max Toisaalta katsottaessa lineaarisuuden määritelmän oikeaa puolta saadaan seuraava tulos.

Transkriptio

1 Digitaalisten kuvien peruskäsitteet 8 Pohditaan seuraavaksi maksimi operaatiota jonka funktio antaa kuvan pikselien maksimiarvon. Tämä on epälineaarinen joka osoitetaan vastaesimerkillä lineaarisuudelle. Olkoot kaksi kuvaa. Olkoot edelleen a ja a. Kätetään lineaarisuuden määritelmää edeltä ja 3 f f ma ma + Digitaalisten kuvien peruskäsitteet 8 Toisaalta katsottaessa lineaarisuuden määritelmän oikeaa puolta saadaan seuraava tulos. Koska vasen ja oikea puoli saivat eri arvot lineaarisuus ei vallitse vaan ma on epälineaarinen operaattori. Kun epälineaariset operaattorit ovat monimutkaisempia ja huonommin tunnettuja kuin lineaariset monesti pritään lineaaristen soveltamiseen ma 3 ma + + Digitaalisten kuvien peruskäsitteet 83 Kuvien väliset taulukko operaatiot suoritetaan pikseliparittain. Tällöin aritmeettiset operaatiot ovat oheiset. Operaatiot suoritetaan siis pikseleittäin kun M ja N. Tuloskuvat ovat s dpja v. Kuvien koko on M N. / g f v g f p g f d g f s + Digitaalisten kuvien peruskäsitteet 84 Olkoon g korruptoitunut kuva joka on saatu lisäämällä alkuperäiseen f kohinaa jossa oletetaan että jokaisessa koordinaattiparissa kohina on korreloimatonta ja sen keskiarvo on. Satunnaismuuttujan z varianssi on E[z m ] missä m on sen keskiarvo ja E on odotusarvo. Kahden muuttujan kovarianssi määritellään vastaavasti E[z i m i z j m j ]. Jos muuttujat ovat korreloimattomia niiden kovarianssi on. Seuraavan proseduurin tarkoitus on vähentää kohinaa summaamalla hteen kohinaisten kuvien joukkoa. Tätä kätetään monesti kuvan korostamisessa. f g η +

2 Em. rajoittein muodostettaessa kuva keskiarvoistamalla K kertaa kohteen kohinaltaan hieman erilaista kuvaa saadaan σ g σ K η g K jolloin seuraa että ja K i g { g } f E σ g σ K i η missä E{ } on keskiarvoistetun kuvan odotusarvo ja :t ovat kuvan ja kohinan varianssit. Keskihajonta kuvan pisteissä on seuraava. Kun K kasvaa nämä osoittavat että pikseliarvojen varianssi ja keskihajonta jokaisessa pisteessä vähenee. Tulee kuitenkin huomata että K:n kasvaessa kohinan keskihajonta pienenee vain suhteessa K:n neliöjuureen. Jotta kuvatut toimenpiteet olisivat mahdollisia kuvat pitää tietsti kohdistaa päällekkäin toisiinsa nähden. Todellisuudessa kohinaa ei tietsti tunneta koska se on leensä satunnaista mutta sitä voidaan vähentää näin keskiarvoistamalla ja möhemmin kuvattavalla suodattamisella. Digitaalisten kuvien peruskäsitteet 85 Digitaalisten kuvien peruskäsitteet 86 Tärkeä keskiarvoistamisen kättökohde on esim. astronomisessa datassa kun samaa kohdetta on kuvattu useilla kuvilla lhin aikavälein jos on kuvattu maasta maan liike korjattu sinä aikana ms.. Kuva.. esittää 8 bitin tilannetta jossa korruptiota simuloitiin lisäämällä normaalijakautunutta kohinaa keskiarvo ja keskihajonta 64 intensiteettitasoa. Alkuperäisen kuvan ollessa heikko jo keskiarvoistamalla K5 kertaa kuva puhdistui kohtalaisesti mutta K ei juurikaan siitä parantunut huom. K:n neliöjuuri ed. kaavassa. Kuva.. a Erään galaksin kuva johon on lisätt kohinaa. Keskiarvoistamista on suoritettu b 5 c d e 5 ja f kertaa NASA. Digitaalisten kuvien peruskäsitteet 87 Digitaalisten kuvien peruskäsitteet 88

3 Kuvan erojen korostamiseksi voidaan kättää kuvien vähentämistä. Kuvasta.3a muodostetussa kuvassa.3b jokaisen pikselin vähiten merkitsevä bitti on asetettu :ksi. Nämä ovat visuaalisesti samannäköisiä. Kuva.3c osoittaa kuitenkin kun kuva on vähennett toisesta niiden erot. Mustat arvot osoittavat erotuskuvan paikat joissa ei ole eroa kuvissa.3a ja b. Kuva.3. a Infrapunakuva Washington D.C. alueesta b kuvan pikselien vähiten merkitsevät bitit asetettu nolliksi ja c edellisten erotus. Kuvan kertomisen ja jakamisen tärkeä sovellus on sävnkorjaus. Oletetaan että kuvausjärjestelmä tuottaa kuvia jotka voidaan mallintaa tädellisen kuvan f ja sävtsfunktion h tulona ts. g fh. Jos h tunnetaan f saadaan kertomalla kuva h:n käänteisfunktiolla tässä jaetaan gh:lla. Jos h:ää ei tunneta mutta kuvausjärjestelmän ominaisuuksista on tietoa sävtsfunktiota voidaan approksimoida kuvaamalla kohde vakiointensiteetillä. Jos tällaista tietoa ei ole sävtshahmoa voidaan estimoida suoraan kuvastakin. Kuva.4. esittää esimerkin sävnkorjauksesta. Digitaalisten kuvien peruskäsitteet 89 Digitaalisten kuvien peruskäsitteet 9 Toinen kuvan kertomisen kättö on maskaus eli kiinnostavuusalueoperaatiot region of interest ROI. Sötekuva kerrotaan maskilla jossa on :siä ROI:ssa ja :ia muualla. Maskissa voi olla useita ROI:ta joiden muoto voi olla mikä tahansa vaikka kätännössä luonnollisesti tpillisesti suorakulmio. Kuva.5. on tästä esimerkki. a b c Kuva.4. Sävnkorjaus: a sävtett wolframikuitu tukivarren mpärillä 3 kertainen suurennos b sävtshahmo ja c alkuperäisen kuvan a ja b:n käänteiskuvauksen tulo. Digitaalisten kuvien peruskäsitteet 9 a b c Kuva.5. a Digitaalinen hammasröntgenkuva b ROI maski paikattujen hampaiden erottamiseksi muista valkoinen vastaa :iä ja musta :ia ja c edellisten tulo. Digitaalisten kuvien peruskäsitteet 9

4 a b c Joukko operaatioita voidaan soveltaa kuviin tarkemmin näiden pikseleihin. Kun universumi U on htä kuin koko kuva koordinaattijoukot A ja B ovat rajat sisältäen esim. kuten kuvassa.6. Näille voidaan suorittaa tavallisia joukko operaatioita. d e Yllä oletettiin itse asiassa että pikselien intensiteetti on sama. Ym. oletuksen ollessa paikkansapitämätön on määriteltävä miten toimia alkioiden intensiteettien vaihdellessa sovellettaessa saman kuvan eri versioita. Unioni ja leikkaus intensiteetti eli harmaasävarvojen htedessä määritellään kättäen pikseliparien maksimia ja minimiä. Komplementti määritellään pikselin intensiteetin ja vakion parittaisina erotuksina. Kuva.6. a Kaksi koordinaattijoukkoa A ja B tasolla b joukkojen unioni c leikkaus d A:n komplementti ja e joukkojen erotus. Tummennetut alueet edustavat tulosjoukkoja. Digitaalisten kuvien peruskäsitteet 93 Digitaalisten kuvien peruskäsitteet 94 Tarkastellaan joukon A alkioita jotka ovat kolmikkoja z. Tässä z on intensiteettiarvo. A:n komplementti voidaan määritellä A c { K z z A} jossa pikselien intensiteetit on vähennett vakiosta K k kun k on z:n esittämiseen kätett bittien lukumäärä. Tämä on monesti 8 bittinen harmaasävkuvaa varten. Esim. kuvasta.7.a halutaan muodostaa A:n negaatio joukko operaatioilla. Muodostetaan seuraava. A n A c { 55 z z A} Kahden harmaasävpikselijoukon A ja B unioni määritellään joukkona a b a A b }. A B { ma B z A edustakoon kuvaa.7.a. B on samankokoinen suorakulmiotaulukko jonka kaikki z arvot ovat htä kuin kolme kertaa A:n alkioiden intensiteettien keskiarvo m. Kuva.7.c on näiden unioni jossa kaikki 3m:n littävät arvot esiintvät sellaisenaan A:n arvoina ja kaikki muut arvoina 3m keskiharmaa arvo. Saadaan kuva.7.b. Digitaalisten kuvien peruskäsitteet 95 Digitaalisten kuvien peruskäsitteet 96

5 Käsiteltäessä binäärikuvia edusta arvot ja tausta arvot voidaan mieltää pikselijoukkona. Määriteltäessä kuvan kohteiden olevan arvoista muodostettuja esim. kuvan.6. joukko operaatiot ovat operaatioita kohteiden koordinaattien välillä. Binäärikuville on tavallista joukko operaatioiden asemesta soveltaa loogisia operaattoreita OR AND ja NOT kun tarkoittaa arvoa tosi ja arvoa epätosi. a b c Kuva.7. a Alkuperäinen kuva b komplementilla saatu kuvan negaatio ja c alkuperäisen ja vakion erotuskuva. Joukkojen tai alueiden A ja B tapauksessa sovellettaessa esim. OR:ia tuloksessa ovat kummankin alkiot. Tavanomaiset periaatteet ovat voimassa tietsti muillekin loogisille operaatioille joissa on mukana mös XOR. Kuva.8. havainnollistaa tärkeimpiä operaatioita joissa neljäs rivi vastaa joukko operaatioiden erotusta. Huomattakoon että nämä ovat alueiden välisiä operaatioita toisin kuin joukkojen htedessä samankokoisten kuvien taulukkooperaatioita joten harmaasävtasoissa ei tarvitse nt välittää. Digitaalisten kuvien peruskäsitteet 97 Digitaalisten kuvien peruskäsitteet 98 Spatiaaliset operaatiot suoritetaan suoraan kuvan pikseleille. Niitä on kolmea lajia: ksittäispikselien operaatiot naapurustooperaatiot ja 3 geometriset muunnokset. Yksittäisiä pikseleitä voidaan muuntaa muunnoksilla s Tz Kuva.8. Loogisten operaatioiden kättöä. Musta vastaa :ia ja valkoinen :siä. jossa z on pikselin alkuperäinen intensiteetti ja s on prosessoidun kuvan pikselin intensiteetti. Esim. kuva.9. esittää 8 bittisen kuvan pikselin negaation kuvan.7.b tapaan. Digitaalisten kuvien peruskäsitteet 99 Digitaalisten kuvien peruskäsitteet

6 Olkoon S johonkin pisteeseen keskitetn naapuruston koordinaattijoukko. Naapurustokäsittel generoi vastaavan pikselin tuloskuvan g samoille koordinaateille niin että pikselin arvo määrätään jollakin joukolle S suoritetulla operaatiolla. Esim. kätetään pikselien keskiarvoa suorakulmionmuotoisessa naapurustossa kokoa m n. Kuva.3. havainnollistaa. Operaatio on nt muotoa g mn r c f r c S Kuva.9. Intensiteettimuunnosfunktio 8 bittisen kuvan negaation muodostamista varten. Katkonuolet osoittavat mielivaltaisesti valitun intensiteettiarvon z muunnoksen. jossa r ja c ovat joukon S pikselirivien ja sarakkeiden lukumäärät. Kuva g on luotu liu uttamalla ikkunaa pikseleittäin pitkin kutakin riviä vuorollaan ja laskemalla joka pisteessä joka on tuloskuvan vastaavan kohdan arvo. Digitaalisten kuvien peruskäsitteet Digitaalisten kuvien peruskäsitteet a b Geometriset muunnokset muuntavat kuvassa pikselien välisiä spatiaalisia suhteita. Kahta perusoperaatiotppiä kätetään: spatiaaliset koordinaattien muunnokset ja intensiteettien interpolointi joka määrää spatiaalisesti muunnettujen pikselien intensiteettiarvot. Kuva.3. Lokaalinen keskiarvoistaminen soveltaen naapurustokäsittelä. a ja b Yksittäinen suorakulmio eli ikkuna sekä c alkuperäinen aorttakuva ja d sama keskiarvoistettuna kun mn4 ja kuvan koko pikseliä. c d Koordinaattien muunnos ilmaistaan T{ v w} jossa vw:t ovat alkuperäisen kuvan pikselikoordinaatteja ja :t ovat vastaavasti muunnetun. Esim. muunnos T{vw} v/w/ kutistaa alkuperäistä puoleen kummankin suunnan suhteen. Tavallinen spatiaalinen on affiini muunnos leisesti oheisessa muodossa. [ ] [ v w ] T [ v w ] t t t 3 t t t 3 Digitaalisten kuvien peruskäsitteet 3 Digitaalisten kuvien peruskäsitteet 4

7 Taulukko.. Affiinit muunnokset. Edellinen kaava kattaa muunnokset skaalaus rotaatio translaatio ja shearing. Taulukko.. esittää nämä joita voidaan hdistää peräkkäin. Voidaan esim. muuttaa kuvan kokoa kiertää sitä ja siirtää uuteen paikkaan laskemalla näiden operaatioiden matriisien tulo. Edellistä kaava kätetään kahdella eri tavalla. Eteenpäinkuvauksessa selataan kuvaa pikseleittäin ja jokaiselle pisteelle vw lasketaan tuloskuvan vastaavan pikselin spatiaalinen paikka. Ongelmana on että kaksi tai useampaa pikseliä saattaa kuvautua samaan paikkaan tuloskuvassa jolloin tämä on jotenkin ratkaistava. Niinpä monesti kätetään käänteiskuvausta selaten tulospikselipaikkoja ja laskien vastaavan sötekuvan paikan vw T. Interpoloidaan esitetillä menetelmillä sitten lähimpien naapuripikselien avulla tulospikselin intensiteettiarvo. Digitaalisten kuvien peruskäsitteet 5 Digitaalisten kuvien peruskäsitteet 6 Käänteiskuvaus on tehokkaampi vaihtoehto. Sitä kätetään leisemmin kuin eteenpäinkuvausta. Esim. Matlab ohjelmisto soveltaa sitä. Tarkastellaan esimerkkinä kuvaa.3 jossa kierretään kohdetta kättäen lähimmän naapurin bilineaaria ja kaksoiskuutiollista interpolointia. Rotaatio eli kierto on vaativa muunnos koska suorien säilminen suorannäköisinä on monesti ongelma. Katsomalla suurennettuja osia kuvan.3. osissa c ja d voi havaitaan että edellisessä on enemmän intensiteetin harmaita välimuotopikseleitä mustan ja valkoisen väliltä. Täten d on parempi tuloskuva. Tässä oli kätett käänteiskuvausta. Kuva.3. a Tarkkuuden 3 dpi kuva b kuva kierrettnä soveltaen lähimmän naapurin c bilineaaria ja d kaksoiskuutiollista interpolointia. Digitaalisten kuvien peruskäsitteet 7 Digitaalisten kuvien peruskäsitteet 8

8 Kuvanrekisteröinti on hödllinen menetelmä rinnastaa kaksi tai useampaa kuvaa samaan näkmään. Tällöin tunnetaan söte ja tuloskuva mutta niiden välinen muunnos on tuntematon joka halutaan selvittää. Viitekuvaa vasten halutaan sötekuva rekisteröidä. Tällainen on hödllistä esim. lääketieteellisen kuvantamisen htedessä rinnastettaessa saman kohteen MRI kuva ja PET kuva edellinen anatominen ja jälkimmäinen pikemmin funktionaalinen. Kuvauskohde ja väline voivat toisaalta olla samoja mutta kohteesta otetaan määräväliajoin kuvia. Hvä esimerkki on tähtitieteelliset kohteet joissa kuvauksen väliaika voi nousta jopa vuosiin. Digitaalisten kuvien peruskäsitteet 9 Pääasiallinen keino ratkaista esitett ongelma on kättää sidos eli kontrollipisteitä. Nämä ovat pisteitä joiden sijainti tiedetään tarkkaan sekä söte että viitekuvissa. Pisteet voidaan valita vaihtelevin tavoin kuten vuorovaikutteisesti tai soveltamalla algoritmia joka rittää havaita nämä pisteet automaattisesti. Muunnosfunktion estimointiongelma on mallintamistehtävä. Olkoon neljän sidospisteen joukko jokaisessa söte ja viitekuvassa. Bilineaaria aprroksimointia soveltaen saadaan cv + cw + c3vw + c4 ja c + 5v + c6w + c7vw c8 jossa estimointivaiheen aikana vw ja ovat söte ja viitekuvan sidospisteiden koordinaatit. Digitaalisten kuvien peruskäsitteet Kun on neljä paria sidospisteitä kahdessa kuvassa kahdeksan htälöä voidaan kirjoittaa eo. tapaan ja ratkaista niistä kahdeksan tuntematonta kerrointa c c 8. Kertoimet muodostavat mallin joka muuntaa kuvan pikselit toisen kuvan pikselien paikkoihin rekisteröinnin aikaansaamiseksi. Jos neljä sidospistettä ovat riittämättömiä tdttävän rekisteröinnin tuottamiseksi voidaan kättää suurempaa sidospisteiden määrää ja käsitellä neljän pisteen joukkojen muodostamia nelikulmioita alikuvina. On mahdollista kättää mös monimutkaisempia alueita ja malleja esim. polnomeja jotka on sovitettu pienimmän neliösumman menetelmällä. Kuva.3.a esittää viitekuvan ja kuva.3.b saman mutta geometrisesti vääristettnä horisontaalisen ja vertikaalisen shearingoperaation avulla. Viitekuvan avulla määrättiin manuaalisesti neljä sidospistettä pienet valkoiset nurkissa ja sitten näitä kättäen rekisteröitiin kuva. Neljä sidospistettä riitti koska kumpikin muunnos on lineaarinen. Kuva.3. c esittää rekisteröintituloksen joka ei ole tädellinen minkä osoittaa kuvan mustat reunat. Erotuskuva.3.d osoittaa rekisteröinnin puutteet viite ja korjatun kuvan välillä. Nämä johtuivat sidospisteiden hieman epätarkasta manuaalisesta asettamisesta. Digitaalisten kuvien peruskäsitteet Digitaalisten kuvien peruskäsitteet

9 a b sidospiste c d Värikuvien htedessä tarvitaan vektori ja matriisioperaatioita. Värikuvat muodostetaan RGB väriavaruudessa kättäen kolmea komponenttia: punainen vihreä ja sininen kuva.33.. Jokaisella värikuvan pikselillä on tällöin pstvektori z z z z3 Kuva.3. Rekisteröinti: a viitekuva b söte geometrisesti vääristett c rekisteröit kuva ja d vaiheiden a ja c erotuskuva joka sisältää virheitä. Digitaalisten kuvien peruskäsitteet 3 jossa komponentit vastaavat pikselin kolmen värin intensiteettejä. Näin koon M N RGB kuva edustaa kaikkiaan MN 3 ulotteista vektoria. Digitaalisten kuvien peruskäsitteet 4 Euklidinen etäiss voidaan määrätä pikselivektorin z ja mielivaltaisesti valitun pisteen a välillä n ulotteisessa avaruudessa. D T z a z a z a Tärkeät lineaariset muunnokset ovat tehtävissä muotona w A z a [ ] [ z a z a ] n n Kuva.33. Vektorin muodostaminen kolmen RGBkomponenttikuvan vastaavista pikseliarvoista. Digitaalisten kuvien peruskäsitteet 5 jossa A on m n matriisi sekä z ja a ovat m pstvektoreita. Koko kuva on esitettävissä matriisina M N tai vaihtoehtoisesti vektorina kokoa MN. Digitaalisten kuvien peruskäsitteet 6

10 Tällä tavalla voidaan kuvaan soveltaa monia lineaarisia prosesseja merkitsemällä g Hf + n jossa f on MN vektori esittäen sötekuvaa n on MN vektori esittäen kohinaa g on MN vektori esittäen prosessoitua kuvaa ja H on MN MN matriisi esittäen sötekuvaan sovellettua lineaarista prosessia. Käsitellt muunnokset ovat kättäneet suoraan pikselejä eli operoineet spatiaalisesti. Toisinaan on kuitenkin parempi toimia epäsuorasti ensiksi muuntamalla sötekuvat muunnosavaruuteen käsittelemällä siellä kuvaa ja muuntamalla takaisin käänteismuunnoksella spatiaaliseen. Näin leisen muodon kaksiulotteinen lineaarinen muunnos on T u v M N f r u v jossa f on sötekuva ruv on muunnoskerneli ja kaava evaluoidaan arvoille u M ja v N. Muuttujat ja ovat spatiaalisia sekä u ja v muunnosmuuttujia. Tuv on f:n muunnos. Tunnettaessa Tuv voidaan muodostaa f käänteismuunnoksen M N 6 f u v T u v s u v avulla jossa on M ja N. Tässä suv on käänteismuunnoskerneli. Kaavat 5 ja 6 muodostavat muunnosparin. 5 Digitaalisten kuvien peruskäsitteet 7 Digitaalisten kuvien peruskäsitteet 8 f spatiaalinen määritsalue muunnos Tuv operaatio R R[Tuv] käänteismuunnos Kuva.34. Yleinen lähestmistapa ja prosessointia lineaarisessa muunnosavaruudessa. spatiaalinen kuvausalue Kuva.34. esittää miten kuvalle suoritetaan muunnos operointi muunnosavaruudessa ja käänteismuunnos. Kuvassa.35. esitetään edellisen mukaan eritisesti Fourier muunnos. g Kuvassa.35.b on Fourier muunnoksen itseisarvoesits joka on kuvan.34. ensimmäisen vaiheen tulos. Spatiaalisen datan puhtaasti sinimuotoinen kohina ilmenee kirkkaina intensiteettipurskeina Fourier muunnoksen kuvausavaruudessa. Tässä tapauksessa purskeet ovat mpränmuotoisia kuva.35.b. Kuva.35.c esittää maskin suodin eli filtteri jossa on vain valkoista ja mustaa ts. ja arvoja. Kuvan.34. toisessa vaiheessa laatikko kerrotaan maskilla muunnoksen tulos suodattaen täten häiriön aiheuttamat purskeet. Kuva.35.d esittää lopullisen tuloksen jota varten on laskettu vielä modifioidun muunnoksen käänteismuunnos eli palautettu muunnosavaruudesta takaisin määritsalueen avaruuteen kuvaksi. Digitaalisten kuvien peruskäsitteet 9 Digitaalisten kuvien peruskäsitteet

11 a b c d Muunnoskerneli on separoituva eli erottuva seuraavan ehdon tättessä. r u v r u r v Kerneli on lisäksi smmetrinen jos r on vaikutukseltaan sama kuin r seuraavasti. r u v r u r v Kuva.35. a Sinimuotoisella häiriöllä korruptoitu kuva b Fouriermuunnoksen itseisarvokuvaus joka osoittaa häiriön tuottamat energiapurskeet c energiapurskeiden eliminoimiseen kätett maski ja d modifioidun Fourier käänteismuunnoksen antama tulos NASA. Digitaalisten kuvien peruskäsitteet Sama periaate soveltuu mös käänteismuunnokselle kun tässä on s r:n asemesta. Digitaalisten kuvien peruskäsitteet Kaksiulotteisella D Fourier muunnoksella on seuraava eteenpäin ja käänteiskerneli. r u v e ja s u v jπ u / M + v / N e MN j π u / M + v / N Tässä kompleksiesitksessä kätetään fsiikan merkintätapaa imaginääriksikölle j /. Korvaamalla kernelit leisiin muunnoskaaavoihin 5 ja 6 saadaan diskreetti Fourier muunnospari joka on laskettavissa tietokoneella. Digitaalisten kuvien peruskäsitteet 3 T u v M N f MN f e M N u v j π u / M + v / N T u v e j π u/ M + v / N Nämä htälöt ovat keskeisiä kuvanprosessoinnissa. Fourier kernelit ovat separoituvia ja smmetrisiä joten D muunnokset on mahdollista hajottaa D muunnoksiksi. Muunnosparien kernelien tättäessä nämä ehdot ja kuvan f ollessa kokoa M N kaavat 5 ja 6 ovat kirjoitettavissa muodossa 7 T AFA jossa F on f:n alkioiden M N matriisi A on M N matriisi alkioinaan a ij r ij ja T on M N muunnos arvoinaan Tuv kun uv M. Digitaalisten kuvien peruskäsitteet 4

12 Käänteismuunnoksen saamiseksi 7 kerrotaan kummastakin suunnasta käänteismuunnosmatriisilla B. Jos BA BTB BAFAB F BTB osoittaen että F tämän alkiot ovat htä kuin kuva f voidaan palauttaa tädellisesti muunnoksestaan. Jos B ei ole htä kuin A niin 8:n kättö tuottaa seuraavan approksimaation. F ˆ BAFAB Fourierin lisäksi monet muutkin muunnokset ovat esitettävissä htälöillä 5 ja 6 tai ekvivalentisti 7 ja 8 kuten Walsh Hadamard diskreetti kosini ja Haar. 8 Digitaalisten kuvien peruskäsitteet 5 Todennäköisslaskenta on monessa htedessä oiva väline niin kuvanprosessoinnissakin. Intensiteettiarvoja voidaan tarkastella satunnaislukuina. Olkoot z i i L kaikki mahdolliset intensiteettiarvot kuvassa kooltaan M N. Intensiteettitason z k todennäköiss pz k estimoidaan arvona nk p zk MN jossa n k on z k :oiden esiintmien lukumäärä kuvassa ja MN pikselien lukumäärä. Todennäköisksien summan on oltava htä kuin. L k p z k Intensiteettien keskiarvo ja varianssi voidaan laskea luonnehtimaan kuvaa kuten korkeammatkin momentit 3. potenssi luonnehtii :sta erotessaan jakauman vinoutta. m L k z p z k k ja σ L k z k m Digitaalisten kuvien peruskäsitteet 6 p z k a b c Kuva.36. a Vähäinen b keskitason ja c suuri kontrasti. Kuva.36. esittää 8 bittistä kuvaa vähäisen keskitason ja suuren kontrastin tapauksissa. Pikseli intensiteettien keskihajonnat olivat ja 49.. tapauksille a c. Keskihajonta varianssin neliöjuurena oli tässä kätevämpi suure ajateltaessa intensiteettien arvoväliä [55]. Digitaalisten kuvien peruskäsitteet 7