Trigonometriset funktiot 1/7 Sisältö Trigonometriset funktiot suorakulmaisessa kolmiossa a c b Olkoon suorakulmaisen kolmion terävä kulma, a tämän vastainen kateetti, b viereinen kateetti ja c kolmion hpotenuusa. Kulman trigonometriset funktiot määritellään seuraavina sivujen suhteina: sini: kosini: tangentti: kotangentti: vastaisen kateetin suhde hpotenuusaan eli sin = a/c; viereisen kateetin suhde hpotenuusaan eli cos = b/c; vastaisen kateetin suhde viereiseen eli tan = a/b; viereisen kateetin suhde vastaiseen eli cot = b/a. Trigonometrisia funktioita on kaksi muutakin, mutta suorakulmaisen kolmion käsitteln riittävät edellä olevat. Koska suorakulmaisen kolmion terävä kulma on välillä 0 <<90,antaa edellä oleva funktioiden määritteln vain tällä välillä. Pthagoraan lauseen mukaan on a + b = c, jolloin a c + b c =1 eli sin +cos =1. kolmio kulma (terävä) kateetti hpotenuusa funktio Pthagoraan lause (Yleisesti on tapana kirjoittaa sin merkitksessä (sin ). Jälkimmäinen tapa saattaisi kllä olla johdonmukaisempi.) Jos suorakulmaisen kolmion toinen terävä kulma on, niin toinen on 90. Edellä kätetin merkinnöin on tällöin sin(90 ) =b/c =cos ja tan(90 ) =b/a =cot ts. kulman kosini on sama kuin komplementtikulman 90 sini, samoin kotangentti on komplementtikulman tangentti. kulma (komplementti-)
Trigonometriset funktiot /7 Sisältö Trigonometristen funktioiden tärkeät arvot Antamalla kolmion muuntua siten, että 0 tai 90, saadaan trigonometrisille funktioille arvot sin 0 = cos 90 = 0, sin 90 = cos0 = 1, tan 0 = cot 90 = 0. Kulmien 30, 45 ja 60 trigonometristen funktioiden arvot voidaan helposti laskea neliön ja tasasivuisen kolmion avulla. Pthagoraan lauseen perusteella neliön lävistäjän pituus on, jos sivun pituus on 1. Samoin on tasasivuisen kolmion korkeusjana 3, jos sivun pituus on ja sivun puolikas siis 1. neliö tasasivuinen muistikolmio Pthagoraan lause 1 3 1 45 60 1
Trigonometriset funktiot 3/7 Sisältö Trigonometristen funktioiden leinen määrittel Mielivaltaisen kulman trigonometriset funktiot määritellään ksikkömprän avulla. Yksikkömprä on origokeskinen mprä, jonka säde on =1.Kulmasijaitsee siten, että sen kärki on origossa ja oikea klki (alkuklki) positiivisella - akselilla. Jos vasen klki (loppuklki) ht oikeaan klkeen, kulman suuruus on =0. Kulma kasvaa, kun loppuklki kiert positiiviseen kiertosuuntaan, so. vastapäivään. Klki voi kiertä useita kierroksia, jolloin saadaan miten suuria kulmia tahansa. Vastaavasti negatiiviseen suuntaan (mötäpäivään) kiertminen merkitsee kulman pienenemistä ja negatiivisia kulmia. Kulman suuruus mitataan leensä radiaaneissa puhuttaessa leisistä trigonometrisista funktioista. kulma (taso-) mprä origo origo kiertosuunta (positiivinen) kiertosuunta (positiivinen) radiaani (, ) Kulman kiertvä loppuklki kohdatkoon ksikkömprän pisteessä (, ). Kuuden trigonometrisen funktion määritelmät ovat tällöin seuraavat: sini: sin = ; kosini: cos = ; tangentti: tan = = sin cos ; kotangentti: cot = = cos sin ; sekantti: sec = 1 = 1 cos ; kosekantti: csc = 1 = 1 sin. Jos on ensimmäisen neljänneksen kulma, so. >0,>0, htvät sinin, kosinin, tangentin ja kotangentin määritelmät suorakulmaisen kolmion avulla annettuihin. Yleiset määritelmät ovat siten aiempien leistksiä. Funktiot sini, kosini ja tangentti ovat leisesti kätettjä. Kotangentti, sekantti ja kosekantti ovat harvinaisempia, mutta varsinkin kahta viimeistä näkee melko paljon amerikkalaisissa oppikirjoissa. Mös monet matemaattiset tietokoneohjelmistot kättävät niitä.
Trigonometriset funktiot 4/7 Sisältö Trigonomteristen funktioiden perusominaisuudet Koska ksikkömprän htälö on + =1, on ilmeisestikin kaikilla kulmilla voimassa htälö kulma (taso-) sin +cos =1. Määritelmien perusteella on ilmeistä, että trigonometristen funktioiden arvojen välillä vallitsee ksinkertaisia hteksiä; tärkeimmät ovat seuraavat: sin() = sin ; sin( )= sin; cos() =cos; cos( )=cos ; sin(/ ) =cos; cos(/ ) =sin; tan() =tan ; cot() =cot ; tan(/ ) =cot; cot(/ ) =tan. Näiden hahmottaminen on ksinkertaisinta ajattelemalla tilannetta ksikkömprässä. Ulkoa opiskeluun tuskin on aihetta. + (cos, sin ) (cos, sin ) + (cot, 1) (1, tan ) Sini, tangentti, kotangentti ja kosekantti ovat parittomia funktioita, kosini ja sekantti parillisia. Kaikki trigonometriset funktiot ovat jaksollisia, jaksona.tangentilla ja kotangentilla on lhempikin jakso, nimittäin. pariton (funktio) parillinen (funktio) jaksollinen (funktio) pii
Trigonometriset funktiot 5/7 Sisältö Trigonometristen funktioiden merkkikaaviot Trigonometriset funktiot saavat seuraavat merkit ksikkömprän eri neljänneksissä: + + + + + + sini kosekantti kosini sekantti tangentti kotangentti
Trigonometriset funktiot 6/7 Sisältö Trigonometristen funktioiden kuvaajat Trigonometristen funktioiden kuvaajat nättävät seuraavilta: =cos kuvaaja =sin =tan =cot =sec =csc Sini ja kosini ovat määriteltjä kaikilla argumentin reaaliarvoilla. Muut funktiot ovat määriteltjä muualla paitsi nimittäjän nollakohdissa. Funktioiden lähtöjoukot ovat siten seuraavat: sin, R; cos, R; tan, + n; cot, n; sec, + n; csc, n. Funktioiden sini ja kosini arvot ovat välillä [1, 1], tangentti ja kotangentti saavat kaikki reaaliarvot, sekantin ja kosekantin arvot ovat itseisarvoltaan 1. lähtöjoukko väli (reaaliakselin) itseisarvo (reaaliluvun)
Trigonometriset funktiot 7/7 Sisältö Trigonometristen funktioiden historiaa Trigonometrian ja trigonometristen kaavojen funktioita sitovina algebrallisina htälöinä merkittävä kehits ajoittuu 1500-luvulle. Huomattavana nimenä kannattaa mainita ranskalainen lakimies François Viète, latinalaisittain Franciscus Vieta, jonka harrastuksena oli matematiikka ja joka saavutti moniakin merkittäviä tuloksia. Trigonometrian historia sinänsä ulottuu paljon kauemmas. Nimits tarkoittaa kolmioiden kulmien mittaamista, jolla on ollut kättönsä maanmittauksessa ja tähtitieteessä vanhalta ajalta lähtien. Trigonometrisina pidettäviä tarkasteluja, joskin ulkonäöltään meidän trigonometriastamme täsin poikkeavia, on jo Ptolemaioksen kirjoituksissa 100-luvulla jkr. Länsimaisen trigonometrian ensimmäinen merkittävä nimi on Königsbergissä (nkään Kaliningrad) sntnt ja Keski-Euroopassa vaikuttanut Johannes Regiomontanus 1400-luvulla. Trigonometristen funktioiden teoria kompleksialueelle ulotettuna (mitä tässä ei käsitellä) on peräisin 1700-luvulta. Kehittäjiä ovat ranskalainen Abraham de Moivre ja ennen muuta sveitsiläissntinen monissa Euroopan maissa töskennellt Leonhard Euler. trigonometria algebra Viète Ptolemaios Regiomontanus Euler