Vesikiertokeskuslämmitysjärjestelmien putkistolaskenta ja perussäätö

Transkriptio

1 Aalto-yliopisto Perustieteiden korkeakoulu Teknillisen fysiikan ja matematiikan tutkinto-ohjelma Vesikiertokeskuslämmitysjärjestelmien putkistolaskenta ja perussäätö kandidaatintyö Lasse Kärkkäinen Työn saa tallentaa ja julkistaa Aalto-yliopiston avoimilla verkkosivuilla. Muutoin käyttöoikeus: CC-by-3.0: Nimi mainittava

2 AALTO-YLIOPISTO PERUSTIETEIDEN KORKEAKOULU PL 11000, Aalto KANDIDAATINTYÖN TIIVISTELMÄ Tekijä: Lasse Kärkkäinen Työn nimi: Vesikiertokeskuslämmitysjärjestelmien putkistolaskenta ja perussäätö Tutkinto-ohjelma: Teknillisen fysiikan ja matematiikan tutkinto-ohjelma Pääaine: Systeemitieteet Pääaineen koodi: SCI3029 Vastuuopettaja(t): Prof. Raimo P. Hämäläinen Ohjaaja(t): Prof. Raimo P. Hämäläinen Tiivistelmä: Putkiston lämpöhäviöiden, painovoimaisen kierron ja virtausvastuksen vaikutus todellisissa lämmitysverkostoissa on tunnettu huonosti, mistä johtuen verkostojen mitoitus ja säätö on ollut suuripiirteistä, eivätkä tavoitellut huonelämpötilat useinkaan ole toteutuneet. Alalla on ollut käytössä muutamia virtausvastusta mallintavia tietokoneohjelmia, muttei koko verkoston kattavaa tarkkaa mallinnusta. Tässä työssä esittelen verkoston simulointiin tarvittavan algoritmin, jonka kehitin osana toteuttamaani Jaconiksi nimettyä perussäätölaskentaohjelmistoa. Samalla johdan uuden, aiempia tarkemman kaavan patterin tehonluovutukselle. Algoritmin ja ohjelmiston toiminnan varmentamiseksi ohjelmaa käytettiin seitsemän kerrostaloa käsittävän kohteen perussäätöön. Verkosto tasapainotettiin ohjelmalla yhtenä kokonaisuutena paine-eromenetelmää käyttäen. Termostaatit poistettuna tehdyissä lämpötilamittauksissa tavoitelämpötila saavutettiin asteen tarkkuudella 72 prosentissa asuinhuoneista. Poikkeamia aiheuttivat mm. pohjaan jumiutuneet patteriventtiilin nastat, avoimet ikkunat ja poikkeuksellisen suuret ilmaistehot. Mitoitustilanteessa käytetty 70 C menovesi jäähtyy putkistossa tyypillisesti muutamalla asteella, mutta ylimpään kerrokseen tuleva vesi voi olla jäähtynyt yli viidellä asteella, minkä huomiotta jättäminen aiheuttaisi aivan liian alhaisen huonelämpötilan. Mitoitustilanteessa vapaakierron vaikutus on paikoin nousuputkien virtausvastusta suurempi. Pelkän virtausvastuksen huomiointi voi siis olla huonompi lähestymistapa kuin painehäviöiden huomiotta jättäminen. Mikäli linjoja ei tasapainoteta erikseen, on runkoputkiston painehäviöt kuitenkin huomioitava. Verkoston kattava mallinnus on keskeistä perussäädön onnistuneen toteutuksen kannalta. Oikein tehdyillä laskelmilla voidaan hyvin olennaisesti vähentää työmäärää ja samalla minimoida kiinteistön käyttäjille koituva häiriö. Päivämäärä: Kieli: Suomi Sivumäärä: 29 Avainsanat: lämmitysjärjestelmät, perussäätö, putkistohäviöt, painovoimainen vapaakierto

3 Sisältö 1 Johdanto 1 2 Patteriverkoston tasapainotuslaskenta Perusteet ja teoreettinen tausta Tasapainotus paine-eromenetelmällä Putkisto Virtausvastus Vapaakierto Paine-eron muutos Menoveden jäähtymä Patterin lämmönluovutus Teho eri meno- ja paluulämpötiloilla Patterin vesivirta ja paluuveden lämpötila Tehonluovutuskaavojen vertailua Verkoston tasapainotus Analyyttinen lähestymistapa Algoritmi vaiheittain Verkoston esitys tietorakenteena Tilojen tehontarvelaskelma Virtauslaskenta Paine-erojen laskenta Viimeistely ja virheet Algoritmin koekäyttö kentällä Perussäätölaskenta verkostolaskentaa käyttäen Lämpötilamittaukset Yhteenveto 23 Viitteet 25 Liite: A Lyhenteet 26

4 1 Johdanto Ryhtyessäni suunnittelemaan työn taustalla olevaa Jaconi-laskentaohjelmistoa kuvittelin vesikeskuslämmitysjärjestelmien teorian olevan hyvin tunnettua ja kattavasti koeteltua. Vuosien saatossa olen saanut oppia paljon LVI-alalla käytössä olevista menetelmistä ja työvälineistä, jotka vaihtelevat taulukoista ja taskulaskimista aina verkostolaskentaa tekeviin CAD-ohjelmistoihin saakka. Olen monin paikoin joutunut tarkastamaan käsityksiäni, vaikka menetelmät todellakin näyttävät pysyneen pitkälti ennallaan jo vuosikymmenten ajan. Eniten hämmästystä on kuitenkin aiheuttanut se, miten paljon kehitettävää verkostojen toiminnan ymmärtämisessä vielä on. Vesikiertoinen lämmitysjärjestelmä on oikein toimiessaan huomaamaton osa rakennustekniikkaa. Verkoston oikealla mitoituksella ja säädöllä pyritään saavuttamaan rakennuksen kaikkiin tiloihin tasaiset ja oikeantasoiset lämpötilat, sääolosuhteiden ja tilojen käytön muutoksista huolimatta. Hyvin säädetystä verkostosta ei kuulu virtausääniä ja se toimii mahdollisimman energiatehokkaasti. Käytännössä tavoite on osoittautunut hankalaksi saavuttaa, sillä verkostot ovat järjestelminä hyvin monimutkaisia, eikä niitä mallinneta kattavasti, vaikka teoria sinänsä on hyvin tunnettua perusfysiikkaa. Akateeminen tutkimus näyttää olevan laitevalmistajavetoista ja niinpä suurin osa julkaisuista käsitteleekin erilaisia venttiileitä tai säätölaitteita, eikä verkostoja koskevaa perustutkimusta ole paljoakaan käytettävissä. Niin akateemisessa maailmassa kuin suunnittelutoimistoissakin käytetään vaihtelevasti yksinkertaistaen alan oppikirjoissa esiteltyä menettelyä, jossa suunnittelija valitsee mitoituksessa käytettävät lämpötilat ja sitten määrittää näiden ja tilan tehontarpeen perusteella pattereiden vesivirrat ja edelleen putkiston virtausvastukset ja venttiileiden esisäätöarvot. Verkoston tasapainotus hoidetaan kentällä vesivirtoja mittaamalla. Tämän kandidaatintyön tärkeimpänä tavoitteena on dokumentoida verkostolaskentaalgoritmi, jonka kehitin Jaconia varten Tekno-Innovaatio Oy:n toimeksiannosta vuosina Työn laajuuden rajaamiseksi tarkastelen vain putkistoa ja patterin lämmönluovutusta, enkä käsittele ohjelmistoon sisältyviä muita toimintoja, kuten tilojen tehontarvelaskentaa. Tutkimusongelmana on simuloida verkoston toimintaa ja näin laskea venttiileille vaadittavat esisäätöarvot. Luvussa 2 käyn läpi työn teoreettiset perusteet ja rakennan niiden varaan tasapainotusalgoritmin, johon hain inspiraatiota jopa sähkötekniikan piirianalyysistä. Johdan samalla myös aiempia tarkemman ja kuitenkin helppokäyttöisen kaavan patterin tehonluovutuk-

5 2 sen laskentaan. Pyrin esittämään asiat siten, että ainakin termodynamiikkaa tunteva lukija saisi ilman kohtuutonta paneutumista hyvän käsityksen siitä millaisin menetelmin lämmitysverkostoja alan viimeisimmän tiedon valossa mallinnetaan. Putkiston osalta otan mallinnuksessa huomioon virtausvastuksen rinnalla myös painovoimaisen vapaakierron ja lämpöhäviöt. Mallinnus on toki silti vasta pintaraapaisu siihen valtavan monimutkaiseen dynaamiseen järjestelmään, jonka rakennus ja sen lämmitysjärjestelmä vaihtelevissa olosuhteissa muodostavat, mutta näyttää siltä, ettei kukaan ole aiemmin edes tämän laajuista mallinnusta lämmitysverkostoista tehnyt. On tietysti olennaista kysyä, onko tarkempi mallinnus tai menetelmien kehittäminen ylipäätään tarpeen, jos ja kun kerran perinteisilläkin menetelmillä ja kehittyneillä termostaattiventtiileillä tullaan toimeen. Entä onko mallinnettu oikeita ilmiöitä vai onko jotakin olennaista jäänyt huomiotta? Niinpä työn toisena tavoitteena on ohjelmiston käyttö todellisen kohteen perussäätöön, jotta tulokset eivät jää puhtaasti teoreettiselle pohjalle. Vertaan toteutuneita mittausarvoja laskettuihin ja samalla selvitän miten suuri merkitys virtaushäviöillä, vapaakierrolla ja jäähtymällä on verkoston tasapainotuksen kannalta. Työni viimeisessä luvussa pyrin parhaani mukaan vastaamaan myös edellä mainittuihin kysymyksiin. Toivon, että työ herättää ajatuksia ja tarjoaa sinulle jotain, mitä voit hyödyntää vaikkapa omassa opetuksessasi tai muutoin työssäsi. Kuulen mielelläni palautetta, jos koet, että työstä on ollut hyötyä, tai jos sinulla on kysymyksiä tai kommentteja aiheesta. Minut tavoittaa sähköpostitse

6 3 2 Patteriverkoston tasapainotuslaskenta 2.1 Perusteet ja teoreettinen tausta Lämmitysverkostot tulee käyttöönotettaessa ja merkittävien kiinteistössä tehtyjen muutosten jälkeen perussäätää, jotta verkosto toimii tasapainossa ja tuottaa kaikkiin tiloihin halutut lämpötilat, jolloin asuinmukavuus on kunnossa ja energiaa säästyy. Perussäädössä verkoston vesivirtoja rajoitetaan patteriventtiileiden ja linjasäätöventtiileiden avulla. Tarvittavien esisäätöarvojen löytämiseksi on monenlaisia menetelmiä. Oppikirjoissa tunnetaan edelleen esisäätöarvojen kokeellinen korjailu, jota jatketaan, kunnes suunnitellut lämpötilat toteutuvat[seppänen, 1995, s. 178]. Onneksi rinnalle on tullut myös tietokoneohjelmia, jotka ainakin avustavat oikeiden säätöjen löytämisessä ja parhaimmillaan tuottavat suoraan oikeat säätöarvot, jolloin riittää lopuksi tehtävä tarkastusmittaus. Kaikki laskenta suoritetaan yleensä vain lämmityskauden keskiarvoa tai huippupakkasia edustavissa mitoitusolosuhteissa. Ideana on, että yksissä olosuhteissa tasapainotettu verkosto myös pysyy tasapainossa, vaikka olosuhteet muuttuvat, kun menoveden lämpötilaa säädetään ulkolämpötilan mukaan. Näin menetellään, koska venttiilien käsisäätöisiä esisäätöarvoja ei ole mahdollista muuttaa vuodenaikojen mukaan. Tietokonepohjaisen suunnittelun huippua edustavat ohjelmistot[dds][mag] laskevat lämmitystehontarpeen mitoitusolosuhteissa ja sitten mitoittavat pattereiden vesivirrat sen mukaan. Ohjelmistot osaavat laskea myös putkiston virtausvastuksesta aiheutuvat häviöt, mutta tiettävästi kehittämäni Jaconilaskentaohjelmisto on ainoa, joka huomioi myös veden jäähtymisen ja vapaakierron vaikutuksen. Osoittautuu, että nämä ilmiöt vaikuttavat huomattavasti tasopainotuksen onnistumiseen Tasapainotus paine-eromenetelmällä Mitoituksessa lähtökohtana pidetään Tekno-Innovaatio Oy:n vuonna 1987 kehittämää ns. paine-eromenetelmää, joka on kentällä hyväksi todettu. Paine-eromenetelmässä linjoja kuristetaan siten, että kuhunkin linjaan saadaan sama meno- ja paluupuolen välinen paine-ero p. Linjojen vesivirtoja ei siis tarvitse mitata, vaan linjasäätöä käännetään, kunnes putkien välille liitetty paine-eromittari näyttää haluttua arvoa. Hyvä analogia löytyy sähköverkosta, jossa kotitalouksiin jaellaan 230 V jännitettä. Verkosta säädetään

7 4 jännite kohdalleen ja virran suuruus määräytyy sen mukaan millaisia laitteita verkkoon on kytketty. Yleensä valitaan linjan paine-eroksi korkeintaan 10 kpa, jolloin patteriventtiilit saadaan toimimaan äänettömästi. Putkiston vesivirtojen ja painehäviöiden laskenta mahdollistaa myös linjasäätöventtiileiden esisäätöarvojen laskemisen, mutta paine-eromittaus on silti hyvä tehdä verkoston oikean toiminnan varmistamiseksi, kun mittaus muutoinkin joudutaan tekemään jo pumpun säätöä varten. Tasapainotusta paine-eromenetelmällä on käsitelty tarkemmin väitöskirjassa Gasfri påfyllning av värme- och kylsystem samt injustering av radiatorsystem [Kärkkäinen, 2010, osa 2]. 2.2 Putkisto Virtausvastus Virtausvastuksesta johtuvan painehäviön on kokeellisesti todettu olevan verrannollinen massavirtaan [Petitjean, 2004, luku ]. Taulukkotietona putkityypille saatavan referenssitason (alaindeksit r) avulla voidaan siten määrittää suorassa putkessa massavirralla ṁ vaikuttava virtausvastus ( ) ṁ 1.9 R µ = R r (1) ṁ r Virtaus on tyypillisillä virtausnopeuksilla pääosin turbulenttista ja kaava muistuttaakin eksponentin pienestä erosta huolimatta teoreettista turbulenttisen virtauksen kaavaa R µ = λ 1 d 2 ρv2, jossa λ on kitkakerroin, d putken sisähalkaisija, ρ nesteen tiheys ja v keskimääräinen virtausnopeus. Mutkista ja muista putkiston epäjatkuvuuksista aiheutuvat kertahäviöt on jätetty huomiotta niiden vähäisestä merkityksestä johtuen Vapaakierto Lämpölaajenemisesta johtuen veden tiheys eroaa meno- ja paluuputkissa hieman toisistaan ja tiheydeltään pienempi kuuma vesi pyrkii nousemaan ylös, mistä syntyy vapaakierroksi kutsuttu ilmiö.

8 5 Veden tiheys lämpötiloissa C noudattaa kaavaa [Petitjean, 2004, luku 1.5.1] ( ( ρ 1 = 1 + t 580 C ) 1.8 ) l kg (2) Voisimme integroida hydrostaattista painetta ρgh verkoston ympäri, mutta koska meno- ja paluuputket kulkevat tavallisesti yhdessä, on mielekästä määritellä nousulinjan vapaakierto vastusterminä R n = ρgh l kg m 3 ( C) 1.8 (t t ) g 2, (3) kun l = 2h, eli kyse on nousulinjasta meno- ja paluuputkineen. Tällöin R n on negatiivinen, eli vapaakierto toimii virtausvastusta vastaan. Vaakasuuntaiselle putkelle R n saa arvon Paine-eron muutos Paine-eron muutos putkiosion osuudella saadaan kertomalla vastustermien summa meno- ja paluuputkien yhteispituudella l. Jos paine-ero putkiosion alussa on p a, on paine-ero toisessa päässä p b = p a l (R µ + R n ) (4) Esimerkki: Nousulinjan meno/paluu välinen paine-ero on säädetty 10 kilopascaliin. Määritetään paine-ero 3 metriä ylempänä, kun DN25 teräsputkessa kulkeva massavirta on 0.2 l/s. Meno- ja paluuveden lämpötilat ovat 70/40 C. Taulukkotietoina saamme DN25 teräsputkelle R r = 20 Pa/m, ṁ r = 0.1 l/s [Seppänen, 1995, s. 140], jolloin voimme laskea vastustermit: R µ = 20 Pa/m ( ) l/s = 75 Pa/m (5) 0.1 l/s R n = kg m 3 ( C) (70 C C m/s2 ) Lasketaan paine-ero nousun yläpäässä: = 69 Pa/m (6)

9 6 p b = 10 kpa 3 m (75 Pa/m 69 Pa/m) = 9.98 kpa (7) Esimerkin tapauksessa painehäviö ja vapaakierto kumosivat toisensa käytännössä täysin. Väljäputkisissa 1970-luvun saneerauskohteissa on kitkapainehäviö ollut vain 14 kpa/m [Kärkkäinen, 2010, luku 25, s. 103], jolloin vapaakierron vaikutus on kitkahäviötä huomattavasti suurempi ja paine-ero kasvaa ylempiä kerroksia kohti Menoveden jäähtymä Kaavojen selkeyttämiseksi veden lämpötiloista on aina vähennetty ympäristön lämpötila, jolloin saadaan ylilämpötila Θ, jonka alaindekseillä ilmaistaan mistä lämpötilasta on kyse. Johdetaan jäähtymälle kaava käyttäen lähtökohtana dierentiaalisen putkiosion luovuttamaa lämpötehoa dφ = τr dx UΘ, (8) jossa τ r on putken ulkopinnan ympärysmitta, dx putken dierentiaalinen pituus ja U lämmönläpäisykerroin. Jaetaan yhtälö 8 puolittain putkessa kulkevalla lämpökapasiteettivirralla, jolloin saadaan dierentiaalinen jäähtymä dθ = τr dx UΘ/(ṁc w ), (9) joka separoidaan ja integroidaan putken alusta loppuun: Θb Θ a dθ Θ = τru l dx (10) ṁc w 0 Ratkaisuna saadaan putkesta ulos tulevan veden ylilämpötila Θ b = Θ a e τru/(ṁcw), (11) kun ylilämpötila putken alkupäässä, massavirta ja vakioarvot tunnetaan.

10 Laskentatarkkuuden maksimoimiseksi lämmönläpäisykerrointa U voidaan varioida putken lämpötilan ja asennon mukaan, jolloin saadaan approksimoitua lämpötilasta riippuvia epälineaarisia komponentteja (säteilylämmönluovutus ja putken aiheuttama konvektiovirtaus). Työssä on käytetty tätä menettelyä, mutta sen vaikutus todettiin vähäiseksi, eikä siihen tässä paneuduta syvällisemmin. 7

11 8 2.3 Patterin lämmönluovutus Teho eri meno- ja paluulämpötiloilla Lämpöpatterivalmistajat antavat patteidensa luovuttamat tehot ja vastaavat vesivirrat tyypillisillä meno/paluu lämpötiloilla. Pattereita halutaan kuitenkin usein käyttää nimellistehosta poikkeavissa olosuhteissa, joihin taulukkotiedot on voitava sovittaa. Taulukoissa saatetaan ilmoittaa meno- ja paluulämpötiloista laskettu keskiarvo, joka ei kuitenkaan huomioi kuuman veden nopeampaa jäähtymistä, eikä siksi kuvaa lämmönluovutusta tarkasti. Merkitään menoveden ylilämpötilaa Θ 1 ja paluuveden ylilämpötilaa Θ 2, erotuksena edellä menovesiputken alku- ja loppupäissä käytetyille alaindekseille a ja b. Aritmeettisen keskilämpötilan sijaan tulee käyttää logaritmista keskilämpötilaa. Θ = Θ 1 Θ 2 ln(θ 1 /Θ 2 ), (12) joka kuvaa veden jäähtymistä fysikaalisesti ja on aina aritmeettista keskiarvoa alhaisempi. Keskilämpötila johdetaan integroimalla veden jäähtymää patterin yli [Lampinen and Wikstén, 2006, luku 5.2]. Patterin eri lämpötiloissa luovuttama teho voidaan laskea taulukosta otetun viitetason (alaindeksi r) avulla: φ = φ r ( Θ Θ r ) q+1 (13) Lämmönluovutuseksponentti q kuvaa konvektiovirtauksesta ja säteilylämmönsiirrosta aiheutuvaa epälineaarisuutta. Eksponenttien kanssa on syytä noudattaa erityistä huolellisuutta, sillä usein eksponenttiin sisällytetään myös lämmönjohtumista kuvaava osa, jolloin se saa arvon q + 1. Kaavoissa eksponenteista esiintyy useita eri muotoja, mistä on seurannut sekaannusta ja virheitä. Patterieksponentti vaihtelee hieman eri patterityypeillä ja tässä työssä käyttöön on valittu levyradiaattoreille tyypillinen arvo q = 0.3 (q + 1 = 1.3) [Hell and Oldenbourg, 1988]. Esimerkki: 80/60 C mitoitettua nimellisteholtaan 1000 W patteria käytetään 70/40 C järjestelmässä. Huonelämpötila on 20 C. Määritetään patterin

12 9 luovuttama teho. Θ r = (60 K 40 K)/ ln(60 K/40 K) = 49.3 K (14) Θ = (50 K 20 K)/ ln(50 K/20 K) = 32.7 K (15) φ = ( ) 32.7 K W = 587 W 49.3 K (16) Jaconissa ja tässä työssä tehojen laskentaan käytetään yhtälön 13 sijaan vielä täsmällisempää kaavaa, jossa myös patterieksponentin mukaisesti muuttuvaa lämmönläpäisykerrointa integroidaan patterin ylitse, yksittäisen keskilämpötilan käytön sijaan [Kärkkäinen, 2010, luku 17.2][Lampinen and Wikstén, 2006, luku 5.5]: φ = q φ r Θ r q+1 Edellisen esimerkin patterille saadaan: φ = Θ 1 Θ 2 Θ 2 q Θ 1 q (17) W 50 K 20 K (49.3 K) 1.3 (20 K) = 579 W (18) (50 K) Tätä työtä tehdessä huomasin kaavan antavan taulukkotietoja mitoitusolosuhteina käyttäessä hieman annettua alhaisemman tehon. Syynä eroon on logaritmisen keskilämpötilan käyttö patterin konduktanssin laskentaan. Ratkaisuna on käyttää prof. Lampisen johtamaa kaavaa kääntäen myös taulukkotietojen kanssa, jolloin logaritmista keskilämpötilaa ei tarvita lainkaan. Logaritmisen keskilämpötilan korvaavat taulukon ylilämpötilat Θ 1r ja Θ 2r suoraan ja yhtälö saa kauniin symmetrisen muodon: φ = φ r Θ 2r q Θ 1r q Θ 1r Θ 2r Θ 1 Θ 2 Θ 2 q Θ 1 q (19) Lauseke jakautuu patteria kuvaavaan viitetasoja sisältävään alkuosaan ja mitoituslämpötilat sisältävään oikeanpuoleiseen murtolausekkeeseen. Määritellään patterin ominaisuuksia kuvaava suure H, jonka lukuarvo on verrannollinen tehoon ja jonka yksikkö W/K 1.3 ilmaisee patterieksponentin. H = φ r Θ 2r q Θ 1r q Θ 1r Θ 2r (20) φ = H Θ 1 Θ 2 Θ 2 q Θ 1 q (21)

13 10 Tasapainotuslaskennan kannalta H on patterikonduktanssiin rinnastuva patterikohtainen vakio, eikä sitä tarvitse laskea uudelleen aina lämpötilojen muuttuessa. Esimerkkipatterin H-arvo ja teho: H = 1000 W (40 K) 0.3 (60 K) 0.3 = W/K 1.3 (22) 60 K 40 K φ = W/K K 20 K (20 K) = 581 W (23) (50 K) Patterin vesivirta ja paluuveden lämpötila Edellä oletimme meno- ja paluuveden lämpötilat tunnetuiksi, jolloin saimme laskettua patterin luovuttaman tehon. Käytännössä kuitenkin joudumme sovittamaan pattereiden vesivirrat siten, että teho vastaa huoneen lämmitystarvetta. Yleensä paluuveden lämpötila vaihtelee eri pattereilla, sillä patterit eivät ole täsmälleen oikein mitoitettuja. Tehofunktiota (yhtälö 21) ei voi algebrallisesti ratkaista Θ 2 :n suhteen, mutta muiden arvojen ollessa tunnettuja voimme helposti kokeilla paluuvedelle eri lämpötiloja, siten että patterin luovuttama teho φ saadaan vastaamaan tilalle laskettua tehontarvetta P. Puolitusmenetelmällä ratkaisu löytyy nopeasti tai voidaan todeta patterin olevan liian alimittainen tehontarpeen tyydyttämiseksi. Tehofunktio on muutoin aidosti kasvava Θ 2 :n suhteen, mutta äärirajoilla se käyttäytyy huonosti, joten alue on rajoitettava hieman suppeammaksi kuin [0, Θ 1 ]. Lämpötilojen ja tehon ollessa tunnettuja voimme veden ominaislämpökapasiteetin avulla suoraan laskea massavirran ṁ = φ c w (Θ 1 Θ 2 ), (24) Näin olemme saaneet patterille tulevan veden lämpötilan perusteella laskettua paluuveden lämpötilan ja sitä vastaavan vesivirran, kun muut tässä esiintyneet suureet ovat tasapainotuslaskennan kannalta (patterikohtaisia) vakioita.

14 Tehonluovutuskaavojen vertailua Yksinkertaisempiakin kaavoja patterin tehon laskentaan käytetään ja on syytä kysyä onko tässä esitetty malli todella tarpeen. Johtamani kaavan (yhtälö 21) sijaan voidaan käyttää patterin keskilämpötilaan perustuvaa yhtälöä 13, joko logaritmisten keskilämpötilojen kanssa, tai kuten oppikirjassa Rakennusten lämmitys [Seppänen, 1995, s. 178], jopa aritmeettisiin keskilämpötiloihin perustuen. Kuvassa 1 on esitetty tehot ja niitä vastaavat vesivirrat eri paluuveden lämpötiloilla näillä kolmella menetelmällä. Aritmeettisilla lämpötiloilla laskettaessa saadaan selvästi virheellisiä tuloksia. Siten laskettuna patteri luovuttaisi 645 W vielä paluulämpötilan saavuttaessa huonelämpötilan, vaikka intuitiivisesti voidaan ymmärtää vesivirran ja tehonluovutuksen tällöin olevan nollassa. Logaritmisten keskilämpötilojen käyttö korjaa tilanteen ja erot johtamaani malliin jäävät suhteellisen vähäisiksi. Logaritmisten keskilämpötilojen avulla päästään käytännössä riittävään tarkkuuteen, mutta tarkinkaan malli ei ole laskennallisesti sitä monimutkaisempi, joten sen käyttö on perusteltua aina, kun taulukosta saadaan kaavassa tarvittavat patterin nimellisteho ja sitä vastaavat viitelämpötilat.

15 12 Teho, W Tehonluovutus suhteessa paluuveden lämpötilaan, menovesi 70 C Uusi patterikaava Log. keskilämpötila Aritm. keskilämpötila Viitetaso 1000 W (70/40/20 C) Vesivirta, l/h Paluuveden lämpötila, C Tehonluovutus eri laskutavoilla suhteessa vesivirtaan Uusi patterikaava Log. keskilämpötila Aritm. keskilämpötila Teho, W /40/20 C Meno/paluu lämpötilaero, K Vesivirta, l/h Kuva 1: Tehonluovutuskaavojen vertailua. Logaritminen keskilämpötila ja johtamani uusi kaava tuottavat lähes vastaavat tehot. Aritmeettisten keskiarvojen käyttö tuottaa selvästi vääriä tuloksia.

16 Verkoston tasapainotus Analyyttinen lähestymistapa Tasapainotuslaskenta suoritetaan tietyissä mitoitusolosuhteissa, käytännössä tyypillisiä talvipakkasia edustavissa olosuhteissa. Huoneiden tehontarpeet voidaan laskea U-arvojen perusteella, jolloin saadaan kultakin patterilta vaadittava lämmitysteho watteina. Tasapainotilanteessa kunkin patterin i luovuttama teho φ i on yhtä suuri kuin patterilla lämmitettävän tilan tehontarve P i. Jos emme tee putkistolaskentaa, voimme suoraan laskea menoveden lämpötilan mukaan pattereiden vesivirrat, kuten esitin luvussa 2.3. Nimetään tämä menettely funktiojoukoksi f i : Θ 1 m i. Funktioiden alaindeksillä tapahtuva numerointi sisällyttää kuhunkin funktioon mukaan lämmönsiirtovakion H i ja tehontarpeen P i, joita ei tässä pidetä muuttujina. Putkiston lämpöhäviöistä johtuen patterille saapuva vesi jäähtyy luvussa esitetyn yhtälön 11 mukaisesti. Kun putkielementtejä (indeksi j) ketjutetaan peräkkäin, Θ b = Θ a e τ/c w (r j U j / j i ṁ i ). (25) Putken säde r j ja lämmönläpäisykerroin U j muuttuvat putkityypin mukaan. Ulompi summalausekkeista käy läpi jollekin patterille johtavan putken kaikki osiot ja sisempi summaa kaikkien kyseisen osion läpi vetensä saavien pattereiden massavirrat yhteen. Nimetään tämä funktiojoukoksi h i : Θ a, ṁ 1,..., ṁ N Θ b, siten että kukin funktio kuvaa patterille i saapuvan veden ylilämpötilan, kun Θ a :na käytetään verkoston menoveden ylilämpötilaa Θ 1. Funktiot yhdistämällä voimme kirjoittaa verkoston vesivirrat määrittelevän yhtälöryhmän i : ṁ i = (f i h i )(Θ 1, ṁ 1,..., ṁ N ), (26) jossa siis patterin vesivirta ṁ i saadaan patterille saapuvan veden lämpötila funktiolla h i, mainituilla parametreilla, ja siitä edelleen patterin tarvitsema vesivirta funktiolla f i. Kunkin patterin vesivirta siis riippuu paitsi itsestään niin (yleisesti) myös kaikkien muiden patterien vesivirroista. Yhtälöryhmän ratkaisu ei löydy analyyttisesti, joten ratkaisemme sen myöhemmin numeerisesti.

17 14 Jos kuitenkin oletamme kaikki vesivirrat tunnetuiksi, on hyvin suoraviivaista laskea putkiston painehäviöt ja edelleen esisäätöarvot. Lisäksi voidaan helposti laskea koko verkoston paluuveden lämpötila, joka on vesivirroilla painotettu keskiarvo kunkin patterin paluuveden lämpötiloista. Putkiston lämpöhäviölaskenta voidaan samalla tehdä paluuputken osalta, kuten Jaconissa on menetelty, vaikka jäähtymä paluuputkessa jääkin tavallisesti asteen murto-osiin. Laskennan tuloksena saatu paluuveden lämpötila ja verkoston kokonaisvesivirta ovat olennaisia mm. lämmönsiirtimen mitoituksen kannalta Algoritmi vaiheittain Kuten edellä näimme, patterista saatava teho riippuu patterille tulevan veden lämpötilasta, joka taas riippuu pattereiden tarvitsemista vesivirroista, joten on mahdotonta laskea suoraan tarvittavaa vesivirtaa. Ongelman tarkastelun jälkeen päädyin kuvassa 2 esitettyyn algoritmiin, jossa vesivirtoja ja putkiston lämpöhäviöitä lasketaan toistuvasti uudelleen, kunnes riittävä tarkkuus on saavutettu. Olennainen huomio algoritmia kehittäessä oli, ettei painehäviöitä tai esisäätöarvoja tarvitse lainkaan huomioida virtauslaskennan aikana, vaan ne voidaan laskea, kun kaikki vesivirrat ovat jo tunnettuja.

18 15 Kuva 2: Lämmitysverkoston tasapainotuslaskentaan käytettävä algoritmi perusmuodossaan Verkoston esitys tietorakenteena Työn pohjana oleva Jaconi-ohjelmisto ei ole varsinainen CAD-sovellus, vaan siinä verkoston rakentaminen haluttiin pitää mahdollisimman yksinkertaisena. Luvussa 4 esitän vaihtoehtoisen toteutustavan, joka kattaa myös harvinaiset verkostotyypit. Taustalla oleva teoria toimii yhtälailla käännettyä paluuta käyttäviin verkostoihin tai hieman sovellettuna myös yksiputkijärjestelmiin, mutta Jaconissa ja tässä työssä käytetään tavallisiin kaksiputkijärjestelmiin soveltuvaa puurakennetta. Tavallisimmin verkoston meno- ja paluuputket kulkevat rinnakkain ja ovat tyypiltään toisiaan vastaavia, jolloin niitä on käytännöllistä käsitellä yhtenä kokonaisuutena, eli putkiparina, jonka alku osoittaa lämmönjakokeskukseen

19 16 ja loppu kohti haaraan liitettyjä pattereita. Verkosto esitetään puurakenteena, johon ohjelman käyttäjä lisää putkiston elementtejä puun juuressa sijaitsevasta lämmönjakokeskuksesta lähtien. Putkielementit ja linjasäätöventtiilit ovat puun sisäsolmuja ja lämpöpatterit lehtisolmuja. Verkostoa joudutaan algoritmin eri vaiheissa käymään läpi lämmönjakokeskuksesta pattereille tai takaperin pattereilta lämmönjakokeskukselle, mitkä kumpikin onnistuvat kätevästi puurekursiolla. Esimerkki puumuotoisesta esityksestä kuvassa 4.

20 17 Kuva 3: Tavanomaista kaksiputkijärjestelmää käyttävä kahden linjan esimerkkiverkosto. Kuva 4: Kuvan 3 verkosto Jaconiin tehtynä puurakenteena.

21 Tilojen tehontarvelaskelma Tiloissa vaaditut lämmitystehot lasketaan alan tavanomaisen käytännön mukaisesti ottaen huomioon eri pintojen läpi johtuva lämpö ja ilmanvaihdon mukana poistuva teho sekä mahdolliset muut lämmönlähteet. Vaadittu teho jaetaan tilassa sijaitsevien pattereiden kesken pattereiden nimellistehoilla painotettuna Virtauslaskenta Ennen vesivirtojen laskentaa asetetaan jokaiselle patterille tulevan veden lämpötilaksi sama kuin verkoston menoveden lämpötila, eli tehdään alkuoletus, että vesi ei jäähdy putkistossa. Vesivirtojen laskenta alkaa pattereista, minkä jälkeen voidaan pattereilta alkaen summata virtaumat putkiston eri osissa. Kun vesivirrat tunnetaan, lasketaan lämmönjakokeskuksesta lähtien lämpöhäviöt (yhtälö 8) putkiosio kerrallaan. Mikäli näin saatu patterille saapuvan veden lämpötila poikkeaa merkittävästi laskennassa käytetystä oletuksesta, korjataan oletusta ja toistetaan laskenta. Jotta algoritmi ei jäisi oskilloimaan vesivirran ja jäähtymän vaihdellessa vuorokierroksin, ei laskettuja uusia lämpötiloja käytetä sellaisenaan, vaan niistä otetaan painotettu keskiarvo aiemman arvon kanssa. Keskiarvoistaminen johtaa tasapainotilan varmempaan löytymiseen Paine-erojen laskenta Vaikka edellä laskettiin verkoston virtaamat ja jäähtymät, ei laskelmassa tarvittu missään vaiheessa tietoa meno- ja paluupuolen välisestä paine-erosta. Oletimme, että halutut vesivirrat saadaan toteutettua, ja jätimme esisäätöarvoja varten tarvittavan painehäviölaskelman myöhäisemmäksi. Kun virtaamat ja lämpötilat kaikissa putkiston osissa ovat tiedossa, voimme helposti laskea putkissa tapahtuvat painehäviöt suoraan virtausvastuksen ja vapaakierron kaavoilla (yhtälöt 1 ja 3). Painehäviöiden avulla voimme laskea linjasäätöventtiileiden säätöarvot siten, että kaikkiin linjoihin saadaan sama paine-ero. Paine-eromenetelmässä virtausteknisesti epäedullisinta linjaa ei tarvitse linjasäädöllä kuristaa lainkaan,

22 19 vaan sen meno/paluu välinen paine-ero asetetaan suunnitelman mukaiseen arvoon pumppua säätämällä. Patteriventtiileiden säätöarvot voidaan laskea linjan säädettyä paine-eroa käyttäen, kun siitä vähennetään linjasäädöltä patterille vievän putken kokonaispainehäviö Viimeistely ja virheet Edellä esitetyssä algoritmin perusversiossa voi tuloksena olla vesivirtoja, joita ei käytössä olevalla venttiilillä pysty toteuttamaan, tai äärimmäisissä tapauksissa venttiilin laskennallinen paine-ero saattaa jopa jäädä negatiiviseksi putkiston virtausvastuksen ollessa alkupaine-eroa suurempi. Tällainen tilanne saattaa syntyä esimerkiksi silloin, jos yksikin patteri on pahasti alimittainen, eikä vesivirta maksimiarvossaankaan riitä kattamaan tilan tehontarvetta. Tyypillisiä syitä virheisiin ovat karkeat virheet syötetyissä tiedoissa tai esimerkiksi liian matalaksi valittu menoveden lämpötila. Laskentaan käytettävän ohjelmiston on syytä tunnistaa ja analysoida tällaiset virhetilanteet, jotta käyttäjälle voidaan mahdollisimman tarkasti osoittaa miksei laskenta onnistunut. Käytännön toteutuksissa on hyvä varmistaa tulokset vielä esisäätöarvojen valinnan jälkeen, laskemalla valituksi tulleilla säätöarvoilla toteutuvat paineerot, vesivirrat ja tehot. Näin tulos on aina fysikaalisesti mielekäs ja toteutettavissa käytössä olevilla venttiileillä. Merkittävä ero patterin luovuttaman tehon ja patterilta vaaditun tehon välillä edellyttää aina tarkempaa selvitystä.

23 20 Kuva 5: Helsingin Kaupungin Vuokra-Asunnot, Solistintie, Kannelmäki. Jaconilla tasapainotettu kohde, jossa kävin mittaamassa lämpötilat Algoritmin koekäyttö kentällä Perussäätölaskenta verkostolaskentaa käyttäen Tietokonesimulaatioissa voidaan saada aikaan kauniisti toimivia järjestelmiä, mutta monimutkaisia järjestelmiä mallinnettaessa tehdään väistämättä oletuksia, jotka vaikuttavat olennaisesti mallin toimintaan. Malliennusteiden poiketessa merkittävästi kokeellisista tuloksista jää mallinnuksen arvo vähäiseksi. Testikohteeksi valikoitui kuvassa 5 näkyvä Helsingin kaupungin vuokratalokohde. Koko seitsemän taloa kattava verkosto mallinnettiin Jaconilla yhtenä kokonaisuutena. Tavoitelämpötilaksi oli valittu 22 C, mistä lämpötilat asunnoissa saivat työstä annetun takuun mukaan poiketa korkeintaan yhdellä asteella. Mitoitusulkolämpötilana käytettiin Helsingin alueella poikkeuksellisen kovaa pakkaslukemaa 26 C, jota vastaavaksi menoveden lämpötilaksi oli valittu 70 C. Patteriventtiilien esisäätöarvojen asettamisen jälkeen säädettiin kunkin talon meno/paluu-välinen paine-ero tasolle 8 kpa paine-eromenetelmän mukaisesti. Linjojen tasapainotus tehtiin vain talokohtaisilla linjasäädöillä ja muut linjasäädöt avattiin kokonaan. Ahtaissa ryömintätiloissa talon alla sijainneiden nousukohtaisten linjasäätöjen tasapainotus katsottiin tarpeettomaksi talon sisäisen putkiston vähäisten painehäviöiden vuoksi.

24 Asuinhuoneista mitatut lämpötilat 80 Huoneet, kpl Lämpötila, C Kuva 6: Lämpötilajakauma Solistintiellä ilman termostaatteja. 3.2 Lämpötilamittaukset Lämpötilamittaukset suoritettiin säätöä seuraavana talvena ulkolämpötilan ollessa n. 9 C. Tällöin menovesikäyrän mukainen menoveden lämpötila oli 50 C ja paluuveden lämpötila 36 C. Pattereiden termostaatit poistettiin kaksi päivää ennen mittausten aloittamista, jotta poikkeamat tasapainosta ja tavoitelämpötilasta tulisivat mahdollisimman selkeästi ilmi. Verkoston ollessa hyvin tasapainotettu ovat lämpötilat kaikissa huoneissa suunnilleen samalla tasolla. Lämpötilojen hajonta on esitetty histogrammina kuvassa 6. Mediaanilämpötila on 21.7 C ja 72 % mitatuista lämpötiloista mahtuu tavoitelämpötilahaarukkaan 22 ± 1 C. Yksittäisiä, huomattavasti matalampia lämpötiloja esiintyi huoneissa, joissa oli mittausaikaan ikkuna avoinna. Muut liian matalat lämpötilat johtuivat yleensä pohjaan jumiutuneesta patteriventtiilin nastasta, mutta muutamissa huoneissa jouduimme myös korottamaan esisäätöarvoja. Liian korkeita lämpötiloja esiintyi huoneissa, joissa oli

25 22 suuritehoisia sähkölaitteita tai joissa oleskeli useita ihmisiä. Normaalisti termostaatti rajoittaa nastan välityksellä patterin vesivirtaa, mutta termostaatin ollessa pitkiä aikoja kokonaan suljettuna saattaa nasta jumiutua siten, että patteriin ei pääse vettä, vaikka termostaatti avataan tai poistetaan kokonaan. Nastat korjattiin lämpötilamittauskäynnillä, samalla kun asensimme termostaatit paikoilleen.

26 23 4 Yhteenveto Työssä johdettiin tarpeelliset kaavat patteriverkoston tasapainotusta varten ja kehitettiin algoritmi, jolla tasapainotus voidaan suorittaa. Erityisen merkittävä tulos on luvussa 2.3 johtamani patterin tehonluovutuskaava, jonka soisi tulevan käyttöön myös alan opetuksessa. Uusi kaava on otettu käyttöön myös Jaconi-sovelluksessa. Vaikka vapaakierto on tunnettu ilmiö ja dokumentoitu vanhemmassa LVIalan kirjallisuudessa, näyttää se sittemmin unohtuneen, sillä oppikirjoissa ja tietokoneohjelmissa otetaan virtaushäviölaskennassa huomioon vain kitkahäviöt. Jaconilla lasketuissa kohteissa on toistuvasti havaittu nousulinjojen paine-eron pysyvän jokseenkin vakiona, sillä virtausvastus ja vapaakierto usein kutakuinkin kumoavat toisensa. Tekno-Innovaatio Oy on myös mittauksin todennut paine-eron jopa kasvavan ylempiä kerroksia kohti, kun putket ovat väljät. CAD-sovelluksissa tehtävä pelkkä virtausvastuksen huomiointi voi siis olla huonompi vaihtoehto kuin ettei nousuissa lasketa painehäviöitä lainkaan. Vaakasuuntaisissa putkissa virtaushäviöt on kuitenkin syytä huomioida. Verkostoja laskettaessa havaitut usean asteen laskut menoveden lämpötilassa vaikuttavat ratkaisevasti patterin tehoon ja niiden huomioimatta jättäminen johtaisi virheelliseen mitoitukseen. Ongelma korostuu nousuissa ylimmän kerroksen osalta ja muissa eristämättömissä putkissa, joissa vesivirta on pieni, mutta myös välikerrosten osalta jäähtymällä on merkitystä. Jaconilla lasketussa kohteessa ilman termostaatteja suoritetut lämpötilamittaukset osoittivat verkoston olevan hyvin tasapainossa. Valtaosa asuinhuoneista asettui tavoitteena pidettyyn 22 ± 1 asteen haarukkaan, vaikka mitoituksessa käytetty ulkolämpötila poikkesi olennaisesti mittaushetken lämpötilasta ja vaikka termostaatit oli mittausten ajaksi poistettu. Lämpötilamittausten yhteydessä havaituille poikkeamille löytyi selittäviä tekijöitä ja vain yksittäisissä liian kylmissä huoneissa jouduttiin korottamaan esisäätöarvoja. Liian alhaisia huonelämpötiloja aiheuttivat mittausaikaan avoimena olleet ikkunat ja pysyvästi pohjaan jumiutuneet patteriventtiilin nastat. Liian korkeita lämpötiloja aiheuttivat kokonaan suljetut tuloilmaventtiilit, suuritehoiset tietokoneet ja useiden ihmisten oleskelu pienessä huoneessa. Hieman alle tavoitteen jäänyt mediaanilämpötila kertoi liian matalasta menoveden lämpötilasta. Jaconilla jälkikäteen tekemäni mittausolosuhteita vastannut laskenta osoitti saman. Verkosto olisi voitu viallisten venttiilien korjauksen ja termostaattien asennuksen jälkeen saada toimimaan myös korotta-

27 24 malla menovesikäyrää 1-2 asteella, ilman minkäänlaisia esisäätöarvojen korjauksia. Vaikka verkosto on mahdollista saada toimimaan tyydyttävästi epätarkemmallakin säädöllä, kun termostaatit rajoittavat lämpötiloja, varmistetaan oikealla tasapainotuksella verkoston energiatehokkuus ja äänetön toiminta. Energiatehokkuutta voivat heikentää tarpeettoman korkeiden huonelämpötilojen lisäksi myös ylisuurista säätöarvoista johtuva kiertoveden riittämätön jäähtymä ja lisääntynyt pumppaustehon tarve. Tasapainotettu verkosto toimii varmemmin myös poikkeusolosuhteissa, kun tiloihin tarvitaan erityisen paljon lämpöä. Pumpun ja venttiileiden ollessa oikein säädettyjä ei patteriventtiileistä kuulu virtaussuhinaa. Kaikkiaan tämän kandidaatintyön kohteena olleen verkostomallinnuksen voi sanoa olevan tarpeellinen ja onnistunut lisä LVI-suunnitteluun. Sen avulla perussäätö valmistuu vähemmällä työllä. Kun lämpötilat saadaan kerralla kohdalleen, ei asukkaille aiheudu häiriötä useista huoltokäynneistä. Mikään mallinnus ei voi täysin eliminoida odottamattomia poikkeamia, mutta työn yhteydessä tehdyt mittaukset osoittivat, että hyvin lähelle tavoitetta voidaan päästä. Työn tuloksena valmistunut tietokonesovellus on nykyisin useiden LVI-toimistojen käytössä Suomessa ja ulkomailla ja se on saanut toistuvasti kiitosta siitä miten hyvin ohjelmalla lasketut verkostot toimivat. Vaikka verkostojen painehäviölaskentaan ja tasapainotukseen on olemassa muitakin kehittyneitä sovelluksia, on Jaconi tiettävästi edelleen ainoa, joka huomioi myös lämpöhäviöt ja vapaakierron. Muiden kuin tavallisen kaksiputkijärjestelmän mallinnus edellyttäisi verkostoa kuvaavaksi tietorakenteeksi puun sijaan yleistä suunnattua graaa, jossa meno- ja paluuputkia ei ole pakotettu kulkemaan yhteistä reittiä. Algoritmi pysyisi tällaisen muutoksen jälkeen perusperiaatteiltaan samanlaisena, mutta vapaakierto tulisi integroida verkoston ympäri ja lisäksi tasapainotusmenetelmään ja ohjelman käyttöliittymään tulisi tehdä verkostotyypin edellyttämät muutokset. Mahdollisena jatkokehitysideana verkostosimulaatiota voisi ajaa automatisoidusti eri ulkolämpötiloilla, joille ohjelma laskisi sopivan menovesikäyrän. Jos tähän yhdistetään esisäätöarvojen laskenta ja keskiarvoistus eri olosuhteissa esim. Monte-Carlo-menetelmällä, voisi tasapainotuksen saada kattamaan vaihtelevat sääolosuhteet vielä nykyistäkin tarkemmin.

28 25 Viitteet DDS-CAD HVAC & Plumbing 9 ominaisuudet. DDS, Data Design System. les/package_overview_hvac_plumbing.pdf. Friedrich Hell and R. Oldenbourg. Die Warmwasserheizung. Verlag München Wien, ISBN , Aatos Kärkkäinen. Gasfri päfyllning av värme- och kylsystem samt injustering av radiatorsystem. PhD thesis, Aalto University, Markku J. Lampinen and Ralf Wikstén. Theory of eective heatabsorbing and heatemitting temperatures in entropy and exergy analysis with applications to ow systems and combustion processes. Journal of non-equilibrium thermodynamics, ISSN , 31(3): , /jnetdy /jnetdy xml. MagiCAD Heating & Piping for HVAC design ominaisuudet. MagiCAD. Robert Petitjean. Total Hydronic Balancing - A handbook for design and troubleshooting of hydronic HVAC systems, ISBN Tour & Andersson AB, Responstryck, 3rd edition, Olli Seppänen. Rakennusten lämmitys, ISBN Suomen LVIyhdistysten liitto ry., 1995.

29 26 Liite: A Lyhenteet Lyhenne Merkitys CAD Computer-aided design (tietokoneavusteinen suunnittelu) U-arvo W/(m 2 K) Rakenteen lämmönläpäisykerroin Muuttuja Yksikkö Merkitys α W/(m 2 K) Putken lämmönluovutuskerroin p kpa Linjan meno/paluu-välinen paine-ero ρ kg/m 3 Nesteen lämpölaajenemisesta aiheutuva tiheydenmuutos H, H i W/K 1.3 Patterin lämmönluovutusominaisuuksia kuvaava suure l m Putken pituus (meno ja paluu yhteensä) ṁ, ṁ i kg/s (l/s) Massavirta (vesivirta, patterin i) P i W Patterilta huoneeseen tarvittava lämmitysteho φ, φ i W Patterin huoneeseen luovuttama teho r m Putken ulkosäde R µ, R r, R n Pa/m Virtausvastus, virtausvastuksen viitetaso ja vapaakierto t 1, t 2 C Meno- ja paluuveden lämpötilat Θ 1, Θ 2 K Meno- ja paluuveden ylilämpötilat Θ 1r, Θ 2r K Viitetasona käytettävät meno- ja paluuveden ylilämpötilat Θ a, Θ b K Putkiosioon saapuvan ja poistuvan veden ylilämpötilat Θ r K Patterin log-keskilämpötila suhteessa ilmaan, viitetaso Vakio Arvo Merkitys c w 4190 J/(kg K) Veden ominaislämpökapasiteetti g 9.81 m/s 2 Normaali putoamiskiihtyvyys q 0.3 Patterieksponentti τ 2π rad Kulman yksikkö täydelle kierrokselle (täyskulma)