Mallintamisesta. Mallintamisesta
|
|
- Ville-Veikko Heino
- 8 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Laajasti ymmärtäen jonkin tarkasteltavan ilmiön kuvaamista (esim. matemaattista) kuhunkin tarkoitukseen (ennustaminen, analysointi, visualisointi) parhaiten sopivalla tavalla. Ilmiön pukemista helposti käsiteltävään ja ymmärrettävään muotoon. Teorioita, kokeita ja simulointia Datan ja tietämyksen yhdistämistä Mallintamisesta Suora vastaan kokeellinen (tilastollinen) malli Mallintamisen olisi aina oltava ongelmalähtöistä (vastakohtana menetelmälähtöiselle) Occamin partaveitsiperiaate: pitäydyttävä mahdollisimman yksinkertaisessa käsitteistössä. Mallintamisesta Tarkasteltavassa ilmiöstä erotetaan mallinnuksessa: Olosuhteet (alkutilat, alkuehdot) eli ne taustatiedot, joiden vallitessa oletetaan ilmiön tapahtuvan. Tapahtumat, joilla tarkoitetaan nitä asioita, joiden esiintymistä tarkastellaan mallintamisessa Tietyn tapahtuman ja olosuhteiden suhde voi olla Deterministinen: tietyissä olosuhteissa tapahtuma välttämättä joko esiintyy tai ei esiinny Stokastinen eli satunnainen: tietyissä olosuhteissa tapahtumat voivat joko esiintyä tai olla esiintymättä 1
2 Mallintamisesta Mallinnettava ilmiö (systeemi) voi olla stationäärinen tai epästationäärinen Stationaarinen: Systeemissä ei tapahdu muutoksia ajan myötä: Ts. jos malli M(t) ajanhetkellä t on voimassa, niin ajanhetkellä t+ t malli M(t+ t)=m(t). Tilastollisessa mallintamisessa yleensä lähdetään olettamuksesta että mallinnettava systeemi on stationäärinen (vaikka se ei läheskään aina pidä paikkansa!). Suora vs. kokeellinen malli Ongelma: Kohteen X lämpötilajakauma u määrittäminen annetuilla reunaehdoilla Fysikaalinen malli: 1) Lämpöyhtälö: 2) reunaehdot: 3) Diskretointi: Au=b 4) Ratkaisu: u=a -1 b 2 u = c u = ur, r Γ Kokeellinen malli: 1) Havainnot: lämpötilat u i kohteen pisteissä x i (paikka) 2) Regressiomalli: u=f(w,x), missä w mallin parametrit 3) PNS ratkaisu w PNS : min {sum i u i f(w,x i ) 2 } 2
3 Tilastollinen mallintaminen Tehtävä: Käytössä olevaa havaintojoukkoa tutkimalla löytää havaintoja rajoittavat ehdot ja relaatiot Ilmiö ja siitä tehtävät havainnot pyritään selvittämään todennäköisyysteoriaa ja sen malleja käyttämällä Tavoite: Löytää havaintoja selittävä malli, joka riittävällä tarkkuudella kuvaa ja ennustaa havaintoja tuottavan prosessin säännölliset ominaisuudet Tilastollisen mallintamisen vaiheita: 1. Malliperheen valinta 2. Mallin parametrien lukumäärän valinta 3. Mallin parametrien arvojen määrittäminen 4. Mallin hyvyyden määrittäminen Monimutkaisissa mallinnustehtävissä vaiheiden 1-4 ratkaiseminen kaikkea muuta kuin helppoa! Tilastollinen mallintaminen Yksinkertainen esim: Olkoon satunnaismuuttujan X todellinen todennäköisyysjakauma q(x). Estimoi q havainnoista x. Ratkaisu: Oletetaan että X noudattaa jakaumaa p(x θ), missä mallilla p on k parametria θ = (θ 1,, θ k ) Θ. Jakaumaa p kutsutaan myös X:n parametriseksi malliksi, joka on määritelty parametriavaruudessa Θ. Määriteltävä havainnoista (estimoitava) parametreille θ sellaiset arvot jotka parhaiten saavat p:n vastaamaan q:ta. Estimoinnista enemmän myöhemmin 3
4 Satunnaisilmiö ja havainto Havaintoaineisto on havainto satunnaisilmiöstä ELI: Havaintoaineisto x on vain yksi havainto monien mahdollisten havaintojen joukossa Kaikkien mahdollisten havaintojen joukko on otosavaruus Ω ESIM: Olkoon havainto x = {a,g,c,t,g,a,c,g} Sen voidaan katsoa olevan havainto satunnaisilmiöstä jonka otosavaruutena Ω ={{a,a,a,a,a,a,a,a},,{t,t,t,t,t,t,t,t}}, joka muodostuu 4 8 =65536:sta 8:n merkin jonosta. Tapaus ja todennäköisyys Tapaus: voidaan määrittää satunnaisilmiön havaintoja koskevana väittämänä Esimerkkitapaus (A): "Kaikki kahdeksan umpimähkään poimittua nukleotidia ovat puriineja Tapauksiin liitetään niiden todennäköisyys: 0<=P(A)<=1. Tapaus A: Oletetaan että puriineja ja pyrimidiinejä esiintyy kromosomissa yhtä paljon -> P(A) = 0.5^8= Todennäköisyyden tulkinta (1-2 mielletään yleensä samoiksi): 1) Klassinen tulkinta 2) Frekvenssitulkinta 3) Subjektiivinen 4
5 Todennäköisyysmalli Todennäköisyysfunktio: Sääntö eli funktio P joka liittää tapaukseen A sen todennäköisyyden P(A) ESIM1: Tapauksen A= 8 merkin jonossa ensimmäinen nukleotidi on a todennäköisyys P(A)=1/4 (=4^7/4^8). Todennäköisyysmalli: kolmikko (Ω, L,P), missä Ω - otosavaruus L tapausten joukko (A,B,C, ) P todennäköisyysfunktio ESIM2: Rahanheiton malli: Ω ={K,L}, L={φ,{K},{L}, Ω} ja P(φ)=0, P({K})=0.5, P({L})=0.5 ja P(Ω)=1. Tn-mallin ominaisuuksia 1. 0<= P(A) <=1, A L 2. P(Ω)=1 3. P(A 1 A 2 ) = P(A 1 ) + P(A 2 ) + 4. P(A c ) = 1-P(A) (A c = ei tapaus A) 5. P(A B)=P(A) + P(B)- P(AB) ESIM: tapaus A= 8 merkin jonossa esiintyy ainakin yksi t Miten P(A) kannattaa laskea tässä tapauksessa? Ratkaisu: P(A)=1-P(A c ) = 1-3^8/4^8 = 0.9 5
6 Venn-diagrammiesitys A B AB c AB A c B A c B c Mitä kuvan mukaan on P(A B), P(AB c ) ja P(A c B)? P(A B)=P(AB c ) + P(AB) + P(A c B) = P(A)+P(B)-P(AB) P(AB c ) = P(A) - P(AB) P(A c B) = P(B) - P(AB) Ehdollinen todennäköisyys Ennakkotieto voi supistaa ilmiön otosavaruutta suppeammaksi ESIM: Arpakuution numeroita 1, 2 ja 3 vastaavat sivut ovat punaisia. Heitetään noppaa ja nähdään että sivu on punainen. Mikä on nyt luvun 1 todennäköisyys? RATK: Mahdollisia tuloksia ovat {1},{2} ja {3}, joten P({1} sivu punainen)=1/3 Ehdollinen todennäköisyys P(A B) määritellään P(A B)=P(AB)/P(B), mistä seuraa P(AB)= P(B A)P(A) = P(A B)P(B) ja yleisesti kertolaskusääntö P(A 1 A n )=P(A n A 1 A n-1 )P(A n-1 A 1 A n-2 ) P(A 2 A 1 )P(A 1 ) 6
7 Ehdollinen todennäköisyys ESIM: Olkoon kulhossa viisi mustaa, kolme punaista ja kaksi valkoista palloa. Määritä tn tapahtumalle {1. pallo musta, 2. pallo valkea, 3. pallo musta} RATK: Merkitään A = {1. pallo musta}, B={2. pallo valkea} ja C={3. pallo musta} eli laske P(ABC). kertolaskusäännön nojalla P(ABC)= P(C BA)P(B A)P(A) P(A)= 5/10 P(B A)= 2/9 P(C BA)= 4/8 Eli P(ABC)= 4/8 * 2/9 * 5/10 = 1/18 Kokonaistodennäköisyys Olkoon {A 1,A 2, A n } todennäköisyyskentän (Ω, L,P) otosavaruuden Ω ositus, missä A i L ja P(A i ) > 0, i=1,,n. Tällöin jokainen tapahtuma B voidaan esittää unionina B= ΩB = ( i A i )B = i (A ib) jolloin P(B) = i P(A i B) = i P(A i )P(B A i ) jota kutsutaan tapahtuman B kokonaistodennäköisyydeksi ESIM: Koneet K1 ja K2 valmistavat tuotetta A. K1 tekee 1000 kpl tuotetta tunnissa ja K kpl. K1 koneella virheellisten tuotteiden osuus on 2% ja K2:lla 5%. Mikä on tn että satunnaisesti tuotannosta otettu tuote on viallinen (=tapahtuma B)? RATK: P(B)= P(K 1 )P(B K 1 ) + P(K 2 )P(B K 2 ) eli P(B) = 1/3 * 2/ /3 * 5/100 = 4/100 = 4% 7
8 Kokonaistodennäköisyyden kaavassa P(B) = i P(A i B) = i P(A i )P(B A i ) Bayesin kaava todennäköisyyksiä P(A i ) ovat syitä jotka vaikuttavat tapahtuman B todennäköisyyteen -> P(A i ):tä kutsutaan a priori todennäköisyyksiksi Tällöin Bayesin kaavalla voidaan laskea ns. a posteriori todennäköisyydet P(A k B) eli tn:t joilla vaihtoehtoiset syyt selittävät tapahtuman B esiintymistä: P(A k B) = P(A k B)/P(B) = P(A k B)/ i {P(A i )P(B A i )} Venn-diagrammiesitys A 3 A 1 B A 2 Mitä on P(A 1 B)? = P(A 1 )P(B A 1 )/(P(A 1 )P(B A 1 )+P(A 2 )P(B A 2 )+ P(A 3 )P(B A 3 )) 8
9 Bayesin kaava Olkoon A tapahtuma ja H taustatieto (hypoteesi joskus) Tällöin P(A H) mittaa A:n todennäköisyyttä tiedon H valossa: P(A H)=1, jos olet varma että A tapahtuu P(A H)=0, jos olet varma että A ei tapahdu P(A H)=0.2 Tällöin A:n liittyy epävarmuutta (mutta ei välttämättä satunnaisuutta) Jos A:n epävarmuus on pienempi kun B:n niin tällöin P(A H)>P(B H) Ongelmat: 1) Kahdella tarkastelijalla voi olla eri käsitys epävarmuudesta (eli eri H) 2) Todennäköisyys saattaa muuttua kun informaatio muuttuu Seuraus: Bayes teoria perustuu subjektiivisiin todennäköisyyksiin Bayesin kaava Jatkoa kone-esimerkkiin: K1 ja K2, tuotanto 1000 ja 2000 kpl, virheellisiä 2% ja 5%. Mikä on tn että satunnaisesti poimittu tuote, joka osoittautuu virheelliseksi (tapahtuma B) on koneelta K1? P(K 1 B)= P(K 1 )P(B K 1 )/(P(K 1 )P(B K 1 )+P(K 2 )P(B K 2 ))= Yhteenvetona: (1/3*2/100)/(4/100) = 1/6 Tapahtuman B sattumista voidaan selittää vaihtoehtoisilla hypoteeseilla {A 1,A 2, A n }. Näiden tn:ksiä kutsutaan prioritodennäköisyyksiksi ja oletetaan tunnetuiksi. Bayesin kaava antaa posterioritodennäköisyydet P(A i B) eli tn:t millä hypoteesit selittävät tapahtuman B esiintymistä 9
10 Riippumattomuus Tapahtumat A ja B ovat riippumattomat jos P(AB)=P(A)P(B) Heurestisesti: A ja B ovat riippumattomia, jos toisen tietämys ei muuta käsitystä toisen epävarmuudesta: P(AB)=P(A)P(B) on yhtäpitävä kuin P(A B)=P(A)=P(A B c ) tai P(B A)=P(B). ESIM: Tarkastellaan kaksilapsisen perheen vanhemman ja nuoremman lapsen sukupuolta. Otosavaruus = {pp,pt,tp,tt}, joilla alkeistapauksilla samat todennäköisyydet (oletus). Määritellään tapahtumat A={lapset eri sukupuolta}, B={vanhempi lapsi poika}, C={nuorempi lapsi poika}. Tällöin: P(C)= P(C B)=0.5 eli B:n (tai A:n) tapahtuminen ei lisää tietoa C:n esiintymistodennäköisyydestä. Tapahtuma C on siis riippumaton B:stä eikä B:n tapahtuminen anna tietoa C:stä Sen sijaan: P(C) P(C AB). Mitä on P(C AB)? Riippumattomuus Riippumattomuus ei aina ole ihan triviaalia ESIM: Laatikossa on r valkoista ja k mustaa palloa. Poimitaan palloja takaisinpanolla. Olkoon A= saada punainen 1:llä vedolla ja B= saada pun. 2:lla vedolla Tapaus 1: Punaisten suhde p=(r+k)/r tunnetaan. Tällöin P(B A)=p=P(B) eli A ja B ovat riippumattomia ( klassillinen todennäköisyys ) Tapaus 2: Punaisten suhdetta ei tunneta. Tällöin A ja B eivät ole riippumattomia, vaikka otannat ovat. Syy: A:sta saadaan informaatiota punaisten osuudesta ja se vaikuttaa B:n ehdolliseen todennäköisyyteen Mutta vaikka p:tä ei tunneta, voidaan kirjoittaa ehdolliset todennäköisyydet ajattelemalla että p on satunnaismuuttuja (tämä on mallintamista): P(A p)=p(a B,p)=p Eli A ja B ovat ehdollisesti riippumattomia ehdolla p. 10
11 Bayesin malliesimerkki ESIM: Heitetään rahaa ja halutaan tietää onko raha symmetrinen Jos tehdään pitkä rahanheittokoesarja, yhteensä N heittoa ja lasketaan kruunien esiintymismäärä k. Jos A= Saada kruuna, niin tällöin mallina voi olla (θ=k/n): P(A θ)=θ Rahanheitot tulevat nyt ehdollisesti riippumattomiksi. Tullaan Bayes ja klassisen tulkinnan eroon: Klassinen Rahanheitot ovat riippumattomia, kruunan esiintymistodennäköisyyden ollessa θ. Bayes: Jos θ on tunnettu, silloin rahanheitot ovat ehdollisesti riippumattomia ehdolla θ ja kussakin heitossa kruunan esiintymistodennäköisyys on θ. ERO: Bayes lähestymistavassa on tuntematon suure θ (mutta ei tuntemattomia todennäköisyyksiä). Koska θ on tuntematon, se on satunnaismuuttuja, jonka jakauma perustuu taustatietoon. Satunnaismuuttujista Olkoon (Ω, L,P) todennäköisyyskenttä. Oletetaan että Ω:n jokaiseen alkioon w Ω voidaan liittää reaaliluku X(w). Tällöin Ω:n alkioiden w sijasta on mahdollista tarkastella reaalilukuja X(w). X on siis kuvaus X: Ω -> R. Tämä kuvaus X: Ω -> R on satunnaismuuttuja, jos Ω :n osajoukot kuuluvat L:ään aina, kun x R, ts. kaikille x R: {w Ω X(w)<= x} L Ω A w w 2 w 3 1 X(w 2 ) A= {w Ω X(w)<= x} x 2 x 1 x 3 x 11
12 Diskreetissä tapauksessa satunnaismuuttuja saa numeroituvan määrän erilaisia arvoja (reaalisaatioita). ESIM: Kolikonheitossa P(X= kruunu )=0.5 ja P(X= klaava )=0.5 Diskreetin satunnaismuuttujan jakaumasta p(x) käytetään nimitystä pistetodennäköisyysfunktio p(x)=p(x=x) Merkintä X ~p(x) = S-muuttuja X noudattaa jakaumaa p(x) Kertymäfunktio on tällöin: F(x)= P(X<=x) = t<=x p(t) Kun satunnaismuuttujan X otosavaruus on jatkuva, X:n jakauma (tiheysfunktio) f(x) saadaan kertymäfunktiosta F(x): f(x)=df(x)/dx, missä F(x) = P(X<=x) = - t f(t)dt Mitäpä on - f(t)dt? Satunnaismuuttujista Yksinkertainen esimerkki Mallinnetaan bakteerin geenin alkukodonia 4:llä tapahtumalla: ATG, CTG, TTG ja CTG Olkoon malli M1 rakennettu bakteerista paha1 saadusta sekvenssitiedosto: p(atg)=0.8 p(ctg)=0.1 p(ttg)=0.07 p(ctg)=0.03 ja 2. malli M2 ( paha2 ): p(atg)=0.6 p(ctg)=0.1 p(ttg)=0.2 p(ctg)=0.1 12
13 Yksinkertainen esimerkki Havaitaan tuntemattomasta bakteerista X=ATG Haluamme tietää Kummasta bakteerista saatu DNA näyte on. Bayes: Malli M1 on todennäköisempi jos P(M1 X)>P(M2 X) P(M1 X)= P(M1 X)= P(X M1)P(M1)/P(X) P(X M2)P(M2)/P(X), jolloin ehdosta P(X M1)P(M1)/P(X)>P(X M2)P(M2)/P(X) saadaan P(X M1)P(M1) > P(X M2)P(M2) ja edelleen 0.8 P(M1) > 0.6 P(M2) Jos prioritodennäköisyydet P(M1) ja P(M2) ovat samat niin todennäköisin malli on? M1 eli paha1 bakteerista Diskreetissä tapauksessa satunnaismuuttujan X entropia määritellään: H(X)=- x p(x)log p(x) Jatkuva X: H(X)= - p(x) log p(x) dx. Jos logaritmin kantafunktiona käytetään log 2 :sta niin tällöin entropia ilmoitetaan bitteinä. ESIM: Kolikonheitossa p( kruunu )=0.5 ja p( klaava )=0.5. Tällöin H(X)=1 bittiä (kun käytetään log 2 :sta). HUOM! 0 log 0 = 0, koska x log x -> 0 kun x->0. Entropia ei riipu satunnaismuuttujan X arvosta, ainoastaan todennäköisyyksistä. Entropia H(X)>=0. Entropia Todistus: - p(x)log p(x) = p(x)log (1/p(x)). Koska p(x)>=0, niin tällöin 1/p(x) >=0, joten p(x)log (1/p(x)) >=0. 13
14 ESIM: Olkoon satunnaismuuttujan X otosavaruutena {0,1} todennäköiksyyksillä P(0)=p ja P(1)=1-p. Entropia tällöin: H(X)= - p log p - (1-p) log(1-p) = H(p) jota nimitetään binäärientropiafunktioksi. Jos käytetään log 2 kantafunktiota, niin entropia kertoo kuinka monta bittiä tarvitaan keskimäärin satunnaismuuttujan X kuvaamiseen. ESIM: Olkoon satunnaismuuttujalla X yhteensä 32 alkeistapausta, jotka kaikki ovat yhtä todennäköisiä P(X=x)=1/32. Tällöin entropia (log 2 kannalla) on H(X)=5 bittiä Entropia Tulos voidaan tulkita niin että kyseessä olevat 32 alkeistapausta voidaan koodata keskimäärin 5:llä bitillä. Stokastinen prosessi Mikäli ilmiöön liittyy satunnaisuutta (stokastisuutta), puhutaan stokastisista prosesseista. Stokastinen prosessi voidaan myös nähdä joukkona satunnaismuuttujia X(t) jolla on tietty realisaatio x(t). Prosessi on stationäärinen, jos sen tilastolliset ominaisuudet eivät muutu ajan myötä (esim. odotusarvo, varianssi). Aika t voi olla jatkuva tai diskreetti, samoin X(t) ESIM: yksinkertainen satunnaiskulku: Diskreetti aika t ja X(t):n arvot diskreettejä siten että missä P(a=1)=0.5 ja P(a=-1)=0.5. x(t) = x(t-1) + a Asetetaan x(0)=0. Tällöin X(t) on binomijakautunut t 2 n t 14
15 Moniulotteisista jakaumista Olkoon (X,Y) kahden satunnaismuuttujan X ja Y satunnaisvektori Yhteistodennäköisyysfunktio p(x,y) (jakauma) X:lle ja Y:lle: p(x,y) = P(X=x,Y=y) (X,Y) diskreetti: Tapahtuman A todennäköisyys P(A)= (x,y) A p(x,y) Kertymäfunktio F(x,y) = P(X<=x,Y<=y) Reunajakaumat: p(x)= y p(x,y) ja p(y)= x p(x,y) (X,Y) jatkuva: A:n todennäköisyys P(A)= A p(x,y)dxdy Kertymäfunktio F(x,y) = - x - y p(x,y)dxdy p(x,y) = d 2 F(x,y)/dxdy Reunajakaumat p(x)= - p(x,y)dy, p(x)= - p(x,y)dx Edellä mainitut yleistettävissä satunnaisvektorin (X 1,,X n ):lle Ehdolliset jakaumat p(x y) = p(x,y)/p(y) -> p(x,y)=p(x y)p(y)=p(y x)p(x) E(Y X=x) = y y p(y x) ja jatkuvassa E(Y X=x) = - y p(y x)dy Diskreetit jakaumat: Jakaumien tunnuslukuja E(X) = µ = x x P(X=x) = x x p(x) Var(X) = σ 2 = E(X- µ) 2 = E(X 2 ) - µ 2 Yleistettynä satunnaismuuttujalle g(x): E(g(X)) = µ g(x) = x g(x) P(X=x) = x Jatkuvat jakaumat: µ = x P(X=x) dx = x p(x) dx σ 2 = (x - µ) 2 p(x) dx g(x) p(x) Var(g(X)) = E(g(X)- µ g(x) ) 2 = E(g(X) 2 ) (µ g(x) ) 2 Moniulotteisille jakaumille: Kovarianssi Cov(X,Y)=E( (X-E(X))(Y-E(Y)) ) = E( (X- µ X )(Y- µ Y ) ) Mitä voidaan päätellä seuraavista kovarianssimatreeseista?
MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A050 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi B Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto
LisätiedotTodennäköisyyslaskun kertaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1
Todennäköisyyslaskun kertaus Vilkkumaa / Kuusinen 1 Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Vilkkumaa / Kuusinen 2 Motivointi Kokeellisessa tutkimuksessa tutkittaviin ilmiöihin liittyvien havaintojen
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 4. lokakuuta 2007 Antti Rasila () TodB 4. lokakuuta 2007 1 / 17 1 Moniulotteiset todennäköisyysjakaumat Johdanto Kaksiulotteiset satunnaismuuttujat Kaksiulotteisen
LisätiedotMS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A050 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi B Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto
LisätiedotTodennäköisyyden ominaisuuksia
Todennäköisyyden ominaisuuksia 0 P(A) 1 (1) P(S) = 1 (2) A B = P(A B) = P(A) + P(B) (3) P(A) = 1 P(A) (4) P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) (5) Tapahtuman todennäköisyys S = {e 1,..., e N }. N A = A. Kun alkeistapaukset
LisätiedotLuento KERTAUSTA Kaksiulotteinen jakauma Pisteparvi, Toyota Avensis -farmariautoja
1 Luento 23.9.2014 KERTAUSTA Kaksiulotteinen jakauma Pisteparvi, Toyota Avensis -farmariautoja 2 Ristiintaulukko Esim. Toyota Avensis farmariautoja, nelikenttä (2x2-taulukko) 3 Esim. 5.2.6. Markkinointisuunnitelma
LisätiedotABHELSINKI UNIVERSITY OF TECHNOLOGY
Todennäköisyyslaskennan käsitteitä Satunnaisuus ja deterministisyys Deterministisessä ilmiössä alkutila määrää lopputilan yksikäsitteisesti. Satunnaisilmiö puolestaan arpoo - yhdestä alkutilasta voi päätyä
LisätiedotOsa 1: Todennäköisyys ja sen laskusäännöt. Kokonaistodennäköisyyden ja Bayesin kaavat
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 1: Todennäköisyys ja sen laskusäännöt Kokonaistodennäköisyyden ja Bayesin kaavat TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Kokonaistodennäköisyys ja Bayesin kaava >> Kokonaistodennäköisyys
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila Kalvoissa käytetään materiaalia P. Palon vuoden 2005 kurssista. 07.09.2007 Antti Rasila () SovTodB 07.09.2007 07.09.2007 1 / 24 1 Todennäköisyyslaskennan
LisätiedotABHELSINKI UNIVERSITY OF TECHNOLOGY
Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Mitä tänään? Jos satunnaisilmiötä halutaan mallintaa matemaattisesti, on ilmiön tulosvaihtoehdot kuvattava numeerisessa muodossa. Tämä tapahtuu liittämällä
Lisätiedot3. laskuharjoituskierros, vko 6, ratkaisut
Mat-.9 Sovellettu todennäköisyyslasku, kevät - eliövaara, Palo, Mellin. laskuharjoituskierros, vko 6, ratkaisut D. Uurnassa A on 4 valkoista ja 6 mustaa kuulaa ja uurnassa B on 6 valkoista ja 4 mustaa
LisätiedotTODENNÄKÖISYYSLASKUN KERTAUS Peruskäsitteitä
J. Virtamo 38.3143 Jonoteoria / Todennäköisyyslaskenta 1 TODENNÄKÖISYYSLASKUN KERTAUS Peruskäsitteitä Otosavaruus S S on satunnaiskokeen E kaikkien mahdollisten alkeistapahtumien e joukko. Esim. 1. Noppaa
LisätiedotMiten voidaan arvioida virheellisten komponenttien osuutta tuotannossa? Miten voidaan arvioida valmistajan kynttilöiden keskimääräistä palamisaikaa?
21.3.2019/1 MTTTP1, luento 21.3.2019 7 TILASTOLLISEN PÄÄTTELYN PERUSTEITA Miten voidaan arvioida virheellisten komponenttien osuutta tuotannossa? Miten voidaan arvioida valmistajan kynttilöiden keskimääräistä
Lisätiedot031021P Tilastomatematiikka (5 op)
031021P Tilastomatematiikka (5 op) Jukka Kemppainen Mathematics Division Yleinen todennäköisyys Kertausmateriaalissa esiteltiin koulusta tuttuja todennäköisyysmalleja. Tällä kurssilla todennäköisyys on
LisätiedotMS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 4B Bayesläinen tilastollinen päättely Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 20. syyskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 20. syyskuuta 2007 1 / 17 1 Kolmogorovin aksioomat σ-algebra Tapahtuman todennäköisyys 2 Satunnaismuuttujat Todennäköisyysjakauma
LisätiedotIlkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Estimointi
Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Estimointi TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 1 Estimointi >> Todennäköisyysjakaumien parametrit ja niiden estimointi Hyvän estimaattorin
LisätiedotInversio-ongelmien laskennallinen peruskurssi Luento 7
Inversio-ongelmien laskennallinen peruskurssi Luento 7 Kevät 2012 1 Tilastolliset inversio-ongelmat Tilastollinen ionversio perustuu seuraaviin periaatteisiin: 1. Kaikki mallissa olevat muuttujat mallinnetaan
LisätiedotJohdatus todennäköisyyslaskentaan Kokonaistodennäköisyys ja Bayesin kaava. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Kokonaistodennäköisyys ja Bayesin kaava TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Kokonaistodennäköisyys ja Bayesin kaava Kokonaistodennäköisyys ja Bayesin kaava: Johdanto Kokonaistodennäköisyyden
LisätiedotJohdatus tilastotieteeseen Estimointi. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus tilastotieteeseen Estimointi TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Estimointi Todennäköisyysjakaumien parametrit ja niiden estimointi Hyvän estimaattorin ominaisuudet TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 2 Estimointi:
LisätiedotMiten hyvin mallit kuvaavat todellisuutta? Tarvitaan havaintoja.
Luku 1 Johdanto 1.1 Todennäköisyys ja tilastotiede Kurssi käsittelee todennäköisyyslaskentaa ja tilastotiedettä. Laaditaan satunnaisilmiöille todennäköisyysmalleja. Miten hyvin mallit kuvaavat todellisuutta?
LisätiedotTKK @ Ilkka Mellin (2008) 1/5
Mat-1.2620 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B / Tehtävät Demo-tehtävät: 1, 3, 6, 7 Pistetehtävät: 2, 4, 5, 9 Ylimääräiset tehtävät: 8, 10, 11 Aiheet: Moniulotteiset jakaumat Avainsanat: Diskreetti jakauma,
Lisätiedot30A02000 Tilastotieteen perusteet
30A02000 Tilastotieteen perusteet Kertaus 1. välikokeeseen Lauri Viitasaari Tieto- ja palvelujohtamisen laitos Kauppatieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy 2019 Periodi I-II Sisältö Välikokeesta Joukko-oppi
LisätiedotGripenberg. MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Tentti ja välikoeuusinta
MS-A00 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Tentti ja välikoeuusinta 7.. Gripenberg Kirjoita jokaiseen koepaperiin nimesi, opiskelijanumerosi ym. tiedot ja minkä kokeen suoritat! Laskin,
LisätiedotMS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 5A Bayeslainen tilastollinen päättely Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Lukuvuosi
LisätiedotMAT Todennäköisyyslaskenta Tentti / Kimmo Vattulainen
MAT-5 Todennäköisyyslaskenta Tentti.. / Kimmo Vattulainen Vastaa jokainen tehtävä eri paperille. Funktiolaskin sallittu.. a) P A). ja P A B).6. Mitä on P A B), kun A ja B ovat riippumattomia b) Satunnaismuuttujan
LisätiedotMS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 2A Satunnaismuuttujan odotusarvo Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Lukuvuosi
LisätiedotMS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 2A Satunnaismuuttujan odotusarvo Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy 2016,
LisätiedotP(X = x T (X ) = t, θ) = p(x = x T (X ) = t) ei riipu tuntemattomasta θ:sta. Silloin uskottavuusfunktio faktorisoituu
1. Tyhjentävä tunnusluku (sucient statistics ) Olkoon (P(X = x θ) : θ Θ) todennäköisyysmalli havainnolle X. Datan funktio T (X ) on Tyhjentävä tunnusluku jos ehdollinen todennäköisyys (ehdollinen tiheysfunktio)
LisätiedotOsa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi
Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Estimointi TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Estimointi >> Todennäköisyysjakaumien parametrit ja niiden estimointi Hyvän estimaattorin
LisätiedotEstimointi. Estimointi. Estimointi: Mitä opimme? 2/4. Estimointi: Mitä opimme? 1/4. Estimointi: Mitä opimme? 3/4. Estimointi: Mitä opimme?
TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Johdatus tilastotieteeseen TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 2 Mitä opimme? 1/4 Tilastollisen tutkimuksen tavoitteena on tehdä johtopäätöksiä prosesseista, jotka generoivat reaalimaailman
LisätiedotOtosavaruus ja todennäköisyys Otosavaruus Ë on joukko, jonka alkiot ovat kokeen tulokset Tapahtuma on otosavaruuden osajoukko
ÌÓÒÒĐĐÓ ÝÝ ÔÖÙ ØØ Naiiveja määritelmiä Suhteellinen frekvenssi kun ilmiö toistuu Jos tehdas on valmistanut 1000000 kpl erästä tuotetta, joista 5013 ovat viallisia, niin todennäköisyys, että tuote on viallinen
LisätiedotHY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Tilastollinen päättely II, kevät 2017 Harjoitus 1 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Tilastollinen päättely II, kevät 2017 Harjoitus 1 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Tehtävä 1 on klassikko. 1. Tässä tehtävässä tapahtumat A ja B eivät välttämättä
LisätiedotTodennäköisyys (englanniksi probability)
Todennäköisyys (englanniksi probability) Todennäköisyyslaskenta sai alkunsa 1600-luvulla uhkapeleistä Ranskassa (Pascal, Fermat). Nykyisin todennäköisyyslaskentaa käytetään hyväksi mm. vakuutustoiminnassa,
LisätiedotHarjoitus 2: Matlab - Statistical Toolbox
Harjoitus 2: Matlab - Statistical Toolbox Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt Syksy 2006 Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 1 Harjoituksen tavoitteet Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat
Lisätiedot&idx=2&uilang=fi&lang=fi&lvv=2015
20.10.2015/1 MTTTP5, luento 20.10.2015 1 Kokonaisuudet, joihin opintojakso kuuluu https://www10.uta.fi/opas/opintojakso.htm?rid=11585 &idx=2&uilang=fi&lang=fi&lvv=2015 2 Osaamistavoitteet Opiskelija osaa
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 21. syyskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 21. syyskuuta 2007 1 / 19 1 Satunnaismuuttujien riippumattomuus 2 Jakauman tunnusluvut Odotusarvo Odotusarvon ominaisuuksia
LisätiedotTilastollinen testaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1
Tilastollinen testaus Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Viime luennolla: havainnot generoineen jakauman muoto on usein tunnettu, mutta parametrit tulee estimoida Joskus parametreista on perusteltua esittää
Lisätiedot031021P Tilastomatematiikka (5 op)
031021P Tilastomatematiikka (5 op) Jukka Kemppainen Mathematics Division Käytännön asioita Luennot (yht. 11 4 h) ti 12-14 ja to 8-10 (ks. tarkempi opetusohjelma Oodista tms.) Harjoitukset (yht. 11 2 h)
Lisätiedot1. Kuusisivuista noppaa heitetään, kunnes saadaan silmäluku 5 tai 6. Olkoon X niiden heittojen lukumäärä, joilla tuli 1, 2, 3 tai 4.
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Todennäköisyyslaskenta II, syksy 206 Kurssikoe 28.0.206 Ratkaisuehdotuksia. Kuusisivuista noppaa heitetään, kunnes saadaan silmäluku 5 tai 6. Olkoon X niiden
LisätiedotLisää Diskreettejä jakaumia Lisää Jatkuvia jakaumia Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia
Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Lisää Diskreettejä jakaumia Lisää Jatkuvia jakaumia Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia KE (2014) 1 Hypergeometrinen jakauma Hypergeometrinen jakauma
Lisätiedot4.1. Olkoon X mielivaltainen positiivinen satunnaismuuttuja, jonka odotusarvo on
Mat-2.090 Sovellettu todennäköisyyslasku A / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat: Otanta Poisson- Jakaumien tunnusluvut Diskreetit jakaumat Binomijakauma, Diskreetti tasainen jakauma, Geometrinen jakauma, Hypergeometrinen
LisätiedotTilastotieteen kertaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1
Tilastotieteen kertaus Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Reaalimaailman ilmiöihin liittyy tyypillisesti satunnaisuutta ja epävarmuutta Ilmiöihin liittyvien havaintojen ajatellaan usein olevan peräisin
Lisätiedot5/11 6/11 Vaihe 1. 6/10 4/10 6/10 4/10 Vaihe 2. 5/11 6/11 4/11 7/11 6/11 5/11 5/11 6/11 Vaihe 3
Mat-.9 Sovellettu todennäköisyyslasku A / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat: Verkot todennäköisyyslaskennassa Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Jakaumien tunnusluvut Kertymäfunktio, Momentit, Odotusarvo,
LisätiedotJohdatus tn-laskentaan perjantai 17.2.2012
Johdatus tn-laskentaan perjantai 17.2.2012 Kahden diskreetin muuttujan yhteisjakauma On olemassa myös monen muuttujan yhteisjakauma, ja jatkuvien muuttujien yhteisjakauma (jota ei käsitellä tällä kurssilla;
LisätiedotTodennäköisyyslaskun kertaus. Heliövaara 1
Todennäköisyyslaskun kertaus Heliövaara 1 Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Heliövaara 2 Stunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Jos satunnaisilmiötä halutaan mallintaa matemaattisesti,
Lisätiedothttps://www10.uta.fi/opas/opintojakso.htm?rid=11585&i dx=2&uilang=fi&lang=fi&lvv=2015
12.1.2016/1 MTTTP5, luento 12.1.2016 1 Kokonaisuudet, joihin opintojakso kuuluu https://www10.uta.fi/opas/opintojakso.htm?rid=11585&i dx=2&uilang=fi&lang=fi&lvv=2015 2 Osaamistavoitteet Opiskelija osaa
LisätiedotIlkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Kertymäfunktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Kertymäfunktio TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Kertymäfunktio >> Kertymäfunktio: Määritelmä Diskreettien jakaumien
LisätiedotTodennäköisyyslaskenta IIa, syyslokakuu 2019 / Hytönen 2. laskuharjoitus, ratkaisuehdotukset
Todennäköisyyslaskenta IIa, syyslokakuu 019 / Hytönen. laskuharjoitus, ratkaisuehdotukset 1. Kurssilla on 0 opiskelijaa, näiden joukossa Jutta, Jyrki, Ilkka ja Alex. Opettaja aikoo valita umpimähkään opiskelijan
LisätiedotJOHDATUS TEKOÄLYYN LUENTO 4.
2009 CBS INTERACTIVE JOHDATUS TEKOÄLYYN LUENTO 4. TODENNÄKÖISYYSMALLINNUS II: BAYESIN KAAVA TEEMU ROOS Marvin Minsky Father of Artificial Intelligence, 1927 2016 PINGVIINI(tweety) :- true. Wulffmorgenthaler
LisätiedotMS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 5A Bayeslainen tilastollinen päättely Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy
LisätiedotSatunnaismuuttujan odotusarvo ja laskusäännöt
Luku 3 Satunnaismuuttujan odotusarvo ja laskusäännöt Lasse Leskelä Aalto-yliopisto 16. syyskuuta 2017 3.1 Odotusarvon käsite ja suurten lukujen laki Lukuarvoisen satunnaismuuttujan X odotusarvo määritellään
Lisätiedot1. laskuharjoituskierros, vko 4, ratkaisut
1. laskuharjoituskierros, vko 4, ratkaisut D1. Heitetään kahta virheetöntä noppaa, joiden kuudella tahkolla on silmäluvut 1, 2, 3, 4, 5 ja 6. Tällöin heittotuloksiin liittyvä otosavaruus on S = {(x, y)
LisätiedotOdotusarvo. Odotusarvon ominaisuuksia Satunnaismuuttujien ominaisuuksia 61
3.3. Satunnaismuuttujien ominaisuuksia 61 Odotusarvo Määritelmä 3.5 (Odotusarvo) Olkoon X diskreetti satunnaismuuttuja, jonka arvojoukko on S ja todennäköisyysfunktio f X (x). Silloin X:n odotusarvo on
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 30. lokakuuta 2007 Antti Rasila () TodB 30. lokakuuta 2007 1 / 23 1 Otos ja otosjakaumat (jatkoa) Frekvenssi ja suhteellinen frekvenssi Frekvenssien odotusarvo
LisätiedotJohdatus todennäköisyyslaskentaan Kertymäfunktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Kertymäfunktio TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Kertymäfunktio Kertymäfunktio: Määritelmä Diskreettien jakaumien kertymäfunktiot Jatkuvien jakaumien kertymäfunktiot TKK (c)
LisätiedotKäytetään satunnaismuuttujaa samoin kuin tilastotieteen puolella:
8.1 Satunnaismuuttuja Käytetään satunnaismuuttujaa samoin kuin tilastotieteen puolella: Esim. Nopanheitossa (d6) satunnaismuuttuja X kertoo silmäluvun arvon. a) listaa kaikki satunnaismuuttujan arvot b)
LisätiedotTodennäköisyyslaskenta sivuaineopiskelijoille
Todennäköisyyslaskenta sivuaineopiskelijoille Tentit: 4.11.2013 ja 2.12.2013. Loput kaksi tenttiä (vuonna 2014) ilmoitetaan myöhemmin. Tentissä on 4 tehtävää á 8 pistettä, aikaa 4 tuntia. Arvostelu 0 5.
LisätiedotTilastollinen aineisto Luottamusväli
Tilastollinen aineisto Luottamusväli Keijo Ruotsalainen Oulun yliopisto, Teknillinen tiedekunta Matematiikan jaos Tilastollinen aineisto p.1/20 Johdanto Kokeellisessa tutkimuksessa tutkittavien suureiden
LisätiedotSatunnaismuuttujat ja jakaumat
Luku 2 Satunnaismuuttujat ja jakaumat Lasse Leskelä Aalto-yliopisto 2. syyskuuta 207 2. Satunnaismuuttujan käsite Käytännön tilanteissa ei yleensä olla kiinnostuneita satunnaisilmiön kaikista yksityiskohdista,
Lisätiedot(x, y) 2. heiton tulos y
Mat-1.2620 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B / Tehtävät Demo-tehtävät: 1, 2, 4, 6, 8, 11 Pistetehtävät: 3, 5, 9, 12 Ylimääräiset tehtävät: 7, 10, 13 Aiheet: Joukko-oppi Todennäköisyys ja sen määritteleminen
LisätiedotOtanta ilman takaisinpanoa
Otanta ilman takaisinpanoa Populaatio, jossa N alkiota (palloa, ihmistä tms.), kahdenlaisia ( valkoinen, musta ) Poimitaan umpimähkään (= symmetrisesti) n-osajoukko eli otos Merkitään tapahtuma A k = otoksessa
LisätiedotKurssilla esitetään lyhyt katsaus niihin todennäköisyyden ja satunnaisprosessien peruskäsitteisiin ja -ominaisuuksiin, joita tarvitaan digitaalisten
Todennäköisyys Kurssilla esitetään lyhyt katsaus niihin todennäköisyyden ja satunnaisprosessien peruskäsitteisiin ja -ominaisuuksiin, joita tarvitaan digitaalisten tietoliikennejärjestelmien ymmärtämisessä
LisätiedotTilastotieteen kertaus. Kuusinen/Heliövaara 1
Tilastotieteen kertaus Kuusinen/Heliövaara 1 Mitä tilastotiede on? Tilastotiede kehittää ja soveltaa menetelmiä, joiden avulla reaalimaailman ilmiöistä voidaan tehdä johtopäätöksiä tilanteissa, joissa
Lisätiedottilastotieteen kertaus
tilastotieteen kertaus Keskiviikon 24.1. harjoitukset pidetään poikkeuksellisesti klo 14-16 luokassa Y228. Heliövaara 1 Mitä tilastotiede on? Tilastotiede kehittää ja soveltaa menetelmiä, joiden avulla
LisätiedotMS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 5B Bayesläiset piste- ja väliestimaatit Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto
LisätiedotJohdatus todennäköisyyslaskentaan Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Kaksiulotteiset todennäköisyysjakaumat
LisätiedotMAT Todennäköisyyslaskenta Tentti / Kimmo Vattulainen
MAT-25 Todennäköisyyslaskenta Tentti 12.4.216 / Kimmo Vattulainen Funktiolaskin sallittu. Palauta kaavakokoelma 1. a) Pelaajat A ja B heittävät noppaa vuorotellen ja pelin voittaa se, joka saa ensimmäiseksi
LisätiedotTilastomatematiikka Kevät 2008
Tilastomatematiikka Kevät 2008 Keijo Ruotsalainen Oulun yliopisto, Teknillinen tiedekunta Matematiikan jaos Tilastomatematiikka p.1/19 4.3 Varianssi Satunnaismuuttuja on neliöintegroituva, jos odotusarvo
LisätiedotIlkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja jakaumat
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja jakaumat TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 1 Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja
Lisätiedot(b) Tarkista integroimalla, että kyseessä on todella tiheysfunktio.
Todennäköisyyslaskenta I, kesä 7 Harjoitus 4 Ratkaisuehdotuksia. Satunnaismuuttujalla X on ns. kaksipuolinen eksponenttijakauma eli Laplacen jakauma: sen tiheysfunktio on fx = e x. a Piirrä tiheysfunktio.
LisätiedotD ( ) E( ) E( ) 2.917
Mat-2.091 Sovellettu todennäköisyyslasku 4. harjoitukset/ratkaisut Aiheet: Diskreetit jakaumat Avainsanat: Binomijakauma, Diskreetti tasainen jakauma, Geometrinen jakauma, Hypergeometrinen jakauma, Kertymäfunktio,
LisätiedotTILASTOLLINEN OPPIMINEN
301 TILASTOLLINEN OPPIMINEN Salmiakki- ja hedelmämakeisia on pakattu samanlaisiin käärepapereihin suurissa säkeissä, joissa on seuraavat sekoitussuhteet h 1 : 100% salmiakkia h 2 : 75% salmiakkia + 25%
LisätiedotMS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 4A Parametrien estimointi Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy 2016, periodi
Lisätiedot805306A Johdatus monimuuttujamenetelmiin, 5 op
monimuuttujamenetelmiin, 5 op syksy 2018 Matemaattisten tieteiden laitos Lineaarinen erotteluanalyysi (LDA, Linear discriminant analysis) Erotteluanalyysin avulla pyritään muodostamaan selittävistä muuttujista
LisätiedotSallitut apuvälineet: MAOL-taulukot, kirjoitusvälineet, laskin sekä itse laadittu, A4-kokoinen lunttilappu. f(x, y) = k x y, kun 0 < y < x < 1,
Todennäköisyyslaskenta, 2. kurssikoe 7.2.22 Sallitut apuvälineet: MAOL-taulukot, kirjoitusvälineet, laskin sekä itse laadittu, A4-kokoinen lunttilappu.. Satunnaismuuttujien X ja Y yhteistiheysfunktio on
LisätiedotSuotuisien tapahtumien lukumäärä Kaikki alkeistapahtumien lukumäärä
Todennäköisyys 1 Klassinen todennäköisyys: p = Suotuisien tapahtumien lukumäärä Kaikki alkeistapahtumien lukumäärä Esimerkkejä: Nopan heitto, kolikon heitto Satunnaismuuttuja Tilastollisesti vaihtelevaa
LisätiedotTODENNÄKÖISYYS JA TILASTOT MAA6 KERTAUS
TODENNÄKÖISYYS JA TILASTOT MAA6 KERTAUS Klassinen todennäköisyys P suotuisten alkeistapausten lkm kaikkien alkeistapausten lkm P( mahdoton tapahtuma ) = 0 P( varma tapahtuma ) = 1 0 P(A) 1 Todennäköisyys
LisätiedotMat Sovellettu todennäköisyyslasku. Aiheet: Todennäköisyyslaskennan peruskäsitteet Todennäköisyyslaskennan peruslaskusäännöt Avainsanat:
Mat-2.091 Sovellettu todennäköisyyslasku Aiheet: Todennäköisyyslaskennan peruskäsitteet Todennäköisyyslaskennan peruslaskusäännöt Avainsanat: Alkeistapahtuma, Ehdollinen todennäköisyys, Erotustapahtuma,
LisätiedotMääritelmä 3.1 (Ehdollinen todennäköisyys) Olkoot A ja B otosavaruuden Ω tapahtumia. Jos P(A) > 0, niin tapahtuman B ehdollinen todennäköisyys
Luku 3 Satunnaismuuttujat, ehdollistaminen ja riippumattomuus Tässä luvussa käsitellään satunnaismuuttujien ominaisuuksia ja täydennetään todennäköisyyslaskennan tietoja. Erityisesti satunnaismuuttujien
Lisätiedot4.0.2 Kuinka hyvä ennuste on?
Luonteva ennuste on käyttää yhtälöä (4.0.1), jolloin estimaattori on muotoa X t = c + φ 1 X t 1 + + φ p X t p ja estimointivirheen varianssi on σ 2. X t }{{} todellinen arvo Xt }{{} esimaattori = ε t Esimerkki
LisätiedotP (X B) = f X (x)dx. xf X (x)dx. g(x)f X (x)dx.
Yhteenveto: Satunnaisvektorit ovat kuvauksia tn-avaruudelta seillaiselle avaruudelle, johon sisältyy satunnaisvektorin kaikki mahdolliset reaalisaatiot. Satunnaisvektorin realisaatio eli otos on jokin
LisätiedotMatemaattinen tilastotiede. Erkki Liski Matematiikan, Tilastotieteen ja Filosofian Laitos Tampereen Yliopisto
Matemaattinen tilastotiede Erkki Liski Matematiikan, Tilastotieteen ja Filosofian Laitos Tampereen Yliopisto Alkusanat Tämä moniste perustuu vuosina 2002-2004 pitämiini matemaattisen tilastotieteen luentoihin
LisätiedotMoniulotteiset satunnaismuuttujat ja jakaumat
Todennäköisyyslaskenta Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja jakaumat KE (2014) 1 Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat >> Kaksiulotteiset
Lisätiedot1. Tilastollinen malli??
1. Tilastollinen malli?? https://fi.wikipedia.org/wiki/tilastollinen_malli https://en.wikipedia.org/wiki/statistical_model http://projecteuclid.org/euclid.aos/1035844977 Tilastollinen malli?? Numeerinen
Lisätiedot2 exp( 2u), kun u > 0 f U (u) = v = 3 + u 3v + uv = u. f V (v) dv = f U (u) du du f V (v) = f U (u) dv = f U (h(v)) h (v) = f U 1 v (1 v) 2
HY, MTO / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIa, syksy 208 Harjoitus 4 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I. Satunnaismuuttuja U Exp(2) ja V = U/(3 + U). Laske f V käyttämällä muuttujanvaihtotekniikkaa.
LisätiedotMS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
M-0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Viikko 1: Todennäköisyyslaskennan peruskäsitteet; Todennäköisyyden aksioomat; Todennäköisyyslaskennan peruslaskusäännöt; Kokonaistodennäköisyyden
Lisätiedot4. laskuharjoituskierros, vko 7, ratkaisut
4. laskuharjoituskierros, vko 7, ratkaisut D1. Kone valmistaa kuulalaakerin kuulia, joiden halkaisija vaihtelee satunnaisesti. Halkaisijan on oltava tiettyjen rajojen sisällä, jotta kuula olisi käyttökelpoinen.
Lisätiedot031021P Tilastomatematiikka (5 op) Kurssi-info ja lukion kertausta
031021P Tilastomatematiikka (5 op) Kurssi-info ja lukion kertausta Jukka Kemppainen Mathematics Division Käytännön asioita Luennot (yht. 7 4 h) ke 12-14 ja pe 8-10 (ks. tarkemmin Oodista tai Nopasta) Harjoitukset
LisätiedotVäliestimointi (jatkoa) Heliövaara 1
Väliestimointi (jatkoa) Heliövaara 1 Bernoulli-jakauman odotusarvon luottamusväli 1/2 Olkoon havainnot X 1,..., X n yksinkertainen satunnaisotos Bernoulli-jakaumasta parametrilla p. Eli X Bernoulli(p).
LisätiedotIlkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 3: Todennäköisyysjakaumia. Diskreettejä jakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Diskreettejä jakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Diskreettejä jakaumia >> Diskreetti tasainen jakauma Bernoulli-jakauma Binomijakauma
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 14. syyskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 14. syyskuuta 2007 1 / 21 1 Kokonaistodennäköisyys ja Bayesin kaava Otosavaruuden ositus Kokonaistodennäköisyyden
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 18. lokakuuta 2007 Antti Rasila () TodB 18. lokakuuta 2007 1 / 19 1 Tilastollinen aineisto 2 Tilastollinen malli Yksinkertainen satunnaisotos 3 Otostunnusluvut
LisätiedotEstimointi. Vilkkumaa / Kuusinen 1
Estimointi Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Tilastollisessa tutkimuksessa oletetaan jonkin jakauman generoineen tutkimuksen kohteena olevaa ilmiötä koskevat havainnot Tämän mallina käytettävän todennäköisyysjakauman
LisätiedotSatunnaismuuttujan odotusarvo ja laskusäännöt
Luku 3 Satunnaismuuttujan odotusarvo ja laskusäännöt Lasse Leskelä Aalto-yliopisto 17. marraskuuta 2017 3.1 Odotusarvon käsite ja suurten lukujen laki Lukuarvoisen satunnaismuuttujan X odotusarvo määritellään
LisätiedotB. Siten A B, jos ja vain jos x A x
Mat-1.2600 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B / Ratkaisut Aiheet: Johdanto Joukko-opin peruskäsitteet Todennäköisyyslaskennan peruskäsitteet Todennäköisyyslaskennan peruslaskusäännöt Avainsanat: Alkeistapahtuma,
LisätiedotIlkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (006) 1 Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia >> Multinomijakauma Kaksiulotteinen
LisätiedotTodennäköisyyslaskenta IIa, syys lokakuu 2019 / Hytönen 3. laskuharjoitus, ratkaisuehdotukset
Todennäköisyyslaskenta IIa, syys lokakuu 2019 / Hytönen 3. laskuharjoitus, ratkaisuehdotukset 1. Olkoon X satunnaismuuttuja, ja olkoot a R \ {0}, b R ja Y = ax + b. (a) Olkoon X diskreetti ja f sen pistetodennäköisyysfunktio.
LisätiedotTodennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Esimerkkikokoelma 3
Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Esimerkkikokoelma 3 Aiheet: Satunnaisvektorit ja moniulotteiset jakaumat Tilastollinen riippuvuus ja lineaarinen korrelaatio Satunnaisvektorit ja moniulotteiset
Lisätiedot