Sksn 015 Lhen matematiikan YO-kokeen TI-Nspire CAS -ratkaisut Tekijät: Olli Karkkulainen ja Markku Parkkonen Ratkaisut on laadittu TI-Nspire CAS -tietokoneohjelmalla kättäen Muistiinpanot -sovellusta. Kaavat ja laskut on kirjoitettu Math -ruutuihin. Math -ruutu sisältää kaikki samat laskutoiminnot kuin laskinsovelluskin. Math -ruutujen laskuja ja lausekkeita voi jälkikäteen muokata ja ovat siten dnaamisia, mikä helpottaa ratkaisun hahmottelua ja muokkaamista. - Math -ruutu listätään Lisää -valikon kautta tai pikanäppäimellä CTRL + M - Math -ruutu nättää tältä:f :=a b ja tämän derivaatta $ f a b b-1 $ - Laskutoimitus lasketaan painamalla Enter. Söte on sininen ja tulos on vihreä. - Kun kirjoitetaan vain kaava, siirretään kursori ruudun ulkopuolelle ja kaava säil mustana. - Math -ruudun määritksiä voidaan muuttaa valitsemalla 5:Math-ruudun asetukset tai klikkaamalla hiiren kakkospainiketta ruudun päällä. Näiden malliratkaisujen tavoitteena on havainnolistaa TI-Nspire CAS -tietokoneohjelman kättöä sähköisen koesisällön tuottamisessa. Lisätietoja www.nspire.fi Tehtävä 1 1 a) Luvun -1 vastaluku on 1 ja luvun 5 käänteiluku on 1 1+ 5, joten keskiarvo on 5 b) Neliön pinta-ala on = 4 ja mprän ala on π 4-π π 0.734, joten neliön ala on 7 % suurempi. = π. = 3 5 c) Ratkaistaan htälö solve 3 - = +1, = 3 Sivu 1 aihe: 9
Tehtävä Kuvaan merkitn harmaan kolmion kanta on sama kuin suunnikkaan kanta ja korkeus on puolet suunnikkaan korkeudesta, eli 1 cm. Kstun kuvion ala on kaksi kertaa harmaan kolmion ala, eli pinta-ala on 4 1 = 4. 4 cm 1 cm cm 4 cm Tehtävä 3 a) f = 1, kun = -1 tai = 3. b) f 0, kun 0. c) f ' 0, kun - 1. Sivu aihe: 9
Tehtävä 4 EQ = aivojen massa 0.01 kehon massa /3 a) Sijoitetaan koiran massa 10 kg ja EQ -luku 1.0 htälöön ja ratkaistaan aivojen massa. 1.0 = 0.01 10 /3, solve 1.=, =0.055699 0.01 10 3 b) Sijoitetaan ihmisen aivojen massa ja EQ- luku. Ratkaistaan kehon massa m. 1.35 solve 7.5=,m m>0 m=58.0948 0.01 m 3 a) 56 grammaa b) 58 kg Tehtävä 5 Yhdenmuotoisten kolmioiden korkeuden suhde kantaan on 33 = 55, josta solve 63 33 = 55 605, = 63 1. Silitslaudan korkeus on 55+ 605 1 83.8095 84 cm Sivu 3 aihe: 9
Tehtävä 6 a) Sähkön hinnat kulutuksen funktiona a :=0.066 +4.0 Valmis b :=0.0799 +3.75 Valmis b) Ratkaistaan kulutus, kun a() = b() solve a =b, =19.708 Kulutuksen tätisi olla 19.7 kwh c) Hintaero kseisellä kulutuksella on Yhtiö a: 0.066 000+1 4.0 = 180.64 Yhtiö b: 0.0799 000+1 3.75 = 04.8 Erotus 0.0799 000+1 3.75-0.066 000+1 4.0 = 4.16 Hintaero on 4 euroa Tehtävä 7 Olkoon meetvurstin määrä 100a. Tällöin siinä on rasvaa 36a. Vähennetään rasvaa määrä. 36 a- solve =0.3, =8.57143 a 100 a- Vähentneen rasvan osuus alkuperäisestä rasvasta on 8.57143 a 0.38095 36 a 4% Sivu 4 aihe: 9
Tehtävä 8 Piiri on 1m, joten b = 1-r. Sektorin ala on A= b r = 1-r r, jossa 0 r 1. Lasketaan pinta-alan derivaattafunktio L L r 1- r r 1 - r, joka on nolla kun r = 1 4. Pinta-alan on alaspäin aukeava paraabeli, joten pinta-alan suurin arvo on derivaatan nollakohdassa r = 1 4 = 0.5. Pinta-ala on suurin, kun säde on 0.5 m Tehtävä 9 m Alkuperäinen pinta-ala on 0. 1. 40. Kun molempiin sivuihin lisätään, pitäisi pinta-alan on 480. solve 0+ 1+ =480, = 38.711 or =6.7106 Ratkaisuista negatiivinen voidaan jättää huomiotta, jolloin uudet mitat ovat 6.3 m ja 18.3 m. = =6.7 m 1 m 40 m² 480 m² Mitat ovat 6.3 m ja 18.3 m. 0 m Sivu 5 aihe: 9
Tehtävä 10 Piirretään kuvan mukainen suorakulmio, jonka lävistäjänä on suora =3-3. Piirretään mös toinen lävistäjä, joka on kstt suora, sillä lävistäjät jakavat suorakulmion smmetriasistä neljään htä suureen osaan ja täten kolmion kahteen htä suureen osaan. 4.31 0,3 =3 1,3 Kstn suoran kulmakerroin on siis 3/1=3. 1 1.94 f1 = 3 +3.33 Tehtävä 11 a) Määritetään suoran htälö, joka kulkee pisteiden 1,7817 ja 4,1338 kautta solve 7817,1338 =k 1,4 +b,k,b k=1807 and b=6010 Suoran htälö on = 1807+6010, missä aika kuukausina. Joulukuun mnti on siis 1807 1+6010 = 7694 60000 f =7817 3 1338 7817-1 b) Jos mnti kasvaa eksponentiaalisesti, sitä kuvaa htälö =7817a -1, josta a saadaan htälöstä 1338=7817a 4-1 3 1338 a= 7817 Täten joulukuun mnti on 3 1-1 1338 7817 53939.7 7817 : a) 7694 b) 53940 1 10000 1,7817 1 4,1338 =1807+6010 13 10000 Sivu 6 aihe: 9
Tehtävä 1 Kuviossa kolmio ABC ja CED ovat hdemuotoiset (kk), joten r 4 = 4-r 3 +4, josta solve r 3 = 4-r 3,r r= 3 +4 3 cm A E Säde on 3/ B D r 4 cm C Tehtävä 13 a) normcdf,1,15.,.5 0.10073 Takuukorjaukseen menee 10% b) normcdf 18,,15.,.5 0.131357 Vioittumatta toimii 13 % Alle on piirrett a) ja b) kohdan kuvaajat f1 normpdf,15.,.5 0. f1 =normpdf,15.,.5 0. f1 =normpdf,15.,.5 a kohta b kohta 0.05 0.05 0 0.0 1,0 50 0 0.0 5 0.131 18,0 50 Sivu 7 aihe: 9
Tehtävä 14 a) Pdett funktio on f :=0.3 40000+0.3-40000 eli f 0.3-800. kun >40000. b) f 41700.3 1544.0736 1544.05. c) Veron osuus: 30% 85% 41700.3 10633.55865 ja veron osuus prosentteina osinkotulosta: 10633.55865 41700.3 5.5%. Tehtävä 15 Aino ja Mikko ovat maailmanpörän kdissä. Korin korkeus merenpinnan tasosta mitattuna on =17 sin π t 5 +55metriä kun ajan t ksikkönä on sekunti ja kulma ilmaistaan radiaaneina. a) Laske korin suurin ja pienin korkeus sekä maailmanpörän halkaisija. b) Kuinka monen sekunnin kuluttua kori saavuttaa ensimmäisen kerran maksimikorkeutensa hetken t = 0jälkeen? c) Kuinka monen sekunnin kuluttua kori on ensimmäisen kerran hetken t = 0 jälkeen 45 metrin korkeudella merenpinnan tasosta? Voit ratkaista tämän kohdan joko graafisesti kuvaajan avulla, kun 0 t 50 sekuntia, tai laskemalla lausekkeiden avulla. Sivu 8 aihe: 9
a) Koska -1 sin π t 1 vaihtelee korkeus välillä 55±17 m. 5 Suurin korkeus on siten 7 m ja pienin 38 m. Halkaisija on 7-38 = 34 m b) Kori saavuttaa huipun ensimmäisen kerran kun π t 5 = π,eli ratkaistaan t htälöstä solve π t 5 = π,t t= 5 =1.5 s. 100 f1 =17 sin π 5 +55 1.5,7 c) Graafisesti: Klikataan hiiren kakkospainiketta kuvaajan päällä ja valitaan jäljitä tökalu. Klikataan kärälle piste, joka on lähellä 45 metrin korkeutta vastaavaa kohtaa. Tämän pisteen -koordinaatin arvo voidaan muuttaa halutuksi, eli luvuksi 45. Tätä korkeutta vastaava aika on n. 30 s. Lausekkeiden avulla solve f1 =45, 0 50 =30.0044 or =44.9956, eli noin 30 s. 30,45 10.4 10 10 60 Sivu 9 aihe: 9