Toisaalta katsottaessa lineaarisuuden määritelmän oikeaa puolta saadaan seuraava tulos.
|
|
|
- Reijo Juusonen
- 6 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Digitaalisten kuvien peruskäsitteet 81 Pohditaan seuraavaksi maksimi-operaatiota jonka funktio antaa kuvan pikselien maksimiarvon. Tämä on epälineaarinen joka osoitetaan vastaesimerkillä lineaarisuudelle. Olkoot kaksi kuvaa. Olkoot edelleen a 1 =1 ja a 2 =-1. Kätetään lineaarisuuden määritelmää edeltä ja f 1 f ma ma
2 Toisaalta katsottaessa lineaarisuuden määritelmän oikeaa puolta saadaan seuraava tulos ma 1 ma Koska vasen ja oikea puoli saivat eri arvot lineaarisuus ei vallitse vaan ma on epälineaarinen operaattori. Kun epälineaariset operaattorit ovat monimutkaisempia ja huonommin tunnettuja kuin lineaariset monesti pritään lineaaristen soveltamiseen. Digitaalisten kuvien peruskäsitteet 82
3 Digitaalisten kuvien peruskäsitteet 83 Kuvien väliset taulukko-operaatiot suoritetaan pikseliparittain. Tällöin aritmeettiset operaatiot ovat oheiset. Operaatiot suoritetaan siis pikseleittäin kun =012 M-1 ja =012 N-1. Tuloskuvat ovat s dpja v. Kuvien koko on M N. / g f v g f p g f d g f s
4 Olkoon g korruptoitunut kuva joka on saatu lisäämällä alkuperäiseen f kohinaa g f jossa oletetaan että jokaisessa koordinaattiparissa kohina on korreloimatonta ja sen keskiarvo on 0. Satunnaismuuttujan z varianssi on E[z-m 2 ] missä m on sen keskiarvo ja E on odotusarvo. Kahden muuttujan kovarianssi määritellään vastaavasti E[z i m i z j m j ]. Jos muuttujat ovat korreloimattomia niiden kovarianssi on 0. Seuraavan proseduurin tarkoitus on vähentää kohinaa summaamalla hteen kohinaisten kuvien joukkoa. Tätä kätetään monesti kuvan korostamisessa. Digitaalisten kuvien peruskäsitteet 84
5 Digitaalisten kuvien peruskäsitteet 85 Em. rajoittein muodostettaessa kuva keskiarvoistamalla K kertaa kohteen kohinaltaan hieman erilaista kuvaa saadaan jolloin seuraa että ja missä E{ } on keskiarvoistetun kuvan odotusarvo ja 2 :t ovat kuvan ja kohinan varianssit. Keskihajonta kuvan pisteissä on seuraava. 1 1 K i i g K g f g E g K
6 g 1 K Kun K kasvaa nämä osoittavat että pikseliarvojen varianssi ja keskihajonta jokaisessa pisteessä vähenee. Tulee kuitenkin huomata että K:n kasvaessa kohinan keskihajonta pienenee vain suhteessa K:n neliöjuureen. Jotta kuvatut toimenpiteet olisivat mahdollisia kuvat pitää tietsti kohdistaa päällekkäin toisiinsa nähden. Todellisuudessa kohinaa ei tietsti tunneta koska se on leensä satunnaista mutta sitä voidaan vähentää näin keskiarvoistamalla ja möhemmin kuvattavalla suodattamisella. Digitaalisten kuvien peruskäsitteet 86
7 Tärkeä keskiarvoistamisen kättökohde on esim. astronomisessa datassa kun samaa kohdetta on kuvattu useilla kuvilla lhin aikavälein jos on kuvattu maasta maan liike korjattu sinä aikana ms.. Kuva esittää 8 bitin tilannetta jossa korruptiota simuloitiin lisäämällä normaalijakautunutta kohinaa 0-keskiarvo ja keskihajonta 64 intensiteettitasoa. Alkuperäisen kuvan ollessa heikko jo keskiarvoistamalla K=50 kertaa kuva puhdistui kohtalaisesti mutta K=100 ei juurikaan siitä parantunut huom. K:n neliöjuuri ed. kaavassa. Digitaalisten kuvien peruskäsitteet 87
8 Kuva a Erään galaksin kuva johon on lisätt kohinaa. Keskiarvoistamista on suoritettu b 5 c 10 d 20 e 50 ja f 100 kertaa NASA. Digitaalisten kuvien peruskäsitteet 88
9 Kuvan erojen korostamiseksi voidaan kättää kuvien vähentämistä. Kuvasta 2.23a muodostetussa kuvassa 2.23b jokaisen pikselin vähiten merkitsevä bitti on asetettu 0:ksi. Nämä ovat visuaalisesti samannäköisiä. Kuva 2.23c osoittaa kuitenkin kun kuva on vähennett toisesta niiden erot. Mustat 0 arvot osoittavat erotuskuvan paikat joissa ei ole eroa kuvissa 2.23a ja b. Kuva a Infrapunakuva Washington D.C. alueesta b kuvan pikselien vähiten merkitsevät bitit asetettu nolliksi ja c edellisten erotus. Digitaalisten kuvien peruskäsitteet 89
10 Kuvan kertomisen ja jakamisen tärkeä sovellus on sävnkorjaus. Oletetaan että kuvausjärjestelmä tuottaa kuvia jotka voidaan mallintaa tädellisen kuvan f ja sävtsfunktion h tulona ts. g =fh. Jos h tunnetaan f saadaan kertomalla kuva h:n käänteisfunktiolla tässä jaetaan gh:lla. Jos h:ää ei tunneta mutta kuvausjärjestelmän ominaisuuksista on tietoa sävtsfunktiota voidaan approksimoida kuvaamalla kohde vakiointensiteetillä. Jos tällaista tietoa ei ole sävtshahmoa voidaan estimoida suoraan kuvastakin. Kuva esittää esimerkin sävnkorjauksesta. Digitaalisten kuvien peruskäsitteet 90
11 a b c Kuva Sävnkorjaus: a sävtett wolframikuitu tukivarren mpärillä 130-kertainen suurennos b sävtshahmo ja c alkuperäisen kuvan a ja b:n käänteiskuvauksen tulo. Digitaalisten kuvien peruskäsitteet 91
12 Toinen kuvan kertomisen kättö on maskaus- eli kiinnostavuusalueoperaatiot region of interest ROI. Sötekuva kerrotaan maskilla jossa on 1:siä ROI:ssa ja 0:ia muualla. Maskissa voi olla useita ROI:ta joiden muoto voi olla mikä tahansa vaikka kätännössä luonnollisesti tpillisesti suorakulmio. Kuva on tästä esimerkki. a b c Kuva a Digitaalinen hammasröntgenkuva b ROI-maski paikattujen hampaiden erottamiseksi muista valkoinen vastaa 1:iä ja musta 0:ia ja c edellisten tulo. Digitaalisten kuvien peruskäsitteet 92
13 Joukko-operaatioita voidaan soveltaa kuviin tarkemmin näiden pikseleihin. Kun universumi U on htä kuin koko kuva koordinaattijoukot A ja B ovat rajat sisältäen esim. kuten kuvassa Näille voidaan suorittaa tavallisia joukko-operaatioita. Yllä oletettiin itse asiassa että pikselien intensiteetti on sama. Ym. oletuksen ollessa paikkansapitämätön on määriteltävä miten toimia alkioiden intensiteettien vaihdellessa sovellettaessa saman kuvan eri versioita. Unioni ja leikkaus intensiteetti- eli harmaasävarvojen htedessä määritellään kättäen pikseliparien maksimia ja minimiä. Komplementti määritellään pikselin intensiteetin ja vakion parittaisina erotuksina. Digitaalisten kuvien peruskäsitteet 93
14 a b c d e Kuva a Kaksi koordinaattijoukkoa A ja B tasolla b joukkojen unioni c leikkaus d A:n komplementti ja e joukkojen erotus. Tummennetut alueet edustavat tulosjoukkoja. Digitaalisten kuvien peruskäsitteet 94
15 Tarkastellaan joukon A alkioita jotka ovat kolmikkoja z. Tässä z on intensiteettiarvo. A:n komplementti voidaan määritellä A c { K z z A} jossa pikselien intensiteetit on vähennett vakiosta K=2 k -1 kun k on z:n esittämiseen kätett bittien lukumäärä. Tämä on monesti 8-bittinen harmaasävkuvaa varten. Esim. kuvasta 2.27.a halutaan muodostaa A:n negaatio joukko-operaatioilla. Muodostetaan seuraava. A n A c { 255 z z A} Saadaan kuva 2.27.b. Digitaalisten kuvien peruskäsitteet 95
16 Kahden harmaasävpikselijoukon A ja B unioni määritellään joukkona A B a b a A b }. { ma B z A edustakoon kuvaa 2.27.a. B on samankokoinen suorakulmiotaulukko jonka kaikki z-arvot ovat htä kuin kolme kertaa A:n alkioiden intensiteettien keskiarvo m. Kuva 2.27.c on näiden unioni jossa kaikki 3m:n littävät arvot esiintvät sellaisenaan A:n arvoina ja kaikki muut arvoina 3m keskiharmaa arvo. Digitaalisten kuvien peruskäsitteet 96
17 a b c Kuva a Alkuperäinen kuva b komplementilla saatu kuvan negaatio ja c alkuperäisen ja vakiokuvan unionikuva. Digitaalisten kuvien peruskäsitteet 97
18 Käsiteltäessä binäärikuvia edusta 1-arvot ja tausta 0-arvot voidaan mieltää pikselijoukkona. Määriteltäessä kuvan kohteiden olevan 1-arvoista muodostettuja esim. kuvan joukko-operaatiot ovat operaatioita kohteiden koordinaattien välillä. Binäärikuville on tavallista joukko-operaatioiden asemesta soveltaa loogisia operaattoreita OR AND ja NOT kun 1 tarkoittaa arvoa tosi ja 0 arvoa epätosi. Joukkojen tai alueiden A ja B tapauksessa sovellettaessa esim. OR:ia tuloksessa ovat kummankin alkiot. Tavanomaiset periaatteet ovat voimassa tietsti muillekin loogisille operaatioille joissa on mukana mös XOR. Kuva havainnollistaa tärkeimpiä operaatioita joissa neljäs rivi vastaa joukko-operaatioiden erotusta. Huomattakoon että nämä ovat alueiden välisiä operaatioita toisin kuin joukkojen htedessä samankokoisten kuvien taulukkooperaatioita joten harmaasävtasoista ei tarvitse nt välittää. Digitaalisten kuvien peruskäsitteet 98
19 Kuva Loogisten operaatioiden kättöä. Musta vastaa 0:ia ja valkoinen 1:siä. Digitaalisten kuvien peruskäsitteet 99
20 Spatiaaliset operaatiot suoritetaan suoraan kuvan pikseleille. Niitä on kolmea lajia: ksittäispikselien operaatiot 2 naapurustooperaatiot ja 3 geometriset muunnokset. Yksittäisiä pikseleitä voidaan muuntaa muunnoksilla s = Tz jossa z on pikselin alkuperäinen intensiteetti ja s on prosessoidun kuvan pikselin intensiteetti. Esim. kuva esittää 8-bittisen kuvan pikselin negaation kuvan 2.27.b tapaan. Digitaalisten kuvien peruskäsitteet 100
21 Kuva Intensiteettimuunnosfunktio 8-bittisen kuvan negaation muodostamista varten. Katkonuolet osoittavat mielivaltaisesti valitun intensiteettiarvon z 0 muunnoksen. Digitaalisten kuvien peruskäsitteet 101
22 Olkoon S johonkin pisteeseen keskitetn naapuruston koordinaattijoukko. Naapurustokäsittel generoi vastaavan pikselin tuloskuvan g samoille koordinaateille niin että pikselin arvo määrätään jollakin joukolle S suoritetulla operaatiolla. Esim. kätetään pikselien keskiarvoa suorakulmionmuotoisessa naapurustossa kokoa m n. Kuva havainnollistaa. Operaatio on nt muotoa g 1 mn r c f S r c jossa r ja c ovat joukon S pikselirivien ja -sarakkeiden lukumäärät. Kuva g on luotu liu uttamalla ikkunaa pikseleittäin pitkin kutakin riviä vuorollaan ja laskemalla joka pisteessä tuloskuvan vastaavan kohdan arvo. Digitaalisten kuvien peruskäsitteet 102
23 a b Kuva Lokaalinen keskiarvoistaminen soveltaen naapurustokäsittelä. a ja b Yksittäinen suorakulmio eli ikkuna sekä c alkuperäinen aorttakuva ja d sama keskiarvoistettuna kun m=n=41 ja kuvan koko pikseliä. c d Digitaalisten kuvien peruskäsitteet 103
24 Geometriset muunnokset muuntavat kuvassa pikselien välisiä spatiaalisia suhteita. Kahta perusoperaatiotppiä kätetään: spatiaaliset koordinaattien muunnokset ja intensiteettien interpolointi joka määrää spatiaalisesti muunnettujen pikselien intensiteettiarvot. Koordinaattien muunnos ilmaistaan T{ v w} jossa vw:t ovat alkuperäisen kuvan pikselikoordinaatteja ja :t ovat vastaavasti muunnetun. Esim. muunnos =T{vw}= v/2w/2 kutistaa alkuperäistä puoleen kummankin suunnan suhteen. Tavallinen spatiaalinen on affiini muunnos leisesti oheisessa muodossa. 1v w 1T v w 1 t t t t t t Digitaalisten kuvien peruskäsitteet 104
25 Edellinen kaava kattaa muunnokset skaalaus rotaatio translaatio ja shearing. Taulukko 2.2. esittää nämä joita voidaan hdistää peräkkäin. Voidaan esim. muuttaa kuvan kokoa kiertää sitä ja siirtää uuteen paikkaan laskemalla näiden operaatioiden matriisien tulo. Edellistä kaava kätetään kahdella eri tavalla. Eteenpäinkuvauksessa selataan kuvaa pikseleittäin ja jokaiselle pisteelle vw lasketaan tuloskuvan vastaavan pikselin spatiaalinen paikka. Ongelmana on että kaksi tai useampaa pikseliä saattaa kuvautua samaan paikkaan tuloskuvassa jolloin tämä on jotenkin ratkaistava. Niinpä monesti kätetään käänteiskuvausta selaten tulospikselipaikkoja ja laskien vastaavan sötekuvan paikan vw =T -1. Interpoloidaan esitetillä menetelmillä sitten lähimpien naapuripikselien avulla tulospikselin intensiteettiarvo. Digitaalisten kuvien peruskäsitteet 105
26 Taulukko 2.2. Affiinit muunnokset. Digitaalisten kuvien peruskäsitteet 106
27 Käänteiskuvaus on tehokkaampi vaihtoehto. Sitä kätetään leisemmin kuin eteenpäinkuvausta. Esim. Matlab-ohjelmisto soveltaa sitä. Tarkastellaan esimerkkinä kuvaa 2.31 jossa kierretään kohdetta 21 kättäen lähimmän naapurin bilineaaria ja kaksoiskuutiollista interpolointia. Rotaatio eli kierto on vaativa muunnos koska suorien säilminen suorannäköisinä on monesti ongelma. Katsomalla suurennettuja osia kuvan osissa c ja d voi havaita että edellisessä on enemmän intensiteetin harmaita välimuotopikseleitä mustan ja valkoisen väliltä. Täten d on parempi tuloskuva. Tässä oli kätett käänteiskuvausta. Digitaalisten kuvien peruskäsitteet 107
28 Kuva a Tarkkuuden 300 dpi kuva b kuva kierrettnä soveltaen lähimmän naapurin c bilineaaria ja d kaksoiskuutiollista interpolointia. Digitaalisten kuvien peruskäsitteet 108
29 Kuvanrekisteröinti on hödllinen menetelmä rinnastaa kaksi tai useampaa kuvaa samaan näkmään. Tällöin tunnetaan söte- ja tuloskuva mutta niiden välinen muunnos on tuntematon joka halutaan selvittää. Viitekuvaa vasten halutaan sötekuva rekisteröidä. Tällainen on hödllistä esim. lääketieteellisen kuvantamisen htedessä rinnastettaessa saman kohteen MRI-kuva ja PET-kuva edellinen anatominen ja jälkimmäinen pikemmin funktionaalinen. Kuvauskohde ja -väline voivat toisaalta olla samoja mutta kohteesta otetaan määräväliajoin kuvia. Hvä esimerkki on tähtitieteelliset kohteet joissa kuvauksen väliaika voi nousta jopa vuosiin. Digitaalisten kuvien peruskäsitteet 109
30 Pääasiallinen keino ratkaista esitett ongelma on kättää sidos- eli kontrollipisteitä. Nämä ovat pisteitä joiden sijainti tiedetään tarkkaan sekä söte- että viitekuvissa. Pisteet voidaan valita vaihtelevin tavoin kuten vuorovaikutteisesti tai soveltamalla algoritmia joka rittää havaita nämä pisteet automaattisesti. Muunnosfunktion estimointiongelma on mallintamistehtävä. Olkoon neljän sidospisteen joukko jokaisessa söte- ja viitekuvassa. Bilineaaria approksimointia soveltaen saadaan ja c c 1v c2w c3vw c4 jossa estimointivaiheen aikana vw ja ovat söte- ja viitekuvan sidospisteiden koordinaatit. 5v c6w c7vw c8 Digitaalisten kuvien peruskäsitteet 110
31 Kun on neljä paria sidospisteitä kahdessa kuvassa kahdeksan htälöä voidaan kirjoittaa eo. tapaan ja ratkaista niistä kahdeksan tuntematonta kerrointa c 1 c 8. Kertoimet muodostavat mallin joka muuntaa kuvan pikselit toisen kuvan pikselien paikkoihin rekisteröinnin aikaansaamiseksi. Jos neljä sidospistettä ovat riittämättömiä tdttävän rekisteröinnin tuottamiseksi voidaan kättää suurempaa sidospisteiden määrää ja käsitellä neljän pisteen joukkojen muodostamia nelikulmioita alikuvina. On mahdollista kättää mös monimutkaisempia alueita ja malleja esim. polnomeja jotka on sovitettu pienimmän neliösumman menetelmällä. Digitaalisten kuvien peruskäsitteet 111
32 Kuva 2.32.a esittää viitekuvan ja kuva 2.32.b saman mutta geometrisesti vääristettnä horisontaalisen ja vertikaalisen shearingoperaation avulla. Viitekuvan avulla määrättiin manuaalisesti neljä sidospistettä pienet valkoiset nurkissa ja sitten näitä kättäen rekisteröitiin kuva. Neljä sidospistettä riitti koska kumpikin muunnos on lineaarinen. Kuva c esittää rekisteröintituloksen joka ei ole tädellinen minkä osoittaa kuvan mustat reunat. Erotuskuva 2.32.d osoittaa rekisteröinnin puutteet viite- ja korjatun kuvan välillä. Nämä johtuivat sidospisteiden hieman epätarkasta manuaalisesta asettamisesta. Digitaalisten kuvien peruskäsitteet 112
33 a b sidospiste c d Kuva Rekisteröinti: a viitekuva b söte geometrisesti vääristett c rekisteröit kuva ja d vaiheiden a ja c erotuskuva joka sisältää virheitä. Digitaalisten kuvien peruskäsitteet 113
34 Värikuvien htedessä tarvitaan vektori- ja matriisioperaatioita. Värikuvat muodostetaan RGB-väriavaruudessa kättäen kolmea komponenttia: punainen vihreä ja sininen kuva Jokaisella värikuvan pikselillä on tällöin pstvektori z z z z jossa komponentit vastaavat pikselin kolmen värin intensiteettejä. Näin koon M N RGB-kuva edustaa kaikkiaan MN 3-ulotteista vektoria. Digitaalisten kuvien peruskäsitteet 114
35 Kuva Vektorin muodostaminen kolmen RGBkomponenttikuvan vastaavista pikseliarvoista. Digitaalisten kuvien peruskäsitteet 115
36 Euklidinen etäiss voidaan määrätä pikselivektorin z ja mielivaltaisesti valitun pisteen a välillä n-ulotteisessa avaruudessa. D T z a z a z a z a... z a n n Tärkeät lineaariset muunnokset ovat tehtävissä muotona w A z a jossa A on m n-matriisi sekä z ja a ovat m 1-pstvektoreita. Koko kuva on esitettävissä matriisina M N tai vaihtoehtoisesti vektorina kokoa MN 1. Digitaalisten kuvien peruskäsitteet 116
37 Tällä tavalla voidaan kuvaan soveltaa monia lineaarisia prosesseja merkitsemällä g Hf n jossa f on MN 1-vektori esittäen sötekuvaa n on MN 1-vektori esittäen kohinaa g on MN 1-vektori esittäen prosessoitua kuvaa ja H on MN MN-matriisi esittäen sötekuvaan sovellettua lineaarista prosessia. Käsitellt muunnokset ovat kättäneet suoraan pikselejä eli operoineet spatiaalisesti. Toisinaan on kuitenkin parempi toimia epäsuorasti ensiksi muuntamalla sötekuvat muunnosavaruuteen käsittelemällä siellä kuvaa ja muuntamalla takaisin käänteismuunnoksella spatiaaliseen. Digitaalisten kuvien peruskäsitteet 117
38 Digitaalisten kuvien peruskäsitteet 118 Näin leisen muodon kaksiulotteinen lineaarinen muunnos on 5 jossa f on sötekuva ruv on muunnoskerneli ja kaava evaluoidaan arvoille u=012 M-1 ja v=012 N-1. Muuttujat ja ovat spatiaalisia sekä u ja v muunnosmuuttujia. Tuv on f:n muunnos. Tunnettaessa Tuv voidaan muodostaa f käänteismuunnoksen 6 avulla jossa on =012 M-1 ja =012 N-1. Tässä suv on käänteismuunnoskerneli. Kaavat 5 ja 6 muodostavat muunnosparin M N v u r f v u T M u N v v u s v u T f
39 f spatiaalinen määritsalue muunnos Tuv operaatio R R[Tuv] käänteismuunnos g spatiaalinen kuvausalue Kuva Yleinen lähestmistapa ja prosessointia lineaarisessa muunnosavaruudessa. Kuva esittää miten kuvalle suoritetaan muunnos operointi muunnosavaruudessa ja käänteismuunnos. Kuvassa esitetään edellisen mukaan eritisesti Fourier-muunnos. Digitaalisten kuvien peruskäsitteet 119
40 Kuvassa 2.35.b on Fourier-muunnoksen itseisarvoesits joka on kuvan ensimmäisen vaiheen tulos. Spatiaalisen datan puhtaasti sinimuotoinen kohina ilmenee kirkkaina intensiteettipurskeina Fourier-muunnoksen kuvausavaruudessa. Tässä tapauksessa purskeet ovat mpränmuotoisia kuva 2.35.b. Kuva 2.35.c esittää maskin suodin eli filtteri jossa on vain valkoista ja mustaa ts. 1- ja 0-arvoja. Kuvan toisessa vaiheessa laatikko kerrotaan maskilla muunnoksen tulos suodattaen täten häiriön aiheuttamat purskeet. Kuva 2.35.d esittää lopullisen tuloksen jota varten on laskettu vielä modifioidun muunnoksen käänteismuunnos eli palautettu muunnosavaruudesta takaisin määritsalueen avaruuteen kuvaksi. Digitaalisten kuvien peruskäsitteet 120
41 a b c d Kuva a Sinimuotoisella häiriöllä korruptoitu kuva b Fouriermuunnoksen itseisarvokuvaus joka osoittaa häiriön tuottamat energiapurskeet c energiapurskeiden eliminoimiseen kätett maski ja d modifioidun Fourier-käänteismuunnoksen antama tulos NASA. Digitaalisten kuvien peruskäsitteet 121
42 Muunnoskerneli on separoituva eli erottuva seuraavan ehdon tättessä. r u v r1 u r2 v Kerneli on lisäksi smmetrinen jos r 1 on vaikutukseltaan sama kuin r 2 seuraavasti. r 1 u v r1 u r v Sama periaate soveltuu mös käänteismuunnokselle kun tässä on s r:n asemesta. Digitaalisten kuvien peruskäsitteet 122
43 Kaksiulotteisella 2D Fourier-muunnoksella on seuraava eteenpäin- ja käänteiskerneli. r u v e j2 u / M v/ N ja s u v 1 MN e j2 u/ M v / N Tässä kompleksiesitksessä kätetään fsiikan merkintätapaa imaginääriksikölle j=-1 1/2. Korvaamalla kernelit leisiin muunnoskaaavoihin 5 ja 6 s. 118 saadaan diskreetti Fouriermuunnospari joka on laskettavissa tietokoneella. Digitaalisten kuvien peruskäsitteet 123
44 Digitaalisten kuvien peruskäsitteet 124 Nämä htälöt ovat keskeisiä kuvanprosessoinnissa. Fourier-kernelit ovat separoituvia ja smmetrisiä joten 2D-muunnokset on mahdollista hajottaa 1D-muunnoksiksi. Muunnosparien kernelien tättäessä nämä ehdot ja kuvan f ollessa kokoa M N kaavat 5 ja 6 s. 118 ovat kirjoitettavissa muodossa 7 jossa F on f:n alkioiden M N-matriisi A on M N-matriisi alkioinaan a ij =r 1 ij ja T on M N-muunnos arvoinaan Tuv kun uv=012 M / / 2 M N N v M u j e f v u T / / 2 1 M u N v N v M u j e v u T MN f T AFA
45 Käänteismuunnoksen saamiseksi 7 kerrotaan kummastakin suunnasta käänteismuunnosmatriisilla B. Jos B=A -1 BTB BAFAB F BTB 8 osoittaen että F tämän alkiot ovat htä kuin kuva f voidaan palauttaa tädellisesti muunnoksestaan. Jos B ei ole htä kuin A -1 niin 8:n kättö tuottaa seuraavan approksimaation. Fˆ BAFAB Fourierin lisäksi monet muutkin muunnokset ovat esitettävissä htälöillä 5 ja 6 tai ekvivalentisti 7 ja 8 kuten Walsh Hadamard diskreetti kosini ja Haar. Digitaalisten kuvien peruskäsitteet 125
46 Todennäköisslaskenta on monessa htedessä oiva väline niin kuvanprosessoinnissakin. Intensiteettiarvoja voidaan tarkastella satunnaislukuina. Olkoot z i i=012 L-1 kaikki mahdolliset intensiteettiarvot kuvassa kooltaan M N. Intensiteettitason z k todennäköiss pz k estimoidaan arvona p z k nk MN jossa n k on z k :oiden esiintmien lukumäärä kuvassa ja MN pikselien lukumäärä. Todennäköisksien summan on oltava htä kuin 1. L 1 k 0 p z k 1 Intensiteettien keskiarvo ja varianssi voidaan laskea luonnehtimaan kuvaa kuten korkeammatkin momentit 3. potenssi luonnehtii 0:sta erotessaan jakauman vinoutta. m L1 k 0 z k p z k ja 2 L1 k0 z k m 2 p z k Digitaalisten kuvien peruskäsitteet 126
47 a b c Kuva a Vähäinen b keskitason ja c suuri kontrasti. Kuva esittää 8-bittistä kuvaa vähäisen keskitason ja suuren kontrastin tapauksissa. Pikseli-intensiteettien keskihajonnat olivat ja tapauksille a-c. Keskihajonta varianssin neliöjuurena oli tässä kätevämpi suure ajateltaessa intensiteettien arvoväliä [0255]. Digitaalisten kuvien peruskäsitteet 127
max Toisaalta katsottaessa lineaarisuuden määritelmän oikeaa puolta saadaan seuraava tulos.
Digitaalisten kuvien peruskäsitteet 8 Pohditaan seuraavaksi maksimi operaatiota jonka funktio antaa kuvan pikselien maksimiarvon. Tämä on epälineaarinen joka osoitetaan vastaesimerkillä lineaarisuudelle.
Toisaalta katsottaessa lineaarisuuden määritelmän oikeaa puolta saadaan seuraava tulos.
Pohditaan seuraavaksi maksimi-operaatiota, jonka funktio antaa kuvan pikselien maksimiarvon. Tämä on epälineaarinen, joka osoitetaan vastaesimerkillä lineaarisuudelle. Olkoot kaksi kuvaa. Toisaalta katsottaessa
6.6. Tasoitus ja terävöinti
6.6. Tasoitus ja terävöinti Seuraavassa muutetaan pikselin arvoa perustuen mpäristön pikselien ominaisuuksiin. Kuvan 6.18.a nojalla ja Lukujen 3.4. ja 3.5. harmaasävjen käsittelssä esitellillä menetelmillä
8. Morfologinen kuvanprosessointi 8.1. Perusteita
8. Morfologinen kuvanprosessointi 8.1. Perusteita Sana morfologia viittaa muotoon ja rakenteeseen eri tieteenaloilla. Kuvanprosessoinnissa se tarkoittaa matemaattista keinoa, jolla irrotetaan kuvasta kiinnostavia
Yhtälöryhmä matriisimuodossa. MS-A0007 Matriisilaskenta. Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia. 2x1 x 2 = 1 x 1 + x 2 = 5.
2. MS-A000 Matriisilaskenta 2. Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2..205 Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia { 2x x 2 = x x 2 =
MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi. Viikko 3. Kaksiulotteiset satunnaismuuttujat
.9. Kaksiulotteiset satunnaismuuttujat MS-A Todennäköisslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Viikko Moniulotteiset satunnaismuuttujat sekä niiden jakaumat ja tunnusluvut; Moniulotteisia jakaumia Usein
Yhtälöryhmä matriisimuodossa. MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta. Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia. 2x1 x 2 = 1 x 1 + x 2 = 5.
2. MS-A4/A6 Matriisilaskenta 2. Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 5.9.25 Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia { 2x x 2 = x + x 2
Vapaus. Määritelmä. jos c 1 v 1 + c 2 v c k v k = 0 joillakin c 1,..., c k R, niin c 1 = 0, c 2 = 0,..., c k = 0.
Vapaus Määritelmä Oletetaan, että v 1, v 2,..., v k R n, missä n {1, 2,... }. Vektorijono ( v 1, v 2,..., v k ) on vapaa eli lineaarisesti riippumaton, jos seuraava ehto pätee: jos c 1 v 1 + c 2 v 2 +
Olkoon R S otosavaruuksien R ja S karteesinen tulo: Satunnaismuuttujien X ja Y järjestetty pari (X, Y) määrittelee kaksiulotteisen satunnaismuuttujan:
Mat-.6 Sovellettu todennäköisslaskenta B Mat-.6 Sovellettu todennäköisslaskenta B / Ratkaisut Aiheet: Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja todennäköissjakaumat Moniulotteisia jakaumia Avainsanat: Diskreetti
Inversio-ongelmien laskennallinen peruskurssi Luento 2
Inversio-ongelmien laskennallinen peruskurssi Luento 2 Kevät 2012 1 Lineaarinen inversio-ongelma Määritelmä 1.1. Yleinen (reaaliarvoinen) lineaarinen inversio-ongelma voidaan esittää muodossa m = Ax +
Sijoitusmenetelmä. 1.2. Yhtälöpari
MAB Yhtälöpari Yhtälöpari Yhtälöparilla tarkoitetaan tilannetta, missä on kaksi htälöä, joiden tät toteutua htä aikaa Tämä on sama asia kuin että kstään, missä pisteessä tai missä pisteissä htälöitä vastaavat
Lineaarialgebra b, kevät 2019
Lineaarialgebra b, kevät 2019 Harjoitusta 4 Maplella with(linearalgebra); (1) Tehtävä 1. Lineaarisia funktioita? a) Asetelma on kelvollinen: lähtö- ja maalijoukko on R-kertoiminen lineaariavaruus ja L
Mat Sovellettu todennäköisyyslasku A. Moniulotteiset jakaumat. Avainsanat:
Mat-.9 Sovellettu todennäköisyyslasku A Mat-.9 Sovellettu todennäköisyyslasku A / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat: Moniulotteiset jakaumat Diskreetti jakauma, Ehdollinen jakauma, Ehdollinen odotusarvo, Jatkuva
Kannan vektorit siis virittävät aliavaruuden, ja lisäksi kanta on vapaa. Lauseesta 7.6 saadaan seuraava hyvin käyttökelpoinen tulos:
8 Kanta Tässä luvussa tarkastellaan aliavaruuden virittäjävektoreita, jotka muodostavat lineaarisesti riippumattoman jonon. Merkintöjen helpottamiseksi oletetaan luvussa koko ajan, että W on vektoreiden
Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (007) 1 Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia >> Multinomijakauma Kaksiulotteinen
5. Grafiikkaliukuhihna: (1) geometriset operaatiot
5. Grafiikkaliukuhihna: () geometriset operaatiot Johdanto Grafiikkaliukuhihnan tarkoitus on kuvata kolmiulotteisen kohdeavaruuden kuva kaksiulotteiseen kuva eli nättöavaruuteen. aikka kolmiulotteisiakin
Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II Syksy 2009 Laskuharjoitus 1 ( ) Ratkaisuehdotuksia Vesa Ala-Mattila
Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II Syksy 29 Laskuharjoitus (9. - 3..29) Ratkaisuehdotuksia Vesa Ala-Mattila Tehtävä. Olkoon V vektoriavaruus. Todistettava: jos U V ja W V ovat V :n aliavaruuksia, niin
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (006) 1 Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia >> Multinomijakauma Kaksiulotteinen
Talousmatematiikan perusteet: Luento 14. Rajoittamaton optimointi Hessen matriisi Ominaisarvot Ääriarvon laadun tarkastelu
Talousmatematiikan perusteet: Luento 14 Rajoittamaton optimointi Hessen matriisi Ominaisarvot Ääriarvon laadun tarkastelu Luennolla 6 Tarkastelimme yhden muuttujan funktion f(x) rajoittamatonta optimointia
802118P Lineaarialgebra I (4 op)
802118P Lineaarialgebra I (4 op) Tero Vedenjuoksu Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos 2012 Lineaarialgebra I Yhteystiedot: Tero Vedenjuoksu tero.vedenjuoksu@oulu.fi Työhuone M206 Kurssin kotisivu
3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä
3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä Lineaarinen m:n yhtälön yhtälöryhmä, jossa on n tuntematonta x 1,, x n on joukko yhtälöitä, jotka ovat muotoa a 11 x 1 + + a 1n x n = b 1 a 21
Lineaarinen yhtälöryhmä
Lineaarinen yhtälöryhmä 1 / 39 Lineaarinen yhtälö Määritelmä 1 Lineaarinen yhtälö on muotoa a 1 x 1 + a 2 x 2 + + a n x n = b, missä a i, b R, i = 1,..., n ovat tunnettuja ja x i R, i = 1,..., n ovat tuntemattomia.
Ratkaisuehdotukset LH 3 / alkuvko 45
Ratkaisuehdotukset LH 3 / alkuvko 45 Tehtävä : Olkoot A, B, X R n n, a, b R n ja jokin vektorinormi. Kätetään vektorinormia vastaavasta operaattorinormista samaa merkintää. Nätä, että. a + b a b, 2. A
Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 8. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 8 () Numeeriset menetelmät / 35
Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 8 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 8 () Numeeriset menetelmät 11.4.2013 1 / 35 Luennon 8 sisältö Interpolointi ja approksimointi Funktion approksimointi Tasainen
3. Intensiteettimuunnokset ja spatiaalinen suodatus 3.1. Tausta
3. 3.1. Tausta Spatiaalinen alue viittaa itse kuvaan, ja kuvanprosessointi kohdistuu tällöin suoraan pikseleihin. Tämä on eri asia kuin muunnosavaruuden yhteydessä edellä. Tässä luvussa tarkastellaan intensiteettimuunnoksia
Suoran yhtälöt. Suoran ratkaistu ja yleinen muoto: Suoran yhtälö ratkaistussa, eli eksplisiittisessä muodossa, on
Suoran htälöt Suoran ratkaistu ja leinen muoto: Suoran htälö ratkaistussa, eli eksplisiittisessä muodossa, on ANALYYTTINEN GEOMETRIA MAA5 = k + b, tai = a missä vakiotermi b ilmoittaa suoran ja -akselin
Muodonmuutostila hum 30.8.13
Muodonmuutostila Tarkastellaan kuvan 1 kappaletta Ω, jonka pisteet siirtvät ulkoisen kuormituksen johdosta siten, että siirtmien tapahduttua ne muodostavat kappaleen Ω'. Esimerkiksi piste A siirt asemaan
Ratkaisu. Ensimmäinen kuten P Q, toinen kuten P Q. Kolmas kuten P (Q R):
Diskreetti matematiikka, sks 2010 Harjoitus 2, ratkaisuista 1. Seuraavassa on kuvattu kolme virtapiiriä, joissa on paristo, sopiva lamppu L ja katkaisimia P, Q, R, joiden läpi virta kulkee (1) tai ei kulje
Lineaarinen optimointitehtävä
Lineaarinen optimointitehtävä Minimointitehtävä yhtälörajoittein: min kun n j=1 n j=1 c j x j a ij x j = b i x j 0 j = 1,..., n i = 1,..., m Merkitään: z = alkuperäisen objektifunktion arvo käsiteltävänä
Lineaariset yhtälöryhmät ja matriisit
Lineaariset yhtälöryhmät ja matriisit Lineaarinen yhtälöryhmä a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n = b 2. a m1 x 1 + a m2 x 2 + + a mn x n = b m, (1) voidaan esittää
Sisältö. Luento 1: Transformaatiot (2D) 1. Koordinaattimuunnokset. Muunnokset (jatkuu) 2. Perustransformaatiot. Perustransformaatiot (jatkuu)
Sisältö ietokonegrafiikka / perusteet Ako/-.3/3 4 ov / 2 ov Perustransformaatiot ransformaatioiden hdistäminen Muunnosmatriisit Laskennallisia näkökohtia Luento : ransformaatiot (2D) Marko Mllmaa 6/4 2D
Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia. Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia. Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia: Mitä opimme?
TKK (c) Ilkka Mellin (4) Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia Johdatus todennäköisyyslaskentaan Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (4) Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia: Mitä
1 Kertaus. Lineaarinen optimointitehtävä on muotoa:
1 Kertaus Lineaarinen optimointitehtävä on muotoa: min c 1 x 1 + c 2 x 2 + + c n x n kun a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n b 2 (11) a m1 x 1 + a m2 x 2 + + a mn x n
Vektoreiden virittämä aliavaruus
Vektoreiden virittämä aliavaruus Määritelmä Oletetaan, että v 1, v 2,... v k R n. Näiden vektoreiden virittämä aliavaruus span( v 1, v 2,... v k ) tarkoittaa kyseisten vektoreiden kaikkien lineaarikombinaatioiden
Talousmatematiikan perusteet: Luento 13. Rajoittamaton optimointi Hessen matriisi Ominaisarvot ja vektorit Ääriarvon laadun tarkastelu
Talousmatematiikan perusteet: Luento 13 Rajoittamaton optimointi Hessen matriisi Ominaisarvot ja vektorit Ääriarvon laadun tarkastelu Viime luennolla Aloimme tarkastella yleisiä, usean muuttujan funktioita
9.2 Lineaarikuvaus Olkoon A kuvaus (funktio) vektoriavaruudesta V vektoriavaruuteen U: jos nyt
9 Lineaarikuvaukset, matriisit 9 Vektoriavaruudet Aiemmin olemmme puhuneet tason (R 2 ja kotiavaruuden (R 3 vektoreista Nämä (kuten mös pelkkä R ovat esimerkkejä reaalisista vektoriavaruuksista Yleisesti
3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä
1 3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä Lineaarinen m:n yhtälön yhtälöryhmä, jossa on n tuntematonta x 1,, x n on joukko yhtälöitä, jotka ovat muotoa a 11 x 1 + + a 1n x n = b 1 a
Demo 1: Simplex-menetelmä
MS-C2105 Optimoinnin perusteet Malliratkaisut 3 Ehtamo Demo 1: Simplex-menetelmä Muodosta lineaarisen tehtävän standardimuoto ja ratkaise tehtävä taulukkomuotoisella Simplex-algoritmilla. max 5x 1 + 4x
Lineaarikuvauksen R n R m matriisi
Lineaarikuvauksen R n R m matriisi Lauseessa 21 osoitettiin, että jokaista m n -matriisia A vastaa lineaarikuvaus L A : R n R m, jolla L A ( v) = A v kaikilla v R n. Osoitetaan seuraavaksi käänteinen tulos:
7. DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT
7. DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT Tavallinen differentiaalihtälö koostuu tuntemattoman hden muuttujan funktion derivaatoista sekä funktiosta riippumattomista termeistä. Esimerkki differentiaalihtälöstä on Newtonin
Talousmatematiikan perusteet: Luento 10. Lineaarikuvaus Matriisin aste Determinantti Käänteismatriisi
Talousmatematiikan perusteet: Luento 10 Lineaarikuvaus Matriisin aste Determinantti Käänteismatriisi Lineaarikuvaus Esim. Yritys tekee elintarviketeollisuuden käyttämää puolivalmistetta, jossa käytetään
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 21. syyskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 21. syyskuuta 2007 1 / 19 1 Satunnaismuuttujien riippumattomuus 2 Jakauman tunnusluvut Odotusarvo Odotusarvon ominaisuuksia
Yhteenlaskun ja skalaarilla kertomisen ominaisuuksia
Yhteenlaskun ja skalaarilla kertomisen ominaisuuksia Voidaan osoittaa, että avaruuden R n vektoreilla voidaan laskea tuttujen laskusääntöjen mukaan. Huom. Lause tarkoittaa väitettä, joka voidaan perustella
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (005) 1 Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia Multinomijakauma Kaksiulotteinen normaalijakauma TKK (c) Ilkka
110. 111. 112. 113. 114. 4. Matriisit ja vektorit. 4.1. Matriisin käsite. 4.2. Matriisialgebra. Olkoon A = , B = Laske A + B, 5 14 9, 1 3 3
4 Matriisit ja vektorit 4 Matriisin käsite 42 Matriisialgebra 0 2 2 0, B = 2 2 4 6 2 Laske A + B, 2 A + B, AB ja BA A + B = 2 4 6 5, 2 A + B = 5 9 6 5 4 9, 4 7 6 AB = 0 0 0 6 0 0 0, B 22 2 2 0 0 0 6 5
Lineaarikombinaatio, lineaarinen riippuvuus/riippumattomuus
Lineaarikombinaatio, lineaarinen riippuvuus/riippumattomuus 1 / 51 Lineaarikombinaatio Johdattelua seuraavaan asiaan (ei tarkkoja määritelmiä): Millaisen kuvan muodostaa joukko {λv λ R, v R 3 }? Millaisen
Derivaatta: funktion approksimaatio lineaarikuvauksella.
Viikko 5 Tällä viikolla yleistetään R 2 :n ja R 3 :n vektorialgebran peruskäsitteet n-ulotteiseen avaruuteen R n, ja määritellään lineaarikuvaus. Tarkastellaan funktioita, joiden määrittelyjoukko on n-ulotteisen
Talousmatematiikan perusteet: Luento 11. Lineaarikuvaus Matriisin aste Käänteismatriisi
Talousmatematiikan perusteet: Luento 11 Lineaarikuvaus Matriisin aste Käänteismatriisi Viime luennolla Käsittelimme matriisien peruskäsitteitä ja laskutoimituksia Vakiolla kertominen, yhteenlasku ja vähennyslasku
Valokuvien matematiikkaa
Valokuvien matematiikkaa Avainsanat: valokuva, pikseli, päättely Luokkataso: 3.-5. luokka, 6.-9. luokka, lukio, yliopisto Välineet: Kynä, tehtävämonisteet (liitteenä), mahdollisiin jatkotutkimuksiin tietokone
2.2 Gaussin eliminaatio. 2.2 Gaussin eliminaatio. 2.2 Gaussin eliminaatio. 2.2 Gaussin eliminaatio
x = x 2 = 5/2 x 3 = 2 eli Ratkaisu on siis x = (x x 2 x 3 ) = ( 5/2 2) (Tarkista sijoittamalla!) 5/2 2 Tämä piste on alkuperäisten tasojen ainoa leikkauspiste Se on myös piste/vektori jonka matriisi A
2.5. Matriisin avaruudet ja tunnusluvut
2.5. Matriisin avaruudet ja tunnusluvut m n-matriisi A Lineaarikuvaus A : V Z, missä V ja Z ovat sopivasti valittuja, dim V = n, dim Z = m (yleensä V = R n tai C n ja Z = R m tai C m ) Kuva-avaruus ja
Numeeriset menetelmät
Numeeriset menetelmät Luento 5 Ti 20.9.2011 Timo Männikkö Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 5 Ti 20.9.2011 p. 1/40 p. 1/40 Choleskyn menetelmä Positiivisesti definiiteillä matriiseilla kolmiohajotelma
Mat. tukikurssi 27.3.
Mat. tukikurssi 7.. Tänään oli paljon vaikeita aiheita: - suunnattu derivaatta - kokonaisdierentiaali - dierentiaalikehitelmä - implisiittinen derivointi Nämä kaikki liittvät aika läheisesti toisiinsa.
3. Intensiteettimuunnokset ja spatiaalinen suodatus 3.1. Tausta
3. 3.1. Tausta Spatiaalinen alue viittaa itse kuvaan, ja kuvanprosessointi kohdistuu tällöin suoraan pikseleihin. Tämä on eri asia kuin muunnosavaruuden yhteydessä edellä. Tässä luvussa tarkastellaan intensiteettimuunnoksia
Tampereen yliopisto Tietokonegrafiikka 2013 Tietojenkäsittelytiede Harjoitus
Tampereen yliopisto Tietokonegrafiikka 201 Tietojenkäsittelytiede Harjoitus 6 1..201 1. Tarkastellaan Gouraudin sävytysmallia. Olkoon annettuna kolmio ABC, missä A = (0,0,0), B = (2,0,0) ja C = (1,2,0)
Ominaisarvot ja ominaisvektorit 140 / 170
Ominaisarvot ja ominaisvektorit 140 / 170 Seuraavissa luvuissa matriisit ja vektori ajatellaan kompleksisiksi, ts. kertojakuntana oletetaan olevan aina kompleksilukujoukko C Huomaa, että reaalilukujoukko
Pienimmän neliösumman menetelmä
Pienimmän neliösumman menetelmä Keijo Ruotsalainen Division of Mathematics Funktion sovitus Datapisteet (x 1,...,x n ) Annettu data y i = f(x i )+η i, missä f(x) on tuntematon funktio ja η i mittaukseen
2 exp( 2u), kun u > 0 f U (u) = v = 3 + u 3v + uv = u. f V (v) dv = f U (u) du du f V (v) = f U (u) dv = f U (h(v)) h (v) = f U 1 v (1 v) 2
HY, MTO / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIa, syksy 208 Harjoitus 4 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I. Satunnaismuuttuja U Exp(2) ja V = U/(3 + U). Laske f V käyttämällä muuttujanvaihtotekniikkaa.
Valitse ruudun yläosassa oleva painike Download Scilab.
Luku 1 Ohjeita ohjelmiston Scilab käyttöön 1.1 Ohjelmiston lataaminen Ohjeet ohjelmiston lataamiseen Windows-koneelle. Mene verkko-osoitteeseen www.scilab.org. Valitse ruudun yläosassa oleva painike Download
10. Esitys ja kuvaus
10. Esitys ja kuvaus Kun kuva on ensin segmentoitu alueisiin edellisen luvun menetelmin, segmentoidut pikselit kootaan esittämään ja kuvaamaan kohteita muodossa, joka sopii hyvin jatkokäsittelyä varten.
SGN-1200 Signaalinkäsittelyn menetelmät Välikoe
SGN-00 Signaalinkäsittelyn menetelmät Välikoe 9.3.009 Sivuilla - on. Älä vastaa siihen, jos et ollut ensimmäisessä välikokeessa. Tentin kysymykset ovat sivuilla 3-4. Vastaa vain jompaan kumpaan kokeeseen,
Kohdeyleisö: toisen vuoden teekkari
Julkinen opetusnäyte Yliopisto-opettajan tehtävä, matematiikka Klo 8:55-9:15 TkT Simo Ali-Löytty Aihe: Lineaarisen yhtälöryhmän pienimmän neliösumman ratkaisu Kohdeyleisö: toisen vuoden teekkari 1 y y
811120P Diskreetit rakenteet
811120P Diskreetit rakenteet 2016-2017 2. Lukujen esittäminen ja aritmetiikka 2.1 Kantajärjestelmät ja lukujen esittäminen Käytettävät lukujoukot: Luonnolliset luvut IN = {0,1,2,3,... } Positiiviset kokonaisluvut
Kurssin loppuosassa tutustutaan matriiseihin ja niiden käyttöön yhtälöryhmien ratkaisemisessa.
7 Matriisilaskenta Kurssin loppuosassa tutustutaan matriiseihin ja niiden käyttöön yhtälöryhmien ratkaisemisessa. 7.1 Lineaariset yhtälöryhmät Yhtälöryhmät liittyvät tilanteisiin, joissa on monta tuntematonta
12.5. Vertailua. Silmäillään laskostumisen estoa tietokonegrafiikan kannalta. Kuva 12.8. luonnehtii vaihtoehtoja.
1.5. Vertailua Silmäillään laskostumisen estoa tietokonegrafiikan kannalta. Kuva 1.8. luonnehtii vaihtoehtoja. (1)Esisuodatus äärettömästi näytteitä pikseliä kohti Lasketaan projisoidun kohteen palojen
Tekijä MAA2 Polynomifunktiot ja -yhtälöt = Vastaus a)
K1 a) Tekijä MAA Polynomifunktiot ja -yhtälöt 6.8.016 ( + + ) + ( ) = + + + = + + + = + 4 b) 4 4 ( 5 + ) ( 5 + 1) = 5 + + 5 + 1 4 = + + + 4 = + 5 5 1 1 Vastaus a) 4 + b) 4 + 1 K a) f ( ) = + 1 f () = +
Insinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi A. Lepistö alepisto@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2016 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö
Ratkaisuehdotukset LH 7 / vko 47
MS-C34 Lineaarialgebra, II/7 Ratkaisuehdotukset LH 7 / vko 47 Tehtävä : Olkoot M R symmetrinen ja positiividefiniitti matriisi (i) Näytä, että m > ja m > (ii) Etsi Eliminaatiomatriisi E R siten, että [
Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 6. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 6 () Numeeriset menetelmät / 33
Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 6 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 6 () Numeeriset menetelmät 4.4.2013 1 / 33 Luennon 6 sisältö Interpolointi ja approksimointi Polynomi-interpolaatio: Vandermonden
Ville Turunen: Mat Matematiikan peruskurssi P1 1. välikokeen alueen teoriatiivistelmä 2007
Ville Turunen: Mat-1.1410 Matematiikan peruskurssi P1 1. välikokeen alueen teoriatiivistelmä 2007 Materiaali: kirjat [Adams R. A. Adams: Calculus, a complete course (6th edition), [Lay D. C. Lay: Linear
MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Malliratkaisut 5 / vko 48
MS-A3/A5 Matriisilaskenta Malliratkaisut 5 / vko 48 Tehtävä (L): a) Onko 4 3 sitä vastaava ominaisarvo? b) Onko λ = 3 matriisin matriisin 2 2 3 2 3 7 9 4 5 2 4 4 ominaisvektori? Jos on, mikä on ominaisarvo?
1. Matemaattiset perusteet
.. Kolmiulotteisten rakenteiden käsittel. Matemaattiset perusteet ietokonegrafiikka perustuu paljolti matemaattiseen laskentaan, jossa kätetään vektoreita ja matriiseja sekä näille lineaarialgebran peruskäsitteitä.
MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ
MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 24.9.2019 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alustavat hyvän vastauksen piirteet on suuntaa-antava kuvaus kokeen tehtäviin odotetuista vastauksista ja tarkoitettu ensisijaisesti
Koodausteoria, Kesä 2014
Koodausteoria, Kesä 2014 Topi Törmä Matemaattisten tieteiden laitos 3.5 Reedin-Mullerin koodit Olkoon tässä kappaleessa F = F2 = Z2 ja n = 2 m. Määritellään avaruuteen F n kertolasku koordinaateittain:
LAUSEKKEET JA NIIDEN MUUNTAMINEN
LAUSEKKEET JA NIIDEN MUUNTAMINEN 1 LUKULAUSEKKEITA Ratkaise seuraava tehtävä: Retkeilijät ajoivat kahden tunnin ajan polkupyörällä maantietä pitkin 16 km/h nopeudella, ja sitten vielä kävelivät metsäpolkua
Luento 2: Transformaatiot (2D)
ietokonegrafiikan perusteet -.43 3 op Luento 2: ransformaatiot (2D) Lauri Savioja /7 2D transformaatiot / Sisältö Perustransformaatiot ransformaatioiden hdistäminen Muunnosmatriisit Laskennallisia näkökohtia
4.0.2 Kuinka hyvä ennuste on?
Luonteva ennuste on käyttää yhtälöä (4.0.1), jolloin estimaattori on muotoa X t = c + φ 1 X t 1 + + φ p X t p ja estimointivirheen varianssi on σ 2. X t }{{} todellinen arvo Xt }{{} esimaattori = ε t Esimerkki
Kun järjestelmää kuvataan operaattorilla T, sisäänmenoa muuttujalla u ja ulostuloa muuttujalla y, voidaan kirjoittaa. y T u.
DEE-00 Lineaariset järjestelmät Harjoitus, ratkaisuehdotukset Järjestelmien lineaarisuus ja aikainvarianttisuus Kun järjestelmää kuvataan operaattorilla T, sisäänmenoa muuttujalla u ja ulostuloa muuttujalla
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt ja pienimmän neliösumman menetelmä Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 18 R. Kangaslampi QR ja PNS PNS-ongelma
Määritelmä Olkoon T i L (V i, W i ), 1 i m. Yksikäsitteisen lineaarikuvauksen h L (V 1 V 2 V m, W 1 W 2 W m )
Määritelmä 519 Olkoon T i L V i, W i, 1 i m Yksikäsitteisen lineaarikuvauksen h L V 1 V 2 V m, W 1 W 2 W m h v 1 v 2 v m T 1 v 1 T 2 v 2 T m v m 514 sanotaan olevan kuvausten T 1,, T m indusoima ja sitä
7 Vapaus. 7.1 Vapauden määritelmä
7 Vapaus Kuten edellisen luvun lopussa mainittiin, seuraavaksi pyritään ratkaisemaan, onko annetussa aliavaruuden virittäjäjoukossa tarpeettomia vektoreita Jos tällaisia ei ole, virittäjäjoukkoa kutsutaan
3 Raja-arvo ja jatkuvuus
3 Raja-arvo ja jatkuvuus 3. Raja-arvon käsite Raja-arvo kuvaa funktion kättätmistä jonkin lähtöarvon läheisdessä. Raja-arvoa tarvitaan toisinaan siksi, että funktion arvoa ei voida laskea kseisellä lähtöarvolla
Vapaus. Määritelmä. Vektorijono ( v 1, v 2,..., v k ) on vapaa eli lineaarisesti riippumaton, jos seuraava ehto pätee:
Vapaus Määritelmä Oletetaan, että v 1, v 2,..., v k R n, missä n {1, 2,... }. Vektorijono ( v 1, v 2,..., v k ) on vapaa eli lineaarisesti riippumaton, jos seuraava ehto pätee: jos c 1 v 1 + c 2 v 2 +
Insinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot
Regressioanalyysi. Kuusinen/Heliövaara 1
Regressioanalyysi Kuusinen/Heliövaara 1 Regressioanalyysin idea ja tavoitteet Regressioanalyysin idea: Oletetaan, että haluamme selittää jonkin selitettävän muuttujan havaittujen arvojen vaihtelun joidenkin
Yhden selittäjän lineaarinen regressiomalli (jatkoa) Ensi viikolla ei pidetä luentoa eikä harjoituksia. Heliövaara 1
Yhden selittäjän lineaarinen regressiomalli (jatkoa) Ensi viikolla ei pidetä luentoa eikä harjoituksia Heliövaara 1 Regressiokertoimien PNS-estimaattorit Määritellään havaintojen x j ja y j, j = 1, 2,...,n
MS-C1340 Lineaarialgebra ja
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Matriisinormi, häiriöalttius Riikka Kangaslampi Kevät 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Matriisinormi Matriisinormi Matriiseille
5 Lineaariset yhtälöryhmät
5 Lineaariset yhtälöryhmät Edellisen luvun lopun esimerkissä päädyttiin yhtälöryhmään, jonka ratkaisemisesta riippui, kuuluuko tietty vektori eräiden toisten vektorien virittämään aliavaruuteen Tämäntyyppisiä
Luento 3: Transformaatiot (2D)
ietokonegrafiikan perusteet -.43 3 op Luento 3: ransformaatiot (2D) Lauri Savioja /5 2D transformaatiot / Sisältö Perustransformaatiot ransformaatioiden hdistäminen Muunnosmatriisit Laskennallisia näkökohtia
4. Luennon sisältö. Lineaarisen optimointitehtävän ratkaiseminen Simplex-menetelmä
JYVÄSKYLÄN YLIOPISTO 4. Luennon sisältö Lineaarisen optimointitehtävän ratkaiseminen Simplex-menetelmä kevät 2012 TIEA382 Lineaarinen ja diskreetti optimointi Lineaarinen optimointitehtävä Minimointitehtävä
3.1 Lineaarikuvaukset. MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta. 3.1 Lineaarikuvaukset. 3.1 Lineaarikuvaukset
31 MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta 3 Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2292015 Lineaariset yhtälöt ovat vektoreille luonnollisia yhtälöitä, joita
MS-C1340 Lineaarialgebra ja
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Vektoriavaruudet Riikka Kangaslampi kevät 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Idea Lineaarisen systeemin ratkaiseminen Olkoon
MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 2 / vko 45
MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus / vko 5 Tehtävä 1 (L): Hahmottele kompleksitasoon ne pisteet, jotka toteuttavat a) z 3 =, b) z + 3 i < 3, c) 1/z >. Yleisesti: ehto z = R, z C muodostaa kompleksitasoon
Usean muuttujan funktiot
Usean muuttujan funktiot Johdantoa Kertauksen vuoksi seuraavassa kuviossa on joitakin asioita, joita olemme laskeneet hden muuttujan funktioista f() : [a, b] R Kuvion kärä on funktion f() kuvaaja = f()
MAY1 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 12.4.2016 Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.
KERTAUS Lukujono KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. Ratkaisussa annetaan esimerkit mahdollisista säännöistä. a) Jatketaan lukujonoa: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, Rekursiivinen sääntö on, että lukujonon ensimmäinen jäsen
Liittomatriisi. Liittomatriisi. Määritelmä 16 Olkoon A 2 M(n, n). Matriisin A liittomatriisi on cof A 2 M(n, n), missä. 1) i+j det A ij.
Liittomatriisi Määritelmä 16 Olkoon A 2 M(n, n). Matriisin A liittomatriisi on cof A 2 M(n, n), missä (cof A) ij =( 1) i+j det A ij kaikilla i, j = 1,...,n. Huomautus 8 Olkoon A 2 M(n, n). Tällöin kaikilla
9. Kuvansegmentointi 9.1. Perusteita
9. Kuvansegmentointi 9.1. Perusteita Segmentoinnissa kuva jaetaan alueiden tai kohteiden muodostamiin rakenneosiin. Jaon ksitiskohtaisuus riippuu sovelluksesta. Eitriviaalien kuvien segmentointi on ksi
y x1 σ t 1 = c y x 1 σ t 1 = y x 2 σ t 2 y x 2 x 1 y = σ(t 2 t 1 ) x 2 x 1 y t 2 t 1
1. Tarkastellaan funktiota missä σ C ja y (y 1,..., y n ) R n. u : R n R C, u(x, t) e i(y x σt), (a) Miksi funktiota u(x, t) voidaan kutsua tasoaalloksi, jonka aaltorintama on kohtisuorassa vektorin y
Gaussin ja Jordanin eliminointimenetelmä
1 / 25 : Se on menetelmä lineaarisen yhtälöryhmän ratkaisemiseksi. Sitä käytetään myöhemmin myös käänteismatriisin määräämisessä. Ideana on tiettyjä rivioperaatioita käyttäen muokata yhtälöryhmää niin,
Matematiikan johdantokurssi, syksy 2017 Harjoitus 8, ratkaisuista
Matematiikan johdantokurssi, sks 07 Harjoitus 8, ratkaisuista. Olkoot f ja g reaalifunktioita. Mitä voidaan sanoa hdistetstä funktiosta g f, jos a) f tai g on rajoitettu? b) f tai g on jaksollinen? Ratkaisu.