JOHDATUS MATEMATIIKKAAN. Petri Juutinen

JOHDATUS MATEMATIIKKAAN Petri Juutinen 15. syyskuuta 2015

Alkulause Much more important than specific mathematical results are the habits of mind used by the people who create those results. Cuoco, Goldenberg and Mark (1996) Kurssi Johdatus matematiikkaan on tarkoitettu ensimmäiseksi opintojaksoksi kaikille matematiikkaa opiskeleville ja sen ensisijaisena tavoitteena on madaltaa kynnystä lukion ja yliopisto-opintojen välillä. Keskeisimmän sisällön kurssilla muodostavat todistamisen ja joukko-opin alkeiden opettelu sekä funktioihin liittyviin peruskäsitteisiin tutustuminen. Osaan kurssilla käsiteltävistä aiheista opiskelijat ovat tutustuneet jo lukiossa, mutta näidenkin kohdalla lähestymis- ja esitystapa poikkeavat siitä mihin koulussa on yleensä totuttu. Näiden luentojen pohjana on toiminut kurssia aikaisemmin luennoineiden kollegojen muistiinpanojen lisäksi Lauri Kahanpään, Harri Högmanderin ja Matti Hannukaisen luentomoniste Johdatus matematiikkaan vuodelta 1992, sekä Richard Hammackin kirja Book of Proof. 1

Luku 1 Todistamisen ja matemaattisen päättelyn alkeita Matematiikka on deduktiivinen tiede eli tiede, jossa uutta tietoa luodaan päättelemällä. Siksi jokaisen matematiikkaa opiskelevan on ensiarvoisen tärkeää tuntea logiikan ( = oppi oikeasta ajattelusta ) perusteet ja oppia päättelyiden tekemiseen liittyvät perusperiaatteet ja ajattelumallit. Tarkemmin aiheeseen perehdytään Logiikan kurssilla. 1.1 Alkupala Esimerkki 1.1.1. (Rehdit ja retkut) Oletetaan, että on olemassa saari, jolla asuu tasan kahdenlaisia ihmisiä - rehtejä ja retkuja. Rehdit puhuvat aina totta, retkut puolestaan valehtelevat aina. Päälle päin rehtejä ja retkuja ei voi erottaa toisistaan. Kohtaat kolme saaren asukasta, henkilöt A, B ja C, joista A sanoo: Me olemme kaikki retkuja. Henkilö B puolestaan väittää, että Täsmälleen yksi meistä on rehti. Mitä tyyppiä A, B ja C ovat? Ratkaisu: Tehtävän voisi ratkaista käymällä läpi kaikki mahdolliset kombinaatiot (joita on tässä tapauksessa 2 3 = 8 kpl) yksi kerrallaan ja sulkemalla pois mahdottomat. Jatkon kannalta on kuitenkin hyödyllisempää pohtia, mitä henkilöiden A ja B lausumista voidaan päätellä. A väittää kaikkien kolmen olevan retkuja. Jos hän olisi rehti, tämä väite pitäisi paikkansa. Mutta silloin kaikki kolme, mukaan lukien A itse, olisivat siis retkuja. Näin ollen ei ole mahdollista, että A on rehti, joten hänen on pakko olla retku. 2

Koska tiedämme nyt, että A on retku, on hänen lausumansa Me olemme kaikki retkuja valheellinen väittämä. Ei siis pidä paikkaansa, että kaikki kolme olisivat retkuja, joten joukossa on joko 1 tai 2 rehtiä (rehtejä ei voi olla kolmea, koska A tiedetään jo retkuksi). Jos rehtejä olisi 2, olisi tilanne siis sellainen, että A on retku ja B ja C rehtejä. Tällöin sen, mitä B sanoo ( Täsmälleen yksi meistä on rehti ) pitäisi olla totta, mutta näinhän ei ole. Siispä rehtejä ei voi olla kahta, vaan heitä on vain yksi. Tiedämme nyt, että rehtejä on täsmälleen yksi, joten se, mitä B sanoo, on totta. Niinpä henkilön B täytyy olla rehti. Ja koska rehtejä on vain yksi, on henkilön C oltava retku. Vastaus: Henkilöt A ja C ovat retkuja, ja B on rehti. 1.2 Päättelemisestä ja lauselogiikasta Logic will get you from A to B. Imagination will take you everywhere. Albert Einstein 1.2.1 Väitelause Väitelause eli propositio on lause, joka väittää jotain ja josta voidaan sanoa (tai ainakin kysyä) onko se totta vai ei. Tällainen määrittely ei ehkä vaikuta kovin täsmälliseltä, mutta se riittää tällä kurssilla. Seuraava esimerkki toivottavasti valaisee asiaa. Esimerkki 1.2.1. Väitelauseita ja lauseita, jotka eivät ole väitelauseita: (a) 4 > 13 (epätosi) (b) Hauki on kala. (tosi) (c) 3 3 (tosi) (d) 2 Z. (epätosi) (e) 1729 on pienin luonnollinen luku, joka voidaan esittää kahdella eri tavalla kahden luonnollisen luvun kuutioiden summana. (totta vai ei?) (f) 1 + 3 2 (ei ole väitelause, ei väitä mitään.) 3

(g) Tämä lause on epätosi. (ei ole väitelause, sillä sen totuusarvoa ei voida määrittää) Esimerkki 1.2.2. Tyypillisiä matemaattisia väitelauseita: (a) Jos x 2, niin x 2 4. (b) Suorakulmaisen kolmion hypotenuusan pituuden neliö on yhtäsuuri kuin sen kateettien pituuksien neliöiden summa. (c) Olkoon f : [0, 1] R jatkuva funktio siten, että f(0) = 0 ja f(1) = 2. Tällöin on olemassa x ]0, 1[ siten, että f(x) = 1. Esimerkki 1.2.3. Goldbachin konjektuuri Jokainen lukua 2 suurempi parillinen luonnollinen luku on kahden alkuluvun summa on esimerkki matemaattisesta väitelauseesta, joka selvästikin on joko tosi tai epätosi, mutta toistaiseksi kukaan ei ole onnistunut saamaan selville kumpaa se on. Pienille parillisille luvuille vaaditut alkuluvut on suhteellisen helppo löytää, esimerkiksi 4 = 2 + 2, 6 = 3 + 3, 8 = 3 + 5, 10 = 5 + 5, 40 = 3 + 37 ja 100 = 17 + 83. Tämä ei kuitenkaan sulje pois mahdollisuutta, että olisi olemassa jokin hyvin suuri parillinen luku, jolle vaadittuja alkulukuja ei löytyisikään. Huomautus 1.2.4. Matemaattista lausetta, joka riippuu jostakin muuttujasta, sanotaan avoimeksi lauseeksi. Esimerkiksi reaalilukuja koskeva lause x 2 > 2x + 1 on avoin lause. Jos tässä muuttujalle x annetaan jokin arvo, avoin lause muuttuu lauseeksi, jolla on jokin totuusarvo, joko tosi tai epätosi. Avoin lause voi siis saada kumpiakin totuusarvoja, ts. voi olla olemassa arvo, jolle se on tosi, ja voi olla olemassa arvo, jolle se on epätosi. Tällainen on esimerkiksi edellä mainittu lause x 2 > 2x + 1. 4

1.2.2 Loogisista konnektiiveista Väitelauseista voidaan muodostaa uusia väitelauseita loogisia konnektiiveja käyttäen. Loogisia konnektiiveja ovat implikaatio =, ekvivalenssi, negaatio, konjunktio ja disjunktio. Ne määritellään totuustaulukoiden avulla, eli kertomalla kuinka muodostetun lauseen totuusarvo riippuu siinä esiintyvien väitelauseiden totuusarvoista. Konjunktio ja disjunktio Loogiset konnektiivit konjunktio ja disjunktio vastaavat oleellisesti arkikielen ilmaisuja ja ja tai. P Q P Q P Q T E E T T T T T E E E E E T E T Esimerkki 1.2.5. Olkoon P väitelause 2 > 1 ja Q väitelause 2 2. Näiden lauseiden konjunktio P Q on väitelause 2 > 1 ja 2 2, joka voidaan kirjoittaa lyhyesti muodossa 1 < 2 2. Lauseiden P ja Q disjunktio P Q on puolestaan 2 > 1 tai 2 2. Huomautus 1.2.6. Matemaatikon tai ei ole joko-tai. Sen vuoksi väite P tai Q on totta, jos (i) P tosi, Q epätosi (ii) P epätosi, Q tosi (iii) P tosi, Q tosi Esimerkiksi väitelause 2 > 1 tai 2 2 on siis totta. Negaatio Väittämän P negaatiota eli väittämää P on epätosi merkitään symbolilla P. Tämän konnektiivin totuustaulu on siis P P T E E T 5

Esimerkki 1.2.7. Väitelauseita ja niiden negaatioita. Huomaa erityisesti miten väitelauseiden osia toisiinsa sitovat ja ja tai käyttäytyvät. 1 (a) väite: 1 1. 1000 1001 1 000 000 1 negaatio: 1 > 1. 1000 1001 1 000 000 (b) väite: 95 π 2 99 (eli 95 π 2 ja π 2 99). negaatio: 95 > π 2 tai π 2 > 99 (c) väite: ( 2 2 ) 2 2 2 on rationaaliluku tai on rationaaliluku. negaatio: luvut ( 2 2 ) 2 2 2 ja ovat irrationaalilukuja. (d) väite: jos luvun n N neliöjuuri n on kokonaisluku, niin n ei ole alkuluku. negaatio: on olemassa (ainakin yksi) n N, jolle n on kokonaisluku ja n itse on alkuluku. (e) väite: on olemassa täsmälleen yksi luku x R siten, että x 2 +4x 7 = 0. negaatio: yhtälöllä x 2 + 4x 7 = 0 ei ole täsmälleen yhtä (reaalista) ratkaisua, eli joko ratkaisuja ei ole yhtään tai sitten niitä on ainakin 2. Implikaatio Matematiikassa vastaan tulevat väitelauseet ovat varsin usein esitettävissä muodossa Jos P, niin Q, (1.2.1) Tämä vastaa implikaatio-konnektiivin = avulla muodostettua lausetta P = Q. Tässä P ja Q ovat kumpikin väitelauseita, ja niistä käytetään tässä yhteydessä seuraavia nimityksiä: P = oletus Q = väite Jos väitelause (1.2.1) on tosi, niin sanotaan, että lauseesta P seuraa Q, tai että P on riittävä ehto lauseelle Q. Implikaation = totuustaulu on P Q P = Q T E E T T T E E T E T T 6

Väitelause P = Q on siis epätosi vain jos P on totta ja Q epätosi. Esimerkki 1.2.8. Oletetaan, että kurssin luennoitsija antaa lupauksen jos suoritat lopputentin hyväksytysti, niin pääset kurssista läpi. Tällöin edellinen totuustaulu saa muodon tentti hyväksytty kurssi läpi tentti hyväksytty = kurssi läpi T E E T T T E E T E T T On ilmeistä, että luennoitsija pettää antamansa lupauksen vain jos opiskelija suorittaa lopputentin hyväksytysti, mutta ei silti pääse kurssista läpi. Esimerkki 1.2.9. Esimerkkejä implikaation avulla muodostetuista väitelauseista. (a) Jos x on rationaaliluku ja y on rationaaliluku, niin myös x + y on rationaaliluku. Tässä väitelauseen oletus on x on rationaaliluku ja y on rationaaliluku ja väite x + y on rationaaliluku. (b) Jos x = a on polynomifunktion P nollakohta, niin (x a) on polynomin tekijä. Tässä väitelauseen oletus on P on polynomi ja P (a) = 0 ja väite (x a) on polynomin P tekijä. (c) Goldbachin konjektuuri Jokainen lukua 2 suurempi parillinen luonnollinen luku on kahden alkuluvun summa voidaan myös muotoilla implikaation avulla: Jos n N on parillinen ja n > 2, niin on olemassa alkuluvut k ja l siten, että n = k + l. Implikaation totuustaulukon perusteella väitelauseen P = Q negaatio (eli väitelause P = Q on epätosi ) on totta ainoastaan tapauksessa P on totta ja Q epätosi. Totuustaulukoita tarkastelemalla havaitaan, että P ja Q on totta täsmälleen silloin kun P = Q on epätosi: P Q P ja Q P = Q T E T E T T E T E E E T E T E T 7

Näin ollen siis (P = Q) on P ja Q. Esimerkki 1.2.10. Muotoa P = Q olevia väitelauseita ja niiden negaatioita. (a) väite: Jos f on derivoituva, niin f on jatkuva. (ts. mikä tahansa derivoituva funktio on myös jatkuva) negaatio: on olemassa (ainakin yksi) derivoituva funktio f, joka ei ole jatkuva. (b) väite: Jos b 2 4ac > 0, niin toisen asteen yhtälöllä ax 2 + bx + c = 0 on kaksi eri (reaalista) ratkaisua. negaatio: on olemassa kertoimet a, b ja c siten, että b 2 4ac > 0, mutta yhtälöllä ax 2 + bx + c = 0 ei ole kahta eri ratkaisua (ratkaisuja on yksi tai ei yhtään). (c) väite: jos n N on pariton, niin myös n 3 on pariton. (ts. minkä tahansa parittoman luvun kolmas potenssi on myös pariton) negaatio: on olemassa pariton luku n N siten, että n 3 ei ole pariton. Huomautus 1.2.11. Implikaatio = ei ole symmetrinen, eli P = Q ei ole sama asia kuin Q = P. On esimerkiksi totta, että jos n on jaollinen luvulla 4, niin n on parillinen, kun taas väitelause jos n on parillinen, niin n on jaollinen luvulla 4 on epätosi (n = 6 kelpaa vastaesimerkiksi). Ekvivalenssi Väitelauseet P ja Q ovat ekvivalentit, merkitään P Q, jos P = Q ja Q = P. Ekvivalenssin totuustaulu on P Q P Q T E E T T T E E T E T E Näin ollen P Q on totta, jos P ja Q ovat molemmat tosia tai molemmat epätosia. Muissa tapauksissa lause P Q on epätosi. Väitelause P Q luetaan P jos ja vain jos Q tai P täsmälleen kun Q. 8

Esimerkki 1.2.12. Positiiviselle reaaliluvulle x pätee x > 1 jos ja vain jos log( 1 x ) < 0, ts. x > 1 log( 1 x ) < 0. Tämä väitelause tarkoittaa siis, että jos x > 1, niin log( 1 x ) < 0, ja jos log( 1 ) < 0, niin x > 1. x 1.2.3 Kvanttoreista Hyvältä matemaattiselta tulokselta vaaditaan pääsääntöisesti tiettyä yleisyyttä, jotta se olisi käyttökelpoinen. Esimerkiksi se, että jokainen derivoituva funktio on jatkuva on hyödyllinen tulos juuri sen takia, että se pätee jokaiselle derivoituvalle funktiolle, ilman mitään lisäoletuksia. Itse asiassa suuri osa matemaattisista tuloksista on muotoa kaikilla... pätee.... Symbolia kutsutaan universaalikvanttoriksi tai kaikki-kvanttoriksi, ja se vastaa arkikielen ilmaisua kaikilla tai jokaisella. Esimerkki 1.2.13. Väitelause Jokaiselle luonnolliselle luvulle n luku 2n on parillinen voidaan kirjoittaa universaalikvanttorin avulla muodossa n N : 2n on parillinen. Toinen usein vastaan tuleva kvanttori on olemassolo- eli eksistenssikvanttori. Esimerkki 1.2.14. Väitelause On olemassa rationaaliluku x, jonka neliö on 3 voidaan kirjoittaa myös muodossa x Q : x 2 = 3. Joissakin väitelauseissa kvanttoreita esiintyy useita kappaleita. Silloin niiden keskinäiseen järjestykseen tulee kiinnittää erityistä huomiota: Esimerkki 1.2.15. Tarkastellaan väitelausetta Jokaiselle a N on olemassa b N siten, että a b ja ab N, joka kvanttoreita käyttäen voidaan kirjoittaa muotoon a N b N : a b ja ab N. Tämä väitelause on totta: mille tahansa a N voidaan etsityksi luvuksi b 9

ottaa 4a. Jos vaihdetaan kvanttoreiden keskinäistä järjestystä, saadaan väitelause b N a N : a b ja ab N, eli On olemassa luku b N siten, että kaikille a N on voimassa a b ja ab N. Tämä väitelause on epätosi: Mikään b N ei toteuta ehtoja, sillä jos otetaan a = b, niin ei ole totta, että a b. Jos on ilmeistä, että väitelause koskettaa kaikkia tietyn joukon alkioita, saatetaan sana kaikille tai jokaiselle jättää pois. Esimerkiksi väitelause Jokaiselle luonnolliselle luvulle n luku 2n on parillinen voidaan esittää muodossa Jos n on luonnollinen luku, niin 2n on parillinen. Vastaavasti voidaan todeta, että Jos f on derivoituva, niin se on myös jatkuva. Tämä on hyvä pitää mielessä muodostettaessa väitelauseiden negaatioita. Esimerkki 1.2.16. (i) Väitelauseen Jos n on luonnollinen luku, niin 2n on parillinen negaatio on On olemassa luonnollinen luku n, jolle 2n ei ole parillinen. (ii) Väitelauseen On olemassa irrationaaliluku x siten, että 2 x N negaatio on Jokaiselle irrationaaliluvulle x pätee 2 x N. (iii) Väitelauseen Jokaiselle reaaliluvulle x on olemassa reaaliluku y siten, että x = y 2 negaatio on on olemassa (ainakin yksi) reaaliluku x siten, että kaikille x y 2 kaikilla reaaliluvuilla y. Kvanttoreita ja käytetään tiivistämään tai selkeyttämään matemaattista ilmaisua esimerkiksi liitutaulua käytettäessä. Sen sijaan kirjoitetussa matemaattisessa tekstissä niitä pyritään välttämään. 1.3 Todistamisesta Obvious is the most dangerous word in mathematics. E. T. Bell 10

1.3.1 Suora todistus Tarkastellaan seuraavaa väitelausetta: Jos luonnollinen luku n on pariton, niin myös n 2 on pariton. (1.3.1) Väitelause on muotoa P = Q, missä P (oletus): n pariton. Q (väite): n 2 pariton. Onko väitelause (1.3.1) tosi vai epätosi? Tämän selvittäminen on mahdollista vain jos ensin sovitaan tarkasti, mitä väitelauseessa esiintyvät käsitteet luonnollinen luku ja pariton tarkoittavat, eli määritellään ko. käsitteet. Määritelmä 1.3.1. Luonnollisten lukujen joukko N on joukko N = {1, 2, 3, 4,...}. Luonnollinen luku n on parillinen, jos n = 2l jollakin luonnollisella luvulla l N, ja pariton, jos n = 2k 1 jollakin luonnollisella luvulla k N. Huomautus 1.3.2. Parittomuutta (tai parillisuutta) osoitettaessa on näytettävä, että määritelmän ehto on voimassa. Nyt voidaan siis esimerkiksi todeta, että koska luku 7 on esitettävissä muodossa 7 = 2 4 1, missä 4 N, niin se on yllä asetetun määritelmän mukaan pariton. Huomautus 1.3.3. Vaikka yllä olevassa määritelmässä lukeekin Luonnollinen luku n on parillinen, jos n = 2l jollakin luonnollisella luvulla l N, niin se tulee ymmärtää muodossa Luonnollinen luku n on parillinen, jos ja vain jos n = 2l jollakin luonnollisella luvulla l N. Väitelause (1.3.1) on totta, mille esitämme seuraavassa todistuksen. Todistus kertoo, miksi ja miten väite n 2 pariton seuraa oletuksesta n pariton. Se on loogisesti pitävä ja aukoton perustelu sille, että väitelause on tosi. Todistus. Oletuksen mukaan n on pariton eli n = 2k 1 jollakin k N. Haluamme osoittaa tästä välttämättä seuraavan, että n 2 on pariton, eli että on olemassa jokin l N siten, että n 2 = 2l 1. Tällainen l löytyy laskemalla, oletusta apuna käyttäen: n 2 = (2k 1) 2 = 4k 2 4k+1 = (4k 2 4k+2) 1 = 2(2k 2 2k+1) 1 = 2l 1, missä l = 2k 2 2k + 1 = 2k(k 1) + 1 on luonnollinen luku, sillä oletuksen mukaan k on luonnollinen luku. Siten luvulla n 2 on parittomuuden määritelmässä vaadittu ominaisuus, joten se on pariton. Väitelause on todistettu. 11

Todistuksessa käytettiin siis seuraavaa päättelyketjua: n pariton n = 2k 1 jollakin k N n 2 = (2k 1) 2 jollakin k N n 2 = 2(2k 2 2k + 1) 1 n 2 = 2l 1 eräällä l N n 2 on pariton. Todistuksessa edetään vaiheittain oletuksista väitteeseen, mistä johtuu nimitys suora todistus. Päättelyn jokainen vaihe on pystyttävä perustelemaan ja mahdollisen lukijan on voitava vakuuttautua todistuksen pitävyydestä. Esimerkiksi ensimmäinen vaihe (ensimmäinen -merkki) saadaan parittomuuden määritelmästä, toinen ja kolmas vaihe ovat suoria laskuja ja niin edelleen. Todistuksen lopussa oleva on yksinkertaisesti todistuksen loppumerkki, joka ilmaisee, että väitelauseen todistava päättely on saatu päätökseen. Huomautus 1.3.4. Seuraava perustelu ei riitä todistukseksi. n n 2 1 1 3 9 5 25 7 49 9 81.. 33 1089. Väitelause näyttäisi kyllä olevan totta, koska jokaisen yllä valitun parittoman luvun n neliö n 2 on pariton. Mutta tämä ei vielä todista yhtään mitään, sillä kaikkia mahdollisia parittomia lukuja ei ole käyty (eikä voidakaan käydä) läpi! Väitelauseessa vaaditaan nimenomaan, että minkä tahansa parittoman luvun neliö on pariton. Tavalla tai toisella merkitykselliset ja todeksi näytettävissä olevat väitelauseet on matematiikassa tapana muotoilla teoreemoiksi eli lauseiksi. Aputuloksia, joita tarvitaan näiden lauseiden todistamisessa, kutsutaan usein lemmoiksi tai propositioiksi. Lause 1.3.5. Jos toisen asteen polynomifunktiolla f(x) = ax 2 + bx + c on nollakohdat x 1 x 2, niin kaikilla x R. f(x) = a(x x 1 )(x x 2 ) 12.

Todistus. Koska x 1 on polynomin nollakohta, niin ax 2 1 +bx 1 +c = 0. Tämän perusteella f(x) = ax 2 + bx + c = ax 2 + bx + c 0 = ax 2 + bx + c (ax 2 1 + bx 1 + c) = a(x 2 x 2 1) + b(x x 1 ) = (x x 1 ) ( a(x + x 1 ) + b ). Myös x 2 on polynomin nollakohta, joten (x 2 x 1 ) ( a(x 2 + x 1 ) + b ) = 0. Oletuksen mukaan x 1 x 2, joten (x 2 x 1 ) 0. Tulon nollasäännön mukaan on siis oltava a(x 2 + x 1 ) + b = 0 eli b = a(x 2 + x 1 ). Tämän perusteella f(x) = (x x 1 ) ( a(x + x 1 ) + b ) = (x x 1 ) ( a(x + x 1 ) a(x 2 + x 1 ) ) mikä pitikin todistaa. = a(x x 1 )(x x 2 ), 1.3.2 Epäsuora todistus Once you eliminate the impossible, whatever remains, no matter how improbable, must be the truth. Sherlock Holmes Suora todistus eli suora päättely on käytetyin ja yleensä helpoin todistusmenetelmä. Joissakin tilanteissa on kuitenkin hyödyllistä käyttää toisenlaista ajattelua. Epäsuorassa todistuksessa oletetaan, että väite ei pidäkään paikkaansa ja osoitetaan, että tästä seuraa tehdyt oletukset huomioiden mahdoton tilanne eli ristiriita. Niinpä väitteen on pakko olla totta. Tämänkaltaista päättelyä harrastettiin jo Rehtien ja Retkujen saarella. Esimerkki 1.3.6. Osoita, että jos n on parillinen, niin n ei ole pariton. Todistus. Haluamme siis osoittaa, että parillisella luvulla n ei ole parittomuuden määritelmässä esitettyä ominaisuutta. On varsin luontevaa tehdä tämä toteamalla, että jos sillä olisi tämä ominaisuus, niin seuraisi mahdoton tilanne. Jos siis n olisi pariton, olisi olemassa jokin k N siten, että n = 2k 1. Toisaalta oletuksen mukaan n on parillinen, joten n = 2l jollakin l N. Nyt 0 = n n = (2l) (2k 1) = 2(l k) + 1 13

eli k l = 1 2. Tämä on kuitenkin mahdotonta, sillä l ja k ovat luonnollisia lukuja ja siksi niiden erotus on kokonaisluku. Niinpä väitteen n ei ole pariton on pakko olla totta. Jotta parillisuuteen ja parittomuuteen liittyvät päättelyt olisivat varmalla pohjalla, muotoillaan ja todistetaan näihin käsitteisiin liittyvä ilmeisen tuntuinen tulos. Lause 1.3.7. Jokainen luonnollinen luku on joko parillinen tai pariton Todistus. Osoitetaan ensin, että millään luonnollisella luvulla ei voi olla molempia ominaisuuksia. Tehdään tämä epäsuoraa päättelyä käyttäen, eli oletetaan (kuvitellaan), että olisi olemassa n N joka on sekä parillinen että pariton. Edellisessä esimerkissä todistetun väitteen perusteella luvun n parillisuudesta kuitenkin seuraa, ettei se voi olla pariton. Niinpä kuvitellun laista lukua ei voi olla olemassa, eli jokaisella luonnollisella luvulla on korkeintaan toinen ominaisuuksista parillinen ja pariton. Osoitetaan sitten, että jokainen luonnollinen luku on välttämättä parillinen tai pariton. Pitää siis osoittaa, että ei ole olemassa sellaista luonnollista lukua n, joka ei olisi parillinen eikä pariton. Käytetään jälleen epäsuoraa päättelyä eli kuvitellaan, että tällaisia lukuja olisi olemassa (yksi tai useampia). Havaitaan, että 1 on pariton, sillä se voidaan esittää muodossa 1 = 2 1 1. Olkoon n 0 pienin luonnollinen luku, joka ei ole parillinen eikä pariton. Tällöin n 0 2 ja n 0 1 on parillinen tai pariton (koska n 0 oli pienin luku, joka ei ole parillinen eikä pariton). Jos n 0 1 on parillinen, niin n 0 1 = 2k jollakin k N. Tällöin n 0 = 2k + 1 = 2(k + 1) 1, missä k + 1 N, joten n 0 on pariton. Jos taas n 0 1 on pariton, on n 0 1 = 2k 1 jollakin k N. Tällöin n 0 = 2k, missä k N eli n 0 on parillinen. Oli siis n 0 1 kumpi tahansa, parillinen tai pariton, on saatu ristiriita sen kanssa, että n 0 ei olisi kumpaakaan. Huomautus 1.3.8. Edellisen todistuksen loppuosa on esimerkki tapauskohtaisesta päättelystä: siinä sekä luvun n 0 1 parillisuuden että parittomuuden osoitettiin johtavan ristiriitaan tarkastelemalla näitä kahta tapausta erikseen. 14

Esimerkki 1.3.9. Tarkastellaan väitelausetta Jos n 2 on pariton, niin n on pariton. Yritetään ensin suoraa todistusta. Koska n 2 on oletuksen mukaan pariton, on olemassa k N siten, että n 2 = 2k 1. Tavoitteena on näyttää, että tästä seuraa luvun n parittomuus, eli että on olemassa l N siten, että n = 2l 1. Mutta miten luku l löydetään? n 2 pariton n 2 = 2k 1 jollakin k N n = 2k 1 jollakin k N???? Tämä lähestymistapa ei vaikuta kovin lupaavalta, joten kokeillaan epäsuoraa päättelyä. Todistus. Käytetään epäsuoraa päättelyä eli tutkitaan, mitä tapahtuisi, jos väite ei olisikaan totta. Tehdään niin sanottu antiteesi (vastaväite, väitteen negaatio): On olemassa n, jolle n 2 on pariton, mutta n ei olekaan pariton. Tällöin n on Lauseen 1.3.7 nojalla välttämättä parillinen, joten on olemassa k N siten, että n = 2k. Siten n 2 = (2k) 2 = 4k 2 = 2(2k 2 ) = 2l, missä l = 2k 2 N. Niinpä myös n 2 on parillinen. Mutta tämä on mahdotonta, sillä oletimme, että n 2 on pariton ja todistimme edellä, ettei parillinen luku voi olla pariton. Siten antiteesin on pakko olla epätosi ja luvun n on siis oltava pariton. Huomautuksia. Epäsuora päättely on useissa tilanteissa hyvin näppärä todistusmenetelmä, mutta sitä käytettäessä on tiedettävä mitä on tekemässä: (1) Epäsuorassa päättelyssä on oltava tarkkana antiteesin muodostamisessa, eli on mietittävä tarkkaan, mitä tarkoittaa se, että väite ei olisikaan totta. (2) Epäsuorassa päättelyssä ei ole etukäteen selvää mistä ja miten ristiriita löydetään. Huomautus 1.3.10. Edellä on todistettu väitelauseet n pariton n 2 pariton ja n 2 pariton n pariton. Niinpä tiedämme nyt, että n pariton n 2 pariton Huomaa, että tästä seuraa, että n parillinen n 2 parillinen. 15

1.3.3 Todistamisen harjoittelua: jaollisuus Jatkamme todistusmenetelmien harjoittelua käyttäen apuna jaollisuuden käsitettä. Tämän kappaleen asioita käsitellään aikanaan tarkemmin lukuteorian kursseilla. Määritelmä 1.3.11. Olkoot n ja m luonnollisia lukuja. Sanotaan, että luku m on jaollinen luvulla n (tai n jakaa luvun m), merkitään n m, jos m = kn jollakin k N. Tällöin n on luvun m tekijä. Luonnollinen luku m on alkuluku, jos m 2 ja jos m on jaollinen ainoastaan luvuilla 1 ja m. Esimerkki 1.3.12. Luku 10 on jaollinen kullakin luvuista 1, 2, 5 ja 10, sillä 10 = 1 10 = 2 5. Sen sijaan luvulla 5 ei ole muita tekijöitä kuin 1 ja 5, joten se on alkuluku. Huomaa, että määritelmämme mukaan 1 ei ole alkuluku. Lause 1.3.13. Luonnollinen luku n on jaollinen luvulla 6 jos ja vain jos ( ) n on jaollinen sekä luvulla 2 että luvulla 3. Todistus. Koska väitelause koostuu itse asiassa kahdesta erillisestä väitelauseesta, on syytä kirjoittaa todistuskin kahdessa osassa: 1 n jaollinen luvulla 6 n jaollinen luvulla 2 ja luvulla 3. Oletus: n jaollinen luvulla 6 eli n = 6k jollakin k N. Väite: n jaollinen luvuilla 2 ja 3. Käytetään jaollisuuden määritelmää: n = 6k = 2(3k) = 2l, missä l = 3k N n on jaollinen luvulla 2. n = 6k = 3(2k) = 3m, missä m = 2k N n on jaollinen luvulla 3. Siten oletuksesta 6 n seuraa, että 2 n ja 3 n. 2 n jaollinen luvuilla 2 ja 3 n jaollinen luvulla 6. Oletus: 2 n eli n = 2l jollakin l N ja 3 n eli n = 3m jollakin m N. Väite: 6 n. Jos tietäisimme, että luku m on parillinen, eli m = 2k jollekin k N, niin silloin saataisiin n = 3m = 3(2k) = 6k, mistä väite seuraisi. Väitteen todistamiseksi riittää siis osoittaa, että m on parillinen. 16

Tehdään tämä epäsuoraa päättelyä käyttäen. Jos m olisi pariton, eli löytyisi p N siten, että m = 2p 1, niin n = 3m = 3(2p 1) = 6p 3 = (6p 2) 1 = 2(3p 1) 1 = 2q 1, missä q = 3p 1 N. Siten myös n olisi pariton. Kuitenkin oletuksen mukaan n = 2l jollakin l N, joten n on parillinen. Tämä on ristiriita. Siten luvun m on pakko olla parillinen, ja siten olemme saaneet väitteen todistettua. 1 ja 2 yhdessä todistavat väitteen. Esimerkki 1.3.14. Osoitetaan, että luku log 2 9 on irrationaaliluku. Todistus. Se, että jokin luku on irrationaaliluku tarkoittaa määritelmän mukaan sitä, että kyseinen luku ei ole rationaaliluku. On siis luontevaa todistaa esitetty väite epäsuoraa päättelyä käyttäen: Antiteesi: log 2 9 on rationaaliluku, eli on olemassa kokonaisluvut n, m Z, m 0, siten, että log 2 9 = n. m Logaritmin määritelmän mukaan yhtäsuuruus log 2 9 = n tarkoittaa, että m 2 n m = 9, josta saadaan (korottamalla yhtälön molemmat puolet potenssiin m) 2 n = 9 m. Luku 2 n on parillinen, kun taas 9 m on pariton (sillä se on parittoman luvun tulo itsensä kanssa m kertaa). Antiteesi on siis johtanut ristiriitaan, joten sen on oltava epätosi. Niinpä log 2 9 on irrationaaliluku. 1.3.4 Konstruktiivinen vs. ei-konstruktiivinen Muotoa on olemassa..., jolle pätee... olevien väitelauseiden todistukset voidaan jakaa kahteen kategoriaan: konstruktiivisiin ja ei-konstruktiivisiin. Ensimmäiseen ryhmään kuuluvat päättelyt, joissa annetaan konkreettinen esimerkki halutut ominaisuudet toteuttavasta objektista. Jälkimmäisen kategorian päättelyissä taas osoitetaan pelkästään etsityn objektin olemassaolo ilman, että selviää mikä kyseinen objekti on. Esimerkki 1.3.15. Osoita, että yhtälöllä x 4 2x 3 2x 1 = 0 on ainakin yksi ratkaisu. Annetaan väitteelle ensin konstruktiivinen todistus: 17

Todistus. Koska (1+ 2) 4 2(1+ 2) 3 2(1+ 2) 1 =... = 0, on 1+ 2 yhtälön eräs ratkaisu. Niinpä ratkaisuja on ainakin yksi. Sitten ei-konstruktiivinen: Todistus. Merkitään f(x) = x 4 2x 3 2x 1. Koska f(0) = 1 < 0, f( 1) = 1 + 2 + 2 1 = 4 > 0 ja f on polynomifunktiona jatkuva, niin Bolzanon lauseen nojalla on olemassa x ] 1, 0[ siten, että f(x) = 0. Niinpä yhtälöllä x 4 2x 3 2x 1 = 0 on ainakin yksi ratkaisu. 1.3.5 Suora vai epäsuora päättely? Monia väitelauseita on mahdollista todistaa sekä suoraa että epäsuoraa päättelyä käyttäen: Esimerkki 1.3.16. Todistetaan väitelause Jos reaaliluvulle x on x 2 3x + 2 < 0, niin x > 0 käyttäen sekä suoraa että epäsuoraa päättelyä. Tässä siis Oletus: x R ja x 2 3x + 2 < 0 Väite: x > 0 Todistus. 1. tapa (suora päättely): Koska x 2 3x + 2 < 0, niin 3x > x 2 + 2. Siten x = 1 3 (3x) > 1 3 (x2 + 2) 1 3 (0 + 2) = 2 3 > 0, joten väite on totta. 2. tapa (epäsuora päättely): Tehdään antiteesi: väite onkin epätosi ja on x 0. Tällöin 3x 0, joten x 2 3x + 2 0, sillä kaikki termit ovat 0. Tämä on kuitenkin ristiriidassa oletuksen kanssa, joten antiteesin on oltava epätosi. Siis väite on totta. 1.3.6 Induktiotodistus If we have no idea why a statement is true, we can still prove it by induction. Gian-Carlo Rota Induktio on kätevä, ja joskus ainoa mahdollinen tapa todistaa luonnollisia lukuja koskevia väitteitä, jotka ovat muotoa Kaikille n = 1, 2, 3,... pätee P (n). Induktioperiaatteen matemaattinen muotoilu on seuraava: Olkoon A N epätyhjä. Jos 18

1 1 A 2 ehdosta n A seuraa aina, että n + 1 A niin A = N. Induktioperiaatteen käyttö: Jos halutaan osoittaa, että jokin väite on totta kaikilla n N, niin riittää 1 todistaa väite tapauksessa n = 1 2 todistaa induktioaskel: Osoitetaan, että jos väite on totta jollakin n = k, niin tällöin väite on totta myös, kun n = k + 1. Eräs tapa havainnollistaa induktiota on niin kutsuttu dominonappulamalli. Kuvittele äärettömän pitkää (!) jonoa dominonappuloita, jotka on aseteltu pystyyn peräkkäin. Koko jonon pitäisi kaatua, kun ensimmäinen nappula kaadetaan. Tämähän tapahtuu niin, että tarkastetaan että ensimmäinen nappula todella kaatuu (vrt 1 ) ja varmistetaan, että kukin nappula kaatuessaan kaataa myös sitä seuraavan (2 ). Jos kumpi tahansa vaihe epäonnistuu, koko jono ei kaadu, vaan jotkin dominonappulat jäävät pystyyn. Induktion ei välttämättä tarvitse alkaa luvusta n = 1. Yleisemmässä muodossaan sen avulla voidaan todistaa muotoa kaikille n = n 0, n 0 + 1, n 0 + 2,... pätee P (n), missä n 0 Z, olevia väitteitä. Tällöinkin todistuksessa on kaksi vaihetta: Ensin osoitetaan, että väite pätee arvolla n = n 0, ja sitten näytetään, että jos P (k) on tosi ja k n 0, niin P (k + 1) on tosi. Esimerkki 1.3.17. Osoita, että kaikille n = 1, 2,... on voimassa Todistus. 1 1 2 + 1 2 3 + + 1 n(n + 1) = n n + 1. 1 Tarkistetaan ensin, että väittämämme yhtäsuuruus on voimassa tapauksessa n = 1: vasen puoli: oikea puoli: Niinpä väite on tosi, kun n = 1. 1 1 2 = 1 2. 1 1 + 1 = 1 2. 19

2 Seuraavaksi on näytettävä, että jos väite on totta jollakin arvolla n = k, k 1, niin se on totta myös seuraavalla arvolla k +1. Tätä vaihetta todistuksessa kutsutaan joskus induktioaskeleeksi, ja sitä varten tehdään ns. induktio-oletus ja induktioväite. Induktio-oletus: 1 1 2 + 1 2 3 + + 1 k(k + 1) = k k + 1. Induktioväite: 1 1 2 + 1 2 3 + + 1 k(k + 1) + 1 (k + 1)(k + 2) = k + 1 k + 2. Todistus: Induktio-oletusta käyttämällä saadaan 1 1 2 + 1 2 3 + + 1 k(k + 1) + 1 (k + 1)(k + 2) = k k + 1 + 1 (k + 1)(k + 2) k(k + 2) + 1 = (k + 1)(k + 2) = k2 + 2k + 1 (k + 1)(k + 2) = (k + 1) 2 (k + 1)(k + 2) = k + 1 k + 2, eli induktioväite on voimassa. Induktioperiaatteen nojalla väite on nyt tosi kaikille n = 1, 2, 3,.... Seuraavaksi tarkastellaan geometrisen sarjan osasummia ja todistetaan induktiolla taulukkokirjasta tuttu kaava. Tätä varten olkoon b reaaliluku siten, että b 0 ja b 1, ja määritellään n S n = b j = 1 + b + b 2 + + b n. j=0 Lause 1.3.18. Jos b 0 ja b 1, niin S n = bn+1 1, kun n = 0, 1, 2,.... b 1 Todistus. Induktio n:n suhteen alkaen luvusta n = 0: 1 : n = 0: vasen puoli: S 0 = oikea puoli: Siten väite on tosi, kun n = 0. 0 b j = b 0 = 1 j=0 b 1 b 1 = 1 20

2 : Induktioaskel: Osoitetaan, että jos väite on totta kun n = k, on se välttämättä totta myös kun n = k + 1. Luvusta k emme tässä voi olettaa muuta kuin sen, että k N. Induktio-oletus: Induktioväite: Todistus: S k = bk+1 1 b 1 S k+1 = bk+2 1 b 1 k+1 S k+1 = b j = j=0 k b j + b k+1 = S k + b k+1, j=0 josta induktio-oletuksen nojalla saadaan edelleen S k+1 = bk+1 1 b 1 + b k+1 = bk+1 1 b 1 + (b 1)bk+1 b 1 = bk+1 1 + b k+2 b k+1 b 1 = bk+2 1 b 1. Siten induktioväite seuraa induktio-oletuksesta. Induktioperiaatteen nojalla väite on nyt tosi kaikille n = 0, 1, 2,... 1.4 Väitteen osoittaminen vääräksi A tragedy of mathematics is a beautiful conjecture ruined by an ugly fact. Anonymous. Edellä on tarkasteltu pääasiassa tehtäviä, joissa on annettu ennakkoon todeksi tiedetty väitelause ja pyydetty todistamaan se. Matematiikassa tulee kuitenkin usein vastaan väitelauseita, joiden totuusarvo ei ole ennakkoon tiedossa. Tällöin on joko todistettava väite tai kumottava se, eli osoitettava, että väitteen negaatio on totta. Esimerkki 1.4.1. Tarkastellaan väitelausetta Jos n N, niin n 2 n + 11 on alkuluku. Kun tarkastellaan pieniä luonnollisia lukuja, näyttäisi väite pitävän paikkansa: 21

n 1 2 3 4 5 6 7 8 9... n 2 n + 11 11 13 17 23 31 41 53 67 83... Kuitenkin jos n = 11, niin n 2 n + 11 = 11 2 11 + 11 = 11 2 = 11 11 eli kyseessä ei enää olekaan alkuluku. Luku n = 11 kelpaa siten vastaesimerkiksi, joka näyttää, että väitelause Jos n N, niin n 2 n + 11 on alkuluku ei olekaan totta. Esimerkki 1.4.2. Tarkastellaan väitelausetta On olemassa reaaliluku x, jolle pätee x 4 < x < x 2. Onko tämä väitelause tosi vai epätosi? Väitelauseen epätodeksi osoittamiseksi ei tässä tapauksessa riitä esimerkki luvusta x, joka ei toteuta ehtoja x 4 < x < x 2, sillä tällainen vastaesimerkki näyttäisi vasta, että väitelause Jokaiselle reaaliluvulle x pätee x 4 < x < x 2 on epätosi. Sen sijaan on näytettävä, että ei ole olemassa reaalilukua x, jolle pätee x 4 < x < x 2, toisin sanoen, jokaiselle reaaliluvulle x pätee x 4 x tai x x 2. Todistetaan tämä jakamalla tarkastelu kolmeen tapaukseen: 1. Jos x 0, niin x 4 0 x, eli erityisesti x 4 x. 2. Jos x ]0, 1], niin x 2 = x x 1 x = x eli x x 2. 3. Jos x ]1, [, niin x 4 = x x x x 1 1 1 x = x eli x 4 x. Näin on siis kaikki reaaliluvut käyty läpi, ja jokaisessa tapauksessa ainakin toinen epäyhtälöistä x 4 x tai x x 2 on voimassa. Niinpä alkuperäinen väite On olemassa reaaliluku x, jolle pätee x 4 < x < x 2 on nyt näytetty epätodeksi. 22

Luku 2 Joukko-oppia I don t want to belong to any club that will accept people like me as a member Groucho Marx 2.1 Joukko-opin peruskäsitteitä ja merkintöjä Tällä kurssilla emme lähde problematisoimaan joukon käsitettä, vaan tyydymme naiiviin tulkintaan, jossa joukko on kokoelma objekteja (alkioita), jokaisesta objektista voidaan sanoa kuuluuko se kyseiseen joukkoon vai ei. Tällainen määrittely riittää hyvin varsinkin matematiikan opiskelun alkuvaiheessa, vaikka todellisuudessa joukon ja alkion käsitteisiin liittyy kaikenlaisia ongelmia, eikä joukko-oppi suinkaan ole niin yksinkertaista kuin ensisilmäykseltä saattaa vaikuttaa. Esimerkki 2.1.1. (a) Kokoelma {1, 2, 3} on joukko, jonka alkioita ovat luvut 1, 2 ja 3. (b) Kokoelma {suomi, ruotsi, norja} on joukko, jonka alkioita ovat sanat suomi, ruotsi ja norja. Esimerkiksi tanska ei ole tämän joukon alkio, eikä myöskään luku 2. (c) Merkinnällä {1, 1 2, 1 3, 1 4, 1 5,...} 23

tarkoitetaan joukkoa, joka koostuu kaikista muotoa 1 olevista luvuista, n missä n käy läpi kaikki positiiviset kokonaisluvut luvusta 1 alkaen. Näin 1 ollen esimerkiksi on kyseisen joukon alkio, vaikka sitä ei olekaan listattu 134 näkyviin. Kaksi joukkoa ovat samat, jos ne koostuvat täsmälleen samoista alkioista. Niinpä esimerkiksi ja {1, 2, 3} = {2, 3, 1} = {1, 1, 2, 3} {..., 2, 1, 0, 1, 2,...} = {0, 1, 1, 2, 2,...}. Usein on järkevää antaa tarkasteltavalle joukolle symbolinen nimi ja sen jälkeen viitata kyseiseen joukkoon kyseistä symbolia käyttäen sen sijaan, että jokaisessa yhteydessä lueteltaisiin joukon alkiot. Voimme esimerkiksi kutsua joukkoa {1, 2, 3} joukoksi A, merkitään A = {1, 2, 3}, minkä jälkeen voidaan vaikkapa todeta, että luku 2 on joukon A alkio. Tietyt joukot ovat niin tärkeitä, että niillä on vakiintuneet merkinnät, joita tulisi aina käyttää. Tällaisia joukkoja ovat esimerkiksi luonnollisten lukujen joukko N = {1, 2, 3, 4, 5,...}, kokonaislukujen joukko Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2, 3,...}, ja reaalilukujen joukko R. Huomaa, että 0 ei ole luonnollinen luku(ainakaan tällä kurssilla!). Merkintöjä. Seuraavassa on listattu joitakin tärkeimpiä joukko-opin merkintöjä ja merkintätapoja: (i) Merkintä x A tarkoitaa, että x on joukon A alkio. Se luetaan: x kuuluu joukkoon A. (ii) Merkintä y A tarkoitaa, että y ei ole joukon A alkio ja luetaan: y ei kuulu joukkoon A. (iii) Joukko A on joukon B osajoukko, merkitään A B, jos jokainen joukon A alkio on myös joukon B alkio. Merkintä A B puolestaan tarkoittaa, että joukko A ei ole joukon B osajoukko, eli on olemassa (ainakin yksi) alkio x A, joka ei kuulu joukkoon B. (iv) Joukot A ja B ovat samat, merkitään A = B, jos A B ja B A. 24

(v) Tyhjä joukko = {} on joukko, joka ei sisällä yhtään alkiota. Esimerkki 2.1.2. Jos A = {1, 2, 3} ja B = { 1, 0, 1, 2, 3, 5}, niin A B ja A N. Vastaavasti B Z, mutta B N, sillä 1 B ja 1 / N. Huomautus 2.1.3. Jokaiselle joukolle A pätee A A ja A. Näistä jälkimmäinen inkluusio ( A) voi aluksi tuntua intuition vastaiselta, mutta sen voi perustella epäsuorasti: jos väite A ei olisi totta, niin silloin joukosta tulisi löytyä ainakin yksi alkio, joka ei kuulu joukkoon A. Mutta koska tyhjässä joukossa ei ole yhtään alkiota, ei kuvatunlaista alkiota voi olla olemassa. Niinpä on joukon A osajoukko. Joukon määritteleminen luettelemalla sen alkiot aaltosulkeissa voi joskus olla hankalaa ja erityisesti käytettäessä merkintää... saattaa jäädä epäselväksi mitkä alkiot oikeastaan kuuluvatkaan käsiteltävään joukkoon. Lisäksi kaikkia joukkoja ei voida edes määritellä alkioita luettelemalla. 1 Esimerkki 2.1.4. Määrittely A = {2, 4, 8,...} on liian epämääräinen, sillä se ei kerro yksiselitteisesti mitä alkioita joukkoon A kuuluu. Emme tiedä koostuuko A muotoa 2 k olevista luvuista eksponentin k käydessä läpi kaikki positiiviset kokonaisluvut (tällöin joukkoon kuuluisivat siis mm. alkiot 2, 4, 8, 16, 32, 64 ja 128) vai onko kyseessä vaikkapa joukko, joka koostuu niistä parillisista positiivisista luvuista, jotka eivät ole jaollisia luvulla 6 (tällöin joukkoon kuuluisivat siis mm. alkiot 2, 4, 8, 10, 14, 16 ja 20). Joukkoja määritelläänkin usein sanomalla niiden koostuvan kaikista alkioista, jotka toteuttavat tietyn ehdon. Tällöin käytetään merkintää {x : P (x)}, joka tarkoittaa kaikkien niiden alkioiden x joukkoa, joille ominaisuus P (x) on totta. 2 Esimerkki 2.1.5. (i) Joukko {n N: n on pariton} koostuu kaikista parittomista luonnollisista luvuista, toisin sanoen {n N: n on pariton} = {1, 3, 5, 7,...}. (ii) Joukko {6, 8, 10, 12, 14,...} voidaan kirjoittaa täsmällisemmin muodossa {n N: n on parillinen ja n > 4}. 1 Joukkoa, jonka alkiot voidaan luetella, sanotaan numeroituvaksi. Muussa tapauksessa joukko on ylinumeroituva. Esimerkiksi N, Z ja Q ovat numeroituvia joukkoja, kun taas R ja R \ Q ovat ylinumeroituvia. 2 Joskus käytetään myös merkintää {x P (x)} merkinnän {x : P (x)} sijaan. 25

(iii) Joukko {n N: n < 3} koostuu niistä luonnollisista luvuista n, joiden neliöjuuri n on pienempi kuin 3. Siispä {n N: n < 3} = {1, 2, 3,..., 8}. (iv) Merkintä {k 2 : k Z, k < 4} tarkoittaa joukkoa, joka koostuu kaikista muotoa k 2 olevista luvuista, jossa luvun k täytyy olla itseisarvoltaan lukua 4 pienempi kokonaisluku. Tällaisia kokonaislukuja ovat 3, 2, 1, 0, 1, 2 ja 3, ja niiden neliöt ovat puolestaan 9, 4, 1, 0, 1, 4 ja 9. Siten {k 2 : k Z, k < 4} = {0, 1, 4, 9}. Huomautus 2.1.6. Merkinnän {x : P (x)} kanssa on syytä olla huolellinen. Esimerkiksi A = {x R: x 2 A} ei määrittele joukkoa, sillä on mahdotonta päätellä kuuluuko luku 2 joukkoon A vai ei. Nimittäin, 2 kuuluu joukkoon A jos ja vain jos 2 2 = 4 kuuluu joukkoon A. Mutta kuuluuko 4 joukkoon A vai ei? Se taas riippuu siitä, kuuluuko 4 2 = 16 joukkoon A vai ei... Määritelmä 2.1.7. Olkoot A ja B joukkoja. Määritellään joukkojen yhdiste A B = {x: x A tai x B}, leikkaus ja erotus A B = {x: x A ja x B}, A\B = {x: x A ja x B}. Huomautus 2.1.8. (i) Matematiikan tai ei ole poissulkeva. Siksi ehto x A tai x B pitää sisällään mahdollisuuden, että x kuuluu molempiin joukoista A ja B. (ii) Joskus joukkojen A ja B erotusta merkitään myös symbolilla A B. Esimerkki 2.1.9. Olkoot A = {0, 1, α, β}, B = {1, 2, β}, C = {3, 4, γ}. 26

Tällöin A B = {0, 1, 2, α, β}, A B = {1, β}, A\B = {0, α}, B\A = {2}, (A B) C = {1, 3, 4, β, γ}. Edellä määriteltyjen joukko-operaatioiden lisäksi tarvitaan matematiikassa varsin usein myös joukkojen tulon käsitettä. Määritelmä 2.1.10. Joukkojen A ja B tulojoukko eli karteesinen tulo on joukko A B := {(a, b) : a A, b B}, missä (a, b) = (c, d) jos ja vain jos a = c ja b = d. Joukko A B koostuu siis kaikista järjestetyistä pareista (a, b), missä a on jokin joukon A alkio ja b jokin joukon B alkio. Esimerkki 2.1.11. Esimerkkejä tulojoukoista. (a) Jos A = {1, 2, 3} ja B = {α, β}, niin A B = {(1, α), (1, β), (2, α), (2, β), (3, α), (3, β)}. (b) Tutuin esimerkki karteesisesta tulosta on xy-taso R 2, R 2 = R R = {(x, y) : x R, y R}, joka siis koostuu järjestetyistä reaalilukupareista (x, y). Huomaa, että (1, 2) (2, 1). (c) Karteesisen tulon avulla voidaan edelleen määritellä R 3 = R R R = xyz-avaruus R n = R } {{ R } = n-ulotteinen euklidinen avaruus n kpl Tutuimpia esimerkkejä joukoista ovat reaalilukujen joukon välit. Olkoon a, b R siten, että a b. Reaaliakselin R rajoitettu väli on jokin seuraavista: [a, b] := { x R : a x b } ]a, b[ := { x R : a < x < b } [a, b[ := { x R : a x < b } ]a, b] := { x R : a < x b } (suljettu väli) (avoin väli) (puoliavoin väli) (puoliavoin väli) 27

Huomautus 2.1.12. Edellä sallitaan erikoistapaus a = b, kun tulkitaan, että [a, a] = {a} ja ]a, a[ =. Reaaliakselin R rajoittamattomia välejä ovat puolestaan muotoa ], b] := { x R : x b } ], b[ := { x R : x < b } [a, [ := { x R : a x } ]a, [ := { x R : a < x } ], [ := R olevat välit. Tässä yhteydessä on hyvä muistuttaa siitä, että ja ovat pelkkiä symboleja, eivätkä reaalilukuja. Huomautus 2.1.13. Matematiikassa käytettävien merkintöjen kanssa tulee olla huolellinen. Ei esimerkiksi ole yhdentekevää millaisia sulkuja lausekkeissa käytetään: merkintä {1, 2} tarkoittaa joukkoa, jonka alkioita ovat luvut 1 ja 2. merkintä [1, 2] tarkoittaa reaaliakselin suljettua väliä, jonka päätepisteet ovat 1 ja 2. merkintä (1, 2) tarkoittaa järjestettyä paria, jonka ensimmäinen alkio on 1 ja toinen alkio 2. Joissakin yhteyksissä merkintä (1, 2) voi myös tarkoittaa reaaliakselin avointa väliä ]1, 2[. Useamman kuin kahden joukon yhdiste ja leikkaus määritellään saman periaatteen mukaisesti kuin kahdenkin. Määritelmä 2.1.14. Olkoot A, B ja C joukkoja. Määritellään joukkojen yhdiste A B C = {x: x A tai x B tai x C}, ja leikkaus A B C = {x: x A ja x B ja x C}. Yhdiste ja leikkaus voidaan määritellä myös äärettömän monelle joukolle: joukkojen A i, i = 1, 2, 3,... yhdiste on A i := {x : x A i jollakin i = 1, 2, 3,... }, i=1 ja leikkaus A i := {x : x A i kaikilla i = 1, 2, 3,... }. i=1 28

Esimerkki 2.1.15. Olkoon jokaiselle i N joukko A i reaaliakselin suljettu väli [i, i + 1]. Tällöin siis A 1 = [1, 2], A 2 = [2, 3], ja niin edelleen. Tällöin A i = {x R: x A i jollakin i = 1, 2, 3,... } ja i=1 = {x R: x [i, i + 1] jollakin i = 1, 2, 3,... } = [1, 2] [2, 3] [3, 4]... = [1, [ A i = {x R: x A i kaikilla i = 1, 2, 3,... } i=1 = {x R: x [i, i + 1] kaikilla i = 1, 2, 3,... } = [1, 2] [2, 3] [3, 4]... =. 2.2 Joukko-oppi ja todistaminen Seuraavaksi tutustumme siihen, miten joukko-oppiin liittyviä väitelauseita todistetaan. Avainasemassa ovat aiemmin annetut määritelmät joukkojen yhtäsuuruudelle, osajoukolle, leikkaukselle, yhdisteelle jne., sillä viime kädessä juuri määritelmät kertovat yksityiskohtaisesti mitä todistuksissa on pystyttävä osoittamaan. Esimerkki 2.2.1. Olkoon A = { 1 + n ( 1)n : n N}. Tällöin joukkoon A kuuluvat mm. alkiot 0, 3, 2 ja 5, jotka saadaan kun n = 1, 2, 3, 4. 2 3 4 Osoitetaan, että A [ 1, 3]. 2 Todistus. Olkoon x mikä tahansa joukon A alkio. Tällöin on olemassa jokin n N siten, että x = 1 n + ( 1)n. Todetaan ensin, että Toisaalta, jos n on parillinen, niin ja jos n on pariton, niin x = 1 n + ( 1)n > ( 1) n 1 x = 1 n + ( 1)n = 1 n + 1 1 2 + 1 = 3 2, x = 1 n + ( 1)n = 1 n 1 0. Näin ollen, olipa n parillinen tai pariton, aina kuitenkin pätee x 3. 2 Yhdistämällä tiedot x > 1 ja x 3 saadaan x [ 1, 3 ]. Nyt on 2 2 siis todettu, että joukon A mielivaltainen alkio x välttämättä kuuluu välille [ 1, 3], joten A [ 1, 3]. 2 2 29

Lause 2.2.2. Kaikille joukoille A, B ja C pätee A (B C) = (A B) (A C). Todistus. Haluamme todistaa joukkojen A (B C) ja (A B) (A C) yhtäsuuruuden, eli sen, että niillä on täsmälleen samat alkiot: kaikille x on x A (B C) x (A B) (A C). Tämän todistaminen tapahtuu kahdessa osassa: : Osoitetaan, että A (B C) on joukon (A B) (A C) osajoukko: x A (B C) = x (A B) (A C). Todistus: Koska x A (B C), niin x A tai x (B C). Jos x A, niin yhdisteen määritelmän nojalla x A B ja x A C. Jos taas x B C, niin leikkauksen määritelmän nojalla tällöin x B ja x C. Tästä seuraa yhdisteen määritelmän nojalla, että x A B ja x A C. Siten kummassakin tapauksessa x (A B) (A C), kuten väitettiin. : Osoitetaan, että (A B) (A C) on joukon A (B C) osajoukko: x (A B) (A C) = x A (B C). Todistus: Harjoitustehtävä. ja yhdessä takaavat, että joukot ovat samat. Esimerkki 2.2.3. Osoitetaan vastaesimerkillä, että yhtälö A (B C) = (A B) C ei aina päde. Valitaan esimerkiksi A = {1, 2}, B = {2, 3} ja C = {1, 3}. Tällöin ja A (B C) = {1, 2} {3} = {1, 2, 3} (A B) C = {1, 2, 3} {1, 3} = {1, 3}, joten A (B C) (A B) C näille joukoille A, B ja C. 30

Luku 3 Funktioista 3.1 Funktioihin liittyviä peruskäsitteitä Funktio eli kuvaus on ehdottomasti yksi matematiikan keskeisimmistä käsitteitä. Matematiikan opiskelija törmää funktioihin jokaisella kurssilla, ja siksi funktioihin liittyvien määritelmien ja käsitteiden hallinta on erittäin tärkeää. Määritelmä 3.1.1. Olkoot A ja B mitä tahansa epätyhjiä joukkoja. Kuvaus eli funktio f : A B on sääntö, joka liittää jokaiseen joukon A alkioon a täsmälleen yhden joukon B alkion f(a). Tätä merkitään myös a f(a) (a A, f(a) B), ja sanotaan, että f(a) on funktion f arvo pisteessä a A, tai että f(a) on a:n kuva (tai kuvapiste) kuvauksessa f, tai että alkio (piste) a kuvautuu alkioksi (pisteeksi) f(a) kuvauksessa f. Joukkoa A kutsutaan kuvauksen f : A B määrittelyjoukoksi, ja joukkoa B kuvauksen maalijoukoksi. Huomautus 3.1.2. (a) Funktio muodostuu siis kolmikosta (f, A, B). Erityisesti funktiot f : A B ja g : C D ovat samat jos ja vain jos (i) A = C (sama määrittelyjoukko) (ii) B = D (sama maalijoukko) (iii) f(x) = g(x) kaikilla x A = C. Funktiot f : R R, f(x) = x 2 ja g : R ]0, [, g(x) = x 2 ovat siis (tarkkaan ottaen) kaksi eri funktiota, sillä niillä on eri maalijoukot. 31

(b) Jokaista alkiota x A vastaa täsmälleen yksi kuvapiste f(x) B. Sen sijaan, jos y B, niin (i) voi olla useampia joukon A alkioita x, joille f(x) = y. (ii) voi olla, että y ei ole minkään joukon A alkion kuvapiste. Esimerkki 3.1.3. Funktioita ja esimerkkejä säännöistä, jotka eivät ole funktioita: (a) Olkoot A = {a, b, c} ja B = {1, 2, 3, 4}. Määritellään funktio f : A B seuraavasti: f(a) = 2, f(b) = 3, f(c) = 2. Nyt siis f(a) = f(c), mutta tätä ei ole millään tavalla kielletty funktion määritelmässä. (b) Ympyräkiekon pinta-ala P riippuu ympyrän säteestä r kaavan P = πr 2 mukaisesti. Tämä vastaavuus määrittelee funktion P : [0, [ [0, [, P (r) = πr 2. (c) Olkoon f : R 2 R 2, f(x, y) = (2x + y, x 3y). Siis esimerkiksi f(1, 1) = (2 1 + ( 1), 1 3 ( 1)) = (1, 4). f(2, 1) = (5, 1). (d) Sääntö f : N Z, f(n) = n ei määrittele funktiota, sillä säännön n+2 lukuun n liittämä arvo f(n) ei ole kokonaisluku (eli f(n) Z) jos esimerkiksi n = 1. Sen sijaan f : N Q, f(n) = n N. n n+2 on funktio, sillä n n+2 Q kaikilla 32