LYHYT MATEMATIIKKA KERTAUSTEHTÄVIÄ

LYHYT MATEMATIIKKA KERTAUSTEHTÄVIÄ

Lyhyen matematiikan perustason lausekkeenkäsittelyä ja yhtälönratkaisua 1 Lausekkeen käsittely 1. 3(x 2) + 4x = 2. 5x 7(2x 3) = 3. (x 2)(x + 3) = 4. 3 x 4 6 2x 6 5. 2 2 1. asteen yhtälön ratkaiseminen 1. 2x 3 = 5 2. 2x 3 = 5x + 5 3. 3(x 2) = 10 3x 5 4. 4 5 5. 6. 3x 2 5 3 x 2 x 4 3 3 2. asteen yhtälön ratkaiseminen 1. 3x 2 5x 2 = 0 2. 5x 2 + x = 0 3. 3x 2 27 = 0 4. x 2 + 5x + 50 = 0 5. 3x 2 + 2x + 1 = 0 4 Potenssi- ja eksponenttiyhtälön ratkaiseminen 1. 1 x 5 81 0 3 2. 3x 6 33 3. 5x 3 4 0 4. 2 2x 32 (Huom! Pystyy ratkaisemaan ilman logaritmia) 5. x 5 1,08 200 6. x a 1,5 1 4a Ratk. 3 1. x=2 tai x=-1/3, 2. x=0 tai x=-1/5, 3. x=3 tai x=-3, 4. Ei juuria, 5. Ei juuria 4 Ratk. 4 1. x= -3, 2. x 6 11 3. x 3 4. x 2 1 5 2 5. x 47,9 6. x 2,42

Verrannollisuus 1. Ratkaise verranto 12 7 54 x 2. 3,2 km lenkkeilymatka kestää 21 min. Kuinka kauan kestää 8,5 km matka, jos nopeus pysyy samana? 3. Liike-energia on suoraan verrannollinen kappaleen nopeuden neliöön. Kun kappaleen nopeus on 10 m/s, sen liike-energia on 2,5 kj. Laske, kuinka suuri on saman kappaleen liikeenergia, kun nopeus on a) 25 m/s b) 100 km/h? 4. Talon lämmityskustannukset ovat suoraan verrannolliset sisä- ja ulkolämpötilojen väliseen erotukseen. Ulkolämpötilan ollessa -2,0 C ja sisälämpötilan 22,0 C sisälämpötilaa pudotetaan 21,0 C:een.Kuinka monella prosentilla talon lämmityskustannukset tällöin pienenevät? 5. Vesiallas juoksutetaan tyhjäksi altaan pohjassa olevan pyöreä putken kautta. Altaan tyhjenemisaika on kääntäen verrannollinen putken poikkileikkauspinta alan neliöön. Pinta alan ollessa 15,0 cm 2, allas tyhjenee 35 minuutissa. Mikä pitää pinta alan olla, että tyhjenemisaika olisi 20 minuuttia. 6. Äänen intensiteetti on kääntäen verrannollinen etäisyyden neliöön. Muodosta funktio, joka kuvaa äänen intensiteettiä I etäisyyden d (m) funktiona, jos 5 metrin etäisyydellä äänen intensiteetti on 1 W/m 2. Lineaarinen ja eksponentiaalinen malli 7. 186 kg painoinen sumopainija aloittaa laihdutuskuurin. Hän laihtui 1,5 kg viikossa. Muodosta funktio f(x), joka ilmoittaa sumopainijan painon, kun laihduttaminen on jatkunut x viikkoa. Kuinka monen viikon kuluttua paino on 150 kg? Paljonko hän painaa 10 vrk kuluttua kuurin aloittamisesta? 8. Yrityksen liikevaihto oli vuonna 2000 360 000 ja vuonna 2009 510 000. Mikä on keskimääräinen vuotuinen kasvuprosentti? Minä vuonna liikevaihto ylittää 1 000 000, jos vuotuinen kasvu jatkuu samana? 9. 1,0 cm:n kerros ilmansuodatinta poistaa ilman hiukkasista 20 %. a) Kuinka monta prosenttia hiukkasista poistaa 3,0 cm:n kerros samaa suodatinta? b) Kuinka paksu suodatin suodattaa hiukkasista 99 %? 10. Radioaktiivinen jodi on aine, jota voi kerääntyä ihmisen kilpirauhaseen ydinonnettomuuden jälkeen. Radioaktiivisen jodin puoliintumisaika on kahdeksan vuorokautta. a) Kuinka monen vuorokauden jälkeen aineen määrä on laskenut 12,5 prosenttiin alkuperäisestä? b) Kuinka monta prosenttia jodin määrästä hajoaa vuorokaudessa?

11. Vanhassa luulöydössä oli hiili -14 pitoisuus 58 % alkuperäisestä määrästä. Kuinka vanha luu oli, kun hiili 14 isotoopin puoliintumisaika on 5730 vuotta? 12. Pikavippifirma liittää nostetun lainan korot lainapääomaan kerran kuukaudessa. a) Kuinka suuri kuukausikorko vastaa 24 prosentin vuotuista korkoa? b) Jos pikavipin kuukausikorko on 2,0 %, kuinka pitkän ajan kuluttua lainapääoma on kaksinkertaistunut (korot liitetään pääomaan kuukausittain)? Ratk. 1. x 31 1 2 2. 56 min. 3. a) 16 kj b) 4. 4,2% 5. 19,8 cm 2 6. I=25/d 2 7. a) f(x)= -1,5x+186 b) 24 vko c) 184 kg 8. a) 3,9 % b) 2027 9. a) 49 % b) 21 cm 10. a) 24 vrk b) 8,3 % 11. 4500 vuotta 12. a) 1,8 % b) 2 vuotta 11 kk Suoraan liittyviä tehtäviä 1. Suora kulkee pisteiden (-2,-1) ja (1,5) kautta. Määritä suoran yhtälö. Onko piste (50,105) suoralla? 2. Määritä sen suoran yhtälö, joka on yhdensuuntainen suoran y-2x=5 kanssa, ja joka kulkee pisteen (3,4) kautta. 3. Määritä suorien 6y-3x=6 ja 4y-4x=-8 leikkauspiste. 4. Määritä vakio t siten, että suora y=3x+t kulkee pisteen (6,8) kautta. 5. Suoralle y=-5x+5 piirretään normaali, joka kulkee pisteen (5,-1) kautta. Määritä normaalin yhtälö. 6. Kartalla, jonka yksikkö on kilometri, rautatietä esittää suora y 1 2 x 3. Mikä on paikassa (-6,-1) olevan kesämökin lyhin etäisyys rautatiestä? Ratk. 1. y=2x+3, ei 2. y=2x-2 3. Piste (6,4) 4. t=-10 5. y 1 x 2 6. 4,5 km 5

Prosenttilaskentaa Muista: Jos tehtävässä ei ole annettu esim. alkutilanteen lukuarvoja, ei niitä saa itse keksiä. Silloin merkitään alkuarvoksi a. 1. 3200 euron palkka nousi 3350 euroon. a) Kuinka monta prosenttia palkka nousi? b) Säästötoimena korotettua palkkaa lasketaan 4 %. Laske uuden palkan suuruus. 2. Vuonna 2009 Suomen eduskunnassa oli 84 naista ja 116 miestä. a) Kuinka monta prosenttia vähemmän eduskunnassa oli naisia kuin miehiä? b) Kuinka monta prosenttia enemmän eduskunnassa oli miehiä kuin naisia? c) Kuinka monta prosenttia kansanedustajista oli miehiä? 3. Urheiluseuran menot ovat vuodessa 120 000. Tilavuokrien osuus on 32 % menoista. Kuinka monella prosentilla seuran menot nousevat, kun tilavuokrat nousevat 15 % ja muut kulut pysyvät ennallaan? 4. Liuoksen A suolapitoisuus on 8 % ja liuoksen B 20 %. Kun 10 kilogrammaan liuosta A lisättiin liuosta B, saatiin seoksen suolapitoisuudeksi 10 %. Kuinka paljon liuosta B lisättiin seokseen? 5. Ravintolaruoan myyntihinta muodostuu verottomasta hinnasta ja arvonlisäverosta. Ravintolaruoan alv oli 22 % vuoden 2010 loppuun asti, jolloin se laski yhdeksällä prosenttiyksiköllä. Kuinka monella prosentilla ruoka-annosten hinnat alenivat ravintolassa, jossa veronalennus siirrettiin suoraan hintoihin? 6. Taidenäyttelyn kävijämäärä kasvoi vuosittain seuraavasti: +23,4 %, +16,3 % ja +4,5 %. a) Kuinka monta prosenttia kävijämäärä kasvoi kaikkiaan? b) Kuinka suurta vuotuista prosentuaalista kasvua tämä vastaa? 7. Neliön ulkopuolelle piirretään mahdollisimman pieni ympyrä niin, että neliö jää ympyrän sisälle. a) Kuinka monta prosenttia suurempi on ympyrän pinta-ala kuin neliön pinta-ala? b) Jos äsken piirretyn ympyrän ympäri piirretään mahdollisimman pieni neliö, kuinka suuri on pienen neliön ja suuren neliön alojen suhde? Ratk. 1.a) 4,7 % b) 3216 2. a) 28 % b) 38 % c) 58 % 3. 4,8 % 4. 2 kg 5. 7,4 % 6. a) 50,0 % b) 14,5 % 7. a) 57 % b) 2 1

Geometriaa 1. Päivin varjo seinällä on tasan kahden metrin korkuinen. Kuinka pitkä Päivi on, kun hän seisoo metrin päässä seinästä ja lamppu on hänen edessään lattianrajassa kolmen metrin päässä? (Piirrä kuva!) 2. Kartan mittakaava on 1:100 000. a) Kuinka leveä tällä kartalla on järvi, jonka leveys luonnossa on 1,2 km? b) Kuinka pitkä on kahden kaupungin välinen etäisyys luonnossa, kun se kartalla on 32 cm? 3. Kartan mittakaava on 1:50 000. a) Kuinka iso tällä kartalla on järvi, jonka pinta-ala luonnossa on 1,1 km 2? b) Kuinka suuri on luonnossa suoalue, jonka pinta-ala kartalla on 12,5 cm 2? 4. Pisteet (3, -2), (1, 3) ja (-2, 5) rajaavat kolmion. Laske kulman A suuruus asteen tarkkuudella ja sivun BC pituus. Ilmoita sivun pituudelle sekä tarkka arvo että yksidesimaalinen likiarvo. 5. Talon pihassa on TV-antenni, joka on tuettu kolmeen suuntaan maahan kiristetyillä vaijereilla. Jokaiseen suuntaan halutaan lisätä samalle korkeudelle edellisen vaijerin kanssa toinen vaijeri. Alkuperäiset vaijerit ovat 10,0 metrin pituisia, ja ne on kiinnitetty maahan 60 kulmassa. Uudet vaijerit kiinnitetään maahan 50 kulmassa. Kuinka pitkiä uudet vaijerit ovat? 6. a) Tasakylkisen puolisuunnikkaan kyljen pituus on 4,1 cm ja yhdensuuntaisten sivujen pituudet ovat 2,0 cm ja 5,0 cm. Piirrä kuva, laske puolisuunnikkaan korkeus ja pinta-ala b) Neljäkkään lävistäjien pituudet ovat 3,5 cm ja 2,1 cm. Laske neljäkkään pinta-ala. 7. Kuinka korkealla Maan yläpuolella on satelliitti, kun satelliitista katsottuna Maa peittää 25 astetta näkökentästä? Maan ympärysmitta on 40 000 km. 8. Hancock Tower on 344 metrin korkuinen. Kuinka kauas sen huipulta voi nähdä? Maapallon ympärysmitta on 40 000 km. (Huom! Laske kaaren pituus) 9. Säännöllisen neliöpohjaisen pyramidin pohjasärmän pituus on 26,0 cm ja sivusärmän pituus 30,0 cm. Laske pyramidin a) korkeus b) pohjan ja sivutahkon välinen kulma. 10. Alokas kaivaa maahan suoran ympyrälieriön muotoisen poteron, jonka halkaisija on 1,0 m ja syvyys 1,8 m. Kuinka paljon painaa kaivettu maa-aines, kun sen tiheys on 1,7 kg/dm 3? 11. Lontoo ja Ghanan pääkaupunki Accra sijaitsevat samalla pituuspiirillä. Kuinka pitkä on kaupunkien välinen etäisyys, kun Accra on leveydellä 5 37 N ja Lontoo 51 30 N? Maapallon säde on 6370 km. 12. Häihin valmistetaan suoran ympyräkartion muotoisia suklaakonvehteja, joiden korkeus on 4,5 cm ja pohjan halkaisija 1,8 cm. a) Kuinka monta konvehtia voidaan valmistaa 6 desilitrasta suklaata? b) Jokainen konvehti kääritään folioon niin, että konvehdin pohja jää näkyviin. Kuinka paljon foliota kuluu konvehtien pakkaamiseen? Saumavaroja ja hukkapaloja ei oteta huomioon.

13. Rantapallon tilavuus on 33 litraa. Laske pallon halkaisija. 14. Kesämökin keittiöön vedetään letku, jota pitkin keittiöön pumpataan vettä järvestä. Vesiletkun pituus on 40 m, ulkohalkaisija 22 mm ja letkun seinämän paksuus 3 mm. Pumpulla pystytään pumppaamaan 12 l/min. Kuinka kauan kuluu pumpun käynnistämisestä siihen, että raikas järvivesi alkaa valua keittiön hanasta? 15. Pallo pakataan mahdollisimman pienen kuution sisälle. Kuinka monta prosenttia kuution tilavuudesta on pallon ulkopuolella? Ratk. 1. 1,5 m 2. a) 1,2 cm b) 32 km 3. a) 4,4 cm 2 b) 3,13 km 2 4. a)14 b) 13 3, 6 5. 11,3 m 6. a) 3,8 cm, 13 cm 2 b) 3,7 cm 2 7. 23 000 km 8. 66 km 9. a) 23,7 cm b) 61,3 10. 2400 kg 11. 12 000 km 12. a) 160 b) 20 dm 2 13. 40 cm 14. 40 s..15. 47,6 % Lukujonoista 1. Laske a) aritmeettisen lukujonon 30, 38, 46, viidentoista ensimmäisen jäsenen summa b) geometrisen lukujonon 2, 6, 18, kahdentoista ensimmäisen jäsenen summa. 2. a) Kuinka moni jonon 14, 19, 24, jäsenistä on pienempiä kuin 100 000? 1 b) Kuinka moni jonon 5, 6, 7 5 jäsenistä on pienempiä kuin 100 000? 3. Tuhannesta laatikosta kootaan rakennelma, jonka ylimmässä kerroksessa on yksi laatikko, toiseksi ylimmässä kaksi laatikkoa ja sen alapuolella olevassa kerroksessa kolme laatikkoa ja niin edelleen. Kuinka monta laatikkoa tulee alimpaan kerrokseen ja kuinka monta laatikkoa jää yli? 4. Päivi tallettaa tilille joka vuosi 1000 euroa. Tili tuottaa vuodessa 0,75 % korkoa. Kuinka paljon tilillä on rahaa 30 vuoden kuluttua 5. Kauppaketju myy uutta matkapuhelinta ensimmäisellä viikolla 45 kappaletta ja tämän jälkeen joka viikko aina 15 kappaletta enemmän kuin edellisellä viikolla. a) Kuinka monta puhelinta myydään yhdeksännellä viikolla? b) Kuinka monessa viikossa 6000 puhelimen erä on myyty loppuun? Ratk. 1. a) 1290 b) 531440 2. a)19998 b) 55 3. 44 laatikkoa, 10 jää yli 4. 33 754,17

Kertaustehtäviä Internetissä esimerkiksi http://www02.oph.fi/etalukio/opiskelumodulit/manmath/kokonaisuudet/lukionlyhyt/lukionlyhyt. html (Huom edellisen opetussuunnitelman mukainen kurssijärjestys, asiat samat) http://www.peda.net/veraja/saarijarvi/lukio/oppiaineet/matematiikka/mab/mab9 https://matta.hut.fi/matta/yoteht/index.html (Matematiikan YO-tehtävät ja niiden ratkaisut) Kertaa omatoimisesti myös Funktion kulun tutkiminen (derivointi derivaatan nollakohdat derivaatan merkkitarkastelu kulkukaavio tulkinta) Todennäköisyyslaskennan perusteet Vaihtoehtojen lukumäärien laskeminen (kertoma, ncr, npr) Normaalijakauma Ennen kirjoituksia: Puhdista taulukkokirja kaikista merkinnöistä Oma nimi kanteen esim. maalarinteippiin Vaihda laskimen paristot uusiin, jos näyttö vähänkään himmeä Tyhjennä laskimen muisti Laskimen kannessa olevat ohjeet poistettava tai peitettävä Toimita laskin ja taulukkokirja kansliaan ohjeiden mukaisesti tarkistettavaksi o MUISTA: Graafisien laskimien kulmamääritys palautuu opettajan tekemän resetoinnin jälkeen radiaaneiksi (rad). Itse osattava yo-kokeen alussa vaihtaa kulmamääritys asteille (deg) YO-kokeessa Kokoarkille vastataan vain tehtävään 1. Jos kokelas ei vastaa lainkaan tehtävään yksi, tulee kokoarkille vain nimitiedot. Tehtäviin 2-15 vastataan puoliarkeille. Jokainen tehtävä aloitetaan tyhjälle paperille. Vastata saa maksimissaan 10 tehtävään Luonnospapereihin vedetään henkselit yli Vastaukset, luonnospaperit ja mahdolliset tyhjät paperit palautetaan numerojärjestykseen lajiteltuina kokoarkin sisällä