Matemaattiset apuneuvot II, harjoitus 2 K. Tuominen 9. marraskuuta 2017 Palauta ratkaisusi Moodlessa.pdf tiedostona maanantaina 13.11. kello 10:15 mennessä. Merkitse vastauspaperiin laskuharjoitusryhmäsi assarin nimi. Tehtävät S1 ja S2 ovat ylimääräisiä, ja niistä saa normaalit laskaripisteet, mutta maksimipisteet on mahdollista saada ilmankin. 1. Etsi yleinen ratkaisu separoituville differentiaaliyhtälöille a y = e x y, b y = xy 2. Ratkaisu: a = ex e y, e y = e x, e y = e x + C, y = lne x + C. b = xy 2 y 2 = x, 1 3 y3 = 1 2 x2 + C, y = 3 2 x2 + D 1/3. 2. Ratkaise seuraavat epähomogeeniset lineaariset vakiokertoimiset 1. kertaluvun differentiaaliyhtälöt a y + 3y = x, b y y = e x. Ratkaisu: Vastaus a: y = Ce 3x + x 3 1 9. Vastaus b: y = Ce x + xe x. a Lähdetäään ratkaisussa liikkeelle homogeenisen yhtälön ratkaisusta: Eli + pxy = 0 y + 3y = 0
matemaattiset apuneuvot ii, harjoitus 2 2 Ratkaistaan separoimalla = 3y y = 3 lny = 3x + A y = Ce 3x Seuraavaksi ratkaistaan täydellinen yhtälö vakion varioinnilla: y = Ce 3x y = C e 3x 3Ce 3x sijoitetaan y ja y alkuperäiseen lausekeeseen: C e 3x 3Ce 3x + 3Ce 3x = x C = x e 3x Integroidaan C Osittaisintegrointi: f x = x, g x = 1 e 3x Huom: Ratkaisussa voi tietenkin soveltaa suoraan myös yleistä ratkaisukaavaa, yx = e Px e Px qx, missä Px = px, px = 3 ja qx = x. C = 1 9 e3x 3x 1 TY:n yleinen ratkaisu on näiden kahden ratkaisun summa: y = Ce 3x + 1 9 e3x 3x 1e 3x y = Ce 3x + x 3 1 9 b Homogeeninen yhtälö: y y = e x y y = 0 y = lny = x + A Vakion variointi: y = Ce x y = Ce x TY: y = C e x + Ce x y y = C e x + Ce x Ce x = e x C e x = e x C = 1 C = x TY:n yleinen ratkaisu y = xe x
matemaattiset apuneuvot ii, harjoitus 2 3 y = Ce x + xe x Tapa 2: Integroiva tekijä a Huomataan, että yhtälö on integroivan tekijän vaatimassa muodossa y + pxy = qx. Nyt on px = 3, joten integroivaksi tekijäksi saadaan Ix = e px = e 3 = e 3x. Kerrotaan yhtälön kaikki termit integroivalla tekijällä Ixy + Ix3y = Ixx e 3x y + 3e 3x y = xe 3x Huomataan, että yhtälön vasen puoli näyttää tulon derivaatalta, jossa f x = y ja gx = e 3x. Nyt, yhtälö saadaan muotoon d ye 3x = xe 3x Integroidaan yhtälön molemmat puolet x:n suhteen. Vasemmasta puolesta saadaan d ye 3x = ye 3x, ja oikeasta puolesta osittaisintegroimalla xe 3x = x 3 e3x 1 3 1 e 3x = x 3 e3x 1 9 e3x + C. Sijoittamalla nämä takaisin aiempaan yhtälöön: b Nyt on px = 1, ja integroiva tekijä ye 3x = x 3 e3x 1 9 e3x + C y = x 3 1 9 + Ce 3x. Ix = e 1 = e x. Kerrotaan yhtälö integroivalla tekijällä, ja huomataan tulon derivaatta: Ixy Ixy = Ixe x e x y e x y = 1 d ye x = 1 d ye x = 1 ye x = x + C y = xe x + Ce x. Huom: Voidaan käyttää myös suoraan yleisen ratkaisun muotoa yx = 1 qxix Ix = e 3x xe 3x x = e 3x 3 e3x 1 9 e3x + C = x 3 1 9 + Ce 3x. Huom: Myös tämä saadaan suoraan yleisen ratkaisun muodosta: yx = 1 qxix Ix = e x e x e x = e x x + C = xe x + Ce x.
matemaattiset apuneuvot ii, harjoitus 2 4 3. Radium hajoaa radoniksi, joka puolestaan hajoaa poloniumiksi. Jos hetkellä t = 0 näyte on puhdasta radiumia, niin paljonko radonia näyte sisältää hetkellä t? Ratkaisu: Tehtävässä piti ratkaista radonin määrä ajanhetkellä t kun ajan hetkellä t = 0 vain radiumia sisältävä näyte hajoaa ensin radoniksi joka hajoaa vielä poloniumiksi. Määritellään ensin tarvittavat muuttujat: N 0, radiumin määrä alussa N 1, radiumin määrä ajan funktiona N 2, radonin määrä ajan funktiona λ 1, radiumin aktiivisuus λ 2, radonin aktiivisuus Ratkaistaan ensin radiumin määrän aikariippuvuus. Radiumin hajoamisnopeus riippuu sen aktiivisuudesta ja määrästä. Tämä voidaan kirjoittaa differentiaaliyhtälöksi: dn 1 dn1 N 1 = = λ 1 N 1 λ 1 ln N 1 = λ 1 t + C N 1 =Ce λ 1t Alkuehdosta N 1 0 = N 0 saadaan: C =N 0 N 1 =N 0 e λ 1t Nyt pitää kirjoittaa samanlainen yhtälö radonille. Radonin tapauksessa systeemiin tulee uutta radonia radiumin hajoamisesta ja radonia poistuu hajoamisen myötä. Tämä voidaan kirjoittaa vastaavalla tavalla yhtälöksi: dn 2 = λ 1 N 1 λ 2 N 2 dn 2 + λ 2 N 2 =λ 1 N 1 Yhtälö on lineaarinen 1. kertaluokan epähomogeeninen differentiaaliyhtälö joka on muotoa y + pxy = qx. Yhtälön voi ratkaista esimerkiksi integroivan tekijän avulla ja vakion varioinnilla. Integroiva tekijä Ratkaistaan differentiaaliyhtälö integroivan tekijän avulla. dn 2 + λ 2 N 2 =λ 1 N 1 Nyt integroiva tekijä on: I = exp λ 2 I =e λ 2t
matemaattiset apuneuvot ii, harjoitus 2 5 ja yleinen ratkaisu: Ityt = qtit e λ2t N 2 t = λ 1 N 1 e λ 2t N 2 =e λ 2t λ 1 N 0 e λ1t e λ 2t N 2 =e λ 2t λ 1 N 0 e λ 2 λ 1 t N 2 =e λ λ 2t 1 N 0 e λ 2 λ 1 t + C Alkuehdosta N 2 0 = 0 saadaan C = λ 1N 0 λ 2 λ 1. Nyt sijoittamalla C ja sieventämällä saadaan: N 2 =e λ λ 2t 1 N 0 e λ 2 λ 1 t + λ 1N 0 N 2 = λ 1N 0 e λ1t λ 1N 0 e λ 2t N 2 = λ 1N 0 e λ 1t e λ 2t Vakion variointi Tehtävän voi myös ratkaista vakion varioinnilla. Ratkaistaan ensin homogeeninen yhtälö. Täydellinen yhtälö: Homogeeninen yhtälö: HY:n ratkaisu separoimalla: dn 2 + λ 2 N 2 = λ 1 N 1 dn 2 + λ 2 N 2 = 0 N 2 = Ce λ 2t Nyt asetetaan C = Cx ja käytetään vakion variointia täydellisen yhtälön ratkaisun löytämiseen ratkaisemalla C: N 2 = C e λ 2t Cλ 2 e λ 2t Sijoitetaan nyt ratkaistut N 2 ja N 2 täydelliseen yhtälöön. C e λ2t Cλ 2 e λ2t + Cλ 2 e λ2t = λ 1 N 1 C e λ2t = λ 1 N 1 C = e λ2t λ 1 N 1 C = e λ2t λ 1 N 0 e λ 1t C = λ 1 N 0 e λ2t e λ1t C = λ 1 N 0 e λ 2 λ 1 t 1 C = λ 1 N 0 e λ 2 λ 1 t + C
matemaattiset apuneuvot ii, harjoitus 2 6 Sijoitetaan C homogeenisen yhtälön ratkaisuun. N 2 =λ 1 N 0 e λ 1 2t e λ 2 λ 1 t + C N 2 = Cλ 1 N 0 e λ 2t + 1 λ 1 N 0 e λ 1t Alkuehdosta N 2 0 = 0 saadaan C = N 2 = λ 1N 0 1 λ 2 λ 1. Sievennetään ja saadaan: e λ 1t e λ 2t y = y x + x 2y. Ratkaisu: Ratkaistavana on differentiaaliyhtälö: y = y x + x 2y Jos nyt kirjoittamme sen uuden muuttujan u = y/x kts. vinkki funktiona saadaan se separoituvaksi. Lasketaan ensin u muuttujan x suhteen tästä nimittäin saadaan lauseke y lle: u = y x u = y x y x 2 = y x u x y = xu + u Ja nyt sijoittamalla tämän alkuperäiseen differentiaaliyhtälöön sekä esittämällä kaikki y/x = u saadaan: xu = x du = 1 2u 2udu = 1 x 1 2udu = x u 2 = y 2 = lnx + c1 x y = ±x lnx + c 1 Joka on differentiaaliyhtälön yleinen ratkaisu. 4. Ratkaise differentiaaliyhtälö Vinkki: Tehtävän 4. yhtälö on epälineaarinen, eikä näille ole yleistä ratkaisukeinoa. Eteenpäin pääsee kuitenkin sopivalla sijoituksella, jolla pyritään muuntamaan yhtälö separoituvaksi. Yhtälö on muotoa y = Fy/x, joten tässä kannattaa kokeilla sijoitusta z = y/x.
matemaattiset apuneuvot ii, harjoitus 2 7 S1. Vanhan kartanon Halloween-juhlat muuttuvat karmiviksi, kun kartanonherra löytyy seuraavana aamuna kirjastohuoneesta kuolleena. Kuolema ei ole välttämättä ollut luonnollinen, ja rikospaikkatutkinta alkaa selvittää tapahtumia. Kirjastossa on arkistoituna korvaamattomia käsikirjoituksia, joten huoneen lämpötila pidetään hyvin tarkasti vakioarvossa 21 C. Kello 8 aamulla kropan lämpötila oli 26 C, ja tuntia myöhemmin mittaus antaa lämpötilaksi 25 C. Määritä Newtonin jäähtymislain dt = kt At perusteella mihin aikaan kartanonherra kuoli. Newtonin jäähtymislaissa Tt on lämpötila, At on ympäristön lämpötila ja vakiokerroin k > 0 kuvaa lämmön absorption tai emission nopeutta. Ratkaisu: Tehtävän tilanteessa ympäristön lämpötila At =vakio. dt + kt = ka. Tämä on lineaarinen 1. kl:n differentiaaliyhtälö eli muotoa T + ptt = qt. Ratkaistaan integroivan tekijän avulla. 1 Tunnistetaan aluksi pt = k ja qt = A ja lasketaan Pt = k = kt. Integroiva tekijä on It = exppt = expkt. Lasketaan vielä integraali e kt ka = Ae kt + D, missä D on integroimisvakio. Yhtälön yleinen ratkaisu on siis Tte kt = Ae kt + D. Kun ratkaisu on saatu, niin käytetään tehtävässä annettuja arvoja ja yleistietoa, että hengissä olevan ihmisen ruumiinlämpö on 37 C ja määrätään kerroin k ja ratkaistaan ajanhetki t 0, jolloin Tt 0 = 37 C. Merkitään t 1 = 8h, Tt 1 = 26 C ja t 2 = 9 h, Tt 2 = 25 C, ja lasketaan erotus 1 Yhtälön T = kt A voi ratkaista myös separoimalla: jonka ratkaisu on dt T A = k, Tt = A + De kt. ts. Te kt = Ae kt + D. D on integroimisvakio. josta seuraa aluksi Tt 1 e kt 1 Tt 2 e kt 2 = Ae kt 1 Ae kt 2, Tt 1 Tt 2 e kt 2 t 1 = A Ae kt 2 t 1. Ratkaistaan tästä e kt 2 t 1 = e k 1 h = A Tt 2 A Tt 1 lasketaan vastaavasti josta saadaan Ratkaistaan tästä t 1 t 0 : Tt 1 e kt 1 Tt 0 e kt 0 = Ae kt 1 Ae kt 0, Tt 0 Tt 1 e kt 1 t 0 = A Ae kt 1 t 0. e kt 1 t 0 = A Tt 0 A Tt 1 = 16 5, = 4 5, ts. k 0.223. Tämän jälkeen josta k 0.223 t 1 t 0 = ln16/5/0.223 h 5.22 h. Eli kuolema koitti aamuyöllä noin 13 minuuttia vaille kolme.
matemaattiset apuneuvot ii, harjoitus 2 8 S2. Epälineaarinen yhtälötyyppi, joka voidaan ratkaista näppärällä sijoituksella, on ns. Bernoullin yhtälö + pxy = qxyn. Tapaukset n = 0 ja n = 1 antavat lineaarisen yhtälön. a Osoita, että sijoituksella u = y n 1 yleiselle n, yhtälöstä tulee lineaarinen differentiaaliyhtälö u:lle, b Ratkaise differentiaaliyhtälö Ratkaisu: a Bernoullin yhtälö: du + 1 npxu = 1 nqx. 6xy = 2xy2. + pxy = qxyn Sijoitetaan tähän u = y 1 n. Tätä varten tarvitaan u : u = y 1 n u = 1 ny n y y y n = u 1 n Kirjoitetaan alkuperäinen yhtälö vaihtoehtoisessa muodossa: y + pxy = qxy n y y n + px y1 n = qx Korvataan y /y n ja y 1 n edellä lasketuilla lausekkeilla, jolloin saadaan Tästä seuraa osoitettava yhtälö: u + px u = qx 1 n du + 1 n px u = 1 nqx b Verrataan ratkaistavaa yhtälöä Bernoullin yhtälöön: nyt siis y + 6x }{{} px y = 2x }{{} qx y n {}}{ y 2 px = 6x, qx = 2x, n = 2 Kohdan a perusteella, jos määritellään u = y 1 n, niin u toteuttaa yhtälön: + pxy = qxyn du + 1 n px u = 1 nqx Sovelletaan tätä nyt tehtävän yhtälöön: y 6xy = 2xy 2 u + 1 2 6xu = 1 22x
matemaattiset apuneuvot ii, harjoitus 2 9 missä u = y 1 n = y 1 2 = 1 y Eli alkuperäinen yhtälön ratkaisu saadaan ratkaisemalla u yhtälöstä u + 6x u = 2x Yhtälö on epähomogeeninen. Ratkaistaan aluksi homogeeninen yhtälö: Siis homogeenisen yhtälön ratkaisu on u + 6x u = 0 du = 6xu du u = 6x du u = 6 x Lnu = 3x 2 + c 1 e Lnu = e 3x2 +c 1 u = e 3x2 e c 1 u = c 2 e 3x2 u = c 2 e 3x2 missä c 2 on vakio. Ratkaistaan epähomogeeninen yhtälö vakion varioinnilla: Tällöin c 2 c 2 x u = c 2 e 3x2 u = c 2 e 3x2 + c 2 6xe 3x2 Sijoitetaan nämä u:n differentiaaliyhtälöön Näin saamme Sievennetään u + 6x u = 2x c 2 e 3x2 + c 2 6xe 3x2 + 6x c 2 e 3x2 = 2x c 2 e 3x2 = 2x c 2 = 2xe 3x2 dc 2 = 2xe 3x2 dc 2 = 2 xe 3x2 c 2 = 1 3 e3x2 + c 3 Sijoitetaan näin saatu c 2 aiemmin laskettuun ratkaisuun u = c 2 e 3x2 u = 13 e3x2 + c 3 e 3x2 u = 1 3 + c 3 e 3x2 Lopuksi ratkaistaan vielä y: u = 1 y y = 1 u missä c 3 on vakio. 1 y = 3 1 + c 3 e 3x2 3 y = 1 + 3 c 3 e 3x2
matemaattiset apuneuvot ii, harjoitus 2 10 1. Find the general solution of the following separable differential equations a y = e x y, b y = xy 2. 2. Solve the following inhomogeneous linear differential equations a y + 3y = x, b y y = e x. 3. Radium decays to radon which decays to polonium. If at t = 0, the sample is pure radium, how much radon does it contain at time t? 4. Solve the differential equation hint: The equation in problem is inhomogeneous, and there is no general y = y x + x 2y. S1. The Halloween party in an old mansion receives a gruesome twist as the lord of the mansion is found dead in the library. Suspecting an unnatural cause of death, the crime scene investigation starts to work on the details of the case. Because of some priceless old manuscripts, the temperature in the library is maintained at stea 21 C. At 8 am. the bo temperature was measured to be 26 C and an hour later, at 9 am, the measurement gave 25 C. Determine the time of death of the lord using Newton s law for cooling dt = kt At. In this equation Tt is the temperature of the bo and At is the temperature of the surroundings. The constant factor k > 0 represents the rate at which heat is absorbed or emitted by the bo. formula for its solution. Often it is possible to proceed by clever substitution of variables which make the equation separable. In problem 4 the equation is of the form y = Fy/x and in equations of this type a suitable substitution is z = y/x. S2. A class of nonlinear equations which can be solved with a clever substitution is the Bernoulli equation, + pxy = qxyn. Cases n = 0 and n = 1 yield a linear equation. a Substitute, for general n, u = y n 1, and show that the resulting equation for u is b Solve differential equation du + 1 npxu = 1 nqx. 6xy = 2xy2.