatestit Mallinvalintakriteerit Epälineaaristen riippuvuuksien
LisätiedotJohdatus regressioanalyysiin
Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 4: Lineaarinen regressioanalyysi Johdatus regressioanalyysiin TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Johdatus regressioanalyysiin >> Regressioanalyysin lähtökohdat ja tavoitteet
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 16. marraskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 16. marraskuuta 2007 1 / 15 1 Epäparametrisia testejä χ 2 -yhteensopivuustesti Homogeenisuuden testaaminen Antti
LisätiedotDerivaatta: funktion approksimaatio lineaarikuvauksella.
Viikko 5 Tällä viikolla yleistetään R 2 :n ja R 3 :n vektorialgebran peruskäsitteet n-ulotteiseen avaruuteen R n, ja määritellään lineaarikuvaus. Tarkastellaan funktioita, joiden määrittelyjoukko on n-ulotteisen
LisätiedotIlkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (006) 1 Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia >> Multinomijakauma Kaksiulotteinen
LisätiedotTestit järjestysasteikollisille muuttujille
Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Testit järjestysasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Testit järjestysasteikollisille muuttujille >> Järjestysasteikollisten
LisätiedotTilastollinen testaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1
Tilastollinen testaus Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Viime luennolla: havainnot generoineen jakauman muoto on usein tunnettu, mutta parametrit tulee estimoida Joskus parametreista on perusteltua esittää
LisätiedotJohdatus tilastotieteeseen Johdatus regressioanalyysiin. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus tilastotieteeseen Johdatus regressioanalyysiin TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus regressioanalyysiin Regressioanalyysin lähtökohdat ja tavoitteet Deterministiset mallit ja regressioanalyysi
LisätiedotTA7, Ekonometrian johdantokurssi HARJOITUS 4 1 RATKAISUEHDOTUKSET
TA7, Ekonometrian johdantokurssi HARJOITUS 4 1 RATKAISUEHDOTUKSET 16..015 1. a Poliisivoimien suuruuden lisäksi piirikuntien rikostilastoihin vaikuttaa monet muutkin tekijät. Esimerkiksi asukkaiden keskimääräinen
Lisätiedot1. KAKSISUUNTAINEN VARIANSSIANALYYSI: TULOSTEN TULKINTA
Mat-2.104 Tilastollisen analyysin perusteet / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat: Kaksisuuntainen varianssianalyysi Bonferronin menetelmä, F-testi, Jäännösneliösumma, Kaksisuuntainen varianssianalyysi Kokonaiskeskiarvo,
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 8. marraskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 8. marraskuuta 2007 1 / 18 1 Kertausta: momenttimenetelmä ja suurimman uskottavuuden menetelmä 2 Tilastollinen
LisätiedotDiskriminanttianalyysi I
Diskriminanttianalyysi I 12.4-12.5 Aira Hast 24.11.2010 Sisältö LDA:n kertaus LDA:n yleistäminen FDA FDA:n ja muiden menetelmien vertaaminen Estimaattien laskeminen Johdanto Lineaarinen diskriminanttianalyysi
LisätiedotEsimerkki 19. Esimerkissä 16 miniminormiratkaisu on (ˆx 1, ˆx 2 ) = (1, 0).
Esimerkki 9 Esimerkissä 6 miniminormiratkaisu on (ˆx, ˆx (, 0 Seuraavaksi näytetään, että miniminormiratkaisuun siirtyminen poistaa likimääräisongelman epäyksikäsitteisyyden (mutta lisääntyvän ratkaisun
LisätiedotOminaisarvoon 4 liittyvät ominaisvektorit ovat yhtälön Ax = 4x eli yhtälöryhmän x 1 + 2x 2 + x 3 = 4x 1 3x 2 + x 3 = 4x 2 5x 2 x 3 = 4x 3.
Matematiikan ja tilastotieteen laitos Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II Ylimääräinen harjoitus 6 Ratkaisut A:n karakteristinen funktio p A on λ p A (λ) det(a λi ) 0 λ ( λ) 0 5 λ λ 5 λ ( λ) (( λ) (
LisätiedotIlkka Mellin Tilastolliset menetelmät. Osa 4: Lineaarinen regressioanalyysi. Regressiomallin valinta. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1
Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 4: Lineaarinen regressioanalyysi Regressiomallin valinta TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Regressiomallin valinta >> Regressiomallin valinta: Johdanto Mallinvalintatestit
LisätiedotTilastolliset menetelmät. Osa 3: Tilastolliset testit. Tilastollinen testaus KE (2014) 1
Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Tilastollinen testaus KE (2014) 1 Tilastolliset testit >> Tilastollinen testaus Tilastolliset hypoteesit Tilastolliset testit ja testisuureet Virheet
LisätiedotHarjoitus 7: NCSS - Tilastollinen analyysi
Harjoitus 7: NCSS - Tilastollinen analyysi Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt Syksy 2006 Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 1 Harjoituksen aiheita Tilastollinen testaus Testaukseen
LisätiedotPienimmän neliösumman menetelmä
Pienimmän neliösumman menetelmä Keijo Ruotsalainen Division of Mathematics Funktion sovitus Datapisteet (x 1,...,x n ) Annettu data y i = f(x i )+η i, missä f(x) on tuntematon funktio ja η i mittaukseen
LisätiedotTilastollisen analyysin perusteet Luento 10: Johdatus varianssianalyysiin
Tilastollisen analyysin perusteet Luento 10: Sisältö Varianssianalyysi Varianssianalyysi on kahden riippumattoman otoksen t testin yleistys. Varianssianalyysissä perusjoukko koostuu kahdesta tai useammasta
LisätiedotIlkka Mellin Tilastolliset menetelmät. Osa 3: Tilastolliset testit. Tilastollinen testaus. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1
Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Tilastollinen testaus TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Tilastolliset testit >> Tilastollinen testaus Tilastolliset hypoteesit Tilastolliset
LisätiedotNormaalijakaumasta johdettuja jakaumia
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia >> Johdanto χ 2 -jakauma F-jakauma
LisätiedotNumeeriset menetelmät TIEA381. Luento 6. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 6 () Numeeriset menetelmät / 33
Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 6 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 6 () Numeeriset menetelmät 4.4.2013 1 / 33 Luennon 6 sisältö Interpolointi ja approksimointi Polynomi-interpolaatio: Vandermonden
LisätiedotHarha mallin arvioinnissa
Esitelmä 12 Antti Toppila sivu 1/18 Optimointiopin seminaari Syksy 2010 Harha mallin arvioinnissa Antti Toppila 13.10.2010 Esitelmä 12 Antti Toppila sivu 2/18 Optimointiopin seminaari Syksy 2010 Sisältö
LisätiedotYleinen lineaarinen malli
MS-C2128 Ennustaminen ja Aikasarja-analyysi, Heikki Seppälä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy 2015 Viikko 1: 1 Määritelmä ja standardioletukset 2
LisätiedotJohdatus todennäköisyyslaskentaan Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio TKK (c) Ilkka Mellin (5) 1 Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio Momenttiemäfunktio Diskreettien jakaumien momenttiemäfunktioita
Lisätiedotf(x 1, x 2 ) = x x 1 k 1 k 2 k 1, k 2 x 2 1, 0 1 f(1, 1)h 1 = h = h 2 1, 1 12 f(1, 1)h 1 h 2
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi I, syksy 7 Harjoitus 6 Ratkaisuehdotukset 6.. Olkoon f : G R, G = {(x, x ) R x > }, f(x, x ) = x x. Etsi differentiaalit d k f(, ), k =,,. Ratkaisu:
LisätiedotMS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 6: Ääriarvojen luokittelu. Lagrangen kertojat.
MS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 6: Ääriarvojen luokittelu. Lagrangen kertojat. Jarmo Malinen Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 1 Aalto-yliopisto Kevät 2016 1 Perustuu
Lisätiedot