Aluksi Matematiikan käsite suora on tarkalleen sama asia kuin arkikielen suoran käsite. Vai oliko se toisinpäin? Matematiikan luonteesta johtuu, että sen soveltaja ei tyydy pelkkään suoran nimeen eikä edes suoran mielikuvaan, mutta tarvitsee ne toki molemmat. Koska käytännön tilanteissa haetaan määrällisiä eli kvantitatiivisia tuloksia eli lukuarvoja, niin mainittujen nimen ja käsitteen lisäksi tarvitaan valikoima laskumenetelmiä. Nimihirviö kahden muuttujan lineaarinen yhtälö tarkoittaa vain yhtälöä y = kx + b. Se on vanha, tuttu suoran yhtälö, missä x on suoran pisteen x -koordinaatti ja y on suoran saman pisteen y -koordinaatti. Siinä muuttujaa x vastaava muuttujan y arvo saadaan laskemalla yhtäsuuruusmerkin oikealla puolella oleva lauseke. Yhtälön k on suoran kulmakerroin ja b suoran vakiotermi. Huomaa, että merkintöjen k ja b sijasta voisimme käyttää vaikkapa r :ää ja a :ta. Kannattaa kuitenkin olla johdonmukainen merkintöjä valitessaan, ja siksi kirjoitan aina y = kx + b, kun tarvitsen yhtälön yleistä muotoa. Varsinkin fysiikassa käytetään ajan symbolina yleensä x :n sijasta kirjainta t. Sana lineaarinen tulee siitä, että riippumattoman muuttujan x eksponentti on ykkönen. Suora käsitellään yksityiskohtaisesti kurssilla MAB3. Haluat ehkä kerrata myös MAB1:n Esimerkin 8. Ja onhan suora sinulle tuttu jo yläkoulusta. Esimerkki 1 Etsi suorien 6x + 2y 14 = 0 ja 4x + 2y 8 = 0 leikkauspiste piirtämällä eli graafisesti. Koska suorien yhtälöt on annettu epähavainnollisessa vaikka ihan luvallisessa muodossa, niin muokataan niitä vähän. Tavoitteenamme on tietenkin muotoa y = kx + b oleva yhtälö. Otetaan heti huomioon, että molemmat yhtälöt voidaan jakaa kakkosella. Suoritetaan tämä jakolasku. Kirjoitetaan yhtälöt myös niin, että merkinnästä näkyy, että ne kuuluvat yhteen. Käytetään tähän avaavaa aaltosuljetta. Näin yhtälöt 6x + 2y 14 = 0 4x + 2y 8 = 0 saadaan muotoon 3x + y 7 = 0. 2x + y 4 = 0 Ratkaistaan näistä y:t, jolloin 1(5)
y = 3x + 7. y = 2x + 4 Suoran piirtämiseen riittää kaksi suoran pistettä. Lasketaan ja piirretään kuitenkin varmuuden vuoksi kolme. Kun piirrät paperille, valitse pisteet paperin koko huomioiden niin kaukaa toisistaan kuin mahdollista. Tämä lisää piirroksen tarkkuutta. Yhtälö y = 3x + 7 Yhtälö y = 2x + 4 x y x y 4 5 4 4 0 7 0 4 1 10 1 6 Piirretään nyt suorat näitten pisteitten avulla ja luetaan kuvasta leikkauspisteen koordinaatit. Piirroksen mukaan suorat leikkaavat pisteessä ( 3; 2). Vastaus: Suorat leikkaavat pisteessä ( 3; 2). 2(5)
Esimerkki 2 Puhelinyhtiö tekee sinulle tarjouksen, jonka mukaan kuukaudessa maksetaan 10 euron perusmaksu ja tähän lisätään puhelujen hinnat 11 senttiä minuutilta. Puhelulla ei ole aloitusmaksua. Tee yhden kuukauden maksuja kuvaava piirros sekä yhtälö. Merkitään puhumiseen käytettyä aikaa x:llä. Minuutti on luonnollinen valinta ajan yksiköksi. Koska yhteenlaskettavien on oltava keskenään vertailukelpoiset, ilmoitetaan kaikki hinnat sentteinä. Tällöin perusmaksun suuruus on 1000 senttiä. Yhden kuukauden puhelinlasku y on siis kuukausimaksun eli 1000 sentin ja puhumiseen käytetyn, minuutteina ilmoitetun ajan x ja minuuttihinnan 11 senttiä tulon summa. Siis y = 11x + 1000. Kyseessä on suora. Siksi kaksi pistettä riittää piirrosta varten. Yksi piste on ilmeinen: jos ei puhuta yhtään eli x = 0, niin laskussa on pelkkä perusmaksu 1000 senttiä. Valitaan toiseksi pisteeksi kahden tunnin puheaika. Kaksi tuntia on 120 minuuttia, joten saadaan piste (120;11 120 + 1000) = (120;2320). Seuraava kuva on piirretty mittakaavalla 1:100. Vastaus: Yhtälö on y = 11x + 1000, missä aika x annetaan minuuteissa ja laskunmäärä y saadaan sentteinä. Esimerkki 3 Kasassa on 7 m 3 polttopuita. Veljekset Mortti ja Vertti kärräävät puita kasasta seinustalle pinoon talven polttoaineeksi. Mortti kuljettaa kerrallaan 0,1 m 3 ja Vertti 0,07 m 3. Kirjoita yhtälö ja piirrä kuva, joka esittää puupinon hupenemista poikien tekemien kuljetusmatkojen lukumäärän mukaan. Merkitään Mortin tekemien matkojen määrää x:llä ja Vertin tekemien matkojen määrää y:llä. Molempien kuljettamat kuormat vähentävät kasassa jäljellä olevan puun määrää, joten kun Mortti on tehnyt x matkaa ja Vertti y matkaa, niin jäljellä on 7 0,1x 0,07y. Yksiköt ovat kuutiometrejä. Koska lopputulos on se, että puukasa siirtyy kokonaan pinoon seinän vierelle, niin saadaan yhtälö 7 0,1x 0,07y = 0. 3(5)
Tämä on suoran yhtälö, joka muunnetaan aiempaan tapaan havainnollisempaan muotoon piirroksen tekemistä varten. Ratkaistaan siis y, jolloin 10 y = x + 100. 7 Koska sekä poikien tekemien matkojen määrä että kasassa olevan puun määrä eivät ole negatiivisia kumpikaan ei kanna puita takaisin kasaan! saadaan tilannetta ja siis kuvaaja rajoittavia ehtoja. Koska y 0, niin x 70. Toisaalta myös x 0, joten 0 x 70 ja 0 y 100. Tarkista, että ehdot 0 y 100 ovat todet! Vaikka kuvaan on piirretty y x:n funktiona, niin tällaisessa tilanteessa sitä ei kannata katsoa niin, että toinen on x tai y on toisen funktio. Koska Mortti ja Vertti ovat sitä mieltä, että he tekevät vain kokonaisia kottikärrymatkoja, niin x ja y voivat saada vain kokonaislukuarvoja. Tästä seuraa, että jatkuva suora ei kuvaa tilannetta aivan aidosti. Juuri siksi oheisen kuvan pisteviiva hoipertelee, sillä kuvassa sekä x:n että y:n arvot ovat kokonaislukuja. Vertin kuormien määrät on ensin laskettu yllä olevan kaavan avulla ja sitten pyöristetty kokonaisluvuiksi. 4(5)
Huomaa, mikä rooli tässä esimerkissä milläkin luvulla ja muuttujalla on: luku 0,1: Mortin kärrykuorman koko luku 7: poikien kärrykuormien yhteenlaskettu puunmäärä on 7 luku 0,07: Vertin kärrykuorman koko miinus merkit yhtälössä 7 0,1x 0,07y = 0: jokainen kärrätty kuorma vähentää kasassa jäljellä olevan puun määrää luku 0: pojat kärräävät kaikki puut talteen, joten kasaan ei jää mitään Kuvasta nähdään myös, että jos Vertti ei vie yhtään kuormaa, Mortille jää 70 kuormaa. Siis y = 0, kun x = 70 ja jos Mortti ei vie yhtään kuormaa, Vertille jää 100 kuormaa kärrättäväksi jos x = 0, niin y = 100. Seuraavassa luettelossa on suoran tärkeimpien piirteiden erittely. 3 m Tarkastellaan suoraa y = kx + b. Vakio k eli kulmakerroin. Jos k < 0, niin suora on laskeva, jos k > 0, niin suora on nouseva, jos k = 0, niin kyseessä on vaakasuora. Vakio b eli vakiotermi. Kun valitaan x = 0, niin y = kx + b = b. Siis piste (0;b) on suoralla ja b on siis se kohta, jossa suora leikkaa y akselin. Kun ratkaistaan x yhtälöstä kx + b = 0, niin saadaan kohta, jossa suora leikkaa x-akselin. 5(5)