SINI- JA KOSINILAUSE SINILAUSE: Kolmiossa kulman sinien suhde on sama kuin kulman vastaisten sivujen suhde. Toisin sanoen samassa kolmiossa SIN Kulma / Sivu = Vakio (Jos > 100 gon: Kulma = 200 kulma). Vakio: SIN 50.0000 / 5.3852 = 0.131306 SIN 75.7762 / 7.0711 = 0.131306 SIN 74.2238 / 7.0000 = 0.131306 Soveltaminen: Jos kolmiosta tunnetaan kulma ja sen vastainen sivu ja yksi muu tieto, voidaan loput laskea. Esimerkki: K 1-2-3 = ArcSIN (Vakio x S 1-3 ) K 1-2-3 = 75.7762 gon (tai tapaus 2 jos kulma > 100 gon eli S 2-3 peilikuvana) Kulma = 200 gon Kulma Kulma = 124.2238 gon KOSINILAUSE: Kolmiossa kulman kosini on viereisten sivujen neliöitten summa vähennettynä vastapäisen sivun neliöllä ja jaettuna viereisten sivujen kaksinkertaisella tulolla. Soveltaminen 1: Kulman laskeminen (tunnetaan kolmion kaikki sivut). K 3-1-2 = ArcCOS ( Jaettava / Jakaja ) Jaettava = S 1-3 2 + S 1-2 2 - S 2-3 2 Jakaja = 2 x S 1-3 x S 1-2 K 3-1-2 = 50.0000 gon Soveltaminen 2: Sivun laskeminen (kaksi sivua ja niiden välinen kulma). S 1-2 = Neliöjuuri ( Osa1 - Osa2 ) Osa1 = S 3-1 2 + S 3-2 2 Osa2 = 2 x S 3-1 x S 3-2 x COS K 2-3-1 S 1-2 = 7.0000 m Geodeettinen laskenta - 1-1988-1999 M-Mies Oy
PÄÄ- JA KÄÄNTEISTEHTÄVÄ PÄÄTEHTÄVÄ: Lasketaan tunnetun pisteen koordinaattien (xy-sijainnin) sekä uudelle pisteelle määritetyn suuntakulman (t) ja etäisyyden (s) avulla uudelle pisteelle koordinaatit (xy-sijainti). X 1 = 100.000 ja Y 1 =500.000. T 1-2 = 59.033 gon ja S 1-2 = 20.000 m. Lasketaan uuden pisteen sijainti: X 2 = X 1 + A A = S 1-2 x COS T 1-2 X 2 = 100.000 + 12.000 = 112.000 Y 2 = Y 1 + B B = S 1-2 x SIN T 1-2 Y 2 = 500.000 + 16.000 = 516.000 Sharp EL-9400 ohjelma: XY-MIT KÄÄNTEISTEHTÄVÄ: Lasketaan tunnetujen pisteiden koordinaateista (xy-sijaintimitoista) suorakulmaiset (a ja b) ja säteettäiset merkintämitat (t ja s). X 1 = 100.000 ja Y 1 =500.000. X 2 = 112.000 ja Y 2 =516.000. Lasketaan suorakulmaiset mitat: A = X 2 - X 1 = 12,000 m B = Y 2 - Y 1 = 16,000 m Lasketaan säteettäiset mitat: T = ArcTAN ( B / A ) Suuntakulma T = 59,0333 gon S = Neliöjuuri ( A 2 + B 2 ) Etäisyys S = 20,000 m Sharp EL-9400 ohjelma: SS-MIT Geodeettinen laskenta - 2-1988-1999 M-Mies Oy
ETEENPÄIN- JA KAARILEIKKAUS ETEENPÄINLEIKKAUS: Uudelle pisteelle mitataan kahdelta tunnetulta pisteeltä taitekulmat ja lasketaan sijainti sinilauseen ja päätehtävän avulla (esim. prismaton mittaus kahdella teodoliitillä). X 1 = 100.000 ja Y 1 = 500.000 X 2 = 112.000 ja Y 2 = 516.000 Taitekulma K 3-1-2 = 46.467 gon Taitekulma K 1-2-3 = 31.933 gon S 1-2 = 20.000 m ja T 1-2 = 59.0334 gon K 2-3-1 = 200 gon (K 3-1-2 + K 1-2-3 ) S 1-3 = S 1-2 x SIN K 1-2-3 / SIN K 2-3-1 T 1-3 = T 1-2 - K 3-1-2 = 12.5664 gon X 3 = X 1 + S 1-3 x COS T 1-3 = 110.000 Y 3 = Y 1 + S 1-3 x SIN T 1-3 = 502.000 Tarkistuksena sijainti MP2:n avulla. Sharp EL-9400 ohjelma: ETPLEI KAARILEIKKAUS: Uudelle pisteelle mitataan kahdelta tunnetulta pisteeltä etäisyydet ja lasketaan sijainti kosinilauseen ja päätehtävän avulla (soveltuu myös vapaan asemapisteen laskentaan). X 1 = 100.000 ja Y 1 = 500.000 X 2 = 112.000 ja Y 2 = 516.000 Etäisyydet S 1-3 = 10.198 m Etäisyydet S 2-3 = 14.142 m S 1-2 = 20.000 m ja T 1-2 = 59.0334 gon K 3-1-2 = ArcCOS ((S 1-3 2 + S 1-2 2 - S 2-3 2 ) / 2 x S 1-3 x S 1-2 = 46.4670 gon T 1-3 = T 1-2 - K 3-1-2 = 12.5664 gon X 3 = X 1 + S 1-3 x COS T 1-3 = 110.000 Y 3 = Y 1 + S 1-3 x SIN T 1-3 = 502.000 Tarkistuksena sijainti MP2:n avulla. Sharp EL-9400 ohjelma: KR-LEI Geodeettinen laskenta - 3-1988-1999 M-Mies Oy
SEKA- JA TAAKSEPÄINLEIKKAUS SEKALEIKKAUS: Uudelta pisteen sijainti lasketaan kahdelle tunnetulle pisteelle mitatun taitekulman ja toisen matkan avulla (kulma +2 matkaa: vapaa asemapiste 4:n sekaleikkauksen avulla). X 2 = 110.000 ja Y 2 = 502.000 X 3 = 112.000 ja Y 3 = 516.000 Taitekulma K 3-1-2 = 46.467 gon Etäisyys S 1-2 = 20.000 m S 3-2 =14.1421 m ja T 2-3 =290.9666 gon K 3-2-1 =ArcSIN(S 1-3 x SIN K 2-1-3 / S 2-3 ) K 3-2-1 = 200 78.4008 =121.5991 gon K 1-3-2 = 200 (K 3-2-1 + K 3-2-1 ) T 3-1 = T 3-2 - K 1-3-2 = 259.0327 gon X 1 = X 3 + S 3-1 x COS T 3-1 = 100.000 Y 1 = Y 3 + S 3-1 x SIN T 3-1 = 500.000 Sharp EL-9400 ohjelma: VAPASP Geodeettinen laskenta - 4-1988-1999 M-Mies Oy
TAAKSEPÄINLEIKKAUS: Uudelta pisteeltä (vapaalta asemapisteeltä) mitattu taitekulmat kolmelle tunnetulle pisteelle. Uuden pisteen sijainti lasketaan konelaskukaavojen avulla. MITAT LINJAN SUHTEEN AB-MITAT: Tunnetaan linja 1-2 ja mittapiste 3. Tehtävänä on määrittää a- ja b-mitat sekä taitekulma ja etäisyys annetun linjan suhteen. X 1 = 100.000 ja Y 2 = 500.000 X 2 = 120.000 ja Y 2 = 530.000 X 3 = 105.000 ja Y 3 = 525.000 T 1-2 = 62.5666 gon Osa1 = (Y 2 -Y 1 ) x SIN (T 1-2 ) Osa2 = (X 2 -X 1 ) x COS (T 1-2 ) A= Osa1 + Osa2 = 23.575 m Osa3 = (Y 2 -Y 1 ) x COS (T 1-2 ) Osa4 = (X 2 -X 1 ) x SIN (T 1-2 ) B = Osa3- Osa4 = 9.707 m Kulma=24.867 gon, Matka=25.495 m Sharp EL-9400 ohjelma: AB-MIT AB-LASKENTA: Tunnetaan linja 1-2 ja linjan suuntaiset a- ja b-mitat. Tehtävänä on määrittää mittapisteelle koordinaatit. Jos pisteen merkitään erilliseltä ASP:ltä, on kysymys vertailulinjasta. X 1 = 100.000 ja Y 1 = 500.000 X 2 = 112.000 ja Y 2 = 516.000 XA 3 = 23.575 110.000 m ja YB 3 = 9,707 502.000 m Taitekulma K 1-4-2 = 53.4690 gon Taitekulma K 1-4-3 = 134.7375 gon T 1-2 = 62.5666 gon Lasketaan Kulma kaavoilla: 2-1-3 = ArcTAN(B/A) C=X Kulma 1 -X 2 2-1-3 = 24.8668 D=Ygon 1 -Y 2 E=X 3 -X 2 F=Y 3 -Y 2 G=K T 1-3 1-4-2 = T 1-2 +Kulma 2-1-3 I=K= 1-4-3 87.4334 -K 1-4-2 gon K=(C+D)/TAN(G) S 1-3 = Neliöjuuri (AL=(D-C)/TAN(G) 2 + B 2 )=25.495 m M=(E-F)/TAN(I) X 3 = X 1 + S 1-3 x COS N=(F+E)/TAN(I) T 1-3 = 105.000 A=(K-M)/(N-L) B=(K+AL)/A 2 +1) X Y 3 4 =X = Y 2 +B 1 + S =102.000 1-3 x SIN T 1-3 = 525.000 Y 4 =Y 2 +AB =512.000 Sharp EL-9400 ohjelma: AB-LAS VAPTEO Geodeettinen laskenta - 5-1988-1999 M-Mies Oy
VIIVOJEN LEIKKAUSPISTEET SUORIEN LEIKKAUSPISTE: Määritettävä kahden suoran leikkauspiste. Ratkaisumalli perustuu geodeetisen käänteis- ja päätehtävän ja sinilauseen soveltamiseen. Linjojen MP 1-3 ja MP 2-4 sijainti. T 1-4 =89.4863 gon ja S 1-4 =12.1655 m T 1-3 =59.0334 gon = T 1-5 T 4-2 =342.9553 gon K 5-1-4 = T 1-4 T 1-3 =30.4529 gon K 1-4-5 = T 4-2 T 4-1 =53.4690 gon K 4-5-1 = 200 gon (K 5-1-4 + K 1-4-5 ) S 1-5 = S 1-4 x SIN K 1-4-5 / SIN K 4-5-1 S 1-5 = 9.3548 m X 5 = X 1 + S 1-5 x COS T 1-5 = 105.613 Y 5 = Y 1 + S 1-5 x SIN T 1-5 = 507.484 YMPYRÄN JA SUORAN LEIKKAUSPISTE: Määritettävä ympyrän ja suoran leikkauspiste. Ratkaisumalli perustuu geodeetisen käänteis- ja päätehtävän ja linjalaskennan soveltamiseen. Ympyrän (R=7) ja suoran sijainti Lasketaan: T 1-3 =59.0334 gon Pisteelle 2 A- ja B-mitat linjalta 1-3: Kts. Linjalaskenta / AB-LAS A = 10.0000 m ja B = - 5.0000 m S 4-5 =Neliöjuuri(S 2-5 2 S 2-4 2 )=4.899 m S 1-5 = S 1-4 S 4-5 = 5.101 m S 1-6 = S 1-4 + S 4-6 = 14.899 m X 5 = X 1 + S 1-5 x COS T 1-3 = 103.061 Y 5 = Y 1 + S 1-5 x SIN T 1-3 = 504.081 X 6 = X 1 + S 1-6 x COS T 1-3 = 108.939 Y 6 = Y 1 + S 1-6 x SIN T 1-3 = 511.919 Geodeettinen laskenta - 6-1988-1999 M-Mies Oy
PINTA-ALA- JA MASSALASKENTA PINTA-ALA KOORDINAATEISTA: Määritettävä koordinaattipisteiden rajoittama pinta-ala. Taulukoidaan pisteet myötäpäivään niin että 1. piste on myös viimeisenä. Lasketaan matriisina. Mittapisteiden 1-5 sijainti. Taulukoidaan ja kerrotaan XY ristiin: X 1 Y 1 100.000 500.000 X 2 Y 2 110.000 502.000 X 3 Y 3 112.000 516.000 X 4 Y 4 105.613 507.484 X 5 Y 5 102.000 512.000 X 1 Y 1 100.000 500.000 OSA1= X 1 Y 2 +X 2 Y 3 +X 3 Y 4 +X 4 Y 5 +X 5 Y 1 OSA2= Y 1 X 2 +Y 2 X 3 +Y 3 X 4 +Y 4 X 5 +Y 5 X 1 OSA1= 268872.064 OSA2= 268683.676 P-ALA=(OSA1-OSA2) / 2 = 94.194 m 2 MASSALASKENTA: Muodostetaan maanpinnasta poikkileikkaukset. Lasketaan poikkileikkausten pinta-alat ja kerrotaan alat vaikutusmatkoilla V= ½*S*A 1 +S*A 2 +S* A N-1 + ½*S*A N. Mittaukset ruudutusmenetelmällä: Jos massalaskenta tehdään manuaalisesti, mitataan korot paikalliskoordinaatistoon esim. 2m x 2m ruutuun (tietokonepohjaisessa mallintamisessa mittaukset maastomuotojen mukaan). Poikkileikkaukset ja massat: Poikkileikkaukset piirretään esim. X- akselin suuntaan ja muodostetaan ZX piirrokset. Näistä lasketaan poikkileikkauspinta-alat ja Y-suunnan matka (=2m) huomioiden massat. Ensimmäisen ja viimeisen Geodeettinen laskenta - 7-1988-1999 M-Mies Oy