91 4 NEWTONIN KOLMS LKI Dynamiikan perusprobleema on kappaleen liikkeen ennustaminen siihen kohdistuvien vuorovaikutusten perusteella. Tämä on mahdollista, jos pystytään määrittämään kuhunkin vuorovaikutukseen liittyvä voima, koska voimat aiheutuvat vuorovaikutuksista muiden kappaleiden kanssa. 4.1 Vuorovaikutuksen käsite mekaniikan perustana rkielämässä kohtaamme ilmiöitä, joissa jokin alkutila muuttuu joksikin toiseksi tilaksi. Muutokset voivat tapahtua kappaleen liiketilassa, sen muodossa ja tiheydessä. Lämpötila, ilmanpaine tai mikä tahansa ominaisuus voi muuttua. Jos rajoitumme mekaniikkaan, niin jokin objekti tai ryhmä objekteja aiheuttaa muutoksen jonkin toisen objektin tai objektiryhmän tilassa. Tämä muutos voi tapahtua kappaleen etenemisessä, pyörimisessä tai värähtelyssä. Muutoksen aiheuttaja voi koskettaa tai vaikuttaa kaukaa, ja muutos voi olla pieni tai suuri. Ennen newtonilaista mekaniikkaa perusmielikuvana oli kappale ja liike. Kappaleella voi olla pyrkimyksiä, ja sen käyttäytyminen riippui sen ominaisuuksista. Newton oivalsi ottaa käyttöön käsitteen vuorovaikutus, joka oli riippumaton liikkeestä ja kappaleen ominaisuuksista. Uusi perusmielikuva oli kaksi kappaletta ja niiden välinen vuorovaikutus. Vain vuorovaikutus voi muuttaa kappaleen liiketilaa. Vuorovaikutus on syyilmiö ja liiketilan muutos seurausilmiö. Newtonin peruslait ilmaisevat klassisen mekaniikan käsityksen liikeilmiöiden ja vuorovaikutusten luonteesta. Seuraavassa käydään läpi lyhyesti Newtonin ensimmäinen ja toinen laki sekä keskitytään tutkimuksen kannalta tärkeään kolmanteen lakiin. 4.1.1 Newtonin ensimmäinen ja toinen laki Newtonin I laki eli jatkavuuden laki. Perinteinen muoto: Kappale pysyy lepotilassa tai jatkaa tasaista suoraviivaista liikettä, ellei mikään voima pakota kappaletta muuttamaan liiketilaansa.
92 Kurki-Suonio ym. (1991, 89;1994, 215.): Kaikki vapaat kappaleet liikkuvat tasaisesti toistensa suhteen tai Kappaleen/systeemin liiketila ei muutu, jos se ei ole vuorovaikutuksessa muiden kappaleiden kanssa eli jos se on vapaa. Koska liikkeen jatkuvuus johtuu kappaleen hitaudesta, nimitetään Newtonin ensimmäistä lakia myös hitauden laiksi. Newtonin I:n lain perinteisessä muodossa voima ilmaistaan suoraan kun taas Kurki-Suonioiden esitysmuodossa tarkastellaan vapaita kappaleita, jotka eivät ole vuorovaikutuksessa muiden kappaleiden kanssa. Edelleen Kurki-Suonioiden mukaan lain perinteinen muoto on käsitteen muodostuksen kannalta virheellinen, koska käytettyjen käsitteiden määrittely tulee mahdolliseksi vasta tämän lain perusteella. Laki antaa merkityksen liikkeen tasaisuudelle, tekee tasaisuuden liikkeen absoluuttiseksi ominaisuudeksi ja mahdollistaa inertiaalikoordinaatistojen valinnan. (emt., 89-90.) Lakia ei voida havaitsemalla todentaa, mutta ilmatyynyradalla voidaan järjestää tilanne, jossa liukujaan vaikuttavat pystysuorat vuorovaikutukset kumoavat toisensa ja kitka on lähes olematon. Tällöin lähestytään tilannetta, jossa liukuja käyttäytyy ikään kuin se olisi vapaa kappale. Newtonin II laki eli dynamiikan peruslaki. Newtonin toinen laki käsittelee liikettä niissä tapauksissa, joissa voimien alkuperä saattaa olla tuntematon. Riittää, kun tunnetaan kiihtyvyys ja kappaleen massa, jolloin voima voidaan määrätä massan ja kiihtyvyyden tulona. Laki voidaan esittää kvalitatiivisessa muodossa seuraavasti: Kappaleen liiketila muuttuu sitä voimakkaammin tai enemmän, mitä voimakkaammassa vuorovaikutuksessa se on (Kurki-Suonio ym. 1994, 215) tai Kappaleeseen vaikuttava voima F muuttaa kappaleen liiketilaa siten, että kappaleen liikemäärän muuttumisnopeus on yhtä suuri kuin vaikuttava voima. Hetkellistä vuorovaikutusta kuvaavan voiman suuruus saadaan Newtonin toisesta laista ja voidaan esittää seuraavassa muodossa (Kurki-Suonio ym. 1991, 97): dp dt = F eli F = ma, missä m, a ja p ovat kappaleen massa, kiihtyvyys ja liikemäärä.
93 Dynamiikan peruslaki voidaan jakaa kahteen osaan. Yhtälön vasen puoli kuvaa hetkellistä voimaa F, joka on liikemäärän muuttumisen syy. Se voidaan erikseen määrätä eikä riipu tarkasteltavasta kappaleesta. Yhtälön oikea puoli kertoo seurausilmiön voimakkuuden, joka on = ma. 4.1.2 Kolmanteen lakiin liittyvät ideat ja soveltamisvaikeudet Newtonin kolmannen lain käsittely vaihtelee eri oppikirjoissa. Fysiikka-sarjassa (Lehto & Luoma 1998, 87) kaikille yhteisellä kurssilla asiaan käytetään puoli sivua, jonka yhteydessä on perinteinen jousivaaoilla tehtävä demonstraatio. Samassa kirjasarjassa toisella vuosikurssilla laki vain kerrataan lyhyesti. Galilei-kirjasarjassa (Lavonen, Kurki-Suonio & Hakulinen 1995) esitys on yhtä suppea kuin edellä. Lukion Mekaniikka 1-kurssissa laki esiintyy liikemäärän kvantifioinnin yhteydessä. Sama linja tyypillisine esimerkkeineen jatkuu myös muiden kustantajien kirjasarjoissa ( Hassi, Hatakka, Saarikko & Valjakka 1996, 86; Kärkkäinen, Makkonen, Meisalo & Suokko 1994, 36). Tärkeimpänä sivuhuomautuksena korostetaan vuorovaikutuksessa esiintyvien voimien kohdistumista eri kappaleisiin. Kuten edellä todettiin, vuorovaikuttavien kappaleiden ja liikemäärien muuttumisnopeudet ovat koko ajan yhtä suuret mutta vastakkaissuuntaiset eli dp dt dp = dt eli F = F eli ma = ma Newtonin III laki eli voiman ja vastavoiman laki. Laki voidaan ilmaista kahdella tavalla: Vuorovaikutus aiheuttaa kappaleisiin ja joka hetki yhtä suuret vastakkaissuuntaiset voimat, F ja F = - F. tai Vuorovaikutus on ilmiö, joka vaikuttaa yhtä voimakkaasti vuorovaikutuksen kumpaankin osapuoleen (Kurki-Suonio ym. 1994, 215). Newtonin ensimmäisessä ja toisessa laissa voiman alkuperä voi olla tuntematon toisin kuin kolmannessa laissa. Muodostettaessa systeemin liikeyhtälöä tai määrättäessä sen tasapainoehtoja on kyettävä erottamaan vuorovaikutuksen eri osapuolet ja
94 tunnistamaan kunkin vuorovaikutuksen aiheuttama voima. rownin (1989, 356) mukaan kolmanteen lakiin liittyy viisi ideaa: 1. Vapaa kappale ei voi kokea voimavaikutusta. 2. Vapaa kappale ei voi kohdistaa voimavaikutusta, ellei ole toista kappaletta, joka vaikuttaa takaisin. Veto- tai poistovoima on seurausta kappaleiden välisestä joko kosketus- tai etävuorovaikutuksesta. 3. Joka hetki voima ja vastavoima ovat yhtä suuret. 4. Kohdasta 3 seuraa, että aktiivisempi osapuoli ei synnytä voimaa etuajassa. 5. Vuorovaikutuksessa voimat ovat vastakkaissuuntaiset ja kohdistuvat eri kappaleisiin. Lain sanallinen muoto on yksinkertainen, mutta soveltaminen näyttää olevan vaikeaa. ronsin (1997, 75) mukaan usein esiintyvät seuraavat ongelmat: 1. Lain sanallinen toistaminen ei takaa lain sisällön ymmärtämistä. 2. Vain elävät olennot voivat aiheuttaa voimia. 3. Ei osata erottaa toisistaan passiivi (kitka)- ja aktiivivoimia (työntö, veto, paino). 4. Etävuorovaikutus: Maan suuresta massasta johtuen painovoiman vastavoiman hahmottaminen on vaikeaa. 5. Kosketusvuorovaikutus: Ei oteta huomioon toiseen osapuoleen kohdistuvaa voimaa. 6. Voimakuvioiden epätäsmällisyys. Nämä ovat paljolti samoja tekijöitä, joista reaalikokeen korjaajat kritisoivat vastauksia. ikaisemmat kokemukseni tukevat käsitystä, että luettelon esittämät puutteet esiintyvät usein ja niiden poistaminen vaatii paljon harjoittelua. 4.2 Opetusjärjestelyt Voiman käsitteen rakentamisessa lähestymistavat eroavat selvästi, ja käsittelen eroa siinä määrin, kuin se on tässä vaiheessa tarpeellista kokeilun kulun ymmärtämiseksi. Kuviossa 12 hahmottava lähestymistapa lähtee liikkeelle perushahmotuksesta ja kappaleiden välisestä vuorovaikutuksesta. Sitä vastoin mallintavassa lähestymistavassa
95 voiman käsite otetaan käyttöön selittämään tasapainotilaa ja merkitys luodaan selittämisen kautta. 4.2.1 Lähestymistapa ja voiman käsitteen merkityksen rakentaminen Hahmottava lähestymistapa. Hahmottavassa lähestymistavassa opetus aloitetaan kvalitatiivisilla kokeilla kappaleista, erilaisista liiketiloista ja vuorovaikutuksista. Perushahmotuksessa kappaleisiin liitetään ominaisuutena hitaus, vuorovaikutukseen sen voimakkuus ja liiketilaan sen muutoksen suuruus. Esikvantifioinnissa korostetaan vuorovaikutuksen kohdistumista molempiin osapuoliin, sen yhteyttä liiketilan muutokseen ja muutoksen riippuvuutta kappaleesta ja vuorovaikutuksen voimakkuudesta. Vuorovaikutukset voivat myös kumota toisensa. Tarkoituksena on luoda Newtonin lakien kvalitatiiviset hahmot. Suureiden kvantifiointi aloitetaan idealisoidussa koetilanteessa ilmatyynyradalla, jossa kappaleeseen kohdistuvat pystysuorat vuorovaikutukset kumoavat toisensa ja kitka on eliminoitu lähes kokonaan. Kun kappaleen paikka eri ajan hetkinä piirtyy tietokoneen näytölle, (s, t)-koordinaatistossa olevat pisteet luovat mielikuvan suorasta. Vaihtelemalla tönäisyn voimakkuutta suorien jyrkkyydet vaihtelevat. Suora synnyttää mielikuvan liikkeen tasaisuudesta, ja jyrkkyys liittyy kappaleen vauhtiin. Kappaleen siirtymä on verrannollinen aikaan eli x ~, jolloin suhde x/ on = vakio ja riippumaton aikavälistä. Liikkeen tasaisuuden laki eli Newtonin I laki määrittelee nopeuden: suure on = vakio = invarianssi, joka nimetään nopeudeksi ja sen yksikkö on m/s. Saatu nopeus on kappaleen keskinopeus, ja opetuksessa korostetaan, että luonnossa esiintyvät liikkeet eivät aina ole tasaisia. vakiona Törmäyskokeissa kappaleiden ja nopeuksien muutosten suhde pysyy v v = k,, minkä perusteella kvantifioidaan hidas massa. Tällöin edellä oleva suhde saa muodon v v = m m, missä m ja m ovat kappaleiden hitaat massat. Tässä yhteydessä todetaan suureen m v = p vakioisuus ja määritellään liikemäärä p, joka on = mv. Koska syyilmiön voimakkuuden on oltava yhtä suuri kuin seurausilmiön voimakkuuden, vuorovaikutuksen kokonaisvoimakkuutta asetetaan kuvaamaan
96 impulssi, joka on yhtä suuri kuin liikemäärän muutos eli I = p. Impulssi ei kuitenkaan pysty kuvaamaan sellaisten vuorovaikutusten voimakkuuksia, jotka ovat hetkellisiä kuten törmäyksissä. Luonnossa on tavallisinta tapaus, jossa kappaleeseen kohdistuu jatkuva vuorovaikutus, kuten esimerkiksi tuki tai gravitaatio. Tukea ei voi mitata impulssin avulla, vaan tätä varten on luotava uusi suure. Sen tehtävänä on ilmaista vuorovaikutuksen hetkellistä voimakkuutta. Esikokeiden perusteella on havaittu, että sama vuorovaikutus muuttaa suuremman kappaleen nopeutta vähemmän kuin pienemmän. Selvästi tämä näkyy putoamisliikkeessä, jossa suuren massaeron vuoksi emme havaitse Maan liikettä, vaan kappaleen liikemäärän muutos ilmaisee vuorovaikutuksen voimakkuuden. Lähellä Maan pintaa voidaan olettaa, että vuorovaikutus pysyy vakiona, ja näin syntyy idea tasaisesta vuorovaikutuksesta. Se muuttaa kappaleen liikemäärää yhtä paljon yhtä pitkinä aikaväleinä. Tämä merkitsee, että myös nopeus muuttuu saman verran samoina aikaväleinä. Kaltevalla tasolla suoritettujen kokeiden perusteella havaitaan (s, t)- koordinaatistossa olevien pisteiden muodostavan käyrän, jonka tangentin fysikaalinen kulmakerroin voidaan tulkita kappaleen hetkelliseksi nopeudeksi. Kun hetkellinen nopeus piirretään ajan funktiona, niin nopeuden muutos on verrannollinen aikaan eli v ~, jolloin suhde v/ = vakio. Se on riippumaton aikavälistä, kuvaa tasaisesti muuttuvaa liikettä ja nimetään kiihtyvyydeksi. Sen tunnus on a ja yksikkö on m/s 2. Suure on makrosuure ja voidaan yleistää koskemaan hetkellisiä kiihtyvyyksiä. Kokeen perusteella gravitaatio on se vuorovaikutus, joka kappaletta kiihdyttää. Edellisen perusteella tasainen vuorovaikutus synnyttää tasaisen kiihtyvyyden. Vuorovaikutuksen kokonaisvoimakkuutta kuvaa suure impulssi, joka on yhtä suuri kuin liikemäärän muutos eli I = m v = p. Mitä nopeammin impulssia kertyy, sitä voimakkaampi on vuorovaikutus ja sitä suurempi on seuraus eli liikemäärän muutos. Näin ollen vuorovaikutuksen hetkellisen voimakkuuden mittana voidaan pitää impulssin kertymisnopeutta I. Koska impulssia ei voi mitata suoraan, relaatio I p = (missä p merkitsee liikemäärän muutosta lyhyenä aikavälinä, ei kokonaismuutosta ) antaa mahdollisuuden vuorovaikutuksen voimakkuuden määrittämiseen. Impulssin kertymisnopeutta I p = = F kutsutaan voimaksi.
97 Koska F v = m = ma, voiman määrittelylaki on samalla Newtonin II laki. ikaisemman perusteella m v = m v, joten samassa ajassa tapahtuvien dp d liikemäärien muutosten perusteella hetkellisesti p =. Tästä seuraa, että dt dt relaatio F = -F ilmaisee Newtonin kolmannen lain. Jokaisessa vaiheessa invarianssi esitetään graafisessa muodossa. Tällä tavalla kokeellisuus, yhdistämällä käsitteet invariansseihin, ottaa keskeisen roolin käsitteen merkityksen muodostamisessa. Mallintava lähestymistapa. Molemmissa lähestymistavoissa graafisen esityksen periaatteet on opiskeltu kaikille pakollisella fysiikan peruskurssilla, joten siihen ei ole käytetty aikaa. Kokeilussa ei ole seurattu tarkasti kaikkia mallintamisen vaiheita, vaan mallintaminen on luonut viitekehyksen asioiden esittämisjärjestykselle. Hestenes itse toteaa, että mallintamisen sykli muodostaa joustavan suunnitelmarungon ja sykli voidaan aloittaa vaikkapa mallin esittelystä (Hestenes 1996, 19). Opiskelun alussa määritellään vertailukoordinaatisto, jossa pistemäiseksi mallinnetun kappaleen liikettä tarkastellaan. Kuten hahmottavassa lähestymistavassa kuvaajien perusteella johdetaan (t, s)-koordinaatistossa tasaisen liikkeen mallit: nopeus s on v = ; paikka on x = v t + s o ja matka on s = v t. Tehdään ero vektori- ja skalaarisuureiden välillä sekä korostetaan saatujen algebrallisten lausekkeiden malliluonnetta. Tutkitaan liikettä kaltevalla tasolla. Liikkeen kuvaaja on käyrä, jonka tangentin fysikaalinen kulmakerroin esittää hetkellistä nopeutta. Kun hetkelliset nopeudet kuvataan (t, v)-koordinaatistoon, saadaan keskikiihtyvyys suoran fysikaalisesta kulmakertoimesta. Graafisen esityksen perusteella johdetaan seuraavat mallit: v keskikiihtyvyys on a = ; nopeus on v = v o + a t ja nopeuden muutos on v = a t; paikka on x = s o + v o t + ½ a t 2 ja matka on s = v o t + ½ a t 2. Tämän jälkeen on vuorossa newtonilaisen mallintamissyklin ensimmäinen puolisko: liikkeestä päätellään voima. Pyritään synnyttämään mielikuva, että voimaa tarvitaan nopeuden muuttamiseen, ei liikkeen tuottamiseen. Demonstroidaan Newtonin ensimmäinen laki ilmatyynyradalla: Jos kappaleeseen vaikuttava vaakasuora nettovoima on = 0, kappale liikkuu tasaisesti tai on levossa. Teräskuulan ja magneetin
98 avulla vaakasuoralla pöydän pinnalla luodaan tilanteita, joissa kuulan liikkeeseen voidaan vaikuttaa magneetilla. Johtopäätös on, että vain vuorovaikutus voi muuttaa kappaleen nopeuden suuntaa ja suuruutta. Vakionopeus ei tarvitse selitystä, ja vuorovaikutusta kuvataan käsitteellä voima. Lopputuloksena on Newtonin I laki ja II:n lain kvalitatiivinen muoto. Voima on jotakin, jota tarvitaan selittämään kappaleen tasapainotila. Koska käden kannatteleman kappaleen nopeus on nolla, se edellyttää gravitaatiovoiman kumoavaa ylöspäin suuntautuvaa voimaa. Siltademonstraationa (Minstrell 1982) käytetään kokoonpuristuvaa jousta, joka kohdistaa kannattelemaansa kappaleeseen ylöspäin suuntautuvan voiman. Tämä kumoaa gravitaatiovoiman. Edellisen perusteella päätellään, että myös eloton olio voi aiheuttaa voiman. Sitä kuvataan vektorilla, jolla on suuruus ja suunta. Voimakäsitteen merkitys luodaan harjoittelemalla voimakuvioiden piirtämistä, voimien jakamista komponentteihin ja statiikan tasapainoyhtälöiden kirjoittamista. Käytössä on kaksi mallia: kappaleeseen kohdistuvien voimien summa on nolla tai eri suuri kuin nolla, jolloin nopeus on vakio tai kappale kiihtyy. Voiman kvantifiointi ratkaistaan siten, että ilmoitetaan jousivaa an olevan laitteen, joka mittaa voiman (se mitä kutsumme voimaksi ) suuruuden ja yksiköksi sovitaan newton. Mitataan kappaleiden massat vaa alla ja niihin kohdistuvat gravitaatiovoimat jousivaa alla sekä piirretään kuvaaja (m,g )-koordinaatistoon. Saadaan yhtälö G = 9,81N/kg m, jonka kulmakerroin 9,81 tulkitaan gravitaatiokentän voimakkuudeksi. Mallintavassa lähestymistavassa voima ei kuvaa ilmiön ominaisuutta, ja voiman käsitteen käyttöönoton motivoi sen kyky selittää havaittuja ilmiöitä. Hahmottamisessa voima kuvaa vuorovaikutuksen hetkellistä voimakkuutta, sen ominaisuutta. Mallintamisessa ymmärtäminen lisääntyy konstruoimalla ja käyttämällä tieteellisiä malleja kuvaamaan, selittämään, ennustamaan ja kontrolloimaan fysikaalisia ilmiöitä. Hahmottavassa lähestymistavassa lain merkityksen hahmottaminen ja sen täsmentäminen makrosuureiden väliseksi suureyhtälöksi on ymmärryksen avain.
99 4.2.2 Demonstraation merkitys lähestymistavassa: Modifioitu dwoodin kone Samalla demonstraatiolla voi olla erilainen merkitys riippuen siitä onko kyseessä hahmottava vai mallintava lähestymistapa. Esimerkkinä voidaan käyttää yhteen kytkettyjä kappaleita. Koejärjestely on kuvion 23 mukainen. Kuvio 23. Modifioitu dwoodin kone. Tapauksessa ilmatyynyradalla olevan liukujan päälle lisätään punnuksia, jolloin systeemin massa kasvaa mutta vetävän punnuksen massa pysyy vakiona. Tapauksessa kokonaismassa pysyy vakiona, mutta vetävän punnuksen massa kasvaa. Hahmottavassa lähestymistavassa tarkoituksena on voiman kvantifiointi liikemäärän muuttumisnopeuden perusteella. -tapauksessa mittaustulos ilmenee liitteessä 2a kuviosta 1. Sen perusteella liukujan massan lisääminen ei vaikuttanut systeemin liikemäärän muutokseen aikayksikössä eli impulssin kertymisnopeuteen. - tapauksessa (kuvio 2) fysikaalinen kulmakerroin on sitä suurempi, mitä suurempi on vetävän punnuksen massa. Suhde p on invariantti (=vakio) ja kuvaa tasaisen vuorovaikutuksen hetkellistä voimakkuutta, joka on riippumaton aikavälistä ja vedettävästä kappaleesta (liukuja). Fysikaalinen kulmakerroin on sitä suurempi, mitä suurempi on vetävän punnuksen massa.
100 Viimeksi suoritetun kokeen perusteella liikemäärän muuttumisnopeus kuvaa vuorovaikutuksen hetkellistä voimakkuutta. Voidaan siis kirjoittaa, että p I F = = Mallintavassa lähestymistavassa voiman käsite on jo tunnettu. Edellä selostetun koejärjestelyn tarkoituksena on todentaa Newtonin II laki. -tapauksessa vetävän punnuksen massa pysyy vakiona eli voima on vakio. Liitteessä 2b kuvion 3 perusteella kiihtyvyys on suoraan verrannollinen liikkuvien massojen käänteisarvoon, 1 a, m saman liitteen kuvion 4 perusteella kiihtyvyys on suoraan verrannollinen voimaan, a F. Tämän perusteella voidaan päätellä, että F a = k m. Kun lisäksi piirretään kuvaaja 5 (liite 2b), josta havaitaan, että kerroin k 1, niin Newtonin II laki voidaan kirjoittaa muotoon F = ma. Kuvion 12 perusteella voiman käsitteen merkityksen luominen voidaan suorittaa kahdella tavalla, joita rons luonnehtii nimillä newtonilainen ja machilainen. Edellinen lähtee liikkeelle voimasta, jonka merkitys luodaan harjoittelun yhteydessä. Jälkimmäisen lähtökohtana ovat törmäyskokeet ja hitaan massan käsite. (rons 1997, 58.) Törmäyskokeissa kaksi kappaletta on vuorovaikutuksessa keskenään. Weinstockin mukaan nopeuksien muutosten suhteesta saadaan hitauksien suhde. Kun valitaan yksikkökappale, jonka hitautta merkitään ykkösellä, voidaan muiden kappaleiden hitauksia vertailla keskenään (Weinstock 1961, 699-700).