Tenniksen pistelaskusäännöt, lukio/ammatilliset oppilaitokset
|
|
- Anja Ahola
- 8 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Tenniksen pistelasku Useimmat meistä ovat joskus katsoneet TV:stä tennisottelua. Katsoja kokee jännitystä voidessaan seurata kuinka pisteden kertyminen johtaa ottelun päättymisen toisen pelaajan voittoon ja toisen tappioon. Pistelaskun etenemistä on vaikeampi seurata - osittain laskennassa käytettyjen englanninkielisten ilmausten vuoksi. Aluksi on tärkeätä ymmärtää, että pelaaja pyrkii aina periaatteessa voittamaan 'pelin' (engl. Game). Kuusi tai enemmän pelin voittoa johtaa 'erän' voittamiseen. Pelaaja voi voittaa koko 'ottelun' voittamalla useamman 'erän': peli, erä ja ottelu (Game, Set and Match). Myös yksittäisen pelin pistelasku voi kuulostaa monimutkaiselta, sillä ensin mainitaan aina syöttövuorossa olevan pelaajan pisteet. Lisäksi pisteet eivät kerry yksittäin, vaan 'pallon' voittaja saa 15 pistettä. Pelaaja, joka voittaa ensimmäisenä neljä palloa, eli neljä kertaa 15 pistettä ja yhteensä 60 pistettä, voittaa pelin. Tämä pätee kuitenkin vain silloin, kun vastustaja on voittanut vähintään kaksi palloa vähemmän. Pelitilanteen hahmottamista vaikeuttaa lisäksi se, että kolmen voitetun pallon jälkeen pelaajalla ei olekaan 45 vaan ehkäpä taannoisten pelaajien hengästymisestä johtuen lyhyemmin 40 pistettä (forty). Erikoista on myös se, että nolla pistettä on englannin kielessä "love eikä "Zero" (!). Yksinkertaisimmassa tapauksessa pelaaja voittaa vastustajansa siten, että tämä ei onnistu keräämään yhtään pistettä. Mutta mitä tapahtuu tilanteessa, jossa erävoittoa varten molemmilta pelaajilta puuttuu vielä yhden pallon voitto? Vastaus on yksinkertainen: Peliä jatketaan niin pitkään, että jompi kumpi pelaajista voittaa kaksi palloa enemmän. Pistelasku yksinkertain en tenniksen pistelasku englantilainen pistelasku pistelasku pelaaja Fifteen-Love pelaaja Fifteen all pelaaja Thirty-Fifteen pelaaja Forty-Fifteen pelaaja Forty-Thirty pelaaja / tasatilanne Deuce pelaaja etu pelaaja 2 Advantage player 2 pelaaja tasatilanne Deuce pelaaja etu pelaaja 1 Advantage player 1 pelaaja peli Game player 1 Esimerkki tenniksen pelitilanteen kehittymisestä, pelaaja 1 syöttää Tämän pistelaskentatavan historiasta olisi paljonkin kerrottavaa, mutta tässä kerrottakoon vain, että asiantuntijat eivät ole alkuunkaan yksimielisiä siitä, juontuuko laskutapa pienten kolikoiden arvosta (15), joita käytettiin vedonlyönnissä vaiko kentän mitoista, joissa pelaaja voi johdossa ollessaan siirtyä aina 15 tuumaa eteenpäin kohti kentän keskustaa. Kahden yksikön voittomarginaalia sovelletaan paitsi palloihin, niin myös peleihin. Niinpä erävoittoon vaaditaan kuusi pelivoittoa ja vähintään kaksi enemmän kuin vastustajalla. Kentältä voi kuitenkin poistua voittajana myös "vain" yhden erän vastustajaa enemmän voittaneena: Riippuen turnauksesta voiton perusteena voi olla "paras kolmesta" tai "paras viidestä". Sivu 1 / 7
2 Matematiikan näkökulmasta tarkastellen tämä laskutapa on mielenkiintoinen, koska tällöin ei voi välttyä miettimästä, voiko tämä laskentatapa vaikuttaa ottelun lopputulokseen. Lähestykäämme tätä kysymystä kuvittelemalla kaksi tasavahvaa ja väsymätöntä henkilöä pelaamassa tennistä. Pelaajat voittavat ja häviävät palloja yhtä suurella todennököisyydellä. Ajatellaanpa, että toinen pelaajista voittaa pallon 55 %:n todennäköisyydellä ja häviää pallon 45% todennäköisyydellä, ja lasketaan sitten voittaako hän ottelun samalla todennäköisyydellä, vai muuttuuko todennäköisyys pistelaskumenetelmästä johtuen. Tästä teemasta löytyy Internetistä artikkeli, jonka kirjoittaja on Mannheimin yliopiston matematiikan professori Jürgen Potthoff. Samaa ajatusta voi työstää myös oppilaiden kanssa. Laskutoimitukset voivat olla aika vaativia, jos käytössä on vain normaali tieteislaskin. Grafiikkalaskin soveltuu tämän tyyppisiin tehtäviin oivallisesti. Kaikki mahdolliset pelitilanteet voi merkitä kaavioon, johon sitten täydennetään vastaavat todennäköisyydet. Todennäköisyydet oikealla näkyville viidelle pelitilanteelle voi laskea jo yläkoulutasolla todennäköisyyslaskennan kertolaskusääntöjen avulla. Nämä pelitilanteet ovat tärkeitä, sillä niistä ei enää voi palata takaisin muihin pelitilanteisiin. Tennisottelun puukuvaaja Todennäköisyys P1 sille, että 0-0 tilanteesta päästään ottelun voitto. tilanteeseen ilman, että tätä ennen päädytään johonkin muuhun tilanteeseen, voidaan laskea seuraavasti: P1 = 0, (0,45 0,55 4 ) = 0,2562 P2, todennäköisyys vastaavasti sille, että päädytään tilanteeseen 40-30, voidaan laskea seuraavasti: P2 = 4 0,55 3 0,45 2 = 0,256 = 0,1348 Sivu 2 / 7
3 FX-9860GII: Päävalikko ja laskelmat RUN-MAT-sovelluksessa Näiden laskelmien tulokset näkyvät seuraavassa taulukossa: Ottelun voitto P1 0, P2 0, P3 0, P4 0,1102 ottelun häviö P5 0,1312 Todennäköisyydet viiden ergodisen lopputuloksen saavuttamiselle Tämä taulukko voidaan laatia helposti grafiikkalaskimen taulukkolaskennan avulla. FX-9860GII: Päävalikko ja laskelmat S-SHT-taulukkolaskennassa Jos pelaajat ovat saavuttaneet jonkin viidestä pelitilanteesta, he voivat tuossa tilanteessa teoriassa hyppiä siihen ja takaisin loputtomasti. Käytännössä on tietysti niin, että nämä tilanteet ottelun voitto ja ottelun häviö johtavat siihen, että seuraava peli alkaa. Matemaattisesti tarkastellen näiden tilanteiden suhtee todennäköisyys tuloksen vaihtumiseksi toiseksi on 100%, toisin kuin muiden kolmen pelitilanteen kohdalla. Todennäköisyys kolmen muun pelitilanteen muuttumiselle jompaan kumpaan seuraavista tilanteista on 55% tai 45%. Näiden pelitilanteiden pysyminen ennallaan on mahdotonta, eli tämän todennäköisyys on 0%. Markovin ketju, ergodiset pelitilanteet Sivu 3 / 7
4 Siirtyminen pelitilanteesta toiseen voidaan kuvata siirtymämatriisilla: päätepiste lähtö piste ottelun voitto ottelun voitto ottelun häviö ottelun häviö Siirtymämatriisi, ergodiset pelitilanteet Tarkasteluun voidaan ottaa myös todennäköisyydet voittaa ottelu näistä viidestä tilanteesta lähtien. Kaksi näistä todennäköisyydestä selviää asiayhteydestä: P1,1 on oltava yksi, eli 100%, sillä jo voitettua ottelua ei voi enää hävitä. P1,5 on oltava nolla, sillä jo hävittyä ottelua ei voi enää voittaa. Muut todennäköisyydet voidaan laskea siirtymämatriisin avulla, sillä: Kertominen siirtymämatriisilla ei aiheuta muutoksia. Tästä seuraavat yhtälöt kolmella tuntemattomalla on mahdollista ratkaista FX-9860GII-laskimella. Yhtälöiden syöttäminen grafiikkalaskimeen FX-9860GII: EQUA-sovelluksen päävalikko ja valinnat Sivu 4 / 7
5 FX-9860GII: Yhtälömatriisien (kaavamatriisien) ja ratkaisuvektorien syöttäminen Laskimella voidaan tietenkin myös osoittaa todeksi matriisi/vektoriyhtälö: FX-9860GII: Siirtymämatriisin ja ratkaisuvektorien kertominen RUN-MAT-sovelluksessa. Matriisien ja vektorien määrittäminen tapahtuu alavalikon Mat (F3) -valinnan kautta. FX-9860GII: Siirtymämatriisin ja ratkaisuvektorin määrittäminen alavalikon Mat-valinnan kautta Löydettyjä todennäköisuuksia P1,2 = 0,8195, P1,3 = 0,599 ja P1,4 = 0,3295 voi käyttää pelin voittamisen todennäköisyyden laskemiseen. Todennäköisyys lasketaan seuraavasti: P(peli) = P1 P1,1 + P2 P1,2 + P3 P1,3 + P4 P1,4 + P5 P1,5 = 0,6231 = 62,31% FX-9860GII: Pelin voittamisen todennäköisyyden laskeminen P(Spiel) taulukkolaskennassa Sivu 5 / 7
6 Samalla tavalla lasketaan erän ottelun todennäköisyydet. Voidaan todeta, että pelin voittamisen todennäköisyys, P(peli) = 82,2%, kun taas todennäköisuus voittaa ottelu kolmen erän voitolla, P(ottelu) = 95,7%. Kaikki tämä perustuu vakiona pysyvään todennäköisyyteen voittaa pallo 55%:n todennäköisyydellä. Mikäli tarkasteluun otetaan tämä pallon voiton todennäköisyyden, P(pallo), muitakin tekijöitä, päästään seuraavaan kuvaukseen. P(pallo) P(peli) P(erä) P(ottelu) 51% 52,5% 57,3% 63,6% 55% 62,3% 82,2% 95,7% 60% 73,6% 96,6% 100% 70% 90,1% 100% 100% Voittotodennäköisyydet tenniksessä perustuen pallon voittamisen todennäköisyyteen Yllättävä johtopäätös on, että tämä tenniksen laskentatapa suosii vahvempia pelaajia. Jo 55%:n todennäköisyydellä voittaa pallo vahvemmalla pelaajalla on melkein 96%:n mahdollisuus voittaa ottelu. Todellisuudessa sen todennäköisyys vaihtelee, millä pelaaja voittaa pallon. Vahvat ja heikot hetket vaihtelevat pelissä, omalla syöttövuorolla voitetaan yleensä enemmän palloja jne. Tästä huolimatta matematiikka selittää suuren osan pelin jännittävyydestä: Heti kun pelaaja on otteissaan vahvempi kuin vastustaja, hän alkaa tenniksen laskutavan takia voittaa enemmän pelejä. Tämä ei riipu ottelun tilanteesta, joten tennisottelujen suunta voi muuttua hetkenä minä hyvänsä. Juuri tämä tekee tennisottelujen seuraamisesta kiehtovaa. Sivu 6 / 7
7 Tässä esimerkissä käytetään FX-9860GII-grafiikkalaskinta. Tennisottelun tutkimiseen muuntuvilla todennäköisyyksillä P(pallo) voidaan käyttää lisäksi ClassPad 330 -laitetta, jonka Computer-Algebra-System-ohjelmisto kykenee myös laskemaan muuttujilla. ClassPad 330: Ratkaisuvektorin laskeminen yleisesti ja arvolle p = 55% Sivu 7 / 7
SEKASTRATEGIAT PELITEORIASSA
SEKASTRATEGIAT PELITEORIASSA Matti Estola 8. joulukuuta 2013 Sisältö 1 Johdanto 2 2 Ratkaistaan sukupuolten välinen taistelu sekastrategioiden avulla 5 Teksti on suomennettu kirjasta: Gibbons: A Primer
LisätiedotNollasummapelit ja bayesilaiset pelit
Nollasummapelit ja bayesilaiset pelit Kristian Ovaska HELSINGIN YLIOPISTO Tietojenkäsittelytieteen laitos Seminaari: Peliteoria Helsinki 18. syyskuuta 2006 Sisältö 1 Johdanto 1 2 Nollasummapelit 1 2.1
Lisätiedot1 + b t (i, j). Olkoon b t (i, j) todennäköisyys, että B t (i, j) = 1. Siis operaation access(j) odotusarvoinen kustannus ajanhetkellä t olisi.
Algoritmien DP ja MF vertaileminen tapahtuu suoraviivaisesti kirjoittamalla kummankin leskimääräinen kustannus eksplisiittisesti todennäköisyyksien avulla. Lause T MF ave = 1 + 2 1 i
LisätiedotOHJEITA EVTTC-POOLITULOSTEN LASKENTAAN
1 (5) OHJEITA EVTTC-POOLITULOSTEN LASKENTAAN Tämä ohje on laadittu erityisesti pöytämanagereille (TM, Table Manager). TM on avainasemassa siinä, että poolin tulokset tulevat heti poolin loputtua oikein
LisätiedotBayesin pelit. Kalle Siukola. MS-E2142 Optimointiopin seminaari: Peliteoria ja tekoäly
Bayesin pelit Kalle Siukola MS-E2142 Optimointiopin seminaari: Peliteoria ja tekoäly 12.10.2016 Toistetun pelin esittäminen automaatin avulla Ekstensiivisen muodon puu on tehoton esitystapa, jos peliä
LisätiedotMINI- JA MIDITENNISKIERTUE
MINI- JA MIDITENNISKIERTUE Minitennis Osallistumiskelpoisuus, luokkajako, ilmoittautuminen ja osanottajamäärän rajoittaminen Minitenniskilpailuun osallistuvan pelaajan ei tarvitse maksaa kilpailulisenssiä.
LisätiedotPeliteoria luento 1. May 25, 2015. Peliteoria luento 1
May 25, 2015 Tavoitteet Valmius muotoilla strategisesti ja yhteiskunnallisesti kiinnostavia tilanteita peleinä. Kyky ratkaista yksinkertaisia pelejä. Luentojen rakenne 1 Joitain pelejä ajanvietematematiikasta.
Lisätiedot75059 Suuri lajittelusarja
75059 Suuri lajittelusarja Peliohjeet Tämä sarjan sisältö: 632 kpl lajitteluesineitä 3 kpl onnenpyörää 6 kpl lajittelukulhoa 1 kpl muovinen lajittelualusta 1 kpl numeromerkitty arpakuutio Lajittelusarja
LisätiedotPeliohje 20.4.2011 1(6)
1. Rakentaja Cup, reikäpeli 2 1.1. Yleistä reikäpelistä 2 1.2. Arvonta ja pelaajien sijoittaminen ottelukaavioon 2 1.3. Tasoitukset ja tiit 3 1.4. Pelikentät ja kustannukset 3 1.5. Tuomaritoiminta 4 1.6.
LisätiedotPelaajien lukumäärä: suositus 3 4 pelaajaa; peliä voi soveltaa myös muille pelaajamäärille
Heli Vaara ja Tiina Komulainen OuLUMA, sivu 1 MERIROSVOJEN AARTEENJAKOPELI Avainsanat: matematiikka, pelit, todennäköisyys Pelaajien lukumäärä: suositus 3 4 pelaajaa; peliä voi soveltaa myös muille pelaajamäärille
Lisätiedot11 Oligopoli ja monopolistinen kilpailu (Mankiw & Taylor, Ch 17)
11 Oligopoli ja monopolistinen kilpailu (Mankiw & Taylor, Ch 17) Oligopoli on markkinamuoto, jossa markkinoilla on muutamia yrityksiä, jotka uskovat tekemiensä valintojen seurauksien eli voittojen riippuvan
LisätiedotCURLINGIN MIESTEN SM-SARJAN SÄÄNNÖT KAUDELLA 2007-2008
CURLINGIN MIESTEN SM-SARJAN SÄÄNNÖT KAUDELLA 2007-2008 Pelijärjestelmä Sarja pelataan siten, että mestaruussarjassa pelaa kahdeksan (8) joukkuetta, I-divisioonassa kahdeksan (8) joukkuetta ja loput kymmenen
LisätiedotA ja B pelaavat sarjan pelejä. Sarjan voittaja on se, joka ensin voittaa n peliä.
Esimerkki otteluvoiton todennäköisyys A ja B pelaavat sarjan pelejä. Sarjan voittaja on se, joka ensin voittaa n peliä. Yksittäisessä pelissä A voittaa todennäköisyydellä p ja B todennäköisyydellä q =
LisätiedotTURNAUSOHJEET. Turnauksen tavoite. Ennen aloitusta. Taistelukierroksen Pelaaminen. www.ninjago.com
Turnauksen tavoite Ennen aloitusta Haluatko Spinjitzumestariksi? Valitse vastustaja ja mittele taitojasi monella kierroksella. Voitat ottamalla vastustajaltasi kaikki aseet! Jokainen pelaaja tarvitsee
LisätiedotT Luonnollisen kielen tilastollinen käsittely Vastaukset 3, ti , 8:30-10:00 Kollokaatiot, Versio 1.1
T-61.281 Luonnollisen kielen tilastollinen käsittely Vastaukset 3, ti 10.2.2004, 8:30-10:00 Kollokaatiot, Versio 1.1 1. Lasketaan ensin tulokset sanaparille valkoinen, talo käsin: Frekvenssimenetelmä:
LisätiedotHelsingin, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 9.6.2014 klo 10 13
Helsingin, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 9.6.014 klo 10 13 1. Ratkaise seuraavat yhtälöt ja epäyhtälöt: x + a) 3 x + 1 > 0 c) x x + 1 = 1 x 3 4 b) e x + e x 3
LisätiedotKausi 2018/2019. Padel Lähiliiga
Kausi 2018/2019 Padel Lähiliiga MIEHET MESTARUUSSARJA 1. Nopeetjalat Törnqvist Tony Puh. 0401865324 2. Padel Club Finland Mens Saunamäki Mika Puh. 0456791910 3. Pakkasukot Kyrklund Niko Puh. 0407207130
Lisätiedot1. Tässä tehtävässä päätellään kaksilapsisen perheen lapsiin liittyviä todennäköisyyksiä.
TODENNÄKÖISYYS Aihepiirejä: Yhden ja kahden tapahtuman tuloksien käsittely ja taulukointi, ovikoodit, joukkueen valinta, bussin odotus, pelejä, urheilijoiden testaus kielletyn piristeen käytöstä, linnun
LisätiedotRANTALENTISSÄÄNNÖT 2016 Rantalentisturnaus 9.7.2016. 15.6.2016 Paukarlahden kyläyhdistys RY
RANTALENTISSÄÄNNÖT 2016 Rantalentisturnaus 9.7.2016 15.6.2016 Paukarlahden kyläyhdistys RY Sisällys 1. TURNAUKSEN TARKOITUS... 2 2. OTTELUJÄRJESTELMÄ... 2 3. JOUKKUEEN KOKOONPANO JA VAIHTOPELAAJIEN KÄYTTÖ...
Lisätiedot5/11 6/11 Vaihe 1. 6/10 4/10 6/10 4/10 Vaihe 2. 5/11 6/11 4/11 7/11 6/11 5/11 5/11 6/11 Vaihe 3
Mat-.9 Sovellettu todennäköisyyslasku A / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat: Verkot todennäköisyyslaskennassa Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Jakaumien tunnusluvut Kertymäfunktio, Momentit, Odotusarvo,
LisätiedotWoman Volley ry. Seuratoiminta. Uutiskirje tammikuu Tukea seuralle Veikkauksen peleillä. Revontuliturnaus Junnuvaskooli 2017
Woman Volley ry Uutiskirje tammikuu 2017 Tervehdys kaikille Woman Volleyn pelaajille ja vanhemmille! Lähetämme kuukausittain seuratiedotteen, missä kerromme ajankohtaisia asioita seuran toimintaan liittyen.
LisätiedotMarkov-kustannusmallit ja kulkuajat
2B Markov-kustannusmallit ja kulkuajat Tämän harjoituksen tavoitteena on oppia laskemaan Markov-kustannusmallien kustannuskertymiä ja -vauhteja, ketjujen odotettuja kulkuaikoja sekä todennäköisyyksiä osua
LisätiedotMitä harjoitteella halutaan saavuttaa (aim), eli päämäärä (tarkoitusperä):
1 Stressipeli Kasvattaa kilpapelaajan itsetuntoa ja sopivasti röyhkeyttä. Hävinneen pelaajan on nopeasti kartoitettava katseellaan tilanne, jotta pääsisi haastamaan pelaajan jonka uskoo voittavansa. Eli
LisätiedotTaktiikan opettamisen tulee tukeutua pelaajien lajitaitoihin ja siihen, että valmentajalla on selvä kuva käyttämästään pelisysteemistä.
Taktiikka yleisesti Sanalla taktiikka tarkoitetaan sitä, kuinka käytetään oman joukkueen vahvuuksia ja vastustajan heikkouksia hyväksi valmistauduttaessa otteluun sekä sen aikana valmentajan tekemiä muutoksia
LisätiedotPANA RY LIIGASA A NNÖ T
PANA RY LIIGASA A NNÖ T 2013 2014 Liigasäännöt ovat PANA ry:n hallituksen laatimat ja hyväksymät. Hallituksella on oikeus muuttaa ja muokata liigapelien sääntöjä, mikäli näkee sen tarpeelliseksi. Sisällysluettelo
LisätiedotRANTALENTIS- SA A NNÖ T
RANTALENTIS- SA A NNÖ T RANTALENTOPALLOTURNAUS LAUANTAINA 27.6.2015 PAUKARLAHDEN KYLÄYHDISTYS 27.6.2015 Sisällys 1. TURNAUKSEN TARKOITUS... 2 2. OTTELUJÄRJESTELMÄ... 2 3. JOUKKUEEN KOKOONPANO JA VAIHTOPELAAJIEN
Lisätiedot1 Kannat ja kannanvaihto
1 Kannat ja kannanvaihto 1.1 Koordinaattivektori Oletetaan, että V on K-vektoriavaruus, jolla on kanta S = (v 1, v 2,..., v n ). Avaruuden V vektori v voidaan kirjoittaa kannan vektorien lineaarikombinaationa:
LisätiedotMAILAN PÄIVÄ
MAILAN PÄIVÄ 17.5.2012 Suomen Tennisliiton ja sen jäsenseurojen yhteistapahtuma ulkopelikauden alkaessa. Vinkkejä Mailan päivän viettoon. 1 Sisällysluettelo Tapahtumia Sivu - Tenniksen alkeet 3 - Tie-break
LisätiedotREIKÄPELIN PELIOHJEET Versio 2.0
REIKÄPELIN PELIOHJEET Versio 2.0 en versiot: Versio Pvm Muuttaja / Muutos 1.0 1.5.2004 RRu / luotu 4.5.2004 RRu / Muutokset 2.0 18.5.2015 RRu / JymyGolf versio Sisälysluettelo 1 JYMYGOLF REIKÄPELI... 2
Lisätiedot30. PEHMOLENTIS - juhlaturnaus 8.- 20.4.2013. Pelipaikka on Laajasalon Palloiluhalli, Sarvastonkaari 23, 00840 Helsinki, puh. 6987654.
TERVETULOA! Tämä on lopullinen otteluohjelma. 30. - juhlaturnaus 8.- 20.4.2013 Pelipaikka on Laajasalon Palloiluhalli, Sarvastonkaari 23, 00840 Helsinki, puh. 6987654. Turnauksessa on mukana yhteensä 42
Lisätiedot1 Raja-arvo. 1.1 Raja-arvon määritelmä. Raja-arvo 1
Raja-arvo Raja-arvo Raja-arvo kuvaa funktion f arvon f() kättätmistä, kun vaihtelee. Joillakin funktioilla f() muuttuu vain vähän, kun muuttuu vähän. Toisilla funktioilla taas f() hppää tai vaihtelee arvaamattomasti,
LisätiedotPienpelit. Peruspienpeli
Pienpelit 1 Pienpelit Peruspeli on usein kaikkein toimivin ja motivoivin pelimuoto. Pienpeleillä harjoituksiin voidaan kuitenkin tuoda tervetullutta vaihtelua. Pienpelejä pelataan yleensä 2 4 hengen joukkueissa
Lisätiedot2019/2020 MIEHET 1-DIVISIOONA
Kausi 2019/2020 MIEHET 1-DIVISIOONA ; Lohko A 1. A-men Eräkare Jorma Puh. 0503835758 2. Kaksari Kittilä Anssi Puh. 0443667680 3. MänTS Wallenius Jari Puh. 0406604973 4. RKT Seppänen Henry Puh. 0415068044
Lisätiedot3X3 Koripallon pelisäännöt (tekstiversio)
Sivu 1 (5) 3X3 Koripallon pelisäännöt (tekstiversio) 1 Kenttä Ottelu pelataan puolikkaalla koripallokentällä yhteen (1) koriin. Kenttään kuuluu normaali 3 sekunnin alue, ml. vapaaheittoviiva (5,80 m),
LisätiedotTORNA GOLF REIKÄPELIN PELIOHJEET Versio 2.0
TORNA GOLF REIKÄPELIN PELIOHJEET en versiot: Versio Pvm Muuttaja / Muutos 1.0 1.5.2004 RRu / luotu 1.1 4.5.2004 RRu / Tuomaritoimikunnan tarkastama versio 1.2 27.4.2005 RRu / Muutettu mm. tasoitustenlaskentaa
LisätiedotBlackjack on korttipeli, jossa pelaajan tavoitteena on voittaa pelinhoitaja.
POHDIN projekti Blackjack Blackjack on pelinhoitajaa vastaan pelattava korttipeli mutta myös ns. uhkapeli 1. Kun kyseessä on ns. rahapeli, niin ikäraja Suomessa on tällaiselle pelille K-18. Blackjackissä
LisätiedotSalasuhteita. esimerkiksi espanjaksi nimi tarkoittaa pientä pusua.
Salasuhteita Avioliittopeleistä kehiteltiin edelleen uusia pelejä, joissa varsinaisten avioliittojen lisäksi kohdataan sopimattomia suhteita kuningatarten ja sotilaiden välillä vieläpä maiden rajat ylittäen!
LisätiedotLuento 8. June 3, 2014
June 3, 2014 Luokka pelejä, joissa pelaajilla on epätäydellistä informaatiota toistensa preferensseistä ja joissa valinnat tehdään samanaikaisesti. Tämä tarkoittaa, että pelaajat eivät tiedä toistensa
LisätiedotMAT Todennäköisyyslaskenta Tentti / Kimmo Vattulainen
MAT-200 Todennäköisyyslaskenta Tentti 29.04.20 / Kimmo Vattulainen Funktiolaskin sallittu.. a) Pelaajat A ja B heittävät noppaa vuorotellen ja pelin voittaa se, joka saa ensimmäiseksi kuutosen. A aloittaa
LisätiedotSarjan voittaja nousee mestaruussarjaan, kakkonen karsii 1-divisioonan seitsemännen kanssa
Kausi 2018/2019 Padel Lähiliiga MIEHET 1-DIVISIOONA 1. Epispallo Matikainen Sami Puh. 0415061066 2. Koppikotkat Kekäläinen Mikko Puh. 0407525847 3. Mr. Padel Club Puh. 0500494220 4. Musta 12.5 Puh. 0445533820
LisätiedotSPTL:N HALLITUKSEN SÄÄNTÖMUUTOSEHDOTUKSET KAUDELLE
SPTL HALLITUKSEN SÄÄNTÖMUUTOSEHDOTUKSET KAUDELLE 2018-19 sivu 1 (5) SPTL:N HALLITUKSEN SÄÄNTÖMUUTOSEHDOTUKSET KAUDELLE 2018-19 Muutettavaksi ehdotetut kohdat kursiivilla. 1) PELIN AIKANA NEUVOMINEN 3.6.1.1
LisätiedotEsimerkki: Tietoliikennekytkin
Esimerkki: Tietoliikennekytkin Tämä Mathematica - notebook sisältää luennolla 2A (2..26) käsitellyn esimerkin laskut. Esimerkin kuvailu Tarkastellaan yksinkertaista mallia tietoliikennekytkimelle. Kytkimeen
LisätiedotSISÄLTÖ. Kurlausvälineet Kurlauskenttä Pelin kulku Rikkeet ja rangaistukset Kurlauksen eri versiot... 6
SISÄLTÖ Kurlausvälineet.... 2 Kurlauskenttä... 3 Pelin kulku.... 4 Rikkeet ja rangaistukset... 5 Kurlauksen eri versiot... 6 Kurlauksen taktiikkaa... 7 1 Kurlausvälineet Kurlauspallot ovat tehty koivusta
LisätiedotSarjan voittaja nousee mestaruussarjaan, kakkonen karsii 1-divisioonan seitsemännen kanssa
Kausi 2018/2019 Padel Lähiliiga MIEHET 1-DIVISIOONA 1. Epispallo Matikainen Sami Puh. 0415061066 2. Koppikotkat Kekäläinen Mikko Puh. 0407525847 3. Mr. Padel Club Nikkinen Aki Puh. 0500494220 4. Musta
Lisätiedot9. Vektorit. 9.1 Skalaarit ja vektorit. 9.2 Vektorit tasossa
9. Vektorit 9.1 Skalaarit ja vektorit Skalaari on koon tai määrän mitta. Tyypillinen esimerkki skalaarista on massa. Lukumäärä on toinen hyvä esimerkki skalaarista. Vektorilla on taas suuruus ja suunta.
LisätiedotKesämäki 06 Kevätturnaus
Kesämäki 06 Kevätturnaus - 29.04.2017 - Littoisten Urheilukenttä - Sippaantie 2, Kaarina Kesämäki 06 Kevätturnaus Tervetuloa Kesämäki 2006 Kevätturnaukseen Littoisten Urheilukentälle Kaarinaan 29.04.2017.
LisätiedotPokeri ja emootiot. Jussi Palomäki Kognitiotieteen jatko-opiskelija (HY) Nettipokerinpelaaja jussi.palomaki@helsinki.fi
Pokeri ja emootiot Jussi Palomäki Kognitiotieteen jatko-opiskelija (HY) Nettipokerinpelaaja jussi.palomaki@helsinki.fi Internetin villit pelikuviot -seminaari Tiistai 11.12.12 Esityksen sisältö Pokeripelin
Lisätiedot2019/2020 MIEHET 1-DIVISIOONA
Kausi 2019/2020 MIEHET 1-DIVISIOONA ; Lohko B 1. EHTA Rautiainen Sulevi Puh. 0503626897 2. IRO Partio Mikko Puh. 0505481180 3. KirTe S Vanhanen Tero Puh. 0453555155 4. Noin 50 Halonen Markus Puh. 0405918805
Lisätiedot1 PÖYDÄT JA PALLOT 1. Kilpailuissa tulee käyttää Suomen Biljardiliiton hyväksymiä pöytiä ja palloja.
KARAMBOLEN SÄÄNNÖT Kolmen vallin kara Yhden vallin kara Suora kara - Cadre YHTEISET SÄÄNNÖT KAIKILLE PELIMUODOILLE 1 PÖYDÄT JA PALLOT 1. Kilpailuissa tulee käyttää Suomen Biljardiliiton hyväksymiä pöytiä
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 4 Jatkuvuus Jatkuvan funktion määritelmä Tarkastellaan funktiota f x) jossakin tietyssä pisteessä x 0. Tämä funktio on tässä pisteessä joko jatkuva tai epäjatkuva. Jatkuvuuden
LisätiedotKäytetään SEUL overwatch sääntöjen ingame asetuksia. Kotijoukkueen kapteeni on vastuussa lobbyn tekemisestä.
Turnauksessa sovelletaan yleisesti SEUL:in OW sääntöjä (http://seul.fi/wpcontent/uploads/2014/01/seul_ow_v1.pdf), poislukien eettinen osuus sekä kohdat jotka eroavat alla jäljempänä mainituista (joukkue
LisätiedotKILPAILUKUTSU 21. MARJOLA BEACH VOLLEY TURNAUKSEEN LAPPEENRANTAAN
KILPAILUKUTSU 21. MARJOLA BEACH VOLLEY TURNAUKSEEN LAPPEENRANTAAN 20.-21.7.2013 Se yksi ja alkuperäinen istumalentopallon MARJOLA BEACH VOLLEY turnaus JO VUODESTA 1993 21. MARJOLA TURNAUS 2013 Tervetuloa
LisätiedotMS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Malliratkaisut 5 / vko 48
MS-A3/A5 Matriisilaskenta Malliratkaisut 5 / vko 48 Tehtävä (L): a) Onko 4 3 sitä vastaava ominaisarvo? b) Onko λ = 3 matriisin matriisin 2 2 3 2 3 7 9 4 5 2 4 4 ominaisvektori? Jos on, mikä on ominaisarvo?
LisätiedotPelivaihtoehtoja. Enemmän vaihtelua peliin saa käyttämällä erikoislaattoja. Jännittävimmillään Alfapet on, kun miinusruudut ovat mukana pelissä!
Pelivaihtoehtoja Yksinkertaisin vaihtoehto: lfapetia voi pelata monella eri tavalla. Yksinkertaisimmassa vaihtoehdossa käytetään ainoastaan kirjainlaattoja. Pelilaudan miinusruudut ovat tavallisia ruutuja,
LisätiedotTIE448 Kääntäjätekniikka, syksy 2009. Antti-Juhani Kaijanaho. 7. joulukuuta 2009
TIE448 Kääntäjätekniikka, syksy 2009 Antti-Juhani Kaijanaho TIETOTEKNIIKAN LAITOS 7. joulukuuta 2009 Sisällys Sisällys Seuraava deadline Vaihe F maanantai 14.12. klo 12 rekisteriallokaatio Arvostelukappale
LisätiedotJatkuvat satunnaismuuttujat
Jatkuvat satunnaismuuttujat Satunnaismuuttuja on jatkuva jos se voi ainakin periaatteessa saada kaikkia mahdollisia reaalilukuarvoja ainakin tietyltä väliltä. Täytyy ymmärtää, että tällä ei ole mitään
LisätiedotPelaajat siirtävät nappuloitaan vastakkaisiin suuntiin pelilaudalla. Peli alkaa näin. Tuplauskuutio asetetaan yhtä kauas kummastakin pelaajasta.
DVD Backgammon Pelin tavoite Pelin tavoitteena on siirtää kaikki omat pelinappulat omalle sisäkentälle ja sieltä pois laudalta. Se pelaaja, joka ensimmäisenä on poistanut kaikki pelinappulansa pelilaudalta,
Lisätiedot1. Otetaan perusjoukoksi X := {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}. Piirrä seuraaville kolmelle joukolle Venn-diagrammi ja asettele alkiot siihen.
Joukko-oppia Matematiikan mestariluokka, syksy 2010 Harjoitus 1, vastaukset 20.2.2010 1. Otetaan perusjoukoksi X := {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}. Piirrä seuraaville kolmelle joukolle Venn-diagrammi asettele
Lisätiedotb) Määritä myös seuraavat joukot ja anna kussakin tapauksessa lyhyt sanallinen perustelu.
Johdatus yliopistomatematiikkaan Helsingin yliopisto, matematiikan ja tilastotieteen laitos Kurssikoe 23.10.2017 Ohjeita: Vastaa kaikkiin tehtäviin. Ratkaisut voi kirjoittaa samalle konseptiarkille, jos
Lisätiedot5.6.3 Matematiikan lyhyt oppimäärä
5.6.3 Matematiikan lyhyt oppimäärä Matematiikan lyhyen oppimäärän opetuksen tehtävänä on tarjota valmiuksia hankkia, käsitellä ja ymmärtää matemaattista tietoa ja käyttää matematiikkaa elämän eri tilanteissa
Lisätiedot1.1 Sarjakilpailu on Suomen Sulkapalloliiton (SSuL) sanktioima jäsenseurojen joukkueiden välinen kilpailu.
SARJAKILPAILUSÄÄNNÖT (SM ja I div) SSuL:n hallituksen hyväksymät 17.8.2016 1. Yleistä 1.1 Sarjakilpailu on Suomen Sulkapalloliiton (SSuL) sanktioima jäsenseurojen joukkueiden välinen kilpailu. 1.2 Sarjakilpailu
LisätiedotOppiminen ja oivaltaminen
Oppiminen ja oivaltaminen Pohdittavaa Kuinka hyvä lapsestasi tulee, jos opetat hänelle kaiken sen mitä jo osaat? Riittääkö tämä lapselle? Kuinka hyvä pelaajasta tulee 2025, jos hän tekee kaiken sen, mitä
LisätiedotCURLINGIN MIESTEN SM-SARJAN SÄÄNNÖT KAUDELLA
CURLINGIN MIESTEN SM-SARJAN SÄÄNNÖT KAUDELLA 2008-2009 Pelijärjestelmä Sarja pelataan siten, että mestaruussarjassa pelaa kahdeksan (8) joukkuetta, I-divisioonassa kahdeksan (8) joukkuetta ja loput kaksitoista
LisätiedotTuloperiaate. Oletetaan, että eräs valintaprosessi voidaan jakaa peräkkäisiin vaiheisiin, joita on k kappaletta
Tuloperiaate Oletetaan, että eräs valintaprosessi voidaan jakaa peräkkäisiin vaiheisiin, joita on k kappaletta ja 1. vaiheessa valinta voidaan tehdä n 1 tavalla,. vaiheessa valinta voidaan tehdä n tavalla,
LisätiedotT Luonnollisten kielten tilastollinen käsittely
T-61.281 Luonnollisten kielten tilastollinen käsittely Vastaukset 3, ti 11.2.2003, 16:15-18:00 Kollokaatiot, Versio 1.1 1. Lasketaan ensin tulokset sanaparille valkoinen, talo käsin: Frekvenssimenetelmä:
LisätiedotMathmon. Ydindiagrammi. Kaikki lasketaan
Mathmon Kaikki lasketaan Oppimispeli MathMon otusten maassa. Ovatko laskutaitosi hallussa, onko apurillasi kertonallella tai jakosammakolla riittävästi laskutehoa kertohirviöiden tai plusmonsterien nokittamiseen.
LisätiedotMS-A0004/A0006 Matriisilaskenta
4. MS-A4/A6 Matriisilaskenta 4. Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto..25 Tarkastellaan neliömatriiseja. Kun matriisilla kerrotaan vektoria, vektorin
LisätiedotTämä on alustava otteluohjelma, mahdolliset muutokset tehdään käsiohjemaan.
TERVETULOA! Tämä on alustava otteluohjelma, mahdolliset muutokset tehdään käsiohjemaan. 31. -turnaus 31.3.- 12.4.2014 Pelipaikka on Laajasalon Palloiluhalli, Sarvastonkaari 23, 00840 Helsinki, puh. 6987654.
LisätiedotPäivölän matematiikan kesäleiri. Matemaattista viihdettä lapsukaisille viime vuosituhannelta asti
Päivölän matematiikan kesäleiri Matemaattista viihdettä lapsukaisille viime vuosituhannelta asti Kesäleiri pähkinänkuoressa Viikon rutistus maanantaista klo12 perjantaihin klo14, opetusta päivittäin 9-21
Lisätiedotx+3 = n(y 3) y +n = 3(x n). Kun ylemmästä yhtälöstä ratkaistaan x = n(y 3) 3 ja sijoitetaan alempaan, saadaan
19.1. ÄÙ ÓÒ Ñ Ø Ñ Ø ÐÔ ÐÙÒ ÐÓÔÔÙ ÐÔ ÐÙÒ Ö Ø ÙØ 2018 1. Eevalla ja Martilla on kokonaislukumäärä euroja. Martti sanoi Eevalle: Jos annat minulle kolme euroa, niin minulla on n-kertainen määrä rahaa sinuun
LisätiedotKausi 2018/2019. Padel Lähiliiga
Kausi 2018/2019 Padel Lähiliiga MIEHET MESTARUUSSARJA 1. Nopeetjalat Törnqvist Tony Puh. 0401865324 2. Padel Club Finland Mens Saunamäki Mika Puh. 0456791910 3. Pakkasukot Kyrklund Niko Puh. 0407207130
LisätiedotKILPAILUKUTSU 22. MARJOLA BEACH VOLLEY TURNAUKSEEN LAPPEENRANTAAN 19.-20.7.2014. ESI istumalentopallo Lappeenranta
KILPAILUKUTSU 22. MARJOLA BEACH VOLLEY TURNAUKSEEN LAPPEENRANTAAN 19.-20.7.2014 ESI istumalentopallo Lappeenranta Se yksi ja alkuperäinen istumalentopallon MARJOLA BEACH VOLLEY turnaus JO VUODESTA 1993
LisätiedotKoululentistä ikäluokittain
Koululentistä ikäluokittain AT OK U L 56 MALLIOPPITUNNIT Välineet: vat lyhyempiä PALLOT EMPUT noin 15 min Heitot tehdään omalla pallolla tai vuorotellen parin kanssa: pomppua) Tehdään noin 1015 kertaa
Lisätiedot... 5 ... 5 ... 5 ... 6 ... 7 ... 8 ... 8 ... 9 ... 11 ... 12
BILJARDI 2 3 SISÄLLYSLUETTELO 1. YLEISTÄ... 5 1.1 KOLMIO/ 9-KEHIKKO... 5 2. PELIN ALOITUS... 5 3. LYÖNTIVUORON VAIHTO... 5 4. VIRHELYÖNNIT... 6 4.1 ERILAISET VIRHEET... 6 4.2 RANGAISTUS VIRHEESTÄ... 7
LisätiedotMatematiikan didaktiikka, osa II Estimointi
Matematiikan didaktiikka, osa II Estimointi Sarenius Kasvatustieteiden tiedekunta, Oulun yksikkö Arviointi Arvionti voidaan jakaa kahteen osaan; laskutoimitusten lopputulosten arviointiin ja arviontiin
LisätiedotSarjan voittaja nousee mestaruussarjaan, kakkonen karsii 1-divisioonan seitsemännen kanssa
Kausi 2018/2019 Padel Lähiliiga MIEHET 1-DIVISIOONA 1. Epispallo Puh. 0415061066 2. Koppikotkat Kekäläinen Mikko Puh. 0407525847 3. Mr. Padel Club Puh. 0500494220 4. Musta 12.5 Puh. 0445533820 5. PC Kasetti
LisätiedotEsi ja perusopetuksen oppilaiden koulukuljetukset
17.1.2013 Esi ja perusopetuksen oppilaiden koulukuljetukset Kysymys 1: Oppilaiden koulunkäyntiajat tarvitaan tarjouslaskelman tekemiseen. Tarjouspyynnön liitteessä kohteet on mainittu ajoajat. Koulujen
LisätiedotMATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ
MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 4.9.09 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alustavat hyvän vastauksen piirteet on suuntaa-antava kuvaus kokeen tehtäviin odotetuista vastauksista ja tarkoitettu ensisijaisesti
LisätiedotKausi 2018/2019. Padel Lähiliiga
Kausi 2018/2019 Padel Lähiliiga MIEHET MESTARUUSSARJA 1. Nopeetjalat Puh. 0401865324 2. Padel Club Finland Mens Saunamäki Mika Puh. 0456791910 3. Pakkasukot Kyrklund Niko Puh. 0407207130 4. Padel Club
LisätiedotMATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ
MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 6.3.09 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden, sisältöjen ja pisteitysten luonnehdinta ei sido ylioppilastutkintolautakunnan arvostelua. Lopullisessa
LisätiedotMATEMATIIKKA. Matematiikkaa pintakäsittelijöille PAOJ 3. Isto Jokinen 2013
MATEMATIIKKA Matematiikkaa pintakäsittelijöille PAOJ 3. Isto Jokinen 2013 PROSENTTILASKENTA Prosentti on 1/100 tai 0,01. Esimerkki 40. Lukuarvo % 0,42 42 0,013 1,3 1,002 100,2 1/25 100/25=4 23/45 51,1
LisätiedotOppiminen ja oivaltaminen
Oppiminen ja oivaltaminen OPPIMINEN Oppimiseen liittyy usein jotain vanhaa, tai osatun käyttöä uudella tavalla Oppiminen on hyödyllistä liittää jo osattuun Oppiminen on prosessi emme tule koskaan valmiiksi
LisätiedotTilastollisia peruskäsitteitä ja Monte Carlo
Tilastollisia peruskäsitteitä ja Monte Carlo Hannu Toivonen, Marko Salmenkivi, Inkeri Verkamo Tutkimustiedonhallinnan peruskurssi Tilastollisia peruskäsitteitä ja Monte Carlo 1/13 Kevät 2003 Tilastollisia
LisätiedotMatriisit, kertausta. Laskutoimitukset. Matriisikaavoja. Aiheet. Määritelmiä ja merkintöjä. Laskutoimitukset. Matriisikaavoja. Matriisin transpoosi
Matriisit, kertausta Merkintöjä 1 Matriisi on suorakulmainen lukukaavio. Matriiseja ovat esimerkiksi: ( 2 0.4 8 0 2 1 ) ( 0, 4 ), ( ) ( 1 4 2, a 11 a 12 a 21 a 22 ) Kaavio kirjoitetaan kaarisulkujen väliin
LisätiedotTURNAUSSÄÄNNÖT 2014. Ottelut pelataan kahden minuutin vaihdoilla. Vaihdot kuulutetaan.
OTTELUIDEN PELAAMINEN Ottelut pelataan 4 vs 4 peleinä. Ottelut pelataan puolikkaassa kaukalossa kaukalon suuntaisesti. Maalien koko on 122 cm x 183 cm. Ottelut pelataan mustilla kiekoilla. Ottelut pelataan
LisätiedotNumeeriset menetelmät
Numeeriset menetelmät Luento 5 Ti 20.9.2011 Timo Männikkö Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 5 Ti 20.9.2011 p. 1/40 p. 1/40 Choleskyn menetelmä Positiivisesti definiiteillä matriiseilla kolmiohajotelma
LisätiedotYhteistyötä sisältämätön peliteoria jatkuu
Yhteistyötä sisältämätön peliteoria jatkuu Tommi Lehtonen Optimointiopin seminaari - Syksy 2000 / 1 Bayesilainen tasapaino Täysi informaatio Vajaa informaatio Staattinen Nash Bayes Dynaaminen Täydellinen
LisätiedotRANTALAKEUS 2019 SÄÄNNÖT
OTTELUIDEN PELAAMINEN RANTALAKEUS 2019 SÄÄNNÖT Turnauksessa noudatetaan SJL:n Leijonaliiga kauden 2018-2019 sääntöjä seuraavin poikkeuksin. Ottelut pelataan 4 vs 4 peleinä mustalla kiekolla. Maalien koko
LisätiedotOppimistavoitematriisi
Oppimistavoitematriisi Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I Esitiedot Arvosanaan 1 2 riittävät Arvosanaan 3 4 riittävät Arvosanaan 5 riittävät Yhtälöryhmät (YR) Osaan ratkaista ensimmäisen asteen yhtälöitä
LisätiedotJärjestäjällä tulee olla anottuna turnauslupa Jääkiekkoliiton alueelta, jolla turnaus pelataan.
1(5) JÄÄKIEKKO 1 YLEISTÄ Sotilasurheiluliiton jääkiekkomestaruuskilpailuissa noudatetaan Suomen Jääkiekkoliiton harraste- ja seniorisääntöjä ( www.finhockey.fi ) sekä Suomen Sotilasurheiluliiton yleissääntöjä
Lisätiedot2019/2020 MIEHET MESTARUUSSARJA
Kausi 2019/2020 MIEHET MESTARUUSSARJA 1. Ace Pelkonen Aki Puh. 040 9004 274 2. Kämmen pokalla Wallin Santtu Puh. 0400 756 076 3. NorSky Norrbacka Tuomas Puh. 050 562 8685 4. NurTS Lönnberg Markku Puh.
LisätiedotSymbolinen laskenta ja tietokoneohjelmistot lukion matematiikassa. Jussi Nieminen, Helsingin normaalilyseo
Symbolinen laskenta ja tietokoneohjelmistot lukion matematiikassa Jussi Nieminen, Helsingin normaalilyseo Historiaa u Funktiolaskimet alkoivat yleistyä lukioissa 1970-luvun lopulla. u Graafiset laskimet,
LisätiedotLineaarikuvausten. Lineaarikuvaus. Lineaarikuvauksia. Ydin. Matriisin ydin. aiheita. Aiheet. Lineaarikuvaus. Lineaarikuvauksen matriisi
Lineaarikuvaukset aiheita ten ten 1 Matematiikassa sana lineaarinen liitetään kahden lineaariavaruuden väliseen kuvaukseen. ten Määritelmä Olkoon (L, +, ) ja (M, ˆ+, ˆ ) reaalisia lineaariavaruuksia, ja
LisätiedotYhtälöryhmä matriisimuodossa. MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta. Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia. 2x1 x 2 = 1 x 1 + x 2 = 5.
2. MS-A4/A6 Matriisilaskenta 2. Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 5.9.25 Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia { 2x x 2 = x + x 2
LisätiedotNUORTEN KILPAILU- JÄRJESTELMÄ Muutokset &
NUORTEN KILPAILU- JÄRJESTELMÄ Muutokset 2018-2019 & 2019-2020 Kauden 2017-18 muutokset 16-vuotiaiden sarjat Keväällä 2018 16-vuotiaiden SM-sarjan 8 parasta joukkuetta saavat paikan tulevaan 17-vuotiaiden
LisätiedotMS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 5: Taylor-polynomi ja sarja
MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 5: Taylor-polynomi ja sarja Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 26.9.2016 Pekka Alestalo,
Lisätiedot3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä
3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä Lineaarinen m:n yhtälön yhtälöryhmä, jossa on n tuntematonta x 1,, x n on joukko yhtälöitä, jotka ovat muotoa a 11 x 1 + + a 1n x n = b 1 a 21
LisätiedotRubikin kuutio ja ryhmät. Johanna Rämö Helsingin yliopisto, Matematiikan ja tilastotieteen laitos
Rubikin kuutio ja ryhmät Johanna Rämö Helsingin yliopisto, Matematiikan ja tilastotieteen laitos Kehittäjä unkarilainen Erno Rubik kuvanveistäjä ja arkkitehtuurin professori 1974 Halusi leikkiä geometrisilla
LisätiedotYhtälöryhmä matriisimuodossa. MS-A0007 Matriisilaskenta. Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia. 2x1 x 2 = 1 x 1 + x 2 = 5.
2. MS-A000 Matriisilaskenta 2. Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2..205 Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia { 2x x 2 = x x 2 =
LisätiedotSymbian Tower Battles LIIKETOIMINTASUUNNITELMA
Symbian Tower Battles LIIKETOIMINTASUUNNITELMA Tässä dokumentissa esitellään Octopus mobiilisovelluskilpailuun osallistuvan The Fighting Mongooses ryhmän liiketoimintasuunnitelma Symbian Tower Battles
Lisätiedot