Mat-.108 Sovelletun ateatiikan erikoistyö Osakesalkun arkkinariskin allinnus ääkoonenttianalyysillä Kari Vatanen (40753V) 0.4.004
Sisällysluettelo 1 Johdanto... Osakesalkun arkkinariskin allinnus kovarianssiatriisin avulla...3.1 Multinoraalijakautuneen osakesalkun araetreista...4. Multinoraalijakautuneen osakesalkun riskitunnusluvuista...6 3 Osakesalkun arkkinariskin allinnus ääkoonenttianalyysin avulla...9 3.1 Tilastollinen ääkoonenttianalyysiin erustuva faktorialli...10 3. Pääkoonenttianalyysin toteutus...11 3.3 Osakesalkun arkkinariskin allinnus faktoriallilla...13 4 Faktoriallin testaus arkkinadatalla...16 4.1 Faktoriallien vertailua...17 4. Faktoriallin ja kovarianssiatriisin avuilla laskettujen riskitunnuslukujen vertailua...18 5 Johtoäätöksiä...0 Lähdeluettelo...3 1
1 Johdanto Osakesalkun arkkinariskiä allinnetaan tavallisesti osakkeiden tuotoille estioidun kovarianssiatriisin avulla ohjautuen oderniin ortfolioteoriaan. Osakkeiden jatkuvien tuottojen oletetaan noudattavan noraalijakauaa, jolloin osakesalkun tuottojakaua on kuvattavissa ultinoraalijakauan araetrien avulla. Noraalijakauan keskihajonta äärittää osakkeiden hintojen heilahtelun suuruuden, joten sitä käytetään ittaaaan osakkeiden ja osakesalkkujen arkkinariskiä. Kaikki osakesalkun yleisiin käytetyt riskitunnusluvut ovat johdettavissa käyttäen osakkeiden tuotoille estioitua kovarianssiatriisia, joka sisältää kaiken inforaation ultinoraalijakautuneen satunnaisuuttujajoukon variansseista sekä keskinäisistä korrelaatioista. Kovarianssiatriisin tulee olla uodoltaan syetrinen ositiividefiniitti atriisi. Positiividefiniittisyyden varistaiseksi kovarianssiatriisin estiointiin tulee käyttää vähintään uuttujien lukuäärän verran dataisteitä kullekin uuttujalle. Tää takaa sen, ettei kovarianssiatriisi ole singulaarinen ja että kovarianssiatriisin avulla estioidut varianssiestiaatit eivät saa issään tilanteessa negatiivisia arvoja. Muutaia kyeniä osakkeita sisältäville osakesalkuille kovarianssiatriisi on estioitavissa helosti suhteellisen lyhyistä tuottoaikasarjoistakin. Sen sijaan satoja tai tuhansia osakkeita sisältäville osakesalkuille riittävän itkien tuottoaikasarjojen löytäinen tuottaa usein ongelia. Erityisen ongelan tuottavat laajat osakeindeksit, jotka voivat itää sisällään tuhansia osakkeita, joille kaikille ei ole oleassa riittävän itkiä tuottohistorioita. (Jauri 1997.) Tehokas keino laajojen osakesalkkujen riskin kuvaaiseksi on faktorialli. Faktoriallissa osakkeen tuottojen varianssia yritään kuvaaaan usean uun uuttujan avulla käyttäen lineaarista usean uuttujan regressiota. Tällöin on löydettävä sellaiset uuttujat, jotka kuvaavat osakkeiden tuottojen varianssia ahdollisian hyvin. Yleensä ikään faktorialli ei kuvaa täydellisesti osakkeiden varianssia, joten faktorialliin voidaan liittää osakekohtainen varianssi, joka ei korreloi faktoriallin kanssa. Rahoitusaailassa tunnetuin kauallinen osakkeiden arkkinariskien allinnukseen tuotettu faktorialli on Barra, jonka kehitti alun erin 1970-luvulla Barr Rosenberg ja Andrew Rudd. Barra allintaa osakkeiden riskiä erustuen osakkeiden fundaentaalidataan sekä osakkeiden toiiala- ja aajakoon. (Alexander 001.) Erikoistyön tarkoituksena on kehittää tilastollinen faktorialli, jolla voidaan allintaa euroalueen osakkeiden riskiä. Tilastollinen faktorialli on toteutettu käyttäen selittävinä tekijöinä Dow Jones Euro Stoxx -indeksierheen sijoitustyyli- ja toiialaindeksejä. Euroalueen osakeindekseistä on
uodostettu faktorialli ääkoonenttianalyysin avulla. Osakkeiden riskiä kuvaavaa faktoriallia on testattu vertaaalla erilaisille osakesalkuille allin avulla laskettuja riskitunnuslukuja suoraan kovarianssiatriisilla laskettuihin riskitunnuslukuihin. Faktoriallin tarkastelu on rajattu käsittäään euroalueen 304 suurian yhtiön osaketta, jotka kuuluivat Dow Jones Euro Stoxx - indeksiin 7..004. Kaaleessa käsitellään osakesalkun riskin allintaista odernin ortfolioteorian keinoin käyttäen kovarianssiatriisia. Lisäksi esitellään lyhyesti osakesalkun yleisiät riskitunnusluvut ja niiden estiointi kovarianssiatriisia käyttäen. Kaaleessa 3 käsitellään osakesalkun riskin allinnusta tilastollisella faktoriallilla. Faktorialli toteutetaan ääkoonenttianalyysin avulla ja osakesalkun yleisiät riskitunnusluvut estioidaan faktoriallia käyttäen. Kaaleessa 4 vertaillaan kolen eri faktoriallin selityskykyä euroalueen osakkeiden riskin kuvaaiseen. Lisäksi faktoriallilla estioituja riskitunnuslukuja verrataan vastaaviin kovarianssiatriisin avulla estioituihin riskitunnuslukuihin. Viieisessä kaaleessa vedetään johtoäätökset siitä, kuinka tarkasteltu ääkoonenttianalyysin erustuva faktorialli soveltuu euroalueen osakkeiden riskien estiointiin. Osakesalkun arkkinariskin allinnus kovarianssiatriisin avulla Osakesalkun arkkinariskin allinnuksen tavoitteena on ennustaa ahdollisia taiota eli negatiivisia tuottoja. Tällöin riskien allinnuksessa yritään estioiaan odotettua tuottojakauaa sekä yksittäisille osakkeille että kokonaiselle osakesalkulle. Historiallisesti osakesalkun arkkinariskin allintainen erustuu odernin ortfolioteorian kehitykseen 1950-luvun alussa. Moderni ortfolioteoria sai alkunsa, kun tuleva taloustieteen nobelisti Harry Markowitz (195) julkaisi ean-variance -teorian, joka kuvaa sijoitussalkun tuoton ja riskin suhteen tehtävää otiointia. 3
.1 Multinoraalijakautuneen osakesalkun araetreista Modernin ortfolioteorian lähtökohta on oletus, että kaikkien sijoitusinstruenttien logaritiset tuotot ovat noraalijakautuneita. Kun sijoitusinstruentit tuotto r ääritellään suhteelliseksi hinnanuutokseksi: dp P (.1) r = rt = ln 1, P P 0 voidaan odernissa ortfolioteoriassa olettaa jatkuva, logaritinen tuotto noraalijakautuneeksi: P 1 (.) rt = ln ~ N( µ, ) P, issä todennäköisyysjakauan tiheysfunktio on 0 (.3) 1 [( x µ ) / ] / f ( x) = e. π Noraalijakauaolettauksen erusteella yksittäisen sijoitusinstruentin tuottojakaua voidaan kuvata yksiselitteisesti odotusarvon µ ja varianssin avulla. (Luenberger 1998.) Moderni ortfolioteoria olettaa sijoitussalkun jatkuvan tuottojakauan noudattavan ultinoraalijakauaa, joka uodostuu lineaarisesta yhdistelästä noraalijakautuneita sijoitusinstruentteja. Jakauan ultinoraalisuus tarkoittaa jokaisen yksittäisen satunnaisuuttujan olevan noraalijakautunut ja lisäksi inkä tahansa jakauan kahden uuttujan välillä vallitsee yhteys, jonka korrelaatio tyhjentävästi kuvaa (Jauri 1997). Sijoitussalkun tuotolle r ätee seuraava oletus: (.4) r ~ ( µ, Σ), jonka todennäköisyysjakauan tiheysfunktio on N (.5) 1 f ( x) = e / 1/ (π ) Σ ( x µ)'σ 1, (x µ) / 4
issä Σ on satunnaisuuttujien X syetrinen ja ositiividefiniitti kovarianssiatriisi (Johnson & Wichern 00). Osakesalkun tuottojakaua on siis ultinoraalijakauaolettauksen nojalla kuvattavissa yksittäisten osakkeiden tuottojen odotusarvojen µ ja osakkeiden aikasarjoista estioidun kovarianssiatriisin Σ avulla. Sijoitussalkun tuoton odotusarvo saadaan sijoitusinstruenttien suhteellisella osuudella ainotettuna suana niiden tuottojen odotusarvoista: (.6) E ( r ) = wi E ( ri ) = w' µ. i Vastaavasti sijoitussalkun odotettujen tuottojen varianssi on laskettavissa sijoitusinstruenttien suhteellisten ainojen w ja sijoitusinstruenttien välisten kovarianssien ij avulla: (.7) = w w = w ' Σw, ij i j ij issä w on sijoitussalkun instruenttien ainovektori ja Σ on syetrinen ositiividefiniitti kovarianssiatriisi. Sijoitussalkun varianssi on kovarianssiatriisin ohella ääriteltävissä yös yksittäisten instruenttien volatiliteettien ja instruenttien välisten korrelaatioiden avulla. Koska korrelaatiolle ρ ij ätee: (.8) ij ρ ij =, i j niin sijoitussalkun varianssi voidaan ilaista käyttäen instruenttien välistä korrelaatiota: (.9) = wi w j ij = wi w j i j ρ ij ij ij eli atriisiuodossa ½ ½ = w ' Σw = w ' V ρv w, 5
issä w on sijoitussalkun instruenttien ainovektori, V ½ on instruenttien volatiliteeteista koostuva diagonaaliatriisi ja ρ on syetrinen ositiividefiniitti korrelaatioatriisi. (Johnson & Wichern 00.). Multinoraalijakautuneen osakesalkun riskitunnusluvuista Modernissa ortfolioteoriassa ultinoraalijakautuneen osakesalkun riskiä kuvataan yleensä kolella erilaisella riskitunnusluvulla, jotka ovat volatiliteetti, aktiiviriski (tracking error) ja beeta. Kaikki kole tunnuslukua ovat johdettavissa osakesalkun kovarianssiatriisista. Kovarianssiatriisi on syetrinen ositiividefiniitti atriisi, jonka diagonaalilla on yksittäisten instruenttien varianssit ja diagonaalin ylä- ja alauolella instruenttien väliset kovarianssit: (.10) Σ = M n 11 1 1 1 M n L L O L 1n n M nn. Tavallisiin kovarianssiatriisi estioidaan sijoitussalkun historiallisista tuotoista käyttäen harhatonta OLS-estiaattia: n 1 (.11) ˆ = ij ( rit ri )( rjt rj ) (Pindyck & Rubinfeld 1998). n 1 t= 1 Kovarianssi- ja korrelaatioatriisin olennaisin vaatius on atriisin ositiividefiniittisyys. Positiividefiniittisyys takaa sen, että atriisin estiaatit eivät ole keskenään ristiriitaisia ja että sijoitussalkun kokonaisvarianssi ei saa issään tilanteessa negatiivista arvoa. Positiivisen definiittisyyden takaaiseksi tulisi korrelaatioatriisin laskentaan käyttää vähintään yhtä aljon havaintoja kuin sijoitussalkussa on riskiuuttujia. Tää synnyttää ongelan diensioiden äärästä, sillä suuren kovarianssiatriisin käyttö vaatisi itkät datasarjat, joten riskiuuttujien äärälle tulee jossakin isteessä vastaan luonnolliset rajat. Käytännössä riittävä ehto atriisin ositiividefiniittisyydelle on se, että kaikki sen oinaisarvot ovat ositiivisia. (Jauri 1997.) 6
Volatiliteetti tarkoittaa sijoitusinstruentin tai sijoitussalkun keskihajontaa. Se äärittää noraalin tuottojakauan hajonnan eli käänteisesti todennäköisyyden kullekin odotusarvosta oikkeavalle aksiitaioille. Multinoraalijakautuneen sijoitussalkun volatiliteetti on sen varianssin neliöjuuri: (.1) = w' Σw. Volatiliteettiestiaatti ennustaa sijoitussalkun kokonaisriskiä eli tuottojen eävaruuden äärää. Eävaruuden äärä on yleensä kohtuullisen hyvin ennustettavissa historiallisista tuottoaikasarjoista, sillä volatiliteettiestiaatin virhe ienenee havaintojen äärän funktiona. Sen sijaan tuoton odotusarvon estiointivirheeseen vaikuttaa ainoastaan varianssi, joten vähänkään riskiitoisen osakkeen tuotto-odotus ei ole kovinkaan hyvin ennustettavissa historialliseen aikasarjaan erustuen. Tavallisesti lyhyen tähtäien riskiennusteissa oletetaan tuoton odotusarvo nollaksi, sillä lyhyellä aikavälillä volatiliteetti doinoi voiakkaasti tuotto-odotusta. Tällöin lyhyen tarkasteluhorisontin odotettu tuottojakaua on kuvattavissa elkästään volatiliteetin avulla. (Jorion 001.) Aktiiviriski (tracking error) on sijoitussalkun aktiivinen riski suhteessa arkkinariskiin. Sijoitussalkun riski voidaan jakaa kahteen osaan, jotka ovat assiivinen arkkinariski ja aktiivisen salkunhoidon tuottaa riski. Osakesalkun assiivinen arkkinariski koostuu osakearkkinoiden yleisistä liikkeistä sijoitusalueella. Esierkiksi euroalueelle sijoittavan osakesalkun assiivista riskiä voidaan kuvata euroalueen osakkeista koostuvalla Dow Jones Euro Stoxx -indeksillä, joka sisältää noin 300 suurinta euroalueen osaketta niiden arkkinaosuuksien ukaisilla ainotuksilla. Mikäli osakesalkku sisältää kaikki saat osakkeet saoilla suhteellisilla ainotuksilla, seuraa osakesalkun tuottokehitys indeksin tuottokehitystä sisältäen ainoastaan assiivista arkkinariskiä. Aktiivinen riski eli aktiiviriski syntyy, kun salkunhoitaja yrkii arkkinoita areaan tuottoon uuttaalla sijoitussalkkunsa instruenttiainoja suhteessa arkkinan instruenttiainoihin. Tällöin aktiiviriski kuvaa arkkinaindeksin tuotoista oikkeavien tuottojen keskihajontaa. (Elton & Gruber 1991.) Aktiiviriski voidaan laskea käyttäen arkkinaindeksin osakkeille estioitua kovarianssiatriisia Σ sekä sijoitussalkun osakkeiden suhteellisista instruenttiainoista koostuvaa ainovektoria w ja arkkinaindeksin suhteellisista instruenttiainoista koostuvaa ainovektoria w. Tällöin aktiiviriskin estiaatti on: 7
(.13) TE = (w w )' Σ (w w ). Aktiiviriskin estiointi voi vaatia hyvinkin suuria kovarianssiatriiseja riiuen arkkinaindeksin koosta. Jos esierkiksi aerikkalaisiin teknologiaosakkeisiin sijoittavan osakesalkun arkkinaindeksinä on yli 4000 osakkeesta koostuva Nasdaq Coosite -indeksi, tulee aktiiviriskin laskentaan estioida yli 4000 4000 -diensioinen kovarianssiatriisi. Matriisin ositiividefiniittisyyden varistainen vaatisi jokaiselle osakkeelle vähintään diensioiden verran dataisteitä, ikä tarkoittaa äivittäistä hintadataa käyttäen noin 16 vuoden hintahistoriaa jokaiselle teknologiaosakkeelle. Beeta ohjautuu riskin ittarina 1960-luvun uolessa välissä kehitettyyn ääoaarkkinoiden tasaainoalliin eli Caital Asset Pricing -allin, lyhennettynä CAP-alli. Malli yrkii selittäään osakkeen tuottoa arkkinatuoton avulla. Osakkeen tuotto-odotuksen äärittää arkkinaindeksin tuoton odotusarvo ja osakkeen arkkinariskikerroin β sekä vakioteri α. Osakkeen tuotto-odotus r i kuvataan lineaarisella yhtälöllä: (.14) ri r f = α + β ( r r f ) + ε i, issä r on arkkinaindeksin tuotto-odotus, r f on riskitön korko ja virheteri ε i ~ N(0, ε ) on korreloiaton satunnaisuuttuja. Mallin ukaan osakkeen tuotto-odotus ääräytyy kahden tekijän suana. Vakioteri α on instruenttikohtainen riskitön ylituotto suhteessa arkkinaan ja kulakerroin β kuvaa instruentin riskiherkkyyttä arkkinan tuottojen uutoksille. Mikäli α = 0 ja β =1, on yhtiön riski yhtä suuri kuin osakearkkinan keskiäärin ja tuotto-odotus yös saankaltainen. Matala beeta kertoo alhaisesta riskistä ja korkea beeta uolestaan arkkinoita suureasta riskistä. (Elton & Gruber 1991.) Yksittäisen osakkeen beeta eli arkkinariskikerroin voidaan estioida käyttäen osakkeen ja arkkinaindeksin välistä kovarianssia i, ja arkkinaindeksin varianssia : (.15) i, i β = = ρi,. 8
Osakesalkun beeta voidaan estioida vastaavasti käyttäen arkkinaindeksin osakkeille estioitua kovarianssiatriisia Σ sekä sijoitussalkun osakkeiden suhteellisista instruenttiainoista koostuvaa ainovektoria w ja arkkinaindeksin suhteellisista instruenttiainoista koostuvaa ainovektoria w : (.16), w ' Σ w β = = (Jorion 001). w ' Σ w Beetan estiointi voi aktiiviriskin tavoin vaatia erityisen suuria kovarianssiatriiseja riiuen arkkinaindeksin koosta. Jo elkästään euroalueen osakkeista koostuvan Dow Jones Euro Stoxx - indeksin noin 300 osakkeelle ei aina löydy riittävää äärää äivittäisiä hintahavaintoja, sillä indeksiin voi tulla uusia noeasti arkkina-arvoaan kasvattaneita yhtiöitä. 3 Osakesalkun arkkinariskin allinnus ääkoonenttianalyysin avulla Pääoaarkkinoiden tasaainoalli eli CAP-alli olettaa, että osakkeiden tuotot ovat kuvattavissa yhden arkkinauuttujan avulla. Tällöin osakkeen tuottoa kuvaa yhden faktorin lineaarinen regressioalli, jossa regressiokertoiena on beeta ja vakioterinä osakkeen alfa. (3.1) ri r f = α + β ( r r f ) + ε i. Koska regressiokerroin riiuu osakkeen tuottojen ja arkkinatuottojen välisestä korrelaatiosta, vaikuttaa se yös allin toiivuuteen. Yksittäiset osakkeet eivät useinkaan korreloi riittävästi arkkinatuottojen kanssa, jolloin CAP-allin toiivuus on kyseenalaistettavissa. Beeta ei ysty selittäään heikosti arkkinan kanssa korreloivan instruentin käyttäytyistä, sillä heikko korrelaatio ienentää beetaa ja saalla yöskin koko CAP-allin selitysastetta. (Alexander 001.) Stehen Ross kehitti 1970-luvulla uuden teorian ääoaarkkinoiden toiinnasta. Tää Arbitrage Pricing Theory, APT tekee CAP-allia realistisean oletuksen arkkinoiden rakenteesta, sillä se olettaa arkkinoiden eävaruuden syntyvän usean riskitekijän tuloksena. Yksittäisen osakkeen tuotto-odotus r i syntyy onien riskitekijöiden ja niiden arkkinahintojen suana: 9
(3.) ri = α + β i F1 + β i F + L + β in F N + ε i 1. Arbitrage Pricing Theory laajensi arkkinoiden allin useaan uuttujan faktorialliksi, issä tuotto-odotus uodostuu suana onista toisistaan riiuattoista tekijöistä. Teoreettiselta erustaltaan APT on hyvä alli, utta itse teoria ei anna viitteitä siitä, itä nää riskitekijät ovat tai voisivat olla. (Elton & Gruber 1991.) 3.1 Tilastollinen ääkoonenttianalyysiin erustuva faktorialli Useiat osakkeiden tuottoja selittävät faktoriallit erustuvat osakkeiden fundaentaalidataan. Osakkeiden tuottoja yritään ennustaaan erustuen yhtiöiden arvostukseen vaikuttaviin fundaentaaleihin tunnuslukuihin. Yleisiiä tällaisia tunnuslukuja ovat yrityksen arkkina-arvon ja nettotuloksen suhde 1, yrityksen kirjanitoarvon ja arkkina-arvon suhde, yrityksen velan ja oan ääoan suhde 3 sekä yrityksen suhteellinen arkkina-arvo 4. Fundaentaalidataan erustuvia faktorialleja käytetään erityisesti osakkeiden käyvän arvon ennustaisessa, utta esierkiksi Barra käyttää niitä yös osakeriskiallissaan. (Alexander 001.) Vaihtoehtona fundaentaalidatataan erustuvalle riskiallille voidaan uodostaa uhtaasti osakkeiden tilastolliseen tuottodataan erustuva riskifaktorialli. Tilastollisessa riskifaktoriallissa osakkeiden tilastollista käyttäytyistä yritään kuvaaaan ahdollisian hyvin erustuen osakkeiden historiadatasta estioituihin faktoreihin. Malli voidaan toteuttaa esierkiksi ääkoonenttianalyysin avulla. Siinä suuresta äärästä osakkeiden hintadataa yritään estioiaan ienei äärä faktoreita, jotka kuvaavat tilastollisesti suurian osan osakkeiden historiallisista hintauutoksista. (Alexander 001.) Erikoistyön tarkoituksena on tarkastella eräänlaista koroissia osakkeiden fundaentaalidataan erustuvasta faktoriallista ja tilastollisesta faktoriallista. Euroalueen osakkeiden riskiä yritään kuvaaaan erustuen kuuden euroalueen sijoitustyyli-indeksin ja 18 toiialaindeksin tuottohistorioiden avulla. Dow Jonesin Euro Stoxx -indeksi on jaettu 18 toiialaindeksiin, jotka kuvaavat saalla arkkinasektorilla toiivien yhtiöiden arkkina-arvoilla ainotettua hintakehitystä. Lisäksi 1 Price/earnings ratio Book-to-rice ratio 3 Debt/equity ratio 4 Market caitalization 10
Dow Jones julkaisee kuutta euroalueen sijoitustyyli-indeksiä, jotka jakavat euroalueen yhtiöt fundaentaalidataan erustuen arvo- ja kasvuyhtiöihin sekä koleen suuruusluokkaan arkkinaarvonsa ukaisesti. Sekä sijoitustyyli-indeksit että toiialaindeksit ovat voiakkaasti korreloituneita keskenään. Tästä johtuen indeksien yhdistetty käyttö riskiallin faktoreina johtaa voiakkaisiin ultikollineaarisuusongeliin. Multikollineaarisuuden johdosta faktoriallin selitysaste voi nousta hääävän korkeaksi, vaikka alli ei todellisuudessa ystyisikään selittäään osakkeiden tilastollista käyttäytyistä. Tehokkain enetelä ultikollineaarisuuden oistaiseksi on uodostaa alkueräisistä indekseistä ortogonaalisia ääkoonentteja. Markkinaindeksien sisältää tilastollinen inforaatio on täydellisesti kuvattavissa saalla äärällä keskenään lineaarisesti riiuattoia ääkoonentteja. (Alexander 001.) 3. Pääkoonenttianalyysin toteutus Pääkoonenttianalyysin tarkoituksena on kuvata satunnaisuuttujajoukko lineaarisesti sellaisille ortogonaalisille faktoreille, jotka selostavat suurian osan satunnaisuuttujien lineaarisista tilastollisista oinaisuuksista. Ortogonaaliset faktorit eli ääkoonentit valitaan siten, että ensiäinen ääkoonentti selittää ahdollisian suuren osan satunnaisuuttujien varianssista. Toinen ääkoonentti valitaan siten, että se selittää ahdollisian suuren osan jäljelle jääneestä selittäättöästä varianssista. Seuraava ääkoonentti selittää vastaavasti edelleen suurian ahdollisen osan siihen asti selittäättöästä varianssista. Satunnaisuuttujat voidaan selittää tyhjentävästi niiden lukuäärän ukaisella äärällä ääkoonentteja, utta voiakkaasti korreloituneiden satunnaisuuttujien varianssista erkittävän suuri osa on selitettävissä huoattavasti satunnaisuuttujien lukuäärää ieneällä äärällä ääkoonentteja. (Johnson & Wichern 00.) Pääkoonentit ovat keskenään riiuattoia, ortogonaalisia faktoreita. Tällöin niistä uodostettu faktorialli ei aiheuta ultikollineaarisuusongelia. Toinen erkittävä ääkoonenttianalyysin etu on ahdollisuus kovarianssiatriisin diensioiden erkittävään ienentäiseen ilan, että inforaation äärä vähenee erkittävästi. Tästä syystä ääkoonenttianalyysi on tehokas keino kuvata laajojen osakeindeksien kovarianssistruktuuria. (Alexander 001.) 11
Pääkoonenttianalyysin yrkiyksenä on kuvata satunnaisuuttujien kovarianssistruktuuria, joten ääkoonenttien uodostaisen lähtökohtana on satunnaisuuttujille estioitu kovarianssiatriisi. Satunnaisuuttujat tulee noralisoida ennen ääkoonenttianalyysiä, sillä uutoin suurian varianssin oaava satunnaisuuttuja tulee doinoiaan ensiäistä ääkoonenttia. Noralisoidut satunnaisuuttujat noudattavat standardinoraalijakauaa, jolloin jokaisen satunnaisuuttujan odotusarvo on nolla ja varianssi yksi: X µ X (3.3) X nor = ~ N(0,1). X Noralisoiduille satunnaisuuttujille estioitu kovarianssiatriisi on identtinen alkueräisten satunnaisuuttujien korrelaatioatriisin kanssa. (Alexander 001.) Kovarianssiatriisin ääkoonentit ääritellään atriisin oinaisarvojen ja oinaisvektoreiden avulla. Matriisille Σ on ääritelty oinaisarvot λ ja oinaisvektorit x seuraavasti: (3.4) Σx = λx. Jokaista atriisin oinaisarvoa λ i vastaa oinaisvektori x i. Tavallisesti oinaisvektorit noralisoidaan, jolloin jokaisen oinaisvektorin varianssi on yksi. Tällöin jokaisesta oinaisarvosta λ i ja sitä vastaavasta noralisoidusta oinaisvektorista e i voidaan uodostaa ari [λ i, e i ]. Kovarianssiatriisin vaatiuksena on ositiividefiniittisyys, jolloin atriisin kaikki oinaisarvot ovat ositiivisia. Lisäksi atriisin noralisoidut oinaisvektorit ovat keskenään riiuattoia, ortonoraaleja vektoreita. (Johnson & Wichern 00.) Satunnaisuuttujajoukolle [X 1, X,, X n ] estioidun kovarianssiatriisin kaikki oinaisarvot selittävät yhdessä satunnaisuuttujien yhteenlasketun kokonaisvarianssin: (3.5) 11 + + L+ nn = λ 1 + λ + L+ λ n. Kun oinaisarvot laitellaan suuruusjärjestykseen siten, että λ 1 λ λ n, selittää ensiäinen oinaisarvo ahdollisian suuren osan satunnaisuuttujien yhteenlasketusta varianssista. Vastaavasti kaksi suurinta oinaisarvoa selittää seuraavaksi suurian osan varianssista ja niin edel- 1
leen. Voiakkaasti korreloituneiden satunnaisuuttujien yhteenlasketusta varianssista suurin osa on selitettävissä kaaleella suuriia oinaisarvoja, kun < n. (Johnson & Wichern 00.) Suuruusjärjestykseen asetettuja oinaisarvoja vastaavat ortonoraalit oinaisvektorit äärittävät kovarianssiatriisin ääkoonentit. Suurinta oinaisarvoa vastaava oinaisvektori [λ 1, e 1 ] äärittää kovarianssiatriisin ensiäisen ääkoonentin, joka selittää kovarianssiatriisin kokonaisvarianssista osuuden: λ1 (3.6). λ + λ + L + λ 1 n Vastaavasti toinen ääkoonentti ääritellään toiseksi suurinta oinaisarvoa vastaavan noralisoidun oinaisvektorin avulla [λ, e ], jolloin se selittää kokonaisvarianssista oinaisarvoa λ vastaavan osuuden. Edelleen kaaletta oinaisvektoreita selittävät yhdessä satunnaisuuttujien kovarianssiatriisista osuuden: λ1 + λ + L + λ (3.7), kun n. λ + λ + L + λ 1 n (Johnson & Wichern 00.) Satunnaisuuttujille [X 1, X,, X n ] estioitu kovarianssiatriisi on täydellisesti kuvattavissa n kaaleella ortonoraaleja oinaisvektoreita. Tällöin keskenään korreloituneiden osakeindeksien sisältää tilastollinen inforaatio on kuvattavissa kokonaisuudessaan niiden lukuäärän ukaisella äärällä ortonoraaleja ääkoonentteja. Ortonoraaleista ääkooneista voidaan suoraan uodostaa osakkeiden riskiä kuvaava tilastollinen faktorialli. 3.3 Osakesalkun arkkinariskin allinnus faktoriallilla Osakesalkun riskin allinnusta varten on uodostettu ortonoraaleista ääkoonenteista faktorialli, joka koostuu n kaaleesta faktoreita [F 1, F,, F n ]. Tällöin yksittäisen osakkeen tuotto r i on kuvattavissa lineaarisen usean uuttujan regression avulla käyttäen faktoriallia: (3.8) ri = µ i + β i F + β i F + L+ β infn + ε i 1 1, 13
issä µ i on tuoton odotusarvo, β ij on regressiokerroin eli lataus faktorille F j ja ε i on allin estiointivirhe. (Johnson & Wichern 00.) Usean uuttujan regressioallin regressiokertoiet β ij ovat estioitavissa historiallisista tuottoaikasarjoista. Kun osakkeen nollakeskiarvoista tuottoaikasarjaa erkitään vektorilla r-µ, faktorien tuottoaikasarjoista koostuva atriisi on F ja regressiokertoiet sisältävä vektori on β, saa usean uuttujan regressioalli uodon: (3.9) r µ = Fβ + ε. Tällöin virheterin ieniän neliösuan estiaatti regressiokertoiille on: (3.10) βˆ 1 = (F'F) (F'r µ). (Pindyck & Rubinfeld 1998.) Jokaisen yksittäisen osakkeen regressiokertoiien estiointiin voidaan käyttää ahdollisian itkää saatavilla olevaa tuottoaikasarjaa, sillä eriittaiset tuottoaikasarjat eivät johda allin definiittysyysongeliin. Mikäli eriittaisia tuottoaikasarjoja käytettäisiin vastaavasti kovarianssiatriisin estiointiin, olisi ahdollista, ettei tulokseksi saataisi ositiividefiniittiä atriisia. Mikäli ortogonaalisen faktoriallin faktorit ovat noralisoituja, on yksittäisen osakkeen allinnettu varianssi kuvattavissa elkästään estioitujen regressiokertoiien avulla. (3.11) = β + β + L +. Model 1 β n Mallinnetun varianssin lisäksi osakkeeseen sisältyy tavallisesti sesifiä riskiä, joka ei korreloi faktoriallin kanssa. Osakkeen kokonaisvarianssi voidaan kuvata allinnetun varianssin ja osakkeen sesifin varianssin Ψ suana. Koska yksittäisen osakkeen kokonaisvarianssi voidaan estioida suoraan sen historiallisesta aikasarjasta, on yksittäisten osakkeiden sesifi varianssi laskettavissa suoraan kokonaisvarianssin ja allinnetun varianssin erotuksena: (3.1) ψ =. Total Model 14
Tavallisesti osakkeiden sesifit riskit oletetaan keskenään riiuattoiksi, jolloin niiden välinen korrelaatio on nolla. Oletuksen nojalla osakesalkun sesifi riski voidaan kuvata diagonaaliatriisilla Ψ, jonka diagonaalilla on yksittäisten osakkeiden sesifit varianssit Ψ i. (Johnson & Wichern 00.) Osakesalkun kokonaiskovarianssistruktuuri koostuu yksittäisen osakkeen kokonaisvarianssin tavoin faktoriallin regressiokertoiilla allinnetuista osakkeiden variansseista sekä osakkeiden keskenään korreloiattoista sesifeistä variansseista. Kun B on osakesalkun osakkeiden regressiokertoiet sisältävä atriisi ja Ψ on osakkeiden sesifit varianssit sisältävä diagonaaliatriisi, on osakesalkun kovarianssistruktuuri Σ kuvattavissa näiden suana: (3.13) Σ = BB' + Ψ β11 β 1 = M β 1 L L O L β1 n β11 β n M M β1 n β n β β M 1 n L O L ψ 1 β 1 + 0 M 0 β n 0 ψ 0 0 0 0 0 O 0 0 0. 0 ψ (Johnson & Wichern 00.) Koko osakesalkun kovarianssistruktuuri on ääritelty faktoriallin avulla, joten kaaleessa kaksi esitetyt kole osakesalkun riskitunnuslukua voidaan estioida faktoriallilla. Oletetaan vektorin w sisältävän osakesalkun osakkeiden suhteelliset ainot ja vektorin w sisältävän vastaavasti vertailuindeksin suhteelliset ainot. Tällöin osakesalkun volatiliteetti on estioitavissa faktoriallilla: (3.14) = w ' (BB' + Ψ) w = w 'BB' w + w ' Ψ w. Vastaavasti osakesalkun aktiiviriski suhteessa assiiviseen arkkinariskiin estioidaan yhtälöllä (3.15) TE = (w w )' BB' (w w ) + (w w )' Ψ (w w ). Koska arkkinaindeksin osakkeet on kuvattu käyttäen faktoriallia, ei laajojenkaan osakeindeksien kuvaus johda definiittisyysongeliin. Esierkiksi Nasdaq Coosite -indeksin yli 4000 osakkeen kuvaus onnistuu regressoialla jokainen osake soivaan faktorialliin käyttäen ahdollisian itkiä saatavilla olevia aikasarjoja. 15
Myös osakesalkun beeta suhteessa arkkinaindeksiin on kuvattavissa laajoillekin osakesalkuille ja arkkinaindekseille käyttäen faktoriallia: (3.16) w β =. w 'BB' w 'BB' w + w + w ' Ψ 'Ψ w w Kaikki faktoriallilla kuvatut riskitunnusluvut koostuvat regressioallilla kuvatusta riskistä ja riiuattoiksi oletetuista sesifeistä riskeistä. Regressioalli yrkii kuvaaaan osakkeiden välistä korrelaatiostruktuuria siinä, issä sesifit riskit kuvaavat lähinnä osakekohtaisia, kullekin osakkeelle oinaista korreloiatonta riskiä. Sesifin riskin huoioiinen allissa varistaa sen, että yksittäisten osakkeiden kokonaisriski tulee kuvattua oikein. Koska sesifit riskit ovat keskenään korreloituattoia, vähentää osakesalkun hajautus nienoaan sesifiä riskiä, joten hyvin hajautetun osakesalkun kokonaisriski uodostuu ääosin regressioallilla kuvatusta riskistä. 4 Faktoriallin testaus arkkinadatalla Faktoriallin testauksen tarkoituksena on tarkastella euroalueen toiiala- ja sijoitustyyliindekseistä uodostetun ääkoonenttifaktoriallin soveltuvuutta euroalueen osakkeista koostuvan osakesalkun riskin kuvaaiseen. Pääkoonenttifaktorialli on uodostettu erikseen kuudesta sijoitustyyli-indeksistä sekä 18 toiialaindeksistä. Lisäksi loullinen faktorialli on yhdistelä näistä kaikista indekseistä ja sisältää yhteensä 4 faktoria. Kolen eri faktoriallin allinnuskykyä yksittäisille osakkeille on vertailtu allin selitysasteen ja allin vaausasteilla korjatun selitysasteen avulla. Mallin selitysaste R kertoo kuinka suuren osuuden alli selittää osakkeen hintavaihteluista. Mallin selitysaste kasvaa aina, kun alliin lisätään uusia faktoreita. Tästä syystä vaausasteilla korjattu selitysaste antaa realistisean kuvan erisuuruisten ja siten yös eri vaausesteet oaavien faktoriallien vertailusta. Selitysasteen lisäksi F- testin avulla tarkastellaan faktoriallin erkitsevyyttä eli sitä, oikkeavatko regressiokertoiet erkittävästi nollasta. Mikäli regressiokertoiet eivät oikkea erkitsevästi nollasta, faktorialli ei ysty selittäään osakkeen hinnanuutoksia, jolloin yöskään selitysaste ei oikkea erkitsevästi nollasta. (Pindyck & Rubinfeld 1998.) 16
Osakesalkun allinnuksessa on huoioitu yksittäisten osakkeiden kohdalla yös sesifi riski eli se osuus osakkeen varianssista, jota alli ei selosta. Tästä syystä yksittäisen osakkeen kokonaisvarianssi on täysin kuvattu faktoriallilla estioidun varianssin ja sesifin varianssin suana. Mitä arein osakesalkku on hajautettu, sen arein arkkinaindekseistä koostuva faktorialli kuvaa osakesalkun varianssia, jolloin sesifeistä variansseista koostuva riskikoonentti jää suhteellisen ieneksi. Faktoriallin osakesalkun allinnuskykyä on tään vuoksi tarkasteltu heikosti hajautetulle osakesalkulle vertaaalla faktoriallilla allinnettuja riskitunnuslukuja vastaavin täydellä kovarianssiatriisilla laskettuihin riskitunnuslukuihin. 4.1 Faktoriallien vertailua Taulukko 4.1: Faktoriallien vertailua euroalueen osakkeille Euroalueen osakkeita kuvaava ääkoonenttifaktorialli on uodostettu erikseen kuudesta sijoitustyyli-indeksistä, 18 toiialaindeksistä ja näiden yhdistelästä. Malleille on estioitu 304 Dow Jones Euro Stoxx -indeksin 7..004 sisältään osakkeen regressiokertoiet. Regressiokerrointen estiointiin on käytetty ääsääntöisesti äivittäistä hintadataa ajalta 8..1998 7..004, jolloin tuottohistoriaa on kerääntynyt kuuden vuoden ajalta 156 äivittäistä datahavaintoa. Mikäli osakkeelle ei ole löytynyt riittävän itkää hintahistoriaa, sen regressiokertoiet on laskettu käyttäen ahdollisian itkää saatavilla olevaa hintahistoriaa. Lyhin aikasarja sisälsi vain 99 tuottoistettä. Sijoitustyyliindekseistä koostuva faktorialli Toiialaindekseistä koostuva faktorialli Yhdistetty faktorialli Faktoreiden lukuäärä 6 18 4 Mallin keskiääräinen selitysaste 0.60 0.3 0.340 Selitysasteen keskihajonta 0.155 0.14 0.07 Mallin keskiääräinen vaausasteilla korjattu selitysaste Vaausasteilla korjattujen selitysasteiden keskihajonta Faktoriallin selittäättöien osakkeiden lukuäärä (F-testin -arvo > 0.05) 0.58 0.314 0.330 0.155 0.16 0.10 Mallin keskiääräinen selitysaste euroalueen osakkeille ei ole erityisen korkea käytettäessä kuudesta sijoitustyyli-indeksistä koostuvaa faktoriallia. Keskiääräinen selitysaste kasvaa hiean siir- 17
ryttäessä toiialaindekseistä koostuvaan 18 faktorin alliin. Myös vaausasteilla korjattu selitysaste kasvaa saassa suhteessa, joten faktoreiden lisäys arantaa allin selityskykyä. Yhdistetty faktorialli tuo ienen arannuksen verrattaessa toiialaindekseistä koostuvaan faktorialliin. Kaikissa faktorialleissa jää selittäättä kaksi osaketta. Toisella näistä on 145 äivän ittainen hintahistoria, joka lyhyytensä vuoksi vaikuttaa estiaattien tarkkuuteen. Sitä vastoin toisella selittäättöällä osakkeella on yli kuuden vuoden hintahistoria, utta osakkeen hintakehitys ei korreloi riittävästi inkään allinnukseen käytetyn arkkinaindeksin kanssa. Tään vuoksi osakkeen riski koostuu lähes kokonaan osakkeen sesifistä varianssista. Yhdistetty faktorialli selittää keskiäärin 34 % osakkeiden varianssista. Selitysasteen keskihajonta on elko suuri, joten alli selittää eri osakkeita hyvin eri tavoin. Selitysaste riiuu selitettävien yhtiöiden koosta, sillä arkkinaindeksit ukailevat eneän suureien yhtiöiden hintakehitystä. Koska keskiäärin kaksi kolasosaa euroalueen osakkeiden varianssista jää selittäättä faktoreilla, on hyvin olennaista, että alliin on lisätty osakkeiden sesifiä riskiä kuvaava koonentti. 4. Faktoriallin ja kovarianssiatriisin avuilla laskettujen riskitunnuslukujen vertailua Faktoriallilla laskettuja riskitunnuslukuja voidaan verrata vastaaviin täydellä kovarianssiatriisilla laskettuihin riskitunnuslukuihin. Vertailuun on otettu viisi erilaista heikosti hajautettua osakesalkkua käyttäen arkkinaindeksinä euroalueen 50 suurian yhtiön osakkeista koostuvaa Dow Jones Euro Stoxx 50 -indeksiä. Koska käytetty arkkinaindeksi sisältää vain 50 osaketta, sen riskilukujen estiointi ei vaadi erityisen laajaa kovarianssiatriisia. Vertailtaviksi testisalkuiksi on yritty löytäään faktoriallin kannalta ahdollisian hankalia osakesalkkuja. Testisalkut on uodostettu otioialla eri riskiaraetreja ja rajoittaalla yksittäisen osakkeen aksiiaino kyeneen rosenttiin. Testisalkku 1 on uodostettu aksioialla sesifi aktiiviriskiestiaatti. Tällöin suurin osa aktiiviriskiestiaatista koostuu korreloiattoista sesifeistä variansseista. Testisalkku on uodostettu aksioialla sesifi volatiliteettiestiaatti, jolloin ahdollisian suuri osa volatiliteetin estiaatista koostuu korreloiattoista variansseista. Testisalkku 3 on uodostettu aksioialla osakesalkun beeta-estiaatti. Tällöin osakesalkku oikkeaa systeaattisesti ahdollisian aljon arkkinaindeksistä. Testisalkku 4 on uodostettu inioialla beeta-estiaatti, jolloin osakesalkku sisältää ahdollisian vähän 18
Taulukko 4.: Volatiliteettiestiaattien vertailu systeaattista arkkinariskiä. Testisalkku 5 on uodostettu aksioialla osakesalkun aktiiviriskiestiaatti. Tällöin osakesalkku oikkeaa kokonaisuudessaan ahdollisian aljon arkkinaindeksistä. Kovarianssiatriisilla laskettu estaatti Faktoriallilla laskettu estiaatti Mallinnettu riski Sesifi riski Ero estiaattien välillä Suhteellinen ero estaattien välillä Testisalkku 1 31.% 9.6% 7.9% 9.8% 1.6% 5.1% Testisalkku 39.6% 36.3% 34.8% 10.4% 3.3% 8.3% Testisalkku 3 4.0% 39.1% 38.0% 9.%.8% 6.8% Testisalkku 4 18.5% 18.9% 17.6% 6.9% -0.4%.1% Testisalkku 5 1.5% 19.3% 17.6% 7.9%.% 10.% Taulukossa 4. on vertailtu täydellä kovarianssiatriisilla ja faktoriallilla estioituja volatiliteettiestiaatteja. Volatiliteettiestiaattien suhteellinen ero liikkuu 5-10 % välillä niin, että useiissa taauksissa faktorialli aliestioi volatilitettia suhteessa täydellä kovarianssiatriisilla laskettuun volatiliteettiin. Taulukko 4.3: Aktiiviriskiestiaattien vertailu Kovarianssiatriisilla laskettu estaatti Faktoriallilla laskettu estiaatti Mallinnettu riski Sesifi riski Ero estiaattien välillä Suhteellinen ero estaattien välillä Testisalkku 1 1.8% 1.4% 8.0% 9.5% 0.4%.9% Testisalkku 18.% 16.1% 13.1% 9.5%.1% 11.4% Testisalkku 3 18.3% 16.8% 14.9% 7.9% 1.5% 8.1% Testisalkku 4 16.8% 15.8% 14.% 7.0% 1.0% 5.7% Testisalkku 5 17.1% 16.5% 14.5% 7.7% 0.7% 3.9% Taulukossa 4.3 on vertailtu täydellä kovarianssiatriisilla ja faktoriallilla estioituja aktiiviriskiestiaatteja. Suhteellinen ero estiaattien välillä on korkeiillaan 11,4 % testisalkussa, joka on uodostettu aksioialla sesifi volatiliteettiestiaatti. Testisalkkujen heikosta hajautuksesta kertoo suhteellisen korkeat aktiiviriskiluvut. Noraalisti hyvin hajautettujen aktiivisesti hoidettujen osakesalkkujen aktiiviriskit ovat tasolla 5-10 %, joten testisalkkujen ukainen tilanne on käytännössä hyvin harvinainen. Myös aktiiviriskin kohdalla faktorialli aliestioi riskiä verrattuna täydellä kovarianssiatriisilla laskettuun estiaattiin. 19
Taulukko 4.4: Beeta-estiaattien vertailu Kovarianssiatriisilla laskettu estaatti Faktoriallilla laskettu estiaatti Ero estiaattien välillä Suhteellinen ero estaattien välillä Testisalkku 1 1.03 1.01 0.03.8% Testisalkku 1.3 1.3 0.08 6.3% Testisalkku 3 1.44 1.37 0.08 5.3% Testisalkku 4 0.54 0.58-0.04 6.5% Testisalkku 5 0.61 0.63-0.0 3.6% Taulukossa 4.4 on vertailtu täydellä kovarianssiatriisilla ja faktoriallilla laskettuja beetaestiaatteja. Kaikkien testisalkkujen beeta-estiaattien suhteellinen ero on elko ieni, joten faktorialli estioi beetan elko hyvin. Beetan kohdalla faktorialli aliestioi riskin, ikäli se on arkkinariskiä suurei ja yliestioi riskin sen ollessa arkkinariskiä ienei. Faktorialli siis aliestioi osakesalkun beetan oikkeaia arkkinabeetasta. Faktoriallilla estioidut riskitunnusluvut kuvaavat suhteellisen hyvin osakesalkun riskiä. Riskitunnuslukujen suhteelliset virheet ovat testisalkuissa suuriillaan hiean yli 10 % tasolla. Faktorialli aliestioi hiean kaikkia riskitunnuslukuja, ikä on huoioitava käytettäessä faktoriallia. Riskilukujen aliestiointi johtuu allin elko atalasta selitysasteesta ja erityisesti oletuksesta sesifien varianssien korreloiattouudesta. Sesifien varianssien korreloiattouus johtaa estiaateissa todellisuutta suureaan hajautusefektiin, ikä uolestaan vähentää riskiä ja aiheuttaa riskitunnuslukujen aliestioinnin. 5 Johtoäätöksiä Erikoistyön tarkoituksena on ollut tarkastella euroalueen osakkeiden arkkinariskin allinnusta ääkoonenttianalyysiin erustuvan tilastollisen faktoriallin avulla. Faktoriallin tarkastelu on rajattu kattaaan suuriien euroalueen yhtiöiden osakkeet, jotka kuuluivat Dow Jones Euro Stoxx -indeksiin 7..004. Moderni ortfolioteoria olettaa osakkeiden jatkuvan tuoton noraalijakautuneeksi, jolloin osakkeiden tuottojakaua on kuvattavissa odotusarvon ja keskihajonnan eli volatiliteetin avulla. Lyhyellä tarkasteluhorisontilla volatiliteetti doinoi odotusarvoa, joten osakkeen tuottojen jakauan voi 0
riittävällä tarkkuudella äärittää elkästään volatiliteetin avulla. Tuottojakaua äärittää osakkeen riskin eli todennäköisyyden kunkin suuruiselle taiolle. Osakesalkku oletetaan ultinoraalijakautuneeksi, jolloin kovarianssiatriisi äärittää lyhyellä tarkasteluhorisontilla osakesalkun riskin. Kovarianssiatriisin avulla voidaan estioida osakesalkun yleisiät kole riskitunnuslukua, jotka ovat volatiliteetti, aktiiviriski ja beeta. Suurten osakesalkkujen riskin kuvaainen kovarianssiatriisin avulla johtaa helosti ongeliin kovarianssiatriisilta vaadittujen oinaisuuksien kanssa. Kovarianssiatriisin tulee olla ositiividefiniitti, ikä varistaa sen, ettei inkään ahdollisen osakesalkun varianssi saa negatiivisia arvoja. Kovarianssiatriisin ositiividefiniittisyys on varistettu, ikäli atriisin estiointiin käytetään vähintään uuttujien lukuäärän ukainen äärä dataisteitä jokaista uuttujaa kohti. Laajoille osakesalkkujen ja erityisesti laajojen osakeindeksien sisältäille osakkeille voi olla ongelallista löytää riittävän itkiä tuottoaikasarjoja kovarianssiatriisin ositiividefiniittisyyden takaaiseksi. Tehokas keino kovarianssiatriisiin liittyvien definiittisyysongelien välttäiseksi on tilastollinen faktorialli. Tilastollisessa faktoriallissa yritään löytäään osakkeiden riskiä ahdollisian hyvin kuvaavat faktorit. Tilastollinen faktorialli voidaan uodostaa ääkoonenttianalyysin avulla suuresta joukosta osakkeiden historiallisia tuottoaikasarjoja. Pääkoonenttianalyysin avulla voidaan selittää erkittävän suuri osa osakkeiden kovarianssistruktuurista käyttäen selittävinä faktoreina huoattavasti osakkeiden lukuäärää ieneää äärää ortogonaalisia ääkoonentteja. Osakkeiden varianssi voidaan estioida faktoriallilla käyttäen lineaarista usean uuttujan regressiota. Tällöin ideaalinen faktorialli selittää ahdollisian suuren osan jokaisen osakkeen varianssista. Selittäättä jäänyt osuus varianssista voidaan ottaa alliin ukaan osakkeen sesifinä, allin kanssa korreloiattoana varianssina. Yleensä osakkeiden sesifit varianssit oletetaan keskenään korreloituattoiksi. Erikoistyössä on vertailtu keskenään kolea erisuuruista faktoriallia. Kuudesta euroalueen sijoitustyyli-indeksistä uodostettu ääkoonenttianalyysin avulla ortonoraalit faktorit, joilla on yritty selittäään euroalueen osakkeiden riskiä. Kuudesta faktorista koostuva faktorialli selittää keskiäärin noin 5 % osakkeiden kovarianssistruktuurista. Toinen ääkoonenttialli on uodostettu 18 euroalueen toiialaindeksistä. Toinen faktorialli on ensiäistä allia arei selittäen keskiäärin yli 30 % euroalueen osakkeiden kovarianssistruktuurista. Faktoriallia voi vielä hiean arantaa yhdistäällä sijoitustyyli-indeksit ja toiialaindeksit ja uodostaalla näistä 4 ortonoraalia faktoria ääkoonenttinalyysin avulla. Tää 4 faktorista 1
ortonoraalia faktoria ääkoonenttinalyysin avulla. Tää 4 faktorista koostuva alli selittää keskiäärin kolasosan euroalueen 304 suurian yhtiön osakkeen kovarianssistruktuurista. Faktorialli ei yksin selitä riittävän hyvin osakkeiden riskiä. Siksi jokaisen osakkeen kokonaisvarianssi selitetään allinnetun varianssistruktuurin ja osakkeen sesifin varianssin suana. Näin jokaisen yksittäisen osakkeen varianssi tulee kokonaisuudessaan kuvatuksi. Sesifit varianssit on oletettu sekä allin kanssa että keskenään korreloituattoiksi. Kun osakesalkun riskitunnuslukuja kuvataan yhdistelänä faktoriallilla kuvatusta riskistä ja sesifistä riskistä, voidaan äästä suhteellisen lähelle täydellä kovarianssiatriisilla laskettuja riskitunnuslukuja. Verrattaessa faktoriallilla estioituja riskitunnuslukuja vastaaviin täydellä kovarianssiatriisilla estioituihin riskitunnuslukuihin suuriat suhteelliset estiointivirheet ovat kyenen rosentin luokkaa. Faktorialli yrkii kuitenkin hiean aliestioiaan kaikkia riskitunnuslukuja, sillä oletus sesifien riskien korreloiattouudesta johtaa estiaateissa helosti todellisuutta suureaan hajautusefektiin. Erikoistyössä on tarkasteltu ainoastaan euroalueen suurten yhtiöiden osakkeiden arkkinariskin allinnusta. Toteutettu faktorialli ei välttäättä sovellu keskisuurten tai ienten yhtiöiden arkkinariskien allinnukseen, sillä allissa käytetyt toiialaindeksit korreloivat voiakkaiin suurten yhtiöiden osakkeiden kanssa. Periaatteessa toteutettua allia vastaava ääkoonenttialli on uodostettavissa yös koko Länsi-Eurooan yhtiöiden osakkeille käyttäen laajan Eurooan osakkeista koostuvia Dow Jones Stoxx -indeksierheen sijoitustyyli- ja toiialaindeksejä. Tällöin faktoriallissa on kuitenkin huoioitava erikseen valuuttojen vaikutus osakkeiden arkkinariskiin.
Lähdeluettelo Alexander, C., 001. Market odels: a guide to financial data analysis. John Wiley & Sons Ltd. Elton, E. J., ja M. Gruber, 1991. Modern ortfolio theory and investent analysis, 4 th edition. John Wiley & Sons Ltd. Jauri, O., 1997. Riskienhallinta uudesta näkökulasta. Kauakaari Oy, Helsinki. Johnson, R. A. ja D. W. Wichern, 00. Alied ultivariate statistical analysis, 5 th edition. Prentice Hall, New York. Jorion, P., 001. Value at risk: the new benchark for anaging financial risk, nd edition. Mc- Graw-Hill, New York. Luenberger, D. G., 1998. Investent science. Oxford University Press, New York. Markowitz, H. M., 195. Portfolio Selection. Journal of Finance 7(1), 77-91. Pindyck, R. S. ja D. L. Rubinfeld, 1997. Econoetric odels and econoic forecasts, 4 th edition. McGraw-Hill, Singaore. 3