D I G I T A A L I N E N K U VA N K Ä S I T T E L Y, O S A I I. origo x

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "D I G I T A A L I N E N K U VA N K Ä S I T T E L Y, O S A I I. origo x"

Transkriptio

1 D I G I T A A L I N E N K U VA N K Ä S I T T E L Y, O S A I I origo f ( x, y ) x y

2 4 1 Segmentointi Epäjatkuvuuskohtiin perustuva segmentointi Pisteentunnistus (point etection) Viivantunnistus Reunantunnistus Graienttioperaattorit Reunan linkitys ja ääriviivantunnistus Kynnystäminen Alueen segmentointi Alueenkasvatus (Region Growing) "Split an merge"-tekniikka Kuvan esitys- ja mittaustavoista Esitystavat Ketjukooit Polygoniapproksimaatio Mittaustavat Reunaviivan mitat Alueen mitat Topologiset mitat Tekstuuri Morfologia Dilaatio ja eroosio Avaaminen ja sulkeminen Luurankomalli (skeletonization) Kuva-analyysi...6

3 43 1 SEGMENTOINTI Kuva-analyysin ensimmäinen vaihe on kuvan segmentointi. Segmentoinnin avulla kuva jaetaan osiin tai objekteihin. Esimerkiksi vakoilusatelliitin kuvasta halutaan tunnistaa vihollisen ajoneuvot tai aivojen magneettikuvasta syöpäkasvain. Harmaasävykuvien segmentointialgoritmit voiaan jakaa kahteen luokkaan: Discontinuity etection, epäjatkuvuuskohtien havaitseminen. Havaitaan yhtäkkiset muutokset harmaasävyarvoissa eli pyritään löytämään kuvasta yksittäiset pisteet, viivat ja reunat. Similarity etection, samankaltaisuuen havaitseminen. Tunnistetaan kuvasta yhtenäisiä harmaasävyalueita. 1.1 EPÄJATKUVUUSKOHTIIN PERUSTUVA SEGMENTOINTI Tavallisin keino epäjatkuvuuskohtien löytämiseen on ajaa kuvan yli sopiva maski. Oheisen kuvan 3x3-maskille tämä operaatio tapahtuu, kuten eellisissä luvuissa on jo monesti tullut esille, kertomalla pikselin harmaasävyarvo z i maskin kertoimella w i. R=w 1 z 1 +w z + +w 9 z PISTEENTUNNISTUS (POINT DETECTION) Käytetään oheista maskia. Kuvan piste on eristetty, jos on voimassa R >T, missä T on ei-negatiivinen harmaasävyn kynnysarvo. Tämä määritelmä kaikessa yksinkertaisuuessaan siis sanoo, että eristetyn pisteen intensiteetti poikkeaa merkittävästi ympäristöstään (taustasta). Maski on muooltaan w1 w w3 w4 w5 w6 w7 w8 w9

4 44 täsmälleen sama, mitä tarkasteltiin kuvatasossa tapahtuvan ylipäästösuoattimen yhteyessä. Tässä sitä kuitenkin käytetään pisteentunnistukseen VIIVANTUNNISTUS Tarkastellaan seuraavan kuvan mukaisia maskeja. Jos ensimmäistä maskia siirretään kuvan yli, se varmaankin vahvistaa rakenteita (=viivoja!), jotka kuvassa kulkevat horisontaalisuuntaan. Tämä johtuu siitä, että sen keskimmäisellä rivillä on kakkosia ja muilla riveillä on arvona -1. Vastaavasti muut maskit vahvistavat eri suuntiin kuvassa olevia viivoja Vaaka 45 Pysty -45 Olkoot R 1, R, R 3 ja R 4 ylläolevien maskioperaatioien tulokset. Oletetaan että kaikki maskit ajetaan kuvan yli. Jos jossain kuvan pisteessä R i > R j kaikilla i j, kyseisen piste toennäköisesti kuuluu maskin i suuntaiselle viivalle. Esimerkki: Jos jossain pisteessä R 1 > R j, j=,3,4, kyseinen piste toennäköisesti kuuluu vaakasuoralle viivalle REUNANTUNNISTUS Reuna määritellään tässä yhteyessä kahen eri harmaasävyominaisuuet omaavan alueen väliseksi rajapinnaksi. Tässä oletetaan, että alueet ovat niin homogeenisiä, että ne voiaan tunnistaa pelkästään harmaasävyjen perusteella. Reunantunnistusalgoritmit perustuvat erivaatan laskentaan. Yleisesti ensimmäinen erivaatta on positiivinen, kun kuvassa siirrytään tummemmalta alueelta vaalealle ja päinvastoin. Jos alue on tasavärinen, on erivaatta nolla. Jos siis ensimmäisen erivaatan arvo on nollasta eriävä, voiaan päätellä, että kyseisessä kohassa kuvaa on reuna. Toisen erivaatan (ensimmäisen erivaatan erivaatta) merkki puolestaan kertoo, kummalla puolella reunaa reunapikseli sijaitsee. Jos toinen erivaatta on positiivinen, pikseli sijaitsee tummemmalla puolella reunaa. Jos se on

5 45 positiivinen, pikseli sijaitsee vaaleammalla puolella reunaa. Toisen erivaatan nollakohat antavat reunan tarkan paikan GRADIENTTIOPERAATTORIT Ensimmäisen erivaatan laskentaa käsiteltiin jo eellisissä luvuissa, joten siihen ei enää tässä yhteyessä puututa. Riittänee toeta, että vektorianalyysissä graienttivektori osoittaa suurimman muutoksen suuntaan tietyssä pisteessä f(x,y). Jos G x ja G y ovat funktion osittaiserivaatat x:n ja y:n suhteen, voiaan graientti laskea likiarvona kaavasta f G x + G y Graientin suunta α(x,y) saaaan puolestaan tutulla kaavalla G y α( x, y) = arctan Gx Toinen erivaatta määritellään ns. Laplacen operaattorin avulla: f f = x Se voiaan toteuttaa 3x3-maskille kaavalla f + y f = 4z5 ( z + z4 + z6 + z8 ) Jätetään harjoitustehtäväksi muoostaa tästä itse maski. Laplacen operaattoria ei käytännössä juurikaan käytetä reunantunnistukseen monestakin syystä. Se on ensinnäkin aivan liian herkkä kohinalle. Lisäksi se antaa tuloksenaan kaksi reunaa, eikä pysty näyttämään reunan suuntaa. Sitä sen sijaan käytetään reunan paikannukseen, jolloin hyöynnetään sitä ominaisuutta, että toinen erivaatta vaihtaa merkkinsä reunan kohalla. Tämä tapahtuu siten, että Laplacen operaattori konvoloiaan Gaussin jakauman h( x, y) x + y exp σ =

6 46 kanssa, missä σ on keskihajonta. Merkitään r =x +y, jolloin erivoimalla h kahesti r:n suhteen saaaan Gaussin jakauman Laplacen operaattori: h r σ h = 4 σ r exp σ r σ σ Oikealla on esitetty sen poikkileikkauksen kuvaaja. Periaatteessa se on hyvin tasaisesti muuttuva funktio, tosin tässä käsivaralla piirrettynä ei kovin kaunis Huomaa erityisesti nollakohat, jotka ovat keskihajonnan päässä origosta. Kuvaaja on pyörähyssymmetrinen pystyakselin ympäri, joten jos se piirretään kolmiulotteisena, se muistuttaa muooltaan sombreroa, arriba! Kuvan konvolointi tällä operaattorilla tasoittaa (alipäästösuoattaa) sitä. Suoatuksen määrä riippuu σ:sta. Reunantunnistus graienttioperaattoreilla toimii hyvin, jos kuvassa on teräviä siirtymiä harmaasävyjen välillä ja suhteellisen vähän kohinaa. Nollakohtien avulla tapahtuva reunantunnistus on vaihtoehtoinen menetelmä, jota kannattaa käyttää silloin kun reunat ovat sumeita ja kohinan osuus on suuri, koska eellä mainittu Laplacen operaattorin suoatusominaisuus vähentää kohinaa. 1. REUNAN LINKITYS JA ÄÄRIVIIVANTUNNISTUS Seuraavaksi kuvataan menetelmiä, joien avulla reunapikselit kootaan yhtenäiseksi ääriviivaksi. Yksinkertaisin tapa linkittää reunapikselit yhteen on tutkia pikselin lähiympäristöä, esim. 3x3- ympäristöä. Tämä tehään kuvalle, johon on jo tehty reunantunnistus. Käytännössä tutkitaan kahta ominaisuutta: Graientin f voimakkuutta kyseisessä pisteessä. Pisteen (x,y) ympäristössä olevan reunapisteen (x',y') graientin voimakkuus on sama pisteen (x,y) graientin voimakkuuen kanssa, jos f ( x, y) f ( x', y' ) T missä T on ei-negatiivinen erikseen sovittu kynnysarvo.

7 47 Graientin suuntaa. Pisteen (x,y) ympäristössä olevan reunapisteen (x',y') graientin suunta on sama pisteen (x,y) graientin suunnan kanssa, jos α( x, y) α( x', y' ) A missä A on kulman kynnysarvo raiaaneina. Huomaa, että käytännössä reunan suunta on kohtisuorassa graientin suuntaa vastaan. Sillä ei kuitenkaan ole merkitystä jos tarkastellaan kulmien erotusta. Pikselit (x,y) ja (x',y') linkitetään toisiinsa jos molemmat eellä mainitut ehot ovat yhtä aikaa voimassa. Operaatio toistetaan kaikille kuvan pikseleille. Kun tämä implementoiaan tietokoneohjelmalla, on piettävä kirjaa linkitetyistä pikseleistä. Yksinkertainen tapa on asettaa kullekin keskenään linkitetylle pikselijoukolle oma harmaasävynsä. 1.3 KYNNYSTÄMINEN Oletetaan, että oheisen kuvan esittämä harmaasävyhistogrammi on laskettu kuvasta f(x,y), joka koostuu kirkkaista esineistä tummaa taustaa vasten. Silloin histogrammiin muoostuu kaksi erillistä intensiteettijakaumaa. Varmaankin esineeseen kuuluvat pikselit kuuluvat oikeanpuoleiseen jakaumaan, koska ne ovat kirkkaampia. Valitaan harmaasävyn kynnysarvo T siten, että pikselit, jotka ovat kynnysarvon yläpuolella kuuluvat esineeseen ja muut taustaan. T Vastaavasti, jos histogrammista voiaan tunnistaa useampia erillisiä jakaumia, voiaan ne luokitella erillisiksi objekteiksi. Yleisesti kynnystäminen voiaan formuloia seuraavasti: Kynnysarvo T on muotoa T=T[x,y,p(x,y),f(x,y)] oleva funktio, missä f(x,y) on pisteen (x,y) harmaasävy ja p(x,y) määrittää jonkin kyseisen pisteen ympäristön ominaisuuen, esimerkiksi 3x3-ympäristön keskimääräisen harmaasävyn. Kynnystetty kuva g(x,y) määritellään

8 48 1, g( x, y) = 0, jos jos f ( x, y) > T f ( x, y) T Pikselit, jotka saavat arvon 1 (tai jonkin muun sopivan intensiteettiarvon) kuuluvat esineeseen ja nollapikselit kuuluvat taustaan. Jos T riippuu ainoastaan funktiosta f(x,y), puhutaan globaalista kynnyksestä (global threshol). Tällainen oli mm. eellä esitetty esimerkki. Jos T riippuu sekä f(x,y):stä, että p(x,y):stä, kynnys on paikallinen (local threshol). Jos T riippuu lisäksi kuvan koorinaateista (x,y), kynnyksen sanotaan oleva ynaaminen. Jotta kynnystäminen onnistuisi, on histogrammista pystyttävä tunnistamaan eri esineien jakaumat luotettavasti. Tämä on erityisen tärkeää silloin, jos on käytössä automaattinen segmentointi ja jos kuvan ominaisuuet (ja siten histogrammin muoto) voivat muuttua paljonkin. Lienee intuitiivisestikin selvää, että kynnyksen valinta on helppoa, jos jakaumat ovat korkeita, kapeita, symmetrisiä ja kaukana toisistaan. Histogrammi ei ota mitenkään huomioon segmentoiun esineen kokoa. Ajatellaanpa tilannetta, jossa tummalla taustalla on pieni vaalea esine, joka halutaan erottaa. Histogrammia hallitsee tummasta taustasta tulevat pikselit. Esineen pikselit näkyvät pienenä "nökösenä" valtavan taustajakauman vieressä. Mutta, jos tarkastellaan ainoastaan esineen ja taustan reunaviivan läheisyyessä olevia pikseleitä, ovat histogrammin jakaumat samankorkuisia. Siten eellä kuvattuja reunantunnistusalgoritmeja kannattaa yleensä käyttää ennen histogrammianalyysiä. 1.4 ALUEEN SEGMENTOINTI ALUEENKASVATUS (REGION GROWING) Menetelmä ryhmittelee pikselit suuremmiksi yhtenäisiksi kokonaisuuksiksi. Yksinkertaisin tapa on valita kuvasta yksi siemenpiste (see point), josta lähetään hakemaan sellaisia ympäröiviä pisteitä, jotka täyttävät tietyt kriteerit, esimerkiksi harmaasävyn osalta. Esimerkki: Alueenkasvatus. Siemenpiste (7) on kehystetty vasemmanpuoleisessa matriisissa, jonka arvot ovat harmaasävyjä. Toisena vasemmalta olevassa matriisissa on laskettu siemenpisteen ja muien kuvan pisteien erotukset. Kolmannessa matriisin alkio on asetettu 1:ksi, jos erotuksen itseisarvo, eli kynnysarvo T < 3 ja viimeisessä, jos T < 8.

9 Ongelmana on, että segmentoinnin tulos riippuu sekä siemenpisteen että kynnysarvon valinnasta. Valinnassa voiaan käyttää apuna muuta tietoa itse kuvan esittämästä kohteesta. Esimerkiksi vakoilusatelliitin ottamasta lämpökamerakuvasta voiaan päätellä ihmisten ja ajoneuvojen olevan "kuumempia" kuin tausta. Pelkkä harmaasävytieto ei kuitenkaan yleensä riitä onnistuneeseen lopputulokseen. Lisätietona voiaan käyttää pikselien välisiä liittyvyyksiä 1.4. "SPLIT AND MERGE"-TEKNIIKKA Kuva jaetaan aluksi tiettyjen ehtojen mukaisesti toisiinsa liittymättömiin alueisiin, jonka jälkeen niitä jaetaan (split) ja yhistetään (merge), kunnes haluttujen ehtojen mukainen segmentointi on saatu aikaan.. Olkoon R koko neliönmuotoinen kuva ja P jokin ehto (esim. "harmaasävyn arvo tässä alueessa on se ja se"), jonka perusteella segmentointi suoritetaan. Jaetaan kuva neljään yhtä suureen kvaranttiin R i, kunnes ehto P(R i )=TOSI. Jos ehto P(R i )=EPÄTOSI, jaetaan kyseinen kvarantti uuelleen alikvarantteihin niin kauan, että ehto tulee toeksi. Jos algoritmissa sallittaisiin ainoastaan jakaminen, lopputuloksena olisi segmentoitu kuva, jossa olisi paljon vierekkäisiä keskenään ienttisiä segmenttejä. Siksi täytyy sallia vierekkäisten alueien yhistäminen toisiinsa siinä tapauksessa, että molemmat toteuttavat ehon P. Algoritmi voiaan siis kirjoittaa muoossa 1. Jos P(R i )=EPÄTOSI, jaa alue R i neljään alikvaranttiin;. Jos kahella vierekkäisellä alueella R j ja R k on voimassa P(R j U R k )=TOSI, yhistä alueet; 3. Lopeta kun ei ole enää mahollista jakaa tai yhistää. Tämä toteutus voiaan esittää puurakenteena (quatree), jossa jokaisella solmulla on täsmälleen neljä R TEKNIIKAN R 1 R YKSIKKÖ R 3 R4 R41 R R 4 43 R44

10 50 haaraa. Puun juurena on koko kuva ja jokainen solmu vastaa yhtä alikvaranttia. Esimerkiksi tässä tapauksessa ainoastaan kvarantti R4 on jaettu alikvarantteihin R41, R4, R43 ja R44. Muissa kvaranteissa ehto P, siis esimerkiksi harmaasävy, täytti ehon. R1 R R3 R41 R4 R43 R44 Ehto P voiaan määrittää esimerkiksi histogrammianalyysin avulla. KUVAN ESIT YS- JA MIT TAUSTAVOISTA Segmentoinnin jälkeen tuloksena saatu pikselijoukko täytyy esittää (representation) muoossa, joka on sopiva tietokoneen prosessoitavaksi. Alueen esittämiseksi on tehtävä kaksi valintaa: Esitetäänkö alueen reunaviiva vai Esitetäänkö alueen sisään jäävät alue? Esitystavan valinta on vain osa prosessoinnista. Tarvitaan myös keino mitata (escribe) alueesta erilaisia ominaisuuksia valitulla esitystavalla. Alue voiaan esimerkiksi esittää reunaviivana, jolloin mitattavia ominaisuuksia ovat mm. reunaviivan pituus, ääripisteitä yhistävän viivan orientaatio tai alueen sisällä olevien aukkojen lukumäärä. Reunaviiva kannattaa valita esitystavaksi, jos ollaan kiinnostuneita alueen muoosta. Sisään jäävät ominaisuuet kannattaa valita, jos kiinnostuksen kohe on alueen valaistusominaisuuet, väri, tai tekstuuri (eli kuviointi). Kummassakin tavassa kuvauksen kohteeksi valitun piirteen tulisi olla epäherkkä alueen koon, translaation ja rotaation suhteen..1 ESITYSTAVAT.1.1 KETJUKOODIT

11 51 Ketjukooi (chain coe) koostuu toisiinsa kytkeytyneistä viivasegmenteistä, joilla on määrätty suunta ja pituus. Niitä käytetään esittämään reunaviivaa. Tyypillisesti tämä perustuu joko segmenttien 4- tai 8-liittyvyyteen. Kunkin segmentin suunta kooataan oheisen kuvan mukaisilla numeroinneilla Digitaaliset kuvat tallennetaan yleensä hilaformaatissa, jossa peräkkäisten hilapisteien etäisyyet x- ja y-suunnissa ovat vakioita. Hilapisteet näytteistetään harvemmalla välillä kuin varsinaiset kuvapikselit, joten kahen hilapisteen väliin sattuu useita pikseleitä. Ketjukooia voiaan käyttää siten, että seurataan reunaviivaa myötäpäivään, ja jokainen hilapisteitä yhistävällä suoralla oleva reunaviivan pikseli approksimoiaan lähimpään hilapisteeseen. Kuhunkin hilapisteeseen tallennetaan tieto siitä, mihin suuntaan on eettävä, jotta päästään seuraavaan hilapisteeseen. Hilapisteestä toiseen voiaan eetä joko 4- tai 8-liittyvyyttä käyttäen. Seuraavassa esimerkissä saaaan esim. 4-liittyvyyelle ketjukooi Ketjukooi selvästikin riippuu aloituspisteen paikasta. Se voiaan normalisoia siten, että kooi käsitellään kehäsekvenssinä (ensimmäinen ja viimeinen kooi ovat peräkkäin) ja haetaan sellainen sekvenssi, joka antaa tulokseksi pienimmän luvun.

12 POLYGONIAPPROKSIMAATIO Polygoni on suomeksi "monikulmio". Se on siis yleinen geometrinen muoto, jonka erikoistapauksia ovat esimerkiksi kolmio ja neliö. Polygonissa on siis vähintään kolme toisiinsa tietyissä kulmissa liittynyttä sivua. Tässä yhteyessä käytetään monikulmion sijasta englanninkielistä termiä, koska se on vakiintunut myös suomen kielessä tämän alan terminologiaan. Digitaalinen rajapinta voiaan approksimoia rajattoman tarkasti polygonilla. Suljetulle käyrälle approksimointi on eksakti, kun polygonin segmenttien lukumäärä on yhtäsuuri kuin reunaviivan pisteien lukumäärä. Käytännössä tavoitteena on luoa polygoni siten, että rajapinnan oleellinen muoto saaaan esille pienimmällä mahollisella määrällä segmenttejä. Tämä ongelma ei ole yleisessä tapauksessa mitenkään helppo, vaan helposti pääytään aikavieviin iteratiivisiin hakuihin. On kuitenkin olemassa lukuisia approksimointitekniikoita, jotka ovat kohtuullisen yksinkertaisia. Ei mennä tässä kovin syvälle tähän teoriaan. Tarkastellaan kuitenkin oheista esimerkkiä, joka toivottavasti valaisee, mistä on kysymys. Tehtävänä on oheisen kuvan reunaviivaa vastaava minimipituinen polygoni. Piirretään reunaviivan ympärille neliömuotoisia soluja siten, että ne sulkevat reunaviivan sisäänsä oheisen kuvan mukaisesti. Voiaan ajatella, että reunaviiva on kuin löysä

13 53 kuminauha, joka on suljettuna solujen sisään (kuvassa vasemmalla). Kun kuminauhan pituutta lyhennetään, se ottaa oikealla näkyvän muoon. Tuloksena on siis alkuperäistä muotoa approksimoiva minimimittainen polygoni. Kohtuullisen helposti voiaan päätellä, että maksimivirhe, mikä tässä approksimoinnissa tehään, on, missä on pikselien välinen etäisyys (ei hilapisteien etäisyys!). Virhe voiaan puolittaa pakottamalla solut keskitetyiksi vastaaviin pikseleihin.. MITTAUSTAVAT..1 REUNAVIIVAN MITAT Reunaviivan pituus on yksinkertaisin muoon kuvaus. Karkeahko arvio saaaan laskemalla reunaviivaan kuuluvat pikselit. Ketjukooatulle käyrälle saaaan eksakti pituus laskemalla yhteen vaakaja pystysuorat komponentit sekä lisäämällä tulokseen iagonaalikomponentit kerrottuna :lla. Reunaviivan B läpimitta (iameter) määritellään kaavalla Diam ( b) = max[ D( p, p i, j i j )]

14 54 Toisin sanoen lasketaan pareittain kaikkien reunaviivaan kuuluvien pikselien väliset etäisyyet ja haetaan niistä maksimi. Näitä pisteitä yhistävää viivaa sanotaan reunaviivan pääakseliksi (major axis). Sen pituus ja suunta ovat myös hyöyllisiä ominaisuuksia, jotka kuvaavat segmentoitua aluetta. Pääakselia vastaan kohtisuora akseli on nimeltään sivuakseli (minor axis). Sen pituus valitaan siten, että koko reunaviiva jää pää- ja sivuakselien muoostaman suorakaiteen sisään. Pääakselin pituuen suhe sivuakselin pituuteen on eksentrisyys (eccentricity). Se kuvaa, onko alue "littana", sikarin mallinen vai lähes ympyrä. Kaarevuussäe (curvature) kuvaa käyrän suunnanmuutoksen "jyrkkyyttä". Suuri kaarevuussäe vastaa "loivaa mutkaa" ja pieni jyrkkää. Digitaaliselle kuvalle kaarevuussäteen laskeminen on jossain määrin hankalaa, koska tasaisia kaaria ei ole, vaan vierekkäiset pikselit muoostavat shakkilautamaisen kuvion. Jos kuitenkin reunaviiva on approksimoitu polygoneina, on suoraviivaista laskea peräkkäisten polygonin särmien väliset kulmat. Jos reunaviivaa kuljetaan myötäpäivään, särmiä yhistävän pisteen sanotaan kuuluvan kuperaan (convex) segmenttiin, jos särmien välinen kulma on ei-negatiivinen. Muussa tapauksessa pisteen sanotaan kuuluvan koveraan (concave) segmenttiin... ALUEEN MITAT Segmentoiun alueen pinta-ala on niien pikselien lukumäärä, jotka jäävät suljetun reunaviivan sisäpuolelle. Alueen ympärysmitta (perimeter) on sitä reunustavan reunaviivan pituus. Alueen kiinteys (compactness) määritellään ympärysmitan neliön suhteena pinta-alaan. Se on minimissään kiekonmuotoiselle alueelle. Muita yksinkertaisia mittoja ovat alueen harmaasävyjen keskiarvo, meiaani, minimi- ja maksimiarvot ja keskiarvon ylä- ja alapuolella olevien pikselien määrät.

15 55..3 TOPOLOGISET MITAT Topologia on tieteenala, joka tutkii kohteen ominaisuuksia, jotka säilyvät kohteen muoonmuutoksissa. Oheisessa kuvassa nähään alue, jossa on kaksi reikää. Jos topologisena mittana käytetään reikien lukumäärää, se varmaankin säilyy, jos aluetta venytetään tai kutistetaan (näistä käytetään termiä "rubber-sheet istortions"), siirretään paikasta toiseen tai pyöritetään. Toinen mittana hyöyllinen topologinen ominaisuus on liittyneien komponenttien lukumäärä. Ohessa on kolme liittynyttä komponenttia. Kuvassa olevien reikien lukumäärä H ja liittyneien komponenttien lukumäärä C määrittävät ns. Eulerin luvun E: E=H-C Oheisten alueien Eulerin luvut ovat 0 ja -1, koska "A":ssa on yksi liittynyt komponentti ja yksi reikä ja "B":ssä yksi liittynyt komponentti ja kaksi reikää. Alueille, jotka voiaan esittää suorista viivoista koostuvina segmentteinä (polygoniverkkona), saaaan erityisen yksinkertainen tulkinta Eulerin luvun avulla, kun sen sisäosat tulkitaan aukoiksi ja pinnoiksi. Silloin W-Q+F=C-H=E, missä W kärkipisteien, Q särmien ja F pintojen lukumäärä. Kärkipiste Esimerkki: Oheisen kuvan mukaisessa verkossa on 7 kärkipistettä, 11 särmää, pintaa, 1 liittynyt komponentti ja 3 aukkoa. Siten Pinta on tämän verkon Eulerin luku =1-3=- Särmä Aukko

16 56..4 TEKSTUURI Tekstuuri eli kuviointi kuvaa sitä, minkälaiselta kuva "näyttää", eli onko se tasainen, rakeinen, onko kuviointi satunnainen vai onko siinä jotain säännönmukaisuutta jne. Tekstuurin ominaisuuksien määrittämiseen on kolme keinoa, tilastollinen, rakenteellinen ja spektraalinen. Tilastollinen analyysi: Tutkitaan kuvan harmaasävyhistogrammin momentteja: Olkoon z satunnaismuuttuja, joka kuvaa kuvan intensiteettiä ja olkoon p(z i ), i=1,,, L kuvan histogrammi. Muuttujan z n:s momentti on µ ( z) = n L i= 1 ( z i m) n p( z ) i missä m on z:n keskiarvo (tässä siis kuvan keskimääräinen intensiteetti), m = L i= 1 z p( i z i ) Toeta, että µ 0 =1 ja µ 1 =0. Toinen momentti µ eli varianssi σ (z) on harmaasävykontrastin mitta, jota voiaan käyttää kuvaamaan kuvan tasaisuutta. Voiaan esimerkiksi määritellä mitta 1 R = 1 1+ σ ( z) joka saa arvon nolla, jos alueen intensiteetti on vakio ja lähestyy -> 1, kun suurille varianssin arvoille. Kolmas momentti µ 3 (skewness) kuvaa histogrammin "vinoutta". Esimerkiksi normaalijakaumalle se on nolla. Neljäs momentti µ 4 kuvaa histogrammin huipun suhteellista tasaisuutta (flatness). Korkeimmille momenteille ei ole yhtä yksinkertaista tulkintaa, mutta nekin toki kuvaavat kuvan tekstuuria. Tilastoanalyysiin perustuvan tekstuurianalyysin huono puoli on, että se ei kerro mitään kuvan rakenteesta eli siitä, ovatko pikselit jotenkin systemaattisesti järjestäytyneitä vaiko eivät.

17 57 Rakenteellisten menetelmien perusiea on, että yksinkertaisia tekstuuriprimitiivejä voiaan käyttää muoostamaan monimutkaisia tekstuureja. Tähän käytetään tiettyjä sääntöjä, jotka rajoittavat primitiivien mahollisia järjestyksiä. Spektraaliset menetelmät perustuvat kuvan taajuussisällön analysointiin. Kuvassa säännöllisesti toistuvat kuviot näkyvät piikkeinä kuvasta lasketussa D-Fourier-muunnoksessa. Muunnoksesta voiaan erottaa kolme periaatteellista ominaisuutta Piikkien tehospektrissä muoostamat "vuorijonot" antavat tekstuurien pääsuunnat kuvassa. Piikkien paikat taajuustasossa antavat tekstuurien paikkataajuuet, eli tekstuurin osien välimatkan käänteisarvon. Jos perioiset komponentit eliminoiaan, saaaan kuva, joka voiaan analysoia eelleen statistisilla menetelmillä..3 MORFOLOGIA Biologiassa morfologialla tarkoitetaan tieteenhaaraa, joka tutkii kasvien ja eläinten rakennetta. Kuvankäsittelyssä työkaluna on matemaattinen morfologia, jonka avulla kuvasta saaaan esille haluttu muoto. Matemaattisen morfologia pohjautuu joukko-oppiin. Joukot eustavat kuvassa olevien erilaisten esineien muotoja. Esimerkiksi mustavalkokuvassa mustien pikselien muoostama joukko on kuvan täyellinen kuvaus. Näissä binäärisissä kuvissa maholliset joukot ovat osajoukkoja kaksiulotteisesta (D) kokonaislukuavaruuesta Z. Jokainen joukon alkio on kaksiulotteinen vektori, jonka komponentit on valittu kuvaamaan mustien pikselien paikkoja (x,y)-koorinaatistossa kuvassa. Harmaasävykuvassa joukot ovat osajoukkoja kolmiulotteisesta (3D) kokonaislukuavaruuesta, jossa koorinaattien lisäksi vektorin kolmantena alkiona on kyseisessä kohtaa oleva harmaasävy. Korkeampiulotteiset avaruuet voivat sisältää tietoa muista kuva ominaisuuksista, esimerkiksi väristä, läpinäkyvyyestä tai ajasta riippuvista komponenteista. Tarkastellaan seuraavassa binäärisiä kuvia..3.1 DILAATIO JA EROOSIO Perusmääritelmät: Olkoot A ja B joukkoja Z :ssa. Olkoon lisäksi A:lla ja B:llä komponentit a=(a 1,a ) ja b=(b 1,b ). A:n translaatio x:n verran (A) x määritellään kaavalla

18 58 (A) x ={c c=a+x, kun a A} B:n heijastus määritellään kaavalla A x 1 x Bˆ = { x x = b, b B}. Joukon A komplementti A c on B (A) x Bˆ A c ={x x A}. Kahen joukon A ja B erotus A. määritellään puolestaan kaavalla c A A ( A B) B A A-B={x x A, x B}=A B c. Oheisessa kuvassa on esitetty nämä määritelmät graafisesti. Musta piste kuvaa kussakin tapauksessa joukon alkupisteen. Dilaatio: Olkoot A ja B joukkoja Z :ssa ja tyhjä joukko. A:n ilaatio B:llä määritellään kaavalla A B = { x ( Bˆ) x A Dilaatio on siis operaatio, jossa otetaan ensin B:stä heijastus ja sen jälkeen tätä heijastusta siirretään x:n verran. Joukkoa B sanotaan rakenne-elementiksi (structuring element). Eellä kuvattu operaatio muistuttaa kovasti konvoluutiota, ja se onkin itseasiassa täysin analoginen. Vaikka ilaatio perustuu joukkooperaatioille ja konvoluutio aritmeettisille operaatioille, perusajatus B:n kääntämisestä ja liikuttamisesta A:n "yli" on täysin sama. 4 A B ˆ = B A B 8 8

19 59 A 4 B ˆ = B 8 A B 8 Eroosio: Joukoille A ja B eroosio määritellään operaationa A Θ Β: {A Θ Β}={x (B) x A} Toisin sanoen A:n eroosio B:llä on joukko pisteitä x, jotka kuuluvat joukkoon A, kun B:tä siirretään x:n verran yli A:n. 4 AΘB A B ˆ = B Dilaation ja eroosion välille voiaan johtaa yhteys c ( AΘB) c = A Bˆ.3. AVAAMINEN JA SULKEMINEN Dilaatio laajentaa kuvaa ja eroosio supistaa sitä. Avaaminen (opening) on operaatio, joka tasoittaa kuvan reunaviivoja, katkaisee kapeita yhysviivoja ja eliminoi ohuita ulokkeita. Myös sulkeminen (closing) tasoittaa reunaa, mutta se toimii päinvastoin kuin avaaminen, eli yhistää kapeita rakoja ja umpeuttaa pieniä reikiä kuvassa. Joukon A avaaminen rakenne-elementillä B määritellään kaavalla A B = (A Θ Β) Β

20 60 mikä siis tarkoittaa operaatiota, jossa ensin suoritetaan eroosio ja sitten ilaatio. Sulkeminen on juuri päinvastainen operaatio, eli A C = (A Β) Θ Β, jossa siis ensin tehään ilaatio ja sitten eroosio. Avaamiselle ja sulkemiselle voiaan antaa varsin yksinkertainen geometrinen tulkinta. Ajatellaan rakenne-elementti biljaripalloksi, joka pyörii pitkin kappaleen reunaviivaa. Jos pallo pyörii kappaleen sisäpintaa, tuloksena saaaan avaaminen. Jos se pyörii B ulkopintaa, saaaan sulkeminen. Eellä esitetty varsin matemaattinen määritelmä ei ole A sinällään hirveän käyttökelpoinen kooinväännössä. Monesti kuitenkin riittää käyttää yksinkertaistettua Avaaminen Sulkeminen algoritmia. Jos kyseessä on binäärinen kuva, joka koostuu esineestä ja taustasta, ilaatio tarkoittaa sitä, että kaikki sellaiset taustan pikselit, jotka ovat yhteyessä esineeseen, muutetaan esineen pikseliksi. Eroosiossa vastaavasti kaikki sellaiset esineen pikselit, jotka ovat yhteyessä taustaan, muutetaan taustan pikseliksi. Alkuperäinen Eroosio Dilaatio Avaaminen=eroosio+ilaatio Sulkeminen=ilaatio+eroosio

21 61 Oheinen esimerkki ei ole paras mahollinen, mutta kertonee olennaisen. Avaamista siis käytetään rakenteien "avaamiseen", eli irrottamiseen toisistaan. Sulkemisen avulla saaaan esineen sisältä turhat "saarekkeet" täytettyä..3.3 LUURANKOMALLI (SKELETONIZATION) Joskus kuvasta saatetaan haluta esille vain ohuita viivoja, jotka eivät välttämättä muoosta suljettua reunaviivaa. Tällainen tilanne saattaa tulla vastaan esimerkiksi poliisin sormenjälkitunnistuksessa tai röntgenangiossa. Luurankoalgoritmi yksinkertaistaa kuvaa poistamalla siitä reunantteja pikseleitä. Tämä tehään iteratiivisesti. Kullakin iteraatiokierroksella tehään valinta, onko tietty pikseli poistettavissa (muutettavissa esineestä taustaan). Valinta tehään neljän ehon perusteella, joien kaikkien on oltava yhtä aikaa voimassa. 1. Jos pikseli p jo kuuluu taustaan, ei tehä mitään. Jos pikseli kuuluu esineeseen tarkistetaan seuraavat ehot:. Jos yksi tai useampi pikselin p N 4 (p)-naapureista kuuluu taustaan, muutetaan pikseli taustapikseliksi. Tässä voi herätä kysymys, miksi ei käytetä N 8 (p):tä? Toki sitäkin voi käyttää, mutta käytännössä on havaittu, että N 4 (p) toimii (useimmiten) paremmin. 3. Pikselillä on oltava enemmän kuin yksi taustaan kuuluva N 8 (p)-naapuri. Jos niitä on vain yksi, pikseli toennäköisesti on viivan päässä, eikä sitä saa poistaa. 4. Pikseliä ei voi poistaa jos poisto rikkoo naapuripikselien liittyvyyen. Liittyvyyen määritelmä tulikin esille jo kurssin alkupuolella osassa 1, joten siihen ei tässä palata. Eellä on tarkasteltu binäärisiä kuvia. Menetelmät ovat laajennettavissa myös harmaasävykuviin, mutta jätetään sen selvittäminen harjoituksiin.

22 6 3 KUVA-ANALYY SI Digitaalisen kuvankäsittelyn viimeinen vaihe on analysoia eellä esitetyillä (ja monilla muilla tästä materiaalista poisjätetyillä :) menetelmillä prosessoitua kuvaa. Kuvasta pitää esimerkiksi tunnistaa (recognition) ja tulkita (interpretation) halutut ominaisuuet. Tätä vaihetta ei voi varmaankaan koskaan täysin automatisoia, vaan tarvitaan ihminen, jolla on riittävä asiantuntemus kyseessä olevasta ongelmasta, tulkinnan tekemiseen. Esimerkiksi jälleen vaikkapa igitaaliset röntgenkuvat. Vaikka paljon onkin kehitetty menetelmiä, joien avulla kuvista voiaan prosessoia esille esimerkiksi syöpäkasvaimia, ei lopullista potilaan iagnoosia voi tietenkään jättää pelkästään tietokoneen varaan. Ainakaan vielä. Ennustaminenhan on tunnetusti vaikeaa, erityisesti tulevaisuuen ennustaminen Automaattinen kuvantulkinta toimii yksinkertaisissa ongelmissa jo nykyäänkin. Silloin kuitenkin alkuperäinen kuvaata on hyvin tarkasti kontrolloitua, kuten monissa konenäkö- ja teollisuussovellutuksissa. Monille tuttu lienee myös tekstin skannauksessa käytettävä OCR-tekniikka. Älykkäien hahmontunnistustekniikkojen (pattern recognition) tavoitteena on Pystyä erottamaan hyöyllinen informaatio (esim. tekstin kirjaimet) hyöyttömiä yksityiskohtia sisältävästä taustasta Kyky oppia esimerkeistä ja kyky pystyä soveltamaan oppia uusiin tilanteisiin. Kyky tehä päätelmiä epätäyellisen informaation perusteella. Tällaisia järjestelmiä voiaan siis tehä hyvin rajoitettuihin sovellutuksiin. Ihmisen kuvanprosessointitehoon on kuitenkin vielä matkaa. Sovellutukset pystyvät tekemään yhen yksinkertaisen tehtävän nopeammin kuin ihminen, mutta ovat kyvyttömiä mukautumaan erilaisiin ongelmiin. Näitä asioita mietiskellen onkin hyvä lopettaa tämä materiaali

Kreikkalainen historioitsija Herodotos kertoo, että Niilin tulvien hävittämät peltojen rajat loivat maanmittareiden

Kreikkalainen historioitsija Herodotos kertoo, että Niilin tulvien hävittämät peltojen rajat loivat maanmittareiden MAB2: Geometrian lähtökohdat 2 Aluksi Aloitetaan lyhyellä katsauksella geometrian historiaan. Jatketaan sen jälkeen kuvailemalla geometrian atomeja, jotka ovat piste ja kulma. Johdetaan näistä lähtien

Lisätiedot

Y100 kurssimateriaali

Y100 kurssimateriaali Y kurssimateriaali Syksy Jokke Häsä ja Jaakko Kortesharju Sisältö Johdanto 4 Reaaliarvoiset funktiot 5. Funktio.................................... 5. Yhdistetty funktio.............................. 7.3

Lisätiedot

1.Kuvauksen lähtöaineisto

1.Kuvauksen lähtöaineisto 1.Kuvauksen lähtöaineisto 1 Tieteen tehtävänä on uuden tiedon hankkiminen. Käyttäytymistieteet tutkivat elollisten olioiden käyttäytymistä voidakseen ymmärtää sitä tai ainakin löytääkseen siitä säännönmukaisuuksia;

Lisätiedot

Kaikki mitä olet aina halunnut tietää pumppauslemmoista, mutta mitä et ole kehdannut kysyä

Kaikki mitä olet aina halunnut tietää pumppauslemmoista, mutta mitä et ole kehdannut kysyä Kaikki mitä olet aina halunnut tietää pumppauslemmoista, mutta mitä et ole kehdannut kysyä Tommi Syrjänen 1 Yleistä pumppauslemmoista Pumppauslemmalla voidaan todistaa, että kieli ei kuulu johonkin kieliluokkaan.

Lisätiedot

Lukiotason matematiikan tietosanakirja

Lukiotason matematiikan tietosanakirja niinkuin matematiikka Simo K. Kivelä Lukiotason matematiikan tietosanakirja Versio 1.12 / 10.08.2000 Simo K. Kivelä Riikka Nurmiainen TKK 1998 2005 Taustat 1/1 Lukiotason matematiikan tietosanakirja M

Lisätiedot

Röntgenkuvaus, digitaalinen kuvaus ja tietokonetomografia

Röntgenkuvaus, digitaalinen kuvaus ja tietokonetomografia Röntgenkuvaus, digitaalinen kuvaus ja tietokonetomografia Jukka Jauhiainen Yliopettaja Lääketieteellisen fysiikan dosentti OAMK Tekniikan yksikkö Hyvinvointiteknologian koulutusohjelma 1 SISÄLTÖ 1. Atomi-

Lisätiedot

DISKREETTI MATEMATIIKKA

DISKREETTI MATEMATIIKKA DISKREETTI MATEMATIIKKA 1 2 DISKREETTI MATEMATIIKKA Sisällysluettelo 1. Relaatio ja funktio 3 1.1. Karteesinen tulo 3 1.2. Relaatio ja funktio 3 2. Kombinatoriikkaa 8 2.1. Tulo- ja summaperiaate 9 2.2.

Lisätiedot

KUVANKÄSITTELYN TEORIAA

KUVANKÄSITTELYN TEORIAA KUVANKÄSITTELYN TEORIAA VALO JA VÄRIT Valoa tarvitaan, jotta voisimme nähdä kuvia ja värejä. Kuvankäsittelyssä käytettävien laitteiden toiminta ja kuvan syntyminen yleensä on paljon helpommin ymmärrettävää,

Lisätiedot

WORD- ja EXCEL-opas Office 2010

WORD- ja EXCEL-opas Office 2010 Aalto Yliopiston Teknillinen Korkeakoulu Kemian ja materiaalitieteiden tiedekunta Kemian laitos Fysikaalisen kemian ja sähkökemian tutkimusryhmä WORD- ja EXCEL-opas Office 2010 Annukka Aarnio asantasa@cc.hut.fi

Lisätiedot

Karttojen värittäminen

Karttojen värittäminen Karttojen värittäminen Neliväriongelman värityskombinaatioiden lukumäärän etsiminen graafien avulla Eero Räty & Samuli Thomasson Valkeakosken Tietotien lukio / Päivölän Kansanopisto Tieteenala: Matematiikka

Lisätiedot

1.1 Yhtälön sieventäminen

1.1 Yhtälön sieventäminen 1.1 Yhtälön sieventäminen Lausekkeeksi voidaan kutsua jokaista merkittyä laskutoimitusta. Sellaisia matema-tiikan tehtäviä on vähän, joita suorittaessaan ei joutuisi sieventämään lausekkeita, millä tarkoitetaan

Lisätiedot

Pohjoismaisten matematiikkakilpailujen tehtävät ja ratkaisut 1995 2015

Pohjoismaisten matematiikkakilpailujen tehtävät ja ratkaisut 1995 2015 Pohjoismaisten matematiikkakilpailujen tehtävät ja ratkaisut 995 05 Tehtävät 9. Pohjoismainen matematiikkakilpailu, 5.3.995 995.. Olkoon AB O-keskisen ympyrän halkaisija. Valitaan ympyrän kehältä pistec

Lisätiedot

Kirjallisuuden vaihto hankintatapana

Kirjallisuuden vaihto hankintatapana Tieteellisen kirjallisuuden vaihtokeskus - Georg Strien Kirjallisuuden vaihto hankintatapana Tieteellisen kirjallisuuden vaihdolla on pitkä perinne, vanhimmat viitteet löytyvät vuodesta 1694 Ranskasta.

Lisätiedot

Aki Taanila MÄÄRÄLLISEN AINEISTON KERÄÄMINEN

Aki Taanila MÄÄRÄLLISEN AINEISTON KERÄÄMINEN Aki Taanila MÄÄRÄLLISEN AINEISTON KERÄÄMINEN 19.5.2014 SISÄLLYS 0 JOHDANTO... 1 1 LAADULLINEN VAI MÄÄRÄLLINEN?... 2 2 TUTKIMUSPROSESSI... 3 2.1 Suunnittelu... 3 2.2 Toteutus... 5 3 EI-KOKEELLINEN TUTKIMUSASETELMA...

Lisätiedot

Condes. Suunnistuksen ratamestariohjelmisto. Versio 7 KOULUTUSMATERIAALI. Copyright 2004 OL-Fellows. Kopiointi kielletty Sivu 1 (78)

Condes. Suunnistuksen ratamestariohjelmisto. Versio 7 KOULUTUSMATERIAALI. Copyright 2004 OL-Fellows. Kopiointi kielletty Sivu 1 (78) Condes Suunnistuksen ratamestariohjelmisto Versio 7 KOULUTUSMATERIAALI Copyright 2004 OL-Fellows. Kopiointi kielletty Sivu 1 (78) Sisältö KOULUTUKSEN SISÄLTÖ... 3 MIKÄ ON CONDES?... 4 CONDESIN OSAT JA

Lisätiedot

Tieto, totuus, tiede (2004)

Tieto, totuus, tiede (2004) 1 Tieto, totuus, tiede (2004) Keskustelijat: Eero Byckling Viljo Martikainen Heikki Mäntylä Jyrki Rossi Jyrki Tyrkkö 2.1.2004 Heikki Mäntylä Hyvät Luonnonfilosofit, Joululoman jälkeen on syytä palata taas

Lisätiedot

Käsikirja Mathcad 15.0 Lokakuu 2010

Käsikirja Mathcad 15.0 Lokakuu 2010 Käsikirja Käsikirja Mathcad 15.0 Lokakuu 2010 Copyright 2010 Parametric Technology Corporation. Parametric Technology Corporation omistaa sekä tämän ohjelman että siihen kuuluvan dokumentaation tekijänoikeudet.

Lisätiedot

AVOIN MATEMATIIKKA 9 lk. Osio 2: Trigonometriaa ja geometrian tietojen syventämistä

AVOIN MATEMATIIKKA 9 lk. Osio 2: Trigonometriaa ja geometrian tietojen syventämistä Marika Toivola ja Tiina Härkönen AVOIN MATEMATIIKKA 9 lk. Osio : Trigonometriaa ja geometrian tietojen syventämistä Sisältö on lisensoitu avoimella CC BY.0 -lisenssillä. 1 Osio : Trigonometriaa ja geometrian

Lisätiedot

14. Haku sisällön perusteella 14.1. Johdanto

14. Haku sisällön perusteella 14.1. Johdanto 4. Haku sisällön perusteella 4.. Johdanto Tietokantojen yhteydessä perinteinen kyselyn käsite on hyvin määritelty. Tiedonlouhinnassa on kyse edellistä yleisimmistä, mutta vähemmän täsmällisistä kyselyistä.

Lisätiedot

Opas toimintakyvyn mittarin arviointiin TOIMIA-verkostossa (1.0) 1.6.2014

Opas toimintakyvyn mittarin arviointiin TOIMIA-verkostossa (1.0) 1.6.2014 Opas toimintakyvyn mittarin arviointiin TOIMIA-verkostossa (1.0) 1.6.2014 Kirjoittajat: Heli Valkeinen, Erikoistutkija, TtT, Terveyden ja hyvinvoinninlaitos Heidi Anttila, Erikoistutkija, TtT, Terveyden

Lisätiedot

Eero Ojanen. Hyvä päätös? polemia KAKS KUNNALLISALAN KEHITTÄMISSÄÄTIÖ

Eero Ojanen. Hyvä päätös? polemia KAKS KUNNALLISALAN KEHITTÄMISSÄÄTIÖ polemia Eero Ojanen Hyvä päätös? KAKS KUNNALLISALAN KEHITTÄMISSÄÄTIÖ Hyvä päätös? Eero Ojanen Hyvä päätös? Filosofisia näkökulmia päätöksentekoon kaks kunnallisalan kehittämissäätiö HYVÄ PÄÄTÖS? Kieliasun

Lisätiedot

Palloja voi pyörittää kevyellä liikkeellä normaaliasennosta (harmaa) vaakatasossa niin, että numerot tulevat

Palloja voi pyörittää kevyellä liikkeellä normaaliasennosta (harmaa) vaakatasossa niin, että numerot tulevat PELIOHJE 1 (14) Pelaajat: 2-4 pelaajaa Ikäsuositus: 6+ SISÄLTÖ / PELIVÄLINEET 1 kääntyvä satataulu 100 lukukorttia (sis. luvut 1-100) 6 jokerikorttia 2 noppaa (sis.luvut 1-10) 30 pelimerkkiä PELI OPETTAA

Lisätiedot

KASVILLISUUDEN SEKÄ MAAPERÄN LUOKITTELU JA ANALYSOINTI HYPERSPEKTRIKUVILTA

KASVILLISUUDEN SEKÄ MAAPERÄN LUOKITTELU JA ANALYSOINTI HYPERSPEKTRIKUVILTA TEKNILLINEN KORKEAKOULU Maanmittausosasto KASVILLISUUDEN SEKÄ MAAPERÄN LUOKITTELU JA ANALYSOINTI HYPERSPEKTRIKUVILTA Teknillisen korkeakoulun Maanmittausosastolla tehty diplomityö Espoo, huhtikuu 2004

Lisätiedot

Differentiaali-interferometria ja sen soveltaminen jäätiköiden tutkimukseen

Differentiaali-interferometria ja sen soveltaminen jäätiköiden tutkimukseen Differentiaali-interferometria ja sen soveltaminen jäätiköiden tutkimukseen Esimerkkitapaus: Svartisen Maa-57.290 Erikoistyö Kirsi Karila 50825A 1. Johdanto... 2 2. SAR-tutkakuvan ominaisuuksia... 3 2.1

Lisätiedot

ian musiikinteoria 1:n kurssimateriaalia ja sen sisällön on laatinut musiikinteorian lehtori Aarre

ian musiikinteoria 1:n kurssimateriaalia ja sen sisällön on laatinut musiikinteorian lehtori Aarre Tervetuloa opiskelemaan musiikkiakustiikkaa! Tämä sivusto sisältää tietoa musiikkiakustiikasta ja apuvälineitä erilaisten musiikkiakustisten perusilmiöiden havainnollistamiseen. Sivusto on alunperin tarkoitettu

Lisätiedot

Laskennanteoria: Mitä voimmelaskea tietokoneella ja kuinkatehokkaasti?

Laskennanteoria: Mitä voimmelaskea tietokoneella ja kuinkatehokkaasti? Laskennanteoria: Mitä voimmelaskea tietokoneella ja kuinkatehokkaasti? Wilhelmiina Hämäläinen Johdatus tietojenkäsittelytieteeseen 1.-2.12. 2003 Tietojenkäsittelytieteen laitos Joensuun yliopisto 1 Johdanto

Lisätiedot

AVOIN MATEMATIIKKA Tilastoja ja todennäköisyyksiä

AVOIN MATEMATIIKKA Tilastoja ja todennäköisyyksiä Marika Toivola ja Tiina Härkönen AVOIN MATEMATIIKKA Tilastoja ja todennäköisyyksiä Sisältö on lisensoitu avoimella CC BY 3.0 -lisenssillä. 1 Tilastoja ja todennäköisyyksiä 1. Kuvaajien tulkintaa... 4 2.

Lisätiedot

Word 2010 Tehokas käyttö Hannu Matikainen

Word 2010 Tehokas käyttö Hannu Matikainen Word 2010 Tehokas käyttö Päivitetty 2.11.2012 2000-2012 Sisällysluettelo: 1 Johdanto... 1 2 Asetukset... 1 2.1 Oletusasetukset... 1 2.2 Riviväli ja välistys... 1 3 Tyylit asiakirjassa... 4 3.1 Yleistä

Lisätiedot

Luova ympäristö lasten omaaloitteisen

Luova ympäristö lasten omaaloitteisen Luova ympäristö lasten omaaloitteisen toiminnan tukemiseksi (Miten käytimme TRIZ:a lasten TV-pelin suunnittelutyössä?) Kirjailija Karl Rautio Creavit Media Osk (Suomi) 2013 Opetusaineisto on valmistunut

Lisätiedot

Teknologian käyttö matematiikan oppitunnilla yläkoulussa ja lukiossa. Senja Roivas

Teknologian käyttö matematiikan oppitunnilla yläkoulussa ja lukiossa. Senja Roivas Teknologian käyttö matematiikan oppitunnilla yläkoulussa ja lukiossa Senja Roivas Pro gradu -tutkielma Itä-Suomen yliopisto Luonnontieteiden ja metsätieteiden tiedekunta Fysiikan ja matematiikan laitos

Lisätiedot