4 Heuristinen haku. Eero Hyvönen Helsingin yliopisto
|
|
- Anton Kouki
- 7 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 4 Heuristinen haku Eero Hyvönen Helsingin yliopisto
2 Strategioita: - Breath-first - Uniform-cost - Depth-first - Depth-limited - Iterative deepening - Bidirectional Tekoäly, Eero Hyvönen,
3 Heuristisen haun idea Uninformed search Hakustrategia perustuu tietoon tilaavaruuteen Ongelma: seuraavaksi laajennettavaa solmua ei aina pystytä valitsemaan järkevästi vain tila-avaruuden perusteella Ilman hyvää valintastrategiaa haku harhailee Informed / heuristic search Tila-avaruuden ulkopuolisen tiedon hyödyntäminen hakustrategiassa Tekoäly, Eero Hyvönen,
4 Solmun valinnan kriteerejä Arvofunktio (evalution function) f(n) Solmun kautta kulkevan ratkaisupolun kustannusarvio f(n) on sellainen, että se helppo laskea lokaalisti f(n) ei siksi välttämättä johda oikeaan valintaan! Jos f(n) laskettaisiin globaalisti, ei hakua edes tarvittaisi! Paras polku löytyisi ilman erehdyksiä Hakua voidaan eliminoida hyvällä f;llä ja huonoa f:a kompensoida haulla Kokonaiskustannus ratkaisee haun tehokkuuden Heuristinen funktio (heuristic function) h(n) Kustannusarvio solmusta n tavoite solmuun f(n) = g(n) + h(n) Tekoäly, Eero Hyvönen,
5 Paras ensin -haku (best-first) Idea: puu tai verkkohaku, jossa lavennetaan aina paras solmu ensin Best-first search Valintaan aina solmu, jolla pienin f(n) Greedy best-first search f(n)=h(n) Eli välitetä aiemmista kustannuksista g(n) A* search Huomioidaan myös aiemmat kustannukset f(n) = g(n) + h(n) Tekoäly, Eero Hyvönen,
6 Esimerkki: f(n) 234 Tekoäly, Eero Hyvönen,
7 Matka linnuntietä Bukarestiin on tilaavaruuden ulkopuolinen tieto Sitä ei voida laskea ongelmasta Linnuntiemitta korreloi todellisen matkan kanssa Eli se on heuristiikka Tekoäly, Eero Hyvönen,
8 Tekoäly, Eero Hyvönen,
9 Tekoäly, Eero Hyvönen,
10 Tekoäly, Eero Hyvönen,
11 Tekoäly, Eero Hyvönen,
12 Tekoäly, Eero Hyvönen,
13 b = haarautumiskerroin m = tila-avaruuden maksimisyvyys d = matalimman ratkaisun syvyys Tekoäly, Eero Hyvönen,
14 Tekoäly, Eero Hyvönen,
15 Tekoäly, Eero Hyvönen,
16 (vrt. greedy best-first haku) Tekoäly, Eero Hyvönen,
17 Tekoäly, Eero Hyvönen,
18 Tekoäly, Eero Hyvönen,
19 Tekoäly, Eero Hyvönen,
20 Huom: tämä ei ole ratkaisu! Solmu ei jää avoimen listan (fringe) kärkeen. Tekoäly, Eero Hyvönen,
21 Tämä on eri ratkaisu kuin greedy best-first haussa ja optimaalinen Tekoäly, Eero Hyvönen,
22 Tekoäly, Eero Hyvönen,
23 Tekoäly, Eero Hyvönen,
24 Tekoäly, Eero Hyvönen,
25 Tekoäly, Eero Hyvönen,
26 Suhteellinen virhe siis pienentää eksponentiaalisuutta: jos virhe on 0 eksponentiaalisuus häviää (= osataan aina tehdä aina oikea valinta) Tekoäly, Eero Hyvönen,
27 Tekoäly, Eero Hyvönen,
28 Tekoäly, Eero Hyvönen,
29 Verkkohaun optimaalisuus A* on optimaalinen puuhaulle, kun h(n) on admissible (salliva, optimistinen) Verkkohaussa aiemmin lavennetun solmun hylkääminen voi karsia optimiratkaisun Tämä ongelma voidaan korjata Yksi ratkaisu: järjestetään haku niin, että optimipolku jokaiseen toisteiseen tilaan löydetään aina ensin Onnistuu valitsemalla sopiva h(n) Verkkohaku on optimaalinen, jos h(n) on konsistentti (consistent) eli monotoninen (monotonic) Tekoäly, Eero Hyvönen,
30 - Esimerkiksi linnuntieheuristiikka on konsistentti (monotoninen) - Optimistinen (admissible) ei ole kuitenkaan välttämättä monotoninen - Consistent => Admissible Tekoäly, Eero Hyvönen,
31 A* karsii hakupuuta, kun f(n)> optimi ratkaisu A* on optimally efficient Ei ole olemassa vähempää solmuja laventavaa algoritmia (Poislukien strategiat, kun f(n) sama monelle solmulle) Ongelmia kuitenkin jää Exponentiaalinen määrä solmuja listalla Exponentiaalinen aika ja tilakompleksisuus Erityisesti tilakompleksisuus on ongelma käytännössä Tekoäly, Eero Hyvönen,
32 Muistinrajoitus heuristisessa haussa A*:n tilaongelman ratkaisumalleja IDA* = Iterative Deepening + A* Iteraatioiden rajoitus f-arvolla (eikä syvyydellä) Recursive Best-First Search (RNFS) Muistaa muiden solmujen f-arvojen minimin ja voi keskeyttää kalliimman polun tutkimisen Memory-Bounded A* (MA*), Simplified MA* Pyrkivät käyttämään muistia maksimaalisesti, muttei liikaa Tekoäly, Eero Hyvönen,
33 Recursive Best-First Search (RBFS) Solmun kohdalla ylläpidetään tietoa toiseksi parhaan haaran minimikustannuksesta (laatikko) ja päivitetään solmun miniarvoa Tekoäly, Eero Hyvönen,
34 Rimnicu Vilcean kustannus (alisolmussa) ylitti laatikon arvo, joten jatketaan hakua tätä vastaavasta solmusta (toiseksi paras solmu) Tekoäly, Eero Hyvönen,
35 Samoin käy Fagarasille, joten jatketaan uudelleen Rimnicu Vilceasta, jolla taas minimikustannus. Nyt Timisoaran kustannus on toiseksi paras. Bucharestilla pienempi arvo kuin toiseksi parhaalla, joten se on ratkaisu. Tekoäly, Eero Hyvönen,
36 Tekoäly, Eero Hyvönen,
37 Tekoäly, Eero Hyvönen,
38 Tekoäly, Eero Hyvönen,
39 Tekoäly, Eero Hyvönen,
40 Tekoäly, Eero Hyvönen,
41 Tekoäly, Eero Hyvönen,
42 Tekoäly, Eero Hyvönen,
43 Local Search (Tilahaku)
44 Sisältö Tilahaun idea Hill climbing Simulated annealing (simuloitu jäähdytys) Geneettiset algoritmit Haku jatkuvilla arvoilla Tekoäly, Eero Hyvönen,
45 Tilahaun idea Lopputila = ratkaisu Hakupolku ei kiinnosta! Esim. n kuningattaren sijoittaminen shakkiruudukkoon ilman uhkausta (n-queens) Tila-avaruuden tilat: Täydellisiä ratkaisukandidaatteja Esim. kuningattaret ruudukolla, aikataulut Iteratiivisen parantamisen idea Otetaan ratkaisukandidaatti ja parannetaan sitä Edellyttää, että kandidaatteja on helppo luoda Optimointiongelmat Parhaan ratkaisun löytäminen arvofunktion (objective function) suhteen Tekoäly, Eero Hyvönen,
46 Tekoäly, Eero Hyvönen,
47 Tekoäly, Eero Hyvönen,
48 Tekoäly, Eero Hyvönen,
49 Tekoäly, Eero Hyvönen,
50 Esimerkki: lokaali optimi h=1, jokainen kuningattaren siirto sarakkeella => h>1 Tekoäly, Eero Hyvönen,
51 Jos T pienenee riittävän hitaasti, SA löytää lopulta optimin Tekoäly, Eero Hyvönen,
52 Suvuton lisääntyminen Tekoäly, Eero Hyvönen,
53 Geneettiset algoritmit Idea: luonnossa tapahtuva darwinilainen suvullinen lisääntyminen ja luonnonvalinta tuottaa yhä parempia ratkaisuja Soveltuu mm. hankalasti muotoiltavien optimointiongelmien ratkaisuun Esim. tarkkaa tavoitetta voi voida tietää Tekoäly, Eero Hyvönen,
54 Geneettinen algoritmi Yksilön koodaus geeninä Tekoäly, Eero Hyvönen,
55 Eräs sovellus Rikollisen tunnistekuvan interaktiivinen konstruointi Kasvokuvan parametrointi Nenän pituus, silmien väri, jne Kone tuottaa kasvopopulaatioita Silminäkijä toimii luonnonvalintana Valitsee aina eniten rikollisen näköiset Lopputuloksena rikollisen tunnistekuva Hakua ei voi soveltaa, kun lopputila on tuntematon! Tekoäly, Eero Hyvönen,
56 Tekoäly, Eero Hyvönen,
57 Tekoäly, Eero Hyvönen,
58 Tekoäly, Eero Hyvönen,
59 Lähteet S. Russell, P. Norvig: Artificial Intelligence, a Modern Approach. Prentice-Hall, S. Russell, Tekoälykurssin kalvot Berkleyn yliopistossa, Tekoäly, Eero Hyvönen,
5. Rajoitelaskenta (Constraint Satisfaction)
5. Rajoitelaskenta (Constraint Satisfaction) Eero Hyvönen Helsingin yliopisto Solution = An assignment of values for the variables satifying the contraints Some CSPs: optimal solution is the best solution
LisätiedotKognitiivinen mallintaminen 1
Kognitiivinen mallintaminen 1 Uutta infoa: Kurssin kotisivut wikissä: http://wiki.helsinki.fi/display/kognitiotiede/cog241 Suorittaminen tentillä ja laskareilla (ei välikoetta 1. periodissa) Ongelmanratkaisu
LisätiedotKognitiivinen mallintaminen I
Kognitiivinen mallintaminen I Symbolinen mallintaminen: 2. luento Ongelmanratkaisu Ongelmanratkaisu Rationaalinen agentti Ongelma-avaruus Hakustrategiat ongelma-avaruudessa sokea haku tietoinen haku heuristiikat
Lisätiedot3. Ongelmanratkonta haun avulla. Eero Hyvönen Helsingin yliopisto
3. Ongelmanratkonta haun avulla Eero Hyvönen Helsingin yliopisto Haku Tavoiteperustaisilla agenteilla Tavoitteen (goal( goal) ) saavuttaminen Ongelman muotoilu (sopivalla yleisyystasolla) Esim. maailma
LisätiedotHaku osittaisen informaation vallitessa
136 Haun merkittävä ongelma on mahdollisuus laajentaa uudelleen jo kertaalleen tutkittu tila Näin äärellinen tila-avaruus voi johtaa äärettömään hakupuuhun Ratkeava ongelma voi muuttua käytännössä ratkeamattomaksi
LisätiedotRationaalinen agentti. Kognitiivinen mallintaminen I. Rationaalinen agentti. Rationaalinen agentti. Kognitiivinen mallintaminen I, kevät /1/08
Rationaalinen agentti Kognitiivinen mallintaminen I Yksinkertainen refleksiagentti Toiminta perustuu ainoastaan agentin havaintoihin kullakin ajanhetkellä. Luento III Symbolinen mallintaminen Ongelmanratkaisu
LisätiedotMat Lineaarinen ohjelmointi
Mat-.34 Lineaarinen ohjelmointi 9..7 Luento Kokonaislukuoptimoinnin algoritmeja (kirja.-.) Lineaarinen ohjelmointi - Syksy 7 / Luentorunko Gomoryn leikkaava taso Branch & Bound Branch & Cut Muita menetelmiä
Lisätiedot.. X JOHDATUS TEKOÄLYYN TEEMU ROOS
1 3 1 3 4 3 2 3 4 3 2 3 1 2 3 4 122 31 4 3 1 4 3 1 122 31........ X.... X X 2 3 1 4 1 4 3 2 3 2 4 1 4 JOHDATUS TEKOÄLYYN TEEMU ROOS 2. ETSINTÄ JA PELIT LEVEYSSUUNTAINEN HAKU 1 9 3 2 5 4 6 7 11 16 8 12
LisätiedotEero Hyvönen Helsingin yliopisto
2. Älykkäät t agentit Eero Hyvönen Helsingin yliopisto Agentin äly = funktio Tekoäly, Eero Hyvönen, 2004 2 Esimerkki agentista Tekoäly, Eero Hyvönen, 2004 3 Pölynimurin agenttifunktio Taulukkona Ohjelmana
LisätiedotLuetteloivat ja heuristiset menetelmät. Mat , Sovelletun matematiikan tutkijaseminaari, kevät 2008, Janne Karimäki
Luetteloivat ja heuristiset menetelmät Mat-2.4191, Sovelletun matematiikan tutkijaseminaari, kevät 2008, Janne Karimäki Sisältö Branch and Bound sekä sen variaatiot (Branch and Cut, Lemken menetelmä) Optimointiin
LisätiedotOngelma 1: Ovatko kaikki tehtävät/ongelmat deterministisiä?
Ongelma 1: Ovatko kaikki tehtävät/ongelmat deterministisiä? 2012-2013 Lasse Lensu 2 Ongelma 2: Milloin ongelmat muuttuvat oikeasti hankaliksi? 2012-2013 Lasse Lensu 3 Ongelma 3: Miten hankalia ongelmia
LisätiedotOhjelmistotekniikan laitos OHJ-2550 Tekoäly, kevät
128 Näille pätee kolmioepäyhtälö (triangle inequality) muodossa h(n) c([n,a], n') + h(n'), missä n' S(n) (valittu toiminto on a) ja c([n,a], n') on askelkustannus Linnuntie on myös monotoninen heuristiikka
Lisätiedot4 INFORMOITU ETSINTÄ AHNE PARAS ENSIN -STRATEGIA
INFORMOITU ETINTÄ okeilla etsintämenetelmillä ei ole käytössään muuta informaatiota kuin etsintäongelman määrittely. Informoidut etsintämenetelmät (informed search strategies) ovat sellaisia, jotka voivat
LisätiedotJOHDATUS TEKOÄLYYN TEEMU ROOS
JOHDATUS TEKOÄLYYN TEEMU ROOS KURSSIN PERUSTIEDOT VALINNAINEN AINEOPINTOTASOINEN KURSSI, 5 OP PERIODI 3: 16.1.2017-3.3.2016 (7 VIIKKOA+KOE) LUENNOT (CK112): MA 14-16, TI 14-16 LASKUHARJOITUKSET: RYHMÄ
LisätiedotPisteen x lähistö koostuu kaikista ratkaisuista, jotka on saatu x:stä tekemällä siihen yksi siirto:
24 10. Lokaali haku Optimoinnissa heuristisilla menetelmillä tarkoitetaan algoritmeja, jotka osassa tapauksista antavat tehtävälle hyvän tai lähes optimaalisen ratkaisun, mutta joiden toimivuutta ei voida
LisätiedotAlgoritmit 2. Luento 12 Ke Timo Männikkö
Algoritmit 2 Luento 12 Ke 26.4.2017 Timo Männikkö Luento 12 Rajoitehaku Kauppamatkustajan ongelma Lyhin virittävä puu Paikallinen etsintä Vaihtoalgoritmit Geneettiset algoritmit Simuloitu jäähdytys Algoritmit
LisätiedotOngelma 1: Ovatko kaikki tehtävät/ongelmat deterministisiä?
Ongelma 1: Ovatko kaikki tehtävät/ongelmat deterministisiä? 2013-2014 Lasse Lensu 2 Ongelma 2: Milloin ongelmat muuttuvat oikeasti hankaliksi? 2013-2014 Lasse Lensu 3 Ongelma 3: Miten hankalia ongelmia
LisätiedotJOHDATUS TEKOÄLYYN TEEMU ROOS
JOHDATUS TEKOÄLYYN TEEMU ROOS KURSSIN PERUSTIEDOT VALINNAINEN AINEOPINTOTASOINEN KURSSI, 4 OP PERIODI 1: 6.9.2012-12.10.2012 (6 VIIKKOA) LUENNOT (B123, LINUS TORVALDS -AUDITORIO): TO 10-12, PE 12-14 LASKUHARJOITUKSET
LisätiedotAlgoritmit 2. Luento 11 Ti Timo Männikkö
Algoritmit 2 Luento 11 Ti 24.4.2018 Timo Männikkö Luento 11 Rajoitehaku Kapsäkkiongelma Kauppamatkustajan ongelma Paikallinen etsintä Lyhin virittävä puu Vaihtoalgoritmit Algoritmit 2 Kevät 2018 Luento
LisätiedotImplementation of Selected Metaheuristics to the Travelling Salesman Problem (valmiin työn esittely)
Implementation of Selected Metaheuristics to the Travelling Salesman Problem (valmiin työn esittely) Jari Hast xx.12.2013 Ohjaaja: Harri Ehtamo Valvoja: Hari Ehtamo Työn saa tallentaa ja julkistaa Aalto-yliopiston
LisätiedotKombinatorinen optimointi
Kombinatorinen optimointi Sallittujen pisteiden lukumäärä on äärellinen Periaatteessa ratkaisu löydetään käymällä läpi kaikki pisteet Käytännössä lukumäärä on niin suuri, että tämä on mahdotonta Usein
LisätiedotOhjelmistotekniikan laitos OHJ-2550 Tekoäly, kevät
96 Prolog voi päätyä samaan ratkaisuun monen päättelypolun kautta Tällöin sama ratkaisu palautetaan useita kertoja minimum(x,y,x):- X=Y. Molempien sääntöjen kautta löytyyy sama
LisätiedotKuvioton metsäsuunnittelu Paikkatietomarkkinat, Helsinki Tero Heinonen
Paikkatietomarkkinat, Helsinki 3.11.2009 Tero Heinonen Sisältö Kuvioton metsäsuunnittelu Optimointi leimikon suunnittelumenetelmänä Verrataan optimointi lähestymistapaa diffuusiomenetelmään Muuttuvat käsittely-yksiköt
LisätiedotJOHDATUS TEKOÄLYYN TEEMU ROOS
JOHDATUS TEKOÄLYYN TEEMU ROOS KURSSIN PERUSTIEDOT VALINNAINEN AINEOPINTOTASOINEN KURSSI, 5 OP PERIODI 3: 18.1.2016-6.3.2016 (7 VIIKKOA+KOE) LUENNOT (CK112): MA 14-16, TI 14-16 LASKUHARJOITUKSET: RYHMÄ
LisätiedotPohdiskeleva ajattelu ja tasapainotarkennukset
Pohdiskeleva ajattelu ja tasapainotarkennukset Sanna Hanhikoski 24.3.2010 Sisältö Pohdiskeleva ajattelu Nashin tasapainotarkennukset Täydellinen tasapaino Täydellinen bayesiläinen tasapaino Vaiheittainen
Lisätiedot10. Painotetut graafit
10. Painotetut graafit Esiintyy monesti sovelluksia, joita on kätevä esittää graafeina. Tällaisia ovat esim. tietoverkko tai maantieverkko. Näihin liittyy erinäisiä tekijöitä. Tietoverkkoja käytettäessä
LisätiedotJOHDATUS TEKOÄLYYN TEEMU ROOS
JOHDATUS TEKOÄLYYN TEEMU ROOS KURSSIN PERUSTIEDOT VALINNAINEN AINEOPINTOTASOINEN KURSSI, 5 OP PERIODI 1: 4.9.2014-17.10.2012 (7 VIIKKOA+KOE) LUENNOT (B123, LINUS TORVALDS -AUDITORIO): TO 10-12, PE 12-14
LisätiedotSearch space traversal using metaheuristics
Search space traversal using metaheuristics Mika Juuti 11.06.2012 Ohjaaja: Ville Mattila Valvoja: Harri Ehtamo Työn saa tallentaa ja julkistaa Aalto-yliopiston avoimilla verkkosivuilla. Muilta osin kaikki
LisätiedotAlgoritmit 2. Luento 12 To Timo Männikkö
Algoritmit 2 Luento 12 To 3.5.2018 Timo Männikkö Luento 12 Geneettiset algoritmit Simuloitu jäähdytys Merkkijonon sovitus Horspoolin algoritmi Algoritmit 2 Kevät 2018 Luento 12 To 3.5.2018 2/35 Algoritmien
Lisätiedot3.4 Peruutus (backtracking)
3.4 Peruutus (backtracking) Tarkastellaan kahta esimerkkiongelmaa: Kahdeksan kuningattaren ongelma: sijoitettava 8 8 ruudun pelilaudalle 8 nappulaa siten, että millekään vaaka-, pysty- tai viistoriville
LisätiedotAlgoritmit 2. Luento 14 Ke Timo Männikkö
Algoritmit 2 Luento 14 Ke 3.5.2017 Timo Männikkö Luento 14 Ositus ja rekursio Rekursion toteutus Kertaus ja tenttivinkit Algoritmit 2 Kevät 2017 Luento 14 Ke 3.5.2017 2/30 Ositus Tehtävän esiintymä ositetaan
LisätiedotTIEA382 Lineaarinen ja diskreetti optimointi
TIEA382 Lineaarinen ja diskreetti optimointi Jussi Hakanen Tietotekniikan laitos jussi.hakanen@jyu.fi AgC 426.3 Yleiset tiedot Tietotekniikan kandidaattiopintojen valinnainen kurssi http://users.jyu.fi/~jhaka/ldo/
LisätiedotArkkitehtuurien tutkimus Outi Räihä. OHJ-3200 Ohjelmistoarkkitehtuurit. Darwin-projekti. Johdanto
OHJ-3200 Ohjelmistoarkkitehtuurit 1 Arkkitehtuurien tutkimus Outi Räihä 2 Darwin-projekti Darwin-projekti: Akatemian rahoitus 2009-2011 Arkkitehtuurisuunnittelu etsintäongelmana Geneettiset algoritmit
LisätiedotAlgoritmit 1. Luento 7 Ti Timo Männikkö
Algoritmit 1 Luento 7 Ti 31.1.2017 Timo Männikkö Luento 7 Järjestetty binääripuu Binääripuiden termejä Binääripuiden operaatiot Solmun haku, lisäys, poisto Algoritmit 1 Kevät 2017 Luento 7 Ti 31.1.2017
LisätiedotMat Lineaarinen ohjelmointi
Mat-.34 Lineaarinen ohjelmointi 5..7 Luento Kertausta Lineaarinen ohjelmointi - Syksy 7 / LP ja Simplex Kurssin rakenne Duaalisuus ja herkkyysanalyysi Verkkotehtävät Kokonaislukutehtävät Lineaarinen ohjelmointi
Lisätiedot811312A Tietorakenteet ja algoritmit, 2015-2016. VI Algoritmien suunnitteluparadigmoja
811312A Tietorakenteet ja algoritmit, 2015-2016 VI Algoritmien suunnitteluparadigmoja Sisältö 1. Hajota ja hallitse-menetelmä 2. Dynaaminen taulukointi 3. Ahneet algoritmit 4. Peruuttavat algoritmit 811312A
LisätiedotA274101 TIETORAKENTEET JA ALGORITMIT
A274101 TIETORAKENTEET JA ALGORITMIT GRAAFITEHTÄVIÄ JA -ALGORITMEJA Lähteet: Timo Harju, Opintomoniste Keijo Ruohonen, Graafiteoria (math.tut.fi/~ruohonen/gt.pdf) GRAAFIN LÄPIKÄYMINEN Perusta useimmille
LisätiedotAlgoritmit 2. Luento 13 Ti Timo Männikkö
Algoritmit 2 Luento 13 Ti 30.4.2019 Timo Männikkö Luento 13 Simuloitu jäähdytys Merkkijonon sovitus Horspoolin algoritmi Ositus ja rekursio Rekursion toteutus Algoritmit 2 Kevät 2019 Luento 13 Ti 30.4.2019
LisätiedotTalousmatematiikan perusteet: Luento 12. Lineaarinen optimointitehtävä Graafinen ratkaisu Ratkaisu Excel Solverilla
Talousmatematiikan perusteet: Luento 12 Lineaarinen optimointitehtävä Graafinen ratkaisu Ratkaisu Excel Solverilla Esimerkki Esim. Yritys tekee kahta elintarviketeollisuuden käyttämää puolivalmistetta,
LisätiedotJoonas Haapala Ohjaaja: DI Heikki Puustinen Valvoja: Prof. Kai Virtanen
Hävittäjälentokoneen reitin suunnittelussa käytettävän dynaamisen ja monitavoitteisen verkko-optimointitehtävän ratkaiseminen A*-algoritmilla (valmiin työn esittely) Joonas Haapala 8.6.2015 Ohjaaja: DI
LisätiedotA ja B pelaavat sarjan pelejä. Sarjan voittaja on se, joka ensin voittaa n peliä.
Esimerkki otteluvoiton todennäköisyys A ja B pelaavat sarjan pelejä. Sarjan voittaja on se, joka ensin voittaa n peliä. Yksittäisessä pelissä A voittaa todennäköisyydellä p ja B todennäköisyydellä q =
LisätiedotGraafit ja verkot. Joukko solmuja ja joukko järjestämättömiä solmupareja. eli haaroja. Joukko solmuja ja joukko järjestettyjä solmupareja eli kaaria
Graafit ja verkot Suuntamaton graafi: eli haaroja Joukko solmuja ja joukko järjestämättömiä solmupareja Suunnattu graafi: Joukko solmuja ja joukko järjestettyjä solmupareja eli kaaria Haaran päätesolmut:
LisätiedotEdellä on tarkasteltu luettelointimenetelmiä, jotka ainakin periaatteessa
75 9. Lokaali haku Edellä on tarkasteltu luettelointimenetelmiä, jotka ainakin periaatteessa (jos laskenta-aikaa vain riittää) voivat löytää kaikkein parhaimman ratkaisun eli globaalin optimin. Toisenlainen
LisätiedotMinimilatenssiongelman ratkaisualgoritmeja (valmiin työn esittely)
Minimilatenssiongelman ratkaisualgoritmeja (valmiin työn esittely) Antti Salmela 03.03.2014 Ohjaaja: Harri Ehtamo Valvoja: Harri Ehtamo Työn saa tallentaa ja julkistaa Aalto-yliopiston avoimilla verkkosivuilla.
LisätiedotGeneettiset algoritmit
Geneettiset algoritmit Evoluution piirteitä laskennassa Optimoinnin perusteet - Kevät 2002 / 1 Sisältö Geneettisten algoritmien sovelluskenttä Peruskäsitteitä Esimerkkejä funktion ääriarvon etsintä vangin
Lisätiedotv 1 v 2 v 3 v 4 d lapsisolmua d 1 avainta lapsen v i alipuun avaimet k i 1 ja k i k 0 =, k d = Sisäsolmuissa vähint. yksi avain vähint.
Yleiset hakupuut 4 Monitiehakupuu: Binäärihakupuu 0 1 3 5 6 7 8 v k 1 k k 3 v v 3 v 4 k 1 k 3 k 1 k k k 3 d lapsisolmua d 1 avainta Yleinen hakupuu? Tietorakenteet, syksy 007 1 Esimerkki monitiehakupuusta
LisätiedotTKHJ:ssä on yleensä komento create index, jolla taululle voidaan luoda hakemisto
Indeksin luonti ja hävitys TKHJ:ssä on yleensä komento create index, jolla taululle voidaan luoda hakemisto Komentoa ei ole standardoitu ja niinpä sen muoto vaihtelee järjestelmäkohtaisesti Indeksi voidaan
LisätiedotMat Lineaarinen ohjelmointi
Mat-2.3140 Lineaarinen ohjelmointi 4.10.2007 Luento 4 Ekstreemipisteiden optimaalisuus ja Simplex (kirja 2.4-2.6, 3.1-3.2) Lineaarinen ohjelmointi - Syksy 2007 / 1 Luentorunko Degeneroituvuus Ekstreemipisteiden
LisätiedotOngelma 1: Mistä joihinkin tehtäviin liittyvä epädeterminismi syntyy?
Ongelma : Mistä jihinkin tehtäviin liittyvä epädeterminismi syntyy? 0-0 Lasse Lensu Ongelma : Miten vidaan pelata algritmisesti? 0-0 Lasse Lensu Ongelma : Onk mahdllista pelata ptimaalisesti? 0-0 Lasse
LisätiedotJOHDATUS TEKOÄLYYN TEEMU ROOS
JOHDATUS TEKOÄLYYN TEEMU ROOS NEUROVERKOT TURINGIN KONE (TAI TAVALLINEN OHJELMOINTI) VAIN YKSI LASKENNAN MALLI ELÄINTEN HERMOSTOSSA LASKENTA ERILAISTA: - RINNAKKAISUUS - STOKASTISUUS (SATUNNAISUUS) - MASSIIVINEN
LisätiedotYhden muuttujan funktion minimointi
Yhden muuttujan funktion minimointi Aloitetaan yhden muuttujan tapauksesta Tarpeellinen myös useamman muuttujan tapauksessa Tehtävä on muotoa min kun f(x) x S R 1 Sallittu alue on muotoa S = [a, b] tai
LisätiedotTIES592 Monitavoiteoptimointi ja teollisten prosessien hallinta. Yliassistentti Jussi Hakanen syksy 2010
TIES592 Monitavoiteoptimointi ja teollisten prosessien hallinta Yliassistentti Jussi Hakanen jussi.hakanen@jyu.fi syksy 2010 Evoluutiopohjainen monitavoiteoptimointi MCDM ja EMO Monitavoiteoptimointi kuuluu
LisätiedotLuento 8: Epälineaarinen optimointi
Luento 8: Epälineaarinen optimointi Vektoriavaruus R n R n on kaikkien n-jonojen x := (x,..., x n ) joukko. Siis R n := Määritellään nollavektori 0 = (0,..., 0). Reaalisten m n-matriisien joukkoa merkitään
LisätiedotHarjoitus 6 ( )
Harjoitus 6 (21.4.2015) Tehtävä 1 Määritelmän (ks. luentomoniste s. 109) mukaan yleisen, muotoa min f(x) s. t. g(x) 0 h(x) = 0 x X olevan optimointitehtävän Lagrangen duaali on missä max θ(u, v) s. t.
Lisätiedot58131 Tietorakenteet ja algoritmit (kevät 2014) Uusinta- ja erilliskoe, , vastauksia
58131 Tietorakenteet ja algoritmit (kevät 2014) Uusinta- ja erilliskoe, 10..2014, vastauksia 1. [9 pistettä] (a) Todistetaan 2n 2 + n + 5 = O(n 2 ): Kun n 1 on 2n 2 + n + 5 2n 2 + n 2 +5n 2 = 8n 2. Eli
LisätiedotAlgoritmit 2. Luento 6 To Timo Männikkö
Algoritmit 2 Luento 6 To 28.3.2019 Timo Männikkö Luento 6 B-puun operaatiot Nelipuu Trie-rakenteet Standarditrie Pakattu trie Algoritmit 2 Kevät 2019 Luento 6 To 28.3.2019 2/30 B-puu 40 60 80 130 90 100
LisätiedotAlgoritmit 2. Luento 6 Ke Timo Männikkö
Algoritmit 2 Luento 6 Ke 29.3.2017 Timo Männikkö Luento 6 B-puun operaatiot B-puun muunnelmia Nelipuu Trie-rakenteet Standarditrie Pakattu trie Algoritmit 2 Kevät 2017 Luento 6 Ke 29.3.2017 2/31 B-puu
LisätiedotLuento 9: Newtonin iteraation sovellus: optimointiongelma
Luento 9: Newtonin iteraation sovellus: optimointiongelma ilman rajoitusehtoja Optimointiongelmassa tehtävänä on löytää annetun reaaliarvoisen jatkuvan funktion f(x 1,x,,x n ) maksimi tai minimi jossain
LisätiedotValitaan alkio x 1 A B ja merkitään A 1 = A { x 1 }. Perinnöllisyyden nojalla A 1 I.
Vaihto-ominaisuudella on seuraava intuition kannalta keskeinen seuraus: Olkoot A I ja B I samankokoisia riippumattomia joukkoja: A = B = m jollain m > 0. Olkoon vielä n = m A B, jolloin A B = B A = n.
LisätiedotOngelma 1: Mistä joihinkin tehtäviin liittyvä epädeterminismi syntyy?
Ongelma : Mistä jihinkin tehtäviin liittyvä epädeterminismi syntyy? 0-0 Lasse Lensu Ongelma : Miten vidaan pelata algritmisesti? 0-0 Lasse Lensu Ongelma : Onk mahdllista pelata ptimaalisesti? 0-0 Lasse
LisätiedotAlgoritmit 2. Luento 10 To Timo Männikkö
Algoritmit 2 Luento 10 To 19.4.2018 Timo Männikkö Luento 10 Peruutusmenetelmä Osajoukon summa Verkon 3-väritys Pelipuut Pelipuun läpikäynti Algoritmit 2 Kevät 2018 Luento 10 To 19.4.2018 2/34 Algoritmien
LisätiedotSekalukuoptimointi. Lehtonen, Matti Matemaattisen ohjelmoinnin seminaari, Tietojenkäsittelytieteen laitos Helsingin Yliopisto
Sekalukuoptimointi Lehtonen, Matti Matemaattisen ohjelmoinnin seminaari, 2000-10-11 Tietojenkäsittelytieteen laitos Helsingin Yliopisto 1 Tiivistelmä Seminaarin aihe käsittelee globaalin optimoinnin erästä
Lisätiedot2. Seuraavassa kuvassa on verkon solmujen topologinen järjestys: x t v q z u s y w r. Kuva 1: Tehtävän 2 solmut järjestettynä topologisesti.
Tietorakenteet, laskuharjoitus 11, ratkaisuja 1. Leveyssuuntaisen läpikäynnin voi toteuttaa rekursiivisesti käsittelemällä jokaisella rekursiivisella kutsulla kaikki tietyllä tasolla olevat solmut. Rekursiivinen
LisätiedotLineaarisen kokonaislukuoptimointitehtävän ratkaiseminen
Lineaarisen kokonaislukuoptimointitehtävän ratkaiseminen Jos sallittuja kokonaislukuratkaisuja ei ole kovin paljon, ne voidaan käydä kaikki läpi yksitellen Käytännössä tämä ei kuitenkaan ole yleensä mahdollista
LisätiedotV. V. Vazirani: Approximation Algorithms, luvut 3-4 Matti Kääriäinen
V. V. Vazirani: Approximation Algorithms, luvut 3-4 Matti Kääriäinen Luento omatoimisen luennan tueksi algoritmiikan tutkimusseminaarissa 23.9.2002. 1 Sisältö Esitellään ongelmat Steiner-puu Kauppamatkustajan
LisätiedotAlgoritmit 1. Luento 13 Ti 23.2.2016. Timo Männikkö
Algoritmit 1 Luento 13 Ti 23.2.2016 Timo Männikkö Luento 13 Suunnittelumenetelmät Taulukointi Kapsäkkiongelma Ahne menetelmä Verkon lyhimmät polut Dijkstran menetelmä Verkon lyhin virittävä puu Kruskalin
LisätiedotTEK: Tekoäly kevät 2008
TEK: Tekoäly kevät 2008 Matti Nykänen 13. maaliskuuta 2008 Sisältö 1 Mitä tekoäly on? 1 1.1 Toimia inhimillisesti............................. 1 1.2 Ajatella inhimillisesti.............................
LisätiedotAlgoritmit 1. Luento 9 Ti Timo Männikkö
Algoritmit 1 Luento 9 Ti 7.2.2017 Timo Männikkö Luento 9 Graafit ja verkot Kaaritaulukko, bittimatriisi, pituusmatriisi Verkon lyhimmät polut Floydin menetelmä Lähtevien ja tulevien kaarien listat Forward
LisätiedotHarjoitus 6 ( )
Harjoitus 6 (30.4.2014) Tehtävä 1 Määritelmän (ks. luentomoniste s. 109) mukaan yleisen, muotoa min f(x) s.t. g(x) 0 h(x) = 0 x X (1) olevan optimointitehtävän Lagrangen duaali on max θ(u,v) s.t. u 0,
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 8 Väliarvolause Oletetaan, että funktio f on jatkuva jollain reaalilukuvälillä [a, b] ja derivoituva avoimella välillä (a, b). Funktion muutos tällä välillä on luonnollisesti
LisätiedotAircraft Maintenance Scheduling with Multi- Objective Simulation- Optimization
Aircraft Maintenance Scheduling with Multi- Objective Simulation- Optimization 7.5.2011 Ohjaaja: Ville Mattila Valvoja: Raimo Hämäläinen Tausta Ilmavoimilla tärkeä rooli maanpuolustuksessa Rauhan aikana
LisätiedotMonitavoiteoptimointi
Monitavoiteoptimointi Useita erilaisia tavoitteita, eli useita objektifunktioita Tavoitteet yleensä ristiriitaisia ja yhteismitattomia Optimaalisuus tarkoittaa yleensä eri asiaa kuin yksitavoitteisessa
Lisätiedot10.2. Säteenjäljitys ja radiositeettialgoritmi. Säteenjäljitys
10.2. Säteenjäljitys ja radiositeettialgoritmi Säteenjäljitys Säteenjäljityksessä (T. Whitted 1980) valonsäteiden kulkema reitti etsitään käänteisessä järjestyksessä katsojan silmästä takaisin kuvaan valolähteeseen
LisätiedotOptimaalisen polun haku graafista A* -algoritmilla
Miika Nurminen Optimaalisen polun haku graafista A* -algoritmilla TIE340 (Tekoäly) -kurssin harjoitustyöraportti 3.3.2003 Jyväskylän yliopisto Tietotekniikan laitos Tietoja raportista Tekijä: Miika Nurminen
LisätiedotPuumenetelmät. Topi Sikanen. S ysteemianalyysin. Laboratorio Aalto-yliopiston teknillinen korkeakoulu
Puumenetelmät Topi Sikanen Puumenetelmät Periaate: Hajota ja hallitse Jaetaan havaintoavaruus alueisiin. Sovitetaan kuhunkin alueeseen yksinkertainen malli (esim. vakio) Tarkastellaan kolmea mallia Luokittelu-
Lisätiedot1 Rajoitettu optimointi I
Taloustieteen mat.menetelmät 2017 materiaali II-1 1 Rajoitettu optimointi I 1.1 Tarvittavaa osaamista Matriisit ja vektorit, matriisien de niittisyys Derivointi (mm. ketjusääntö, Taylorin kehitelmä) Implisiittifunktiolause
Lisätiedotv 8 v 9 v 5 C v 3 v 4
Verkot Verkko on (äärellinen) matemaattinen malli, joka koostuu pisteistä ja pisteitä toisiinsa yhdistävistä viivoista. Jokainen viiva yhdistää kaksi pistettä, jotka ovat viivan päätepisteitä. Esimerkiksi
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 10 1 Funktion monotonisuus Derivoituva funktio f on aidosti kasvava, jos sen derivaatta on positiivinen eli jos f (x) > 0. Funktio on aidosti vähenevä jos sen derivaatta
LisätiedotA274101 TIETORAKENTEET JA ALGORITMIT
A274101 TIETORAKENTEET JA ALGORITMIT PUURAKENTEET, BINÄÄRIPUU, TASAPAINOTETUT PUUT MIKÄ ON PUUTIETORAKENNE? Esim. Viereinen kuva esittää erästä puuta. Tietojenkäsittelytieteessä puut kasvavat alaspäin.
LisätiedotEtsintä verkosta (Searching from the Web) T Datasta tietoon Heikki Mannila, Jouni Seppänen
Etsintä verkosta (Searching from the Web) T-61.2010 Datasta tietoon Heikki Mannila, Jouni Seppänen 12.12.2007 Webin lyhyt historia http://info.cern.ch/proposal.html http://browser.arachne.cz/screen/
LisätiedotTalousmatematiikan perusteet: Luento 11. Lineaarinen optimointitehtävä Graafinen ratkaisu Ratkaisu Excel Solverilla
Talousmatematiikan perusteet: Luento 11 Lineaarinen optimointitehtävä Graafinen ratkaisu Ratkaisu Excel Solverilla Esimerkki Esim. Yritys tekee kahta elintarviketeollisuuden käyttämää puolivalmistetta,
LisätiedotTietorakenteet, laskuharjoitus 7, ratkaisuja
Tietorakenteet, laskuharjoitus, ratkaisuja. Seuraava kuvasarja näyttää B + -puun muutokset lisäysten jälkeen. Avaimet ja 5 mahtuvat lehtisolmuihin, joten niiden lisäys ei muuta puun rakennetta. Avain 9
Lisätiedot13 Lyhimmät painotetut polut
TIE-20100 Tietorakenteet ja algoritmit 297 13 Lyhimmät painotetut polut BFS löytää lyhimmän polun lähtösolmusta graafin saavutettaviin solmuihin. Se ei kuitenkaan enää suoriudu tehtävästä, jos kaarien
LisätiedotLuentorunko perjantaille
Luentorunko perjantaille 28.11.28 Eräitä ryvästyksen keskeisiä käsitteitä kustannusfunktio sisäinen vaihtelu edustajavektori etäisyysmitta/funktio Osittamiseen perustuva ryvästys (yleisesti) K:n keskiarvon
LisätiedotMalliratkaisut Demot
Malliratkaisut Demot 6 24.4.2017 Tehtävä 1 Määritelmän (ks. luentomonisteen s. 107) mukaan yleisen muotoa min f(x) s.t. g(x) 0 h(x) = 0 x X (1) olevan optimointitehtävän Lagrangen duaali on min θ(u,v)
LisätiedotLuku 8. Aluekyselyt. 8.1 Summataulukko
Luku 8 Aluekyselyt Aluekysely on tiettyä taulukon väliä koskeva kysely. Tyypillisiä aluekyselyitä ovat, mikä on taulukon välin lukujen summa tai pienin luku välillä. Esimerkiksi seuraavassa taulukossa
LisätiedotKatkonnanohjaus evoluutiolaskennan keinoin
Katkonnanohjaus evoluutiolaskennan keinoin Askel kohti optimaalista tavaralajijakoa Veli-Pekka Kivinen HY, Metsävarojen käytön laitos Katkonnanohjauksen problematiikkaa Miten arvo-/tavoitematriisit tulisi
LisätiedotJOHDATUS TEKOÄLYYN TEEMU ROOS
JOHDATUS TEKOÄLYYN TEEMU ROOS NEUROVERKOT TURINGIN KONE (TAI TAVALLINEN OHJELMOINTI) VAIN YKSI LASKENNAN MALLI ELÄINTEN HERMOSTOSSA LASKENTA ERILAISTA: - RINNAKKAISUUS - STOKASTISUUS (SATUNNAISUUS) - MASSIIVINEN
LisätiedotEsimerkkejä polynomisista ja ei-polynomisista ongelmista
Esimerkkejä polynomisista ja ei-polynomisista ongelmista Ennen yleisempiä teoriatarkasteluja katsotaan joitain tyypillisiä esimerkkejä ongelmista ja niiden vaativuudesta kaikki nämä ongelmat ratkeavia
LisätiedotTIES592 Monitavoiteoptimointi ja teollisten prosessien hallinta. Yliassistentti Jussi Hakanen syksy 2010
TIES592 Monitavoiteoptimointi ja teollisten prosessien hallinta Yliassistentti Jussi Hakanen jussi.hakanen@jyu.fi syksy 2010 Optimaalisuus: objektiavaruus f 2 min Z = f(s) Parhaat arvot alhaalla ja vasemmalla
LisätiedotA*-algoritmi ja siihen pohjautuvat muistirajoitetut heuristiset reitinhakualgoritmit
A*-algoritmi ja siihen pohjautuvat muistirajoitetut heuristiset reitinhakualgoritmit Oskari Torikka Pro gradu -tutkielma Tietojenkäsittelytieteen laitos Tietojenkäsittelytiede Helmikuu 2015 ITÄ-SUOMEN
Lisätiedot(p j b (i, j) + p i b (j, i)) (p j b (i, j) + p i (1 b (i, j)) p i. tähän. Palaamme sanakirjaongelmaan vielä tasoitetun analyysin yhteydessä.
Loppu seuraa suoralla laskulla: n n Tave TR = p j (1 + b (i, j)) j=1 = 1 + 1 i
LisätiedotKysymys: Voidaanko graafi piirtää tasoon niin, että sen viivat eivät risteä muualla kuin pisteiden kohdalla?
7.7. Tasograafit Graafi voidaan piirtää mielivaltaisen monella tavalla. Graafin ominaisuudet voivat näkyä selkeästi jossain piirtämistavoissa, mutta ei toisessa. Eräs tärkeä graafiryhmä, pintagraafit,
LisätiedotMonilähetysreititys. Paketti lähetetään usealle vastaanottajalle Miksi? Monet sovellukset hyötyvät
Monilähetysreititys Paketti lähetetään usealle vastaanottajalle Miksi? Monet sovellukset hyötyvät ohjelmistopäivitykset WWW-välimuistien päivitykset etäopetus, virtuaalikoulu videoiden, äänitteiden lähetys
LisätiedotCabas liitännän käyttö AutoFutur ohjelmassa 4.1.2012
Cabas liitännän käyttö AutoFutur ohjelmassa 4.1.2012 Liitännän aktivointi Liitäntä on ohjelma lisämoduuli. Ensin asetetaan käyttöön FuturSoftilta saatu Liitäntä WinCabas rekisteröintikoodi. Mennään kohtaan
LisätiedotJohdatus verkkoteoriaan 4. luento
Johdatus verkkoteoriaan 4. luento 28.11.17 Viikolla 46 läpikäydyt käsitteet Viikolla 47 läpikäydyt käsitteet Verkko eli graafi, tasoverkko, solmut, välit, alueet, suunnatut verkot, isomorfiset verkot,
LisätiedotJOHDATUS TEKOÄLYYN TEEMU ROOS
JOHDATUS TEKOÄLYYN TEEMU ROOS NEUROVERKOT TURINGIN KONE (TAI TAVALLINEN OHJELMOINTI) VAIN YKSI LASKENNAN MALLI ELÄINTEN HERMOSTOSSA LASKENTA ERILAISTA: - RINNAKKAISUUS - STOKASTISUUS (SATUNNAISUUS) - MASSIIVINEN
LisätiedotJohdanto peliteoriaan Kirja kpl. 2
Aalto-yliopiston TKK Mat-2.4142 K2010 Esitelmä 1 Ilkka Leppänen 1 Johdanto peliteoriaan Kirja kpl. 2 Ilkka Leppänen 20.1.2010 Aalto-yliopiston TKK Mat-2.4142 K2010 Esitelmä 1 Ilkka Leppänen 2 Aiheet Laajennettu
Lisätiedot811312A Tietorakenteet ja algoritmit 2015-2016. V Verkkojen algoritmeja Osa 2 : Kruskalin ja Dijkstran algoritmit
811312A Tietorakenteet ja algoritmit 2015-2016 V Verkkojen algoritmeja Osa 2 : Kruskalin ja Dijkstran algoritmit Sisältö 1. Johdanto 2. Leveyshaku 3. Syvyyshaku 4. Kruskalin algoritmi 5. Dijkstran algoritmi
LisätiedotOptimePortal ja OptimeEvent versioiden yhteenveto joulukuu
OptimePortal 1.12.2 ja OptimeEvent 1.16.1 versioiden yhteenveto joulukuu 2016 www.helsinki.fi/yliopisto 1 Tilavaraus Tilavarauspyyntöä luotaessa laskutusyksikkö (ns. H-koodi) voidaan nyt valita viimeisessä
Lisätiedot