Dissipatiiviset voimat
Luennon tavoitteena Mitä on energian dissipaatio? Ilmanvastus ja muita vastusvoimia, analyyttinen käsittely Toinen tärkeä differentiaaliyhtälö: eksponentiaalinen vaimeneminen Vaimennettu harmoninen värähtelijä
Milloin energia ei säily? Energia ei toki katoa, se vain muuntuu muodosta toiseen Yleisiä tapauksia, joissa mekaanista energiaa katoaa : kitka, ilmanvastus, muut vastusvoimat Puhutaan energian dissipaatiosta
Vuorovaikutukset: jaottelu Konservatiiviset Gravitaatio Jousivoima Sähköstaattinen vv Epäkonservatiiviset Väliaineen vastus Kitka Muistetaan, että konservatiivisilla voimilla tehty työ ei riipu reitistä!
Yksittäinen kahvisuodatin putoaa, ja saavuttaa nopeasti vakionopeuden 1 m/s. Mitä tiedämme ilmanvastuksesta? 1. F air > F grav 2. F air = F grav 3. F air < F grav 4. ei ole annettu riittävästi informaatiota Matter & Interactions 4e
Kolme samanlaista kahvisuodatinta on laitettu sisäkkäin. Pudotessaan ne saavuttavat nopeasti rajanopeuden ~1.7 m/s. Jos yhteen suodattimeen kohdistunut ilmanvastus on F 1, kuinka iso vastus kohdistuu kolmeen? 1. 1 F 1 2. 3 F 1 3. ⅓ F 1 4. ei ole tarpeeksi informaatiota Matter & Interactions 4e
Miten ilmanvastus riippuu kappaleen nopeudesta? 1 suodatin v 1 = 1 m/s F air = 1 mg 3 suodatinta v 3 = 1.7 m/s F air = 3 mg 1. F air = C v (C on vakio) 2. F air = C v 1 3. F air = C v 1/2 4. F air = C v 2 5. F air = C v 1/3 6. F air = C v 3 Matter & Interactions 4e
Jos suodattimen pinta-ala kaksinkertaistetaan, mitä luulet tapahtuvan? 1. F air kasvaa 2. F air pysyy samana 3. F air pienenee Matter & Interactions 4e
Rajanopeus: mikä se on? Kappale, johon vaikuttaa nopeuden funktiona kasvava vastusvoima, saavuttaa korkeintaan tietyn nopeuden Mikä on kahvisuodattimen liikeyhtälö, ja mikä on suodattimen rajanopeus? dp dt = 0 = mg + bv2 v raja = mg/b
Väliaineen vastus (drag) Pieni kappale, pienet nopeudet, laminaarinen virtaus, viskoottinen kitka (viscous friction) D = b Ԧv Suuret nopeudet, turbulenssi, tylpät kappaleet, ilmanvastus D = bv 2 v Vastuskerroin b riippuu mm. kappaleen muodosta ja väliaineen tiheydestä Kuva: cfdsupport.com
Ygritte ampuu turhautuneena Muuria [1], joka koostuu jäästä. Nuolen massa on m ja nopeus, kun sen kärki on muurin kohdalla, on vr. Ƹ Nuoleen vaikuttaa vastusvoima [1] തF v v ҧ = bvrƹ Missä ajassa nuoli pysähtyy, ja kuinka pitkän matkan se tunkeutuu Muuriin? [1] http://gameofthrones.wikia.com/wiki/beyond_the_wall [2] Martin, George R.R.: A Game of Thrones, Random House, USA, 1997 P.S. Niille, joita jousen fysiikka kiinnostaa, Marko Tiermas väittelee 20.10. klo 12 Chemicumin salissa A129 aiheesta Modeling the Twin-Cam Compound Bow. Väitös lienee suomeksi.
ҧ [1] http://gameofthrones.wikia.com/wiki/beyond_the_wall [2] Martin, George R.R.: A Game of Thrones, Random House, USA, 1997 [1] Muurin (kts. kuva) korkeus h on yli 700 jalkaa [2]. Tormund tiputtaa muurilta järkäleen, jonka massa on m. Miten kauan murikka on ilmassa? Murikkaan vaikuttaa ilmanvastus തF v v = bv 2 jƹ (Westerosissa painovoimakiihtyvyys on g.)
Tormundin murikka Turbulentilla vastusvoimalla tulee vähän monimutkaisempi differentiaaliyhtälö mg bv 2 = m dv dt v t = gm b tanh( m bg t) x t = h m b ln(cosh( gb m t)) Huom! Laskareiden pelletehtävästä ei tule hyperbolisia funktioita Eikä tenttiin!
Differentiaaliyhtälöistä.. Tällä kurssilla on esiintynyt kaksi tärkeää, fysiikassa erittäin yleisesti esiintyvää differentiaaliyhtälöä Huom: tentissä näiden matemaattista ratkaisua ei vaadita, mutta on tiedettävä millaisia kyseiset ratkaisut ovat! HARMONINEN VÄRÄHTELIJÄ m d2 x dt 2 + kx = 0 x t = A sin ωt + B cos(ωt) VÄLIAINEEN VASTUS (laminaarinen) m dv dt = mg bv v t = A + Be t/τ
Vaimennettu harmoninen värähtelijä ԦF j D Ԧv x 0 m Ԧa = ԦF j + D ma = kx bv
Vaimennettu harmoninen värähtelijä Mikä nyt olisi ratkaisu x(t)? Laskuharjoituksessa tarkastellaan ratkaisua: x t = Ae αt cos(ωt), missä α = b 2m ja ω = ω 0 2 α 2, jossa ω 0 = k/m on vaimentamattoman värähtelijän kulmataajuus
Tarkennus edelliseen: Oikeasti ratkaisu on yleisempi: x t = Ae αt cos(ωt) + Be αt sin(ωt) Joka voidaan kirjoittaa myös muotoon: x t = Ae αt cos(ωt + φ) Tässä oletetaan yksinkertaistuksen vuoksi, että värähtelijä lähetetään liikkeelle siten, että alkuehdon perusteella B=0.
Vaimennettu harmoninen värähtelijä x t = Ae αt cos(ωt), missä ω = Jos vaimennus on vähäistä: b 0, jolloin α 0 ja ω ω 0 Kyseessä on alivaimennettu harmoninen värähtelijä ω 0 2 α 2, ja α = b 2m
Kysymys Vaimennetun harmonisen värähtelijän vaimennustekijää b kasvatetaan. Mitä tapahtuu tällöin kulmataajuudelle ω? A) ω kasvaa B) ω ei muutu C) ω pienenee D) En tiedä
Vaimennettu harmoninen värähtelijä x t = Ae αt cos(ωt), ω = Kun α = ω 0, ω = 0 Mitä tämä tarkoittaa? ω 0 2 α 2, ja α = b 2m Värähtely siis lakkaa, eli sanotaan että värähtelijä on kriittisesti vaimennettu x t = Ae αt Huom: matemaattisesti täydellinen ratkaisu tällöin on: x t = (A + B)e αt
Vaimennettu harmoninen värähtelijä Jos vaimennus on vieläkin voimakkaampaa: α 2 > ω 0 2 ω = ω 0 2 α 2 = 1 (α 2 ω 0 2 ) = i (α 2 ω 2 0 ) = iω (Huom: Ω < α) Jolloin cos ωt = cos iωt = 1 2 (eωt + e Ωt ) Ratkaisu on siis: x t = 1 2 Ae αt (e Ωt + e Ωt ) e (α Ω)t + e (α+ω)t Vaimennusta sanotaan tällöin ylikriittiseksi
Vaimennetut harmoniset värähtelijät
Vaimennettu harmoninen värähtelijä Epäkonservatiivisen väliaineen vastuksen takia systeemin mekaaninen energia ei ole vakio: E = W epäk = a b dwepäk = a b ԦF epäk d Ԧr de = dw de dt = ԦF de = dw dt dt d Ԧr = ԦF Ԧv dt
Vaimennettu harmoninen värähtelijä Tässä tapauksessa epäkonservatiivinen voima on väliaineen vastus ԦF = b Ԧv Mekaanisen energian muutosnopeudeksi saadaan siis: de dt = ԦF Ԧv = b Ԧv Ԧv = bv 2
Kysymys Mikä vaihtoehdoista kuvaa alivaimennetun harmonisen värähtelijän mekaanista energiaa? A B C D E F: ei mikään näistä
Mekaaninen energia
Muut vastusvoimat harmoniselle värähtelijälle Ei yksinkertaista analyyttistä ratkaisua, kts. kirja s. 314