Matemaatiline modelleerimine

Transkriptio

1 Matemaatiline modelleerimine Sissejuhatus Otsuste vastuvõtmiseks on kaks põhimõtteliselt erinevat teed: 1. juhuslik valik (kull/kiri, nn KATSE-EKSITUSE meetod); 2. argumenteeritud valik. Paljudesse olukordadesse (sotsiaalsete, bioloogiliste, keemia, füüsika, majanduse ja ökoloogiliste probleemide lahendamiseks) esimene valik, nn katse eksituse meetod ei sobi, sest võib viia katastroofini või võtab liiga palju aega. Lihtsam on eksperimenteerida mudelitega. Seega me valime teise tee. Selleks on vaja maailma asjadest aru saada, meid huvitavaid protsesse mõista, nende arengut ette näha ja seda oskuslikult kasutada. Def: Mudel on meie arusaam sellest, kuidas miski toimub (kuidas mingid protsessid toimuvad). Mudelid võimaldavad mõista reaalelu probleeme imiteerides tegelikke protsesse lihtsustatult. Tegelikult tuleb ülesannete lahendamisel alati eelistada täpseid lahendeid, kuid kahjuks see enamasti ei õnnestu, seda eriti loodusteaduslike ja üldse rakenduslike protsesside uurimisel. Def: Modelleerimine on teadus mudelite koostamisest ja analüüsist. Täiendades: matemaatiline mudel on mudel, mis on koostatud kasutades matemaatilisi kontseptsioone (nagu funktsioonid, võrrandid, võrratused jm). Modelleerimist kasutatakse kõikidel elualadel: bioloogias, arstiteaduses, majandusteaduses, ökoloogias jm, enamasti märkamatult kasutame seda ka igapäevaelus. Modelleerimise erinevus puhtast matemaatikast erinevad inimesed mõistavad samu protsesse erinevalt (näiteks erinevad börsimaaklerid aktsiaturgude käitumist), pole olemas analüütilist lõplikku lahendit, lahend pole ühene. Töö käigus leitakse ligikaudne lahend, mudelit täiustatakse/parandatakse ja mängitakse kõik jälle läbi. Modelleerimist võib võrrelda ka teksülesande lahendamisega. Tekstülesande lahendamise esimese etapis tuleb erineval kujul antud andmetest selekteerida vajalikud, koostada nende vahelised seosed, sama modelleerimisel. 1. Mudelite tüübid, mudeli põhikomponendid, mõisteid Tüüpideks jaotatakse mudeleid mitmeti, kuid kirjeldatava protsessi järgi on kaht põhilist tüüpi mudeleid: 1. Mingit nähtust antud ajahetkel kirjeldav mudel (nn STAATILINE mudel); 2. Protsessi mudel kirjeldab muutusi reaalses või simuleeritud ajas (nn DÜNAAMILINE mudel). Esimese tüübi näiteks on busside sõiduplaan, Eesti kaart jne, neid mudeleid läheb vaja antud olukorras mingi otsuse vastuvõtmiseks (näiteks: milline jalgratas osta). Teise tüübi näiteks on migratsioon, populatsioon, reostus, aktsiahind, seda tüüpi mudelite eesmärgiks on välja tuua mitmeid erinevaid tulevikke dünaamilistele protsessidele. Modelleerimise etapid: 1 / 15

2 Kui esimene ring on läbitud, võrreldakse mudeli tulemust reaalsusega, täiendatakse/ korrigeeritakse mudelit ja minnakse uuele ringile. Mudeli koostamise põhimõtted: 1. fikseerime protsessi võtmeelemendid ja vaatlustulemused; 2. määrame põhimuutujad abstraktse versiooni koostamiseks; 3. määrame seosed põhimuutujate vahel; 4 käivitame mudeli. Vaatleme tulemusi. Modelleerimine on lõputu protsess, me võrdleme saadud tulemusi tegelikkusega, parandame ja täiendame mudelit, käivitame uuesti jne. Kui mudel on simuleeritud arvutiga, siis on iga mudeli element määratud algtingimustega ja arvuti leiab vastuseid probleemidele vastavalt elementide vahel määratud seostele. 2. Modelleerimise printsiibid Mudeli koostamine on mõistlik jagada järgmisteks osadeks: 1. Probleemi püstitamine, mudeli eesmärgid. Suurem süsteem tuleb jagada alammudeliteks. 2. Määrame põhimuutujad, märgiühikud; tuleb hoida lihtsust (põhimuutujaid mõõdukalt). 3. Valime juhtimismuutujad; tulebhoia lihtsust (arvesta ainult peamisi arenguid). 4. Määrame juhtimismuutujate parameetrid (ühikutega). 5. Hindame mudelit võimalike vastuolude mõttes. Vajadusel kasutame lisakitsendusi. 6. Määrame mudeli tööaja ja ajasammu. 7. Käivitame mudeli, testime ajasammu muudame viimast senikaua 2 korda väiksemaks kuni tulemused ei erine oluliselt. 8. Varieerime parameetreid ekstreemsete väärtusteni, täiustame mudelit. 9. Võimalusel võrdleme tulemust eksperimendiga. 10. Muudame parameetreid ja ka mudelit, et saada suuremat kompleksust ja vähendada erinevusi eksperimentaalsete tulemustega. Püstitame uued küsimused/ probleemid, kordame Modelleerimisel on 3 põhilist kasutusala: 1. Hea mudel lubab varieerida komponente ja näha selle mõju ülejäänud süsteemile. 2. Hea mudel lubab ennustada dünaamilise süsteemi (protsessi) tulevikku. 3. Hea mudel stimuleerib järgmisi küsimusi süsteemi käitumise kohta ja avastatud printsiipide rakendatavusest teiste süsteemide modelleerimisel. 3. Modelleerimine Stella abil Mudeli elementide põhitüübid: 1. Põhimuutujad (energia, populatsioon, hind, temperatuur...); (STOCK) 2. Juhtimised elemendid, mis kirjeldavad põhimuutujate muutumist. Kui mudel töötab ajas, siis nad muudavad põhimuutujaid iga ajasammu järel. (FLOW) 3. Juhtimismuutujad (CONVERTER) 4. Viitmuutujad (ACTION CONNECTOR) Märkused mudeli koostamise kohta: Kui mõne muutuja aken ei näe välja nagu harjunud olete vaadake, kas vasakul servas on gloobusega nupp ja vajutage seda. Kui mudelis on kasvõi üksainus? (viitab veale) ei saa seda käivitada, tuleb viga parandada. Ka peale välise vea kõrvaldamist tuleb korraks veel mudelisse sisse minna ja OK väljuda (näiteks oli kasutamata viit). 2 / 15

3 Enne, kui saate anda graafilist seost peate märkima argumendi. Andes graafilist seost, järgige tähelepanelikult nii argumendi kui muutuja skaalat. Kui graafiliselt seoselt tagasi võrrandile või väärtusele minna tuleb graafik kustutada. Mitte unustada simulatsiooni aega ja ajasammu vastavusse viia (Run - Specs). 4. Mudelite tüübid 1. Mõjutuse (stiimuli) vastavuse mudel (stimulus-response model). Siin on näiteks populatsiooni juurdekasvu arvutamine sõltumatu põhimuutujatest. 2. Iseendale viitav mudel (self-referencing model). Näiteks populatsiooni tase mõjutab oma kasvu määra. 3. Eesmärki otsiv mudel (goal seeking model). Näiteks on lõpppopulatsioon üheselt määratud eesmärk, mida otsime. 4. Eesmärki seadev mudel (goal setting model). Näiteks püütakse määrata populatsiooni tihedust välismõjude korral. Keerukaim 4-st. 5. Ajasammu valik ja selle mõju tulemustele Ajasammu (DT) saab määrata aknast, mis avaneb Run Run Specs, jälgime ka numbrilise integreerimismeetodi valikut seekord võtame Euler. 1. AINE KONTSENTRATSIOONI LAGUNEMISE MUDEL: KONTSENTRATSIOON = 100 (algkontsentratsioon) LAGUNEMISKIIRUS = (st ühes ajaühikus laguneb 17,33 % ainest) LAGUNEMINE= LAGUNEMISKIIRUS * KONTSENTRATSIOON Run Specs Simulatsiooni pikkus To = 24. Joonisele 0.00 täpsus 3 / 15

4 Runge-Kutta 4.j Euleri meetod: DT=1, Konts=1.04 DT=0.5, KONTS=1.562 DT=0.01, Konts= KEHA JAHTUMISE MUDEL: Eset jahutatakse keskkonnas, mis on piisavalt suur. Sobiv temperatuur on eseme lõpptemperatuur. Kasutatakse Newtoni jahtumisseadust. Temperatuur = 37 (keha algtemperatuur kraadides, mida jahutab ümbritseva keskkonna temperatuur kuni 10 kraadini C) Lõpptemperatuur = 10 Jahtumise konstant = 0.06 Jahtumise määr = jahtumise konstant * (temperatuur-lõpptemperatuur) 6. STELLA poolt kasutatavad numbrilised meetodid Meie poolt koostatud mudeli realiseerib STELLA diferentsiaalvõrrandeina, mida omakorda integreerib (lahendab) numbriliselt st leiab otsitava funktsiooni väärtused teatud punktides.. Selleks on valida kolm meetodit: Euleri meetod, Runge-Kutta 2. järku meetod, Runge-Kutta 4. järku meetod. 7. Juhuslikkus modelleerimisel Tihti ei saa me mingit protsessi täpselt määrata, sisse jääb teatav juhuslikkus mingi juhuslik element võib määrata süsteemi käitumise suuna. Funktsioon RANDOM(0,1) väljastab juhusliku arvu arvude 0 ja 1 vahel. Funktsioone IF, THEN, ELSE, AND, OR, NOT kasutatakse avaldiste moodustamiseks, mille väärtused sõltuvad sellest, kas antud tingimus osutub tõeseks või on väär (TRUE, FALSE). Mitme tingimuse jaoks kasutada ümarsulge näiteks: IF (x>0 ) AND (y<0) THEN 1 ELSE 0 Kasutame ainult Euler i meetodit 7.1 Mündi viskamise mudel Viskame näiteks 2000 korda münti. Modelleerime selle arvutil, kasutades juhuslike arvude generaatorit igal viskel genereerime juhusliku arvu vahemikus (0;1), kui see on <0.5, siis loeme viske kirjaks, kui >0.5 kulliks. Põhimuutuja loendab, mitu korda esineb kiri rohkem, kui kull. Ajasamm DT = 1, simulatsiooni aeg / 15

5 LOENDUS = 0 {Kirjade arv kokku} MUUT = KAS_KIRI-KAS_KULL {Vahe} VISE = RANDOM(0,1) KAS_KIRI = IF VISE < 0.5 THEN 1 ELSE 0 KAS_KULL = IF VISE > 0.5 THEN 1 ELSE 0 Ülesanne 1. Koostada kulli ja kirja viskamise mudel, kus kull ja kiri on eraldi põhimuutujad kumb visati, oleneb juhusliku suuruse väärtusest Leida kui suur on kirjade ja kullide osakaal kõigi visete tulemuste hulgast. Teha graafik ja tabel 8. Positiivse ja negatiivse tagasimõju mudelid Tagasimõju protsess: süsteemi ühe komponendi muutus kutsub esile süsteemi teise komponendi muutuse, mis omakorda muudab esialgset komponenti. Jaotatakse: Negatiivne tagasimõju - süsteemi ühe komponendi muutus kutsub esile süsteemi teise (teiste) komponendi muutuse, mis omakorda neutraliseerib esimese komponendi muutuse. Negatiivne tagasimõju on hea, viib süsteemi tasakaalu. Positiivne tagasimõju - süsteemi ühe komponendi muutus kutsub esile süsteemi teise (teiste) komponendi muutuse, mis omakorda võimendab esialgset komponendi muutust. Positiivne tagasimõju on halb, see viib süsteemi tasakaalust välja. Tavaliselt omab süsteem mõlemat tüüpi tagasimõjusid. Koostame mudelid, kus vastavalt juhusliku suuruse väärtustele lisatakse erinevate reeglite järgi anumasse palle. Eesmärk on koostada ja mõista seaduspära, millal ilmneb positiivne ja millal negatiivne tagasimõju. Mudelid teeme kahe eri värvi palliga (neg tagasimõju korral tõenäosused ½ ja ½). 3. Positiivse tagasimõju mudel: JS = RANDOM(0,1) ROHELISED = 1 LISA_ROH = IF JS<ROH_OSA THEN 1 ELSE 0 KOLLASED = 1 LISA_KOLL = 1-LISA_ROH KOKKU = KOLLASED+ROHELISED KOLL_OSA = KOLLASED/KOKKU ROH_OSA = ROHELISED/KOKKU Üks värv hakkab domineerima 5 / 15

6 Mudeli tundlikkuse uurimine muutes parameetrite väärtusi Run, Sensi Spects ROHELISED, KOLLASED 20 Runs Võrreldavad väärtused: 1 kuni 1 Graph Run, S-Run Igal käivitusel samadel algandmetel tulemused Erinevad. Väärtused 10 mõlemale 4. Negatiivse tagasimõju mudelis lisatakse vastavat värvi pall juurde, kui tema osakaal on väiksem juhusliku suuruse väärtusest. LISA_ROH = IF JS > ROH_OSA THEN 1 ELSE 0 9. Määratud integraal, tuletised ja viivitused 9.1 Määratud integraal Stella INTEGREERIB diferentsiaalvõrrandeid. Integraali leidmine aja järgi tähendab et põhimuutuja kasvab koos ajaga. Juhtimine, mis muudab põhimuutujat, on ajafunktsioon. Rajad paneme paika Run Specs simulatsiooniajaga. 5. MÄÄRATUD INTEGRAALI LEIDMISE MUDEL INTEGRAAL = 0 FUNKTSIOON = COS(T) T = TIME Rajad 0 ja 1.57 DT=0.01 meetod RK2 6 / 15

7 Ülesanne 2. Leida järgmise määratud integraali arvuline väärtus t dt 9.2 Tuletise leidmine Kasutame Stella funktsiooni DERIVN(<SISEND>,< JÄRK>) Funktsioon DERIVN arvutab n-järku (JÄRK) tuletise aja järgi antud funktsioonist (SISEND). SISEND võib olla konstant ja muutuja, JÄRK peab olema positiivne täisarv dx/dt = (x(t) - x(t-dt))/dt t on simulatsiooni jooksev aeg, samm on DT Näited: DERIVN(1,0) =1 (0-järku tuletis) DERIVN(1,1) = 0 (1.-järku tuletis) DERIVN(SINWAVE(1,1),3) 3. järku tuletis siinuslainest perioodiga 1 ja amplituudiga 1. Tuletise leidmise teine võimalus on lahutada funktsiooni väärtus antud ajahetkel, väärtusest eelmisel ajahetkel ja see jagada DT-ga DELAY(<SISEND>,<KESTVUS>[,<ALGVÄÄRTUS>]) Funktsioon DELAY tagastab funktsiooni SISEND eelmised väärtused KESTVUSE ajahetkedel ja ALGVÄÄRTUSE viivituse algusajaks. Kui algväärtust ei sisestata, võetakse SISEND funktsiooni väärtus algväärtuseks. Muutujana antud KESTVUS fikseerib selle muutuja väärtuse viivituse kestvuse ajaks DT. DT on ajasamm mudeli arvutuste tegemiseks. DT väärtused antakse menüü Run osas Run Specs. Tema väärtust saab kasutada DELAY funktsioonis kestvuse määramiseks Näide: Viivitus = DELAY(INTEGRAAL,DT) Annab viivituse väärtuseks integraali väärtuse ajahetkel DT (eelmisel sammul) Tuletist kasutame optimiseerimisülesannete lahendamisel, et leida maksimumi või miinimumi antud funktsioonile. Ekstreemumi tingimus on tuletise võrdumine 0-ga. Näiteks firma kasumi maksimiseerimine 6.Tuletise leidmise mudel viivitusega Avaldame integraali funktsiooni avaldisest tuletise funktsooni DELAY kaudu ja tuletist DERIVN kasutades. Leiame ka arvutusvea INTEGRAAL = 0 FUNKTSIOON = T^2 FUNKTSIOON_DERIVN = DERIVN(INTEGRAAL,1) T = time VIIVITUS = DELAY(INTEGRAAL,DT) TULETIS_INTEGRAALI_KAUDU=(INTEGRAAL-VIIVITUS) /DT VIGA = IF TIME>0 THEN (TULETIS_INTEGRAALI_KAUDU-FUNKTSIOON)/FUNKTSIOON ELSE 0 Run Specs DT = / 15

8 10. Rööv- ja saaklooma mudelid 10.1 Kaht populatsiooni sisaldav mudel Röövlooma populatsioon ja saaklooma populatsioon. Olgu saaklooma surma ainsaks põhjuseks ärasöömine röövlooma poolt. Tarbimine = MIN(saakloomade arv; kiskjate arv tarbimine), see on ka ühtlasi saakloomade suremus ja suregu kõik kiskjad, kes oma toidunormi (tarbimise määr) kätte ei saa. KISKJAD = 900 {loomi} K_SYNNID = K_SYNDIVUS*(KISKJAD-K_SURMAD) {loomi ajaühikus} K_SURMAD = 0.1*KISKJAD+ 0.9*(KISKJAD-TARBIMINE/TARBIMISMÄÄR) {normaalne suremus+ alatarbinud kiskjad} SAAKLOOMAD = 9000 {loomi} S_SYNNID = (SAAKLOOMAD-S_SURMAD)*S_SYNDIVUS*(1- SAAKLOOMAD/MAX_SAAKLOOMADE_ARV) {loomi ajaühikus} S_SURMAD = TARBIMINE {loomi ajaühikus} K_SYNDIVUS = 0.2 MAX_SAAKLOOMADE_ARV = {loomi} S_SYNDIVUS = 2 TARBIMINE = MIN(SAAKLOOMAD,TARBIMISMÄÄR*KISKJAD) {loomi ajaühikus} TARBIMISMÄÄR = 1 {saakloomi ajaühikus kiskjate kohta} 11. Füüsika mudelid 11.1 Raske keha langemine raskusjõu mõjul Vaatame liikumist ühe telje sihis (vertikaalsihis), esialgu jätame õhutakistuse arvestamata. Kiirendus muudab otseselt kiirust. Hetke kiirendus ajasamm = kiiruse muut antud aja jooksul. Analoogiliselt kiirus muudab asukoha koordinaati. Hetke kiirus ajasamm = koordinaadi muut. Jagades neid võrrandeid ajasammu ehk aja muuduga saame v(t) lim t 0 x t ja a(t) lim t 0 v t. Siit saame võrrandid x v ja v a. Ehk kiirus on koordinaadi tuletis aja järgi ja kiirendus võrdub kiiruse tuletisega aja järgi. t v(t) v 0 adt Lihtsamal juhul, kui kiirendus on konstantne v(t) = v 0 + at. Siit integreerides x(t) = x at + v0t / 15

9 7. Keha allaviskamise mudel mingilt kõrguselt KÕRGUS = 20 Vy = VERTIKAALKIIRUS VERTIKAALKIIRUS = 15 KIIRENDUS = -9.8 { raskuskiirendus } KAS_MAAS = IF KÕRGUS<=0 THEN PAUSE ELSE 0 Lubada ka neg väärtusi kõrgusel ja vert.kiirusel (vaja NON_NEGATIVE märkeruut märkimata jätta) Takistusjõu lisamine kiirendusele : -g-takistustegur*vy/mass Funktsioon PAUSE Mudeli käivitamise Run menüüst järel antud funktsiooni kasutamisel töö peatatakse ja minnakse Run - Pause olekusse. Edasise mudeli käivitamise jaoks vaja valida Run Resume Kasutatakse koos IF tingimusega, mis annab tingimuse mudeli töö peatamiseks. 12. Diferentsiaalvõrrandite ja DV süsteemide lahendamine 12.1 Mittelineaarsed mudelid ja kaos Mõiste kaos pärineb Vana-Kreeka mütoloogiast, kus tähendas tühjust enne maailma loomist. Meil on kaos määramatuse (korralageduse) sünonüüm. Ühest teaduslikku definitsiooni kaosel ei olegi. Ü. Lepiku ja J. Engelbrecht "Kaoseraamat" annab vastuseks: "Ebaregulaarne liikumine, mis on tingitud süsteemi mittelineaarsest iseloomust. Kaootilise liikumise korral ei taga igakülgne determineeritus mudelis ennustatavust lahendis." Kaos ökoloogias Verhulsti mudel Lihtsaim mudel populatsiooni arvukuse kirjeldamiseks on antud juba a Verhulst'i poolt xn +1 = r xn(1- xn ) Seda valemit nimetatakse ka logistiliseks võrrandiks. Siin x n on arvukus hetkel T ja x n+ 1 arvukus hetkel T+DT. Kasutatakse taandatud populatsiooni, jagatakse maksimaalse populatsiooniga, ehk x on nn dimensioonita suurus (antud juhul dimensioonita populatsioon) lõigus 0-st 1-ni. Meetodiks Euleri meetod, samm DT = 1. Simulatsiooni pikkus algul 50 või 100. Andes ette x 0 ja r saame arvutada populatsiooni igal järgneval ajahetkel. Kui r on küllalt väike sureb populatsioon välja (ehk koondub 0). Kui r on pisut suurem, aga < 3, siis toimub koondumine nullist erineva populatsiooni arvu juures. Kui aga 3 < r < 3.45, siis toimub võnkumine kahe tasakaalupunkti vahel punktis r = 3 toimus bifurkatsioon. Väärtuse r = 3.45 juures toimub järgmine bifurkatsioon, periood pikeneb jälle 2 korda ja nüüd toimub võnkumine 4 väärtuse vahel. Järgnevad bifurkatsioonid toimuvad r 3 = 3.54 ja r 4 = 3.56, r > 3.57 korral muutub protsess kaootiliseks. 9 / 15

10 POP = 0.1 MUUT = (R-1)*POP-R*POP^2 R = 3.55 Muudame R väärtusi R<1, R<3, R=3, R=3.45, R=3.54, R=3.56, R>3.57 Lorenzi kaose mudel Kaose isaks peetakse Edward Lorenz it. Tegeles konvektsiooni uurimisega, katses soojendati õhukest vedelikukihti altpoolt. Kindla temperatuuri juures algas vedeliku konvektiivne liikumine ja tekkisid keerised. Diferentsiaalvõrrandite süsteem on komplitseeritud. Lorenz lihtsustas DVS, et saada numbrilisi tulemusi. P B R ,22, 28, 34,40 X = 1 X_DOT = P*(Y-X) Y = 1 Y_DOT = (R-Z)*X-Y Z = 0 Z_DOT = X*Y - B*Z 13. Jõe reostuse mudel Ühes kindlas kohas satub jõkke saasteainete hulk. Uurime reostuse kontsentratsiooni ajas ja erinevates ruumipunktides (jõeosades) üheaegselt Jõgi on jaotatud 6 erinevaks osaks: Põhimuutujad ONE, TWO, THREE, FOUR, FIVE, SIX kirjeldavad reostust igas jõe lõigus, algväärtused kõigil 0 10 / 15

11 Juhtimine F0 = PULSE(100, DT, 1000) Juhtimised F1 F6: F1=ONE/T1 jne Kontsentratsioon = saasteainete hulk /vee hulk vastaval lõigul CONC1 = ONE/ V1 jne Veehulgad igal lõigul määratakse vooluseadusega Q1=1 (m3/min) lõigul ONE, TWO, ülejäänutel Q2 = 1.6 m3/min Vee asumise aeg antud lõigus Ti =RUUMALAi /Qi 14. Keemia mudeleid matemaatilises modelleerimises 14.1 Lämmastikdioksiidi jagunemine lämmastikoksiidiks ja hapnikuks Atmosfäär koosneb erievatest kihtidest mis erinevad keemilise koostise, temperatuuri ja rõhu poolest. Troposfääri, kõige sisemise kihi 99% ruumalast moodustab puhas kuiv õhk jagunedes kahe gaasi vahel: 78% lämmastikku ja 21% hapnikku. Järelejäävast õhust moodustab vähem kui 1% argoon ja umbes 0.035% süsinikdioksiid. Seal on ka veeauru, mille hulk moodustab alates 0.01% ruumalast polaaralade kohal kuni 5% niiske troopika kohal. Stratosfäär on teine atmosfääri kiht, mis ulatub km kauguseni maapinnast. See koosneb gaasilise osooni (O 3 ) väikestest kogustest, mis filtreerib umbes 99% sissetulevast kahjulikust ultraviolettkiirgusest. Osooni poolt päikesekiirguse filtreerimine stratosfääris kaitseb meid päikesepõletuste, nahavähi, silmavähi ja silmakae eest. Päikesevalgus aitab kaasa fotokeemilise sudu tekkimisele, vallandades NO 2 jagunemise. Lihtsustalt toimub see järgmiselt: päikesevalgus põhjustab lämmastikdioksiidi NO 2 jagunemist lämmastikoksiidiks NO ja üheaatomiliseks hapnikuks O. See aatom ühinedes hapnikuaatomiga O 2 saab kuju O 3. NO 2 =NO+O; O+O 2 = O 3 Selle keemilise reaktsiooni Stella mudel sisaldab algkogust NO 2, mis kahaneb reaktsiooni tulemusel, mille kiirus sõltub NO 2 kontsentratsioonist ja etteantud kiiruse konstandist. Lisame põhimuutujateks veel O 2 ja NO sama kiirusekonstandiga, mis sõltuvad konkreetsete ühendite summast, mis on saadaval 11 / 15

12 põhimuutujas NO 2. Teine keemiline protsess, mis on seotud esimesega, sisaldab osooni tekkimist üheaatomilisest hapnikust, mis saadakse NO 2 lagunemise tulemusena ja O 2 ühinemisel troposfääris. Koostame mudeli selle reaktsiooni esimesest osast: NO 2 = NO + O. See ülesanne annab keemilise kineetika põhiidee, mida nim massitoimeseaduseks. See on empiiriline reegel, mis ütleb, et reaktsiooni kiirus on võrdeline esialgsete ainehulkade kontsentratsiooniga. Kahe erineva kontsentratsiooniga R 1 ja R 2 reageeriva aine korral saame tulemuseks kontsentratsiooni P, mis massitoimeseaduse kohaselt on P k R1 R2, kus k on reaktsiooni kiiruse konstant. Me kasutame seda seadust lihtsustatud kujul. Mudelis kasutame hüpoteetilisi andmeid. Proovime erinevaid reaktsioonikiiruse konstandi väärtuseid. Antud mudelis hüpoteetilise reaktsiooni kiiruse konstandiga ei saa me kindlat tulemust tegelikule lämmastikdioksiidi lagunemisele troposfääris. Tuleks leida reaalsed andmed keemia või keskkonnakeemia õpikutest, mis võimaldaks paremini määrata kiirust NO 2 lagunemiseks päikesekiirguse toimel. Seejärel tuleks arvestada ka hooajalist muutumist, arvestades suvekuudel, kui päikesekiirgus on suurem, ka aine suuremat lagunemist. NO2_KONTS = 2 {moole kuupmeetri kohta} VÄHENDAN_NO2_KONTS = REAKTSIOONI_KIIRUS {moole kuupmeeter sekundi kohta} KIIRUSE_KONST =0.1 {1/sekund} REAKTSIOONI_KIIRUS = KIIRUSE_KONST*NO2_KONTS O_KONTS = 0 {moole kuupmeetri kohta } SUURENEMINE_O_KONTS = O_HULK_NO2_KOHTA*REAKTSIOONI_KIIRUS {moole kuupmeeter sekundi kohta } O_HULK_NO2_KOHTA = 1 {mitu mooli O tekib ühest moolist NO2; reaktsiooni omadus } NO_KONTS = 0 {moole kuupmeetri kohta } SUURENDAN NO_KONTS = REAKTSIOONI_KIIRUS*NO_HULK_NO2_KOHTA {moole kuupmeeter sekundi kohta } NO_HULK_NO2_KOHTA = 1 {mitu mooli NO tekib ühest moolist NO2 } Run Specs Time = DT = 1, Euler 8.2. Stratosfääris oleva osooni kahanemine Statosfääris olev osoon kaitseb elu Maal kahjuliku UV-kiirguse eest. Kui osoonitase langeb ainult 10%, selle tulemusena on päikesekiirgus 20% tugevam. Statosfääri osooni kahanemine on algselt põhjustatud klorofluorosüsiniku (CFCl) kuhjumisest ja vähesel määral lämmastikoksiidide (NO) tõttu. Selliste reaktsioonide tulemus on osooni lagunemine stratosfääris. Tulemuseks on ahelreaktsioon, mis vähendab osooni. 12 / 15

13 Samm Reaktsioon Tulemus A O + O 2 O 3 B CFCl 3 CFCl 2 + Cl C Cl + O 3 ClO + O 2 D ClO + O Cl + O 2 See protsess on katalüütiline, kuna kloor, mis reageerib sammul C, ei kao reakstsiooni tulemusena, vaid tekib uuesti sammus D, nii saab protsessi korrata lõpmatult. Need ained jäävad atmosfääri, kuni nad lõplikult hävivad, tavaliselt läheb selleks aasta või kaks, selle aja jooksul kloori aatom hävitab umbes osooni molekuli. Mudel kirjeldab osooni vähenemise katalüütilist protsessi CFC mõjul. Reaktsioonikonstantidele on antud oletatavad väärtused, mida saab mudeli tundlikkuse analüüsis muuta. Mudelisse võib integreerida ka vaba hapniku aatomi koos sammuga A. Tüüpiliselt on samm A aeglasem ülejäänutest. Tuleks leida selline reaktsiooni kiiruse konstant, mis väldiks osooni kahanemist antud mudelis. Samuti ei vaadelda mudelis CFCl 2 eraldi muutujana, kuna see ei osale reaktsioonides, mis huvitavad meid antud mudelis. Mudeli puuduseks on reaktsioonide jätkumine kuni kogu osoon on kadunud. Mudeli realistlikumaks muutmiseks on vaja lisada eemaldamisprotsess. Run Specs Time DT=1 Euler CFCL3_KONTS = 2 {moole kuupmeetri kohta} VÄHENEV_CFCL3 = REAKTS_KIIRUS1 {moole kuupmeetris ajaühiku kohta; I järku reakts} REAKTS_KIIRUS1 = KIIRUSE_KONST_1*CFCL3_KONTS {1/Time * moole/kuupmeetris} KIIRUSE_KONST_1 = 0.01 {1/Time CL_KONTS = 0 {moole kuupmeetri kohta} SUURENEV CL SAMM_C = REAKTS_KIIRUS1*CL_HULK_CFCL3_KOHTA { moole kuupmeetris ajaühiku kohta } SUURENEV_CL SAMM_B = CL_HULK_CLO_KOHTA*VÄHENEV_CLO VÄHENEV_CL = REAKTS_KIIRUS_2 CL_HULK_CFCL3_KOHTA = 1 {toodetud NO moolides lagundatud NO2 moolide kohta} CL_HULK_CLO_KOHTA = 1 13 / 15

14 KIIRUSE_KONST_2 = 0.1 REAKTS_KIIRUS_2 = KIIRUSE_KONST_2*CL_KONTS {1/Time*moole/kuupmeetris } CLO_KONTS = 0 SUURENEV_CLO = REAKTS_KIIRUS_2 VÄHENEV_CLO = REAKTS_KIIRUS_3 KIIRUSE_KONST_3 = 0.05 REAKTS_KIIRUS_3 = KIIRUSE_KONST_3*CLO_KONTS {1/Time*moole/kuupmeetris} O3_KONTS = 100 VÄHENEV_O3 = O_HULK_O3_JAG_CLO_KOHTA*REAKTS_KIIRUS_2 O_HULK_O3_JAG_CLO_KOHTA = 1 9. Chance-Clelandi mudel ensüümi substraadi koostoime jaoks Modelleerime keemilise reaktsiooni ensüümiga E, mis käitub katalüsaatorina. E konstsentratsioon on põhimuutujaks, mis aegajalt on hõivatud vahepealse aine C tootmisega. Lõpuks ensüüm vabaneb muutumatus vormis, kui aine P, mis on saadud ainest C. Teine aine, mis on protsessis aktiivne, on substrant S, mis muudetakse aineks P. Olgu S dekstroos ja P fruktoos, siis ensüüm E lukustub mehaaniliselt substraadi molekuli, murrab ennast uude molekuli, fruktoosi, ning vabaneb jälle peale keemilist reaktsiooni (Spain 1982). Lihtsustades tähistame reaktsiooni kiiruse konstandid K1, K2 ja K3. Reaktsiooni põhivõrrand on järgmine: E + S K1 K2 C K3 E + P See on mudel, kus vaadeldakse kõiki aineid, mis osalevad keemilises reaktsioonis kui aine kontsentratsioone. Põhioletus selles mudelis on see, et kontsentratsioonide korrutis on võrdeline reaktsiooni kiirusega, vastavalt massitoimeseadusele. DVS mis kirjeldab reaktsiooni kiirust, ehk juhtimisi, on järgnev: ds K1 S E K2 C dt dc K1 S E (K2 K3) C dt de dc dt dt dp K3 C dt Mudelis lahendatakse DVS, kirjeldades 4 põhimuutujat, mis muutuvad vastavalt keemiliste võrranditele. 14 / 15

15 E_KONTS = 10 {moole m 3 kohta} E_KIIRUS=K1*S_KONTS*E_KONTS-(K2+K3)*C_KONTS {moole m 3 kohta ajaühikus } K1 = {1/ajaühik} K2 = {1/ ajaühik } K3 = 0.1 {1/ ajaühik } C_KONTS = 0 {moole kuupmeetri kohta} C_KIIRUS = K1*S_KONTS*E_KONTS-(K2+K3)*C_KONTS {moole kuupmeetri kohta ajaühikus } P_KONTS = 0 {moole kuupmeetri kohta} P_KIIRUS = K3*C_KONTS {Michaelis-Menten i ensüümi mudel; moole kuupmeetri kohta ajaühikus} S_KONTS = 100 {moole kuupmeetri kohta} S_KIIRUS = K1*S_KONTS*E_KONTS-K2*C_KONTS {moole kuupmeetri kohta ajaühikus} 15 / 15