763101P FYSIIKAN MATEMATIIKKAA Seppo Alanko Oulun yliopisto Fysiikan laitos Syksy 01 1 Sisältö: 1 Differentiaalilaskentaa Integraalilaskentaa 3 Vektorit 4 Potenssisarjoja 5 Kompleksiluvut 6 Differentiaaliyhtälöistä 7 Vektorit ja differentiaalilaskenta 8 Vektori-integrointi Perustuu: Robert A. Adams, Calculus - A Complete Course P. Pietilä, palsta.pdf - moniste, 003
1 DIFFERENTIAALILASKENTAA 1.1 RAJA-ARVOT Differentiaalilaskenta (derivointi) perustuu raja-arvojen laskentaan. Funktion f( x ) raja-arvo L pisteessä x x0 on se arvo, jota funktio lähestyy, kun x x0. Sitä merkitään L lim f( x). xx Jos raja-arvo on olemassa, sen täytyy olla yksikäsitteinen eli L lim f ( x ) lim f ( x ). 0 0 0 xx x x Funktio on jatkuva pisteessä x 0, jos lim f( x) f( x ) xx 0 eli funktion arvo on sama kuin raja-arvo ko. pisteessä. Esim. 0
3 Esim. On huomattava, että jälkimmäisessä esimerkissä rajaarvo on kyllä olemassa ja yksikäsitteinen lim f( x) lim f( x), x1 x1 mutta itse funktiota ei ole määritelty pisteessä x 1, joten se ei voi olla myöskään jatkuva kyseisessä pisteessä. Ole tarkkana: Raja-arvo tarkoittaa funktion arvoa hyvin lähellä tarkastelupistettä, ei funktion arvoa ko. pisteessä. Esimerkiksi kuvassa alla lim gx ( ), mutta g() 1 x
4 Laskusääntöjä: Merkitään L lim f( x) ja M lim gx ( ). xa xa Pätee: lim[ f ( x ) g ( x )] L M xa lim[ f ( x ) g ( x )] LM xa lim[ kf ( x)] kl, missä k on vakio xa lim[ f ( x )/ g ( x )] L / M, kun M 0 xa 1. DERIVAATAN MÄÄRITELMÄ Funktion f ( x ) derivaatalla f '( x 0) pisteessä x 0 tarkoitetaan raja-arvoa f( x) f( x0) f '( x0) lim, (1.1) x x 0 xx missä f( x) f( x0) xx0 on funktion erotusosamäärä pisteen x 0 ympäristössä. 0 Geometrisesti derivaatta on funktion kuvaajan tangentin kulmakerroin derivointipisteessä. Derivaatta kertoo siis kuinka voimakkaasti funktio kasvaa tai vähenee tarkastelupisteessä.
Esimerkki: Erotusosamäärä. Määritä funktion y f( x) x pisteiden (1,1) ja (,4) kautta kulkevan suoran kulmakerroin. Ratkaisu: Kysytty kulmakerroin on y f() f(1) 3 3 x 1 1 Yleisemmin: Funktion arvon muutos kohdasta x 0 kohtaan x on f( x) f( x ) ja erotusosamäärä f( x) f( x0) xx 0 0 ilmoittaa funktion arvon keskimääräisen muutosnopeuden välillä x x x0. Erotusosamäärästä päädytään derivaattaan, kun otetaan raja-arvo x x0, jolloin suora "kääntyy" kuvaajan tangentiksi tarkastelupisteessä x 0. 5
Esimerkki: Derivaatta. Määritä funktion y f( x) x pisteeseen (1,1) piirretyn tangentin kulmakerroin. Ratkaisu: Otetaan raja-arvo erotusosamäärästä: f( x) f( x0) f '( x0) lim x x 0 xx0 x x0 lim xx0 ( xx0)( xx0) lim xx0 xx0 lim( xx ) x. xx 0 0 0 Tässä tarkastelupiste on x0 1, joten derivaatta ja siten myös tangentin kulmakerroin on. Derivaatta on differentiaalilaskennan peruskäsite. 6
Derivoituvuus Määritelmässä (1.1) molempien lähestymissuuntien ( x x0 tai x x0) täytyy johtaa samaan tulokseen. Jos raja-arvo (1.1) ei ole yksikäsitteinen tai sitä ei ole olemassa, derivaattaa ei ole määritelty. Jos raja-arvo on yksikäsitteisenä olemassa, sanotaan, että funktio on derivoituva. 7 Fakta: Derivoituva funktio on aina jatkuva. Todistus: Olkoon f derivoituva kohdassa x 0. Koska arvoilla x x0 on f( x) f( x) f( x0) f( x0) f x ( ) f( x0) ( x x0 ) f ( x0 ) xx0 saadaan raja-arvoksi lim f( x) f '( x ) lim( xx ) f( x ) f( x ), 0 0 0 0 xx xx 0 0 mistä väitös seuraa. Jatkuva funktio ei kuitenkaan ole aina derivoituva (seuraava esimerkki):
Esimerkki: Tutki onko jatkuva funktio x, kun x 0 f( x) x x, kun x 0 derivoituva kohdassa x 0. 8 Ratkaisu: Erotusosamäärän raja-arvo (derivaatta) negatiiviselta puolelta on f( x) f(0) x0 lim lim lim( 1) 1. x 0 x0 x 0 x0 x 0 ja positiiviselta puolelta: f( x) f(0) x0 lim lim lim( 1) 1. x 0 x0 x 0 x0 x 0 Lähestyminen eri puolilta ei johda samaan tulokseen, joten funktio ei ole derivoituva kyseisessä pisteessä.
9 Merkintöjä Funktion y f ( x) derivaattaa f '( x ) merkitään usein myös d df( x) f '( x) y' f( x) Dy Df( x) dx dx. Kun halutaan korostaa, että derivaatta lasketaan nimenomaan pisteessä x 0 (eikä yleisessä pisteessä x) merkitään joskus df( x) f '( x0 ) dx Fysiikassa ajan suhteen derivointia merkitään monesti pisteellä d f () t f () t dt xx 0
10 1.3 DERIVAATTOJEN LASKU A) Derivaatta suoraan määritelmästä Määritelmän (1.1) f( x) f( x0) f '( x0) lim x x 0 xx mukaan f ( x ):n derivaatta yleisessä pisteessä x (siis x0 x) on f( x1) f( x) f '( x) lim, x 1 x x x missä x 1 symboli on otettu käyttöön sekaannuksen välttämiseksi. Kun vielä kirjoitetaan x 1 x x, saadaan käytännön laskemista varten helpompi työkalu: 1 0 f '( x) f( xx) f( x) lim. (1.) x x 0
Esimerkki: Laske funktion f( x) x derivaatta. Ratkaisu: f( xx) f( x) ( xx) x f '( x) lim lim x 0 x x 0 x x x( x) ( x) x lim lim[ x( x)] x 0 x x 0 x. Hyvä apuneuvo: binomikehitelmä n n n k nk n n! ( ab) ab k0 k, missä k. k!( nk)! Tässä! tarkoittaa kertomaa n! 1 ( n1) n ja on määritelty, että 0! 1. Lasketaan esimerkiksi ( a ) 3 b. Nyt 3 n, joten 3 3 0 3 3 1 3 1 3 3 0 ( ab) ab ab ab ab 0 1 3 3 3 b 3ab 3a b a. 11
3 Esimerkki: Laske funktion f( x) x derivaatta. Ratkaisu: f f( xx) f( x) ( xx) x '( x) lim lim x 0 x x 0 x 3 3 3 Lasketaan ( x x) soveltamalla edellisen esimerkin binomikehitelmää. Tässä a x ja b x, joten 3 3 3 ( xx) ( x) 3 x( x) 3x x x ja 3 3 ( xx) x ( x) 3 x( x) 3x x ja derivaatta saadaan raja-arvona x 0, ts. f '( x) 3x 1 Yleisesti: Dx n n 1 nx
Esimerkki: Laske funktion f ( x) sin x derivaatta. Ratkaisu: f( xx) f( x) sin( xx) sin x f '( x) lim lim x 0 x x 0 x Yleisesti pätee (ks. vakio- ja kaavakokoelma) 1 1 sin sin cos ( ) sin ( ), joten 1 1 sin( xx) sin xcos ( xx) sin x. Edelleen sinin sarjakehitelmästä näemme (vakio- ja kaavakokoelma), että sin x x, kun x 0, 1 1 joten derivaataksi saamme 1 1 cos ( xx) x lim lim cos 1 ( x x) x 0 x x 0 cos x Siis Dsin x cos x Muutamien tavallisimpien funktioiden derivaattoja Esim. 1/ 1 1/ 1 D x Dx x x 13
14 B) Derivaatan laskusääntöjä Seuraavassa f ja g ovat derivoituvia funktioita ja a ja b vakioita. Lineaarisuus: d af ( x ) bg ( x ) af '( x ) bg '( x ) (1.3) dx Esim. 3 d 3 dx dsin x 5x 4sin x 5 4 15x 4cos x dx dx dx Tulon derivointi: d f ( xgx ) ( ) f '( xgx ) ( ) f ( xg ) '( x ) (1.4) dx Esim. 3 d 3 dx 3 dcos x 3 x cos x cos x x 3x cos x x sin x dx dx dx Osamäärän derivointi: d f( x) f'( xgx ) ( ) f( xg ) '( x) dxgx ( ) g ( x) Esim. dx d( x 1) ( x 1) x d x dx dx x( x 1) x dx x 1 ( x 1) ( x 1) 3 x ( x 1) (1.5)
Yhdistetyn funktion derivointi: (ketjusääntö) d f ( gx ( )) f '( gx ( )) g '( x ) (1.6) dx Esim. 1 d sin( x ) cos( x ) xxcos( x ) dx Tässä siis f sin( g), missä g x on ns. sisäfunktio. Esim. d 1 1 x. dx x x Tässä f g, missä g x 15 Käänteisfunktion derivointi: Oletetaan, että muuttuja z on ratkaistavissa yhtälöstä x f ( z), ts. 1 1 z f ( x), missä f on nyt funktion f ns. käänteisfunktio. Esimerkiksi, jos on xz 3, niin voidaan ratkaista z 1 ( x 3). Tässä siis f( z) z3 x ja f ( x) ( x3) z on käänteisfunktio. 1 1 Kun funktion derivaatta tunnetaan, niin käänteisfunktion derivaatta voidaan laskea kaavasta
Df ( x) f '( z) (1.7) Esimerkissä siis 1 1 1 D ( x 3) D[z 3], mikä selvästikin pitää paikkansa. 1 1 Esim. z Jos x e, niin z ln x. Lasketaan käänteisfunktiotekniikalla D[ln x ], kun tiedetään, että D[ e ] e. z z Nyt 1 z z f ( x) ln x, f ( z) e ja f '( z) e, jolloin 1 1 (1.7):stä tulee D[ln x] z e x. Arkus-funktiot (syklometriset funktiot) - trigonometristen funktioiden käänteisfunktioita 16 x x x sin z ja z arcsin x, z cos z ja z arccos x, 0 z tan z ja z arctan x, z Huomaa arkus-funktioiden arvoalueiden rajaus, joka on seurausta käänteisfunktion yksikäsitteisyysvaatimuksesta.
17 Lasketaan esimerkiksi arccos x-funktion derivaatta. Käänteisfunktion kaavasta (1.7) saamme 1 1 Darccos x Dcos z sin z missä sinz 1 cos z 1 x, joten lopulta tulee Darccos x Voidaan laskea mm. tulokset: 1 Darcsin x 1x 1 Darccos x 1x 1 Darctan x 1 x 1 1x.
18 1.4 KORKEAMMAN KERTALUVUN DERIVAATAT Jos funktion f( x ) derivaatta f '( x ) on myöskin derivoituva, voidaan laskea ns. toinen derivaatta f '( xx) f '( x) Df '( x) lim x 0 x jne. kolmas, neljäs, n:s derivaatta. (1.8) Funktion n:ttä derivaattaa merkitään mm. n ( n) n d f( x) f ( x) D f( x) n dx Alhaisen kertaluvun derivaatoilla käytetään myös esimerkiksi f () ( x) f ''( x) DDf ( x) ja ajan suhteen derivoinnissa esimerkiksi d f() t f() t dt Esimerkki: Laske funktion f( x) ln x kolmas derivaatta. 1 Ratkaisu: f '( x) D(ln x) 1 1, f ''( x) D x x x 1 f '''( x) D 3 x x
19 1.5 SOVELLUTUKSIA - käsitellään vain fysiikan kannalta tärkeimpiä A) Suureiden muodostaminen (esimerkkinä nopeus) Nopeus kertoo aikayksikössä kuljetusta matkasta. Tarkastellaan esimerkkinä pitkin x-akselia etenevää kappaletta, jonka paikka xt () ajan t funktiona on esitetty alemmassa kuvassa. Kappaleen keskinopeus aikavälillä t määritellään suhteena x xt ( t) xt (), t t ts. jaetaan kuljettu matka siihen käytetyllä ajalla. Selvästi kysymyksessä on erotusosamäärä, josta kappaleen hetkellinen nopeus v () t ajan hetkellä t saadaan ottamalla raja-arvo t 0, ts laskemalla paikan xt () derivaatta xt ( t) xt () v ( t) lim, (1.9) t 0 t
eli siis dxt () v () t xt (). (1.10) dt Kiihtyvyys on nopeuden muutos aikayksikössä ja vastaavasti se saadaan nopeuden derivaattana () () dv t d xt at () v () t xt () (1.11) dt dx Esimerkki: Gepardi kiihdyttää pitkin x-akselia niin, että sen paikkakoordinaatti x ajanhetkellä t lähdöstä noudattaa yhtälöä t. x() t (5,0 m/s) a) Laske gepardin keskinopeus aikavälillä t 1 t, kun t1 1,0s ja t,0s. b) Laske gepardin hetkellinen nopeus ajanhetkellä t 1,0s 0 Ratkaisu: a) keskinopeus erotusosasmääränä x x(,0s) x(1,0s) 0m5,0m 15 t,0s 1,0s 1,0s m/s b) hetkellinen nopeus derivoimalla v () t x() t (10 m/s) t, josta hetkellä 1,0 s tulee v (1,0s) 10 m/s 1,0 s 10 m/s
1 B) Approksimaatiot Derivaatan määritelmästä (1.) f( xx) f( x) f '( x) lim x 0 x voidaan ratkaista likimääräisesti f( xx) f( x) f '( x) x. (1.1) Tässä siis uusi funktion arvo f( x x) lasketaan lisäämällä alkuperäiseen arvoon f( x ) muutos f f '( x) x. (1.13) Muutos f lasketaan käyttäen derivaatan (tangentin kulmakertoimen) arvoa pisteessä x viereisen kuvan mukaisesti. On selvää, että approksimaatio on sitä tarkempi mitä pienempi x on. Esimerkiksi sin( x) sin(0 x) sin(0) cos(0) x x, joka on sitä tarkempi mitä pienempi x on.
Esimerkki: Newton-Raphsonin menetelmä yhtälön f( x) 0 ratkaisemiseksi (funktion oltava derivoituva). Arvataan ratkaisulle likiarvo x 0 ja approksimoidaan funktiota x 0 :n läheisyydessä lineaarisella kuvaajalla (vrt. (1.1) ja katso kuva alla) f( x) f( x ) f '( x )( x x ). 0 0 0 Tämä on suora, joka leikkaa x-akselin pisteessä f( x0) x 1 x 0 f '( x ). Piste x 1 on yleensä parempi likiarvo nollakohdalle kuin x 0. 0 Toistamalla menettely käyttäen seuraavaksi lähtöarvona x 1 :tä saadaan taas parempi likiarvo x jne... Jatkamalla samalla tavalla (iteroiden) saadaan f( xn ) xn 1 xn, f '( x ) jne..., kunnes f( x n) on halutulla tarkkuudella nolla. n
Esimerkki: Laske 6:n arvo vähintään kolmen desimaaliin tarkkuudella käyttäen Newton-Raphsonmenetelmää. Ratkaisu: On siis etsittävä funktion f x ( ) x 6 positiivinen nollakohta, ts. on ratkaistava yhtälö x 6 0. Koska f () ja f (3) 3 etsimämme ratkaisu on välillä x 3. Arvataan x0,5. Lisäksi joten x x x f x ja f '( x) x, ( ) x 6 f( x ) 0,5000,50000,45000 0 1 x 0 f '( x0) 5,00000 f( x ) 0,0050,45000,44949 1 x 1 f '( x1) 4,90000 f( x ) 0,0000006,44949,44949 3 x f '( x) 4,89897959 Kolmella desimaalilla on siis 6,449 3
4 C) Ääriarvot Käsitteitä: - paikallinen eli lokaalinen maksimi /minimi - absoluuttinen eli globaali maksimi/minimi Derivoituvan funktion f( x ) ääriarvokohdissa (maksimeissa ja minimeissä), jotka sijaitsevat funktion määrittelyalueen sisällä, funktion tangentti on x-akselin suuntainen eli derivaatta on nolla f '( x) 0. Ääriarvokohdat voivat sijaita myös funktion määrittelyalueen reunapisteissä.
Esimerkki: Olkoon funktio f( x ) määritelty siten, että f ( x) Etsi ääriarvopisteet. x, kun 1 x 1. Ratkaisu: Hahmotellaan kuvaaja. Derivaatta f '( x) x on nolla pisteessä x 0. Maksimit (arvoltaan 1) sijaitsevat reunapisteissä x 1 ja minimi (arvoltaan 0) pisteessä x 0 Pisteet, joissa derivaatta häviää, ovat ns. kriittisiä pisteitä. Derivaatan häviäminen on ääriarvon välttämätön ehto, mutta ei kuitenkaan riittävä. Katso esim. piste x 3 edellisellä sivulla. Kahdesti derivoituvalla funktiolla nähdään: - siirryttäessä maksimikohdan yli vasemmalta oikealle ensimmäinen derivaatta pienenee, ts. toinen derivaatta on negatiivinen, f ''( x) 0. 5
6 - siirryttäessä minimikohdan yli vasemmalta oikealle ensimmäinen derivaatta kasvaa, ts. toinen derivaatta on positiivinen, f ''( x) 0. - jos toinen derivaatta kriittisessä pisteessä on nolla, f ''( x) 0, kyseessä ei ole maksimi eikä minimi. 4 3 Esimerkki: Analysoi funktion f ( x) 3x 4x kriittiset pisteet. Ratkaisu: Hahmotellaan kuvaajaa: Kriittiset pisteet saadaan asettamalla Tästä 3 f '( x) 1x 1x 0. 1 x ( x1) 0, josta x 0 ja x 1. Toinen derivaatta on f ''( x) 36x 4x, joten f ''(0) 0 ja f ''(1) 1 0. Pisteessä x 0 ei ole minimiä eikä maksimia. Pisteessä x 1 funktiolla on minimi.
D) l'hospitalin sääntö - apuneuvo muotoa 0/0 tai / olevien raja-arvojen laskemiseksi: 7 Jos ja jos joko tai niin f '( x) lim xa g '( x ) f( x) 0 ja gx ( ) 0, kun x a f( x) ja gx ( ), kun x f( x) lim xa gx ( ) A A a sin x Esimerkki: lim x 0 x Tässä sekä osoittaja että nimittäjä lähestyvät nolla, joten voidaan soveltaa l'hospitalin sääntöä sin x cos x lim lim cos0 1 x0 x x0 1
sin x Esimerkki: lim x 0 x Taas l'hospitalin ehdot ovat voimassa ja sin x 4sin x cos x sin x lim lim lim x0 x x0 x x0 x ja edelleen l'hospitalin säännöllä sinx cosx lim lim4 4 x0 x x0 1 Esimerkki: lim xln x x0 Tässä nollaa lähestytään positiiviselta puolelta, jotta logaritmi-funktio olisi määritelty. Tässä raja-arvossa x 0 ja ln x. Kirjoitetaan raja-arvo muodossa lim ln x, x0 1/ x jolloin l'hospitalin ehdot ovat voimassa ja voidaan laskea 1 lim xln x lim x lim( ) 0 x 0 x 0 1 x. x0 x 8
9 1.6 USEAMMAN MUUTTUJAN FUNKTIOT A) Osittaisderivaatat Esimerkiksi sähkökentässä liikkuvan varatun hiukkasen potentiaalienergia w riippuu hiukkasen paikasta kolmiulotteisessa avaruudessa w wxyz (,, ). Tämä on esimerkki useamman (kolmen tässä tapauksessa) muuttujan funktiosta. Muuttujat x, y ja z. Ns. Osittaisderivaatta x-muuttujan suhteen on w wx ( xyz,, ) wxyz (,, ) lim (1.14) x x 0 x ja vastaavasti määritellään osittaisderivaatat myös y:n ja z:n suhteen, alla z:n suhteen: w wxyz (,, z) wxyz (,, ) lim. z z 0 z Mikäli osittaisderivaatat ovat edelleen derivoituvia, voidaan laskea korkeamman kertaluvun osittaisderivaattoja, esim: w tai w w yx yx, jne w x x x
Useimmissa fysiikan probleemoissa osittaisderivaatat ovat hyvin käyttäytyviä ja "pehmeitä", jolloin sekaderivaatoissa derivointijärjestyksellä ei ole merkitystä, esimerkiksi w w xy yx 3 3 Esimerkki: Laske funktion g( x, y) x 7x y y kaikki osittaisderivaatat toiseen kertalukuun saakka. Ratkaisu: Ensimmäisen kertaluvun derivaatat g 3x 14xy ja g 7x 3y x y ja toisen kertaluvun g (3x 14 xy) 6x14y x x g 3x 14xy14x yx y g 7x 3y 14x xy x g (7x 3 y ) 6y y y Joskus osittaisderivaattoja merkitään alaindekseillä. Esimerkiksi 30
31 g y g, y g xy g, xy B) Kokonaisdifferentiaali Tarkastellaan useamman muuttujan funktiota f( x, x,..., x ). 1 Muuttujien variaatioista xi aiheutuva funktion muutos f on approksimatiivisesti, katso (1.13) f f f f x x... xn. (1.15) x x x 1 1 Tämä saadaan tarkaksi infinitesimaalisella rajalla 0, jolloin kirjoitetaan x i f f f df dx dx... dxn x x x 1 1 n n n (1.16) Suure df on ns. kokonaisdifferentiaali. Esimerkki: Mittaustuloksen virheen arviointi. Määritetään sylinterin tilavuus mittaamalla sen korkeus h (arvioitu mittaustarkkuus olkoon h) ja halkaisija d (tarkkuus d ). Tilavuus saadaan laskettua kaavasta 1 V dh 4
Mittausten epätarkkuudesta aiheutuva tilavuuden virhe on approksimatiivisesti V V 1 1 V d h dhd d h. d h 4 Poikkeamat d ja h voivat olla positiivisia tai negatiivisia. Varmuuden vuoksi arvioinnissa kirjoitetaan 1 1 V dh d d h max 4 Mittausvirheet ovat monesti sitä suurempia mitä suurempia mitattavat suureet ovat, joten relevantimpi epätarkkuuden mitta on suhteellinen virhe V V d h max V d h d h 1 max 4 3 C) Kokonaisderivaatta Oletetaan, että hiukkasen energia w riippuu paikan (,, ) xyz lisäksi myös ajasta t, ts. w wxyzt (,,,), missä myös paikka riippuu ajasta, eli x xt (), y yt () ja z zt (). Kysymys: Miten lasketaan energian derivaatta ajan suhteen?
33 Vastaus: Ketjusäännön (1.6) mukaan x-koordinaattiin liittyvä muutos on approksimatiivisesti (ks. 1.13 ja 1.15) w x w t xt x t x ja muille koordinaateille vastaavasti. Kokonaismuutos on w w w w w x t y t z t t, x y z t joka muuttuu eksaktiksi, kun siirrytään rajalle t 0: josta w w w w dw x y z dt x y z t dw w w w w x y z. dt x y z t Tämä on kokonaisderivaatta, joka itse asiassa on ihan tavallinen derivaatta. Onhan w loppujen lopuksi vain ajasta riippuva funktio.
34 Esimerkki: Laske funktion f ( x, y) sin( xy ) derivaatta ajan suhteen, kun x() t t ja y( t) cost. Ratkaisu: Kokonaisderivaatta on df f f x y dt x y y cos( xy ) x xy cos( xy ) y cos tcos( tcos t) tcostcos( tcos t)( sin t) cos( tcos t)(cos ttsintcos t) Samaan päädytään, jos derivoidaan suoraan funktiota g( t) sin( xy ) sin( tcos t) D) Implisiittinen derivointi Tarkastellaan yhtälöä f( x, y) c, missä c on vakio. Esimerkiksi origokeskeinen yksikköympyrä on f ( x, y) x y 1. Miten tästä lasketaan y:n derivaatta x:n suhteen?
35 1. tapa: Ratkaistaan y, jos se ylipäätään on mahdollista ja derivoidaan.. tapa: implisiittisesti ratkaisematta yhtälöä: Yhtälön f( x, y) c kokonaisdifferentiaali on f f dx dy x y 0, josta suoraan ratkaisemalla saadaan dy dx f x f y. (1.17) Esimerkiksi yksikköympyrän tapauksessa dy x x dx y y Esimerkki: Muodosta implisiittisesti derivaatta dy / dx yhtälöstä sin( xy) y x. Ratkaisu: Kirjoitetaan f( x, y) sin( xy) yx 0, jolloin df dx f y cos( xy) 1 ja xcos( xy) 1, y
joten dy y cos( xy) 1 1 y cos( xy) dx xcos( xy) 1 1xcos( xy) 36